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• Angel Alfredo Guillen Urrutia

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Preguntas propuestas

1 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Álgebra A) 6/5 B) 1 C) 2 D) 3 E) – 1

Operaciones básicas y Potenciación NIVEL BÁSICO

NIVEL INTERMEDIO

1. Si m= – 2; n=3; p=4 y q= – 6, determine el

valor numérico de m3 – n · q – p2

7. Determine el valor de M.



A) 6 B) – 4 C) – 7 D) 10 E) – 6

2. Determine el valor reducido de N.



N=0,1+0,2+0,3+0,4+...+2,8+2,9

A) 12,8 B) 25,7 C) 39,43 D) 43,5 E) 8,4

3. Determine el valor reducido de E.



4. Determine el exponente final de x en la siguiente expresión. 3

x5 ⋅ ( x2 ) ⋅ x2

A) 3720 B) 3270 C) 3890 D) 3290 E) 3920

8. Reduzca la siguiente expresión A=

E=22+42+62+82+102+122

A) 91 B) 360 C) 364 D) 346 E) 306

3

(( x ) )

3 3 2

2−3 n+6 + 2 n+1 ⋅ 4 −2 n+1

10. Si x y =



calcule el valor de x y

x+1

+1.

11. Si 5x=m y 5z=n, halle (0,04) – x+2z

6. Luego de simplificar la expresión 5

1024 × 510 × ( π + 2)0

1 ∧ y x = 2, 2

A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 5/4 E) 3/2

determine el valor de x2 – y2.

(25)

2 ⋅ 81− n



A) m2 · n – 4 B) m1/2 · n – 4 C) m2 · n – 1/4  – 2 4 D) m  · n E) m2 · n4

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 24



indique la suma de las cifras de A.

A) 3,0 B) 3,5 C) 4,5 D) 16,5 E) 7,5

x+ y = 625 5  x− y = 64 2

 10  6 ×   × ( −6 ) 3

(320 × 521)2

9. Simplifique la siguiente expresión.

5. Si se cumple que

2

458 × 7511 × 2257

A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 9

; x ∈R+ − {1}

A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 8



M=1×3+2×4+3×5+...+20×22

12. Al reducir la expresión 3

, se obtiene

m n

Calcule el valor de m – n. Considere que m y n son PESI.



5

−m  x 3 y3   x 3 y   y  4 2  ⋅  2 2  se obtiene   x  −x y   −x y 

Determine el valor de mm+1. A) 2 B) 8 C) 4 D) – 3 E) – 2 2

Álgebra 16. Si al reducir la expresión

NIVEL AVANZADO

13. Calcule la suma de



S=7×31+9×29+11×27+13×25+...+31×7 A) 3955 B) 3965 C) 3945 D) 3975 E) 3985

a+1

2781

= 3729

1− a

a− 2





M=

(

1

A) 5 2

1 ⋅ 512

1 ⋅ 5 20

2012

B) 5 2012 C) 5 2013

3

⋅ x− x ?

18. Luego de resolver x( x −1) = 2 x + 1; x > 0,

)

D) 50 E) 5

 1 −   a

2

21 1 20 ⋅ ... ⋅ 5 420

2013

 1 ¿a qué es equivalente    a

A) 1 B) x C) xx+1 2 D) x E) x

15. Determine el valor reducido de M. 1 ⋅ 56

resulta xn · yb, calcule el valor de nb+bn.

x +3 x +2 a 17. Si ( x x )( x 2 x ) = aa

A) 1/2 B) 5/3 C) 7/6 D) 17/2 E) – 1/3

1 52

n

A) 1 B) 3 C) 5 D) 13 E) 2m

14. Determine el valor de a si se cumple que



 m  −1 1 m+ n  −  x n ⋅ y n  x n     m+ n 1  ÷    y    n n  ⋅y    x

1 indique el valor de x − . x A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Álgebra Radicación en R

A)

NIVEL BÁSICO

3

NIVEL INTERMEDIO

4

4

M = 32 ⋅ 25 ⋅ 3 3 ⋅ 2−1

5

7. Si se cumple que x x = 232, determine el valor

A) 2 B) – 4 C) – 6 D) 6 E) 4



expresión.



6 + 12 + 18 + 24 3 + 6 + 9 + 12

8. Dada la sucesión {xn}, de modo que

1

D)

1

B) 2 2 C) 3 2

A) 2 1 62

E)

1 42



3. Determine el valor reducido de J.

J=

2⋅ 4 2⋅3 2

1

x + 1. 2

A) 4 B) 7 C) 8 D) 5 E) 6

A) 64 B) 4 C) 16 D) 256 E) 512

10. Dado a > 0, calcule el valor de x en la siguiente igualdad. 3

J = 12 − 12 − 12 − ...

J=

n+1

n n−1 ⋅ n

2 n+ 2

n−4

1 a x −1

A) – 3/5 B) – 4/5 C) – 1 D) – 5/4 E) – 5/2

11. Si x

x

equivale a 2, determine cuánto equivale x −1

A) – 4 B) 1 C) 12 D) 6 E) 3

6. Si n=10, determine el valor simplificado de

4

a2 x +1 ⋅ a2−3 x =



5. Determine el valor aproximado de J.

donde b es un número real positivo, determine x ⋅x el valor de 3 10 2 . ( x4 ⋅ x11)

1 2 , determine el valor 9. Si se cumple que x x = 2  – 1 de x .

4. Si se tiene que xx=798, calcule el valor de

x1 = b; x2 = b b ; x3 = b b b ; ...

B) b – 2 C) b – 1/8 A) b – 1/2  – 3 D) b E) b – 4

3

A) – 2 B) 2 C) – 1 D) 1 E) 3



3

de 2 x 5 . A) 5 B) 32 C) 8 D) 2 E) 4

2. Determine el valor reducido de la siguiente M=

B) 1 C) 1000

D) 100 E) 10

1. Determine el valor reducido de M.

1 10



( x + 1) x 1 x+ x A) 1/2

B) 1 C)

D) 2 E) 2

4

2 2

Álgebra 12. Si a y b son números primos entre sí, además,

a xb

es lo que resulta de reducir la expresión

x⋅ x ⋅

16. Sean a; b ∈ R+, tal que

a2

3

entonces halle el valor de b2 – a2.

S=

13. Sean los números

b2

2

2

xa 2

xa + xb

A) x – x B) 1/x C) x D) x2 E) 2



B = 2 − 6 + 6 + 6 + ...

Calcule el valor de x x

NIVEL AVANZADO

B) ab C) ab

18. Indique el exponente final de x en la expresión J.

14. Determine el equivalente reducido de P.

3

A)

−50 −42

5

9

J = x ⋅ x 4 ⋅ x 24 ⋅

D)

2m + 1 2

m

2m m

2 −1



B)



A) 4

B) 5 C) 5

D) 16 E) 8 2

5

x 240 ... (m radicales)

2m − 1

m C) 2 + 1 2 +1 2m − 1 m

2m m

2 +1

19. Si se cumplen las igualdades

9

x+ 2 2x

8

17

E)

15. Si x + 2 = 23 2 x , calcule el valor de J=

en términos de a y b.

D) a2 b E) b2 a



A) – 1 B) – 0,5 C) 0 D) 1 E) 0,25

−3−1

2

A) ab2

Determine el valor de A · B.

P = 0, 5 − 4 ( −2)2

=1

tintos de la unidad, tal que verifican ax=b3=x.

A) – 5 B) 12 C) 9 D) 1 E) – 12



1 b2

17. Sea {a; b; x} un conjunto de elementos dis-

A = 3 + 2 + 2 + 2 + ...

2

xb +



A) 144 B) 5 C) 169 D) 119 E) 36

+

Determine el valor de S.

x⋅x

x ⋅ x2

1 a2

xx = 3

3

; y=x

  1  yx  y

   

calcule el valor de y3x. A) 3 B) 2 C) 2 D) 3 E) 27

Álgebra Productos notables I

A) 4 B) 2 2 C) – 4 D) 16 E) – 16

NIVEL BÁSICO NIVEL INTERMEDIO

1. Reduzca la siguiente expresión si x = 3.

M=(x+1)2+(x+2)2 – 2(x+5)(x+1)+6(x+1)

7. A partir de la siguiente igualdad, ¿cuál es el valor de a – b?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Si se cumple que x2+6x=11, determine el va-



lor de J. 3 ( x + 1)( x + 5) − 8 J= 5 ( x + 4)( x + 2) + 13 3

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 −1

A) 1

B) 2 C) 5 2

3

3 5 2 E) 5 2 3

D) 5

3. La suma de dos números es 24 y la suma de sus cuadrados es 296. Encuentre la raíz cuadrada del producto de dichos números. B) 17 C) 24

A) 30



8. Si x 2 + x −2 = 2 + 2 + 2 , calcule el valor de x16+x – 16.

A) 0 B) – 1 C) – 2 D) – 3 E) 2

9. Simplifique 4 + 12 + 5 − 2 6 + 3 − 8

4. Si el polinomio P(x)=4x2+(n+1)x+1 es un tri-

(2 + 4 4 ) (2 −



2)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

D) 2 35 E) 12

nomio cuadrado perfecto, determine el valor de n4+n3+n2+n+1. Considere n > 0.

10. En la siguiente igualdad, determine el valor

A) 125 B) 121 C) 122 D) 123 E) 124



de n.

M=

3+ 2 3− 2

A) 9

+

3− 2 3+ 2 B) 10 C) 3 + 2 2

−1

13)(85) (74 + 64 ) (78 + 68 ) + 616 = (73− n )

8(

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 5

5. Calcule el valor reducido de M.

a b + ; a> b>0 2 2

3+ 5 =

11. Sea x = 2 + 1. Determine el valor de N.

N = 8 2 ( x + 1) ( x 2 + 1) ( x 4 + 1) + 1 − 1

D) 2 + 3 2 E) 3 − 2

6. Si x < y, además, se cumple

 x + y = 2 5   xy = 1 determine el valor de x – y.

A) 2 B) 16 2 C) 3 D) 1 E) 2 6

Álgebra 12. Dada las condiciones

ab + ac + bc a2 + b2 + c2 = =2 3 2



determine el valor de



Considere que {a; b; c} ⊂ R+.

16. Sabiendo que un radical doble

a+ b+ c 2−1

a+∆ a−∆ ∧ d= 2 2 Determine la relación correcta entre ∆, a y b. c>d>0 ∧ c=



A) 2 B) 3 C) 5 D) 1 E) 4

A) ∆2=a2+b2 B) ∆2=a2 – b2 C) ∆2=a2+4b

NIVEL AVANZADO

D) ∆2=a2 – 4b E) ∆2=a– b

13. ¿Cuál debe ser el valor de x, de modo que la siguiente igualdad se verifique?



(

2+ 3 + 2− 3

4x

)

=6

17. Si tenemos que

813

A) 12 B) 20 C) 15 D) 22 E) 17



a + b + c = 1   ab + bc + ac = abc



halle el valor de

14. Sea x un número real, tal que x3+4x=8. DeterA) 128 B) 64 C) 32 D) 110 E) 16 m n + = 2; mn ≠ 0, n m determine el valor de Q.

15. Si se cumple que

Q=

( m + 1)2 − ( n − 1)2 ( m − 3)2 − ( n + 3)2

A) – 2 B) 1/3 C) – 1/3 D) 3/2 E) 4/3

7

a+ b c+ a b+ c + + . c b a

A) 1 B) 2 C) – 2 D) 4 E) 5

mine el valor de x7+64x2.



a+2 b

+ con a > 0 y b ∈ I se puede escribir como radicales simples c + d , tal que

18. Simplifique el siguiente valor. J=



(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac)2 −( a + b + c)2 (a2 + b2 + c2 ) Considere que {a; b; c} ⊂ R+. A) a2+b2+c2 B) ab+bc+ac C) 22 D) 1 E) 0

Álgebra 5. Sea x3=8; x ≠ 2.

Productos notables II



NIVEL BÁSICO

A) 4 B) 6 C) – 1 D) 2 E) 3

1. Si se tiene que

(x+2)3=x3+6x2+mx+n (x – 5)3=x3 – px2+qx – 125 determine el valor de m+n+p+q.

6. Sean x = 1; y = 2 − 5; z = 5 − 3.

Determine el valor numérico de J. J=



A) 20 B) – 15 C) 40 D) – 10 E) 110

2. Si x +

Determine el valor de x2+2x+6.

A) 3 B) – 3 C) 2 D) – 2 E) – 6

6 1 3 = 2 , determine el valor de x + 1. x x3

A) 3 − 23 3 B) 3 − 23 2 C) 2 − 3 3 2

x 3 + y 3 + z3 x 2 + y2 + z2 ⋅ xy + yz + xz xyz

NIVEL INTERMEDIO

7. Si 2(x2+y2)=3(x+y)=12,



D) 1 − 2 3 E) 1 − 23 2

A = x 3 + x 2 y + xy2 + y 3 + 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Se tienen las dimensiones de un campo deportivo.

calcule el valor de A.

8. Si se cumple que a+b=4; ab=1; a > b, calcule el valor de a3 – b3.

B) 30 + 3 C) 10 + 3 A) 1 + 3 D) 30 3 E) 3

(x2 +x+1) m

9. Si se cumple que

(x – 1) m Determine el área del gramado de fútbol si x = 3 200



M=

6

6

a −b

( a + b) ( a2 − ab + b2 )

+ b3 ; a ≠ − b

A) a B) 0 C) – 2 D) b E) 2

3

M si

Determine el valor de (a+1)(b+1). A) 6 B) – 9 C) 1 D) 2 E) – 5

A) 23 200 m 2 B) 199 m2 C) 3 400 m 2 D) 215 m2 E) 169 m2

4. Determine el equivalente reducido de

( a + 1)3 + ( b − 1)3 = 18   a + b = 3

10. ¿Cuál es el valor de

n+

5

n5 +

1 n5

si se sabe que

1 = 1? n

A) 5 2 B) 1 C) – 1 D) 5 5 E) 5

8

Álgebra 11. Sean x; y; z números reales, tal que



x + y + z = 15 ∧ x2+y2+z2=5. Calcule el valor de M. M=



x 3 + y3 + z3 x y z + + + xyz z x y

A) 3 B) 5 C) 6 D) 9 E) 10

12. Sean a = 2 + 2; b = 1 − 2 y c = −3 .

Reduzca la siguiente expresión. c2

a3 + b3 + c3 abc a + b + 2ab a + c + 2ac b + c + 2bc 2

2

+

b2

2

2

+

a2

2

−

2

15. Sean a; b y c tres números reales que satisfacen

la siguiente igualdad. a2+b2+c2+21=2(a+2b+4c)



Determine el valor de cb .

 – a

A) 16 B) 4 C) 2 D) 8 E) 6

16. Se cumple que



a(b+1)=a2+b(b+1) c(d+1)=c2+d(d+1) simplifique la expresión J. J=

a2 − b2 + c2 − d 2 a3 + b3 + c3 + d 3

a b c+ d a+ b D) E) a+ b c+ d

A) 3 B) 4 C) 0 D) 1 E) 6

A) 1

NIVEL AVANZADO

B) 0 C)

17. Si x+y+z=1, calcule el valor numérico de T. 13. Si x = 3 2 + 3 + 3 2 − 3 , determine el valor de E2+1, de modo que E=x3 – 3x+6.

T=

A) 49 B) 26 C) 48 D) 101 E) 82

14. Teniendo en cuenta que x3+y3+z3=a3+b3+c3,



calcule P(11a; 6b; 3c) si

(x 3 − a3 )3 + ( y3 − b3 )3 + ( z3 − c3 )3 P ( x; y; z) = (x 2 + ax + a2 )( y2 + yb + b2 )( z2 + zc + c2 )

x 3 + y 3 + z 3 −1 xy + yz + zx − xyz

A) 1 B) – 1 C) – 3 D) 3 E) 2

18. Si a+b+c=0, determine el valor de x en  x  x   x  a2  −1 + b2  −1 + c2  −1 =  bc   ac   ab 

= 5abc(a−1 + b−1 + c−1) A) a+b+c B) ab+bc+ac C) a2+b2+c2 D) abc 1 1 1 E) + + a b c

A) 3abc B) 30abc C) 300abc D) 3(a3+b3+c3) E) 3(a+b+c)

9

Álgebra 6. Sea P(x+1)=2x+6. Determine el valor reducido

Polinomios I

de M=P(2x – 1)+P(1 – 2x).

