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• Amelia Rodríguez Jiménez

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19/10/2020

Evaluacion final - Escenario 8: PRIMER BLOQUE-CIENCIAS BASICAS/ALGEBRA LINEAL-[GRUPO5]

Evaluacion final - Escenario 8

Fecha de entrega 20 de oct en 23:55

Puntos 150

Disponible 17 de oct en 0:00 - 20 de oct en 23:55 4 días

Preguntas 15 Límite de tiempo 90 minutos

Intentos permitidos 2

Instrucciones

https://poli.instructure.com/courses/17004/quizzes/57510

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 Las respuestas correctas estarán disponibles del 21 de oct en 23:55 al 22 de oct en 23:55. Puntaje para este intento: 150 de 150 Entregado el 19 de oct en 16:35 Este intento tuvo una duración de 41 minutos. Pregunta 1 https://poli.instructure.com/courses/17004/quizzes/57510

10 / 10 pts 2/15

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Sea A =

( ) 0

1

1

0

la matriz de la transformación definida por la reflexión

sobre la recta y = x en R 2. ( − 1, 1), (1, 1) son los autovectores de la transformación, los cuales dan

la siguiente información sobre ella:

Una base para el espacio vectorial R 2.

Los vectores ( − 1, 1)y(1, 1) son los únicos que satisfacen las igualdades 0 1 −1 −1 0 1 1 1 = λ( y = λ( ) ( ) ) ( ) 1 0 1 0 1 1 1 1

( )

( )

Los vectores son los objetos de salida.

Los vectores ( − 1, 1)y(1, 1) son los únicos que se transforman en vectores paralelos a ellos mismos, puesto que 0 1 −1 −1 0 1 1 1 = λ( y = λ( ) ( ) ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1

( )

( )

Estos vectores vectores propios dan cuenta de las soluciones que satisfacen su solución es un múltiplo escalar del elemento de entrada..

Pregunta 2

10 / 10 pts

Sea D el conjunto de matrices diagonales . Del subespacio anterior se puede afirmar que:

Tiene dimensión n×n, puesto que el número de elementos de su base es n

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Tiene dimensión n+1, puesto que el número de elementos de su base es n

Tiene dimensión n×n, puesto que el número de elementos de su base es nxn.

Tiene dimensión n, puesto que el número de elementos de su base es n.

10 / 10 pts

Pregunta 3

Reconocer algunas características de los objetos de salida de una transformación lineal, permiten deducir intuitivamente si una transformación no es lineal. Algunos de estos casos son: •Si en el objeto de salida aparecen componentes de los objetos de entrada multiplicándose; por ejemplo ab. •Si en el objeto de salida aparecen potencias de las componentes de los objetos de entrada; por ejemplo ab 2. •Si en el objeto de salida aparece una suma de los componentes de los objetos de entrada con valores constantes diferentes de cero; por ejemplo a + 5. •Si en el objeto de salida aparece una división entre las componentes de los objetos de entrada; por ejemplo

a+b b

.

De los casos anteriores es posible afirmar que,

Cualquier transformación que involucre una suma y una multiplicación escalar entre las componentes de los objetos de salida es una transformación lineal.

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En el objeto de salida sólo deben aparecer suma y multiplicación escalar entre las componentes de entrada.

Las operaciones de suma y multiplicación escalar en un espacio vectorial son las que garantizan la linealidad de una transformación.

Para que una transformación sea lineal, la única operación que no debe aparecer entre las componentes del objeto de entrada es una división.

Cualquier transformación que involucre una suma y una multiplicación escalar es una transformación lineal.

10 / 10 pts

Pregunta 4

Sea la transformación que refleja un objeto respecto a la recta Sea el objeto de entrada (a,b) las coordenadas de un punto en

. .

Para determinar las coordenadas del objeto de salida se debe:

Aplicar la transformación

o realizar la multiplicación

.

Aplicar la transformación

o realizar la multiplicación

.

Aplicar la transformación

o realizar la multiplicación

.

