• Author / Uploaded
• Kelber Zelaya

Citation preview

2011 FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM HUARAZ - PERU

FLAVIO CADILLO [email protected] ANÁLISIS ESTRUCTURAL II 06/01/2011

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

TERCERA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 03 – ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

01. Calcular las reacciones y las fuerzas en las barras de la siguiente armadura; si el alargamiento en el elemento 3-4 es de 1 cm; Área: 10 cm2; E=2000 Ton/cm2.

SOLUCIÓN Primer paso: Determinación de grados de libertad de la estructura #gdl=5

Segundo paso:

Definir la coordenada global {Q}- {D}

2

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

Tercer paso:

HUARAZ - PERU

Definir el sistema local de coordenadas {ql} – {dl}

[ ′ ]Luego la matriz de rigidez de cada elemento es: Se sabe que el valor de EA es 20 000 Ton. y L es la longitud de cada elemento de la armadura

3

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

Cuarto paso: SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

HUARAZ - PERU

Determinación de {q} prim En este caso en primer lugar se calcula el {ql} primario o de empotramiento; debido a las siguientes solicitaciones.

Teóricamente las armaduras no tienen resistencia a las solicitaciones que afectan a lo largo de su longitud, en ese sentido a la fuerza distribuida se puede descomponer de la siguiente forma.

Aquí ya podemos calcular el vector { } dirección de {Q} - {D}

4

Sistematización total del método del rigidez

, que indica fuerzas en los nudos, en

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

Luego las fuerzas externas no intervienen en la determinación del {q l} primario en las armaduras porque siempre afectan al nudo y no al elemento; en tal caso solo se analiza con las siguientes solicitaciones:

Las deformaciones de los elementos son:

Ahora los esfuerzos que generan estas deformaciones en las barras son:

5

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

6

Sistematización total del método del rigidez

HUARAZ - PERU

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

DETERMINACIÓN DEL ANGULO “α”: Que se calcula girando del eje X hasta la barra, para cada barra

Ahora describiremos todas las operaciones necesarias a calcular:

Ensamblaje del vector fuerzas de fijación {R}; donde cada fila representan un nudo en forma ordenada de arriba hacia abajo, luego {Q}=-{R}

7

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura [K]; donde cada fila representan un nudo en forma ordenada de arriba hacia abajo.

Algunos de los nudos no presentan “gdl”, entonces esas coordenadas ya no se analizan. nudo 1

[K]=

nudo 4 nudo 5

[k]612 [k]312 ###########

nudo 4 nudo 5 ##################### [k]612

[k]312

##################### [k]422+ [k]512 5 6 [k] 22+[k] 22 [k]311+[k]511+ [k]512 [k]822 #####################

#########################

nudo 3

#########################

nudo 2

#########################

nudo 1

nudo 2 nudo 3 ########### [k]611+[k]122+ [k]222+[k]322 ###########

Determinación de los desplazamientos independientes: [D]=[K] -1{Q} Determinación de la deformación de los elementos en dirección del sistema global de coordenadas de cada barra {d} barra i.

8

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

Determinación de la deformación de los elementos en dirección del sistema local de coordenadas {q’}-{d’}. {d’}barra i = [S]T {d} Determinación de la solución del problema complementario: {q’}comp. = [k’ ] {d’} Respuesta estructural: {q’}. ={q’}prim.+ {q’}comp.

9

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

Cálculos efectuados con las operaciones matriciales anteriormente mencionadas barra por barra.

