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Semestral UNI 2015 • Aptitud Académica • Cultura General • Matemática • Ciencias Naturales

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Preguntas propuestas

1

Álgebra Números complejos I NIVEL BÁSICO D)

1. Se cumple



w=1+2i+3i2+4i3+...+4ni4n – 1; n ≥ 34.



Determine

Re( w) 2 Im( w)



o falsedad (F), luego de reducir 5 + 3i 1− i + z=i+ 1− i 3 − 5i 1− 1+ i 1+ 1− i

2



I. z es un complejo real II. z es un complejo imaginario puro III. |z|=2 IV. |z|=1

z + a − | z − a |2 | z + b|2 − | z − b|2

; a, b ∈ 

A)

a b

D)

a+ b E) 1 b

B)

a+ b b C) a a

NIVEL INTERMEDIO

7. Sea α = a + 1 + bi a + (1 + i )b

1 2

+

i 2

Si además se cumple que a27+an –1=0, calcule un valor de n. A) 30 B) 45 C) 37 D) 58 E) 100

es equivalente a un imaginario puro de módulo 2 (a; b ∈ R),

 



1 z

 

8. Si A =  z ∈ C / Im  z −  = 2 ∧ | z |= 1,  

A) 1 B) 2/9 C) – 6/49 D) 5/3 E) 0



4. Determine el módulo de z. z=

Determine |4z+5|.

de

3. Halle (a – b) si



1 5 3 E) 2 3 5

6. Si z ∈C de parte real no nula, calcule el valor

A) VFVF B) FVVF C) VFFV D) FVFV E) VFFF



3 3 3 3 C) 2 5 2 5

A) 13 B) 12 C) 14 D) 10 E) 11

2. Determine la secuencia correcta de verdad (V)

B)

5. Sea z ∈C, tal que |z|+3i=z – 2.

A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/4 E) 4

3 5

A) 2

3 + 4 i ·(1 − i )4 ·(cos 15 + i sen 15) 3

2i + 23 · (1 − 3i )

3

entonces A es un conjunto A) infinito. B) de tres elementos. C) de dos elementos. D) nulo. E) unitario.

2

Álgebra 9. Determine el argumento principal de

C)

z=(ab+ac; bc–a2)·(bc+ba; ac–b2)·(ac+bc; ab – c2) A) 0 B) p C) p/2 D) p/3 E) p/4

10. Si z=2[cos70+isen70]; |w|=3; |z+w|2=21.

determine Re(wz).

z+w z+w −u + +u 2 2 calcule el valor de | z | + | w|

12. Si w2013=1; w≠1, evalúe

D)



calcule el valor de n.



2013 C) 1006i 2

4

n

(1+x+x2)1000≡ a0+a1x+a2 x2+...+a2000 x2000 determine a0+a4+a8+...+a2000. 3100 − 1 3100 + 1 C) 4 4

A)

3100 + 5 4

D)

3 + 3100 3100 − 1 E) 4 3

B)

17. Sea z=x+yi/z39=1; z≠1.

A) – 2 B) 1 C) – 1 D) 1/2 E) 2

14. Al unir los afijos de los complejos

= (1 − i )(1+ i )

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7

13. Si a, b ∈C/|a – b|=|a|=|b|>0, halle el valor 4

(1− i ) n

1+ i   2 

2013 i E) 2013 2

 a  b de   +    b  a

3− 2 2

16. Si se cumple la identidad

1 1 1 + + ... + 1 + w 1 + w2 1 + w2013 B)

E)



A) 3 B) 4 C) 1 D) 2 E) 5

A) 1006

6− 2 2

15. Si i = −1 y se tiene la igualdad

11. Si z, w∈C/u = z · w ,



D)

NIVEL AVANZADO

A) 8 B) 3 C) 6 D) 2 E) 4



3 [ 6 − 2] 4

z1=(– a, 0); z2=(0, – a)/a > 0; z3=(x, y) pertenece al primer cuadrante, se genera un triángulo equilátero de lado 3. Determine y.



Determine Re(z+z2+z3+...z37). A) −1 + B) −1 − C) 1 −

x x 2 + y2 x x 2 + y2 x 2

x + y2

A)

6+ 2 2

D) x2+y2

B)

2 −1 2

E) 1 +

3

x x 2 + y2

Álgebra 18. Sean z1; z2; z3 números complejos, tal que z1+z2+z3=0 ∧ |z1|=|z2|=|z3|=1

determine A) – 1

z12

+

z22

+

z32 .

B) 0 C) 2

D) 1 E) 4

19. Determine el número de soluciones en

z z

+

z = 1; z = 1 z

con z=cosx+isenx; x∈[0; 2p〉. A) 6

B) 8 C) 10

D) 4 E) 2

20. Sea a un número real positivo, tal que 1 = a; z ≠ 0. z



z+



Determine el máximo y mínimo valor de |z|. A) máx|z|=1; mín|z|=1/2 | a| + a | a| − a ; mín|z|= B) máx|z|= 2 2 C) máx|z|=

a + a2 + 9 − a + a2 + 9 ; mín|z|= 2 2

D) máx|z|=

a + a2 + 4 − a + a2 + 4 ; mín|z|= 2 2

E) máx|z|=

a + a2 + 4 − a + a2 + 4 , mín|z|= 2 2

4

Álgebra 4. Indique una de las raíces cúbicas del número

Números complejos II

complejo z = 4 3 − 4 i. NIVEL BÁSICO A) 2e

 11π  i  9 

D) 2e

 21π  i  18 

1. Si z es un número complejo, tal que

p arg(z(1+i))= y |zi|=8, 6 determine el número complejo z representado en su forma exponencial. A) 8e

−

iπ 12



B) 6 e

−

iπ 5

C) 5e

D) 3e – ip E) 2e

−

iπ 4

−

iπ 3



z=

(1 − i 3 )5 (cos θ + i sen θ)7



M = { z ∈ C / z = 3 + 4 i + 3 − 4 i },

además, M={a, b, c, d}. Calcule el valor de la expresión



A=|a|+|b|+|c|+|d| B) 5 C) 5

D) 4 E) 4 5

 13 π  2i  +15θ   6 

NIVEL INTERMEDIO

7. Dado el complejo  5π   − +15θ  i 3



z=2m+(1 – m)i; m ∈R+



Calcule m si se sabe que el argumento principal de z(z – i) es 45º.

3. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones.



w50



A) 12

D) 1 E) e

 3 2 w  w   E =   [ ww ]   

A) w+1 B) w2 C) w D) – 1 E) 1

 13 π  i − +15θ   6 

C) 2e

 39 π  i  11 

de la unidad, determine el valor de la expresión



  11 2 i  + 3θ   7

B) 2e

E) 2e

 35 π  i  9 

6. Si M es un conjunto definido por

6 8 4 (1 − i ) (cos θ − i sen θ) se obtiene

A) e

 23 π  i  18 

B) 2e

5. Si se sabe que 1, w, w2 son las raíces cúbicas

2. Al simplificar el número complejo

C) 2e



I. e

i

7π 11

II. cos θ =



III. e e

i iθ

B) 3/5 C) 5/3

D) 2/5 E) 1

8. Si |8+(z – 1)i|=1,

=1



A) 4/5

e iθ + e− iθ , ∀θ ∈0; 2π 2

= e− sen θ , ∀θ ∈0; 2π

A) FVF B) FVV C) VVF D) VFV E) VVV

5



indique en qué cuadrante se encuentra el π  complejo  5cis  · z.  4 A) primero B) segundo C) cuarto D) tercero E) ninguno

Álgebra 9. Al representar gráficamente en el plano de Argand 5 1 − 3i una de las raíces se encuentra en el tercer cuadrante, determine su ar-

13. Efectúe 4



gumento. A)

22p 15

 1 + i cot 15    ; i = −1 1 − i cot 15  A) − 1 + 3 i 2 2

7 19 p B) p C) 5 15

1 3 B) − − i 2 2

18p 17p D) E) 15 15

10. Si w≠1 es una raíz enésima de la unidad, ¿a

C)

1 3 + i 2 2

D)

1 3 − i 2 2

qué es equivalente la siguiente suma?

S=w+2w2+3w3+...+(n –1)wn–1 A)

−n ( w − 1)2

B)

n w −1

C)

E) 1

14. Sean 1, w1, w2, ..., w10.

n ( w − 1)2



los raíces de orden 11 de la unidad.



Determine



D) 0

A) 0

E) 1

do al unir los afijos de las raíces cuartas del complejo

15. Si z=cos2q+isen2q, entonces calcule B) 3 2 C) 4 2

D) 4 4 2 E) 2

12. Dados los conjuntos



NIVEL AVANZADO

z = 1+ i A) 2 4 2



B) 1 C) 10

D) 11 E) 110

11. Determine el área del polígono regular forma-



(1 − w12 ) (1 − w22 )... (1 − w102 )

M={z ∈C/z=2+t(–1+i); t ∈[0; 1]}    3π  N =  w ∈ C / w = z· cis   , z ∈ M   4    encuentre en N el complejo de mayor argumento principal. A) 2

B) 5 C) − 2

D) 6 E) 7



1+ z    tan θ 1− z  A) icotq B) itan2q C) i D) icot2q E) – 1

16. Se tiene z3+w 7=0; z5 · w11=1. Halle |w|. A) 1/2 B) 2 C) 3 D) 1 E) 1/4

6

Álgebra 17. Sea z un complejo cuyo argumento principal

Re

A)

z− | z | . z+ | z | 2p p p B) C) 2 4 11 p D) E) 0 2



A={z – i/2Re(z)+3 Im(z) ≤ 4},



entonces la figura que mayor representa es

Re

D)





Re

A) 7/2 – 7/3

–1 1 Re

–1 1

Re

Im

B)

Im 7/3

–1

–1

1 Re 1

Re

– 7/2 1

Im –1

C) Re

Im Re 1

–1 –1

–2

Im Im

Re

D)

– π/6

Re

–2 Im

19. Determine la gráfica que mejor representa

Re

−i  M =  z ∈ C / z = ∧ | w| > 1 ∧ 0 ≤ arg w ≤ 2 ( w) 

Im

E)

E)

del conjunto

7/3 7/2

–1

Re 1

20. Señale la figura que mejor representa la gráfica

Im

D)

–1

Im

Im

Im

C)

B)

Re

1/2

C)

18. Si A es un conjunto definido por

B)



Im

A)

A)

Im

Im

5p es . Determine el argumento principal de 11

 1+ z   B =  z ∈ C / Re  =1  1 − z   

E)

π/6 –1

1 Re –1

7

π  3 

Álgebra A) – 3/2

Ecuaciones polinomiales I

B) – 1 C) 0

D) 1/2 E) 1 NIVEL BÁSICO

1. Si a es una solución de la ecuación

2

x − 3 x + 1 = 0, determine a18+a6+1.

7. Sea la ecuación polinomial

A) 1 B) – 1 C) 2 D) 3 E) – 3

2. La ecuación polinomial





(x – n)4(2x+3)P(x – P)2(5x – 1)n=0 131 admite 10 raíces cuya suma es 10 Determine P/n.

A) 3 B) – 3 C) 6 D) – 6 E) 12

8. Sean a, b, c, d, e raíces de

3. Calcule el valor de n para que la siguiente

4. Para {a, b, c}∈R+, resuelva en x

NIVEL INTERMEDIO

ecuación de incógnita x no tenga solución. (n2 – 3n+2)=(n2 –4n+3)x A) 0 B) 2 C) 1 D) 3 E) 5

x − ab x − bc x − ca + + = a+ b+ c a+ b b+ c c+a

9. Dada la ecuación polinomial



5. Sea la ecuación cuadrática

x2 – (m – 2)x+2n=1, m, n ∈ Q.



de CS =

{



Calcule

m +1 n +1

}



6. Dada la ecuación

2

2ax +(3a – 1)x+(a+b)=0 Halle un valor de b para que exista un solo valor de a que permita que las raíces de la ecuación sean iguales.

