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Álgebra

Universidad Nacional de Quilmes Diplomatura en Economía y Administración Álgebra Primer cuatrimestre 2011 2011 Sistemas de ecuaciones lineales. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales. Consideremos la siguiente situación: Encontrar n escalares x1, x2 ,x3 ,.....,xn tales que satisfagan la siguientes m ecuaciones  a11x1 + a12 x 2 + ..... + a1n x n = b1  a x + a x + ..... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 (1)  .......... .......... .......... ..........  a m1x1 + a m 2 x 2 + ..... + a mn x n = b m donde bi ∈ R, i=1,2,...,m y aij ∈ R, ∀i, ∀j. Al conjunto formado por estas m ecuaciones lo llamamos sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. El sistema (1) es compatible, si existe alguna n-upla (x1,x2,....,xn), tal que reemplazados los xi en cada una de las m ecuaciones, las satisface. Tal n-upla se llama una solución del sistema. Cuando no es posible encontrar tal n-upla para un sistema dado, el sistema es incompatible. El sistema (1) se puede escribir en forma matricial:  x1   b1    a11 a12 . . a 1n     x 2   b 2    a 21 a 22 . . a 2n    . = .   .  . . . .     .   .    a  m1 a m 2 . . a mn  x   b   n  m

 a11 a12 . . a 1n     a 21 a 22 . . a 2n  se llama la matriz de los coeficientes A=  . . . . .     a  m1 a m 2 . . a mn   x1     x2  X =  .  es la matriz columna de las incógnitas    .  x   n

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 b1     b2  B =  .  es la matriz columna de los términos independientes    .  b   m  a11 a 12   a 21 a 22 La matriz  . .  a  m1 a m 2

. . . .

. a 1n b1   . a 2n b 2  se llama matriz ampliada del sistema. . . .   . a mn b 

El siguiente método permite computar todas las soluciones que admite un sistema de ecuaciones lineales si es compatible o determinar efectivamente que el sistema es incompatible. El método consiste en transformar el sistema original en otro equivalente "reducido". Por "reducido", en forma imprecisa, entendemos a un sistema con la mayor cantidad de ceros posible como coeficientes de las incógnitas. De esta manera llegamos a eliminar incógnitas en las diferentes ecuaciones y eventualmente podemos eliminar ecuaciones; obtenemos así un sistema en el que el cómputo de las soluciones se simplifica. La reducción de un sistema se logra haciendo combinaciones lineales entre las ecuaciones, es decir, operaciones elementales entre las filas de la matriz ampliada del sistema.

Ejercicio 1: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales  2 x + 3y − 4 z = 1  2x − y − 5z = 1   b)  3 x − y + 2 z = −2 a)  x + 3y − 4 z = 4 5 x − 9y + 14 z = 3  y − 2 z − 1= 0    x + 3y − 4 z − 4 = 0  c)  y − 2z = 1 2 x + 5y − 6 z − 7 = 0 

x + 2y − z + 5u = 7   d)  3 x − y + 4 z + 2u = 8 − 7 x + 7y − 14 z + 4u = −10 

Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales en el que todos los términos independientes son ceros se llama sistema homogéneo.  a11x1 + a 12 x 2 + ..... + a1n x n = 0  a x + a x + ..... + a x = 0  21 1 22 2 2n n  ........................................  a m1x1 + a m 2 x 2 + ..... + a mn x n = 0 Un sistema homogéneo siempre es compatible pues admite la llamada "solución trivial" x1 = 0, x2 = 0, . . . . . . , xn = 0. El objetivo es determinar si la solución trivial es la única o si existen otras soluciones. Diplomatura en Economía y Administración C. Grosso, P. Blondheim

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Álgebra Ejercicio 2: Hallar todas las soluciones de cada uno de los siguientes sistema homogéneo:  x − 2y + 3u = 0 x−y+z =0   b)  a)  x − 2y − z = 0 2 x + 5y + 6u = 0  y+z=0  

