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• cristopher chuman

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1. El desplazamiento transversal 𝒖(𝒙, 𝒕) de una viga vibratoria de longitud L está determinado por una ecuación diferencial parcial de cuarto orden: 𝜕 4𝑢 𝜕 2𝑢 𝑎 + = 0, 𝜕𝑥 4 𝜕𝑡 2 2

0 < 𝑥 < 𝐿,

𝑡>0

Si la viga esta simplemente apoyada, las condiciones de frontera (CF) y condiciones iniciales (CI) son: 𝑢(0, 𝑡) = 0,

𝑢(𝐿, 𝑡) = 0,

𝜕 2𝑢 = 0, 𝜕𝑥 2 𝑥=0

𝜕 2𝑢 = 0, 𝜕𝑥 2 𝑥=𝐿

𝑢(0, 𝑡) = 𝑓(𝑥),

𝜕𝑢 = 𝑔(𝑥), 𝜕𝑡 𝑡=0

𝑡>0 𝑡>0

0 4, la solución general de la ecuación diferencial es 𝑦 = 𝑐1 𝑒

−𝑥 2 cos √4𝜆

− 1𝑥 + 𝑐2 𝑒

−𝑥 2

sen √4𝜆 − 1𝑥

La condición 𝑦(0) = 0 implica 𝑐1 = 0 −𝑥

así que 𝑦 = 𝑐2 𝑒 2 sen √4𝜆 − 1𝑥 de 𝑦(2) = 𝑐2 𝑒

−𝑥 2

sen 2√4𝜆 − 1 = 0

vemos que los valores propios son determinados por 2√4𝜆 − 1 = 𝜋𝑛 para 𝑛 = 1, 2, 3, … Por lo tanto, los valores propios son −𝑥

funciones propias 𝑒 2 sen

𝜋𝑛 2

𝑛2 𝜋 2 42

1

+ 4 para 𝑛 = 1, 2, 3, …, con sus correspondientes

𝑥.

b. La forma de auto adjunto es 𝑑 𝑥 ′ [𝑒 𝑦 ] + 𝜆𝑒 𝑥 𝑦 = 0 𝑑𝑥 c. una relación de ortogonalidad es 2

∫ 𝑒 𝑥 (𝑒 0

−𝑥 2

sen

2 −𝑥 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑥) (𝑒 2 cos 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (sen 𝑥) (cos 𝑥) 𝑑𝑥 = 0 2 2 2 2 0