2

( a − 1)

+

b3 2

( b − 1)

+

c3 ( c − 1)2

A) 2 B) 2/3 C) 3 D) 4 E) 3/2

10. Dada la ecuación en x

a+ b a+ b . ; a b

A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) – 1

x3 – x2+2x – 1=0 de raíces a, b, c determine a3

A) {0} B) {abc} C) {ab+bc+ac} D) 1 E) a+b+c

x5+x2+1=0. Determine a5+b5+c5+d5+e5

A) 0 B) 5 C) 6 D) – 5 E) – 6

A) – 1/4 B) 1/3 C) – 1/3 D) 1/4 E) 1/5



x3+3x – 2=0 de raíces m, n, p. Calcule (m+n)3+(m+p)3+(p+n)3

8m3 x – 4n=n(36x – n+2), mn≠0, halle n2 – m2 para que tenga infinitas soluciones. A) 10 B) 12 C) – 27 D) 27 E) 31

11. Sea la ecuación cuadrática

(

)



( x − 3)2 +



Indique el módulo de una raíz.

7 + 2 10 x = 5 − 6 x

A) 1 D)

B) 2 C) – 2

1+ 3 E) 34 2 8

Álgebra m

12. Si m > n > 0, entonces x1 =

m + m− n

m

x2 =

y

m − m − n son raíces de la ecuación

16. Dada la ecuación polinomial

x3+x – 1=0 de raíces x1, x2, x3,



determine (2 – x1)(2 – x2)(2 – x3).

A) mx2 – nx+m=0

A) 10 B) 11 C) – 8 D) 8 E) 9

B) mx2 + mx+n=0 C) mx2 – mx+n=0 D) nx2 – 2mx+m=0

NIVEL AVANZADO

E) nx2+2mx+m=0

17. Si la ecuación cuadrática

13. Si las raíces de la ecuación

mx2 – (m+3)x+2m+1=0 (m≠0)





difieren en 2 unidades, determine el conjunto



de valores reales que puede admitir m.

{ } { } 9 ; −1 11

18. Sea la ecuación cuadrática

9 C) − ; 1 11



ax2+bx+b=0; a ≠ 0, ab > 0 de raíces r>s>0.



Determine

D) {1; 9}

{ }

x3 – 2nx2 – 72=0. Halle x1· x2 si x1+x2+2x3=5n, n∈R.

B) 1 C) 4

19. Si B =

L=

x3+x – 100=0.



Determine el valor de ( m − n)

mn ( p − 4 mn)

+

}

es el conjunto solución

b2 − 4 ac

( a + b + c)2

20. Sean a, b, c raíces de 2

2

2n − 1 2n + 3 ; n−1 n+1

A) 16 B) 12 C) 4 D) 8 E) 2

15. Sean {m, n, p} el conjunto solución de

{

de ax2+2bx+4c=0, a≠0, calcule

A) 36 B) 12 C) 14 D) 24 E) 60



s b + r a

D) 2 3 E) 4 3

14. Sean x1, x2, x3 las raíces de la ecuación

2

r + s

A) 0

9 E) 2; 2



)

8 r + 12 r x +

A) 1 B) 1/4 C) 0 D) 1/2 E) 2

A) {2; 3} B)

(

1 · 18 r = 0 4 tiene como conjunto solución al conjunto {a}; a ∈R, calcule el valor de 3– r·21– r/2·a x2 +

( n − p)



x3 – 9x2+11x – 1=0 y S = a + b + c .

2



Calcule S4 – 18S2 – 8S.

2

( p − m)

pm ( n − 4 pm) 2

+

np ( m − 4 np)

A) 1 B) 3 C) 0 D) 4 E) 3/2

9

A) 27 B) – 54 C) – 27 D) – 37 E) – 47

Álgebra Ecuaciones polinomiales II

5. Si x1, x2, x3, x4 son raíces de x4 – 2x2+3=0

NIVEL BÁSICO

A) – 2

1. Dada la ecuación polinomial.

2x4+ax3+bx2+cx – 4=0, {a, b, c, d} ⊂ Q y siendo a+i y 2 dos de sus raíces, calcule



a2 + b2 + c2 + 1 ab + bc + ac + 1 A) 4

B) – 4 C) – 8

D) – 12 E) 0

6. Determine q, tal que las raíces de la ecuación x4– 40x2+q=0

B) 5 C) 2/3

2. Dada la ecuación polinomial de coeficientes racionales. 2x4+bx3+cx2+dx+e=0, tal que una raíz es

estén en progresión aritmética. A) 125

D) 1/2 E) 0



calcule x14 + x24 + x34 + x44

B) 256 C) 48

D) 144 E) 128

7. Resuelva e indique las soluciones enteras de

x2 + 3 x + 1 =

2x2 + 6 x + 5 x2 + 3 x + 1

3 + 2. Determine e.

A) {– 4; – 2; 1; – 1} A) 2

B) 1 C) – 2

B) {– 4; – 2; 1}

D) 1 E) 1/2

C) {– 1; 2} D) {2; 1}

3. Si (2+i) es una raíz doble de la ecuación

x5+ax4+bx3+cx2+dx+25=0



de coeficientes reales, determine el valor de

E) {– 1; – 2}

8. Indique el número de soluciones reales de

a+b+c+d. A) 17

B) 18 C) 19

1

x4 + x2 − 8

=

2

x4 − 3

NIVEL INTERMEDIO

4. Dada la ecuación bicuadrada 3



x +(a+b – 1)x +(b+c – 8)x+(a+c – 3)x+1=0



donde el número de raíces excede en 2 unidades al número de soluciones, calcule un valor de



+

A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 8

D) – 18 E) – 17

4

1

x4 − x2 + 2

5a2 · b· c a+ b+ c A) 8 B) 16 C) 1/8 B) 1 E) – 8

9. Dada la ecuación

2x4 – 4x3+cx2+dx+e=0



de coeficientes racionales.



Si dos de sus raíces son 1 + 2; 1 + i,



determine d+e. A) – 12

B) – 6 C) – 10

D) 12 E) 0

10

Álgebra 10. Dada la ecuación 4

A) 1



5 x + 2 + 5 x + 5 = 0 de raíces x1, x2, x3, x4.



Determine x1 + x2 + x3 + x4 .

15. Resuelva en R 2



1 1    x −  −  x +  x + x + x +1 x x +x= 4 x3 − x2 + x − 1



e indique el número de soluciones.

3

A) 1

B) 4 C) 2

D) 1/4 E) 3

B) – 1 C) 1/2

D) 3 E) – 3

2

11. Halle el intervalo en que debe variar λ para

A) 1

que la ecuación

2

2

B) 2 C) 3

D) 4 E) 5



x4+(1– λ)x2+2(λ – 3)=0



tenga solo dos raíces reales.

16. Determine la solución real de

A) λ ∈ 〈–∞; 2〉



B) λ ∈ R – {5} C) λ ∈ 〈– 6; 7〉

x3 + 3 x 2

3x + 1

=

5 3

A) 3 4

D) λ ∈ 〈– ∞; 3〉 E) λ ∈ 〈0; 3〉

B) 4

2

12. Sea la ecuación x  – 2x +81=0 de raíces

C)

x1, x2, x3, x4. Determine el área generada por x1, x2, x3, x4 en el plano de Gauss. A) 6 5

3

4 +1

3

4 −1

3

2 +1

3

2 −1

D) 3 4 + 3 2

B) 4 5 C) 4

E) 3 4 − 3 2

D) 8 5 E) 5

13. Si el número n 1 + 3 b es solución real de la ecuaNIVEL AVANZADO

ción x6 – 3x4+3x2 – 3=0, determine (bn+nb). A) 2 B) 5 C) 13 D) 8 E) 28

14. Luego de resolver

3 3 x + 3 + + 3 x + 3 x 2 + 2 = 14 x x x se tiene que x0 es una solución. x0 Indique x0 + 1 3

1

11

17. Indique el número de soluciones de la siguiente ecuación fraccionaria

1 1 1 1 π + + + = x −1 x − 2 x − 3 x − 4 2 A) 2

B) 3 C) 4

D) 6 E) 8

Álgebra 4 2  ax − bx − c = 0

18. Si las ecuaciones 

4 2  bx − cx − a = 0



son equivalentes, calcule la mayor solución real. Considere que a; b; c ∈R.

19. El polinomio

P(x)=a8 x8+a7x7+...+a0



tiene todas sus raíces reales positivas, tal que



a8=1, a7=– 4, a6=7.



Halle a0. 1

1

A)

1 2+2 3 2

A)

B)

1 2− 3 2

D) 28 E)

C)

1 2+2 5 2

1 D) 10 − 2 5 2 E) 1 + 5

6

2



B)

28

C) −

1 28

1 216

20. Sea S el conjunto de puntos (a; b) con a; b ∈ [0; 1], tal que la ecuación x4+ax3 – bx2+ax+1=0



tiene al menos una raíz real. Determine el área de S. A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 1/4 E) 1/6

12

Álgebra A) 〈– 2; 0〉 B) 〈0; +∞〉 C) 〈– ∞; 0〉 D) 〈– 3; +∞〉 E) 〈– ∞; – 1〉

Desigualdades NIVEL BÁSICO

1. Sean los intervalos

5. Determine la variación de la expresión



A=〈– 1; 2] B=〈0; 3]



C=〈– 5; 3〉 Determine el número de elementos enteros en C – (A – B). A) 6

2. Si A; B son conjuntos definidos por

A = { x ∈R / x < 1 ↔ x > 0} y



  x2 B = x ∈Z / ∈ A   16 entonces el número de elementos de B es

E=

2x

x2 + x + 1

; x>0

A) 〈0; 1] D) 0;

B) 7 C) 5

D) 4 E) 8





B) 0;

2 3 C) 1;  3  2

1 E) 〈1; 2] 2 

6. Sean a; b; c números reales positivos.



Determine el máximo valor de K si ( a + b)( b + c)( a + c) ≥K abc

A) 6 B) 9 C) 8 D) 4 E) 12 NIVEL INTERMEDIO

A) 3 B) 4 C) 6 D) 10 E) 15

7. Halle el menor número N, tal que se cumple 3. Si a < b < 0, halle el valor de verdad de las

3 – x2 – x4 ≤ N; ∀ x ∈ R.

siguientes proposiciones.

I.

b2 0 a− b a



III. Si a≠– b → a(a+b) > (a+b) · b



IV. a−1 >

A) 16 B) 13/4 C) 9/4 D) 4/13 E) 4/9

8. Si ∀ x ∈ R: (1+a+a2) ≤ K · (a4+a2+1), luego el mínimo valor de K es 3 A) 4

b+1 a

A) VVVF B) VFVV C) FVVV D) VVFF E) FVVF

4. Si a∈〈0; b〉, halle el intervalo al cual pertenece la expresión a2



4 1 B) C) 3 3

D) 3 E)

a b − b4

3

9. Determine la variación de la expresión

M=

3x

x2 − x + 1

A) [– 1; 3]

2 2

2

; x ∈R B) [– 2; 2] C) [– 1; 2]

D) [– 2; 3] E) [– 1; 1]

13

Álgebra 10. Dada la ecuación



4x4 – ax3+bx2 – cx+5=0



de raíces r1, r 2, r 3, r4 positivos, tal que r1 r2 r3 r4 + + + =1 2 4 5 8 halle la mayor raíz



NIVEL AVANZADO

16. Indique el intervalo al cual pertenece

A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 7/3 E) 5/4

x (8 x 2 − 12 x + 12) 1 ; x> 2x − 1 2

A) 4

B) 4 4

64 27 C) 2 · 4 27 64

D) 3 + 3 3 4 E) 1 + 3 4

13. Sabiendo que 2p=a+b+c



14. Calcule el máximo de

18. Sea x un número real positivo,



encuentre el máximo valor posible de



x2 + 2 − x4 + 4 x A) 2 2

19. Determine el máximo valor de



Halle el menor valor de f donde



f = a2 + 9 + b2 + 16

A) 4 3

B) 2 13 C) 3 + 4 2

D) 65 E) 9

A=

x4 − x2 6

x + 2x3 − 1

; x >1

A) 1/2 B) 1/6 C) 2 D) 1/3 E) 1/8

si x, y>0 / x+y=1.