Ejercicio 3: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el método de reducción:

2 x + 3 y = 5  a)   x − 2 y = −1 

 3x + y = 4  b)  12 x + 4 y = 2 

 x − 3y = 0  c) 2 x − 2y = 3  5x − y = 1 

 x − y − 3 z = −4  d) 2 x − y − 4 z = −7  x + y − z = −2 

  2x − 4 z = 8  e)  x − 2y − 2 z = 14  x + y − 2 z = −1   3x + y + z = 0  x + 6y − 2 z = 0  g)  2 x − 3y + 4 z = 0 

 x+y =0  f)  3 x − 4y = 0   w − x − y + 4z = 5  h) 2w − 3 x − 4y + 9 z = 13  2w + x + 4 y + 5 z = 1 

 x+y =0  i) 3 x − 4y = 0 5 x − 8 y = 0 

  3w − x − 3y − z = −2  j) 2w − 2 x − 6y − 6 z = −4  2w − x − 3y − 2 z = −2   3w + x + 3 y + 7 z = 2

  x+y+z=0  k) 5 x − 2y − 9 z = 0 3 x + y − z = 0  3 x − 2y − 7 z = 0

 3a + 2b − 3c − d = −2  l) 2a − 2b − 6c − 6d = −4  2a − b − 3c − d = 5 

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Álgebra

Matriz inversa Hemos visto la utilidad del método de reducción de sistemas de ecuaciones lineales. Pero, es el único procedimiento que utiliza matrices. Analizaremos un método diferente que se aplica a muchos sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Consideremos el sistema: a11 x1 + a12 x2 = c o A.X =C (2)  a 21 x1 + a22 x 2 = c 2 Suponiendo que existe una matriz B tal que B . A = I, se premultiplican ambos miembros de la ecuación (2) por B: B .A.X = B . C por lo tanto I .X =B. C X =B. C (3) Es decir, la solución está dada por X = B . C . Este procedimiento se basa en la suposición de que existe una matriz B tal que B . A = I. Cuando existe una matriz como ésta, se dice que es la matriz inversa de A. Definición: Si A y B son matrices de n por n, entonces B es la matriz inversa de A si y sólo si B . A = A . B = I. Por ejemplo:

1 2  7 − 2  y B =   son inversas entre si.
Las matrices A =  3 7 − 3 1 

Ejercicio 4: Comprobar que las matrices del ejemplo anterior son inversas entre si.

Se puede demostrar que si B es la matriz inversa de A, entonces es única. En consecuencia, B es la única matriz que tiene la propiedad tal que B . A = I. De acuerdo con la práctica usual, se denota la matriz inversa de A con A-1. Por lo tanto A-1 . A = A . A-1 = I. Cuando A-1 existe se dice que A es invertible o no singular. No todas las matrices son invertibles. Por ejemplo:  a b   0 1 0 a + b  1 0  0 1  .   =   =   entonces   , lo cual es un absurdo. Si A =   c d   0 1 0 c + d  0 1  0 1 Por lo tanto, la matriz A no tiene inversa. .


Existen diferentes procedimientos para calcular la matriz inversa, si existe, de na matriz dada.

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Álgebra  1 2  . Supongamos A fin de describir un algoritmo, consideramos la matriz A =   − 1 3 a b  , es decir, hay que determinar los valores que existe A-1 y que está dada por  c d   1 2  a b  1 0    =   de a, b, c y d. Según la definición de matriz inversa   − 1 3  c d  0 1  Es decir: b + 2d   1 0   a + 2c   =    − a + 3c − b + 3d   0 1  De esta ecuación se deduce que a + 2c = 1 b + 2d = 0   − a + 3c = 0 − b + 3d = 1 Al resolver cada una de 3 2 1 1 a= , b=− , c = , d = . 5 5 5 5 Por lo tanto A

−1

3  = 5 1  5

estas

situaciones,

obtenemos:

2  5  ..
1   5 

−

Ejercicio 5: Comprobar que la matriz hallada en el ejemplo anterior es la matriz inversa de A.

