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GRUPOS DE ESTUDIO

LIBRO Nº3

Matemática / Libro 3 GRUPOS DE ESTUDIO

ÁLGEBRA Y FUNCIONES II Nombre Curso Profesor

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

LIBRO 3: ALGEBRA Y FUNCIONES II

CONTENIDOS -

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

-

PLANTEAMIENTOS

-

ECUACIÓN DE LA RECTA

-

SISTEMA DE ECUACIONES

-

INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

-

EJERCICIOS ADICIONALES

-

RESPUESTAS EJERCICIOS ADICIONALES

Página 2

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Una ecuación de primer grado o lineal, es aquella que es susceptible de llevar a la forma ax + b = 0, donde a y b son números reales y x es la incógnita. OBSERVACIÓN 

Las ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo conjunto solución.

EJEMPLOS

1.

¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de primer grado? I) II) III)

1 =5 x -

1 2

=4 x x + x-2 = 0

2.

Encuentre el valor de x en la ecuación 4x – 12 = 0

3.

Encuentre el valor de x en la ecuación x2 + 2x = (x + 2)2

4.

La raíz o solución de la ecuación 8x + 15 = 30 es

Página 3

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

5.

Si 6 – 2x = 14, entonces

6.

En la ecuación 5x + 2k -14 = 0, ¿cuál debe ser el valor de k para que la solución sea x = -2?

7.

¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) equivalente(s) a 2x = 6? I) II) III)

8.

7 – x es igual a

3x – 2 = 7 2 – x = -1 3x = 9

El conjunto solución de la ecuación 6(2 – x) + 10 = 8(1 + x) es

RESPUESTAS: 1. Solo I Página 4

2. 3

3. -2

4.

15 8

5. 11

6. 12

7. I, II y III

8. {1}

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ECUACIÓN CON COEFICIENTES LITERALES Es una ecuación que además de la incógnita tiene otras letras que representan valores constantes.

EJEMPLOS 1.

Si px + q = 5 - q, con p  0 y q  0, entonces x es igual a

2.

Si 2x – 5 = -wx, con w  -2, entonces x es igual a

3.

Si ax – 2 = bx – 4, con a  b , entonces x es igual a

4.

Si p(x – b) = b(x – p), con p  b , entonces x es igual a

5.

El valor de b en la ecuación 5(x – b) = bx + a, con x > -5 es

Página 5

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

6.

Para que el valor de x sea cero en la ecuación 2x + 3m = 6, entonces m es igual a

7.

En la ecuación 6m + 9 + 9x = xm2 – m2, con m > 3, entonces x =

8.

Si B(A + C) = T(A + C), entonces C =

RESPUESTAS: 1.

5  2q p

Página 6

2.

5 2+w

3.

2 ba

4. 0

5.

5x  a x+5

6. 2

7.

m+3 m3

8. -A

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ECUACIONES FRACCIONARIAS Una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos o todos tienen denominadores no nulos y distintos de uno. Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:

     

Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen. Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis. Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad. Colocar los términos en x en un miembro y los numéricos en otro. Resolver la ecuación equivalente de primer grado obtenida. Comprobar el resultado con la ecuación dada.

EJEMPLOS

1.

¿Cuál es el valor de x en la ecuación

5  2x = x? 3

2.

¿Cuál es el valor de x en la ecuación

7 + 2x = 1? x+3

3.

Si

4.

¿Cuál es el valor de x en la ecuación

3x + 3x = 9, entonces x – 1 es igual a 5

Página 7

6 x 4 + = ? x  2 2  x x  2

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5.

¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación

6.

Dada la ecuación

1 1 1 + = , con a  b  c  0, entonces ¿cuál(es) de las siguientes a b c ecuaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) II) III)

7.

-4  x + 1 = 0? x+4

bc b  c ac b= a  c ab c= a  b a=

¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 5(x + 1) + 2x = x + 2?

RESPUESTAS:

1. 1

Página 8

2. -4

3.

3 2

4.



5. lR – {4}

6. Solo I y II

7. -

1 2

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ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO El número de soluciones de la ecuación ax + b = 0 pueden dar tres casos:

depende de los valores de a y b. Se

Caso 1: Si a  0 la ecuación tiene SOLUCIÓN ÚNICA. Caso 2: Si a = 0 y b = 0 la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES. Caso 3: Si a = 0 y b  0 la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN. EJEMPLOS 1.

¿Qué valor(es) debe tener p para

que la ecuación en x,

7 x x – px = 3 – tenga 2 2

solución única?

2.

¿Qué condición debe cumplir el parámetro mx + m = 2x + 2, tenga infinitas soluciones?

3.

¿Qué condición debe cumplir el parámetro p para que la ecuación en x, px – 1 = 4x + p, no tenga solución?

4.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)

Página 9

m

para

que

la

La ecuación, 2x + 1 = 3x + 2, tiene solución única. La ecuación, 4x + 5 = (x + 2) + (3x + 2) no tiene solución. La ecuación, 2x + 2 = 2(x + 1) tiene infinitas soluciones.

ecuación

en

x,

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5.

Dada la ecuación (a - 1) · x + b = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III)

Si a = 1, la ecuación tiene infinitas soluciones. Si a  1, la ecuación tiene solución única. Si b = 0, la ecuación no tiene solución.

2  x = p , NO tiene solución x+4

6.

Para que valor de p, la ecuación

7.

En la ecuación qx + 3 = 2a, ¿qué condición debe cumplir q para que la ecuación en x, tenga solución única?

RESPUESTAS: 1. p  4

2. m = 2

Página 10

3. p = 4

4. I, II y III

5. Solo II

6. -1

7.

q0

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ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO ax + b = c Con a, b, c coeficientes reales, a  0. Si c  0, se resuelve por medio de la definición de valor absoluto. Es decir: ax + b = c  ax + b = -c OBSERVACIONES:

 

Si c < 0, la ecuación no tiene solución. x2 = x

EJEMPLOS 1.

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación 2x + 5 = 1?

2.

¿Cuál es el conjunto solución para la ecuación 2x – 4 = 6?

3.

Las raíces o soluciones de la ecuación

4.

Si x > 0, la raíz de la ecuación x – 3 + 5 = 0 es (son)

Página 11

2  x 4

= 5 son

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5.

|5x – 1| – 4 = 0, entonces el conjunto solución de la ecuación es

6.

El conjunto solución de la ecuación

7.

¿Cuáles son las soluciones de la ecuación

2x  5 + 6 2

= 3 es

(x  2)2 = 5?

RESPUESTAS: 1. {-3, -2} 2.

Página 12

{-1, 5}

3. {-18, 22}

4. No tiene solución

 3  5. - , 1  5 

5  6.   2 

7. {-3, 7}

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PLANTEAMIENTOS En los problemas de planteamientos aparecen expresiones o vocablos que debemos traducir a lenguaje matemático. EJEMPLOS

1.

Traducir las siguientes expresiones a lenguaje matemático: a) El doble de x

...........................

b) El cuadrado de x

...........................

c)

El triple de x

...........................

d) El cubo de x

...........................

e) El cuádruplo de x

...........................

f)

...........................