NIVEL BÁSICO

A) 15 B) 6 C) 8 D) 12 E) 20

1. Indique cuáles de las siguientes expresiones matemáticas representan a un polinomio.



P(x; y)=2x2y5 – 4xy7+6



Q( x; y ) = x 6 − y6 + z



R( x ) = x + 1 − x + 2



S( x ) =

NIVEL INTERMEDIO

7. Si el polinomio

x3 − 7 x+6

T( x; y ) = 5 x − x + 3



n+1 2

− nx12−2 n

P( x ) = x 3 y Q( x ) = 3 x

halle el valor numérico de Q P

  ( 3) 

+ PQ

  ( 8) 

Calcule el valor de

P( 0) + P(1) + P( 2) P( 2) + P( 3) + P( 4)

.

9. Dada la expresión irracional definida por

4. Si P( 2 x +1) = x 2 + 5 ,

indique el valor de P(5)+P(7).

A) 74 B) 21 C) 23 D) 84 E) 12

5. Si P(x; y)=x6 – y6, calcule el valor de M. M=P(1; 2)+P(2; 3)+P(3; 4)+...+P(9; 10)

A) 999 999 B) 1 000 000 C) – 1 000 000 D) – 999 999 E) 1 000 001

M( x; y ) = x + y − 2 xy ; x > y > 0



determine el valor de la siguiente expresión.



J=M(9; 8)+ M(8; 7)+ M(7; 6)+ M(6; 5)+ M(5; 4) A) – 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5

.

A) 7 B) 35 C) 18 D) 12 E) 11



es de menor grado posible, calcule el valor de P(1).

A) 4 B) – 5 C) 30 D) 25 E) 5

es un polinomio, determine el valor de 1+2+...+n.

3. Dada las expresiones matemáticas



+ n2

8. Si P(x)=5P(x+1),

A) 10 B) 55 C) 21 D) 15 E) 17



3 n− 4 2

A) 9 B) – 7 C) – 3 D) 11 E) – 11

A) P, Q y R B) R, S y T C) P, Q y T D) solo P E) P y Q

2. Si P( x ) = 5 x n−3 + 7 x

P( x ) = ( n − 4) x n+ 3 − 5 x

10. Dada la expresión matemática

f( x ) =

1 x +1

calcule el valor de f(1) + f( 2) + ... + f(10) + f 1 + f 1  + ... + f



  1

1 10 B) 100 C) 8 D) 10 E) 20

A)

10

  2

1   10

Álgebra 11. Sea P(x)=x2 – mx+n; m ≠ n, un polinomio

A) 10 B) 20 C) 200 D) 1 E) 10/3

cuadrático, tal que P(n)=m. Evalúe P(m).

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

12. Si se cumple que

F( x +1) = 2 x + 1 ∧ F g

( ( x )+1)

 x + 1 ⋅g +3  x − 1  x +1

16. Dado g( x ) = 

= 5x + 1



indique el valor de g(2). A) 1 B) 5/2 C) 2/5 D) 4 E) 5

2 ( x12+ P( x ) = ( x  + x ) ( x 6 + x 2 ) x 3 ) ( x 20 + x 4 ) ... n factores

 −x  2 

n( n + 2) 6

n( n + 1) 2 n( n + 1)( n + 2) D) 6 n( n + 1)( n + 2) E) 3 C)

más, sea F(x)=a +b , donde F(1)=1 y F(2)=2. Determine el valor de F(– 1).

A) 5 B) 3 C) – 1 D) – 2 E) 6

15. Si el grado del polinomio

m+n

x+3 x−5 1 x+  2 

2m+n

3m+2n

2

+5x +14x +x +10 P(x)=3x es 20, donde {m; n} ⊂ Z+, calcule el valor de 20 30 m + −1 n

11

B)

3 x + x +2)

( x + 2)2





x+3 x−3 C) x−5 x−5

= 2x + 3 x2 + 6 x

f( x ) − f( x −1) + f( x +1)



.

3 x−3 E) x+5 x+5

18. Sean f( x

5 5 C) − 12 12

halle el equivalente de P

D)

14. Sean a y b dos números reales no nulos; ade

=

x +3 2 A) x −5 2

B) n(n+1)

x

B)

12 1 E) 5 2

17. Si P 1

calcule el grado de P(x). A)

12 5

D) −

13. Sea el polinomio

  2

A)

NIVEL AVANZADO

 x −1

halle el valor de g 1  .

( g( x ) ) = 2 x + 3

M

Calcule M(x). A) 2 x − 2 x −4

B) 2 C) 2 D) 2 E) 2

x −5 x −1 x −7

=

g( x ) − 6 2 g( x )

Álgebra Anual UNI Operaciones básicas y Potenciación 01 - E

04 - C

07 - D

10 - D

13 - B

16 - B

02 - D

05 - E

08 - C

11 - A

14 - D

17 - D

03 - C

06 - B

09 - C

12 - B

15 - E

18 - A

Radicación en R 01 - D

04 - D

07 - E

10 - B

13 - A

16 - B

02 - B

05 - E

08 - B

11 - D

14 - C

17 - C

03 - D

06 - D

09 - D

12 - D

15 - B

18 - B

19 - D

Productos notables I 01 - a 02 - a 18 - b

03 - d

Productos notables II 01 - e

04 - a

07 - e

10 - b

13 - d

16 - a

02 - c

05 - d

08 - d

11 - c

14 - c

17 - c

03 - b

06 - e

09 - c

12 - c

15 - c

18 - b

Polinomios I 01 - e

04 - c

07 - D

10 - d

13 - e

16 - D

02 - d

05 - d

08 - d

11 - b

14 - d

17 - e

03 - e

06 - c

09 - c

12 - e

15 - c

18 - d

12

Preguntas propuestas

2 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Álgebra Polinomios II NIVEL BÁSICO

1. Si el siguiente polinomio no es mónico





P(x)=(n – 11)x14 – n+2nxn – 11+3 determine el valor de n.

A) Id, IIc, IIIb, IVa B) Ic, IIa, IIIb, IVd C) Ic, IIa, IIId, IVb D) Ia, IIc, IIIb, IVd E) Id, IIb, IIIa, IVc

A) 13 B) 12 C) 2 D) A y B E) no existe

2. Dado el polinomio 2011 2010 2 P 2 x −1 = (5 x − 9) + ( x − 3) + ( x +1) −10,



NIVEL INTERMEDIO

 3 

determine la suma de coeficientes de P(x). A) 1 B) 2009 C) 2010 D) 0 E) –1

7. Si la suma de coeficientes y el término inde

3. Calcule el menor valor de k si en el polinomio



P(x)=(3kx – k)2+x2013 – 12x se cumple que la suma de coeficientes de P(x) excede a su término independiente en la unidad. A) 2 B) – 2 C) 1 D) 10 E) 12

4. Si se cumple que



2

(x+1)5+(x – 1)5 ≡ 2x5+ax3+10x+b calcule el valor de (a – 18)(b+3). A) 8 B) 32 C) 1024 D) 729 E) 64

6. Relacione el polinomio del primer bloque con

8. ¿Cuántos de los polinomios

su respectiva característica que figura en el bloque posterior. I. P( x ) = 2 − 3 II. Q(x)=3x6 – 2x7+5x+x8 III. M(x+1)=(x+1)(x+2)(x+3) IV. N(x)=(x – 3)4+2

3



f1(x)=(x+1)2  ;  f2(x)=(x2+1)   ;



f3(x)=(x3+1)   ;  f4(x)=(x4+1)   ;  ...



deberán multiplicarse a fin de que el grado del producto de ellos sea 440?

2x  – x+3 ≡ a0(x – 1) +a1(x – 1)+a2 calcule el valor de a0+a1+a2.

5. Si se cumple que

pendiente del polinomio P(x)=xn+(x+2)n – (x – 1)n suman 13, calcule el valor de n.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2

A) 4 B) 9 C) 7 D) 12 E) 3



a. es mónico. b. la suma de coeficientes es 6. c. es un polinomio constante. d. su término independiente es 83.

4

5

A) 20 B) 10 C) 16 D) 12 E) 14

9. Sea f(x)=n+1 un polinomio que verifica

f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=20.



Evalúe f(n)+f(n+1)+f(n+2). A) 10 B) 15 C) 20 D) 3n+1 E) n+3

10. Sea P(x) un polinomio de segundo grado que

carece de término independiente, tal que P(x) – P(x+1) ≡ x. Calcule la suma de coeficientes de Q(x), si Q(x)=[P(x)]2.

A) 2 B) 1/4 C) 1/2 D) 0 E) –1

2

Álgebra 11. Si P(x) es un polinomio idénticamente nulo de-

A) 11



P(x)=(x2+2x+3)(a – b)+(x2+2x+5)



B) 5 C) 10

D) 55 E) 44

finido por (b – c)+(x2+2x+11)(c – a)

15. Dado el polinomio mónico y cúbico P(x) tal que P(1)=2013; P(2)=2013; P(3)=2013, determine el

entonces, ¿qué se puede afirmar?

término independiente de P(x). A) a=b=c

B) 3c+b=4a C) a+2b=3c

D) b+c=2a E) 4b+3c=7a

A) 2013

B) 0 C) 49

D) 2009 E) 2007

12. El polinomio

n

n – 2



P(x)=(9x8 – 7) (2x2+3x3 – 1)



tiene como grado 47. Determine el valor de la

(x9+3)

raíz quinta del coeficiente principal de P(x). A) 3

B) 6 C) 9

D) 12 E) 27

16. Dado el polinomio lineal f(x)=ax+b;

{a; b} ⊂ Q – {0}  ∧  a > 0, tales que



I. f(a+b)=ab



II. f( a− b) = −



NIVEL AVANZADO

a b

III. f(ab2)=c

Determine el valor de a2 · b2+c2. A) 5

B) 2 C) 1

D) 8 E) 10

13. Determine el polinomio constante que debe

adicionarse al polinomio

17. Si el polinomio

1 2 2 2 2 P( x) = ( x +1) + ( x + 2) + ( x + 3) + ... + ( x + n)  n para que sea un cuadrado perfecto.



N(x)=(a3+b – c+9)xa



es idénticamente nulo, calcule el valor de



 4 1   a + 4  . a

n ( n + 1) 2 n2 − 1 B) 12 1 − n2 C) 12 n ( n − 1) D) 12 n ( n + 1) (2 n − 1) E) 12 A)

A) 1

3+1

3

+(c – b – 10)xa ; a ≠ 1

B) 2 C)  – 1

D)  – 2 E) 3 2 – bc

18. Sabiendo que xa

2 – ac

; xb

2 – ab

; xc

y 1 son los

términos 1.º, 7.º, 13.º y último, respectivamente, de un polinomio P(x) completo y ordenado en forma decreciente; calcule el valor de

2

( a + b + c)−1

2

14. Sean P(x+1)=ax  – x+b y Q(x – 1)=x  – bx+c dos

{

}

1 2 + . b− c a− c

polinomios, tales que ∀ x ∈ R: P(x)=Q(x). Cal-

A) 1/2

cule el producto abc.

D) 4 E) 1/6

3

B) 1/3 C) 2

Álgebra División algebraica NIVEL BÁSICO



1. Efectúe la siguiente división

2x3 + 3 x2 − x − 2 y determine la suma del cociente con el residuo.

2. Determine el residuo de la siguiente división



10 x 5 + 3 x 4 − 17 x 3 − x 2 − 5

A)  – x2 – 3x+4 B) x2 – 15x+4 C)  – x2 – 15x – 4 D)  – x2 – 15x+4 E) x2+6x – 13

6. Determine el resto de ( x − 4 )7 + ( x − 5)5 + 7 ( x − 4 ) ( x − 5)

x4 + 4

A) 2x+2 B) – 2x+2 C) 3x – 5 D) 5x – 3 E) 2x – 2

x − 2x + 2 A) x+1 B) x – 1 C) 2x – 1 D) 2x+1 E) 0



NIVEL INTERMEDIO

7. Si

Bx 2 + C





(15x

+25x  – 18x  – 18x +17x – 11) ÷ (3x+5) ¿qué se puede afirmar? 4

3

2

A) El residuo no es constante. B) La suma de coeficientes del cociente es 6. C) Es una división exacta. D) q(x)=5x4 – 6x2+4x – 3 es el cociente. E) El cociente carece de término cúbico.

ax n+1 + x − 2

, a ≠ 0, genera un co-

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 18

A) 3/2 B) 1/2 C)  – 3/2 D) 4/9 E) 9/4

5

x n+ 2 + bx 2 n+1 + cx 3 n− 2

ciente de grado 7, calcule el grado del dividendo aumentado en n.

genera un cociente q(x)=x – 1. Determine el valor de A2.

4. Respecto a la siguiente división

además, P(1)= – 11. Indique la alternativa correcta. A) P(0)= – 5 B) P(x)=x3+x2 – 4x+9 C) P(x)=x3 – 9 D) P(x)=x3+x2 – 4x – 9 E) P(2)=0

2

3. Si la división exacta Ax 3 + ( A − 1) x 2 + ( A − 2) x + A − 3

P( x ) , se obtiene como cociente x−2 2 q(x)=x +ax+2, resto r(x)= – 5;

5. Al dividir

8. Si el cociente de la división

x15 + x13 + x + 1



x2 − x − 1 tiene la forma q(x)=a0x13+a1x12+a2x11+...+a13,



halle el valor de

a3 + a2 . a0 + a1

A) 9 B) 7 C) 7/2 D) 11/2 E) 10

4

Álgebra 9. Si la división algebraica

x n + x n−1 + x n− 2 + ... + x + 1 x −1 genera un cociente q(x), tal que q(1)=210, determine el valor de n. A) 10 B) 19 C) 15 D) 20 E) 210

NIVEL AVANZADO

13. Al efectuar la división



10. Determine el término central del polinomio

P(x)=nx+(n – 1)x2+(n – 2)x3+...+2xn – 1+xn, si P( ) se sabe que el resto que resulta de dividir x x −1 es 153.

A) 11x7 B) 10x8 C) 9x9 D) 8x10 E) 7x11

14. El polinomio P(x)=ax5 – bx4+cx3 – 7x2+3x+2

15. Dado el esquema de Horner de una división algebraica *

*

*

*

* *

a

*



*

*

*

a

1

* *

x2 + 4 x + 3

5

*

3

12. Calcule el resto de la siguiente división. ( x + 2)2 − x ( x + 1) ( x + 3) ( x + 4 )

A) 1 B) – 2x+1 C) x+21 D) 3x – 2 E) 2x

es divisible por (2x2 – 3x+2). Además, se sabe que la suma de coeficientes del cociente es 7. Calcule el valor de (a+bc). A) 112 B) – 105 C) 111 D) 114 E) – 121

ne un cociente cuyos coeficientes suman 115. Calcule el valor de m.



3 x2 + 2x − a se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 30 y un resto idéntico a (5ax+a+2), a ≠ 0. a ; donde q(x) es el Determine el valor de q(1) − a cociente. A) 1 B) 4 – 1 C) – 1 – 1 D) – 4  E) 4

11. Al dividir (3x40 – mx+2) entre (x – 1) se obtie-

A) 120 B) 2 C) 10 D) 3 E) 5

3ax 4 − 4 dx 3 − 2cx 2 + 2 x + 2

b

4 *

*

8

2

calcule el mayor valor de a2+b2. A) 1/9 B) 27/9 C) 82/9 D) 1/81 E) 2

Álgebra x6 − 2x5 + 3 , si M={x ∈ Z/P(x) ∈ Z} x−2 Indique la alternativa correcta respecto al conjunto M.