Otro procedimiento para hallar la matriz inversa de una matriz de n por n es: 1. Agregar la matriz identidad de n por n a fin de obtener la matriz ( A | I ) . 2. Emplear operaciones elementales entre las filas para reducir, de ser posible, dicha expresión a la forma (I | B ) . La matriz B es la matriz inversa de A.

Ejercicio 6:

2 1 1   Hallar la inversa de A =  3 2 1   2 1 2  

Ejercicio 7:

1 2 3   Encontrar, si es posible, la inversa de A =  2 1 2   3 5 5   Diplomatura en Economía y Administración C. Grosso, P. Blondheim

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Álgebra Ejercicio 8: Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando, cuando sea posible, la matriz inversa. En caso contrario, determinar el conjunto solución del sistema mediante el método de reducción. 6 x + 5y = 2 2 x + y = 5 2 x + 6y = 2 a)  b)  c)  x + y = − 3 3 x − y = 0 3 x + 9y = 3  x + 2y + z = 4  d) 3 x + z = 2 x − y + z = 1 

x + y + z = 2  e)  x − y + z = 1 x − y − z = 0 

 x + 3y + 3 z = 7  f) 2 x + y + z = 4 x + y + z = 4 

Ejercicio 9: En un viaje a Europa, Juna visitó Madrid, Paris y Flrencia. Los gastos diarios por hospedaje fueron $ 18, $ 25 y $ 20 respectivamente. Además el gasto diario por alimentos fue: en Madrid $ 15 por día, en Paris el doble que en Madrid y en Florencia la tercera parte que en Paris. A su regreso, el registro total de gastos indicaba: $ 440 por hospedaje, $ 350 por alimentos y $ 132 por gastos varios. Calcular cuantos días estuvo en cada ciudad, sabiendo que en cada una de ellas gastó $ 6 por día en gastos varios.

Ejercicio 10: Una empresa trata de adquirir y almacenar dos tipos de artículos, X e Y. Cada artículo X cuesta $ 3 y cada artículo Y $ 2,50. Cada artículo X ocupa 2 pies cuadrados del espacio del piso y cada artículo Y ocupa un pie cuadrado. ¿Cuántas unidades de cada tipo pueden adquirir y almacenarse si se disponen de $ 400 para la compra y de 240 pies cuadrados de espacio para el almacenaje?

Ejercicio 11: Una compañía de carga transportó tres tipos de mercadería en su transporte aéreo ligero. El espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de mercadería era de 5, 2 y 4 pies cúbicos, respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga pesaba 2, 3 y un kilogramo, respectivamente, mientras que los valores unitarios de los tres tipos de carga fueron $ 10, $ 40 y $ 60 respectivamente. Determinar el número de unidades de cada tipo de carga transportada si el valor total de la carga fue de $ 13500, ocupó 1050 pies cúbicos y pesó 550 kilogramos.

Determinantes Si consideramos una ecuación con una incógnita : a . x = b , el número a determina si el sistema tiene solución única o no.

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Álgebra Ejercicio 12: ¿Por qué el en la ecuación a . x = b, el número a determina si la ecuación tiene solución única o no?

Consideremos ahora un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas  a 11 x + a 12 y = b1  a 21 x + a 22 y = b 2 Si a la primera ecuación la multiplicamos por a22 y le restamos la segunda multiplicada por a12, obtenemos x(a11a22 – a21a12) = b1a22 – b2a12 Si a la segunda ecuación la multiplicamos por a11 y le restamos la primera multiplicada por a21, obtenemos y(a11a22 – a21a12) = b2a11 – b1a21 El número (a11a22 – a21a12) determina si el sistema tiene solución única o no. a12  a a  . Se anota det(A) ó ∆(A) ó 11 determinante de la matriz A =  11 a 21  a 21 a 22 

ecuación

ecuación

Se llama

a12 . a 22

Definición: Sea A = a11) una matriz de uno por uno, det(A) = a11.