La cuarta potencia de x

g) El quíntuplo de x

...........................

h) La quinta potencia de x

...........................

i)

La diferencia entre a y b, respectivamente

...........................

j)

La diferencia entre b y a, respectivamente

...........................

k) El exceso de a sobre b

...........................

l)

...........................

La semisuma de a y b

m) x aumentado en a unidades

...........................

n) x disminuido en a unidades

...........................

o) x es a unidades mayor que y

...........................

p) x es a unidades menor que y

...........................

q) El producto de a y b

...........................

r)

x veces a

...........................

s)

El cuociente entre a y b

...........................

2.

El sucesor del sucesor de 2n es

3.

El enunciado: “el producto de 10 y la décima potencia de 2”, se expresa por

Página 13

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4.

El cuociente entre la suma de a y b y su producto es

5.

El enunciado: “x veces y, elevado al promedio de x e y”, se expresa por

6.

El enunciado: “El exceso de x sobre y, aumentado en 10 veces x”, se expresa por

7.

El enunciado: “la semisuma del cubo de a y el cuadrado de b es igual al exceso de c sobre d” se expresa por

RESPUESTAS: 1. a. b. c. d.

2x x2 3x x3

h. i. j. k.

e. 4x

l.

f. x4 g. 5x

m. n.

x5 a–b b–a a–b a+b 2 x+a x–a

4. a + b ab

Página 14

o. p. q. r.

x x a x

s.

a b

–a=y o x=y+a +a=y o x=y–a ·b ·a

5. (xy)

xy 2

2. 2n + 2

6. x – y + 10x

3. 10 · 210

7.

a3 + b2 =c  d 2

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ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO Existen diversos tipos de problemas de planteamientos, sin embargo en todos ellos es conveniente: 

Leer total y cuidadosamente el problema, antes de empezar a resolver.



Hacer un listado de incógnitas y datos.



Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere.



Plantear y resolver la(s) ecuación(es) si el caso lo requiere.



Leer la pregunta del problema



Comprobar la(s) solución(es).

EJEMPLOS 1.

El exceso del cuádruplo de tres sobre dos es igual a

2.

Si al triple del sucesor de n se le resta el antecesor del antecesor de n y al resultado se le agrega el cuádruplo de n, resulta

3.

El número cuyo quíntuplo excede a 21 en lo mismo que 42 excede al doble del número, es

4.

A Mariana en su cumpleaños le regalaron x peluches, coleccionando un total de 36. Si el quíntuplo de los que le regalaron equivale a los que tenía, ¿cuántos peluches tenía Mariana antes de su cumpleaños?

Página 15

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5.

Una tabla se divide en dos partes, de tal forma que el trozo mayor corresponde a dos veces la parte menor, más cinco unidades. Si la tabla mide 50 cm, ¿a cuánto es igual la diferencia entre el trozo mayor y el menor, respectivamente?

6.

Juan invita al cine a cuatro amigos aprovechando la promoción “tres entradas por el precio de dos”. Si la entrada tiene un costo de dos mil pesos por persona y uno de sus amigos aporta dos mil pesos, entonces el ahorro que obtiene Juan con esta promoción es

7.

La distancia del colegio a la casa de Mario es de 7.000 metros y parte de este trayecto lo recorre en transporte público y el resto caminando. El recorrido en transporte público excede en 2.000 metros al cuádruplo de lo que recorre a pie. Entonces, ¿cuántos metros recorre a pie?

RESPUESTAS: 1. 10

2. 6n + 5

Página 16

3. 9

4. 30 peluches

5. 20 cm

6. $2.000

7. 1.000 m

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PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un a a número. La fracción de un número x se calcula multiplicando por x. b b EJEMPLOS

1.

En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. ¿Cuántos alumnos leen?

2.

Si Emilio gana $ B y gasta las dos quintas partes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa lo que le queda a Emilio, en pesos?

3.

Julio compra un televisor a crédito en $ 3A, pagando un cuarto al contado y el resto en nueve cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

4.

En un curso de 30 alumnos, el número de niñas es el doble del número de niños, más 3. Entonces, ¿qué fracción del total es el número de niños?

Página 17

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5.

Los nueve décimos de x disminuyen en su tercera parte resultando 6, entonces x es igual a

6.

Antes de navidad el valor de un artículo era de $ 6.000, luego fue aumentado en su décima parte y después de esta fiesta, es disminuido en su cuarta parte. Entonces, el valor final del artículo es

7.

Los cinco tercios de un número exceden en dieciocho unidades a la sexta parte del mismo número, entonces los dos tercios del número corresponden a

8.

Los cinco medios de un número es menor en seis unidades a los tres medios del mismo número, entonces el número es

RESPUESTAS: 1. 12

2. B –

Página 18

2 B 5

3. $

A 4

4.

3 10

5. 10

6. $ 4.950

7. 8

8. -6

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PROBLEMAS DE DÍGITOS Un número está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima...) abc,de = a · 102 + b · 101 + c · 100 + d · 10-1 + e · 10-2 Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde en el sistema decimal un número de la forma xyz queda representado por x  102 + y · 101 + z  100

EJEMPLOS 1.

El número 345 escrito en notación ampliada

2.

2 · 103 + 5 · 102 + 4 · 100 =

3.

La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 8. Si el dígito de las unidades es a, entonces el sucesor del número es

4.

El desarrollo de 324,65 en notación decimal posicional es

Página 19

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5.

Si M es un número de tres cifras distintas en el cual el dígito de las decenas es p, el dígito de las unidades es q y el de las centenas es r, entonces el doble de M es

6.

La suma de los dígitos de un número natural de dos cifras es 12. Si las cifras se invierten resulta un número que excede en 18 al número original, entonces el número es

7.

Un número de dos cifras excede en cuatro unidades al triple de la suma de sus dígitos. Si la suma de sus cifras es siete, entonces el producto de sus cifras es

8.

Un número de dos cifras excede en veinticinco unidades al quíntuplo de la suma de sus dígitos. Si la suma de sus cifras es catorce, entonces el número es

RESPUESTAS: 1. 3 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100 5. 200r + 20p + 2q Página 20

2. 2.504

3. 81 – 9a

6. 57

7. 10

4. 3 · 102 + 2 · 101 + 4 · 100 + 6 · 10-1 + 5 · 10-2 8. 95

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PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de las personas con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda: Edad pasada (hace b años)

Edad actual

Edad futura (dentro de c años)

x–b y–b

x y

x+c y+c

EJEMPLOS 1.

Si la edad de una persona es 36 años, ¿cuántos años tenía hace y años?

2.

La edad de una persona es x años. ¿Qué edad tendrá en y años más?

3.

La edad que tendré en 15 años más será el doble de la que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tengo actualmente?

4.

El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de 6 años. ¿Qué edad tendré en dos años más?

Página 21

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5.

Rodrigo tiene tantos años como los de Mario menos tres años. Si el cuadrado de la suma de sus edades es 100, entonces la ecuación para determinar la edad de Mario (M) es

6.

Juan tenía hace 7 años el doble de la edad que tendrá Anita en 7 años más. Si la edad de Juan es el triple de la edad de Anita, ¿qué edad tiene Juan?

7.

Carla tiene quince años más que Pedro. Hace cinco años la edad de Carla era dos veces la edad que tenía Pedro. ¿Qué edad tendrá Carla en cinco años más?