EA =

20000.00

Tn

[K´]=

7071.07 -7071.07

-7071.07 7071.07

α

[S]=

0.00 0.00 1.00 0.00

EA =

20000.00

Tn

[K´]=

10000.00 -10000.00 -10000.00 10000.00 =

[S]=

0.00 0.00 0.71 0.71

EA =

20000.00

Tn

[K´]=

7071.07 -7071.07

-7071.07 7071.07

=

[S]=

0.00 0.00 0.00 1.00

EA =

20000.00

Tn

[K´]=

7071.07 -7071.07

-7071.07 7071.07

=

[S]=

0.00 0.00 1.00 0.00

EA =

20000.00

Tn

[K´]=

10000.00 -10000.00 -10000.00 10000.00

[S]=

0.71 0.71 0.00 0.00

=

-25.00 25.00

[ K] =

7071.0678 0.0000 -7071.0678 0.0000

0.00 0.00 0.00 0.00

L=

{q}prim=

-25.00 0.00 25.00 0.00

{d}=

0.0000 0.0000 0.0070 -0.0134

{d'}=

2.00

m

{q´}prim=

0.00 0.00

L=

{q}prim=

0.00 0.00 0.00 0.00

2.83

m

{q´}prim=

-70.71 70.71

L=

{q}prim=

0.00 -70.71 0.00 70.71

2.83

m

{q´}prim=

70.71 -70.71

L=

{q}prim=

70.71 0.00 -70.71 0.00

2.00

m

{q´}prim=

-50.21 50.21

[ K] =

{d}=

{q}prim=

-35.50 -35.50 35.50 35.50

0.00 0.00

7071.0678 0.0000

0.00 0.00

0.0000 0.0070

{q'}comp=

{q'}prim + {q'}comp =

-74.57 74.57

-49.57 49.57

5000.0000 5000.0000 -5000.0000

5000.00 5000.00 -5000.00

-5000.0000 -5000.0000

-5000.00 -5000.00

5000.0000

5000.00

-5000.0000

-5000.00

5000.0000

5000.00

0.0000 0.0000 0.0070 -0.0134

{d'}=

0.0000 -0.0046

{q'}comp=

{q'}prim + {q'}comp =

45.50 -45.50

45.50 -45.50

BARRA 3

[ K] =

{d}=

0.0000 0.0000 0.0000

0.00 7071.07 0.00

0.0000 0.0000

0.00 -7071.07

0.0000

0.00

0.0000

-7071.07

0.0000

7071.07

-0.0085 0.0000 0.0070 -0.0134

{d'}=

0.0000 -0.0134

{q'}comp=

{q'}prim + {q'}comp =

24.36 -24.36

95.07 -95.07

BARRA 4

[ K] =

{d}=

7071.0678 0.0000 -7071.0678

0.00 0.00 0.00

-7071.0678 0.0000

0.00 0.00

7071.0678

0.00

0.0000

0.00

0.0000

0.00

0.0000 0.0000 0.0059 -0.0230

{d'}=

0.0000 0.0059

{q'}comp=

{q'}prim + {q'}comp =

28.69 -28.69

-42.03 42.03

BARRA 5

[ K] =

45.00 0.00 0.00 0.71 0.71

-7071.0678 0.0000

BARRA 2

0.00

1.00 0.00 0.00 0.00

α

{q´}prim=

BARRA 1

90.00

0.00 1.00 0.00 0.00

α

m

45.00

0.71 0.71 0.00 0.00

α

2.83

0.00

1.00 0.00 0.00 0.00

α

10

=

L=

{d}=

Sistematización total del método del rigidez

5000.0000 5000.0000 -5000.0000

5000.00 5000.00 -5000.00

-5000.0000 -5000.0000

-5000.00 -5000.00

5000.0000

5000.00

-5000.0000

-5000.00

5000.0000

5000.00

-0.0085 0.0000 0.0059 -0.0230

{d'}=

-0.0060 -0.0121

{q'}comp=

{q'}prim + {q'}comp =

10.07 -10.07

60.27 -60.27

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM EA =

20000.00

[K´]=

10000.00 -10000.00 -10000.00 10000.00 α

=

Tn

L=

0.71 -0.71 0.00 0.00

0.00 0.00 0.71 -0.71

EA =

20000.00

Tn

[K´]=

10000.00 -10000.00 -10000.00 10000.00 =

L=

0.71 -0.71 0.00 0.00

0.00 0.00 0.71 -0.71

EA =

20000.00

Tn

[K´]=

10000.00 -10000.00 -10000.00 10000.00

[S]=

=

m

{q´}prim=

0.00 0.00

[ K] =

