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• Agustin Estudillo Marquez

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Sistemas de Ecuaciones Lineales Curso: 3º E.S.O. Duración estimada: 6 hrs.

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Sistemas de Ecuaciones Lineales Introducción Contenidos Temporización Recursos

Desarrollo de la Unidad. Evaluac Volver

Introducción Justificación de la Unidad Objetivos

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Justificación • A lo largo de esta unidad didáctica, se pretende que el alumno, que ya sabe resolver ecuaciones de primer grado, pueda mejorar su comprensión del significado de las operaciones algebraicas que realiza para resolverlas y relacione los aspectos algebraicos con los geométricos, de forma que facilite el aprendizaje de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. • Se persigue de la misma forma que se familiarice con la terminología utilizada en este campo y la emplee adecuadamente: ecuación, solución, etc.

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Objetivos • Identificación y obtención de las gráficas de las ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Resolución algebraica y gráfica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Análisis e identificación de las posibilidades que pueden presentarse al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Interpretación geométrica. • Traducción al lenguaje algebraico de problemas diversos.

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Objetivos (II) • Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones analizando la validez de las soluciones en el contexto del problema. • Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver un problema en diferentes ámbitos de la sociedad, reconociendo su precisión y simplicidad.

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Contenidos • • • •

Ecuaciones lineales. Definiciones. Sistemas equivalentes. Compatibilidad de sistemas. Método gráfico. Métodos de resolución algebraica: – Igualación. – Sustitución. – Reducción.

• Modelización de problemas.

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Temporización • Curso donde se imparte: 3º E.S.O. • Duración estimada: 6 horas. (incluido examen) • Programación: – 1er día: Introducción histórica. Actividad con Cabri Géomètre II Plus. – 2º y 3er día: Exposición teórica. Resolución de problemas. – 4º día: Modelización de problemas. – 5º día: Repaso de la unidad. Actividad en la red. – 6º día: Examen.

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Desarrollo de la Unidad Introducción Histórica

Exposición Teórica. Resolución de Problem Aplicaciones informáticas Evaluación

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Introducción Histórica • Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. • Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:       1/4 anchura + longitud = 7 manos       longitud + anchura = 10 manos •Para resolverlo comienzan asignando el valor   5   a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:       y + 4x = 28       y + x = 10

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EXPOSICIÓN TEÓRICA Siguiente

Índice Test de conocimientos previos Definiciones básicas

Clasificación de los sistemas: Compatibili Métodos algebraicos de Resolución Planteamiento de Problemas Diversos Relación de Problemas de la Unidad

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• Ecuaciones con dos incógnitas: Este tema trata de estudiar las relaciones en las que aparecen dos incógnitas, por ejemplo: – El producto de dos números es 24: x · y = 24 – La suma de las edades de dos hermanos es 43: x + y = 43

Observa que una ecuación con dos incógnitas tiene muchas soluciones. Trata de dar valores a x e y para que cumplan una relación, por ej. : x + y = 13

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• Sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por las ecuaciones: ax + by = c a’x + b’y = c’

donde los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales. Se dice que un par de números x1, y1 son una solución del sistema si al sustituir x por x1 e y por y1 se satisfacen a la vez las dos ecuaciones del sistema. Así pues, resolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar (si existen) todas las soluciones. Siguiente

• Sistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. La siguientes reglas nos permiten pasar a otros sistemas equivalentes: • Suma o diferencia de números o expresiones algebraicas 2x + y = 5 x+y=3

2x + y - 3 = 5 - 3 x+y+2=3+2

• Producto o cociente por un número real no nulo 2x + y = 5 x+y=3

2 · (2x + y) = 2 · 5 x+y =3

• Suma o diferencia de ecuaciones 2x + y = 5 x+y=3

(2x + y) – (x+y) = 5 - 3 x+y =3

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• Clasificación de sistemas lineales: Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar como:  Sistemas compatibles: tienen solución.  S.C. Determinados: solución única.  S.C. Indeterminados: infinitas soluciones (ecuaciones equivalentes).  Sistemas incompatibles: carecen de solución. Siguiente

Clasificación de sistemas (II): •lineales Un método rápido de comprobar si un sistema es • compatible o no es el siguiente: • Si -a/b = -a’/b’ y c/b ≠ c’/b’ • Si -a/b = -a’/b’ y c/b = c’/b’ • Si -a/b ≠ -a’/b’

Sist. Incompatible. S.C. Indeterminado S.C. Determinado

Observa que los coeficientes a/b, c/b son los resultantes de despejar la “y” en cada una de las ecuaciones lineales del sistema, es decir: ax+by=c ↔ y=-a/b x + c/b Siguiente