8.

La suma de las edades entre Mario y Juan es de 85 años. La edad de Mario en cinco años más será el doble de la edad actual de Juan. ¿Qué edad tiene actualmente Mario?

RESPUESTAS: 1. 36 – y 2. x + y 3. 35 años 4. 20 años 5. (M + M – 3)2 = 100 6. 63 años 7. 40 años 8. 55 años Página 22

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PROBLEMAS DE TRABAJOS Si un trabajador (o máquina) puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo b, la ecuación que permite calcular el tiempo x que demoran en hacer el trabajo en conjunto es 1 1 1 = + x a b OBSERVACIÓN:

La ecuación se puede generalizar para n trabajadores (o máquinas).

EJEMPLOS 1.

Una máquina realiza un trabajo en 2 horas y otra máquina realiza el mismo trabajo en 3 horas. ¿Cuánto se demoran las dos máquinas trabajando simultáneamente en realizar dicho trabajo?

2.

Una llave puede llenar una piscina vacía en seis horas y otra llave la llena en dos horas menos que la primera. Si se abren las dos llaves simultáneamente, ¿cuánto se demoran en llenar la piscina vacía?

3.

Una llave A llena un estanque vacío en 2 horas, en cambio una llave B lo llena en 6 horas y un desagüe C lo deja vacío en 3 horas. ¿En qué tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren ambas llaves y el desagüe simultáneamente?

4.

Rodrigo puede realizar una tarea en 15 días, mientras que Nelson la puede hacer en el triple de los días que emplearían si trabajaran los dos juntos. ¿En cuántos días realizaría la tarea Nelson si trabajara solo?

RESPUESTAS: 1. 1 hora 12 minutos

Página 23

2. 2 horas 24 minutos

3. 3 horas

4. 30 días

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PROBLEMAS DE MÓVILES Para este tipo de problemas, debemos tener presente la fórmula: Donde

s = vt

s = recorrido v = rapidez t = tiempo

EJEMPLOS 1.

Un ciclista sale de Santiago y otro de Temuco, distantes 720 km, uno hacia el otro. El km km primero viaja a 40 y el segundo a 30 . Si ambos parten a las 7 am, ¿qué h h distancia los separa a las 10:00 am, de ese mismo día?

2.

Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto, y en la misma dirección y sentido. Uno viaja con una rapidez de 60

km km , y el otro viaja a 100 . Transcurridas h h

4 horas, ¿cuál será la distancia que los separa?

3.

Dos automóviles parten desde la Plaza de Armas a la misma hora en sentidos opuestos. km La rapidez de uno de ellos es 10 menor que la del otro. Al cabo de 3 horas se h encuentran a 510 km de distancia, ¿cuál es la rapidez del automóvil más lento?

RESPUESTAS: 1. 510 km

Página 24

2. 160 km

3. 80

km h

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PROBLEMAS DE MEZCLAS Para este tipo de problemas podemos considerar el siguiente planteamiento general: Si n objetos, que valen c, se componen de x objetos que valen a cada uno, y n – x objetos que valen b cada uno, la ecuación que permite encontrar x es: ax + b(n – x) = c.

EJEMPLOS 1.

De 1.200 personas que asistieron al circo, la mitad eran niños, un cuarto eran de la tercera edad y el resto eran adultos menores de 65 años. Si las entradas de niños costaban $ 1.000, las de la tercera edad $ 500, ¿cuánto pagó cada adulto menor de 65 años, si lo recaudado fue de $ 1.350.000?

2.

En una alcancía hay un total de 400 monedas de $ 100 y $ 500. Si en total hay $ 160.000, entre ambas monedas, ¿cuál es el número de monedas de $ 100?

3.

Un pastelero mezcla dos tipos de chocolates, uno con 30% de cacao y otro con 70%. ¿Cuántos gramos de chocolate al 70% de cacao se necesitan para obtener una mezcla total de 1.000 gramos con 60% de cacao?

RESPUESTAS: 1. $ 2.000 Página 25

2. 100

3. 750

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

ECUACIÓN DE LA RECTA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x 1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión: y dAB =

(x2  x1 )2 + (y2  y1)2

B

y2

y2  y1 A

y1

x2  x1

0

x1

x2

x

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son xm

x + x2 = 1 , 2

ym

y + y2 = 1 2

y B

y2 M

ym y1 0

A x1

xm

x2

x

EJEMPLOS 1.

La distancia entre los puntos A = (2, 3) y B = (5, 6) es

2.

El punto medio del trazo cuyos extremos son los puntos A = (-3, 6) y B = (2, 5) es

Página 26

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

3.

¿Cuánto mide el radio de una puntos A(-1, -5) y B (-7, 3)?

circunferencia de diámetro AB determinado por los

4.

En la circunferencia del ejercicio 3, ¿cuáles son las coordenadas del centro?

5.

Si los puntos A(-7, -1), B(-4, 4), C(1, 4) y D(2, -1) son los vértices de un trapecio, entonces el área del trapecio es

6.

La intersección de las diagonales del cuadrado formado por los vértices que están en los puntos (4, 5), (-3, 5), (-3, -2) y (4, -2) es el punto de coordenadas

RESPUESTAS: 1. 3 2 Página 27

2.

 1 11  - ,   2 2 

3.

5

4. (-4, -1)

5. 35 u2

1 3 6.  ,  2 2

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta) y B L y2 y2 – y1 y  y1 BP A  m = tg  = = 2 y1 P PA x2  x1  x1

x2

x

x2 – x1 RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA

Sea  el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: 

( = 0º) si y sólo si (m = 0)



(0º    90º) si y sólo si (m  0)

y

y L L

0



x

L es paralela al eje x 

x

0

( = 90º) si y sólo si (m no está definida) y L

L tiene pendiente positiva 

(90º    180º) si y sólo si m  0) y L

 0



x

0

L es paralela al eje y

L tiene pendiente negativa

EJEMPLOS 1.

La pendiente de la recta pasa por los puntos A(3, 1)

Página 28

x

y

B(-6, 8) es

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

2.

Si los puntos A(2, 3),

B(3, -2) y C(a, 8) son colineales, entonces a =

3.

Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuánto debe ser el valor de k para que el producto de las pendientes de AB y CD sea -1?

4.

Grafique una recta de pendiente positiva

5.

Grafique una recta de pendiente -7

RESPUESTAS: y

7 1. 9

Página 29

y 7k

2. 1

3. 9

4.

x

5.

k

x

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Ax + By + C =0 ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA

y = mx + n

A, B y C son Reales Si A = 0  B  0 Si B = 0  A  0 m = pendiente, m =

-A B

n = coeficiente de posición ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO A (x1, y1) Y TIENE PENDIENTE DADA m

(y – y1) = m(x – x1) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS A(x1, y1) y B(x2, y2)

(y – y1) =

y2  y1 x2  x1

(x – x1)

ECUACIÓN DE SEGMENTOS O CANÓNICA

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes. x y + =1 a b

a ≠0 y b≠0 (a, 0) es el punto del eje X (0, b) es el punto del eje Y

EJEMPLOS 1.

La ecuación general de la recta que pasa por el punto (4, -3) y tiene pendiente -

2.