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Evaluacion final - Escenario 8: PRIMER BLOQUE-CIENCIAS BASICAS/ALGEBRA LINEAL-[GRUPO5]

Aplicar la transformación

o realizar la multiplicación

.

10 / 10 pts

Pregunta 5

La matriz de transformación que se aplicó en la siguiente imagen es:

(

( ( (

1.5

0

0

1

)

)

0

0

1

0

2

0

0

0

2

0

0

1

0

1.5

0

0

0

1.5

0

1

1

2

)

)

Pregunta 6 https://poli.instructure.com/courses/17004/quizzes/57510

10 / 10 pts 6/15

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Una empresa produce cuatro tipos de productos en cinco líneas diferentes. La siguiente matriz representa la cantidad de productos defectuosos producidos en cada línea en un periodo de tiempo determinado. Las filas representan el tipo de producto p 1, p 2, p 3, p 4 y las columnas las líneas de producción l 1, l 2, l 3, l 4, l 5.

(

3

5

9

2

4

4

8

2

8

6

6

8

5

7

2

3

4

7

5

4

)

De la situación anterior es posible deducir que: I La posición a 32 representa el número de productos defectuosos producidos del tipo 3 en la línea de producción 2. II Para hallar el total de productos defectuosos producidos en cada línea se debe sumar los elementos de las filas de la matriz. III El número de productos defectuosos del tipo 2 producidos en la línea 3 es 2 unidades. De las proposiciones anteriores cuál(es) es (son) correctas:

I y III

La posición a 32 representa el número de productos defectuosos producidos del tipo 3 en la línea de producción 2. El número de productos defectuosos del tipo 2 producidos en la línea 3 es 2 unidades.

I, II y III II y III I y II

Pregunta 7

10 / 10 pts

Las siguientes n-uplas representan las unidades de consumo de una familia, según el tipo de productos que adquieren en el supermercado mensualmente.

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Para determinar el valor a pagar en cada mes por cada tipo de producto, una posible estrategia es definir la siguiente multiplicación entre matrices:

(

(5, 6, 4, 3)

(10, 5, 5, 3)

(2.5, 3, 1, 0)

(4, 5.5, 3, 5)

(8, 4, 7, 4)

(3, 2.5, 6, 1)

(3.5, 4, 6, 2)

(12, 7, 4, 3)

(2, 2, 0, 3)

)(

(9000, 6000, 4500, 7000) (2500, 3500, 8000, 2500) (3500, 2500, 3000, 2500)

)

La información de la cantidad de productos consumidos se representa matricialmente donde las filas son los meses y las columnas el tipo de producto. La segunda matriz es una matriz columna de los precios de cada producto. Además se cumplen las condiciones de la multiplicación entre matrices.

( ( (

(5, 6, 4, 3)

(10, 5, 5, 3)

(2.5, 3, 1, 0)

(4, 5.5, 3, 5)

(8, 4, 7, 4)

(3, 2.5, 6, 1)

(3.5, 4, 6, 2)

(12, 7, 4, 3)

(2, 2, 0, 3)

(9000, 6000, 4500, 7000) (2500, 3500, 8000, 2500) (3500, 2500, 3000, 2500)

)(

(5, 6, 4, 3)

(10, 5, 5, 3)

(4, 5.5, 3, 5)

(8, 4, 7, 4)

(3.5, 4, 6, 2)

(12, 7, 4, 3)

Pregunta 8

)(

)

(9000, 6000, 4500, 7000) T (2500, 3500, 8000, 2500) (3500, 2500, 3000, 2500)

(5, 6, 4, 3)

(10, 5, 5, 3)

(2.5, 3, 1, 0)

(4, 5.5, 3, 5)

(8, 4, 7, 4)

(3, 2.5, 6, 1)

(3.5, 4, 6, 2)

(12, 7, 4, 3)

(2, 2, 0, 3)

)(

)