16. Sea P( x ) =

A) M ⊂ {1; 3} B) {3; 1; 5; 0;  – 1} ⊂ M C) M={x/x2+2013=0} D) M={ – 1; 1; 3; 5} E) M ⊂ {1; 2; 3; 4; 5}

17. El cociente y residuo de la división

 1  51  1  37  2  x +  2  x + 2 x − 2 b a 3x − 1



son (c0x50+c1x49+c2x48+...+c49x+c50) y – 5,



50 2 1 respectivamente, donde ∑ ci = + a ∧ b ∈R. a b i =0



Calcule el valor de a+b. A) 2/3 B) 3/4 C) 3/2 D)  – 1/2 E) 5

18. Luego de dividir el polinomio (x2013 – 1) entre

el polinomio (x2+1)(x2+x+1) se obtiene de residuo r(x). Determine el valor de r(4). A) 77 B) 105 C)  – 65 D) 41 E)  – 32

6

Álgebra Cocientes notables NIVEL BÁSICO

6. Si

x n + y18 x2 + y m

genera un cociente notable,

{n; m} ⊂ Z+, ¿cuántos valores puede tomar m+n?

1. Calcule el residuo cuando

6x1000 – 17x562+12x+26 se divide entre x+1.

A) 6 B) 4 C) 18 D) 3 E) 5

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

2. Sea P(x)=x3+5

si R1(x) es el resto en



R2(x) es el resto en



R3(x) es el resto en



7. Si R(x) es el resto de la división x 3 + ( b − a) x 2 + ( b2 − ab) x − ab2 + 8

P( x ) x −1 P( x )



x−2 P( x )



x−3 halle el valor de Q(x)=R1(x)+R2(x)+R3(x). A) 50 B) 27 C) 105 D) 51 E) 55

3. Si el residuo de la división

2 x17 + 3 x14 + 4 x 2 − 1

4. La división

genera un cociente notable xn −1 cuyo término central es x36. Calcule el valor de n + 7.



a +b

B) a25b24 C) a75b56 A) a75b48 D) – a75b48 E) – a75b56 7

x2 − x + 1

halle



de lugar k. A) 3x2 D)

x2 y

2

x 8 + y8 ; x+y

T1 T3 T5 + + , donde Tk indica el término T3 T5 T7



B) 3y2 C) 3x2y2

E) 3

x2 y2

10. Determine el término independiente del desarrollo del siguiente cociente notable.

2

1 .  10 

3 x10 + 5 x 4 + 6 x 3 + 4 x − 3

9. Dado el cociente notable

a150 − b100 3

 3 

A) R(x)=4x+9 B) R(x)=4x – 9 C) R(0)=9 D) R(x)= – 4x – 9 E) R(1)=13

A) 25 B) 16 C) 4 D) 5 E) 1

5. Calcule el término 25 en el desarrollo del CN.

 2 

8. Halle el resto en la siguiente división.

x2 + 1 es de la forma R(x)=mx+n, determine el valor de R(m – n).

x9 n − 1

x−a calcule R(1) + R(2) + R 1  + R(3) + R 1  + ... + R

A) 80 B) 88 C) 110 D) 220 E) 152



A) 0 B) 12 C) 1 D) 15 E) 14



NIVEL INTERMEDIO

Q( x ) =

( x + 2)100 − 2100 x

A) 100 B) 200×290 C) 100×299 9 D) 200 E) 1000

Álgebra 11. Si uno de los términos del desarrollo del cociente notable

x m + a3 m−15 x + a2 A) 2

es x10a2n, calcule el valor de n.

15. Si a=f(x), tal que

a n+1−1 2 ≡ (x)+(x 2 + 2 x) x 3 3 x ...+21 +( + + 3 x)+ a−1  20 sumandos



indique la alternativa correcta.

B) 6 C) 8

A) a=21 B) n=21 C) a=x+1 D) a=x+21 E) a=21x

D) 1 E) 4

12. En el cociente notable

a105 − b63 5

3

;

a −b el grado del término que ocupa el lugar k supe-

16. La expresión

ra en 8 al grado del término de lugar k contando desde el final. Calcule el valor de k. A) 3

D) 9 E) 10

13. Al dividir el polinomio obtiene como cociente a un polinomio de gramio nulo. Halle el valor de p, donde p es primo. A) 137

x10 − 1024 , halle aproximadamente x−2 1   el valor de Q  2 + 2013 .   10

14. Sea Q( x ) =

A) 29

x 69 + x 66 + x 63 + ... + 1 x

21

18

+x

B) 210 C) 5 · 210

D) 10 · 28 E) 220

15

+x

⋅

+ ... + 1 x

x12 − 1

24

− x12 + 1

18. Determine el valor reducido de

S = 8+ 88 + 888 + 8888 + ... + 888...  8 n sumandos

B) 23 C) 71

D) 37 E) 51



F=

B) x36 – 1 C) x24+1 A) x24 – 1 72 D) x  – 1 E) 1

P(x)=xn+xn – 1 – 8xn – 4+n – p entre d(x)=x – 2 se do menor o igual a 7 y, como resto, a un polino-

genera un cociente notable. Si Tk(x; y)=xny – n es un término de este cociente notable, halle Tk(x; y).

17. Reduzca la siguiente expresión.



x 2 y2 + 1

A) x6y – 6 B) x – 5y5 C) x4y – 4  – 1 D) xy E) x – 3y3

B) 5 C) 6

NIVEL AVANZADO

x 8 ( x 2 y 2 ) + y −8

1 ( n−1 10 − 9 n − 18) 5 1 B) (10 n − 10 n − 19 ) 5 8 C) (10 n+1 − 9 n − 10 ) 81 8 D) (10 n−1 − 9 n − 19 ) 9 8 E) (10 n+1 − 9 n + 18) 3 A)

8

Álgebra Factorización sobre Z

NIVEL INTERMEDIO

NIVEL BÁSICO

25. Si S(a; 2

19. Si J(x)=x +x+1 es un factor algebraico de P(x)=x4+mx2+n; indique el valor de m+n.



A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

A) S(a; b)=ab+4a – 6 B) S(a; b)=ab+3a – 7 C) S(a; b)=5a+b D) S(a; b)=4a+b – 1 E) S(a; b)=5a+b – 6

20. Si F(x)=x2+x es un factor algebraico del polinomio P(x)=ax4 – bx3 – cx – 3, entonces determine el valor numérico de a+b+c. A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6

26. Al factorizar el polinomio mediante el criterio de aspa simple se obtuvo P(x)=4 xa – (k+p)x2+4

21. Indique el número de factores lineales que

presenta el siguiente polinomio. M(x; y)= x8y+3x7y+2x6y+6x5y



A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

M(a; x)=(a+b)2+2(a+b)(a – b)+(a – b)2 – x2 Indique la suma de factores primos. A) 3a B) 4a C) 5ax D) ax E) 2x

23. Determine la suma de los factores primos de

P(x; y)=(1+xy)2 – (x+y)2.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 8 9

–n –m

siendo m, n, k, p ∈ R+ m ≠ n. Determine un factor primo de P(x).

27. Sean F(x; y) y g(x; y) los factores primos cuadrá

ticos del polinomio P(x; y)=(a2 – b2)x2+4abxy – (a2 – b2)y2. Determine el equivalente de F(x; y)+g(x; y).

A) F(x; y)+g(x; y)=2ax+2by B) F(x; y)+g(x; y)=2ax – 2by C) F(x; y)+g(x; y)=2bx+2ay D) F(x; y)+g(x; y)=2bx – 2ay E) F(x; y)+g(x; y)=2abx+2y

A) 2(x+y) B) x+y+1 C) 2x+2y – 1 D) x+y+2 E) x+y

24. Factorice P(x; n)=(x+y)(x – y)+(y+z)(y – z)+ +(z+m)(z – m)+(m+n)(m – n) e indique el número de factores primos.

mx2 nx2

A) x+2 B) 2x+3 C) 2x+2 D) x – 1 E) x2+2

22. Factorice el siguiente polinomio.

b) representa la suma de los factores primos que presenta el polinomio P(a; b)=ab(a2 – 6a – b2+9)(a2 – 169); Determine S(a; b).

28. Indique el número de factores primos de

P(x)=(x2+5x)2 – 4+x(15+3x).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Álgebra 29. Indique un factor cuadrático irreductible del

33. Considere el siguiente polinomio.





siguiente polinomio de cuarto grado. M(x)=x4+108+9x2+x3 A) x2+9x+12 B) x2 – 9x+81 C) x2+x+9 D) x2 – 3x+9 E) x2+4x+10

A) – 11 B) 9 C) – 9 D) 12 E) 11

34. ¿Cuántos de los siguientes polinomios son pri-

30. Determine el factor primo g(x) de mayor grado

que presenta el siguiente polinomio. f(x)=x4+3x3 – 5x2 – 13x+6

A) g(x)=x2+4x+1 B) g(x)=x2 – 3x+1 C) g(x)=x2+2x – 1 D) g(x)=x2+x – 6 E) g(x)=x2+2x+3



mos sobre Z? I. P(x)=x2 – 6x+24 II. Q(x)=x4+4 III. R(x)=x4+x2+1 IV. L(x)=x4+1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) ninguno

NIVEL AVANZADO

31. Indique el número de factores primos que pre

P(x; y)=2x2+7xy+6y2 – 5x – 8y+2 además, P(a; b)=11; {a; b} ⊂ Z. Halle el máximo valor de a+b.

35. Si n es el número de factores primos de

senta el siguiente polinomio. P(a; b; c)=2[(a+b)2+c2]+4c(a+b) – 5(a+b+c)+2

P(n)=x(x+1)2(x+2) – 12, indique el número que no es divisible entre n.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 72 B) 26 C) 30 D) 126 E) 6

32. Los trinomios (2x2+ax+6) y (2x2+bx+3) ad-

miten un factor en común de la forma (2x+c). Calcule el valor de (a – b)c. A) – 3 B) 2 C) 6 D) – 2 E) 3 UNI 1996 - II

36. Luego de factorizar el siguiente polinomio

(x – 5)(x – 7)(x+6)(x+4) – 504; indique uno de los factores primos. A) x – 5 B) x+7 C) x+6 D) x+3 E) x – 2

10

Álgebra Factorización sobre Q

6. Si n representa el número de factores primos que posee el siguiente polinomio



NIVEL BÁSICO

1. Si 2 es raíz del polinomio P(x)=x3 – 5x+a, en-

A) 55 B) 66 C) 36 D) 10 E) 24

tonces determine el factor primo de mayor término independiente.

A) F(x)=x – 2 B) F(x)=x – 4 C) F(x)=x2 – 2 D) F(x)=x2 – 2x – 1 E) F(x)=x2+2x – 1

NIVEL INTERMEDIO

2. Dado el siguiente polinomio.



P(x)=2x3+4x2+nx+6; n ∈ Z ¿Qué alternativa no pertenece al conjunto de las posibles raíces racionales de P(x)? A) 2 B) 1/3 C) 3/2 D) – 6 E) 3

7. De los siguientes polinomios, ¿cuántos son pri

del siguiente polinomio. P(x)=2x3 – 3x2 – 4.

A) F(x)=x+2 B) F(x)=x+4 C) F(x)=2x2 – 1 D) F(x)=2x2 – 2x – 1 E) F(x)=2x2+x+2

8. Señale la secuencia correcta de verdad (V) o

4. Factorice el siguiente polinomio.



P(x)=2x3+7x2+7x+2 Indique como respuesta la suma de los factores primos. A) 4(x+1) B) 2(x+1) C) 3(x+1) D) 3x+4 E) 4x+3

5. Determine un factor primo del siguiente poli

mos sobre Q? I. A(x)=x3+x – 1 II. B(x)=x3+2x – 2 III. C(x)=2x3+x2+1 IV. D(x)=3x3+2x2 – 6x+1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) ninguno

3. Factorice e indique uno de los factores primos

Q(x)=2x5+x4 – 10x3 – 5x2+8x+4 Entonces, determine el valor de 1+2+3+...+2n.

nomio. Q(x)=12x3 – 8x2 – x+1



falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. El polinomio P(x)=6x2 – 7x – 24 es primo. II. Si b2 – 4ac es un cuadro perfecto, entonces el polinomio P(x)=ax2+bx+c no es primo. III. El polinomio P(x)=x3+x+1 es primo. IV. El polinomio P(x)=x4 – 2x3+x2 – x – 2 es primo. A) FVVF B) VFVV C) VVFV D) FVVV E) VVVF

9. Si f(x) es la suma de los factores primos lineales del polinomio P(x)=6x4 – 5x3 – 7x2+5x+1, calcule f(2).

A) x – 1 B) 2x+1 C) 3x+10 D) 2x – 1 E) 3x – 1 11

A) 6 B) 17 C) 8 D) 9 E) 10

Álgebra 10. Luego de factorizar el polinomio



L(x)=x4 – 3x3+2x2 – 5x – 3; señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. L(x) tiene cuatro factores primos. II. L(x) tiene un factor cuadrático. III. L(x) solo tiene dos factores primos.

A) I y IV B) solo II C) solo III D) I y II E) ninguna

14. Factorice el siguiente polinomio.

M(x)=x5+2x3+2x2+4 Dé como respuesta la cantidad de factores primos sobre Q. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) VFV B) FVV C) VVF D) FVF E) FFV

11. Factorice el siguiente polinomio.

P(x)=x5+x4+1 Dé como respuesta el factor primo de mayor grado.

15. Calcule la suma de coeficientes del factor pri-





A) x2 – x+1 B) x2+x+1 C) x3 – x+1 D) x3+2x – 1 E) x3+x – 1

16. Determine la suma de los factores primos del



5

3

A) 12 B) 18 C) 15 D) 21 E) 24



12. De la siguiente identidad 2

A) 2 B) – 1 C) – 2 D) 0 E) 1

17. Indique el número de factores primos sobre Q



4

2

P(x)=x +x  – 2x+1 Indique las proposiciones que son verdaderas. I. Tiene cuatro factores primos. II. Tiene dos factores primos cuadráticos. III. Es un polinomio primo sobre Q. IV. Acepta un factor lineal.

del siguiente polinomio. P(x)=x7+x2+1 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

NIVEL AVANZADO

13. Respecto al siguiente polinomio.

siguiente polinomio. P(x)=x6 – 2x3+2x – 1 B) x4+x – 4 C) x4+x2 – 2 A) x3 – x – 2 D) x4+x2 +1 E) 2x3+2x – 1

2

x +x+1 ≡ (x +ax +bx+c)(x +mx+n); donde a, b, c, m y n ∈ Z; calcule el valor de abc+mn.

mo cuadrático del siguiente polinomio. T(x)=32(x+1)5+2x+3

18. Señale un factor primo del siguiente polinomio.

M(x)=(2x+1)7+4x(x+1)+2 A) 4x2+7x+3 B) 4x2+6x+3 C) 4x2+4x+1 D) 4x2+2x+1 E) 4x2 – 2x+1

12

Anual UNI Polinomios II 01 - A

04 - B

07 - B

10 - D

13 - C

16 - C

02 - A

05 - A

08 - B

11 - B

14 - D

17 - C

03 - B

06 - B

09 - B

12 - C

15 - E

18 - B

División algebraica 01 - d

04 - e

07 - e

10 - c

13 - e

16 - d

02 - e

05 - d

08 - c

11 - e

14 - d

17 - c

03 - e

06 - e

09 - d

12 - a

15 - c

18 - b

Cocientes notables 01 - e 02 - d 18 - c

03 - b

Factorización sobre Z 01 - e

04 - b

07 - e

10 - c

13 - b

16 - b

02 - a

05 - a

08 - a

11 - d

14 - c

17 - b

03 - b

06 - d

09 - a

12 - c

15 - b

18 - b

Factorización sobre Q 01 - e

04 - a

07 - B

10 - e

13 - c

16 - d

02 - b

05 - d

08 - a

11 - c

14 - b

17 - a

03 - e

06 - a

09 - b

12 - e

15 - d

18 - b

Preguntas propuestas

3 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Álgebra Números complejos

A) 6

NIVEL BÁSICO

D)

B)

13 C) 12 2

13 E) 6 2

1. Si i39=ai ∧ (2i)– 3=bi, donde {a; b} ⊂ R, determine el valor de

a2 b2

NIVEL INTERMEDIO

.