 1 La ecuación principal de la recta que pasa por los puntos 1,  y  2

Página 30

2 es 3

-3    - 2, 2  es  

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

3.

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) y tiene pendiente 0?

4.

¿Cuál es la ecuación de la recta que representa el gráfico de la figura adjunta? y 5

-6

x

5.

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente 2?

6.

¿Qué valor debe tener k para que la recta (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 pase por el punto (2, 1)?

RESPUESTAS: 1. 2x + 3y + 1 = 0

Página 31

2. y =

2 1 x– 3 6

3. y = 3

4. 5x – 6y = -30 5. 2x - y = 0

6.

1 2

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RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales o ambas tienen pendientes que se indeterminan. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces: Si m1 y m2 pertenecen a los reales, entonces L1 // L2 si y sólo si m1 = m2

L2

y

L1



0



x

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 ó cuando en una de las rectas la pendiente es cero y en la otra la pendiente se indetermina. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces: L1

y

L2

Si m1 y m2 pertenecen a los reales, entonces L1  L2 si y sólo si m1 · m2 = -1

0

x

EJEMPLOS 1.

¿Cuál es el valor de la pendiente de una recta paralela a la recta de ecuación 3x – 2y = 6?

2.

¿Cuál es el valor de la pendiente de una recta perpendicular a la recta de ecuación x – 3y = 4?

Página 32

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

3.

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -1) y es paralela a la recta 2y – x + 8 = 0?

4.

Si la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (-2, 3) es paralela a la recta que pasa por el punto (4, 0), entonces la intersección de la nueva recta con el eje de las ordenadas es

5.

¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 y 3x – 5y = 6 sean perpendiculares?

6.

Si una recta tiene ecuación 3x + 2y = -1, ¿cuál es la ecuación de una recta perpendicular a ella y que pasa por el punto (3, -2)?

RESPUESTAS: 1.

3 2

Página 33

2. -3

3. x – 2y - 6 = 0

4. (0, 6)

5.

6 5

6. 2x – 3y = 12

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SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F 

donde A, B, C, D, E y F son números reales.

Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones.

OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados. 

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades: I)

Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (fig. 1).

II) III)

Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (fig. 2). Las dos rectas son paralelas (no se intersectan),

por lo tanto no hay

solución (fig. 3).

L1

y

y

fig. 1 L2

fig. 2

L1 a

L1  L2 = (a, b)

fig. 3

L1 = L2

b

Página 34

y

x

x L1  L2 = L 1 = L2

L2 x

L1  L2 =  (vacío)

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EJEMPLOS 2x + y = 10

1.

La solución del sistema

2.

Para que el par ordenado (1, 2) sea solución del sistema

x  y=2

es el par ordenado

ax + y = 4 x + by = 7

, los valores de a y b

deben ser, respectivamente,

3.

Represente la intersección de las rectas 3x + y = 4 con y + x = 0

4.

La figura adjunta, es la solución gráfica del sistema y 3

2

-3 -2

Página 35

x

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

5.

Para el sistema de ecuación

3x + 5y = 11 6x + 10y = 22

, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones con

respecto a las rectas que lo forman es (son) verdadera(s)? I) II) III)

6.

Se cortan en el origen. Son coincidentes. Son paralelas no coincidentes.

En el sistema de ecuación

3x + 2y = 13 2x  y = 11

, ¿en qué cuadrante se intersectan las rectas?

RESPUESTAS:

y 4

1. (4, 2)

2. 2 y 3

2

3. -4

2

-2 -2 -4

Página 36

4. -x + y = -2

4 3

-x + y = 3

4

x

5. Solo II

6. Cuarto cuadrante

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RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos: sustitución, igualación y reducción. 

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.



MÉTODO DE IGUALACIÓN: Se debe despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita.



MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

EJEMPLOS 1.

Sea el sistema

2.

En el sistema

3.

En el sistema

Página 37

y = 3x  7 2x  5y = -4

x = 2y  1 x = 14  3y

x + 4y = 23 3x  4y = 5

. El valor de x es

, el valor de y es

, el valor de y es

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

4.

Dado el sistema

x  3y = 2 6x + 5y = -34

, entonces el valor de x + y es igual a

A) 6 B) 4 C) 2 D) -2 E) -6 0,3x + 0,2y = -0,9

5.

Dado el sistema

6.

Al resolver el sistema

7.

2 2 Si x  y = 9 , entonces el valor de x – y es x+y=9

0,2x  0,3y = -0,6

x + 4y = 2 2x + 3y = 6

, el valor de x es

, el valor de x – y es

RESPUESTAS: 1. 3

2. 3

Página 38

3. 4

4. -6

5. -3

6. 4

7. 1

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ANÁLISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Dado

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

I) II) III)

, entonces:

El sistema tiene solución única, sí

a1 b  1. a2 b2

El sistema tiene infinitas soluciones, sí El sistema no tiene solución, sí

a1 b c = 1 = 1. a2 b2 c2

a1 b c = 1  1. a2 b2 c2

EJEMPLOS Dados los siguientes sistemas de ecuaciones

I)

IV)

2x  3y = 4 6x  9y = 12

6x  11y = 9 5x + 8y = 7

¿Cuál(es) de los sistemas tiene(n) 1.

solución única?

2.

no tiene(n) solución?

3.

infinitas soluciones?

Página 39

II)

V)

3x + 4y = 5 3x + 4y = 6

2x  14y = 10 x  7y = 8

III)

VI)

5x  6y = 4 5x + 8y = 4

4x  9y = 2 8x  18y = 4

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

4.

En el sistema

2x + ky = -5 4x + y = -15

, ¿qué condición debe cumplir k para que tenga solución

única?

5.

¿Para qué valores de a y b, el sistema

6.

¿Para qué valor de k el sistema

ax + 6y = 2 6x + by = 3

5x  ky = 2 3x + 2y = 3

tendrá infinitas soluciones?

no tiene solución?

RESPUESTAS: 1. III y IV Página 40

2. II y V

3. I y VI

4. k 

1 2

5. a = 4; b = 9

6. -

10 3

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APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistemas de ecuaciones lineales tienen aplicación en problemas de planteo. Si el enunciado implica dos incógnitas, dicho problema podrá ser resuelto mediante un sistema de ecuaciones. Cómo por ejemplo: problemas de edades, de cifras o dígitos, etc. EJEMPLOS 1.

El enunciado: “Un cuarto de la suma de dos números es 81 y un tercio de su diferencia es 54”, está representado por

2.

Un carpintero produce bancos y sillas, en una semana fabrica 33 piezas entre bancos y sillas. Si se vende los bancos a $ 5.000 y las sillas a $ 2.500, recibe $ 120.000, ¿cuál es el sistema que permite determinar el número de bancos (x) y de sillas (y)?

3.

Un niño con $ 410 compra 34 dulces: unos de $ 10 y otros de $ 15. ¿Cuántos dulces de $ 10 compró?

Página 41

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

4.

La suma de dos números, x e y, es 1 y su diferencia es 10, ¿cuál es el valor de cada uno de ellos?

5.