15. Sea a+b=4; tal que a, b ∈R+0 .

B) 1 C) 1/2

D) 2 E) 2 2 − 2

L = 3 2x + 7 + 3 2y + 7

A) 2 B) 3 2 C) 8 3 D) 2 · 4 E) 4

1   6 1   x +  −  x + 6  − 2  x x  ; x>0 3 1  3 1    x +  +  x + 3   x x  A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 9

calcule el máximo valor de k, siendo a, b, c lados de un triángulo que verifique p3 – 3abc ≥ k(p – a)(p – b)(p – c)

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

3 7 7 3 ;  C)  ; 5 2 2 3

6

E=

B)

17. Encuentre el mínimo de

12. Determine el mínimo de

3 2 

3 D) [1; 2〉 E)  ; +∞ 2

xy(72 – 3x – 4y); donde x, y > 0

A) 1100 B) 1260 C) 1200 D) 1152 E) 1160

x2 + x + 1 si x ∈1; 2 . x +1

A) 0;

11. Determine el máximo producto



A=

20. Indique la variación de la expresión x2 + x + 1 − x2 − x + 1



M=



si x ∈ R. A) 〈– 1; 1〉

B) [– 1; 1] C) 〈– 2; 2〉

1 1 1 1 D) − ; E) − ; 2 2 3 3 14

Álgebra Inecuaciones cuadráticas

5. Determine la suma de valores de k, de modo que la inecuación

NIVEL BÁSICO



x2 – kx+9 < 0 tenga CS=φ

1. Siendo a < b < 0, resuelva

A) 12



D) 0 E) 52

x b x a + ≥ + a a b b

A) 〈– ∞; a+b〉

6. Si la ecuación cuadrática

B) 〈– a – b; +∞〉 C) 〈a – b; +∞〉 D) 〈ab; +∞〉 1 E) ; +∞ a+ b



(a – 2)x2 – 2ax+(a+3)=0



tiene raíces positivas, entonces A) a < – 3

x−m x−n x− p  1 1 1 + + > 2 + +  np mp nm  m n p

7. Determine el intervalo del parámetro a, de

modo que la desigualdad ax2 – 2x+a ≤ 1 se cumpla para todo x ∈ R

A) 〈m; +∞〉

1 − 5 1 + 5  ; A)    2 2 

B) 〈– ∞; m+n+p〉 C) 〈m+n+p, +∞〉

B) 〈– ∞; 0〉

D) 〈m – n – p; +∞〉 E) 〈–∞, m – n – p〉

C) −∞;

3. La inecuación

x2 − 2 3 x + 1 < 0 tiene como conjunto solución a A)

3 − 1;

3 +1

B)

2 − 1;

2 +1

C)

3 − 2;

D) − 3;

D)

3+ 2

1− 5   2 

1+ 5 ; +∞ 2

E) R −

1− 5 1+ 5 ; 2 2

NIVEL INTERMEDIO

3

E) 2 − 3; 2 + 3

8. Se sabe que el conjunto solución de

4. Al resolver la inecuación cuadrática 2

B) 2 < a ≤ 6 C) a > – 3

D) A ∪ B E) a  2



se obtiene como conjunto solución al intervalo



bc( ax − 1) ab( cx − 1) ac( bx − 1) + + > a+ b+ c b+ c a+ b a+c



es m, + ∞ . Halle m −

1 − 2; 1 + 2 . Determine a+b. A) – 1 B) 2 C) – 2 D) 1 E) 3 15

A) 1/a

1 1 − si {a, b, c} ⊂ R+. a b

B) 1/b C) 1/c

D) 1/d E) a

Álgebra 9. Dado el conjunto

{

}

π S = x ∈R / sen t( x − 1) < t( x − 1); 0 < t < 2 calcule la suma de los cinco menores elementos enteros de S. A) 10

13. Resuelva la siguiente inecuación en x.

A) R B) R+ C) R–

B) 18 C) 20

D) 23 E) 29

D) φ E)  m2 + n2 + p2 ; + ∞

10. Dados los conjuntos

AC = { x ∈R / x ≤ 5 ∨ x > 8}



B = { x ∈R / ( x + 3 x + 7) ( x − 9 ) ≥ 0}



Halle A ∩ B.

2

x2+m2+n2+p2 > x(m+n+p); {m, n, p} ⊂ R+

2

14. Se tiene el conjunto

T = {t ∈R / ∀x ∈R : x 2 − (2 2 − sen 2t ) x + 1 ≥ 0}

Si T ⊂ 〈0, 2p]; calcule el cardinal del conjunto T. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5

A) [5; 8〉 B) [– 3; 3]

15. Dado el sistema de desigualdades

C) [– 3; 5〉 ∪ 〈8; +∞〉



D) [8; +∞〉

E) 〈5; 8]

A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 9

11. Respecto al conjunto A dado por

A = { x ∈R / 5 x − 1 < ( x + 1)2 ≤ 7 x + 15},



indique la secuencia correcta de verdadero

 y − x 2 + 6 x − 12 ≥ 0  2y − x ≤ 4  Determine el máximo valor de x+y.

NIVEL AVANZADO

(V) ó falso (F).

I. ∃ x ∈ A/1 – x > 0



II. A ∩ {1, 2, 6}=φ



III. Los elementos de A suman 20. A) VFV

B) FVF C) VFF

D) FFV E) FFF

12. Sabiendo que P(x) ≤ 0; ∀ x ∈〈 – 8; 5] ∪ [7; +∞〉

16. En la siguiente inecuación



x2 – ∆ x+∆  1.



P( x ) = − x 2 + ( 2a + 1) x + b + 2 /

A) solo I



a ∨ b ∈ R; calcule 2a – b.

B) solo II C) solo III

A) 0

B) 54 C) 48

D) 42 E) 36

D) I y II E) I, II y III 16

Álgebra 17. Dado el polinomio de coeficientes reales

19. Si a; b ∈ Z+, tal que b2 + b



P(x)=x3+ax2+bx+c



tal que sus tres raíces son reales positivas,



a2 + a

además, sea el polinomio Q(x)=x2 – 2x+3. Se



determine el número de (a, b) que sean solu-

=4

ción de la ecuación.

sabe que P(Q(x))=0 tiene todas sus raíces imaginarias. Determine la variación de c.

A) 1 A) −8; 0

B) 2

B) − 27; + ∞

C) 0

C) −∞; 8

D) 4

D) R

E) infinitas

E) − 8; + ∞

20. Dados los polinomios

18. Dados los polinomios



f(x)=x3 – 3x2+5x – 17

g(x)=x2 – x+2



g(x)=x3 – 3x2+5x+11

encuentre el número de valores reales que f toma x para que ( x ) sea un número natural. g( x )



Si f(a)=0; g(b)=0; a ∧ b ∈R



calcule a+b.



f(x)=2x2+2x – 4



A) 1

B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

17

A) 3

B) 4 C) 6

D) 5 E) 2

Álgebra

Semestral UNI

Números complejos I 01 - C

05 - B

09 - A

13 - C

17 - B

02 - D

06 - A

10 - E

14 - C

18 - B

03 - A

07 - C

11 - C

15 - B

19 - B

04 - E

08 - E

12 - B

16 - E

20 - E

Números complejos II 01 - A

05 - C

09 - E

13 - B

17 - D

02 - E

06 - E

10 - B

14 - D

18 - B

03 - E

07 - B

11 - A

15 - C

19 - C

04 - C

08 - B

12 - C

16 - D

20 - E

Ecuaciones polinomiales I 01 - B

05 - D

09 - C

13 - C

17 - A

02 - B

06 - B

10 - D

14 - B

18 - A

03 - D

07 - C

11 - B

15 - C

19 - A

04 - C

08 - D

12 - D

16 - B

20 - D

Ecuaciones polinomiales II 01 - B

05 - B

09 - B

13 - D

17 - C

02 - A

06 - D

10 - B

14 - C

18 - C

03 - D

07 - E

11 - D

15 - B

19 - B

04 - A

08 - A

12 - D

16 - B

20 - D

01 - A

05 - B

09 - A

13 - B

17 - C

02 - C

06 - C

10 - C

14 - E

18 - E

03 - E

07 - B

11 - D

15 - E

19 - B

04 - C

08 - C

12 - D

16 - C

20 - A

Desigualdades

Inecuaciones cuadráticas 01 - B

05 - D

09 - C

13 - A

17 - A

02 - C

06 - D

10 - E

14 - C

18 - C

03 - C

07 - C

11 - C

15 - C

19 - C

04 - B

08 - C

12 - C

16 - E

20 - E

18

Semestral UNI 2015 • Aptitud Académica • Cultura General • Matemática • Ciencias Naturales

Sheraton Moon Hotel

Preguntas propuestas

2

Álgebra A) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈0; 2〉 B) 〈– ∞; 0〉 ∪ 〈2; +∞〉 C) 〈– 2; 0] ∪ 〈0; +∞〉 D) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈2; +∞〉 E) 〈– ∞; 2〉 –{0}

Inecuaciones polinomiales NIVEL BÁSICO

1. Resuelva la siguiente inecuación.

x4+3x3+7x2+15x+10 ≤ 0

A) 〈– 2; – 1〉 B) 〈– 1; 2〉 C) [– 2; – 1] D) 〈1; 2〉 E) 〈– 2; 2〉

6. Resuelva la inecuación ( x + 1)3 ( x − 7)5 ( x 2 + k)



(x2 – 4)(x – 1)(x+3) < 21 A)

−1 − 37 −1 + 37 ; 2 2

B)

−1 − 39 −1 + 39 ; 2 2

1 − 37 −1 + 37 ; 2 2 D) R

C)





(x+1)a · (3x – 2)b+1 · (x+2)c > 0 a  tiene CS = { x ∈R x > −2} −  ; − c b  calcule el menor valor de (a+b+c). A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

5. Resuelva la inecuación fraccionaria

x+2 x−2 ≥ x−2 x+2

se verifica para x ∈ R – {1}; halle en qué intervalo oscila a. B) 〈– 3; 3〉 C) 〈– 2; 2〉

1 1 D) [ – 2; 2〉 E) − ; 2 2

(x – 4)2(x+3)5(x – 1)7 · x2013 > 0 se obtiene como CS=〈a; b〉 ∪ 〈c; +∞〉 – {d} Halle a+b+c+d.

4. Si la inecuación polinomial

x 3 + ( a − 1) x 2 + (1 − a) x − 1 >0 x −1

A) 〈– 1; 1〉

3. Luego de resolver la inecuación

A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5

Si k > 0.

7. Si la inecuación

E) φ

≤0

A) [– 1; 7]  – {1; 5} B) 〈– 1; 7〉 – {1; 5} C) [0; 6] – {1; 6} D) [1; 6] – {1; 5} E) [1; 7] – {5; 1}

2. Resuelva e indique el conjunto solución.

( x − 1)8 ( x 2 − x + 3) ( x − 5)4

NIVEL INTERMEDIO

8. Si A es el conjunto solución de

x5 – 2x4 – 10x3+4x2+16x > 0 B es el conjunto solución de (x4 – 256)(x3+3)x2 < 0 determine A ∩ B. A) − 3 3; − 2 ∪ 0; 2 B) −4; − 2 ∪ − 2; 0 C) −2; − 3 3 ∪ − 2; 0

D) −4; − 2 ∪ E) φ 2

2; 4

Álgebra 9. Si la inecuación polinomial

(x – 4)m · (2x – 1)n · (x+3)2p ≥ 0



 1 tiene CS = [ n; + ∞ ∪ −3;  p 



calcule el menor valor de m+n+p.