Definición: Sea A = (aij) i , j = 1, 2, ....., n. Si suprimimos en la matriz A la i – ésima fila y la j – ésima columna, se obtiene una matriz de orden n – 1 que anotaremos Mij , que se llama el menor complementario de aij. Por ejemplo: 5 − 1 2   Si A =  3 1 / 2 7  , 5 2 1  

 5 − 1  .
5 2 

M23 = 

Definición: El número Aij = (-1)i+j.det Mij se llama adjunto ó cofactor de aij.

Ejercicio 13: Considerar un determinante de orden dos y calcular: a) a11.A11 + a12.A12 b) a21.A21 + a22.A22 c) a11.A11 + a21.A21 d) a12.A12 + a22.A22

Del ejercicio anterior, se puede concluir que siempre se obtiene det(A). El item a) del ejercicio anterior es el “desarrollo por la primera fila”, el item b) es el “desarrollo por la segunda fila”, el item c) es el “desarrollo por la primera columna” y el d) es el “desarrollo por la segunda columna”. Diplomatura en Economía y Administración C. Grosso, P. Blondheim

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Álgebra Ejercicio 14: ¿Por qué es correcto obtener conclusiones de un ejercicio como el anterior? ¿Qué características tiene que tener la actividad para poder obtener propiedades o enunciados siempre válidos?

Para definir el determinante de una matriz de orden n, consideraremos primero uno de orden tres.. Al hacer el “desarrollo por la primera fila”:

a 11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 = a 31 a 32 a 33

3

a j .A j ∑ j 1

1

=

=1

= a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) = = a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 El “desarrollo por la segunda columna” es: 3

a12.A12 + a22.A22 + a32.A32 =

ai ∑ i

2

.Ai 2

=1

Ejercicio 15: Verificar que el desarrollo del determinante de orden tres por la primera fila, la segunda fila y la tercera fila son iguales.

Ejercicio 16: Verificar que el desarrollo del determinante de orden tres por cualquiera de sus columnas es igual al desarrollo del mismo determinante por cualquiera de sus filas.

Definición: n

Sea A = (aij) i, j = 1,2,...,n. Se define determinante de A como det (A) =

a ij .Aij ∑ j =1

n

det (A) =

o bien

a ij .Aij ∑ i =1

Ejercicio 17: Calcular a)

2

−1 3 b) − 3 1 − 1 − 10 2 − 3 12

1

3 −4

1 0 0

3

2 7 0 6 c) 0 6 3 0 7 3 1 −5

4 1 −3 d)

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0 2 8 0 0 −5

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Álgebra Propiedades

Observación: El determinante es un número. Por abuso del lenguaje, es común hablar de filas y columnas del determinante. Sea A una matriz cuadrada. 1. det (A) = det (At) Corolario: A toda propiedad de un determinante que se refiera a filas corresponde otra referente a columnas. 2. Si todos los elementos de una fila de A son cero, entonces det(A) = 0. 3.Si A’ es la matriz que se obtiene de A multiplicando una fila cualquiera por un número α ≠ 0, entonces det(A’) = α. det(A). 4.Si A’ es la matriz que se obtiene de A permutando dos filas, entonces det (A’) = det (A). 5. Si A tiene dos filas iguales, entonces det (A) = 0. 6. Si A tiene dos filas proporcionales, entonces det (A) = 0. 7. Un determinante se puede descomponer en suma de otros, entonces det (A) = det (A´) + det (A´´). Por ejemplo: Si a12 a13  a11    y A´=  b21 + c 21 b22 + c 22 b23 + c 23  = A  a  a a 31 32 33   entonces det (A) = det (A´) + det (A´´)..


 a11   b21 a  31

a12 b22 a32

a13   b23  a33 

y

 a11  A´´=  c 21 a  31

a13   c23  a33 

a12 c22 a32

8. Si una de las filas de A “es combinación lineal” de otras filas, entonces det (A) = 0. a11 a12 Por ejemplo: a21 a22 2a11 + 3a21 2a12 + 3a22

a13 a23 = 0. .
2a13 + 3a23

9. Si A’ es la matriz que se obtiene de A al sumarle a una fila una combinación lineal de otras, entonces det (A’) = det (A). 10. El determinante de la matriz identidad vale 1. 11.El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices.