Si el producto de dos números es 240 y la suma de sus valores recíprocos es

5 , 40

entonces la suma de ellos es

RESPUESTAS: x+y = 81 4 1. x  y = 54 3

Página 42

2.

x + y = 33 5.000x + 2.500y = 120.000

3. 20

4. x =

9 11 ;y=2 2

5. 30

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INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Una relación entre números o letras en que se usan los signos ,  o  se llama desigualdad. Cuando una desigualdad presenta una incógnita se denomina inecuación y su valor de verdad (verdadero o falso) dependerá del valor que se le asigna a la incógnita. Para resolver inecuaciones es necesario conocer las propiedades de las desigualdades. PROPIEDAD 1

Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c

PROPIEDAD 2

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc PROPIEDAD 3

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c < 0, entonces ac > bc PROPIEDAD 4

Si de los miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambos negativos, se consideran sus recíprocos la desigualdad cambia Si 0 < a < b o a < b < 0, entonces

1 a

>

1 b

EJEMPLOS 1.

Si a, b y c son números reales, con b > c > a desigualdades es verdadera? A) B) C) D) E)

2.

y c  0, ¿cuál de las siguientes

b–a < c–a a+c > c+b b – 10 < a – 10 a – 10 > a – c – (10 – c) c–b > a–b

Si 0 < a < 1, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) B) C) D) E)

a2 < 0 a3 > a 2 0 > -a2 -a3 – a2 > 0 a(a + 1) < 0

RESPUESTAS: 1. E 2. C Página 43

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

INTERVALOS EN lR Se llama intervalo en lR al conjunto de números reales que cumple con la desigualdad dada.

Intervalo cerrado desde a hasta b

[a , b] = {x  lR / a  x  b}

Intervalo abierto entre ayb

]a , b[ = {x  lR / a < x < b}

]a , b] = {x  lR / a < x  b} Intervalo semiabierto o semicerrado [a , b[ = {x  lR / a  x < b}

a

b

lR

a

b

lR

a

b

lR

a

b

lR

EJEMPLOS 1.

La gráfica

2.

La representación gráfica del conjunto solución de la inecuación, que cumple con x  8 y x > 3 es

-1

2

lR, representa el conjunto solución de

RESPUESTAS: 1. {x  lR / -1 < x  2}

Página 44

2.

3

8

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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b  0, ax + b  0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, con a  0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cuál se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica. Al despejar la incógnita en una inecuación lineal, se llega a una de las siguientes situaciones: Inecuación

Conjunto Solución

Representación Gráfica

x


-b a

 -b  S =  , +   a 

x

-b a

 -b  S =  , +  a 

-b a

-b a

EJEMPLOS 1.

La inecuación 3x + 11 > -1 tiene como conjunto solución

2.

La inecuación 3(x – 1) > 2(x + 2) tiene como conjunto solución

Página 45

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

3.

La inecuación 3x + 1 ≥ 2(x – 1) – (2 – x), tiene como conjunto solución

4.

La solución de la inecuación 4x – 1 ≥ 2(x – 1) es

5.

El intervalo que es conjunto solución de la inecuación

6.

¿Cuál es el menor número entero que es solución de la inecuación

3  x 5  x  es 2 3

1  x 2  x  ? 4 7

RESPUESTAS: 1. {x  lR / x > -4}

2. {x  lR / x > 7}

3. lR

 1 4. x  lR/ x  -  2 

5. [-1, +[

6. 0

Página 46

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada inecuación. Es decir si, S1, S2,..., Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces: S = S1  S2  S3  ...  Sn

EJEMPLOS 1.

El conjunto solución del sistema

2.

Al resolver el sistema

3.

La solución del sistema

1  2x < -11 8x  12 > 2x

2x  2 > x + 1 3x  10 + x

, el intervalo solución es

2(x + 3) < 6 + x

Página 47

representado como intervalo es

2x + 1 3x + 2 es > 2 4

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

4.

La solución gráfica del sistema de inecuaciones

2x  3  1 7  3x > -8

es

1  3 2 , la solución es el intervalo x x 3 x +   3 2 4 6

2x 

5.

Al resolver el sistema

RESPUESTAS: 1. ]6, +[

2. ]3, 5]

Página 48

3. No tiene solución

4.

2

5

3 7  5.  ,  4 4

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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. |x| ≤ a, si y solo sí -a ≤ x ≤a 2. |x| ≥ a, sí y sólo sí x ≤ -a ó x ≥ a OBSERVACIÓN :

Si Si

x2 ≤ a2, siendo a un número real no negativo, entonces |x| ≤ a. x2 ≥ a2, siendo a un número real no negativo, entonces |x| ≥ a.

EJEMPLOS 1.

La inecuación -5 ≤ x + 2 ≤ 9 tiene el mismo conjunto solución que: I) II) III)

|x| ≤ 7 x+2≤9 ó x+2 9 x + 2  -5

x + 2 ≥ -5

2.

El conjunto solución de la inecuación |x – 4| < 0 es

3.

¿Cuántos números enteros cumplen la condición que el exceso de su valor absoluto sobre 2 no es mayor que 1?

RESPUESTAS:

1. Solo I y III

Página 49

2.



3. 7

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DIAGRAMA DE SIGNOS Una forma de resolución de las inecuaciones cuadráticas y racionales es el uso del diagrama de signos. Para ello, se debe encontrar los puntos críticos, que son aquellos valores donde la expresión se anula y/o se indefine. Luego se evalúan las expresiones con un valor de prueba que determinará el signo de la expresión en el intervalo.

EJEMPLOS 1.

¿Cuál es el intervalo de los valores de x que satisfacen la inecuación x ∙ (x + 1)  12?

2.

El intervalo de los valores de x que satisfacen la inecuación

3.

Al resolver la inecuación

1  0, se obtiene como conjunto solución x+2

RESPUESTAS:

1. [-4, 3]

Página 50

2.

2x + 1  1 es x+1

]-, -1[  [0, +[

3. -2

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PROBLEMAS DE INECUACIONES En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, -1}

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EJERCICIOS ADICIONALES Verdadero o falso 1. _____ La raíz de la ecuación 3x + 5 = 0 es 0. 2. _____ Dada la ecuación 2x + 5y = 3, si x = 4, entonces y = -1. 3. _____ Si x = 2, y = 3, entonces xy – yx = -1. 4. _____ Si a  b = a – b, entonces 5  3 = 2. 5. _____ Si a  b = ab – 4, entonces (-1)  4 = 1. 6. _____ Dada la expresión a  b = a2 + 2ab + b2, entonces a  b = (a + b)2. 7. _____ Si a  b = a2 + 2ab + b2 con a = 5 y b = -3, entonces 5(a  b) = 25. Ejercicios de Desarrollo 1.

Si p2 + pq = 12 y p + 7 = 5, entonces el valor de q es

2.

Si un número excede a su tercera parte en lo mismo que su quinta parte excede al 7 opuesto de , entonces ¿cuál es el doble del número? 15

3.

La suma de tres números impares consecutivos es 1.502.403, entonces ¿cuál es la diferencia entre el menor y el mayor?

4.

El valor de x en la ecuación

Página 52

a2 bx  2a + b = es b x  1

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

5.

1 1 1 1 con x, p y q distintos de cero, entonces x es igual a  = + p x x q

6.