13. Resuelva en x

10. Resuelva

x8+x5+x4 – 4(x4+x+1) > 0

14. Resuelva la inecuación fraccionaria

A) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈2; +∞〉

B) 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈1; +∞〉 C) −∞; − 2 ∪

2; + ∞

D) − 2; 2 E) φ

11. Halle un intervalo solución que se obtiene al



resolver la inecuación (x+1)(2x+1)(x – 2)(2x – 3)+1 ≤ 0 1+ 5 1+ 2 2 ; 2 2

A)

tal que a < b < 0. A) 〈– ∞; a〉 ∪ [b; – a〉 B) 〈– a; a〉 ∪ 〈0; 2b〉 C) 〈– a; a〉 ∪ [b; 2b] D) 〈– a; a〉 ∪ [2b; +∞〉 E) 〈– ∞; – b] ∪ 〈– a; – a〉 ∪ [2b; +∞〉

A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 2



x + b x − b 2 ( b2 − ab) − ≤ x+a x−a x 2 − a2

1 1 1 1 + + + ≥0 x−8 x−6 x+8 x+6 e indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Un intervalo solución es [0; 6〉. II. Existen cinco soluciones enteros negativos. III. Su conjunto solución tiene infinitos elementos. IV. La suma de las soluciones enteras negativas es – 34. A) FVVF B) FFVV C) VVFF D) FVVV E) VVVF

15. Si ∀ x ∈ R, se cumple

1 + 5 1 + 2 2  B)  ;   2 2 



1 − 2 1 + 2 2  C)  ;   2 2  D) 1 − 5; 1 + 2 2 

−3
0  x −1   x −1   x −1 

20. Dada la inecuación

(x – 1)– 1+(x – 2)– 1 ≥ 2014 determine la longitud de su conjunto solución. B) 1006 – 1 C) 2014 A) 1007– 1 – 1 D) 2014 E) 1007

4

Álgebra Expresiones irracionales

6. Resuelva

NIVEL BÁSICO

 1 1  ; A)  −   3 3

1. S es el conjunto solución de la ecuación

 1 1  ; B)  −  − {0}  3 3

2 + x − 5 = 13 − x Indique lo correcto.

C) x ∈ R

A) S ⊂ 〈4; 6〉 B) S ⊂ 〈5; 6〉 C) S ⊂ 〈8; 10〉 D) S ⊂ 〈12; 14〉 E) S ⊂ 〈14; 15〉

D) −

7. Resuelva en Z

3x − 4 + 2x − 3 = 5x − 7



determine el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

x + x + 5 + 2 x = 25 − 2 x 2 + 5 x

4. Luego de resolver la inecuación

NIVEL INTERMEDIO

8. ¿Qué podemos afirmar de la siguiente ecuación? 2 x +1 + 2 x + 2 + ... + 2 x +10 = x + x +1 + ... + x + 9

x+6 < x se obtiene como CS=〈a; +∞〉. Determine la suma de cifras de 34a.

A) No tiene solución. B) Tiene infinitas soluciones. C) Tiene 2 soluciones. D) Tiene una solución. E) Tiene 10 soluciones.

A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 1

5. Resuelva la inecuación

e indique el número de elementos del conjunto solución.

indique el número de soluciones. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4



− x 2 + 9 x − 8 > x − 12

A) 7 B) 5 C) 8 D) 4 E) 9

3. Luego de resolver

1 1 ; 3 3

E) [– 1; 1]

2. Luego de resolver la ecuación irracional

1− x2 + 3 − x2 > 3 + x2 + 1− 3 x2

3

x3 + 3 x2 + 6 x − 2 + 1− x < x + 1

A) 〈0; 1]

8 8 B) −∞;  C) −∞; − 9 9

8 8 D) − ; E) −∞; 3] 9 9

5

9. Luego de resolver la ecuación

2x − 3 + 3 4 x =1 indique el número de soluciones A) 6 D) 0

B) 1 C) 3 E) 4

Álgebra 10. Luego de resolver la ecuación irracional

3

3

3

3

x − 2 + x − x − 24 = x − 26

determine la suma de cubos de las soluciones. A) 61 B) 62 C) 63 D) 64 E) 65

11. Luego de resolver la ecuación

C) 〈– ∞; 2] ∪ {0} D) 〈– ∞; 1] – {0} E) 〈– ∞; 0〉 ∪ [1; 2]

3

(2 +

3

x −1) = 9 − x

15. Si [m; n] es el conjunto solución de la siguiente inecuación



indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. Presenta 6 soluciones. II. Tiene solución única. III. Si S es el conjunto solución, entonces S ⊂ 〈0; 2〉. A) VFF B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF

12. Luego de resolver la inecuación

x+3 −2 > − x2 + 4 x − 6 x+2 −3

B) 1 C) 4 2

D) 8 2

E) 16 2

NIVEL AVANZADO

16. Respecto a la ecuación

x+

1 1 − x − =1 x x

¿qué podemos afirmar?

se obtuvo como CS=〈– ∞; a] ∪ 〈b; +∞〉. Determine a+b.

A) No tiene solución.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 8

C) La suma de soluciones es 1/4.

6

27 − x − 3 6 − x − 9 ≥ 0

A) x ∈ 〈5; 7〉 B) x ∈ R – 〈2; 1〉 C) x=18 D) x ∈ 〈9; 12〉 E) x ∈ [4; 7〉

14. Resuelva la inecuación

entonces L=m · n es A) 0

B) Tiene 2 soluciones. D) Tiene solución x0 ≥ 2. E) Tiene solución única x0 ∈ 1; 2  .

13. Resuelva la siguiente inecuación.

 8 − x 2   16 − x 2   50 − x 2  −1  −1  −1 ≥ 0   x    x x

2 − x + 4x − 3 ≥2 x  7 A) −∞; 0 ∪ 1;   4 B) −∞; 0 ∪ 0; 2 

17. Resuelva la ecuación

5

20 + x = 1+ 5 x − 11; x ∈ R

e indique el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

18. Dado el conjunto

{

S = x ∈R

}

− x2 + 6 x − 5 > 8 − 2x

calcule Inf(S)+Sup(S). A) 9 B) 8 C) 38/5 D) 7 E) 23/5 6

Álgebra 19. Resuelva la inecuación x 2 − ax +1

2

x + ax +1

+

x 2 − bx +1 2

x + bx +1

20. Resuelva la siguiente inecuación irracional.
0; a > 0; b > 0.

 1 A) − ; + ∞  2

A) [2; +∞〉

 1   1 D) − ; 0 E) − ; 0  2   2

B) R C) φ

D) {1} E) [1; +∞〉

7

Álgebra A) 0 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) 4

Valor absoluto NIVEL BÁSICO

1. Calcule A =

5. Luego de resolver la ecuación

2b x 2 −1 x − x 2 −1



1 a b para x =  +  2 b a



si se sabe que 0 < a < b. a A) (a − b) b D)



}

indique su cardinal.

7. Determine el complemento del CS de la si

3. Resuelva la siguiente ecuación.

1− 3   A)   2 

NIVEL INTERMEDIO 5   

1+ 7 1− 7  ;  C)  2   2 1+ 11 1− 11 D)  2 ; 2    1+ 15 1− 15   E)  2 ; 2  

4. Luego de resolver la ecuación



guiente inecuación. x−2 − x+3 ≥5

A) R – B) R C) φ D) R+ E) Z+

x +x x −1 + x − 2 + = x2 − 3 x x −x

1+ 5 1− B)  2 ; 2 

x + 4 − 9 + x 2 ≤ x ( x +1) +1 A) [2; +∞〉 B) 〈– ∞; 2] C) 〈0; 2] D) [0; 2] E) 〈2; +∞〉

M = x ∈R x −1 − x = − x +1

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de tres



se obtiene como CS={a}. Determine 3a – 1.

6. Resuelva la inecuación

b(b − a) E) a – b a

{

x 2 − 6 x + 9 = 2 x −1

A) 3 B) 2 C) 5 D) 4 E) 1

b B) b – a C) (a − b) a

2. Dado el conjunto



x2 – 4x+2=|x – 2| determine el producto de soluciones.

8. ¿Cuántas soluciones admite la siguiente ecuación?



x 6 −1 = − x 5 − x 3 − x A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 1

9. Resuelva

x2 − x − x = x e indique la suma de todas sus soluciones. A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) – 3 8

Álgebra 10. Al resolver la ecuación



A) {1/2; – 1/2} B) {1/2; – 1/2; 1/4; – 1/4} C) {1/2; – 1/2, 0} D) [– 1/2; 1/2] E) [– 1; +1]

|ax+1|=x+a se obtuvo infinitas soluciones. Indique el valor que toma a. A) 1 B) 0 C) 2 D) – 1 E) A ∨ D

15. Si A=[a; b] ∪ [c; d] ∪ [e; f]

11. Resuelva la ecuación x −4 +



1 17 + 4− x + =4 4 4

e indique el producto de todas sus soluciones. A) 12 B) 36 C) 72 D) 144 E) 108





x 4 + x 2 +1 x 2 + x +1

NIVEL AVANZADO

16. Determine el número de soluciones de

13. Resuelva

x−

x + 2 − 3x − 2 ≤0 x − x+3 A) −∞; −



1 1 + x + =1 x x

A) 4 B) 2 C) 1 D) 0 E) 3

3 ∪[0; 2] 2

17. Si al resolver la inecuación

 3  B) x ∈− ; 2  2 



 3  C) x ∈− ; 0 ∪[2; + ∞  2 

x 2 − x −1 − 2 x − 4 ≤ x 2 − 3 x + 3 se obtiene como conjunto solución S, entonces indique lo correcto.

 3 D) x ∈− ; 0 ∪[2; + ∞  2

A) S ⊂ 〈– ∞; – 2]

3 E) x ∈ − ; 2 2

1− 5 1+ 5  ; C) S ⊂   2   2

B) 〈– 1; 1〉 ⊂ S

14. Resuelva la ecuación

entonces indique el valor de M=(a – b)(c+d)(e – f)

indique el cardinal de su conjunto solución. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5



x − 1 − 11 − 9 ≤ 6

A) 512 B) 450 C) 392 D) 338 E) 288

12. Luego de resolver la ecuación 2 x − x 2 − 2 x +1 =

con a < b < c < d < e < f es el conjunto solución de

D) S =

1 1 x2 − x + + x2 + x + =1 4 4

1− 5 1+ 5 ; 2 2

E) S=〈– 1; 1〉 9

Álgebra 18. Dada la inecuación

2

2

A) – 1 B) – 1/2 C) – 1/3 D) 1 E) 1/2

2

x − 2 x + 1 + x − 8 x + 16 ≥ x − 10 x + 25 determine el número de soluciones enteros del complemento del CS. A) 1 B) 0 C) 2 D) 3 E) más de 3

20. Si {x; m} ⊂ Z, indique el número de pares ordenados (x; m) que verifican la siguiente ecuación.

10

 1 19. Si x ∈  0; n n=1 



determine el mínimo valor de x3 + x4 − 1 x +1



|x2 – 1|+|x2 – 9|=mx A) 8 B) 19 C) 12 D) 6 E) 14

10

Álgebra I) 〈0; 1] J) 〈 – 1; 1] – {0}

Funciones reales NIVEL BÁSICO

26. Si f es una función definida por

21. Si f es una función definida por



2

f={(3; |a|), ( – 1; a  – 2b), (3; b), ( – a;  – b), ( – 1; 3)} indique el valor de verdad (V) o falsedad (F). I. Dom f={ – 1; 3} II. Ran f={1; 3} III. El máximo valor de f es 1. IV. El mínimo valor de f es 0. V. f( – 1)=3 A) VVVVV B) VFVFV C) VVFFF D) VVVVF E) FFFFV

22. Determine la intersección el dominio y rango







C)

f={(1 – t; t +2t)/t ∈R } determine Dom f ∩ Ran f.

x3 − 3 x + 2 f( x ) = ( x + 2) ( x − 1) en la cual su dominio es A y {x1; x2} ⊄ A. Calcule g(x1)+g(x2) si g(x)=x+7.

NIVEL INTERMEDIO

28. Sean los conjuntos



29. Si f es una función definida por

25. Dada la función



1 − x ⋅ f( x ) ; x ≥ 0 =  x f( x ) − 1; x < 0

f( x )



halle su rango.

