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ANALISIS DE LA DEFLEXION DE UNA VIGA CON CARGA DISTRIBIUDA

ASIGNATURA METODOS NÍMERICOS

ESTUDIANTES SAINER MANUEL BELTRAN PINTO JOSE DAVID ROJAS FUENTES CARLOS AUGUSTO ALMANZA JEISSON DURAGO ACOSTA HOI FENG LEUNG WONG

PROFESOR EDGAR QUIÑONES

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA CIIVIL Cartagena de Indias D T y C Noviembre 20 de 2009

INTRODUCCION La computadora, es la herramienta más poderosa hasta ahora conocida, para la solución de problemas en el campo de las ciencias exactas, en este caso los métodos numéricos, como punto principal por sus aplicaciones en la ingeniería. Los métodos numéricos son técnicas, donde es posible resolver los problemas por medio de operaciones aritméticas, estos métodos implementan un buen numero de cálculos que son por demás demasiado lentos si se hacen manualmente, gastando mucha energía en la técnica misma de solución en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación. El trabajo monótono que se hacía anteriormente al uso de la computadora, hace de importancia, el dominio de los métodos numéricos, los cuales se deben llevar a cabo en combinación con las capacidades y potencialidades de la programación de computadoras para de esa forma resolver

los

eficientemente

problemas

de

ingeniería

mucho

más fácilmente

y

DESCRIPCION DEL PROBLEMA Por medio del método de Runge Kutta daremos solución analítica y numérica sobre el análisis de una viga que posee una carga distribuida W, con una longitud L. utilizando este método como medio de solución para conocer su deflexión en varios pontos en la viga, ya que este tipo de carga son casos para analizar en las estructuras en ingeniería civil. No solamente daremos resultado de las incógnitas presentadas, sino que analizaremos el efecto de la flexión que produce la carga sobre la viga de madera, sabiendo que cada tipo de madera tiene un comportamiento diferente a ésta, ya que la deflexión de la viga depende del modulo de elasticidad y de la inercia de ésta. Hemos tomado las vigas de madera para analizar su comportamiento ya que hoy en día son menos utilizadas en las construcciones, por el gran auge que ha tenido el acero en las estructuras.

A

B

Aplicamos momento con respecto al apoyo en B. Obtenemos la ecuación diferencial que resolveremos por medio de doble integración.

Luego Integramos la función

Hallamos el valor de las constantes Para el apoyo en A tenemos:

Para el apoyo en B tenemos:

Reemplazamos el valor de

en la ecuación y obtenemos la ecuación

general de una viga sometida a carga distribuida.

OBJETIVO GENERAL  Calcular la deflexión de una Viga por de los métodos numéricos de Runge-kutta, y realizar un análisis de la solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).

OBJETIVOS ESPECIFICOS  Obtener los resultados de las deflexiones de manera más rápida  Conocer el comportamiento de una viga con sus respectivas graficas  Conocer el efecto del momento sobre la viga

MARCO TEORICO DISEÑO DE VIGAS Una viga es un elemento estructural que resiste cargas transversales. Generalmente, las cargas actúan en ángulo recto con respecto al eje longitudinal de la viga. Las cargas aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que el elemento se encuentra a flexión. Por lo común, los apoyos de las vigas se encuentran en los extremos o cerca de ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se denominan reacciones. PROPIEDADES DE LAS SECCIONES Además de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles, el comportamiento de un miembro estructural también depende de las dimensiones y la forma de su sección transversal, estos dos factores se consideran dentro de las propiedades de la sección. Centroides.- El centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en el cual se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través del cual pasa la resultante de su peso. El punto en un área plana que corresponde al centro de gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas áreas y forma se conoce como el centroide del área. Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por debajo de este plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie neutra. La intersección de la superficie neutra y la sección transversal de la viga se conoce como el eje neutro. Momento de inercia: En la figura 1 se ilustra una sección rectangular de ancho b y alto h con el eje horizontal X-X que pasa por su centroide a una distancia c =h/2 a partir de la cara superior. En la sección,

a

representa un área infinitamente pequeña a una distancia z del eje X-X. Si se multiplica esta área infinitesimal por el cuadrado de su distancia al eje, se obtiene la cantidad (a x z2). El área completa de la sección estará constituida por un número infinito de estas pequeñas áreas elementales a diferentes distancias por arriba y por debajo del eje X-X. Entonces, el

momento de inercia se define como la suma de los productos que se obtienen al multiplicar todas las áreas infinitamente pequeñas por el cuadrado de sus distancias a un eje. Figura 1