Sea n un número de dos cifras, donde la cifra de las unidades es x y ésta es 5 unidades mayor que la cifra de las decenas. ¿Cuál es el sucesor de n?

7.

Con una cuerda de 44 cm se forma un rectángulo de tal forma que el largo es igual al doble del ancho, aumentado en una unidad. ¿Cuál es el largo del rectángulo?

8.

De un curso de 30 alumnos, la tercera parte son mujeres, y de éstas, la mitad aprobó la asignatura de matemática. Si todos los hombres menos dos aprobaron matemática, ¿cuántos alumnos del curso reprobaron?

9.

Una herencia de $ 1.058.000 fue repartida entre tres hermanos de diferentes edades, de modo que el hermano mayor recibe el doble de lo que recibe el hermano del medio, aumentado en $ 2.000 y este último recibe el doble de lo que recibe el hermano menor, aumentado en $ 2.000. ¿Cuánto recibió el hermano menor?

Página 53

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

10. Dos vehículos, distantes entre si 40 km, viajan en dirección a una misma ciudad, que se encuentra a 400 km del más lejano. Si el vehículo más cercano a la ciudad viaja con una km velocidad constante de 90 y el otro vehículo viaja con una velocidad constante de hr km 120 , ¿a qué distancia se encontrarán ambos vehículos justo en el momento en que el hr más lento llega a la ciudad?

11. Dada la ecuación de la recta 3x + 7y – 21 = 0. Determine las coordenadas donde la recta corta al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.

12. Grafique las rectas a) 3x + 2y + 6 = 0

b) 3x – 2y + 6 = 0

y

0

c)

y

x

3x + 2y – 6 = 0

Página 54

x

d) -3x + 2y = -6

y

0

0

y

x

0

x

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

13. Dada la recta de ecuación y = a(x + 4), determine en cada caso el valor del parámetro a de modo que: a) la recta pase por el punto (0, 1). b) la recta pase por el punto (2, 3). c) la recta pase por el punto (0, 0).

14. Dadas la graficas adjuntas, determine las ecuaciones generales respectivas y

y

2

2

0

3

x

0

-3

y 2

x

3

-3

x

0

-2 -2

15. Grafique a) 2x – 8 = 0

b) 3y + 12 = 0

y

y

0

0

x

Página 55

c) Todo punto del plano de la forma (x, 5)

d) Todo punto del plano de la forma (4, y)

y

y

0

x

0

x

x

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

16. Dado el sistema a) x + y

2x + 5y = 16 5x + 2y = 19

, determine

b) x – y

17. Dado el sistema de ecuaciones

c) (x + y)(x – y)

2x + 3my = 2

d) x ∙ y

, determine el valor de los parámetros m

3tx  2y = 12

y t para que la solución del sistema sea (3, -4).

18. Dado el siguiente sistema de ecuaciones

ax + by = -c dx  ey = f

, ¿cuál de las siguientes

proposiciones es verdadera? I) II) III)

Si a · e = d · b, entonces el sistema tiene solución única. Si a · e = d · (-b) y b · f = e · c, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Si -a · e = d · b y -b · f = -e · c, entonces el sistema no tiene solución.

19. Dado el sistema de ecuaciones

mx + ny = m2 + nm nx + my = n2 + mn

, determine

a) x + y b) x – y c) x ∙ y

20. Se tienen lápices, libros y cuadernos que en total son 32 unidades. Entonces, se puede determinar el número de cuadernos, si: (1) El total de unidades de lápices y libros son 24. 7 (2) Los lápices son 10 y los libros equivalen a de los cuadernos. 4

Página 56

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO

PROBLEMAS DE EDADES

Ejemplo resuelto:

Ejemplo resuelto:

Si el doble del antecesor de un número es igual al número aumentado en dos unidades, ¿cuál es número? Solución: Número desconocido __________ x Antecesor del número __________ x – 1 Número aumentado en 2 __________ x + 2

Ecuación:

2(x – 1) = x + 2 2x – 2 = x + 2 2x – x = 2 + 2 x=4 Respuesta: El número es el 4 Resolver los siguientes problemas: 1. El triple de un, número aumentado en dos es igual al cuádruplo del número, disminuido en cuatro, ¿cuál es el número?

2. La suma de tres números enteros consecutivos es 126. Determinar el sucesor del número mayor.

3. Carlos, Juan y Andrés se reparten un premio. Carlos recibe la mitad del total, Juan se queda con un tercio del resto y Andrés con lo que queda del premio, que corresponden a $ 200.000. ¿A cuánto asciende el premio? 4. ¿Cuánto hay que restar a (12a – b) para obtener (5a – 8)?

5. La capacidad de un estanque es de (5L + 8) litros y contiene (3L – 4) litros, entonces ¿cuántos litros faltan para llenarlo? Página 57

Hace 10 años la edad de Rodrigo era el triple de la edad de Camila y dentro de 5 años será el doble de la edad de Camila menos 10 años. ¿Cuáles son las edades actuales de Rodrigo (R) y Camila (C)?

R C

Hace 10 años

Edad Actual

En 5 años más

3x x

3x + 10 x + 10

3x + 15 x + 15

Ecuaciones 3x + 15 = 2(x + 15) – 10 3x + 15 = 2x + 30 – 10 3x + 15 = 2x + 20 x=5 Sus edades actuales son: Rodrigo = 3x + 10 = 3(5) + 10 = 25 años Camila = x + 10 = 5 + (10) = 15 años

Resolver los siguientes problemas 1. La edad de Nicolás duplica la edad de Pablo y hace cinco años la edad de Pablo era un tercio la edad de Nicolás, ¿qué edad tendrá Nicolás en 10 años?

2. Hace 12 años la edad de Constanza era el doble de la edad de Agustín. En 10 años más la edad de Agustín será la edad de Constanza menos 8 años. ¿Cuál es la edad de Agustín?

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 Conjunto solución

Verdadero o falso

Dada la ecuación 3x + 4 = 16 – 3x la solución de la ecuación para x = 2 se verifica sustituyendo la solución en paréntesis

Tabla 1

3 ∙ (2) + 4 = 16 – 3 ∙ (2) 8=8

VoF 1. ___

Solución x=3

Ecuación 3x + 4 = 13

2. ___

x = -4

3x + 4 = 16

3. ___

k=5

12 – 3k = -3

4. ___

y=2

5y – 2 = 0

5. ___

x=c

x – a = 2c + a

x=b–a

x + 2b + a = 2x + b + 2a

6. ___

Resolución de una ecuación de primer grado Tabla 2 Ecuación de primer grado

1.

4x – 5 = 2x + 3 4x – 2x = 3 + 5 2x = 8 x=4 4x + 3 = 0

2.

3x + 2 = 2(x + 4) + x – 6

3.

4x + 7 = 3(x + 4)

4.

5.

4(x + 2) = 3(x + 4)

2(x + 1) = (x + 3) + x

Página 58

Tabla 3 Solución

Ecuación literal

Solución

ax – 1 = bx + 1 ax – bx = 1 + 1 (a – b)x = 2

Para x = 2 ab a  b

1.

4ax – a = a + 4x

Para x =

2.

y(x – 2) = y(y–2) + x

Para x =

x=4

3.