• Ejemplos de los tipos de sistemas: S. C. Determinado 2x + y = 5 x+y=3 S. C. Indeterminado 3x + y = 4 6x + 2y = 8 Sistema Incompatible 3x + y = 4 6x + 2y = 4

Para ampliar

-a/b= -2 ≠ -1=a’/b’

-a/b= -3=-6/3 =a’/b’ c/b=4 = 8/2 =c’/b’ -a/b= 3=2/6=a’/b’ c/b=4 ≠ 2 =c’/b’ Volver

Método de Igualación 2x + 3y = 5 5x + 6y = 4

Voy a trabajar por separado la primera ecuación y la segunda ecuación. En ambas buscaré el valor de "y"

2x + 3y = 5 3y = 5 -2x y = 5 -2x 3

Hemos resuelto para "y" la primera ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante.

5x + 6y = 4 6y = 4 -5x y = 4 -5x     6

Ahora hemos resuelto para "y" la segunda ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante.

5 -2x = 4 -5x 3          6 

Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los términos que están dividiendo pasarán a multiplicar

6(5 -2x) = 3(4 -5x) 30 -12x = 12 -15x 15x -12x = 12 30 3x = -18 x = -18 = -6 3

Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una ecuación de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la variable "x"

5(-6) + 6y = 4 y= 17

Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.

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Método de Sustitución 2x + 3y = 5 5x + 6y = 4

De mi sistema de dos ecuaciones con dos variables escojo una de ellas, como por ejemplo, la primera de ellas.

2x + 3y = 5

En mi ecuación escojo una variable para despejar.

2x + 3y = 5 3y = 5 -2x

Como he escogido la variable "y", entonces dejo los términos con "y" a un lado y llevo los demás al otro lado.

y = 5 -2x    3

Hallamos el valor de la variable "y"

5x + 6(5 -2x) = 4 3

Reemplazamos el valor obtenido para "y" en la segunda ecuación (recordemos que estará multiplicando al coeficiente)

5x + 10 - 4x =4 5x - 4x = 4 - 10 1x = -6 x = -6

Resolvemos el producto, llevamos los términos que tienen variable "x" a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad. Reducimos términos semejantes. Al realizar todo este trabajo obtendremos el valor de la variable "x"

5(-6) + 6y = 4

Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.

y= 17 3

Finalmente hallamos el valor de la variable "y" Siguiente

Método de Reducción 2x + 3y = 5 5x + 6y = 4

Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables que queremos resolver.

2x + 3y = 5 5x + 6y = 4

Nos damos cuenta, que para la variable "y", tanto en la primera como en la segunda ecuación, el coeficiente es múltiplo de 3.

-4x - 6y = -10 5x + 6y =    4

Para hacer que la variable "y" tenga coeficientes opuestos, multiplicamos a todos los términos de la primera ecuación por -2

-4x - 6y = -10 5x + 6y =    4 x         =  -6

Sumamos (o restamos según sea el caso) la primera ecuación con la segunda ecuación.

1x = -6     ó    x = -6

Hemos encontrado el valor de la variable "x"

2x + 3y = 5 2(-6) + 3y = 5

Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella reemplazamos el valor de la variable "x"

-12 + 3y = 5 3y = 5 + 12 3y = 17

Nótese que el valor de "x" (que en este caso era -6) lo hemos multiplicado por el coeficiente de esta misma letra. El trabajo que viene a continuación es similar al de cualquier ecuación de primer grado.

y= 17

Finalmente hallamos el valor de la variable Volver

Planteamiento de un Sistema. Un problema de Balanza

En cada una de ellas hay tigres y conejos. También hay pesas, cuyos números expresan kilogramos. ¿Sabrías averiguar cuánto pesan cada tigre y cada conejo sin utilizar otras pesas que las que se dan? Los tigres pesan todos lo mismo y los conejos también

Solución

Solución Consideremos las siguientes incógnitas: x:= Peso del Tigre y:= Peso de un conejo Planteemos el sistema: Primera Balanza

x  4 y  13

Segunda Balanza

x  2 y  25 Volver

Aplicaciones informáticas

•Visitaremos la página www.librosvivos.net donde encontraremos una actividad interactiva sobre sistemas de ecuaciones con la que el propio alu puede “medir” su nivel de aprendizaje de una manera sencilla y divertida. •Utilizaremos un software para resolver sistemas forma analítica como es derive .

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Recursos • Los recursos utilizados han sido: – Ordenador. – Utilización de software: Derive, Cabri – Internet – Tramas para la representación manual de rectas. • También podrían utilizarse los siguientes: – Calculadoras gráficas – Otros programas: Mathematica, Cinderella, etc.

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Anota ciones FIN