Y b a c

z

h

X

X

Y Los dos ejes principales de la figura son X-X

y Y-Y, pasan por el

centroide de la sección rectangular, con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la base es IX-X = bh3/12, con respecto al eje vertical, la expresión sería IY-Y = hb3/12. DEFLEXIONES ADMISIBLES Se llama flecha o deflexión a la deformación que acompaña a la flexión de una viga, vigueta o entablado. La flecha se presenta en algún grado en todas las vigas, y el ingeniero debe cuidar que la flecha no exceda ciertos límites establecidos.

Es importante entender que una viga puede ser

adecuada para soportar la carga impuesta sin exceder el esfuerzo flexionante admisible, pero al mismo tiempo la curvatura puede ser tan grande que aparezcan grietas en los cielos rasos suspendidos revestidos, que acumule agua en las depresiones de las azoteas, dificulte la colocación de paneles prefabricados, puertas o ventanas, o bien impida el buen funcionamiento de estos elementos. Las deflexiones deben calcularse para los siguientes casos: a.- Combinación más desfavorable de cargas permanentes y sobrecargas de servicio. b.- Sobrecargas de servicio actuando solas.

Se recomienda que para construcciones residenciales estas no excedan los límites indicados en la siguiente Tabla: (a) con cielo

(b) sin cielo

Carga Actuante

raso de yeso

raso de yeso

Cargas permanentes + sobrecargas

L/300

L/250

Sobrecarga

L/350

L/350

L es la luz entre caras de apoyos o la distancia de la cara del apoyo al extremo, en el caso de volados. Los valores indicados en la columna (a) deben ser utilizados cuando se tengan cielos rasos de yeso u otros acabados que pudieran ser afectados por las deformaciones: en otros casos deben utilizarse los valores de la columna (b). Aunque las consideraciones para definir la flecha pueden ser importantes, la determinación precisa de la flecha es un objetivo inalcanzable por las siguientes razones:  La determinación de las cargas siempre incluye algún grado de aproximación.  El módulo de elasticidad de cualquier pieza individual de madera siempre es un valor aproximado.  Existen diferentes restricciones en la deformación estructural debido a la distribución de cargas, resistencias en las uniones, rigidez debida a elementos no estructurales de la construcción, etc. Las deflexiones en vigas deben ser calculadas con el módulo de elasticidad Emin del grupo de la madera estructural especificado. Para entablados debe utilizarse el Epromedio, las deflexiones en viguetas y elementos similares pueden también determinarse con el E promedio, siempre y cuando se tengan por lo menos cuatro elementos similares, y sea posible una redistribución de la carga.

Los módulos de elasticidad para los tres grupos de maderas estructurales considerados se indican: GRUPO A

GRUPO B

GRUPO C

Emínimo

95,000

75,000

55,000

Epromedio

130,000

100,000

90,000

REQUISITOS DE RESISTENCIA Flexión.- El momento flexionante es una medida de la tendencia de las fuerzas externas que actúan sobre una viga, para deformarla. Ahora se considerará la acción dentro de la viga que resiste flexión y que se llama momento resistente. Para cualquier tipo de viga se puede calcular el momento flexionante máximo generado por la carga. Si se desea diseñar una viga para resistir esta carga, se debe seleccionar un miembro con una sección transversal de forma, área y material tales, que sea capaz de producir un momento resistente igual momento flexionante máximo; lo anterior se logra usando la fórmula de la flexión. Por lo común la fórmula de la flexión se escribe como:



My I

Donde el tamaño y la forma de la sección transversal están representados por la inercia (I) y el material del cual está hecha la viga está representado por σ, la distancia del plano neutro a cualquier fibra de la sección esta representa por “y”, el esfuerzo en la fibra más alejada del eje neutro se le llama esfuerzo de la fibra extrema (c).