4.

5.

v=

d t

Para d =

v=

d t

Para t =

1 2 b = + R b a

Para R =

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

Ecuaciones con coeficiente fraccionario (Tabla 4) Ecuación

1.

x 5 1 / 12 · (mcm)  = 3 2 4 4x – 30 = 3 / + 30 4x = 33 33 x= 4 4x 1 x +3= + 5 4 2

Ecuaciones fraccionarias (Tabla 5)

Sol.

Ecuación

33 4

1.

2 3 = 6 x+3 2 · (x + 3) = 6 · 3 2x + 6 = 18 2x = 12 x=6 4 3 + =0 5 3x + 1

/ · 6(x + 3)

2.

2 3 = x+2 x+4

2 : 3 – 2x : 3 = -1

3.

x+3 4 = x+7 x+7

4x + 7 : 3 = 3(x + 4) : 2 + 2

4.

1 + 3 : (x – 2) = (x + 1) : (x – 2)

2.

3x + 2 x+4 = 2 3

3.

4.

Página 59

Sol.

6

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 Inecuaciones Dada la inecuación 3x + 8 ≤ 5 el conjunto solución se determina: 3x + 5  8 / -5 3x + 5 – 5  8 – 5 3x  3 /:3 3x 3  3 3 x1

Intervalo

Conjunto

]-, 1]

{x  lR / x ≤ 1}

Inecuación 1.

5x +16 ≤ 6

2.

3x + 8 > 5

3.

16 – 5x ≤ 2 – 6x

4.

8 – 3x < -5x + 2

5.

-3x + 8 < 5(x + 2)

x + 2  3 -3  x + 2 y x + 2  3 -5  x x1 -5  x  x  1 6.

x + 1 < 2

Página 60

Gráfica

Intervalo

Conjunto

[-5, 1]

{x  lR/-5  x ≤ 1}

Complemento lR – ]1, +]

1

Gráfica

-5

1

Complemento

lR – {]-, -5[]1, +[}

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 Inecuación 7.

x – 2 > 5 x – 2 > 5 ó x – 2 < -5 x>7 x < -3 x>7  x < -3 8.

x + 1 > 2

9.

x – 1  0

10.

Intervalo

Conjunto

]-,-3[]7, [

{x  lR / x > 7  x < -3}

]-1, 4]

{x  lR / -1 < x  4}

Gráfica

Complemento

x – 1  0

-3

lR – [-3, 7]

7

x + 5 < -2

3x  9  3 4x + 6 > 2

3x – 9  3 y 4x + 6 > 2 3x  3 + 9 4x > 2 – 6 3x  12 4x > -4 x4 x > -1 x  4  x > -1 11.

2x  3 < 6 10  3x < 4

12.

3x  2 < 7 3  3x < -6

13.

2x + 3  5 -3x + 7  4

Página 61

-1

4

lR – {]-,-1]  ]4,+[}

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1.

La recta L de ecuación 6y + 3x = 2 intersecta al eje de las abscisas en el punto P como muestra la figura adjunta. El valor de la abscisa del punto P es y

1 3 3 2 3 1 3 2 3

A) B) C) D) E)

L

P

x

(Fuente: DEMRE 2012)

2.

¿Cuál(es) de los siguientes gráficos podría(n) representar a una recta de ecuación y = ax – 3? I)

y

II)

y

III)

y 3

x

x -3

A) B) C) D) E)

-3

x

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Ninguno de ellos. (Fuente: DEMRE 2012)

3.

Sea (-2, 8) un punto que pertenece a la recta de ecuación y =

x  2 . El valor de m es m

1 2 -3 0 1 2 3

A) B) C) D) E)

(Fuente: DEMRE 2011)

Página 62

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 4.

¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones se representan en el gráfico de la figura adjunta? y A) B) C) D) E)

2y + x = 4; 2y – x = 4 2y – x = 2; 2y + x =2 -2y – x = 2; -2y + x = 2 2y + x = 4; -2y + x = 4 y + 2x = 8; y – 2x = 8

2

-4

4

x

(Fuente: DEMRE 2010)

5.

Si P es el conjunto de todos los puntos del plano de la forma (3, y) y S es el conjunto de todos los puntos del plano de la forma (x, 2), entonces el único punto común entre los conjuntos P y S es A) B) C) D) E)

(5, (3, (2, (1, (0,

1) 2) 3) -1) 0) (Fuente: DEMRE 2010)

6.

Con

respecto

a

x+y=3 x  y=1

,

¿cuál(es)

de

las

siguientes

afirmaciones

es

(son)

verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

(x + y)(x – y) = 3 2x = 4 2y = 2

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III (Fuente: DEMRE 2012)

7.

En el sistema

3x  my = 9 nx + 4y = 11

, ¿qué valor debe tener m y n, respectivamente, para que la

solución del sistema sea x = -1 e y = 3? A) -4 y 1 B) 4 y 1 C) 4 y -1 D) -4 y -1 E) -2 y -23 (Fuente: DEMRE 2011)

Página 63

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

8.

En el sistema I) II) III) A) B) C) D) E)

3x + y = 1 x + ay = b

. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

Si a = b = 1, entonces el sistema no tiene solución. Si a = -1 y b = 1, entonces el sistema posee infinitas soluciones. Si a = 1 y b = -1, entonces el sistema posee una única solución.

Solo III Solo I y II Solo I y III I, II y III Ninguna de ellas. (Fuente: DEMRE 2010)

9.

Dado el sistema

x + y = 7a + 3b x  y = 7a  3b

, el valor de y es

A) 0 B) 3b C) 6b D) 7a E) 14a (Fuente: DEMRE 2008)

10. Se tienen naranjas, tomates y papas que en conjunto pesan 3 kg. Se puede determinar el peso de las papas, si se sabe que: (1) Las naranjas y las papas, juntas pesan 2 kg. (2) Los tomates y las papas, en conjunto pesan 1,750 kg. A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional (Fuente: DEMRE 2009)

11. Claudio tiene $ x, su hermana Viviana tiene $ 30 más que el doble de lo que tiene Claudio. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa el dinero que tiene Viviana, en pesos? A) 30x + 2 B) 2x + 30 x C) + 30 2 x D) +2 30 E) x + 60 (Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)

Página 64

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 12. Si t – 7 = 8, entonces la diferencia entre t 2 y 42, en ese orden, es igual a A) B) C) D) E)

-15 209 22 121 217 (Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)

13. Si T = 2m – 6n, entonces, -2T es igual a A) -4m + 12n B) 4m – 12n C) -4m – 12n D) m – 3n E) -m + 3n (Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)

14. Si x  0, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalentes a x – x-1? x  1 x B) 0 C) x2 – 1

A)

x2  1 x E) 2x

D)

(Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)

15. Si m y n pertenecen a los números enteros positivos, donde m < n, ¿cuál de las m siguientes expresiones es mayor que ? n I) II) III) A) B) C) D) E)

Solo Solo Solo Solo Solo

m  n n m+n n n n+1

I II III I y II II y III (Fuente DEMRE: P.S.U. 2012)

Página 65

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 16. Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a A) -20 B) -10 C) -30 D) 10 E) 30 (Fuente DEMRE: P.S.U. 2009)

17. Si 3,6x = 36 y 4,8 · 100 = w, entonces x · w es igual a A) 48 B) 480 C) 4.800 D) 48.000 E) ninguno de los valores anteriores. (Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)

18. Un niño escogió un número, le sumó 12 y luego dividió el resultado por 2, obteniendo su edad. Si su hermano menor tiene 12 años y la diferencia entre las edades de ambos es 2 años, entonces el número que escogió el niño es A) B) C) D) E)

8 10 12 14 16 (Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)

19. Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8 años, entonces la mitad de su edad más un año es A) 2 años B) 5 años C) 16 años D) 17 años E) 33 años (Fuente: DEMRE P.S.U. 2010)

Página 66

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 20. Si x e y son dos números reales positivos, tal que x2 + y2 = 6xy con x mayor que y, ¿cuál x+y es el valor de la expresión ? x  y A) 2 2 2

B)

2 2 C) D) 2 E) Ninguno de los anteriores.

