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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN

CENTRO PREUNIVERSITARIO ALUMNO:

ALGEBRADOCENTE:RESPONSABLE: Albitres Infantes, Jhonny FUNCIONES OBJETIVO. – Reconocer, analizar y representar relaciones, funciones y aplicaciones, así como determinar el dominio, rango y grafo de los mismos y saber construir con seguridad las gráficas de las funciones.

FUNCIÓN DEFINICIÓN. – Dados dos conjuntos no vacíos A y B se define una función de A en B como un conjunto de pares ordenados (x; y) tal que a cada elemento x  A existe un único elemento y  B . Notación: Si “f” es una función de A en B, luego: f:A B Condición de existencia y unicidad Sea f : A  B; se debe cumplir: 1. x  A; ! y  B /( x; y )  f 2. Si ( x; y )  f  ( x; z )  f  y  z Obs.:  ; se lee para todo  !; se lee existe y es único Nota: De la definición de una función se deduce; que dos pares diferentes no deben de tener la misma primera componente Ejemplos: i) f

A

B

........... Función i)

A

B

DOMINIO DE UNA FUNCION Es el conjunto de todas las primeras componentes y se denota por: D f o Dom f

D f   x  A/! y  B  (x, y)  f   A

RANGO DE UNA FUNCION Es el conjunto de todas las segundas componentes y se denota por R f o Ran f:

R f   y  B/x  A  (x, y)  f   B

Ejemplo: Sea f={(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}su dominio y rango es: D f ={1,3,5,7}; R f ={2,4,6,8}. REGLA DE CORRESPONDENCIA Es aquella relación que se establece entre la primera y segunda componente de una función. Esta relación se establece mediante una formula matemática. f:A B

y = f(x) Propiedad: Toda función queda completamente definida si se conoce el dominio y la regla de correspondencia de la función. FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Sea f: A  B, Si A    B   diremos que f es una función real de variable real. Teorema fundamental de las funciones reales Una función es real de variable real, si toda recta vertical corta a su gráfica en un sólo punto. Ejemplos: Y

X

...................... Función iii) ...........Función Y

X ...................... Función

............. Función

CENTRO PREUNIVERSITARIO

REGLA PRACTICA PARA CALCULAR EL DOMINIO 1.

Si la función es polinomial el dominio es el conjunto de los números reales ( R ). Además si la función polinomial es de grado impar, el rango también es R. Ejemplo: i) F(x) = 6x8 +x5 + x3 + 3  DF = R ii) G(x) = x3 –2x2 +x +3  DG = R y RG = R H ( x) 2. Si la función es racional : F(x) = , el G ( x) dominio se obtiene como: DF = R – { x/ G(x) = 0 } Ejemplos: 2x  3  DF = R – { 2 } i) F(x) = x2 ii) iii)

x  DF = R – { 3, -3 } x 9 x5  DF = R H(x) = 2 x  16 G(x) =

2

Observación: x2 + 16  0 3. Si la función es irracional: F(x) = G ( x) , el dominio se obtiene como: DF = { x  R / G ( x)  0 } Ejemplos: i) F(x) = 6  x Obs. 6 –x  0  6  x  x  6 Luego: DF =0  x > 4 Luego: DF = Nota: No existe una regla especifica para el cálculo del rango, sin embargo se recomienda despejar x en función de y para luego analizar para que valores de “y” la función está definida. Ejemplo: Halle el rango de: 3x  1 F ( x)  x2 Solución: i) x - 2 0 x 2 Luego: DF= R – {2} 3x  1 ii) Rango: y  x2  yx –2y = 3x – 1  yx – 3x = 2y –1

 x(y-3) =2y – 1 

2y 1 x y3

Como: y - 3  0  y  3 Luego: RF = R – {3}

FUNCIONES ESPECIALES 1. FUNCIÓN CONSTANTE.

Álgebra

Donde D f =R; R f = {c}. Su gráfica es:

Y

F(x)=c c

0

X

2. FUNCIÓN LINEAL f   (x, y)  RxR/y  ax  b, a  0 , Donde: D f =R; R f =R. Y X 4. FUNCIÓN RAIZ CUADRADA.– f(x)  Donde: D f = R  ; R f =  0,  .

x.

5. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO–A la función f le llamaremos función valor absoluto si su regla de correspondencia es: f(x)= x  donde:

 x, x  0, x    x, x  0.

D f = R ; R f =  0, 

. Y = f(x)

6. FUNCION CUADRÁTICA

F(x) = ax2 +bx + c, a  0  b 4ac  b 2   V    ; 2a 4a   Si a>0 se tiene Si a 4a 4ac  b 2 ] 4a

Álgebra

DF= R

RF = g ( x) 

7. FUNCION MAXIMO ENTERO Se simboliza por:   Regla de correspondencia: F(x) =  x  ; donde  x  es el máximo entero no mayor que x. Si: n  x  n  1   x  = n Dominio: DF = R Rango: RF = Z

Problemas 1. Hallar mnp a partir de la función: F = { ( 7; 5 ); (-3; 1 ); ( 7; m –2n ); (-3; m – 6n); ( mn; n –2p)} A) –14 B) –7 C) 10 D) 14 E) 7 A)1 B) 3 C)5 D)6 E)8 2. El conjunto f de pares ordenados representa una función. Halle el cardinal de su rango, si F = { (2;3); ( x 3  1; 9 x ) ; (y; y2+2); ( x 3  1; 3 x ) ; (y;3)} A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. Hallar el dominio de: F(x) = 8  x  x  7 Y dar como respuesta la suma de valores enteros de su dominio. A) 5 B) 8 C) 15 D) -8 E) 0 4. Hallar la suma de los elementos enteros del dominio de la función x 3  2x 2  x f ( x)  x2 A) -2 B) -1 C) -3 D) 3 E) 0 5. Sea la función lineal expuesta: F(x) = ax + b; a  0 tal que: F( 1) = F(0) + 2 = 7 Si el dominio de F es [-3; 1>, calcular el rango de dicha función A) C) E) B)