5000.0000 -5000.0000 -5000.0000

-5000.00 5000.00 5000.00

-5000.0000 5000.0000

5000.00 -5000.00

5000.0000

-5000.00

5000.0000

-5000.00

-5000.0000

5000.00

{q}prim=

0.00 0.00 0.00 0.00

0.0070 -0.0134 0.0059 -0.0230

{d'}=

0.0145 0.0205

{q'}comp=

2.00

m

{q´}prim=

0.00 0.00

{d}=

L=

[ K] =

5000.0000 -5000.0000 -5000.0000

-5000.00 5000.00 5000.00

-5000.0000 5000.0000

5000.00 -5000.00

5000.0000

-5000.00

5000.0000

-5000.00

-5000.0000

5000.00

{q}prim=

0.00 0.00 0.00 0.00

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

{d'}=

0.0000 0.0000

{q'}comp=

2.00

m

{q´}prim=

-50.21 50.21

{d}=

0.00 0.00 0.71 -0.71

{q}prim=

-59.95 59.95

-59.95 59.95

{q'}prim + {q'}comp =

0.00 0.00

0.00 0.00

BARRA 8

[ K] =

5000.0000 -5000.0000 -5000.0000

-5000.00 5000.00 5000.00

-5000.0000 5000.0000

5000.00 -5000.00

5000.0000

-5000.00

5000.0000

-5000.00

-5000.0000

5000.00

0.0000 0.0000 -0.0085 0.0000

{d'}=

0.0000 -0.0060

{q'}comp=

315.00

0.71 -0.71 0.00 0.00

{q'}prim + {q'}comp =

BARRA 7

315.00

[S]=

α

BARRA 6

2.00

315.00

[S]=

α

HUARAZ - PERU

-35.50 35.50 35.50 -35.50

{d}=

{q'}prim + {q'}comp =

10.07 -10.07

60.27 -60.27

También tenemos la matriz de rigidez de la estructura:

[k] =

17071.07 0.00

0.00 17071.07

-5000.00 5000.00

5000.00 -5000.00

0.00 0.00

-5000.00

5000.00

17071.07

0.00

-5000.00

5000.00 0.00

-5000.00 0.00

0.00 -5000.00

10000.00 -5000.00

-5000.00 10000.00

Naturalmente que conociendo {q’} y {F} ya podemos calcular {R}, y con ello {Q} y {D} {R} del elemento + {R} nodal = 25.000

0.000

25.000

-25.000

70.711 -35.211 35.500 0.000

14.142 -6.590 49.513 0.000

84.853 -41.801 85.013 0.000

-84.853 41.801 -85.013 0.000

{D} =

11

{R}

Sistematización total del método del rigidez

{Q} =

0.0070 -0.0134 0.0059 -0.0230 -0.0085

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

REACCIONES Y LAS FUERZAS EN LAS BARRAS.

12

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

02. Hallar las fuerzas en las barras y reacciones y dibujar el diagrama de momento flector.

13

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

03. En el pórtico siguiente, calcular las reacciones y dibujar el diagrama de momento flector.

SOLUCIÓN Primer paso: Determinación de grados de libertad de la estructura

#gdl=3 Segundo paso:

Definir la coordenada global {Q}- {D}

Tercer paso: Definir el sistema local de coordenadas {ql} – {dl}

14

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

Cuarto paso: SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Determinación de las fuerzas de fijación que actúan en el nudo

HUARAZ - PERU

Es el vector { } = { } , que indica fuerzas en los nudos, en dirección de {Q} {D}, de tal manera que de ahora en adelante se desprecia estas fuerzas en la estructura.