A) 1/64 B) 64 C) 32 D) 1/8 E) 4

7. Dado w=(2+i)2+(1+3i)(1– 3i) – 8i, halle el valor de |w|+|w|+|w*|+|– w|. B) 34 C) 2 136 D) 4 185 E) 8 17 A) 2 34

2. Sea A=i+i2+i3+i4+...+i ab.

Halle mín(ab)+máx(ab), tal que A=0.

A) 96 B) 108 C) 12 D) 100 E) 112

8. Halle la suma A de números complejos.

A) n(2n+1) B) 2n(4n+1) C) 0 D) n(4n+1) E) 2n(4n –1)

3. Determine el equivalente reducido de M.



 1+ i 5 1− i 5  M = +   1− i 5 1+ i 5 

2

9. Dados z=a2+6i, w=9+(b2+a)i, i = −1 y z=w, indique la alternativa incorrecta.

A) 2i B) 5i C) 0 D) 2 E) 4

A) z=9+6i B) a+b=0 para algunos a ∧ b

4. Determine el valor de n si se sabe que 3 + ( n + 1) i



z=

2 + 5i que n ∈ R.

5. Determine el valor de b si se sabe que

3 + 4i es un imaginario puro. Considere z= 1 + bi que b ∈ R. A) 1/2 B) 2/3 C) 3/2 D) 1/4 E) – 3/4

6. Calcule el módulo del complejo z si se sabe (1 + i ) z que

2 + 3i

C) ab = 9 3

es un complejo real. Considere

A) 8,3 B) 8,5 C) 2,5 D) 6,5 E) 5,2



A=(1+i)+(2+i2)+(3+i3)+...+(4n+i4n)

= cos1º + i sen 1º .

D) ab = ± 3 3 ∨ ab = ± 9 a E) = −1 para algunos a ∧ b b

10. Sean P(x)=x2 – 4x+13 ∧ z=2 – 3i, indique la se-



cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. P( z ) = 0

II. P(z+2)=4 –12i III. P(z*)=0 IV. P(z)=0

A) FVFV B) FFVV C) VVVV D) VVFF E) VVFV

11. Determine la parte real de z15 si z=1+i. A) –128 B) 128 C) 0 D) 1 E) 64 2

Álgebra 12. Si z=x+yi; x, y ∈ R ∧ i = −1, tal que

entonces podemos afirmar que I. z es un número real. II. z es un número primo. III. z es un complejo nulo. IV. z es un imaginario puro.

1− z = 1; 1+ z

A) 5

B) 3 C) 2

D) 2 E) 1

16. Determine el módulo del complejo w. w=

A) solo IV B) solo III C) I y II D) II y III E) III y IV

( 3 + 5i ) 5 7 1 − i

(

A) 7 2

26 − 2 2i )

4 7

(

2

2 + 7 2i )

B) 17 C) 14

D) 29 E) 27 4 NIVEL AVANZADO

17. Si 13. Se define f(k;

x)=x+x

2

z=

+x3+...+xk+1. Halle el

conjugado de (f(4; i)+f(9; i)). A) –1+2i B) 1+2i C) –1– 2i D) 2– i E) – 2– i



14. Sea el complejo

9 − 3i 20 − 4 i 35 − 5i + − ; i = −1, 1 − 2i 2 − 3i 3 − 4i determine el valor de Re(z4)

k=

18. Determine el valor de n si se sabe que el módulo del complejo z es igual a n 530 . 2n



( z1 · z 2 + z1 · z2 ) i ,

k z = ∑  k + ( −1) ( k + 1) i  k=1

A) 10

determine el valor de (k+i).

B) –1 C) i

D) – i E) 1+i

A) –16 B) – 32 C) – 64 D) 32 E) 64



determine el valor de z2013. A) 1

z=

15. Si Re(z1 · z2)=–1, además,

1+ i 1+ i 1− 1+ i 1− 1+ i 1− 1− i

B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

3

Álgebra Ecuaciones polinomiales

A) {6}

NIVEL BÁSICO

1. Si b es una solución de la ecuación x2+7x – 5=0,

D)





NIVEL INTERMEDIO

7. Si x0 es una solución de la ecuación



C) n ∈ R – {5} D) n∈ R − E) n∈ R −

{ } {} 1 ;3 2 1 2

3. Calcule el valor de mn si se sabe que la si-



guiente ecuación paramétrica de incógnita x tiene infinitas soluciones. (m+n+100)x=2m – 40 – 2n



D) −4 + 1 E) 3 2 + 1

8. Si la siguiente ecuación de incógnita x es inde

9. Dada la siguiente ecuación paramétrica de

incógnita x. (9n2 –1)x=(3n+1)(n+2) Determine el valor de (12n+1) si se sabe que el conjunto solución de la ecuación es el vacío. A) 4 B) 5 C) 3 D) 13 E) 14

10. Respecto a la ecuación paramétrica de varia-



A) 1 B) –1 C) 3 D) – 3 E) 2



(x2 – x+1)(x+1) – (x2+x+1)(x –1)=2(x – 2)

terminada, halle el menor valor de m – n. (m+n)x+6=5x+mn ∧ {m; n} ⊂ Z+ A) 0 B) –1 C) 1 D) – 2 E) – 3

ecuación paramétrica de variable x sea incompatible. (λ2 –1)x=(λ2 – 2λ – 3)

5. Resuelva la siguiente ecuación polinomial.

B) 14 C) 16

3

A) 2400 B) 1000 C) 600 D) –1200 E) – 2400

4. Determine el valor de λ para que la siguiente

x3 – 3x2+3x+3=0, determine el valor de M. M=(x0 –1)6 – 2 A) 12

A) n ∈ R – {3; 5} B) n ∈ R – {3}

1 3 ; − E) {0} 5 4

A) 2 B) – 2 C) 1 D) –1 E) 0

A) 5 B) –1 C) 0 D) 1 E) 10

que la siguiente ecuación paramétrica de incógnita x sea compatible determinada. (2n –1)(n – 3)x=(n – 5)(n – 3)

2 1 ; C) {3} 7 5

calcule el valor de (a+x).

β 2 + 17β 1 + 2β

2. Determine los valores reales de n, de modo

{ }

{ }

6. En la ecuación lineal (5a+10)x2+3ax+48=6x,

determine el valor de k. k=

B)

ble x: (a2 – 4)x=(9 – b2), indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. Si a=2 ∧ b=3 → es compatible indeterminada. II. Si a=0 → b=– 3 es inconsistente III. Si a=2 ∧ b ≠ 3 → es indeterminada. A) FVV B) VFV C) FFV D) VVV E) VFF 4

Álgebra 11. Resuelva la siguiente ecuación.

(x –10)+(2x – 9)+(3x – 8)+...+(10x –1)= 2+4+6+...+20 A) 2 B) {2} C) 3 D) {3} E) {5}

15. Si x0 es la solución de la ecuación lineal en x.

A) 2 B) – a – b – c C) –1 D) 1 E) – 2

12. Dada la ecuación polinomial

(x2 – 3x+2)(x2 – 5x+6)(x2 – 7x+12)... (x2 –19x+90)=0 si m es la suma de raíces y n representa la suma de soluciones, calcule el valor de m2 – n2.

16. Determine el valor de la solución de la siguien

A) 4554 B) 6776 C) 5225 D) 5335 E) 5445

te ecuación lineal. (x2 – x – 3)2+(x2+x+3)2=2x2(x2+1) A) 4/5 B) – 3/2 C) – 3/7 D) 2/9 E) – 3/4

17. Si la ecuación polinomial tiene 9 raíces

NIVEL AVANZADO



13. Determine un valor del parámetro λ para que



x − a− b x − b− c x − c− a + + = 3, c a b + donde {a; b; c} ⊂ R . Calcule el valor de x0 − a − b . c

la siguiente ecuación de incógnita x sea determinada, indeterminada e incompatible, respectivamente. (λ2 – 5λ+6)x=λ2 – 4λ+3

(x – q)2(x – 2)m(x – m)q=0 y la suma de sus raíces es 26, halle el valor de q2+m2.

A) 8 B) 25 C) 9 D) 10 E) 12

18. Resuelva la siguiente ecuación lineal de inA) 1; 2; 3 B) 5; 2; 3 C) 3; 2; 1 D) 2; 3; 1 E) 5; 3; 2

14. Sea la ecuación lineal de variable x.

(x –1)(n2+n)=2 – x, donde x ∈ Z ∧ n ∈ Z. Determine el mayor valor de x+n.

A) 5 B) 4 C) 1 D) 2 E) 3

5



cógnita x. 100 ix − ( i + 2 ) 103 ∑ i ( i + 2) ( i + 1) = 202 i =2

A) CS = D) CS =

{} { } 1 2

B) CS =

{ }

{ } {}

99 103 C) CS = 102 99

34 11

E) CS =

3 2

Álgebra Ecuaciones cuadráticas NIVEL BÁSICO



A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF

1. Resuelva la siguiente ecuación.



(x – 2)2+(x+1)2=(x –1)2+x+3

1 + 2i 1 − 2i   ; A) CS =   2 2 

6. Sea la ecuación x2+bx+c=0, indique la relación que cumplen b y c para que sus raíces se diferencien en 5c.

1 + 3 i 1 − 3 i   ; B) CS =   3 3 

A) b2=c

1 + 3 1 − 3  C) CS =   ;  2 2 

2. Determine el valor de la suma de los inversos

NIVEL INTERMEDIO

7. Las dimensiones exteriores de un marco de fotografía son 12 por 15 cm. Si se sabe que su ancho permanece constante, halle el ancho del marco, tomando en cuenta que el área de la fotografía es de 88 cm2.

de las raíces de la ecuación 2x2 – 3x+4=0.

A) – 3/4 B) 4/3 C) 3/4 D) – 4/3 E) 0

3. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación



x2 – x – 2=0, determine el valor de T. x x T= 1+ 2 x 2 x1

A) – 3,6 B) – 3,5 C) – 6,5 D) – 2,5 E) 2,6

A) 11 cm B) 2,5 cm C) 2 cm D) 4 cm E) 3,5 cm

8. Si x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación cuadrática 234x2+233x+232=0, determine el equivalente reducido de M.



4. Si las ecuaciones cuadráticas 2 ( m − n ) x + ( m + n ) x + n − 41 = 0

 2 6 x + 7 x − 20 = 0 tienen las mismas raíces, determine el valor de m/n.

5. Dado el trinomio

f(x)=(r+3)x2 – 2(r+3)x+(r2+1), indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones.

(

)

(

)

(

M = 234 x15 + x 25 + 233 x14 + x 24 + 232 x13 + x 23

)

A) 2 B) – 2 C) 3 D) 0 E) – 3

9. Calcule el valor de 2m – 3 si se conoce que

A) –1/3 B) 13 C) 14 D) –14 E) 1/13

B) b+1=x C) b=9c

D) b2=9c E) c2=3b

 1 + 3i 1 − 3i   ; − D) CS = −  2 2  1 + 3 i 1 − 3 i   ; E) CS =   2 2 

I. f(x) tiene raíces simétricas ↔ r=– 3 II. f(x) tiene raíces recíprocas ↔ r=2 ∨ r=–1 III. La suma de raíces de f(x) es 2; ∀ r ∈ R.



las ecuaciones cuadráticas 3mx2+x – 2=0 y 45x2+(3m – 2)x – 2=0 tienen una raíz en común y la raíz restante de la segunda ecuación es el cuadrado de la raíz restante de la primera. Considere m ∈ Z. A) 17 B) 5 C) 7 D) 9 E) 19 6

Álgebra 10. ¿Qué cantidad es necesaria aumentar a las raí-



ces de la ecuación? a b  a b 2  −  x + 2 ( a + b) x + + = 1  b a b a para que las cantidades resultantes sean iguales en magnitud pero de signos opuestos. ab a+ b C) a− b ab

A)

a− b ab

D)

ab b− a E) a+ b ab

B)

5!x2 – 3!x+4!=0  11!x2 – 9!x+10!=0 determine la suma de todas las raíces.





1 A) − 4 D)

NIVEL AVANZADO

siguiente fracción continua. 1 x = 1+ 1 3+ 1 2+ 1 3+ 2 + ... A) 5

B) 3 C)

15 3

D) 3,1415... E) 2,718281...

13. En la ecuación cuadrática

16. Determine el valor de x si es el resultado de la

5 3 B) C) − 4 5

7 7 E) − 20 20

8 7 E) 9 9

A) a3x2 – (3abc – b3)x+c3=0 B) ax2 – (3abc – b3)x+c=0 C) a3x2 – (b3 – abc)+2c3=0 D) (a3+b3+c3)x2+(a2+b2+c2)x+a+b+c=0 E) a3x2+b3x+c3=0

A) 3 B) – 2 C) –1 D) 4 E) 2

 x 2 + 2x + k = 0   x 3x − =m  k+3 5 son equivalentes, determine el valor de m.

D)

B)

raíces r y s, determine una ecuación cuadrática cuyas raíces son r3 y s3.

2x2+2(a+1)x+(a2 –1)=0 si la ecuación tiene 2 raíces iguales, determine dicha raíz. Considere a > 0.

12. Si las ecuaciones polinomiales de incógnita x

9 10

15. Sea la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 con

11. Dada la ecuación cuadrática en x



10 9 C) 11 11

A)

2ax2+(3a –1)x+(a+b)=0, calcule un valor de b para que exista un solo valor de a que permita que las raíces de dicha ecuación sean iguales

A) –1/2 B) 1/2 C) – 2 D) 2 E) 1/4

17. Si P( x ) = x 2 + 1 + 3e 2 x + e 2, tal que a ∧ b son

las raíces del polinomio, determine el valor de P(a3) – P(b3) A) e

B) 1 C) 0

D) e 2 − 1 E) e − 1

18. Determine el mayor valor de p+q si la ecuación

14. Dadas las ecuaciones cuadráticas

cuadrática x2+px+q=0 tiene como raíces a ∆ y (1– ∆); donde ∆ es el discriminante.



A) –15/16 B) –13/16 C) –1/16 D) – 3/4 E) –1/4

2!x2 – 0!x+1!=0 3!x2 –1!x+2!=0 4!x2 – 2!x+3!=0

7

Álgebra C) Tiene cuatro raíces negativas. D) Solo tiene tres raíces negativas. E) Solo tiene una raíz negativa.

Teoremas sobre ecuaciones polinomiales NIVEL BÁSICO

1. Dada la ecuación x3 – 4x2+ax – 8=0 de raíces x1, x2 y x3, tal que x1+x2=2, calcule el valor de a.

6. Se sabe que las raíces de la ecuación



A) 8 B) 0 C) 4 D) –1 E) 2

A) 20 B) 24 C) 39 D) 16 E) – 20

2. Dada la ecuación



2 x 3 − 2 x 2 + 2 2 x + 1332 = 0 de raíces a; b; c, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. 1 I. a + b + c = 2 2 II. ab + bc + ac = 2

3. Si a, b y q son las raíces de la ecuación cúbica



NIVEL INTERMEDIO

7. Si la ecuación cúbica x3 – 3x2+4x+m=0 tiene

CS={– 2; a; b}, halle la ecuación cuadrática de raíces a y b.