A={1; 2}  ;  B={1; 2; 3; 4} se define f: A2 → B tal que f(x; y)=x+y. Halle la suma de elementos del rango. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

A) 12 B) 14 C) 10 D) 18 E) 13



2; + ∞

D) 〈0; +∞〉 E) 2 2 − 2; + ∞

24. Sea la función

x2 + 1 ; x > −1 x +1

B) 2 2 − 2; + ∞

+

A) 〈0; 1〉 B) [0; 1〉 C) [0; 1] D) 〈0; +∞〉 E) 〈1; +∞〉



f( x ) =

A) 2; 2 2

A) [ – 5; 5] B) [ – 5; 2] C) [ – 2; 3] D) [ – 3; 3] E) [ – 5;  – 2] 2

; 21 − x 2 − 4 entonces halle el intervalo positivo de su dominio.

27. Halle el rango de la función

f( x ) = 25 − x 2 − 2

23. Dada la función

x2 − 3 x − 4

A) [4; 5〉 B) 〈1; 5] C) 〈2; 6] D) [1; +∞〉 E) 〈– ∞; 2]

de la siguiente función.



f( x ) =

f(x)=|x – 4|+|x – 5|+3 con x ∈ [1; 6] entonces indique su rango. A) [4; 10] B) 〈4; 10] C) [4; 10〉 D) 〈4; 10〉 E) 〈4; +∞〉

F) 〈 – 1; 1〉 – {0} G) 〈 – 1; 1] H) 〈 – 1; 0〉 ∪ 〈0; 1〉 11

Álgebra 30. Si f es una función definida por



 5x − 2 ; x > 2 f( x ) =  x − 1 − 2 ; − 2 ≤ x ≤ 2  2 x  2 ; x < −2 entonces indique su rango. A) [ – 2; 1] ∪ 〈2; +∞〉 B) 〈 – 2; 1] ∪ 〈2; +∞〉 C) [1; 2] D) 〈1; 2] E) 〈 – 1; 2]

31. Sea f es una función definida por

A) 8/3 B)  – 4/5 C)  – 3/8 D)  – 13/4 E)  – 11/5

34. Halle Dom f ∩ Ran f si

35. Halle el rango de la función

B) R – {3;  – 3}

C) R − {− 3; 3 }

D) {− 3; 3 }



x −1 2

x +1 entonces halle su rango.

36. Si f( x ) = x − 1 − x

 2 2 ; C)  −   2 2   ( 2 + 1) 2 − 1 ; D)  −   2 2  E) − 2; 2

33. Dada la función 2

x  x + 2  = − 3x − 1 2  x 



f( x )



de Dom f=〈1; 2〉 Señale el valor mínimo de f.

determine el rango. A) [0; 1]

A) R – {0}  2 − 1 2 + 1 ; B)    2 2 

x2 x−2

NIVEL AVANZADO

E) {3;  – 3}

f( x ) =

f( x ) =

A) 〈 – ∞; 0] ∪ [8; +∞〉 B) 〈 – ∞; 0] ∪ [4; +∞〉 C) 〈 – ∞; 0] ∪ [6; +∞〉 D) 〈 – ∞; 0] ∪ [2; +∞〉 E) R – {1}

A) R



1 x−5

A) 〈5; +∞〉 B) 〈5; 7〉 C) 〈5; 8〉 9 E) f D) 5; 2

f: A → R / (x – 2)f(x)+f( – x)=3 Indique A.

32. Si f es una función definida por

f( x ) = 2 + x − 5 +

B) [1; +∞〉 C) [ – 1; 1]

 2   2 2 ; D)  ; 1 E)  −   2   2 2 

37. Determine el dominio de la función f si A → R x → f(x) tal que

f( x ) = 6

x5 − 2x3 − x x6 x3

A) 〈 – 2; 2〉 – {0} B) [ – 2; 2]C C) 〈 – ∞;  – 3〉 ∪ 〈3; +∞〉 D) 〈 – ∞;  – 2] ∪ [2; +∞〉 E) R

12

Álgebra 38. Considere

16 − ( x 2 + 2) sgn  x  − x −



f( x ) =



Halle el Dom f.

A) 〈0; 1] B) [ – 1; 1] C) [a1; an] D) 〈a1; an〉 E) f

x

A) { – 8;  – 7; ...; 7; 8}

40. Dada la función f, cuya regla de corresponden-

B) { – 16;  – 15; ...; 15; 16}

cia es

C) { – 12;  – 11; ...; 11; 12}

f( x) =

E) Z



indique un rango.

f( x ) = a0 x − 1 + a1x − 1 + ... + an x − 1



impar y a0 a1 a2 ... an < 0



Halle el dominio de f.

13

)1/ 2

2 x 2 − x + 2 x − x 2 + 5 x − 2 x 2 − 2 − 2 x −1



39. Sea la función f, tal que

(

D) { – 6;  – 5; ...; 5; 6}

A) R0+ B) {0} C) 〈1; +∞〉 D) {1} E) [0; 1]

Álgebra Gráficas de funciones reales I

Y

D)

NIVEL BÁSICO

1. Esboce la gráfica de la función

f( x ) A)

E)

1

1 1

X

X –5

–7

 2 x − 1 = sgn   x 

4. Dadas las gráficas de funciones cuadráticas, B)

Y

2

Y

determine el área sombreada en función de .

Y

Y X

C)

X

1/2

y=x2 – 4

Y

X X

D)

E)

Y





Y

A) X

X

2. Indique la pendiente de la función lineal f: R→R , tal que f(2)=3; f(3)=2f(4).

D)

A)

C)

C) X

X

Y

–7

1

2

2

3

 2 −8) C) (2 −8) 2

16 −2 ) E)

(

4

2 −16)

Y



B)

–1

X

–1

X

Y 1 –1

X

Y 1

–5 –7

–5 –7

(

(

Y 12

12

B)

1

sabe que pasa por (0; 1), (2;  – 7) y (1;  – 5). B)

2

2 −16 )

ción f de regla de correspondencia. 3 x + x f( x ) = x

3. Determine la gráfica de A(x)=ax2+bx+c si se A) Y

(

5. Indique la gráfica más aproximada para la fun

A) 2 B)  – 1 C) 1 D)  – 2 E) 3/2

y= – x2+4

D)



Y

X

1

14

Y 1

X

–1

E)

X

Álgebra 6. Calcule el área comprendida entre las gráficas

de las funciones f(x)=|x – 3|  y  g(x)=5 – |x – 4| 2

2

A) 〈 – ∞; 3] B) 〈 – ∞; 2] C) 〈 – ∞; 1] D) 〈 – ∞; 0〉 ∪ 〈3; +∞〉 E) 〈0; 3〉

10. Sea f(x)=(a – 2)x2+ax+a una función cuya re-

2

presentación gráfica es la siguiente.

B) 18 u C) 20 u A) 15 u D) 16 u2 E) 12 u2

Y

7. Se sabe que f( x ) = a − x + b es una función, tal que f(0)=1 y f(3)=0. Esboce su gráfica.

A)



Y 3

–1 C)

Y x0



–1

X

3

X

Y



X

Indique el valor de (3a+x0). A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

3

–1 D)

B)

X

Y

E)

11. Se muestra la gráfica de la función definida por

Y

–1

X

3

–1

X



1 f( x ) = − x 2 + bx − 2 2 Halle el menor valor entero que admite. Y

A)  – 3 B)  – 2

NIVEL INTERMEDIO

0

X

C)  – 1

8. Sea f una función cuya gráfica se muestra a

D) 0

continuación.

E) 1 Y

valor absoluto

raíz cuadrada

4

12. Dada la gráfica de la función f. Y

a 1

–3

–1

m 1

b

f(x)=2 –|x – n|

X 1

Calcule a+b. A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

9. Si f(x)=ax2 – 2ax+3 de raíces x1, x2 y x1 0 forman un triángulo de área 3 unidades cuadras. Indique el punto de intersección de las rectas L 1 y L 2.

NIVEL INTERMEDIO

7. La gráfica de la relación

4. Determine el área de la región generada por la relación

x + 4  2 

5. Sea la relación

R={(x; y) ∈ R2 / 9 ≤ x2+y2 ≤ 16} Determine el dominio de la relación. A) 〈3; 4〉 B) [9; 16] C) [– 4; 4] D) [3; 16〉 E) 〈4; 9]

6. Indique las inecuaciones que corresponde a la gráfica mostrada.

R={(– 3; 3), (b; 7), (7; 6), (3; a)} resulta ser los vértices de un paralelogramo, y los pares (b; 7), (3; a) representan vértices opuestos. Determine (a+b). A) 4 B) 5 C) 6 D) 2 E) 3

A) 10 B) 8 C) 12 D) 6 E) 9



corresponde a A) 2 ≤ x ≤ 5 ∧ 2 ≤ y ≤ 5 B) 2 ≤ x+y ≤ 5 C) 2 ≤ |x|+|y| ≤ 5 D) 2 ≤ |x+y| ≤ 5 E) 2 ≤ |x| ≤ 5 ∧ 2 ≤ |y| ≤ 5

3. El eje X y las rectas L 1: y=– x+5 y L 2: y=2x – b;

x ≤y≤

5 X

–5

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 5

 R = ( x; y) 

2



gunda relación. R={(a; b) / ab=4(a+b)}

A) (3; 2) B) (4; 3) C) (5; 4) D) (3; 4) E) (2; 3)

–2 –2

8. La relación

R={(x; y) ∈ R2 / y=mx+b, x ∈ [– 2; 0]} representa la mediana del triángulo que tiene por vértices los puntos de coordenadas (– 4; 0), (0; 0), (0; 3). Halle (m+b); m ≥ 0. A) 9/2 B) 7/2 C) 4 D) 11/2 E) 5

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Álgebra 9. Indique la gráfica de la relación R, tal que

 R = ( x; y) ∈ R2  A)



Y



{

R = ( x; y) ∈ R2 A)

Y

B)

}

y ≤ 2 − 1− x ∧ y ≥ 0

Y

X

X

X

C)

11. Indique la gráfica de la relación

x 4 ≤ y ≤ 2 2 x 

Y

B)

Y

X X

D)



Y

Y

C)

Y

E)

X X

X

Y

D)

10. Grafique la relación

R={(x; y) ∈ R2 / (x2+y2 – 1)(y – x2) ≥ 0} A)



Y

X

Y

B)

Y

E) X

X

C)

X

12. Halle el área de la región

Y



R={(x; y) ∈ R2 / |x – 2| – 2 ≤ y ≤ 2 – |x – 2|} A) 2 u2 B) 6 u2 C) 4 u2 2 D) 8 u E) 10 u2

X

13. Determine el área de la región D)



Y

E)

Y X

X

{

R = ( x; y) ∈ R2 0 ≤ y ≤ 4 − ( x − 2) A) 4p u2

2

B) p u2 C)

}

p 2 u 9

D) 2p u2 E) 16p u2

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Álgebra 14. Grafique la relación R.

A)



Y

B)

Y

D)

R={(x; y) ∈ R2 / x3 ≤ y ≤ |x+2| – |x – 2|}

X

Y

X

Y

E)

X

X

17. Sean las relaciones

Y

C)



X

Y

D)





E)

Y

R1={(x; y) ∈ R2 / y ≤ – |x – 1|+2}

{

grafique R1 ∩ R2.

A)

NIVEL AVANZADO

B)

15. Dadas las relaciones

4 5

B)

C)

3 5 2 C) 4 5

1

X

1

X

Y

2

–1

f={(x; y) ∈ R2 / x+2y < 1} g={(x; y) ∈ R2 / (x – 1)2+(y – 1)2=r2} Si r ∈ A, para que g ∩ f=f, determine la longitud A. A)



Y 1

X

X

}

R2 = ( x; y) ∈R2 / y ≥ − 1 − x − 1

Y 1

–1

1

4 2 5 D) 5 E) 5 5

16. Grafique la relación

{

}

R = (x; y)∈R2 x 2 + y 2 −16 ≤ 0 ∧ x − y2 ≤ 0 ∧ x − y + 4 ≥ 0 A)

Y

X

C)

B)

D)

Y

X



Y

2

1

–1

X

X E)

Y

X

Y

2 1

X

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Álgebra 18. Halle la gráfica del sistema



A)

X

Y

Y

B)

Y

–1

Y – 3/2

X



Y

{



E)

A)

Y

X

D)

Y

X

X

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X

X

Y

B)

Y

Y

  Z+2 ≤ 1  Z ∈ C / Z + 2Z ≥ Z ∧ Z +1  

B)

π π ≤ arg Z ≤ 4 4

X

C)

Y



Y

X

19. Grafique

A)

E)

T = Z ∈C / Z − 2 + Re( Z ) ≥ 0 ∧ −

X





20. Grafique el siguiente conjunto. X

D)

Y

D) X

X

C)

Y

C)

2 2  x + y < 2 x  2  y ≤ x

X

E)

Y X

}

Álgebra Álgebra de funciones

1 7 A) − ; 2 2

NIVEL BÁSICO

D) 〈0; 4〉 E) 〈– 1; 7〉

1. Dadas las funciones

f={(1; 2), (0; 3), (– 2; 1), (3; – 1), (4; 0)} g(x)=x2 – 1; x ∈ 〈– 2; 4] halle la suma de los elementos del rango de (2f+g).