Ejercicio 18: Demostrar que: “Si todos los elementos de una fila de A (matriz cuadrada) son cero, entonces det(A) = 0.”

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Álgebra Ejercicio 19: Demostrar que: “Si A (matriz cuadrada) tiene dos filas iguales, entonces det (A) = 0”

Ejercicio 20: (optativo) Demostrar que: “Si A (matriz cuadrada) tiene dos filas proporcionales, entonces det (A) = 0.”

Ejercicio 21: (optativo) Demostrar que: “Si una de las filas de A (matriz cuadrada) es combinación lineal de otras filas, entonces det (A) = 0.”

Ejercicio 22: Demostrar que: “El determinante de la matriz identidad vale 1.”

Ejercicio 23: Demostrar que: “Si A admite inversa, entonces el determinante de A es distinto de cero.

Ejercicio 24:

( )

Demostrar que: “Si A admite inversa, entonces det A −1 =

1 . det (A)

Ejercicio 25: Sabiendo que det(A) = 3, calcular los determinantes de B, C y A-1 y z  x y z  2x 2y 2z   x       A =  5 0 3 B= 5 0 3 C =  2x + 5 2y 2z + 3   1 1 1 1 1 1  x +1 y +1 z +1       

Ejercicio 26: Resolver las siguientes ecuaciones: 3 x 2x x −2 a) = 26 b) 0 x 99 = 60 7 7−x 0 0 -1

Ejercicio 27: Si A es de orden 4 y su determinante vale 12, ¿cuál es el valor del determinante que se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de A por 3?

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Álgebra Ejercicio 28: a

b c

Sabiendo que − 1 0 −2 5

 a + k2   −1   −2

4 = 39 , encontrar el valor de k para que la matriz C = 1

b + 2 k c + 1  0 4  tenga determinante cero.  5 1 

Los determinantes se pueden aplicar para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas. De hecho, el estudio de los determinantes se originó en el análisis de sistemas de este tipo. Aunque el método de reducción es más práctico para sistemas de gran cantidad de incógnitas, el método de solución por determinantes permite despejar cierta incógnita sin tener que hallar las demás. Teorema de Cramer n ecuaciones lineales con n incógnitas Sea un sistema de  a11 x 1 + a12 x 2 + ..... + a1n x n = b1   a 21 x 1 + a 22 x 2 + ..... + a 2n x n = b 2  ........................................  a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ..... + a mn x n = b m Si el determinante de la matriz de coeficientes de A es distinto de cero, entonces el sistema tiene solución única; y está dada por: ∆ ∆ ∆ x1 = 1 , x2 = 2 , . . . . , xn = n ∆ ∆ ∆ donde ∆ k , el numerador de xk , es el determinante de la matriz que se obtiene reemplazando la k – ésima columna de A por la columna de las constantes.

Ejercicio 29: Demostrar el teorema de Cramer para un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejercicio 30: (optativo) Demostrar el teorema de Cramer para un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.

Ejercicio 31: Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, empleando el teorema de Cramer, cuando sea posible. En caso contrario, determinar el conjunto solución utilizando otro método: 2 x + y + 5 = 0 3 x − 4y = − 3 a)  b)  3y + x = 6 6 x + y = 3

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Álgebra 2 x + y + z = 0  c) 4 x + 3y + 2 z = 2 2 x − y − 3 z = 0 

− u + v + w = 9  d) 3u + 2w = 17 v + w = 10 

 x + y + 5w = 6   x + 2y + z = 4 e)  2y + z + w = 6 3 x − 4w = 2

 x − y + 5w = 2  f)  x + 2 y + z = 0 2y + w = 1 

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