A) x2 – 6x+14=0 B) x2 – 7x+14=0 C) x2 – 5x+14=0 D) x2 – 8x+14=0 E) x2 – 4x+14=0

III. ( abc ) ( a + b + c ) 2 = −666 A) VFF B) FFF C) VVF D) VVV E) VFV

8. Resuelva la ecuación polinomial



ax3+bx2+5x – 20=0, determine el valor de E. 1 1 1 E= + + α β θ

A) 4 B) 2 C) 100 D) 1/2 E) 1/4 3

D)



+

+

5. Respecto a las raíces del polinomio



A) 10 B) –12 C) – 8 D) 12 E) – 6

x 32

A) c/b B) – 3c/b C) 3c/2b D) – c/b E) b/c P(x)=x4 – 2x3+3x2 – 4x+5, marque la alternativa correcta.

A) No tiene raíces negativas. B) Solo tiene dos raíces negativas.

2 E) 3 3

mial x3+ax2+b=0, calcule el valor de ab.

x13 + x 23 + x 33 x 22

B) 10 C) –1

9. Si – 2 es una raíz doble de la ecuación polino-

raíces x1; x2 y x3, determine el valor de L. x12

(3x –1)(x –1)(3x – 2)=– 2 e indique la parte imaginaria de una de sus soluciones. A) 2

4. Si x +bx+c=0 es una ecuación cúbica de L=

x3 –12x2+rx – 28=0 están en progresión aritmética. Halle el valor de r.

10. Resuelva la ecuación polinomial

x7 – 6x6+19x5 –16x4 – 33x3+22x2+13x=0 si una de sus raíces es 2– 3i.

A) CS={0; 2; 2 – 3i; 2+3i} B) CS={0; 2 − 3i; 2 + 3i; 1; − 1; 1 + 2; 1 − 2} C) CS={0; 2 − 3i; 2 + 3i; 1; − 1; 2 + 5; 2 − 5} D) CS={0; 2– 3i; 2+3i; 1+i; 1– i; 2; – 2} E) CS={0; 2; – 2; 2– 3i; 2+3i; 1; –1} 8

Álgebra 11. Si z=1+i es una raíz de la ecuación



C) 3 2 + 3 4

x5+ax3+b=0, a ∧ b ∈ R, determine el valor de a+b.

D) − 3 4 − 3 2

A) 10 B) 12 C) 6 D) 15 E) 5

 1 3 3 E)  − +  4  2 2 

12. La ecuación de coeficientes racionales

16. Dada la ecuación cuadrática en x







x4+mx3+nx2+px+q=0 tiene como raíces a tan60º y al resultado de efectuar 3i+2i3 – i2. Determine el valor de m+n+p+q.



Considere que n > 0 ∧

b∈I .

A) 10 B) 100 C) 1000 D) 10 000 E) 100 000

NIVEL AVANZADO

13. Si la ecuación x4+mx3+2x+n=0 admite una raíz triple, determine su conjunto solución.

17. Si P(x)=ax3+bx2+cx+d es un polinomio de tercer grado cuyas raíces son términos de una progresión aritmética de razón 2, además, P(–1)=–1, P(0)=0 y P(1)=1. Determine los valores de a y c, respectivamente.

A) {1; –1} B) {–1; 2} C) {–1; – 2} D) {1; 2} E) {1; – 2}

14. Si x1; x2 y x3 son las raíces de la ecuación cú-

B) 2 y –1 C) −

A) 3 y 2

3

bica 3x  – 5x+3=0, forme otra ecuación cúbica 3 x13 − 2 2 5 ; x 2 + x 2−1 y − . x1 − 1 3

D)

1 4 y 3 3

1 1 y E) –1 y 2 2 2

18. La figura es un esbozo del gráfico del polinomio

A) x 3 − 5 x 2 −

25 x 125 + =0 9 9

B) x 3 + 5 x 2 −

25 x 125 − =0 9 9

C) x 3 − 5 x 2 −

25 x 125 − =0 9 9

D) x 3 + 5 x 2 −

25 x 125 − =0 9 9

E) x 3 − 5 x 2 −

25 x − 125 = 0 9



15. Indique una raíz real de la ecuación cúbica





Si una raíz es de la forma x1=P1+P2+P3+...+Pn n , calcule el valor de n. na − n2 b

donde Pn =

A) – 3 B) 4 C) – 4 D) 3 E) 2

de raíces

(a2 – b)x2 – 2000ax+1000 000=0; {a; b} ⊂ Q.



Y=P(x)=(x – a)(x – b)(x2 – 2x+c) Y 10

x3 – 6x+6=0

–2

–1

0

X

Determine una de las raíces complejas de P(x).

A) 3 2 + 3 3

1 A) 1 − i 2

B) 3 5 − 3 4

D) 1+2i E) 2 – i 9

1 B) 1+i C) − i 2

Álgebra Ecuaciones bicuadradas y fraccionarias NIVEL BÁSICO

6. Resuelva la siguiente ecuación fraccionaria. 2( x 2 − 2x + 4)



1. Respecto a la ecuación bicuadrada

x4 – 7x2=6x2 – 36, determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Su CS={2; – 2; 3; – 3} II. La suma de los cuadrados de las raíces es 26. III. Las raíces están en progresión aritmética.

A) x4 – 8x2+162=0 B) x4+8x2+44=0 C) x4 – 4x2+16=0 D) x4 –12x2+26=0 E) x4 – 4x2+44=0

8. Determine la variación de λ, de modo que

2

bicuadrada x +x +2=0, determine el valor de J.

4. Reconstruya una ecuación bicuadrada, donde

9. Halle la suma de los cuadrados de las raíces

2

A) x  –10x+9=0 B) x4+10x2+9=0 C) x4 –10x2 – 9=0 D) x4 –10x2+9=0 E) x2 – 10x+3=0

5. Indique la mayor solución de la ecuación

2 1 1 1 1 + = + + x+2 x 2 3 6

A) 3 B) 2 C) 0 D) – 2 E) –1

la ecuación bicuadrada tenga solo dos raíces reales. x4+(1– λ)x2+2(λ – 3)=0 A) λ ∈ 〈– ∞; 2〉 B) λ ∈R – {5} C) λ ∈ 〈– 6; 7〉 D) λ ∈〈– ∞; 3〉 E) λ ∈ 〈0; 3〉

A) 1 B) – 2 C) 2 D) 0 E) –1

una de sus raíces es 1 y, además, la suma de los cuadrados de sus raíces sea 20.

=1

halle la ecuación bicuadrada donde dos de sus raíces son 2a y 2b.

A) –1/2 B) 1 C) 17/4 D) 17/2 E) – 9

J = ( x13 + x1 ) + ( x 23 + x 2 ) + ( x 33 + x 3 ) + ( x 43 + x 4 )

x − x−6

7. Si a y b son raíces de la ecuación x2 – 3x+4=0,

la ecuación 4x4 –17x2+4=0.



3x − 9 2

NIVEL INTERMEDIO

2. Halle la suma de los cuadrados de las raíces de

4

x +8

+

A) {3} B) {– 2; 3} C) {– 3} D) {2} E) f

A) VFF B) VVF C) FVF D) VVV E) VFV

3. Si x1; x2; x3 y x4 son las raíces de la ecuación

3

que se obtienen en la ecuación bicuadrada generada por x 2 −

8 x2

− 6 = 0.

A) 17 B) 21 C) 12 D) 68 E) 6

10. Indique la solución de la ecuación

1 1 1 + + =0 ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x − 5 )

A) 11 B) 11/2 C) 11/3 D) 11/4 E) 11/5 10

Álgebra 11. Dada la ecuación fraccionaria

A) –10

1 1 1 + + = 0, x +1 x + 2 x −1 determine la suma y producto de soluciones, respectivamente. A) −

1 4 1 4 1 4 y − B) y − C) − y 3 3 3 3 3 3

16. Calcule la suma de todas las soluciones positivas de la ecuación fraccionaria. 10

4 1 4 E) − y − 3 3 3

B)

−2 + 5 + 17 2

determine el valor de 2a2+a+1.

C)

2 + 5 + 17 2

A) –1/2 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

D)

−3 + 5 + 17 2

E)

3 + 5 + 17 2

x 2 + 8 x + 17

=

( x + 4)

, 2

NIVEL AVANZADO

13. Al resolver la ecuación bicuadrada de incógnita x. 4

3

17. Siendo x1 y x2 soluciones de la ecuación

3

x  – (a – b)(x +1)+(x –1)  – c(x+3) –1=0, determine el producto de todas las soluciones. A) –12 B) – 6 C) –1 D) 3 E) 12



1  x 2 + 5 x + 1 1  5 x 2 + x + 5   +   = 2, 2  x2 − x + 1  3  x2 + x + 1 



determine el valor de

A) –1/5

14. El producto de tres raíces de la ecuación

2x4 – (m – 46)x2+m=0 es m/6. Halle el valor de m.

1 1 + . x1 x 2

B) 15 C) 5

D) – 5 E) –1

18. ¿Cuál es el producto de las soluciones reales de la siguiente ecuación?

A) 36 B) 48 C) 72 D) 144 E) 18

15. Si las cuatro raíces de la ecuación

= 6 − x − x2

−2 − 5 + 17 2

12. Si a es la solución de la ecuación 2 x 2 − 6 x + 10 ( x − 3 )



1+ x + x 2 A)

D) −1 y



B) 8 C) 2

D) – 2 E) 18

x4 – 30x2+(m+1)2=0 están en progresión aritmética, halle la suma de los valores de m.

11

x 2 3 + − =0 1 1 1 1 + + + + + + 1 x 1 1 x x2 x x2 x 1



A) – 2

B) 0 C) –1

D) 2 E) 6

Anual UNI Números complejos 01 - B

04 - D

07 - D

10 - E

13 - C

16 - B

02 - B

05 - E

08 - B

11 - B

14 - C

17 - C

03 - C

06 - D

09 - C

12 - A

15 - E

18 - B

Ecuaciones polinomiales 01 - A

04 - A

07 - B

10 - E

13 - E

16 - B

02 - D

05 - C

08 - B

11 - D

14 - D

17 - B

03 - A

06 - A

09 - B

12 - B

15 - D

18 - D

-

-

-

Ecuaciones cuadráticas 01 - E

-

02 - C 18 - B

03 - D

Teoremas sobre ecuaciones polinomiales 01 - A

04 - C

07 - C

10 - B

13 - A

16 - C

02 - C

05 - A

08 - D

11 - A

14 - A

17 - C

03 - E

06 - C

09 - B

12 - A

15 - D

18 - D

Ecuaciones bicuadradas y fraccionarias 01 - B

04 - D

07 - E

10 - C

13 - A

16 - B

02 - D

05 - B

08 - D

11 - E

14 - C

17 - D

03 - D

06 - E

09 - C

12 - E

15 - D

18 - D

Preguntas propuestas

4 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Álgebra A) 6/5 B) 2 C) 11/2 D) 3/2 E) 2/3

Desigualdades e Intervalos NIVEL BÁSICO

1. Determine el signo (> o

NIVEL INTERMEDIO

C) ; < D) >;

7. Dados los intervalos

E) >; >;
3}; B={x ∈ R/ – 2 < x < 12}, determine B – A.





falsedad (F) según corresponda. I. 〈– ∞; 5〉 ∩ 〈3; +∞〉=〈3; 5〉 II. 〈– 6; 1〉 – 〈–1; 6〉=〈– 6; –1〉 III. [– 1; 2〉 – {0}=[–1; 0〉 ∪ 〈0; 2〉

1 , de modo que f(x) ∈ [1; 8]. 2x + 1 Entonces, ¿cuál es el menor valor de x?



A) – 7/16 B) – 5/15 C) – 1/8 D) 5/16 E) 7/8

5. Si M=[2; 5〉, señale el supremo del conjunto A, tal que



{

A = z ∈R z =

}

x +1 ∧ x ∈M . x

}

8. Si

A=〈1; 6],    3x − 2  B = x ∈Z  ∈ A ,  4    determine (A – B). A) 10 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4

A) FVV B) VFF C) VFV D) FFV E) FFF

4. Sea f( x ) =

{

A) [ – 1; 1] B) [ – 1; 0] C) 〈 – 1; 1〉 D) [ – 1; 0〉 E) f

A) 〈3; 12〉 B) 〈– 2; 12] C) 〈– 2; 3] D) 〈– 2; 3〉 E) [– 2; 3]

3. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

A={(x – 2) ∈ R / 5 ≤ 2x+1 < 7} x B = ( x − 1) ∈ R ∈A 2 Determine (A – B) ∪ (B – A).

9. Si x ∈ Z+ es un número que verifica las siguien

tes desigualdades: y+3 > 2x  ∧  3x  c, calcule el valor de a+b+c.

NIVEL AVANZADO

13. Dados los intervalos

1  1 ;b ; B=[ – a; a]; C = b  a halle A ∩ B ∩ C, si a < b y {a; b} ⊂ Z+ – {1} 1 1 1  A) [a; b] B) ; C) ; a b a b  D) f E) 〈 – a; b]

14. Sean

1 1 ; i ∈ N; ; 2i −1 2i +1



Ii = −



A =  Ii



A) 43 B) 45 C) 37 D) 55 E) 49

A = − b;

11

18. Si (2x+1) ∉ [– 9; 9]

determine la variación de J =

A) −∞; −

7 22 ∪ ;+∞ 3 3

B) −∞; −

19 26 ∪ ;+∞ 3 3

C)

i =1

Luego, halle el valor de x ∈ (A ∩ Z).

19 26 ; 3 3

D) −∞;

A) –1 B) – 2 C) 1 D) 2 E) 0 UNI 1995 - II

15   31 ∪ ;+∞ 2   2

 7 22  E)  − ;   3 3

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1− 5x . 3

Álgebra Teoremas sobre desigualdades

6. Del siguiente gráfico, A

NIVEL BÁSICO

1. Si (x+1) ∈ [ – 3; 5]  ∧  (y – 2) ∈ [ – 1; 2], determi-

b

ne la variación de la expresión xy. A) [ – 4; 20] B) [3; 10] C) 〈0; 16〉 D) [ – 4; 16] E) [ – 16; 16]



B) 2 5 C) 3

 7 31 B)  ;  C) [7; 31] 15 9 

NIVEL INTERMEDIO

variación de f(x).

4 2y ≤ ≤ 4, entonces la va3 3 6x varía en riación de x+y es el intervalo A, y y el intervalo B. Halle A ∩ B.

7. Si 7 ≤ 2x+5 ≤ 13 ∧

A) 〈2; 10] B) 〈3; 12〉 C) [6; 10] D) [3; 6] E) [3; 10]

3. Si f(x)= – (x – 2)(x – 6) ∧ x ∈ [3; 5〉; determine la

8. Determine el menor valor de J= – x2+2x+3 si x ∈ [ – 2; 3].

A) [ – 3; 4] B) 〈 – 3; 4] C) 〈3; 4〉 D) 〈3; 4] E) [3; 4]

4. Si x ∈ R+, calcule el mínimo valor de J. J=

calcule el mayor valor de 2a+b si AB=1.

D) 7 E) 2

 31  32  D) 8;  E) 8;   2  3



B

a

A) 5

3y + 1 si se sabe que 2. Determine la variación de 2x + 1 4 ≤ x ≤ 7 ∧ 2 ≤ y ≤ 10.  31 A) 7;   9

C

x 6 + 3 x

A)  – 5 B)  – 6 C)  – 8 D)  – 2 E) 4

9. De la siguiente figura,

A) 2 3 B) 2 2

a

C) 1

c



D) 0 E) 6

5. Sean x; y ∈ R+, tales que x+y=6 ∧ xy=9. Calcule el valor de xy.

A) 2 B) 3 C) 27 D) 81 E) 18

b



determine el máximo volumen del paralelepípedo si se cumple que



 a + 2b = 8  b − c = 2 A) 27 u3 B) 2 u3 C) 6 u3 3 D) 4 u E) 8 u3

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Álgebra 10. Si a; b y c son positivos que verifican

a3+b3+c3 ≥ (l – 2)abc, determine el mayor valor de l.