6. Dadas las funciones

A) 25 B) 30 C) 15 D) 12 E) 5

2. Sean las funciones

f={(4; 3), (3; 2), (1; 0), (0; 0), (2; 1)} G( x ) =

x + 3; x ∈ −3; 3

además (G2+f )(a)=3. Según ello, determine el valor de a. A) 4 B) 1 C) 2 D) 0 E) 3

3. Si F(x)=x3

G={(1; 1), (2; 4), (0; 0), (– 1; 1)} halle la suma de elementos del rango de



F + 2G G



h( x ) = x + 2 + 2 − x

determine ( g o f )(x). A)

x−2 ;3< x≤5 x−3

B)

x−3 ;3< x≤5 x−2

C)

x−2 ;3< x≤4 x−3

D)

x−3 ;3< x≤4 x−2

E)

x−4 ;3< x≤4 x−3

NIVEL INTERMEDIO



siguientes proposiciones. I. Las funciones







D) 〈2; 4〉



E) 〈– 1; 2〉



f(x)=3x2 – 1; x ∈ 〈– 2; 6〉 g(x)=2x – 1; x ∈ 〈– 1; 1〉 calcule el Dom(f o g).

(f+g)(x)=0.

 π III. Si f( x ) = x; x ∈ 0;  y  2

C) 〈0; 2]

5. Dadas las funciones

2

2 f( x ) = ( x − 5) y g( x ) = x − 5 son iguales.

II. Si f( x ) = x ; g( x ) = − x , entonces



A) 2; 2 2  B) 0; 2



f(x)=2x – 5; 3 < x ≤ 5 x +1 g( x ) = ; 1< x ≤ 3 x −1

7. Dé el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las

A) 1 B) 3 C) 4 D) 8 E) 7

4. Halle el rango de la función

1 B) − ; 1 C) 0 2

 π g( x ) = sen x; x ∈ 0;   2

π  entonces el Ran( f + g) = 0; 1 +  2  A) VFF B) FVF C) FVV D) VVF E) VVV

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Álgebra 8. Se definen las funciones



f={(– 1; 2), (2; 2), (3; 7), (4; 3), (5; – 3)}  x − 2 g( x ) = x + 2 sgn   x + 2  si – 1 < x < 9 y h=f+g, halle la suma de elementos del CS de h(x) > 6.

A) 5 B) 9 C) 7 D) 8 E) 14

A) 〈1; 5] D) 〈0; 5〉

12. Sea las funciones

9. Dadas las funciones f, g, h; tal que



x  → x + 1← x − 1  → x −1

f

g

g( x ) =  x  9 − x 2 h( x ) =

grafique (g · h)(x).

halle (f o g o h)(x).

–3 D)

Y

–3

1 3 X

X Y



E)

Y 3 3 X

1 3 X

Determine la gráfica de f o g.

13. Dadas las funciones



Y

B)

X

X

f(x)=x2 – 1; x ∈ 〈– 1; 4〉 g(x)=5x+1; x ∈ 〈0; 3] grafique (f o g). A)



Y

B)

Y

Y



Y

X

X

X D)

3

3

 x ; x < 0 g( x ) =  2  x − 1; x ≥ 0

C)

Y

B)

3 X Y

C)

f( x ) = 1 + x ; − 1 ≤ x < 2

A)



3

–3

10. Sean las funciones



Y

h

A) x+3 B) x+1 C) 2x+1 D) – x+5 E) 6 – 2x



1

 x

A)



B) 〈3; 7〉 C) R E) f

11. Dadas las funciones



g(x)=2x; x ∈ 〈– 1; 5]



halle el dominio f o g.

X D)

x+2 + x ; x>2 x −1



Y

X

X

f( x ) = 3

C)

Y

E)



Y

X

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E)

Y

X

Álgebra 14. Si f(senx+cosx)=sen2x

halle Ran(f ).

g( x )

A) [– 1; +∞〉 B) [0; 2]

 5 − x + x − 3 ; x < −4  = x−2 ;x≥2  2  x Y

A)

C) [0; + ∞〉

– 10

D) [– 1; 1] E) [– 2; 2]



Y

B)

–4 2 5

X – 10

NIVEL AVANZADO

C)

–4

2 5

X

5

X

Y

15. Dada la función f: [0; 1〉 → R



halle la intersección de los dominios de f(2x2) y f(x+1). A) −

– 10

1 1 ; 2 2

– 10

1 2

16. Halle el rango de la función

Y

E) – 10

–4

X

–4 –2

18. Sean las funciones

1 ;0 2

h( x ) = 9 − x 2 −

X

2 5

D) [0; 1〉 E) −

5

Y

D)

B) 1; 2 C) 0;

–4 –2

x +3 + 3



 x − 3 f( x ) = x 2 sgn  ; 6 ≤ x ≤ 12  x − 5 



Esboce la gráfica de (f o g).

 1   + 3 x; 3 ≤ x < 5 g( x ) = x − 2  2  x − 4 

A)

A)  3 − 6 ; 0 



Y

B)

Y

B) [0; 3] 3 4X

C) 0; 6 − 3  D) 0; 3 

C)

X

Y

E)  3 − 6 ; 3 34 X

17. Grafique la función (f · g)

donde f( x )



 x sgn ( x 2 − x + 3) ; − 10 ≤ x < 5  =  2  1  ; x≥5  2   x + 5  x + 2

D)



Y

3 5X

E)

Y

3 5X

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Álgebra 19. Si se conoce f( x ) =

x +1 ; x ∈ [ 0; 6 x+2



y g( x ) = x 2 − 4 x + 8; x ∈ [ 0; 2



determine el dominio de (f o f)(x) – (g o f)(x). A) [0; 6〉 B) [0; 2〉 C) 〈2; 6〉 D) [2; 6] E) 〈3; 6〉

20. Sean fn ( x ) = C0n x n + C1n x n−1 + ... + Cnn ; gn ( x ) = n x





funciones reales de variable real. Resuelva la ecuación

( g2 o f2 + g3 o f3 )( x ) =2 ( g4 o f4 + g5 o f5 )( − x ) Halle el número de soluciones. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de 3

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Álgebra 5. Si f( x ) =

Función inversa



NIVEL BÁSICO

1. Halle x2+y2 si se sabe que

f={(5; – 1), (– 3; 2), (2x – y; –1), (y – x; 2), (x; x2+y2)} es una función inyectiva.

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

*  f * o h=g*, halle h(x) .

A)

2− x x

D)

2x x−2 E) x −1 x

B)

f(x)=x|x|+1, entonces ¿cuál es la gráfica de f *? A)

además g: B → 〈3; 7〉; g(x)=2x+1; sobreyectiva. Halle el número de elementos enteros del conjunto A.



Y 1 –1

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4



2x + 3 7 9 ; x ∈A= ; x −1 2 2

Y 1

X

–1

X

–1

1 X

*

halle f  si existe. A) f(∗x ) = B) f(∗x )

D)

x+3 24 ; x∈ ;4 x−2 7

C) f(∗x ) =

x−2 24 ; x∈ ;4 x+3 7

D) f(∗x ) =

x−2 7 9 ; x∈ ; x+3 2 2

4. Sea J( x ) =

2 x4 + 4 x2 + 2

Calcule J ∗2  + J( −1).   7

A) – 3/7 B) – 5/7 C) 1/7 D) 3/7 E) 5/7

; x≤0



Y 1

x+3 7 = ; x∈ ;4 x−2 2

E) No existe f *



B)

Y

C)

3. Sea f: A → R una función tal que f( x ) =

2 2+ x C) x −1 x

6. Si f es una función definida por



2. Sean las funciones f: A → B; f(x)=x+3 biyectiva;

x +1 ∗ ; g = x +1 x − 1 ( x)

–1

X

E)

Y

X

NIVEL INTERMEDIO

7. Sean las funciones

f={(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)} g={(1; 1), (2; 4), (3; 2), (4; 3)} Calcule la suma de elementos del rango de la función. f o (f o (f o g*))

A) 2 B) 7 C) 9 D) 10 E) 15 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 10

Álgebra 1 2

8. Respecto a la función f : A → − ; + ∞ x 1− x



tal que A = −1; 1 y f( x ) =



Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. f es inyectiva II. f es sobreyectiva III. No existe f*



Y 4

A) VVF B) VVV C) FVF D) VFF E) FFV

9. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)

6 X –4



según ello, dé los valores de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. f es biyectiva II. |f| no es biyectiva III. Existe g*; donde g( x ) = f( x ) + f( x )

de cada proposición.



f( x ) =

x +1 es sobreyectiva x −1

II. f( x ) = 5 − 5 − x 2 + 2 x , x ∈ −1; 0 es inyectiva.

− x 2 ; x < 0  III. f( x ) =  1 tiene inversa ; x>0   x A) VVF B) FFV C) VVV D) VFV E) FFF

halle la gráfica f *. A) Y 1 2

3

X

2

X

C) Y

53 53 53 B) −3, 5 + C) −8 + 2 2 2

53 53 E) −12, 5 + D) 4, 5 + 2 2

11. Sea la función



1

f: [5; 6] → [a; b] cuya regla de correspondencia es f(x)=x2 – 8x+7 Halle (a+b) para que f(x) sea biyectiva. A) 12, 5 +

12. Si se sabe que f( x ) = 2 + 1 − x

B) Y

10. Sea la función

A) VVV B) VVF C) FVV D) VFF E) FFV

I. f : [ −1; 1 → −∞; 0 ]

1 2

X

2

X

D) Y 1

E) Y 1

f: [0; 6] → [– 4; 4]

4 2

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X

Álgebra 13. Sea la función

f=

{( x; x

2

17. Sea f: 〈1; 5〉 → 〈a; b〉

}

− 2 x + 4) / x − 1 ≥ 0



Determine la gráfica de f * si existe. A) Y



B) Y

3

3

X

X

Halle (a+b) si f es una función suryectiva.

f( x )

1  2  x − x + 2 + 1; − 1 ≤ x ≤ 2 = 2 − 7 ; 2 < x < 4  x +1

A) f

−1

1 3

X

D) Y



Y

E)

1

1

3

–3

X

X

14. Si se sabe que h(x+3)=x3+9x2+27x

además f( x ) = h(∗x ) + 33



calcule f ∗

(

A) 96 B) 17 C) 37 D) 98 E) 99

15. Dadas las funciones reales f( x ) =

 9 + x 2 ; x ∈[1; 2]  −1  4 D) f =  1 − 5 ; x ∈ − 1 ; 3  2 − x 3 5

1+ x x

1 ; x ≠ 0 halle el dominio de de f * o g*. x

A) 〈– 1; 1〉 B) 〈1; +∞〉 C) 〈– ∞; – 1〉 D) 〈– 1; 1〉 – {0} E) 〈– 2; 2〉

E) No existe f – 1

19. Dé los valores de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones acerca de la función.

16. Se sabe que



)

1 3 x +5 C) f −1 =  ; x∈ − ; 3 5 2 − x

NIVEL AVANZADO

3 4 1 f o g 2  = ; f 2  = ; f∗3  = 4   3   2   5

1  5 2  2 8 x − 4 x + 9 ; x ∈ 1; 2     = 5 1 3 x +  ; x∈ − ; − {0}  − x 3 5

1  5 2  2 1 − 5 + 8 x − 4 x ; x ∈ 1; 2     B) f −1 =  5 1 3 + x  ; x∈ − ;  2 − x 3 5

. +1

( f( 37) )

g( x ) =

x + 5x + 6

18. Determine la función inversa de

C) Y



x2 − 4 2

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/21 D) 1/8 E) 2/21

1

1

f( x ) =

5

4

Determine f o g∗ 1  + g∗ 1  + f∗4  + f 1    2

  2

  3

si f ∧ g son funciones biyectivas.