(2.5, 3, 1, 0) T (9000, 6000, 4500, 7000) (3, 2.5, 6, 1) (2500, 3500, 8000, 2500) (2, 2, 0, 3)

(3500, 2500, 3000, 2500)

)

10 / 10 pts

Toda transformación en la que en el objeto de salida haya operaciones diferentes a la suma y multiplicación escalar entre las componentes de salida, no es lineal. https://poli.instructure.com/courses/17004/quizzes/57510

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Por ejemplo la transformación T(a, b) =

a+b b

no es una transformación

lineal porque la linealidad se garantiza si T[k((a, b) + (c, d))] = k[T(a, b) + T(c + d)]

Para el caso de la transformación dada, no se cumple puesto que k(a+c) +k(b+d) kd ( a + b ) + kb ( c + d ) ≠ k(b+d) bd

Se interpreta adecuadamente la transformación y se opera correctamente.

Para el caso de la transformación dada, no se cumple puesto que k(a+c) +k(b+d) k(a+b) +k(c+d) ≠ k(b+d) b+d

Para el caso de la transformación dada, no se cumple puesto que k[a+b+c+d] k[a+b+c+d] ≠ b+d k(b+d)

Para el caso de la transformación dada, no se cumple puesto que k(a+c) +k(b+d) kd ( a + b ) + kb ( c + d ) ≠ k(b+d) kbd

10 / 10 pts

Pregunta 9

Sea A =

(

−2

0

0

1

−2

0

2

−1

4

)

la matriz asociada a una transformación y sus

vectores propios (0,6,1)y (0,0,1) De la información dada es posible afirmar que:

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Evaluacion final - Escenario 8: PRIMER BLOQUE-CIENCIAS BASICAS/ALGEBRA LINEAL-[GRUPO5]

No necesariamente la matriz de transformación tiene la misma cantidad de valores propios que vectores propios, pues se debe tener en cuenta la multiplicidad algebraica de los valores propios.

No necesariamente la matriz de transformación tiene la misma cantidad de valores propios que vectores propios, pues se debe tener en cuenta la multiplicidad algebraica de los valores propios

Si hay multiplicidad algebraica para un valor propio, este tendrá asociados tantos vectores propios como indique el número de multiplicidad.

Los valores propios asociados a cada vectores propios siempre son diferentes.

La matriz tiene solamente dos valores propios asociados.

10 / 10 pts

Pregunta 10

Sea A =

(

−2

0

0

1

−2

0

2

−1

4

)

la matriz asociada a una transformación y sus

vectores propios (0,6,1)y (0,0,1) La interpretación gráfica de los autovalores es:

Son vectores perpendiculares. Representan flechas dirigidas en el espacio.

Al aplicar sobre ellos la matriz de transformación A, los vectores resultantes serán el vector resultante de su suma.

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Al aplicar sobre ellos la matriz de transformación A, los vectores resultantes serán colineales con ellos; es decir, quedarán sobre la misma recta.

Al ser autovectores, satisfacen la igualdad Av = kv, es decir el vector resultante es un múltiplo escalar del vector de entrada, lo que significa que gráficamente son colineales.

Pregunta 11

10 / 10 pts

Las siguientes n-uplas representan las unidades de consumo de una familia, según el tipo de productos que adquieren en el supermercado mensualmente.

Para determinar la cantidad total de productos consumidos por cada producto durante los tres primeros seis meses del año, una posible estrategia podría ser

Diseñar una nueva tabla en la que se organice la información por cada tipo de alimento consumido mes a mes.

Definir una operación de multiplicación escalar 3v donde v representa una 4-upla para cada tipo de alimento y 3 es el número de meses.

Definir una operación de suma entre las 4-uplas de manera que se sumen las respectivas componentes de los productos que se consumen mes a mes.

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La suma permite hallar el total de productos consumidos cada mes, definiendo una suma de componente a componente de las 4-uplas.

Multiplicar por 3 cada elemento de las n-uplas y luego sumar los valores correspondientes.