15. Determine el mayor valor que admite la siguiente expresión.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7



x 2 + y2 + xyz

≥ k ∧ ∀ x; y; z ∈ R+ xy 3 z calcule el máximo valor de k+2. A) 9 B) 3 C) 4 D) 6 E) 5

12. Halle el máximo valor de la expresión f(x).

f( x ) =

5

x 2 − 8 x + 21



; x ∈ R.

D)

1  1 B) 0;  C) ; 1 3  3

1 3

1 1 1 ; E) ; + ∞ 5 3  6

17. Calcule el menor valor que toma k.

13. Si  – 2 ≤ x ≤ 1  ∧  – 2 ≤ y < 2, encuentre la suma de los valores enteros que toma la expresión A. A=x2+y2+2(x – y+1) A) 91 B) 78 C) 55 D) 105 E) 82

14. Sea

; x; y ∈ R+

presión h(x). x −1 h( x ) = 2 ; x >1 x − x +1 A) 0;

NIVEL AVANZADO



x 2 + y2

16. Determine el intervalo al cual pertenece la ex-

A) 1 B) 4 C) 5 D) 10 E) 21



( x + y )2 − ( x − y )2

A) 4 B) 8 C) 16 D) 2 E) 1

11. Si se cumple que

f( x; y ) =

A={4x2+4xy+y2 – 4x – 2y+1 / 2 ≤ x < 5 ∧ – 6 < y < 2} calcule Sup(A)+Inf(A). A) 80 B) 130 C) 100 D) 121 E) 25

k=

4+

3 5x x2 + 2x + 1

A) 12/21 B) 1/21 C) 13/12 D) 1/3 E) 0

18. Si f(x)=ax+bx+cx tal que f(1)=1, determine el mayor valor de k si f(2) ≥ k; a; b; c ∈ R+. A) 1/2 B) 1/3 C) 1 D) 0 E) 1/5

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; x ∈ R+

Álgebra A) FFV B) VFF C) FVF D) VFV E) FFF

Inecuaciones polinomiales NIVEL BÁSICO

1. Dado el conjunto

{

6. Si x2+ax+b > 0 tiene CS=R – { – 13}, determine el valor de ab.

}

x 2x − 1 x − 2 w = x ∈R + < , 3 5 15 indique lo correcto.

A) 4934 B) 9443 C) 4394 D) 3449 E) 4349

A) w ⊂ 〈 – ∞; 10〉

NIVEL INTERMEDIO

B) w ⊂ 〈 – ∞; –10〉 C) w ⊂

7. Determine el conjunto solución de la siguiente

1 ;+∞ 10

D) w ⊂ −



1 ;+∞ 10

A) 〈 – ∞;  – 1/3] ∪ [3; +∞〉 B) 〈 – ∞;  – 1/2] ∪ [3; +∞〉 C) 〈 – ∞;  – 1/3] ∪ [2; +∞〉 D) 〈 – ∞;  1/2] ∪ [3; +∞〉 E) 〈 – ∞;  – 1/2] ∪ [2; +∞〉

−1 E) w ⊂ −∞; 10

2. Si la inecuación polinomial (m – 1)x2+nx ≤ m tiene CS={x ∈ R/x ≥  – 1/2}, calcule el valor de (m+n). A)  – 2 B)  – 1 C) 0 D) 1 E) 2

8. De las inecuaciones cuadráticas,



3. Calcule el valor de 2a+3b si se sabe que [a; b〉



es el conjunto solución de la siguiente inecuación. x < − x + 2 ≤ 2x − 1 2

A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10

4. Luego de resolver la inecuación



x2 – 4nx+4m > 0 se obtiene como conjunto solución 〈 – ∞; 4〉 ∪ 〈12; +∞〉. Determine m – n. A) 7 B) 8 C) 10 D) 13 E) 16

5. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) según corresponda. I. Si x2 – 4x+4 ≥ 0  →  CS=R – {2} II. Si 9x2+6x – 1 < 0  →  CS={ – 1/3} III. Si x2 – 8x+16 > 0  →  CS=R

inecuación cuadrática. (2x – 2)(9 – 3x) ≤ (3x+6)(2x – 6)

x2 – 30x+200 > 0 x2 – 30x+144 ≤ 0 indique la mayor solución entera en común. A) 27 B) 24 C) 19 D) 18 E) 30

9. Luego de resolver la inecuación



x2 – 7x – 15 > 0, obtenemos el conjunto solución 〈 – ∞; a〉 ∪ 〈b; +∞〉, a  5} Determine (A ∩ B). A) 2 B) 3 C) 6 D) 4 E) 5

18. ¿Qué valores debe tomar n (n ∈ R) para que

14. Resuelva el siguiente sistema.

cualquiera que sea el valor de x en R, el valor del polinomio P(x)=x2+2nx+n sea no menor que 3/16?

 x 2 ≤ π2  2 2  x > e A) 〈e; p] B) [ – p;  – e〉 ∪ 〈e; p] C) 〈 – p;  – e〉 ∪ [e; p] D) 〈 – e; e〉 E) [ – p; p]

A)

1 3 ; 2 4

B)

1 3 ; 4 4

C) −∞;

15. Tenemos que

17. Sean los conjuntos,

A) 〈a; +∞〉 B) 〈 – ∞; a+b+c〉 C) 〈a+b+c; +∞〉 D) 〈 – a – b – c; +∞〉 E) 〈 – ∞;  – a – b – c〉



UNI 1997 - II

2x2 – 10x+ab > 0;  ∀ x ∈ R  y t2+2t+3 ≥ k;  ∀ t ∈ R Determine el valor de abmín+kmáx.

1 3 ∪ ;+∞ 4 4

1 3 D)  ;  4 4 E)

1 3 ; 2 2 

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Álgebra Inecuaciones de grado superior y fraccionarias NIVEL BÁSICO

6. Determine el número de soluciones enteras que

1. Resuelva la siguiente inecuación.

A) 45 B) 32 C) 13 D) 0 E) 2

x2(x2+1)(x+1) < (x2+1)(x+1)

A) 〈 – ∞;  – 1〉 ∪ 〈 – 1; 1〉 B) 〈 – ∞; 1〉 ∪ 〈1; 2〉 C) 〈 – ∞; 0〉 ∪ 〈 – 1; 1〉 D) 〈 – ∞;  – 2〉 ∪ 〈 – 2; 1〉 E) 〈 – ∞;  – 3〉 ∪ 〈 – 3; 1〉

NIVEL INTERMEDIO

7. Al resolver la inecuación polinomial

2. Determine el conjunto de todos aquellos números reales cuya quinta no sea menor que su cubo.





9. Sea x5 – 2x3+ax2+bx+c  b2 β α

5. Calcule la suma de los valores enteros positivos

raíces 5 y – 2, resuelve la siguiente inecuación. (x2 – x)(x2+1) P(x) < 0

A) 〈 – 2; 5〉 B) 〈 – 2; 1〉 C) 〈 – ∞;  – 2〉 ∪ 〈0; 1〉 D) 〈 – 2; 0〉 ∪ 〈5; +∞〉 E) 〈 – 2; 0〉 ∪ 〈1; 5〉

2x3(x+1) < (x+6)(2x+2)x A) 〈 – 2;  – 1〉 ∪ 〈0; 5〉 B) 〈 – 3;  – 1〉 ∪ 〈 – 1; 3〉 C) 〈 – 2;  – 1〉 ∪ 〈1; 3〉 D) 〈 – 3;  – 1〉 ∪ 〈0; 3〉 E) 〈 – 2;  – 1〉 ∪ 〈0; 3〉



se obtiene como conjunto solución R – [m; n]. Determine el valor de mn.

8. Si P(x) es un polinomio cuadrático y mónico de

3. Resuelva la siguiente inecuación polinomial.

4. Si la inecuación fraccionaria

(3x2+1)(x2+5x+1) > 0

A) 1 B)  – 3 C)  – 4 D)  – 1 E) 0

A) 〈 – ∞; 0] ∪ [1; +∞〉 B) 〈 – ∞;  – 1〉 ∪ 〈0; 1〉 C) 〈 – ∞; 0〉 ∪ 〈1; +∞〉 D) [ – 1; 0] ∪ [1; +∞〉 E) 〈 – ∞;  – 1] ∪ [1; +∞〉



presenta la siguiente inecuación fraccionaria. x 1 − ≤0 x −1 x + 2

que satisfacen la desigualdad. ( x − 1) ( x 2 − 8 x + 15) ≤0 ( x 2 + 1) ( x 2 − 5 x + 6)

10. Si el conjunto solución de la inecuación

A) 14 B) 7 C) 11 D) 10 E) 9

x5 – x4 – 7x3+5x2+10x ≤ 0 es CS=〈 – ∞; a] ∪ [ – 1; 0] ∪ [b; c], calcule el valor de ac/b.

A) 5 B) 2 5 C) 0 D)  – 1/2 E)  – 5/2

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Álgebra 11. Determine el conjunto solución de la siguiente

inecuación. (x – 4)4(x – 9)25(x+3)102(x – 1)40 ≥ 0



A) 〈 – ∞;  – 3] ∪ [1; 4] ∪ [9; +∞〉 B) 〈 – ∞; 4] ∪ [9; +∞〉 C) 〈 – ∞;  – 3] ∪ [1; +∞〉 D) [9; +∞〉 ∪ { – 3; 1; 4} E) [ – 3; +∞〉 – {1; 4}

1 1   > S = ( x 2 + 1)   2x2 − x + 1 x2 + x + 4  A) 4 B) 7 C) 9 D) 12 E) 1

16. Determine la relación correcta si se cumple

12. Determine en qué conjunto de números nega

15. Determine la longitud del conjunto S.



tivos debe estar contenido x. x 4 − 17 x 2 + 60 >0 x ( x 2 − 8 x + 5)

que ( a + 1) x 2 + ax + a x2 + x + 1

A) k < a B) k > a C) k=a+1 D) k < a –1 E) k < 2a

A) − 12; − 5 B) −∞; − 12 C) − 12; 0 D) −∞; − 5

17. Determine el conjunto solución de la siguiente

E) − 5; 0 UNI 1999



inecuación. x + n + 1 ( n + 1) x + 1 ≥ ; n ∈ Z+ − {1} x+n nx + 1

NIVEL AVANZADO A) − n; −

13. Si la inecuación polinomial





1 n

 1 B)  −1; − ∪ 1; + ∞ n 

(2x – 1)m(x+2)n(x – 3) ≤ 0 1  tiene CS =  ; m ∪ {− n}. n  Calcule el valor de (m+n).

A) 2 B) 3 C) 5 D) 8 E) 13

C)  − n; − 1 ∪

−1 ;+∞ n

D)  − n; − 1 ∪

−1 ;1 n

E) − n; − 1] ∪

−1  ;1 n 

14. Luego de resolver la inecuación 11 +1

> k; ∀ x ∈ R

13 −1

( x − n)2

11 + 2

( x − n2 )3



( nx + 1)2



considerando que 0  c B) 1 < ab < cb C)  – a > c > b3 D) a2 < b E) a3 > b > 0

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Álgebra Expresiones irracionales

6. Resuelva la siguiente inecuación irracional.

NIVEL BÁSICO

A) [8; +∞〉 B) 〈7; +∞〉 C) 〈5; +∞〉 D) [3; +∞〉 E) 〈4; +∞〉

1. Determine el conjunto de valores admisibles de la siguiente expresión.

g( x ) = 2 −

3 x

A) 〈 – ∞; 0] ∪ [3/2; +∞〉 B) 〈 – ∞; 0〉 ∪ [3/2; +∞〉 C) R+ D) R – 〈0; 3/2] E) 〈 – ∞; 0〉

NIVEL INTERMEDIO

7. Se sabe que [a; b] – {c}, con a  x +3 halle su conjunto solución.

x3 + 1

5

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1



x − 2 −1

A) p=q+1 B) p=q – 1 C) p > q D) p < q E) p=q

3. Resuelva la siguiente inecuación irracional.

13 ;+∞ A) 4

16 − x 2 − 5 x − 5



A) 1/12 B) 1/8 C) 1/5 D) 1/4 E) 1/2



2 x − 6 + 5 x − 15 > 8 + 2 5

10. Calcule la suma de soluciones de la siguiente ecuación irracional.

2x + 3 − x − 2 − 2 = 0 A) 3 B) 11 C) 13 D) 14 E) 24

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Álgebra 11. Determine la suma de soluciones de la si-

A) 〈 – 1; 1〉

guiente ecuación

x

3

x +x=(

B) 〈0; +∞〉

x + 1) x

C) 〈 – ∞; 1] D) 〈0; 1〉

A) 1 B)  – 1 C) 2 D) 7 E)  – 2

12. Dado el conjunto

{

}

E) 〈 – 1; 0〉

16. Respecto de la inecuación

M = ( x − 1) ∈ R 2 − x 2 < 2 x − 1 halle el equivalente de M.



x −1− 2 ≤0 x−2−3 podemos afirmar que

A) [1/2; +∞〉

A) su mayor solución es 11.

B) 0; 2 − 1

B) su menor solución es 4. C) 26 + 1 es una solución.

C) 〈1; +∞〉

24 − 1 es una solución. 2 E) CS=[5; 11].

D)

D) 1; 2  E)  2 − 1; 2 + 1

17. Resuelva la siguiente inecuación

NIVEL AVANZADO



3

a + x + 3 a − x ≥ 3 2a ; a > 1

13. Si x0 es la solución de la ecuación 4



3x − 2 + 2x + 3

=

1 3x − 2

1

+

A) −∞;

2x + 3

1 determine el valor de x0 + . x0

B) 〈 – a; 28a2]  28a2  C) 0;  27  

A) 5,3 B) 5,2 C) 5,4 D) 5,1 E) 5,5

D) f

14. Halle la suma de soluciones de la siguiente

E) 0; a2 

ecuación

3

−2 (3 − x ) + 2 =

x +1

18. Luego de resolver la inecuación

A) 30 B) 32 C) 37 D) 38 E) 40

15. Resuelva la inecuación irracional

28a2   27 

1 1 − −x ≥0 x x e indique un intervalo solución. x+



2x + 1 − 3 >



se obtiene CS = a + b c ; + ∞



con a; b; c ∈ Z+. Calcule el menor valor de (a+b+c). A) 93

B) 237 C) 73

D) 56 E) 1223

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x+8

Anual UNI Desigualdades e Intervalos 01 - e

04 - a

07 - D

10 - c

13 - b

16 - c

02 - c

05 - d

08 - c

11 - d

14 - e

17 - a

03 - C

06 - b

09 - a

12 - b

15 - c

18 - b

Teoremas sobre desigualdades 01 - e

04 - b

07 - e

10 - c

13 - a

16 - B

02 - b

05 - C

08 - a

11 - e

14 - D

17 - a

03 - e

06 - A

09 - e

12 - a

15 - D

18 - b

Inecuaciones polinomiales 01 - a 02 - b 18 - d

03 - c

Inecuaciones de grado superior y fraccionarias 01 - A

04 - c

07 - a

10 - e

13 - c

16 - a

02 - d

05 - d

08 - e

11 - d

14 - c

17 - e

03 - E

06 - e

09 - d

12 - a

15 - c

18 - b

Expresiones irracionales 01 - B

04 - a

07 - e

10 - d

13 - b

16 - c

02 - e

05 - B

08 - d

11 - d

14 - C

17 - e

03 - a

06 - b

09 - d

12 - b

15 - D

18 - c

Preguntas propuestas

5 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Álgebra Práctica

Niveles

por

Valor absoluto Además y está entre 0 y z. Si se sabe que |x|+|y|=18 |x|+|z|=20 |y|+|z|=22

NIVEL BÁSICO

1.