  2

A) 1 B) 3/4 C) 1/2 D) 157/30 E) 173/60



f( x ) = − x 2 − 8 x − 12 + − x 2 − 4 x I. Existe f(∗x ) II. f(x) tendrá inversa para x ∈ 〈– 3; – 2〉 III. f(x) es inyectiva si x ∈ 〈– 4; – 3〉 A) FVF B) VFV C) FFV D) VVV E) FVV

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Álgebra 20. Determine la gráfica de la función inversa de f

x 2 +1   x 

A)

=

x2 + x + 1 x2 − x + 1

; x>0 1 –1

Y 3

D)

1 1 2

B)

Y

C)

X

Y 3 1

X

E)

Y 2 1

1 2

X

1 2

X

Y 3 1

1

3 X

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Álgebra A) x > 10 B) 0 < x < 2 C) x > 1 D) x > 3 E) 0 < x < e

Funciones exponenciales y logarítmicas NIVEL BÁSICO

1. Determine el rango de la función exponencial



2

f(x)=5 – x +6x – 8+2 si x ∈ R.

5. Determine la gráfica de la función logarítmica

A) 〈– ∞; 7] B) 〈2; 7] C) 〈2; +∞〉 D) [2; 7〉 E) 〈1; 8]



f( x ) = log2  x − 1 A)

–1

2. Grafique la función exponencial

f(x)=2

Y

1

X

1 – |x|

A)



Y

B)

2

Y

1

2

2

X

X

X C)

B)

Y

C)

Y

Y –2

2

2

–1 1

X

X D) Y

D)



E)

2

Y

Y 2

X

–2 –1 1

2

X

X E)

Y

3. Luego de resolver la inecuación exponencial



2   3

x 2 − 3 x −1

9 >  4

x −2

–1

X

se obtiene como CS=〈a; b〉. Determine a – b. A) 2 6

6. Resuelva la inecuación logarítmica



B) −2 6 C) − 21

D) 6 E) – 2

4. Determine el dominio de la función

f( x ) = log (log( x −2) )

1

ln(x2 – 1) ≤ ln(1 – x)

A) 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈1; +∞〉 B) 〈– 1; 2] C) 〈– ∞; – 1〉 D) 〈– ∞; – 2] ∪ 〈– 1; +∞〉 E) [– 2; – 1〉

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Álgebra 10. En un laboratorio se observa que una pobla-

NIVEL INTERMEDIO

ción de bacterias después de t minutos está dada por f(t)=10 000 ekt. Si la población inicial aumentó en 25 % en 10 minutos, determine la población después de 20 minutos.

7. Halle el valor de x que satisface la ecuación

a3 – x · b5x – 1=ax+5 · b3x+1 log b + log a log b − log a 1 B) log b − log a

A) 100 000 B) 15 625 C) 1020 D) ln10 000 E) 625

A)

11. Resuelva log16(log4(2 – x2)) < 0

C) loga+logb D) logb – loga E)

A) – 1 B) 2 C) – 2 D) 0 E) 1

log b − log a log b + log a

12. Determine el conjunto solución.

8. Determine la gráfica de la función

1− x

f( x ) = 2 A)

log 1 ( x 2 − 8 x + 15) < log

−1

Y 1 −1

C)

B)

−1

1

13. Determine la gráfica de la función

1 −1

1

Y

E)

1 X −1

1

–1

2

1

X

5x ⋅ 8

D)

1X

Y

–1

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1X

1 –1

= 10

A) – 2[log52 – 1] B) log52 – 1 C) log25+1 D) – 2[log25+1] E) – 2[log52+1]

–1

1X

2

guiente ecuación exponencial.



Y

B)

Y

C)

9. Determine el producto de soluciones en la six x +2



Y 1

1

f( x ) = log2 (1 − x ) + 1 A)

X

Y −1

x2 − 3 x + 2

13 5 13 ;3 D) 〈2; 3〉 E) 5

X

Y

D)

2 2

B) f C) 2;

A) 〈0; 1〉

2 X

2



Y

1

−1

Dé como respuesta la suma de los extremos finitos del conjunto solución.

1X

Y

E)

–1

1 X

Álgebra 14. Resuelva x < ln(e2 – 1+e2 – x) e indique el número de soluciones enteros positivos. A) 0 B) 1 C) 2 D) 10 E) 23

3 +1 2

D)

3 −1 3 −1 E) 2 4

B) 3 + 1 C)

18. En la ecuación x − 2

NIVEL AVANZADO

15. Determine el rango de la función f.



 1 f( x ) =   2

16 − x 2 + 2− x 2

C) [2 – 4; 218]

19. Indique el número de soluciones en

D) [2 – 14; 2 – 6] E) 〈0; +∞〉 1− x 4 + x 2 +1

16. Si f( x ) = 2

es sobreyectiva



tal que f : [ a; b] → 2−20 ; 2−2 



determine a+b ({a; b} ⊂ R– )

17. Luego de resolver la ecuación 3

=

x 3

halle el valor de log3x.

2x

2 −2 x −2

=

x x2 − 1

A) 1 B) 0 C) 2 D) 3 E) 4

20. Si e

A) – 2 B) – 1 C) – 3 D) – 4 E) – 5



x

A) VFFF B) FFVF C) FVFV D) FVVV E) VVFF

B) 〈1; +∞〉

( x ) − 1 3 

x

x+ 2 =2 determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Presenta 2 soluciones reales. II. Presenta 3 soluciones reales. III. No tiene solución real. IV. Una solución se encuentra en el intervalo  2; 2 .

A) [2 – 6; 214]

log

3 +1 4

A)

5 a1 + 5 a2 + 5 a3 + 5 a4 + 5 a5



es solución de la ecuación logarítmica



ln 5 x − ln 4 x − ln 3 x − ln 2 x donde a1, a2, a3, a4, a5 ∈ Z+



determine a1+a2+a3+a4+a5.

45

3 10

10

= 5 ln x + 1

A) 32 B) 31 C) 33 D) 34 E) 35

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Álgebra 5. Dada la sucesión an+1 = 2 + an

Sucesiones reales

NIVEL BÁSICO

A) es divergente B) converge a 1 C) converge a 2 D) converge a 4 E) converge a 2

1. Determine el n-ésimo término de la sucesión

27 48   3; 4; ; ; ... 5 7   A)

2 n2 3n + 1

B)

3n 2

2n − 1

C)

2 n2 3n − 1

3 n2 − 1 3n E) D) 2n 2n − 1 2

cesión

2



{an} / an=n +10n+1



{bn}={8; 15; 22; 29; 36; ...}



6. Determine el valor de convergencia de la su-



2. Se definen las sucesiones

donde a0=2, ¿qué se puede afirmar?

an =

2n n!

A) 1/3 B) 1/2 C) 5/2 D) 1 E) 0

 n ⋅ bn  ? ¿A qué valor converge la sucesión   an 

NIVEL INTERMEDIO

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

7. Calcule límxn; x n = 3. Considerando la sucesión

an=an – 1+8(n – 1); ∀ n > 1 ∧ a1=1  1  halle el término enésimo y lím  5 + n→∞  an  A) (2n+1)2; 0

1 D) ( n + 1) ; 5 2

8. Si



es una sucesión que converge a



n

G +1 , halle G. 8

A) 2 B) 3 C) 5 D) – 5 E) 1/7

4. Respecto a la sucesión a + n  b+ n  +   n n 

  n ; n ∈ N 2

 n  ∑i  i =1 −  n+2

E) (n – 1)2; – 1

{ xn } / xn = 

2n + 3 n

A) 3 B) 2 C) 1 D) 1/6 E) 0

B) (2n – 1)2; 5 C) n2; 1

2 n+1 + 3 n+1

n

9. Sea {Sn} una sucesión. Halle lím Sn



¿qué se puede afirmar?

n→∞

n

si Sn = a

−n

1 1 + a b B) a+b C) a – b D) 1/a E) 1/b

A) converge a a+b B) converge a a×b C) converge a ea+eb D) converge a ea+b E) diverge

A)

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−n

+b

y 0 < a < b j A=(aij)2×2; donde aij =  3 i − 2 j; i ≤ j



Determine B=A – AT.

1



−1 / 3  0 B) 1 / 3 0   

n ( n − 1) 2

B) n(n+1) C) – n(n+1)

D) n(1 – n) E) T

x x

6. Si la matriz M = 

0 3  E)   −3 0 



n (1 − n) 2

y ; x ≠ y ∧ xy ≠ 0 y 

es idempotente, calcule x+y. A) 1 B) 2 C) 1/2 D) – 2 E) 0

3. Sean las matrices x e y; tal que



calcule la suma de los elementos de la matriz B=A+A2+A3+...+An; n ∈ N ∧ n ≥ 2013. A)

 0 −2  C)   2 0 



−2 

5. Dada la matriz A =  ,  0 1 

 0 −3  A)   3 0 

3 1 D)   −3 1

 0 1 1 0  B)  n 1  C)  n 1  

−n 0 −n 0 E)  D)   n 1  1  0

2. Se sabe que

0

4. Si A =  , calcule An; n>5.  −1 1 

2 3 x+y=  −1 4 

NIVEL INTERMEDIO

4 5 x−y= 1 2 

1

2 

Determine x · y.

7. Sea la matriz A =  .  4 −3 

 −7 1  A)  −3 3 



Si F(x)=x2+2x – 11, calcule F(A). 1 1 A)  0 1

 −3 −7  B)   −3 −1 

0 0 1 1  B) 1 0  C)  0 0 

1 0  −1 0  E)  D)   −2 0   0 1 

 −3 3  C)   −7 1 

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Álgebra 8. Sean A y B matrices cuadradas que cumplen

5 4 A+(B+I)2=   3 7 



1  2 A2+(B – I)2=   −2 −5 



1 0 0  A)  0 8 0     0 0 64  8 0 0  B)  0 27 0     0 0 125 

si A es idempotente, calcule el valor de 4 · traz(B).

1 0 0  C)  0 8 0     0 0 27 

A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 20

1 0 0  D)  0 64 0     0 0 125 

9. Dada la matriz

 2 cos2 θ sen2θ  M=  2sen 2θ   sen2θ determine la matriz M5.

1 0 0  E)  0 27 0     0 0 64 

A) 10M B) 8M C) 4M D) 20M E) 16M



1 0 1  A = 0 1 0   1 0 1 



A) 1 B) 0 C) 2i D) – 2 E) i

calcule la suma de los elementos de la matriz An+1; n ∈N ∧ n ≥ 2013.

13. Si w es la raíz cúbica no real de la unidad,

A) 2n+1+1 B) 2n+1 C) 2n – 1 D) 2n+2+1 E) 2n – 1+1



11. Conocida la matriz



x a  1  es involutiva, b   x calcule el valor de abx. Considere x2≠ – 1.

12. Si la matriz A = 

10. Dada la matriz

1 2 3  0 2 3   1 2 6 

además w 0  0 i  A= y B=   i 0   0 w2 



halle la suma de elementos de la matriz C.



C= ( A 4 +B 3 )( A 8 +B 6 )( A 12 +B 9 ) ... ( A 4k +B 3k ) ; k ∈ Z+ A) 2k+4

que se transforma mediante operaciones elementales por filas en otra matriz equivalente obtenida es diagonal. Calcule la tercera potencia de esta matriz.

B) 24k+1 C) 2k+1 D) 2k E) 2k –1

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Álgebra 18. Calcule traz[A1+A2+A3+A4+...]