VIGAS RECTANGULARES

b c=h2

Mc I My I EJE NEUTRO

y

c=h2

Sustituyendo los datos para una viga rectangular y para obtener el esfuerzo de la fibra extrema tendremos:

h Mc 2   I b  h3 12 M

σf 

6  M max b  h2

Los esfuerzos de compresión y de tensión producidos por flexión (σ), que actúan sobre la sección transversal de la viga, no deben exceder el esfuerzo admisible, fm, para el grupo de madera especificado. ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE EN FLEXION, fm(kg/cm2) GRUPO A

210

GRUPO B

150

GRUPO C

100

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si hay una acción de conjunto garantizada.

Corte.-

Como mencionamos en el capítulo anterior, se produce un

esfuerzo cortante cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario tienden a hacer resbalar, una sobre otra, las superficies contiguas de un miembro. En la figura 3.3a se representa una viga con una carga uniformemente distribuida. Existe una tendencia en la viga a fallar colapsándose entre apoyos, como se indica en la figura 3.3b. Éste es un ejemplo de cortante vertical. En la figura 3.3c se muestra, en forma exagerada, la flexión de una viga y la falla de partes de la viga por deslizamiento horizontal, este es un ejemplo de cortante horizontal. Las fallas por cortante en las vigas de madera se deben al esfuerzo cortante horizontal, no al vertical. Esto es verdad debido que la resistencia al esfuerzo cortante de la madera es mucho menor en el sentido paralelo a las fibras que en el transversal a éstas.

GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE

(a)

(b)

(c)

Los esfuerzos cortantes unitarios horizontales no están uniformemente distribuidos sobre la sección transversal de una viga. El esfuerzo de corte en una sección transversal de un elemento a una cierta distancia del plano neutro puede obtenerse mediante:



V S bI

En esta expresión se tiene: Τ = esfuerzo cortante unitario horizontal, en cualquier punto específico de la sección.

V = fuerza cortante vertical total en la sección elegida S = momento estático con respecto al eje neutro del área de la sección transversal. I = momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto a su eje neutro. b= ancho de la viga en el punto en el que se calcula τ. Para una viga de sección rectangular el máximo esfuerzo de corte resulta al sustituir: h  h b  h2  S  b   ; 2 4 8 



I

b  h3 12

V  S V  bh 2 / 8  I  b bh 3 / 12  b

τ

3 Q m ax  2 bh

GENERACION DEL ESFUERZO CORTANTE EN UNA VIGA 3 V 2 bh

b h 2

h 4

x h

Los esfuerzos cortantes, τ, no deben exceder el esfuerzo máximo admisible para corte paralelo a las fibras, fv, del grupo de madera estructura especificado.

ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE PARA CORTE GRUPO A

15

GRUPO B

12

GRUPO C

8

PARALELO A LAS FIBRAS, fv(kg/cm2)

Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si hay una acción de conjunto garantizada. EJEMPLO DE DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS q = 0.3 t/m

Pp A

B 6.5m

1072.5 k

1072.5 k

1072.5 k CORTANTES 3.25m

1072.5 k

Mmax

Mmax=1742.81 k.m.

MOMENTOS

RUNGE KUTTA DE CUARTO ONDEN Y PRINCIPIOS DEL METODO Método de Runge-Kutta para Ecuaciones Diferenciales Uno de los métodos más utilizados para resolver numéricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iníciales es el método de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeño margen de error con respecto a la solución real del problema y es fácilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias. El método de Runge-Kutta se utiliza

para resolver ecuaciones

diferenciales de la forma

Y es sumamente útil para casos en los que la solución no puede hallarse por los métodos convencionales (como separación de variables). Hay variaciones en el método de Runge-Kutta de cuarto orden pero el más utilizado es el método en el cual se elige un tamaño de paso h y un número máximo de iteraciones n tal que:

Y se realiza la iteración

Ejemplo: una viga de madera que tiene una longitud de 5m un modulo de elasticidad de 12800 N/mm2 y una sección transversal de 20cm de ancho por 30 de alto, con una carga distribuida de 3 N/m 2 cuanto es la deflexión máxima de la viga. Con las siguientes condiciones iníciales en . Tamaño de paso h = 0,57 Solución por Runge Kutta de Cuarto Orden

B

A Y b a c

z

h

X

X

Y

Rectangular

b

h

20

30

Carga en N

Long en mts.