Si x ∈ 〈7; 10〉, entonces halle el valor de la expresión k. x − 16 − 3 x − 2 k= x−5 + x−6 A) – 1 D) – 3

2.



B) – 2



B) 2/3



−2

B) 2 – 1

A) 2 D) 22

C) 3 E) 1

C) 2 – 2 E) 23

NIVEL INTERMEDIO

Resuelva la ecuación 1 4 x − + 2x − 1 = 3x 2 e indique la suma de soluciones. A) 1/3 D) 4/3

 y  calcule   x + z 

7.

C) 1 E) 5/3

Determine el conjunto A={x ∈ R/|x – 1|=x2 – x – 1} por extensión. A) {0; 2; − 2; 2} B) f

3.

Sea la igualdad |x – a+b|=|x+a – b| (*) entonces, la proposición verdadera es A) (*) si y solo si x=0 ∨ a2=b2 B) (*) si y solo si x=a=b C) (*) si y solo si x=0 ∧ a=b D) (*) si y solo si x=0 ∨ a=b E) (*) si y solo si x=a= – b

C) {0; 2}

D) {− 2; 2}

E) {0; 2; − 2}

8.

UNI 2009 - I

4.

Indique el número de soluciones de la ecuación x2+7+|x – 3|=6x A) 0 D) 3

B) 1



C) 2 E) 4

Resuelva la siguiente ecuación −12 x + 2 − 2x + 3 = x2 y determine la mayor solución. A) 3 D) – 4

9.

Si x0 es una solución de la ecuación |x2 – 4|+|x+2|+|x|=| – x|

D)

3

determine el valor de x0 . A) 1 D) – 8

6.

B) 8



C) 27 E) – 27

Sean los puntos x; y; z de la recta numérica real; x ubicado a la izquierda del origen 0 (cero), y ∧ z ubicados a la derecha del origen.



C) 4 E) 8

Resuelva la siguiente ecuación x −1 − x = x −1 A)

5.

B) – 3

{ } { } 3 ;1 2

B)

{ } 1 ;2 2

1 ;2 7

C) {2} E) {2; – 2}

10. Resuelva la ecuación

|x|+|x – 1|=x+3 luego determine la suma de los valores absolutos de las soluciones. A) 11/3 D) 12/5

B) 14/3

C) 14/5 E) 13/3

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7

2

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

11. Determine el área de la región triangular ABC.



B

x

x

C

x

B) 16 u2

C) 24 u2 E) 12 u2

12. Indique la cantidad de soluciones de la ecuación x−2 −3 = 1− x x −1 A) 0 D) 3

B) 1



C) 2 E) más de tres

NIVEL AVANZADO

13. Si |x|= – x, indique la variación de f( x ) = 1 −

C) FVV E) VVF

x2(x – 1)2=|x2 – x|+6 calcule el valor de x1 · x2 · ... · xn. A) 6 D) – 3

Considere x el mayor entero posible. A) 45 u2 D) 30 u2

B) VVV

15. Si x1; x2; ...; xn son las soluciones de la ecuación

|3 – x| A

I. No presenta solución negativa. II. Presenta solución racional. III. Presenta una solución irracional. A) VFV D) VFF

|x+1|

Material Didáctico N.o 5

2 1− x

B) – 6



C) 9 E) 27

16. Halle el conjunto solución de la ecuación

|3x+2| – |x – 1|=2x+3 A) [1; +∞〉  3 B)  − ; + ∞  2 3 C) − 2 3 D) − ∪ 1; + ∞ 2 3 E) 1; + ∞ − 2

{ } { }

{}

17. Calcule la suma de las soluciones de la ecuación siguiente. x2 + x + 1 2

x − x−3

A) f(x) ∈ [ – 1; 1〉 B) f(x) ∈ [ – 1; +∞〉

A) – 2 D) 1

C) f(x) ∈ 〈 – 1; 1〉 D) f(x) ∈ [0; 1〉

+

x2 − x − 3 x2 + x + 1 B) – 3

=2

C) 2 E) 0

18. Si a y b son las soluciones de la ecuación

E) f(x) ∈ R –

ponda respecto a la ecuación.

4 4 + x− =4 x x determine el valor de ab+ba.

3− x x−3 + x2 + = 2+ x − x + x x−2 (2 − x )2

A) 5/2 D) – 4

14. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-

x+

B) 1

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8



C) 17/4 E) 4

Álgebra Práctica

por

Niveles

Valor absoluto II

6.

NIVEL BÁSICO

1.



Resuelva el siguiente sistema x 2 e indique el número de soluciones enteras. A) 0 D) 4

2.

A) [2; +∞〉 B) 〈3; +∞〉 C) 〈 – 2; 2] D) 〈 – ∞; – 2〉 ∪ [2; 3〉 4 E) −2; −  ∪ [2; 3 3

C) 5 E) 3

NIVEL INTERMEDIO

Si A={x ∈ R/ 2 ≤ |x+1| < 5} determine la longitud de A. A) 7 D) 5

3.

B) 2

B) 4



C) 3 E) 6

7.

Resuelva la inecuación x2 + x + 1 + 3 < x − 1

B) − 5; 5 C) 〈 – ∞; 1〉 ∪ 〈3; +∞〉 D) R E) f

5.

8.

∨ ∧ ∧ ∨ ∧

x < 3} x < 3} x < 4} x < 4} x < 4}

Determine el conjunto T por extensión  2 1 3  T = x ∈Z ∈ ;  x −2 2 2   A) T={4; 5} B) T={4; 5; 6} C) T={– 6; – 5; – 4; 4; 5; 6} D) T={– 5; – 4; 4; 5} E) T={– 5; – 4; – 3; – 3; 4; 5} 13

B) 5

9.



C) 6 E) 10

Sabiendo que la desigualdad |x – a|+5x < 8 se verifica para todo x ∈ 〈 – ∞; 1〉. Determine un valor de a. A) – 2 D) 3

Resuelva la siguiente inecuación x2 – 2x – 2 < 2|x – 1| A) CS={x ∈ R/ – 2 < x B) CS={x ∈ R/ – 2 < x C) CS={x ∈ R/ – 1 < x D) CS={x ∈ R/ – 2 < x E) CS={x ∈ R/ – 2 < x

Luego de resolver el sistema  x 2 − 4 x < 3 x − 2  2  x < x + 2 se obtiene S=〈a; b〉. Halle el valor de |a|+|b|. A) 4 D) 8

A) 〈1; 3〉

4.

Dados los conjuntos A={x ∈ R/|x2 – x| < 6} B={x ∈ R/|3x – 1| ≥ 5} halle A ∩ B.

B) 0



C) 2 E) – 4

Resuelva la siguiente ecuación. |x2 – 3|+|5 – x2|=2 A) CS=f B) CS=R C) CS = − 5; − 3 ∪

3; 5

D) CS = −∞; − 5 ∪ − 3; 3 ∪ E) CS = −∞; − 5 ∪

5; + ∞

5; + ∞

10. Determine el conjunto solución de la inecuación |2x – 3|+2x ≤ 3 A) R −

{} 3 2

3 B) −∞;  2

D) f

3 C)  ; + ∞ 2 E) R

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

11. Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación. 2x − 1 − x 0 y

NIVEL INTERMEDIO

7.

B(x)=x2+1; x < 2 ⎛ B⎞ son funciones, indique el rango de ⎜ ⎟ . ⎝ A⎠

Dadas las funciones f = {( x; y ) ∈  ×  y = 2 x − 1 ∧ x ∈ {2; 3; 5}} ⎧ ⎡ 9 ⎫ g = ⎨( x; y ) ∈ Z × Z+ ( y − 1) = 2 x ∧ x ∈ ⎢2; ⎬ ⎣ 2 ⎭ ⎩ determine f+g f – g.

E) f+g={(2; 7), (3; 12)} f – g={(2; – 2), (3; – 2)}

I. Dom(g+h)=Dom(g2 – h) II. (h+g)(x)=(x+1)2 – 3  x  Dom(h+g) III. Ran(h+g)=[ – 3; 13] C) VVV E) VVF

Sean las funciones f={(1; 2), (3; 4), (2; 6), (5; 7)} g={(2; 3), (4; 1), (3; 6), (5; 9)} h(x)=x+2; x   – 2; 2 Calcule la suma de los elementos del rango de (f+g) o h. B) 18

11. Considere las funciones

C) ( f o g)( x ) =

x + 1; 9 ≤ x ≤ 25

D) ( f o g)( x ) =

x − 1; 9 ≤ x ≤ 25

E) ( f o g)( x ) =

x − 1; 9 < x < 25

12. 2. S Sea f:  – 2 2;; 3, 3  tal que f(x)=2x+3.

Sean las funciones g y h, tal al qu que h(x)=x2 – 3; x  – 2; 4] h(x)=2x+1; x  – 3; 3] Indique la secuencia correcta recta de verdad (V) o falsedad (F).

A) 16 D) 20

E)  – 1; 1

A) No existe f o g. B) (f o g)(x)=x – 1; 9  x < 25

D) f+g={(2; 8), (3; 12)} f – g={(2; – 1), (3; – 1)}

9.

C)  – 1; +

Halle f o g (si existe).

C) f+g={(2; 8), (3; 12)} f – g={(2; – 2), (3; – 2)}

B) FVF

B)  – 1; 3 5 D) −∞; − 1 ∪ ; + ∞ 3

g( x ) = 1 + x ; x ≥ 9

B) f+g={(2; 3), (3; 8)} f – g={(2; 1), (3; 0)}

A) FVV D) VFV

A)  – ; 1

f(x)=x – 2; x  3; 6]

A) f+g={(4; 6), (6; 10)} f – g={(4; 5), (6; 0)}

8.

Álgebra

C) 19 E) 21

Ha le el dominio d Halle de f o f o f. A) −2; −

3 2

B) −1; −

5 D) − ; 0 6

3 2

C) – 2; 0 E) −2; −

1 2

NIVEL AVANZADO

13. Sean f, g y h funciones reales de variable real. Dadas las siguientes proposiciones: I. h o (f+g)=h o f+h o g II. Si Dom(f )=Dom(g)=, entonces Dom(f o g)=. III. (f o g) o h=f o (g o h) Señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). A) VVV D) FVF

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 7 3

B) VFV

C) FVV E) FFF UNI 2013 - I

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

Material Didáctico N.o 6

14. Sean las funciones vectoriales de variable vectorial f y g: 2  2; tal que f(x; y)=(x+3; y – 1)  g(x; y)=( – y; x) Si existe (a; b), tal que (g o f)(a; b)=(a; b), determine (a; b). A) (2; – 1) D) (1; – 1)

B) ( – 1; – 2)

B)

Y

X

Y

·

E)

1 x4 1

+8

18. Sean f, f g:: [1;    funciones definidas por

Y

A) Y

B) Y

1

1 1

X

16. Si tenemos que

X

X

X

1

C) Y 1

x – ; 2]

g( x ) = − x ; x 0+ determine el rango de f – g. A) Ran ( f − g) = ⎡⎣ 2; 4 ⎤⎦ B) Ran ( f − g) =

; tal que

f(x)=x2 – |x| y g( x ) = x ; e entonces nces la gráfica gráf de la función composición g o f es ap aproximadamente

Y

f( x ) = 2 − x ;

x + x2 − 1

+8 x2 1 C) f( x ) = x + + 2 x 1 D) f( x ) = x + + 8 x E) f((x) x =x

X D)

1

2 B) f( x ) = x +

X C)

17. Sea g( x ) =

4 A) f( x ) = x +

⎧⎪ x − 2; si x ∈ 2; + ∞ f( x ) = ⎨ ⎪⎩ 4; si x ∈ −∞; 2] g(x)=x2; x  halle la gráfica de f+g. Y

E) Ran ( f − g) = ⎡⎣2; 2 2 ⎤⎦

(f o g)(x)=16x4 – 16x2+10 Indique f(x) x Dom g  g(x) Dom f.

C) ( – 1; 2) E) ( – 1; 3)

15. Dadas las siguientes funciones:

A)

D) Ran(f – g)= – ; 2]

1

X

D) Y

E) Y

1

1

2; 2

C) Ran ( f − g) = ⎡⎣ 2; 2⎤⎦

1

X

1

2

X

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 8 4

Álgebra PRÁCTICA POR NIVELES Función inversa

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

NIVEL BÁSICO

1.

Dada la función biyectiva f: A  2; 3 x 6 x+1 Determine el conjunto A. A) 0; 1

B) 1; 2

D) –1; 1

2.

1 1 ; 3 2 E) – 2; 2

C)

Si f: A  B, tal que f(x)=x+3 es biyectiva y g: B  3; 7, tal que g(x)=2x+1 es sobreyectiva, halle el número de elementos enteros de A. A) 1 D) 4

3.

6.

B) 2

C) 3 E) 

m = ⎡⎣( f o g) o f*⎤⎦ (2) + ( g* o f )(5) .

A) 7 D) 2

C) 3 E) 0

NIVEL INTERMEDIO

7.

Dadas las funciones I. f( x ) = x − − x ; x < −4 II. g( x ) = x 2 − 4x 4 x + 1; x ∈ 3; + ∞

A) f *(x)=x+2; 1 < x  3 1 B) f(*x ) = ( x + 2) ; 1 < x ≤ 16 3 C) f *(x)=3x+6; 1 < x  6 * =2x+1; 1 < x  10 D) f (x)

A) A solo I D) I y II

II III. h(x))=x =x|x|; |x|; x

–1; + ¿cuáles son inyectivas? ¿c áles so

8.

Si f y g son funciones definidas por f={(0; 1), (1; 2), (2; 3)} g={(–1; 0), (0; 1), (3; 2)} halle la suma de los elementos de Ran(f * o g).

C) solo III E) I, II y III

Dada la función x +1

x2 − 1 halle el conjunto B para que la función sea sobreyectiva.

A partir de la función biyectiva 1 f: [2; 6]  B, tal que f( x ) = x + 1 2 determine la función f *.

C) f *(x)=2x – 2; x [2; 4] D) f *(x)=2x+1; x [2; 3] * = 1 x –1; x [0; 2] E) f (x) 2

B) solo II

f : 1; 2]  B, tal que f( x ) =

A) B=[0; + B) B=[ – 1; + C) B= – ; 1] D) B=[1; + E) B=[2; +

* =2x –1; x [2; 4] A) f (x) * B) f (x)=2x – 2; x [1; 2]

5.

B) 5

Dada la función f : 1; 6]  B, de m modo do que ón f *.. f(x)=3x – 2; determine la función

* =3x+2; 1 < x  16 E) f (x)

4.

A partir de las funciones f={(3; 1), (2; 3), (5; 2), (7; 4)} g={(3; 2), (7; 5), (5; 7), (11; 0)} calcule el valor de (f o g)(m) si

9.

Determine el valor de ab si se sabe que la función f: [2; 5]  [a; b], tal que f(x)=x2 – x+2 es biyectiva. A) 91 D) 88

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 13 5

B) 89

C) 90 E) 99

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

Material Didáctico N.o 6

10. Sea f: [1; + B una función, de modo que f(x)=x2 – 2x+4; halle su inversa (si es que existe).

13. Dada la función

A) no existe f *. B) f(*x ) =

x − 3 + 1; x ≥ 3

C) f(*x ) =

x − 3 + 1; x ≥ 4

f(*x ) f(*x )

=

x − 3 + 1; x ≥ 5

=

x + 3 + 1; x ≥ 0

D) E)

NIVEL AVANZADO

2x x +1 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. f es inyectiva. II. f no es sobreyectiva. III. f es biyectiva. IV. Dom(f *)  [0; 2

f : 0+  [0; 2, tal que f( x ) =

11. Dada la función f: [1; +  B

A) VVVV D) VFFV

x  x2 – 2x – 1 halle su inversa.

B) VFVF

C) VFVV E) FFVV

14. Dada la función f: , tal que f(x)=x|x|

A) f(*x ) = 1 + x + 2

halle la gráfica de su inversa.