1 a + b 0  14. Si la matriz A =  2 5 a   x 3 b



a 0   b − b + si An =   + 0 0  ; n ∈ Z  0 a  

es simétrica, calcule traz(A–1)



|a| a > 1

Álgebra 19. Al resolver el sistema en R.



 x 3 + x 3 y3 + y3 = 12  x + xy + y = 0 



se obtiene como solución.

{ B) {(1 + C) {(1 + D) {(2 + E) {(7 +

20. El conjunto solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y, z es

} 5 )} 3 )}

A) (1 + 7; 1 − 7 ) ; (1 − 7; 1+ 7 ) 5; 1 − 5 ) ; (1 − 5; 1+ 3; 1 − 3 ) ; (1 − 3; 1+

} 3 )}

3; 2 − 3 ) ; (2 − 3; 2+ 3 ) 3; 7 − 3 ) ; (7 − 3; 7+

{(

x; y; z ) /

}

x − 2 y − 3 z −1 = = 4 2 3

si el punto (3; – 2; 5) pertenece al plano cuya ecuación lineal es una de las ecuaciones del sistema; y tiene la forma ax+by+cz=15, determine dicha ecuación A) 23x+y – 11z=15 B) – 23x – y+22z=11 C) – 23x+13y+22z=15 D) 23x – 22y – z=–11 E) – 23x+22y+11z=10 UNI 2013

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Álgebra Programación lineal

2. Determine el máximo valor de la función

f(x; y)=2x+y sujeto a las restricciones.



 x + y ≤ 10  x ≤ y x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 

NIVEL BÁSICO

1. Grafique la región factible del problema si

guiente. Máx f(x; y)=2x – 5y+3



 2x − 3y ≤ 3  x+y≤4    2 x + 2 y ≤ 13  x ≥ 0; y ≥ 0

A) 15 B) 25 C) 20 D) 5 E) 10

3. Respecto al problema de programación lineal



Y



A)



X Y

Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. (3; 2) es una solución factible. II. Tiene infinitas soluciones. III. El recinto convexo que se obtiene tiene 6 vértices. A) FVF B) VFF C) VFV D) VVV E) VVF

B) X

4. Al maximizar x+y; x, y ∈ R, sujeto a las siguien-

Y

C) X



Y

D)





X



Y

tes condiciones. 2 x + 3 y ≥ 6  2x + y ≤ 6  y≤4   x≥0  y≥0 

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. Los puntos (2; 2) y (4; 1) pertenecen a la región admisible. II. La región admisible es un polígono de cuatro lados. III. El valor óptimo es 5. A) VVF B) VVV C) VFV D) FVV E) FVF

E)

Máx z=2x+3y  2 y + 3 x ≤ 19  3 y + 2 x ≤ 21 Sujeto a   y + 2 x ≤ 12  x ≥ 0; y ≥ 0

X

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Álgebra 5. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido

7. Dado el problema de programación lineal

Maximizar f(x; y)=3x+2y





Sujeto a 2 x + y ≤ 18   2 x + 3 y ≤ 42   3 x + y ≤ 24   x ≥ 0 ∧ y ≥ 0



Indique su valor óptimo.

poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 soles y el de la chaqueta en 40 soles. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabri-

A) 23

cante a los almacenes para que estos consigan

B) 15 C) 24

D) 33 E) 42

una venta máxima?

8. Se tiene un polígono formado por los puntos

A) 370 y 250 B) 1000 y 200



(– 2; 3), (3; 5), (10; 20), (0; – 4), (–10; 0)

C) 375 y 250



Determine la secuencia correcta de verdad (V)

D) 250 y 750

o falsedad (F) según corresponda.

E) 475 y 150



I. Dicho polígono es convexo.



II. Si quitamos el punto (– 2; 3) el polígono es



III. El máximo valor de f(x; y) =– 20x+15y es en

convexo.

NIVEL INTERMEDIO

6. Al maximizar x+y; x, y ∈R sujeto a las siguien-

el punto (– 2; 3), no considere el punto (3; 5).



tes condiciones: 2 x + 3 y ≥ 6  2x + y ≤ 6  y≤4   x≥0  y≥0 



Indique la alternativa correcta después de

a 20 000 y 15 000 bolívares cada una para sacar

determinar si la proposición es verdadera (V)

el máximo beneficio. Para la de paseo emplea-

o falsa (F).

rá 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la

I. Los puntos (2; 2) y (4; 1) pertenecen a la

de montaña 2 kg de ambos metales. ¿Cuántas



A) VVV

9. Un herrero con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente,

región admisible.

bicicletas de paseo y de montaña venderá?

II. La región admisible es un polígono de cuatro lados.



B) FVF C) VFV

D) FFF E) FVV

A) 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña

III. El valor óptimo es 5.

B) 10 bicicletas de paseo y 40 de montaña C) 25 bicicletas de paseo y 35 de montaña

A) VVF

B) VVV C) VFV

D) 30 bicicletas de paseo y 20 de montaña

D) FVV E) FVF

E) 40 bicicletas de paseo y 20 de montaña

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Álgebra 10. Un fabricante de cremas desea producir cremas

12. Jaime se dedica a la compra y venta de papaya

de tipo A y B, utilizando materia prima de cali-

y naranja. Todos los días temprano en la ma-

dades C1 y C2. Las cantidades de materia prima

ñana visita a su proveedor de frutas en el mer-

para cada tipo de crema y lo que quiere ganar

cado mayorista y hace las compras del día. El

por gramo se expresa en el siguiente cuadro.

día anterior recibe los pedidos de sus clientes

¿Qué cantidades en gramos de cada tipo de-

y estos suman 600 kilos de papaya y 1200 kilos

berá producir, respectivamente, para obtener

de naranja. Jaime transporta las frutas en su



camioneta que tiene una capacidad de car-

la máxima ganancia si se sabe que el almacén

ga de 1600 kilos. Si compra el kg de papaya a

cuenta con 80 g de materia prima de calidad

S/.1,30 y lo vende a S/.1,60 y el kg de naranja lo

C1 y 70 g de calidad C2?

compra a S/.1,00 y lo vende a S/.1,20, determi-

Crema

C1(g)

C2(g)

Ganancia/g

A

2

1

S/.0,4

B

1

3

S/.0,5

ne cuántos kilos de cada fruta debe comprar para maximizar sus ganancias. A) solo 1200 kilos de naranja B) solo 600 kilos de papaya y 1000 kilos de naranja C) solo 1600 kilos de papaya

A) 24 y 12

D) 400 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja

B) 38 y 34

E) entre 400 y 600 kilos de papaya y 1000 y

C) 12 y 30

1200 kilos de naranja

D) 34 y 12 E) 30 y 40

13. Sea S la región limitada por las siguientes inecuaciones.

11. Determine el valor de verdad (V) o false-

y − x ≤ 4;

dad (F) respecto a las siguientes proposiciones y elija la secuencia correcta.

I. Todo problema de programación lineal tiene solución.





II. La solución óptima siempre se halla en un



III. Un problema de programación lineal tiene

punto extremo.

x − y ≤ 0; 2

y+

x ≤6 2

− x − y ≤ −2

al minimizar f(x; y) sobre S, señale lo correcto. A) Si f(x; y)=x+y, entonces se tiene infinitas

más de un valor óptimo. A) VVV B) VFV C) FVF D) FFF E) FFV

soluciones.  4 16  B) Si f(x; y)=y – x, entonces  ;  es solu 13 3  ción. x C) Si f(x; y)= + y , entonces (2; 0) es solución. 2 x D) Si f(x; y)= − y , entonces se tiene infinitas 2 soluciones. x E) Si f(x; y)= y − , entonces (6; 3) es solución. 2

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Álgebra 14. Sea F(x1; x2)=

(x; y) ∈ S que dan el valor máximo y mínimo para a=2x+3y cuando esta recta se traslada paralelamente a sí misma.

1+bx2 la función objetivo del problema P, tal que a; b ∈ Z. P: minimizar F(x1; x2) sujeto a (x1; x2) ∈ S ⊂ R2 Si el lado CD de la región admisible S que se indica es solución del problema P, determine a+b, de modo que el valor óptimo de F esté entre 20 y 25.

Y C=(2; 5) A) 2 B) 4 C) 6 D=(4; 3) D) 8 S E) 10

Y

S X

 32 30   (1; 0) B)  ; 7 7 

15. La región admisible S y el crecimiento de la función objetivo del problema, maximizar f(x; y) S · a · (x; y) ∈ S se muestra en la siguiente figura.

 32 30  C)  ;  ( 3; 0) 7 7   32 30  D)  ;  ( 0;1) 7 7 

Y

crecimiento

–1

 24 30  E)  ;  (1; 0) 7 7 

(3; 4)

4 3 2 1

L1

 32 30   ( 0; 3) A)  ; 7 7 

X



L3 L2

UNI 2006 - II

8 X

1 2 3 4

17. Sea f(x; y)=ax – by; {a; b} ⊂  Z+ ∧ a+b=48

–2

la función objetivo, sujeto a la siguiente región factible. Y

Si (x, y) es la solución del problema, determine f(x, y).

4 3 2 1

A) 10/3 B) 14/3 C) 20/3 D) 25/3 E) 28/3

1 2 3 4 5 X



NIVEL AVANZADO



16. Las rectas L1: 3x+8y=48; L2: 3x+y=18, L 3: 3x+y=3 y el conjunto S (figura sombreada) se muestran a continuación. Halle los puntos

Determine el máximo valor de a · b si el problema de programación lineal tiene infinitos puntos óptimos. A) 432 B) 612 C) 512 D) 532 E) 234

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 18

Álgebra 18. Dado el problema de programación lineal opt.



z=ax+by; 3b >  a > b > 0, sujeta a la región convexa.



Y

D

5

E

C 1

1

3

A) VVV B) VFV C) FFF D) VVF E) VFF

F 4 X

determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. Su máximo lo alcanza en D y su mínimo lo alcanza en A. II. Es posible trazar una diagonal del polígono ABCDEF, tal que su máximo sea en el punto F. III. Si la función objetivo fuese z=ax – by su máximo lo alcanza en A. A) FFV B) VFV C) FVF D) VVV E) FFF

20. Se muestra un recinto convexo. Y 50

10

19. Siendo máx f: S ⊂ R2 → R, tal que

f(x; y)=ax+by. Considere que S es un cuadrado cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados.



Y B

C

A

D

Si A(n; n), determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. Si a=b y a > 0, entonces C es la solución óptima. II. Si a+b=0 y  > 0, entonces B es la solución óptima. III. Si a=b y a  b > 0, entonces es posible que su máximo lo alcance en (60; 10). II. Para que su valor máximo sea x=20 debe a 3 satisfacer a>b>0 y < . b 7 III. Si a > 0 > b, entonces su valor mínimo lo alcanza en el origen.

X



50 60 70

Semestral UNI Series numéricas 01 - c

05 - a

09 - d

13 - b

17 - b

02 - d

06 - c

10 - b

14 - b

18 - b

03 - d

07 - a

11 - b

15 - a

19 - e

04 - c

08 - d

12 - c

16 - e

20 - c

01 - e

05 - d

09 - e

13 - c

17 - b

02 - c

06 - a

10 - d

14 - a

18 - b

03 - a

07 - c

11 - c

15 - a

19 - b

04 - a

08 - c

12 - b

16 - d

20 - c

01 - e

05 - a

09 - e

13 - c

17 - a

02 - d

06 - d

10 - b

14 - e

18 - a

03 - e

07 - e

11 - c

15 - c

19 - c

04 - d

08 - e

12 - a

16 - b

20 - e

Matrices

Determinantes

Sistema de ecuaciones lineales e interpretación geométrica 01 - a

05 - a

09 - d

13 - a

17 - c

02 - d

06 - b

10 - a

14 - e

18 - d

03 - d

07 - b

11 - d

15 - b

19 - c

04 - c

08 - c

12 - c

16 - c

20 - c

Programación lineal 01 - a

05 - c

09 - a

13 - a

17 - c

02 - a

06 - d

10 - d

14 - c

18 - d

03 - e

07 - d

11 - d

15 - c

19 - b

04 - d

08 - d

12 - b

16 - b

20 - e