Determinación de {q} prim

{ }

0 = 10 −60

En este caso en primer lugar se calcula el {ql} primario o de empotramiento; debido

15

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

Determinación de la matriz de transformación de fuerzas [S]

HUARAZ - PERU

Para ellos es necesario conocer el ángulo “α”

Ahora describiremos todas las operaciones necesarias a calcular barra por barra, mas adelante se presenta los resultados realizados en EXCEL. Primero se calcula:

Matriz de rigidez del elemento en dirección de {q’}-{d’}.

Determinación de la matriz de rigidez del elemento en dirección de {Q}-{R} [k]=[S]*[k’]*[S]T=

[k] [k]

[k] [k]

Ensamblaje del vector fuerzas de fijación {R} 2 = {R} del elemento; donde cada fila representan un nudo en forma ordenada de arriba hacia abajo.

16

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

{ } { } = { } + { } { }

{ } = { } + { } ==

0 13.44 10 + 60.9 −60 26

1 2= 3

13.44 39.9 + −24

13.44 = 79.9 −34

0 30 50

HUARAZ - PERU

13.44 = 69.9 26

−13.44 { } = −{ } = −79.9 34

Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura [K]; donde cada fila representa un nudo en forma ordenada de arriba hacia abajo.

Algunos de los nudos no presentan “gdl”, entonces esas coordenadas ya no se analizan. nudo 1

nudo 3

########

########

[K]=

nudo 1 nudo 2 nudo 3

nudo 2 ########### [k]211+[k]122 ###########

Determinación de los desplazamientos independientes: [D]=[K] -1{Q} Determinación de la deformación de los elementos en dirección del sistema global de coordenadas de cada barra {d} barra i.

17

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

Determinación de la deformación de los elementos en dirección del sistema local de coordenadas {q’}-{d’}. {d’}barra i = [S]T {d} Determinación de la solución del problema complementario: {q’}comp. = [k’ ] {d’} Respuesta estructural: {q’}. ={q’}prim.+ {q’}comp. Cálculos efectuados con las operaciones matriciales anteriormente mencionadas barra por barra. EA = EI =

15810.28 0 0 [K´]= -15810.28 0 0

100000 Tn 100000 Tn/m 0 4742.416 14997.89 0 -4742.42 14997.89 α

10000 0 0 [K´]= -10000 0 0

[S]=

1 0 0 0 0 0

0 -15810.28 0 0 #### 0 -4742.416 14997.89 #### 0 -14997.89 31620.55 0 15810.28 0 0 #### 0 4742.416 -14997.89 #### 0 -14997.89 63241.11

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.316229 -0.948683 0.948683 0.316229 0 0

100000 Tn 100000 Tn/m 0 1200 6000 0 -1200 6000 α 0 1 0 0 0 0

6.325 m 3320.366 14703.48 4742.762 -3320.366 -14703.48 4742.762

-14228.24439 4742.76225 63241.10672 14228.24439 -4742.76225 31620.55336

0 0 0 0 0 0 {d}= {d'}= {q'}comp= -0.00017 -0.004817 -0.00502 -0.001429 0.000414 0.000414

