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• Richard Bouquet

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Álgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

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Álgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Sea K un cuerpo. Una ecuación lineal con coeficientes en K es una expresión de la forma:

donde

son elementos de K para todo

y se llaman coeficientes; el término

elemento de K y se le llama término independiente y, por último,

es de nuevo un

son símbolos que llamaremos

incógnitas. Para un número pequeño de incógnitas, usaremos la notación x, y, z, t... Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuación lineal, no pueden existir términos de incógnitas al cuadrado.

Sistemas de ecuaciones lineales Un conjunto de m escuaciones lineales con las mismas incógnitas:

se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Llamaremos soluciones del sistema a cada conjunto de valores asignados a las incógnitas que son solución de todas las ecuaciones del sistema. Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución general, es decir, si sus soluciones coinciden. La clasificación de los sitemas de ecuaciones se hace en función de sus soluciones: si posee alguna solución, se llamará compatible; en caso contrario, se denomina incompatible. Además, los sistemas compatibles se dividen a su vez en: determinados, si la solución es única, e indeterminados en caso contrario. Se denomina discusión de un sistema al proceso de clasificación de un sistema dentro de los tipos anteriores. Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes son cero. Éste tipo de sistemas admiten una solución que se denomina trivial, , siendo por tanto compatible en cualquier caso.

Método de Gauss El método de Gauss es un sistema -probablemente el más útil en dimensiones bajas- de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La idea del método es conseguir, mediante un sistema dado, uno equivalente más sencillo, y aplicar el método reiterativamente hasta obtener un sistema de solución obvia. Proposición 1: Si en un sistema de ecuaciones lineales dado intercambiamos dos ecuaciones de lugar, multiplicamos una ecuación por un miembro del cuerpo K, o sumamos una ecuación a otra multiplicada por un elemento del cuerpo, obtenemos un sistema equivalente. Demostración: es obvio que el primer predicado es cierto. El segundo lo podemos extraer de las propiedades de cuerpo de K, esto es, que si tenemos , con , entonces . Para el tercer predicado consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

y lo que resulta de sumar k veces la j-ésima ecuación a la i-ésima:

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Ahora, debemos probar que ambos sistemas son equivalentes. Para ello, supongamos

como un conjunto

de soluciones del primer sistema. Puesto que ambos sistemas sólo difierenen la i-ésima ecuación, basta ver que , verifica la i-ésima ecuación del segundo sistema. Por se solución del primero, tenemos que:

multiplicamos ahora la segunda ecuación por k y sumamos:

Y de aquí se obtiene:

que implica que

es solución del segundo sistema, como queríamos comprobar. El recíproco se comprueba

fácilmente tomando como hipótesis la ecuación anterior y restando k veces la fila j-ésima del primer sistema, con la solución introducida. A continuación se explica el proceso conocido como método de Gauss, que tiene como objeto transformar un sistema de ecuaciones lineales dado en otro equivalente y más sencillo: 1. Primer paso. Intercambiando ecuaciones, se lleva al primer lugar la primera ecuación que tenga el coeficiente de no nulo. 2. Segundo paso. Dividimos la mencionada ecuación por , obteniendo un 1 en ésta posición. 3. Tercer paso. Multiplicando la ecuación de forma conveniente, la restamos a las demás para eliminar la variable de ellas. Repitiendo éste proceso con todas las variables, y asociando cada variable a una ecuación distinta, obtenemos al final un conjunto de valores que quedan igualadas a las incógnitas: la solución general del sistema.

Matrices Dado un cuerpo K, consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

Tomamos ahora los coeficientes

, así como el vector de soluciones,

, y los colocamos entre paréntesis de la

siguiente manera:

éste objeto matemático recibe el nombre de matriz de orden m x n con coeficientes en K. Más en general, se denota al conjunto de todas las matrices de orden m x n con coeficientes en K como . Las matrices con reciben el nombre de vectores fila o columna (con m ó n igual a 1 respectivamente). Diremos de

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una matriz que es cuadrada si . Dada una matriz A, se denomina submatriz de A a cualquier matriz que resulte de la supresión de vectores fila o columna contenidos en A. Por último, definimos la matriz ampliada de A como la matriz que incluye el vector de soluciones

Fuentes y contribuyentes del artículo

Fuentes y contribuyentes del artículo Álgebra Lineal/Sistemas de ecuaciones lineales y matrices  Fuente: http://es.wikibooks.org/w/index.php?oldid=203399  Contribuyentes: Caronte 1988, Morza, 4 ediciones anónimas

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