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PREPARATORIA “LA ACADEMIA”

Desarrollado Por: TURPO TURPO JOHN

p

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Y ANGULOS Consideración: En el gráfico adjunto, "" es VERTICALES el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note ÁNGULOS VERTICALES que deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja. Son aquellos ángulos ubicados en un plano Luego "" es el ángulo formado por las dos vertical que, en la práctica, son formados visuales.

por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de depresión. (Ver gráficos). al isu V a

e Lín  Línea Horizontal

H

h



ÁNGULOS HORIZONTALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica. Rosa Náutica: (compás marino), es un Línea Horizontal instrumento de orientación que permitirá  localizar una ciudad, persona o punto; Lín una referencia, mediante el uso respecto de ea Vis de las direcciones: u al

Norte (N)  : Ángulo de Elevación

Línea Horizontal  H

Lín ea Vis ua l

 : Ángulo de Depresión Consideración: En el gráfico adjunto, "" es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note que deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja. Luego "" es el ángulo formado por las dos visuales.

DiDepresión  : Ángulo B de A rec n ció ó i n ecc Dir 40º 30º P Oeste (O) n ió 42º Referencia cc e r i D

C

Este (E)

Sur (S)

Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones. Por ejemplo:

 "A" se halla el E30ºN de "P" "B" se halla al O40ºN de "P" "C" se halla al S42ºO de "P"

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Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones. Por ejemplo:

el ángulo de elevación para su parte más  alta sería " ". Ahora, note la representación gráfica:

N Q



P 24º 66º

30º O

R

ºE N60

 60º

E 10º S

PROBLEMAS

S

Está al N24º E de " R" P Está al E66º N de " R"

1. Del gráfico, hallar : AC B

Está al O30º N de " R" Q de " R" Está al Está al S10º E de " R" S de " R" Está al

"A" se halla el E30ºN de "P”. "B" se halla al O40ºN de "P”. "C" se halla al S42ºO de "P”. SITUACIONES COMBINADAS Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales (uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir, ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación: "Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación "  ". Si luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste,

m

A

a) b) c) d) e)

n y

x

C

m sen x + n sen y m cos x + n sen y n sen x + m cos y m cos x + n cos y m sen y + n cos x

2. Hallar “x”

 m



a) b) c) d) e)

x

m sen  sen  m sen  cos  m cos  cos  m cos  sen  m tg  ctg 

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3. Del gráfico, hallar tgx en función de  Si ABCD es un cuadrado. B

b asenx + b cos x bsenx c) a + b cos x

a)

C 

x

b cos x a + bsenx asenx d) a + b cos x

b)

e) a sen x + b cos x 6. Del gráfico mostrado, calcular : E =

A

a) b) c) d) e)

E

D

tg  - 1 tg  + 1 ctg  - 1 ctg  + 1 1 – tg 

4. Del gráfico determine AE en función de m, . C

a) b) c) d) e)

1 6 1/6 3 1/3





7. Del gráfico, hallar CD en función de m y  C 

m D

A

E

A

a) b) c) d) e)

D

m



B

tg α tg θ

a) b) c) d) e)

m sen  m cos  m(sen  + cos ) m(tg  + ctg ) m(sen  - cos )

45º

B

m(cos  + sen ) m(cos  - sen ) m(sen  - cos ) m(cos  + 2 sen ) m sen  cos 

8. Hallar tg  en función de  5. Hallar tg , si : BD = a , CD = b a) B

A

b) 2 tg 



c) A

tgα 2

x D

C

tgα 4

d) 4 tg  tg α e) 3 2

B

 M



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C

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9. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificio con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m, determinar la altura de edificio. a) 3 m d) 18

b) 12

c) 15 e) 24

10. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura del poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla la persona? a) 18 d) 24

b) 20

c) 22 e) 32

11. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 24 d) 42

b) 36

c) 32 e) 48

12. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A qué distancia del poste se encuentra el punto de observación? a) 10 d) 40

b) 20

c) 30 e) 50

13. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos de elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol. a) 9 d) 12

b) 10

c) 11 e) 13

14. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta de una torre con un

ángulo de elevación de 45º, el mismo punto es observado desde la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m. a) 10 d) 30

b) 15

c) 20 e) 40

15. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180 km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierra con un ángulo de depresión de 30º. Dos minutos después, estando sobre la señal, el piloto observa a una distancia de 1000 metros un aerostato con un ángulo de elevación de 60º. ¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante? a) 2 3km d) 3,5 3km

b) 2,5 3km c) 3 3km e) 4 3km

16. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en el mismo sentido. En la primera observación desde el barco se ve al avión adelante con un ángulo de elevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar. En la segunda observación se le ve con un ángulo de 37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco. Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión en la segunda posición observa la boya. 17 12 3 d) 4

a)

b)

15 11

11 17 5 e) 7

c)

“Dedico este aporte a todo los estudiantes que dentro de sus ideales esta la justicia y el cambio”

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