76.15810823 12.98105515 34.51476831 -76.15810823 -12.98105515 47.59040549

{q´}prim=

=

0 -10000 6000 0 #### 0 0 10000 #### 0 #### 0

0 0 0 0 0 1

L=

10

0 -1200 -6000 0 1200 -6000

0 6000 20000 0 -6000 40000

-42 0 24 42 0 -24

5849.208 3320.366 -14228.24 [K]= -5849.208 -3320.366 -14228.24

-5849.208 -3320.366 14228.244 5849.2081 3320.3661 14228.244

-3320.366 -14703.48 -4742.762 3320.366 14703.48 -4742.762

-14228.24 4742.7622 31620.553 14228.244 -4742.762 63241.107

m

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

34.16 12.98 58.51 {q'}prim+ {q'}comp = -34.16 -12.98 23.59

BARRA 2

{q´}prim=

0 30 50 0 30 -50

10000 0 0 [K]= -10000 0 0

0 1200 6000 0 -1200 6000

0 6000 40000 0 -6000 20000

-10000 0 0 10000 0 0

0 -1200 -6000 0 1200 -6000

0 6000 20000 0 -6000 40000

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

15849.21 3320.366 14228.24

18

BARRA 1

= 71.6

0.316229 -0.94868 0.948683 0.316229 0 0 [S]= 0 0 0 0 0 0 EA = EI =

L=

-0.00017 -0.000167 -0.00502 -0.005022 0.000414 0.000414 {d}= {d'}= {q'}comp= 0 0 0 0 0 0

-1.671533577 -3.54511515 -13.59040549 1.671533577 3.54511515 -21.86074601

-1.67 26.45 36.41 {q'}prim+ {q'}comp = 1.67 33.55 -71.86

-0.000167

[k] = 3320.366 15903.48 1257.238

{D} = -0.005022

14228.24 1257.238 103241.1

0.000414

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

04. En la parrilla calcular las acciones de extremo en todos los elementos.

HUARAZ - PERU

SOLUCIÓN Primer paso: Determinación de grados de libertad de la estructura

# gdl = 6 Segundo paso:

Definir la coordenada global {Q}- {D}

Tercer paso: Definir el sistema local de coordenadas {ql} – {dl}

19

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

Cuarto paso: SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Determinación de las fuerzas de fijación que actúan en el nudo

HUARAZ - PERU

Es el vector { } = { } , que indica fuerzas en los nudos, en dirección de {Q} {D}, de tal manera que de ahora en adelante se desprecia estas fuerzas en la estructura.

Determinación de {q} prim

{ }

0 = 10 −60

En este caso en primer lugar se calcula el {ql} primario o de empotramiento; debido

20

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

Determinación de la matriz de transformación de fuerzas [S]

HUARAZ - PERU

Para ellos es necesario conocer el ángulo “α”

Ahora describiremos todas las operaciones necesarias a calcular barra por barra, mas adelante se presenta los resultados realizados en EXCEL. Primero se calcula:

Matriz de rigidez del elemento en dirección de {q’}-{d’}.

Determinación de la matriz de rigidez del elemento en dirección de {Q}-{R} [k]=[S]*[k’]*[S]T=

[k] [k]

[k] [k]

Ensamblaje del vector fuerzas de fijación {R} 2 = {R} del elemento; donde cada fila representan un nudo en forma ordenada de arriba hacia abajo.

21

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

{ } { } = { } + { } { }

{ } = { } + { } ==

0 13.44 10 + 60.9 −60 26

1 2= 3

13.44 39.9 + −24

13.44 = 79.9 −34

0 30 50

HUARAZ - PERU

13.44 = 69.9 26

−13.44 { } = −{ } = −79.9 34

Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura [K]; donde cada fila representa un nudo en forma ordenada de arriba hacia abajo.

Algunos de los nudos no presentan “gdl”, entonces esas coordenadas ya no se analizan. nudo 1

nudo 3

########

########

[K]=

nudo 1 nudo 2 nudo 3

nudo 2 ########### [k]211+[k]122 ###########

Determinación de los desplazamientos independientes: [D]=[K] -1{Q} Determinación de la deformación de los elementos en dirección del sistema global de coordenadas de cada barra {d} barra i.

22

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

HUARAZ - PERU

Determinación de la deformación de los elementos en dirección del sistema local de coordenadas {q’}-{d’}. {d’}barra i = [S]T {d} Determinación de la solución del problema complementario: {q’}comp. = [k’ ] {d’} Respuesta estructural: {q’}. ={q’}prim.+ {q’}comp. Cálculos efectuados con las operaciones matriciales anteriormente mencionadas barra por barra.

23

Sistematización total del método del rigidez

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL - UNASAM

24

Sistematización total del método del rigidez

HUARAZ - PERU

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II