21.

¿Cuál debe ser el valor de x para que la expresión

(Fuente: DEMRE P.S.U. 2012)

9 3 sea igual al inverso aditivo  2 x

de -3? A) B) C) D) E)

2 6 15 6 15 1 18 25 (Fuente: DEMRE P.S.U. 2010)

22. Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tendrá Juan en un año más? A) B) C) D) E)

21 20 16 15 11

años años años años años (Fuente: DEMRE P.S.U. 2008)

23. Si al doble de 108 se le resta m se obtiene n y el triple de n es 123, ¿cuál es el valor de m? 93 67 175 C) 2 D) -175 E) 175 A) B)

(Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)

Página 67

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 24. Una fábrica de zapatos debe entregar un pedido de T pares de zapatos en 3 días. Si el 2 1 1 primer día entrega de él, el segundo día de lo que resta y el tercer día del resto, 5 3 4 entonces lo que quedó sin entregar es 1 T 10 9 T B) 10 3 T C) 10 1 T D) 5 1 E) 60

A)

(Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)

25. Se repartió una herencia entre cinco hermanos, dos tíos y una prima. Si cada hermano recibió la séptima parte de la herencia y cada tío la mitad de lo que recibió cada uno de los hermanos, ¿qué parte de la herencia recibió la prima? 2 7 5 B) 7 11 C) 14 1 D) 7 3 E) 14

A)

(Fuente: DEMRE P.S.U. 2011)

Página 68

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3 RESPUESTAS EJERCICIOS ADICIONALES Verdadero o Falso 1. F

2. V

3. V

4. V

5. F

6. V

7. F

Ejercicios de Desarrollo a  b a+b

1. -4

2. 2

3. -4

4.

6. 11x – 49

7. 15 cm.

8. 7

9. $ 150.000

11. (7, 0); (0, 3)

12a.

12b.

y

3

x

-2

3

1 a) 4 1 b) 2 c) 0

15d. y

4

x

14. a) 2x + 3y – 6 = 0; 2x – 3y – 6 =0 b) 2x + 3y – 6 = 0; 2x – 3y + 6 = 0 c) 2x – 3y + 6 = 0; 2x + 3y + 6 = 0 16. a) 5 b) 1 c) 5 d) 6

x

15a. y

x

80

x

-3

15c.

y 5

4

x

-4

x

x

17. m=

1 ; 3

t=

4 9

Problemas de

Página 69

2

15b. y

20. El número de cuadernos es 24. Cada una por sí sola.

Planteamiento 1. 6 4. 7a – b + 8 2. 44 5. 2L + 12 3. $ 600.000

2

-2

-3

13.

10. kilómetros 12d. y

12c. y

y

2pq q  p

5.

Edades 1. 30 años 2. 20 años.

18. Solo II) es verdadera

19. a) x + y = m + n b) x – y = m + n c) x ∙ y = 0

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

Tabla 1 1. V 4. F 2. F

5. F

3. V

6. V

Tabla 2 3 1. x = 4. x = 4 4 5.  2. lR

Tabla 3 a 1. x = a1 2(a  1)

3. x = 5

2. x =

Tabla 4

Tabla5

5 2 34 4. 15

55 6 2 2. 7

1. -

3.

1. -

19 12

2. 2

y2 y1 y  1

3. d = vt d 4. t = v0 v ab 5. R = b2  -2a 2 2a + b

3. 1 4. lR – {2}

Inecuaciones Intervalo

Conjunto

Complemento

1.

]-, -2]

{x  lR / x  -2}

lR – ]-2, +[

2.

]-1, +[

{x  lR / x > -1}

lR – ]-, -1]

3.

]-, -14]

{x  lR / x  -14}

lR – ]-14, +[

4.

]-, -3[

{x  lR / x < -3}

lR – [-3, +[

5.

]-0,25, +[

{x  lR / x > -0,25}

lR – ]-, -0,25]

6.

]-3, 1[

{x  lR / -3 < x < 1}

lR – {]-, -3]  [1, +[}

7.

1

{x  lR / x = 1}

lR – {]-, 1[  ]1, +[}

8.

]-, -3[  ]1, +[

{x  lR / x < -3 ó x > 1}

lR – [-3, 1]

9

]-, +[

{x  lR}

lR – 

10.



{}

lR – lR

11.

]2, 4,5[

{x  lR / 2 < x < 4,5}

lR – {]-, 2]  [4,5, +[}

12.



{}

lR – lR

13.

1

{x  lR / x = 1}

lR – {]-, 1[  ]1, +[}

Página 70

MATEMÁTICAS GE - LIBRO N°3

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. C

6. E

11. B

16. A

21. A

2. D

7. A

12. B

17. C

22. A

3. A

8. A

13. A

18. E

23. E

4. A

9. B

14. D

19. D

24. C

5. B

10. C

15. E

20. B

25. D

Aprendizajes Esperados Libro 3 El alumno al finalizar el libro los alumnos:           

Reconocen las ecuaciones lineales y las resuelven. Transforman enunciados en ecuaciones de primer grado, resolviéndolas y analizando los resultados según el contexto o situación. Analizan y determinan las condiciones que se deben cumplir para que una ecuación de primer grado tenga una única solución, infinitas soluciones o no tenga solución. Plantean y resuelven problemas o situaciones mediante ecuaciones lineales. Grafican rectas en dos dimensiones, reconociendo pendiente y coeficiente de posición. Transforman las ecuaciones de una recta a sus diversas formas: ecuación principal, ecuación general, ecuación de los segmentos. Plantean sistemas de ecuaciones lineales representando situaciones planteadas y las resuelven, considerando la pertinencia de los resultados. Representan intervalos mediante lenguaje conjuntista. Resuelven inecuaciones utilizando operaciones de conjunto. Plantean sistemas de inecuaciones y resuelven, representando las soluciones usando intervalo en los reales. Analizan la existencia y pertinencia de los resultados de los sistemas de inecuaciones de acuerdo al contexto.

Revisa el Tema 2: Álgebra y Funciones I, módulo Ecuación de Primer Grado; y el Tema 6: Álgebra y Funciones II, módulos Ecuación de la Recta, Sistema de Ecuaciones, Inecuaciones, en www.preupdvonline.cl

GEMA-L03

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ Página 71