Pregunta 12

10 / 10 pts

Sea H un subespacio vectorial en R 4, tal que H = v ∈ R 4 : v = (a, b, − b, a). Del anterior conjunto, se puede deducir que una base para el subespacio H es:

(0 1 1 0), (0 − 1 − 1 1) (1 0 0 1), (0 1 − 1 0)

Los vectores son linealmente independientes y general a H.

( − 1 − 1 − 1 − 1), (0 0 0 1) (1 1 1 0), (0 − 1 − 1 1)

Pregunta 13

10 / 10 pts

Una empresa produce cuatro tipos de productos en cinco líneas diferentes. La siguiente matriz representa la cantidad de productos defectuosos producidos en cada línea en un periodo de tiempo determinado. Las filas representan el tipo de producto p 1, p 2, p 3, p 4 y las columnas las líneas de producción l 1, l 2, l 3, l 4, l 5.

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(

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3

5

9

2

4

4

8

2

8

6

6

8

5

7

2

3

4

7

5

4

)

La cantidad de dinero que pierde la empresa por cada producto defectuoso producido es para p 1 $3.500, para p 2 $2.500, p 3 $2.800 y para p 4 $3.200. Una posible opción para hallar el costo total de pérdida por la producción defectuosa de productos podría ser:

(

3

5

9

2

4

4

8

2

8

6

6

8

5

7

2

3 4 7 elementos de la matriz resultante.

5

4

Resolver el producto

(

3

5

9

2

4

4

8

2

8

6

6

8

5

7

2

3 4 7 elementos de la matriz resultante.

5

4

Resolver el producto

)( ) 3500 2500 2800

y sumar los

3200

)( ) 3500

t

2500 2800

y sumar los

3200

Se debe tener en cuenta las condiciones para multiplicar matrices y que el enunciado pide hallar la cantidad total de costo total de pérdida.

Resolver el producto

Resolver el producto

Pregunta 14 https://poli.instructure.com/courses/17004/quizzes/57510

( (

3

5

9

2

4

4

8

2

8

6

6

8

5

7

2

3

4

7

5

4

3

5

9

2

4

4

8

2

8

6

6

8

5

7

2

3

4

7

5

4

)( ) )( ) t

3500 2500 2800 3200

3500 2500 2800 3200

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Evaluacion final - Escenario 8: PRIMER BLOQUE-CIENCIAS BASICAS/ALGEBRA LINEAL-[GRUPO5]

Sea V =

{ (a, b, c) ∈ R3 : x, y, z > 0 } en el cual se definen las siguientes

operaciones suma ⨁ y multiplicación por un escalar ⨂ de la siguiente manera: •Sea u = (a, b, c)y(p, q, r) en V, u ⨁ v = (ap, bq, cr). •Sea k ∈ R, k ⨂ u = (ka, kb, − kc). El resultado de la operación 3[ ⨂ (0, − 2, 5) ⨁ (0, − 1, 5)] es:

(0,6,-75)

Se interpreta adecuadamente las operaciones no usuales definidas.

(0,-9,30) (0,-6,-75) (0,9,-30)

10 / 10 pts

Pregunta 15

Toda transformación en la que en el objeto de salida haya operaciones diferentes a la suma y multiplicación escalar entre las componentes de salida, no es lineal. Por ejemplo la transformación

no

es una transformación lineal porque,

No se cumple

pero si se cumple que .

pero sí se cumple que el vector cero del espacio vectorial de entrada se transforma en el vector cero del espacio vectorial de salida. No se cumple

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Al verificar propiedad no se obtienen polinomios iguales al aplicar la transformación puesto que los coeficientes del polinomio no son iguales.

Al aplicar las transformaciones en ambos lados de la igualdad, se encuentra que el término independiente en la parte izquierda es 5 y en la parte derecha resulta ser 10, por ejemplo.

No se cumple

, además en el objeto de

salida no aparece la componente zz del objeto de entrada.

Puntaje del examen: 150 de 150

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