RA

RB

E en N/m2

I en mts

3

5

7,5

7,5

12800000000

0,00045

f(k1)

f(k2)

f(k3)

f(k4)

f(k5)

f(k6)

0

0,1425

0,1425

0,285

0,4275

0,57

K1

K2

K3

K4

K5

K6

0

-3,8594E-07

-3,8594E-07

-7,6823E-07

-1,1434E-06

-1,5083E-06

f(x)

-4,3521E-07

TABLA GENERAL OBTENIDA POR LA FORMULA GENERAL DE FORMA DIRECTA Deflexiones

Cortante

Momento

X

Y

Y

Y

0

0

7,5

0

0,5

-1,3306E-06

6

3,375

1

-2,5174E-06

4,5

6

1,5

-3,4465E-06

3

7,875

2

-4,0365E-06

1,5

9

2,5

-4,2386E-06

0

9,375

3

-4,0365E-06

-1,5

9

3,5

-3,4465E-06

-3

7,875

4

-2,5174E-06

-4,5

6

4,5

-1,3306E-06

-6

3,375

5

0

-7,5

0

GRAFICAS

Deflexiones de la Viga Deflexiones 0 0 0

1

2

3

0 5

4

6

-0,0000005 -0,000001 D e f l e x i o n e s

-1,33057E-06

-1,33057E-06

-0,0000015 -0,000002 -0,0000025

-2,51736E-06

-2,51736E-06

-0,000003 -0,0000035 -0,000004

-3,44645E-06

-3,44645E-06

-4,03646E-06 -4,03646E-06 -4,23855E-06

-0,0000045 Longitud de la Viga

ANALISIS DE LAS GRAFICAS Después de haber programado el método de Runge Kutta de cuarto orden y con la representación grafica de los resultados, hemos podido concluir que las deflexiones serán más cercanos a los reales en la medida que se aumente el tamaño del paso h, esto nos indica que en la medida en que aumentemos el valor de h el resultado será más próximo al obtenido por doble integración y otros métodos conocidos en el análisis de estructuras. EJEMPLO: Cuando en el diagrama de cortante de una viga es cero esto nos indica que en diagrama de cortante en esa misma distancia el momento es un máximo o un mínimo. Para nuestro caso en la tabla general cuando L es igual a 2,5 m el momento es máximo (M = 9,375 Nm) y la deflexión en este punto también es la máxima ( -4,23855255E-06 m) que se puede obtener en la viga de madera, el resultado que se obtiene por medio de Runge Kutta para la deflexión es de ( -4,3522E-07), pero esto se debe al que el tamaño del paso no satisface el método para una mayor precisión.

CONCLUCIONES

El método de Runge Kutta de cuarto orden con el cual se puede resolver EDO es similar a la regla de Simpson 1/3. Además el método de RK de Cuarto orden tiene similitud con el procedimiento de Heun en cuanto a que se usan múltiples estimaciones para obtener un mejor resultado en el intervalo estudiado donde cada una de las K representa una posible solución, entonces lo que se hace es realizar un promedio de éstas. Los resultados que obtienen por medio de RK de cuarto orden su precisión dependen del tamaño de paso que se utiliza para el análisis de los datos estudiados, y que aunque es un método donde se utilizan varias estimaciones se pueden obtener valores bastante exactos.

BIBLIOGRAFIAS  http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Runge_kutta4.htm  BURDEN, Richard. Análisis Numérico. 2a edición. Grupo Editorial Iberoamérica.