B) f(*x ) = 1 − x + 2

A)

C) f(*x ) = 1 + x − 2

Y X

D) f(*x ) = 1 − x − 2 E) f(*x ) = 1 + x 2 − 1

12. Dada la función f(x)=x3+1, señale eñale la gráfica áfica de

B B)

Y

la función inversa. X A)

Y

B)

Y C)

Y

X X C)

X

Y D)

Y

X X D)

Y

E) X

Y

E)

Y

X X

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 14 6

Álgebra

Anual UNI

15. Indique la gráfica de la función inversa de f( x )

A)

Álgebra

x 2 − 20 ; x ∈ ⎡⎣0; + ∞ 36 2 x − 180 ; x ∈ ⎡⎣0; + ∞ D) 36 36 − x 2 ; x ∈ ⎡⎣0; + ∞ E) 180

x +1 ; x > 2. = x−2

C)

Y 2

B)

Y

UNI 2000 - I

2 C)

2

X

17. Sea f =

Y 2

Y

E)

Y A)

1

1 2

X

16. La inversa de la función f( x ) = 5 − x ( x − 5 + 1 + x ) está dado por 20 − x 2 ; x ∈ ⎡⎣0; + ∞ 36 180 − x 2 ; x ∈ ⎡⎣0; + ∞ B) 36

A)

{(

x; y ) ∈ 2 y = x 2 − ax + 1; x ≥

a 2

}

1 una función real de variable real; tal que f*(1) = . 2 Halle el rango de f *.

X

1 D)

X

2

X

1 ;+∞ 2

⎡1 B) ⎢ ; + ∞ ⎣4

C) [1; + ⎡1 E) ⎢ ; + ∞ ⎣2

⎡ 1 1⎤ D) ⎢ ; ⎥ ⎣4 2⎦

18.. S Se tienen enen n las fun funciones reales 3

2 − 3x ⎛x⎞ ∧ g( x ) = 2 − ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 3x + 1 2 si ( f * o g*)( x ) = − ; calcule x0. 0 3 f( x ) =

A) 10 D) – 4

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 15 7

B) – 8

C) 6 E) 2

Álgebra Gráfica de relaciones

3.

NIVEL BÁSICO

1.

{( x; y) ∈2

y ≥ x2 ∧ y < 5 − x2

POR

NIVELES

Resuelva el siguiente sistema. ⎧ x + y ≤ 12 ⎪⎪ y ≤ 2x ⎨ x ⎪ y≥ ⎪⎩ 3

Determine la gráfica de la relación f=

PRÁCTICA

}

luego, grafique el conjunto solución. B)

A)

A) Y

(5; 8)

(9; 3)

C)

X B) Y D)

(8; 8)

E) 2) (3; 2 X

2.

Dado el conjunto M=

{( x; y) ∈2

y ≤ x

}

C) Y

(6; 8)

determine la gráfica de M. A)

Y

B)

(9; 3)

Y

X X C)

X

D) Y

(4; 9)

Y

(8; 3) X D)

Y

X E)

X

E) Y

Y

(4; 8) (9; 3)

X

X

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 19

8

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

4.

La gráfica de la siguiente desigualdad

Y

A)

Y 1

C)

x2+y2 < 2 es

Material Didáctico N.o 6

1 X

–1 –1 Y

D)

2 X

–2

Y

E)

1 Y

B)

1 1

–1

X

6. Y

Señale la gráfica de la desigualdad |x|+|y|< 4. Y 4

A) 2 X

–2

–4

2 Y

X

4

X

–4 Y 4

C) 2 X

–2

4

X –4

E)

X

Y 4

B) – 2

4 –4

Y

D)

–4 UNI 2003 - I

–4

5.

{( x; y) ∈2 B = {( x; y ) ∈ 2 A=

Y

D)

A partir de los conjuntos

}

2

x ≤ 1∧ y ≤ 1 y ≤ x3

}

–2

Y 1 –1

1 X

–1

Y 4

E)

Y 1

B)

X

2 –2

Represente gráficamente A  B. A)

X

2 X

– 2

C)

1

–1 –1

–1

1 X

–4

4 –4

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 9

20

X

Álgebra

Anual UNI

Álgebra

7.

Dadas las siguientes inecuaciones x2 – y  0; x+4  3y; y  x+2, entonces los pares (x; y) que satisfacen estas inecuaciones están representados por la región sombreada. Y

A)

Y

D)

NIVEL INTERMEDIO

Y

B)

X X

10. Dada la relación

{

X

X

B) [5; 7]

11. Determine la región que se obtienen al interse-

{ {

D) Y

} }

Y 1

A) Y

E)

–1

X

Sean las relaciones M = {( x; y ) ∈  ×  y ≤ x }

–1

N = {( x; y ) ∈  ×  x ≤ 6} B) 72 u2

A)

C) 18 u2 E) 144 u2

x−y ≤ 2

Y

–1

1

X

1

X

1

X

–1

B)

}

Y 1

D) Y –1

–1

X

X C)

X

Y 1

C)

Determine la gráfica del conjunto M.

{( x; y) ∈2

1 –1

halle el área de la región que form forman man M N. 

M=

X

Y 1

B) B

UNI 20 2002 - II

A) 36 u2 D) 70 u2

1 –1

X

9.

C) [– 5; 5] E) +

car los siguientes conjuntos. A = ( x; y ) ∈ 2 y ≥ x 5 B = ( x; y ) ∈ 2 y < x 3 X

8.

}

R1 = ( x; y ) ∈ 2 9 x 2 + 25 y2 ≤ 225 halle Dom(R1)  Ran(R1).

A)  D) [– 3; 3] C) Y

Y

E)

Y 1

E)

Y

–1

X

–1

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 21

10

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

12. Dados los siguientes conjuntos

14. Determine la gráfica de la siguiente relación.

{( x; y) ∈ ×  y ≤ 9 − x } B = {( x; y ) ∈  y + ( x − 3) ≤ 0} A=

2

M=

determine la gráfica de A – B. Y

B)

Y

B)

Y

X

X X

Y

C)

Y

X X

D)

Y

A)

X C)

{( x; y) ∈2 ( y − x2 ) ( y − x ) ≥ 0}

2

2

A)

Material Didáctico N.o 6

Y

Y

D) E)

Y

X

Y

E) X

X

X

15. Señ Señale la a gráfica del siguiente conjunto. A=

{( x; y) ∈2

A)

Y

) }

( x − y ) (2 x −

y ≤0

B)

Y

NIVEL AVANZADO

13. Dados los conjuntos

{( x; y) ∈2 B = {( x; y ) ∈ 2 A=

} }

y < 2x2 + 3

Y

B)

Y

C)

represente gráficamente (A – B)  (B – A). A)

X

X

y ≥ −2 x + 1

Y X

X C)

X

D)

Y

E)

Y

Y X X

X

16. Calcule el valor del área que genera la siguiente relación.

D)

Y

h = {( x; y ) ∈  ×  x + y ≤ 5 ∧ x − y ≥ 3}

Y

E)

X

X

A) 1 u2 D) 4 u2

B) 2 u2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 11

22

C) 3 u2 E) 8 u2

Álgebra

Anual UNI

17. Determine el número de puntos de A B si A y B están dados por

{( x; y) ∈2 B = {( x; y ) ∈ 2 A=

Álgebra

A)

Y

B)

} x − y ≥ 4}

x + y ≤4

Y X

X

A) un punto B) dos puntos C) cuatro puntos D) ocho puntos E) infinitos puntos

C)

Y X

UNI 2004 - II

18. Si g= f=

D)

{( x; y) ∈ {( x; y) ∈2

2

2

y ≤x

}

x ≤ y−2

Y

}

E)

X

determine la gráfica de f  g.

Y

X

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 23

12

Álgebra PRÁCTICA POR NIVELES Logaritmos

6.

NIVEL BÁSICO

1.

1 y Ck = 1 + ; k halle el valor de la siguiente expresión. logaC1+logaC2+logaC3+...+logaC99 a = 4 10

Halle el equivalente de la expresión J. ⎛ xy2 + y 2 ⎞ J = ln ⎜ ⎟ ⎝ xy ⎠

7.

2

3.

B) 17/6

C) 1 13/12 3/12 2 E)) 4 4/3

Determine el valor de J. ⎛9⎞ J = log 2 3 4 + log20, + log3 2 2 6⎜ 4 ⎝ 4 ⎟⎠

(

A) 6 D) 8

B) 3 2

8.

C) 7/5 E) 13/4

Si log32=E, calcule el valor de log1254 en términos de E. A)

1− β 1 + 2β

D)

3+β 1 + 2β

)

−

1 2

1+ β 1− β

C)

1 + 3β 1− β

E)

1 + 2β 1 + 3β

3 ; log32 x

hall el valor de x+3. halle A) 8 D) 13

C) 2 3 E) 10 0

Dada la ecuación log(2x – 1)n+log(x – 1)10log n=n; halle x si se sabe que n es cualquier entero positivo y log es el logaritmo en base 10.

B)

Luego de Lue e resolve resolver la ecuación log n 25 = log 10 0 + x log x 5, tal que n = 3 ta

9. 4.

B) 12/7

NIVEL INTERMEDIO

Considere x > 0 y x  1 para simplificar la siguiente expresión. 3⎞ ⎛ 3 log x x x + log 3 ⎜⎝2log x x 4 ⎟⎠ + log x x 2 − log 2 4 4 A) 25/12 D) 3/4

7

A) 8/7 D) 8/5

A) ln y2+ln(x+1)+ln(xy) B) 2ln y+ln(x –1)+ln(xy) C) ln y2 – ln(x –1) – ln x D) ln y+ln(x+1) – ln x E) ln y+ln(x –1) – ln x

2.

Dados los números

B) 9

C) 11 E) 14

Halle las raíces en la siguiente ecuación. log x = log x A) x1=1; x2=104 B) x1=10 – 2; x2=102 C) x1=10 –1; x2=103

A) 6 D) 2

B) 3

C) 4 E) 3/2

D) x1=10 –1; x2=102 E) x1=1; x2=105 UNI 2000 - II

5.

Determine la solución de la siguiente ecuación logarítmica. ⎛ x + 3⎞ ⎛5⎞ − 1 = log2 ⎜ ⎟ − log2 ( x − 5) log2 ⎜ ⎝ x − 1 ⎟⎠ ⎝3⎠ A) 3 D) 6

B) 4

C) 5 E) 7

( ) log20 x −15

10. Calcule el valor de ( x 2 )

si se sabe que 3 ⎤⎫ ⎧ ⎡ log8 ⎨2 + log2 ⎢log4 ( x − 4 ) − ⎥ ⎬ = 0 ⎣ 2 ⎦⎭ ⎩ A) 20 D) 36

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 27 13

B) 4

C) 25 E) 5

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

11. Determine la suma de soluciones de la ecuación 5 + log3 x ) x( = 81−1

Material Didáctico N.o 6

15. Si antilogx2+cologx2=0, calcule el valor de x6. A) 6

A) 8/28 D) 26/81

B) 2/81

C) 28/81 E) 29/81

B) 4

D) 64

C) 8 E) 16

16. Calcule el valor de c, si a > bc III. logb(a) > logb(c) B) VFV

E) Y

C)  – 1; 1 1 – {0} E) {10} 10}

X

6.

Determine la gráfica de la función g. g(x)=2|x|+x Y

A)

C) VFF E) FVF

Determine la gráfica de la función f. ⎧log2 x si x ≥ 1 ⎪ f( x ) = ⎨log 1 x si 0 < x < 1 ⎪⎩ 2

g

Y

B) g

1 UNI 2013 - I

5.

X

− log x 2

A)  – 5; 5 D)  – 20; 20

A) VVV D) FFV

1

D) Y

Resuelva la siguiente inecuación. ⎛ 1⎞ 2log x > ⎜ ⎟ ⎝4⎠

4.

C) 6 E) 18

Sea f : A  una función, de modo que f(x)=log(|x| – x), entonces halle su dominio. A) + D)  – {1}

3.

X

Si f(x)=loge(x3 – 1) – loge(x2+x+1); halle el valor de f(e9+1); 2 < e < 3.

X

0

1 0

X

Y

C) g

X

0

A) Y D) 1

Y

E) g

g

X

X Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 15

32

Y

X

Álgebra

Anual UNI

11. Determine el conjunto solución de la siguiente

NIVEL INTERMEDIO

7.

inecuación exponencial. (0,04)5x – x

Determine el dominio de la función f. f( x ) = log 1 (2 x − 1)

8.

1 ;+∞ 2

D)

1 ;1 2

2–8

< 625

A) 0; 1 D) 0; +

2

A)

Álgebra

B) 0; +

C) 1; + E)

1 ⎤ ;1 2 ⎥⎦

B) 2; 3

C) 4; 5 E) 2; +

12. Halle el conjunto solución de la inecuación 4 · 4x  7 · 2x+2. A)  – ; 0 B)  – ; 1] D) 0; 1]

C) 1; + E) [ – 1; 1]

Dadas las inecuaciones logarítmicas log4 ( x − 3) ≤ −

1 2

; log

1 2

(2 x − 1) < 0

determine todas las soluciones en común.

NIVEL AVANZADO

13. Resu 1 Resuelva la siguiente inecuación logarítmica. log x < 4 log x

7⎤ A) 1; ⎥ 2⎦

7 B) 1; 2

C) C 3; 3 3; + 7⎤ E) 3; ⎥ 2⎦

D) 1; 3

9.

Halle el conjunto solución de e la iinecuación ec ación

D) 

16

D) D 10; 0; 10 0

C) I E)  – 1; 1

14. 4. Resu Resuelva la siguiente inecuación logarítmica. log 1 ⎡⎣log3 ( x − 1)⎤⎦ > −1 2

log3|3 – 4x| > 2 3 A) − ; 3 2

B) B 1; 1016

A) 1; A 1; 10 1

{ }

3 ⎡ 3 ⎤ B)  − ⎢ − ; 3⎥ C)  − − ; 3 ⎣ 2 ⎦ 2 3 E)  − − ; 3 2

UNI 2005 - I

A) 2; 8

B) 4; 9

D) 4; 8

E) 2; 27

15. Resuelva la siguiente inecuación logarítmica. x 2 + log 1 (1 − x ) ≤ 0 2

A)  – ; 1

10. Al resolver la desigualdad 35 ⎞ ⎛1 log5 ⎜ x 2 − 3 x + ⎟ < 0 ⎝2 8 ⎠

1 B) − ; 1 2

determine la suma de todos los números x en-

C)  – 1; 1 E)  – ; – 1

D) [ – 1; 0]

teros que la satisfacen.

C) 2; 10

16. Si la ecuación x · ex=1 tiene m soluciones reales y la ecuación (log|x|)2=|x| tiene n soluciones reales, entonces halle el valor de m+n.

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

A) 8

E) 10 UNI 2006 - I

B) 6

D) 2

C) 0 E) 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 33

16

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

18. Sea S el conjunto solución de la ecuación en .

17. Resuelva la inecuación ⎛ 1 1 1 ⎞ ln ⎜1 + + + + ... ⎟ ≤ K ⎝ 1! 2 ! 3 ! ⎠ donde ⎛ 1⎞⎞⎞ ⎛ ⎛ K = − colog 1 ⎜ antilog e ⎜ log e ⎜ x − ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎝ 2⎠⎠⎠ 2

A)

1 ;1 2

D) 0; 1

B)

1 ⎤ ;1 2 ⎦⎥

Material Didáctico N.o 6

C) e –1; e E)

1 ⎤ ; ln 2⎥ ⎦ 4

1 ⎛3⎞ log x ⎜ ⎟ ⎝5⎠ Halle la cantidad de elementos de S. x 3 − 7 x 2 + 15 x − 9 =

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 UNI 2010 - I

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 17

34

Anual UNI ÁLGEBRA DE FUNCIONES 01 - B

04 - C

07 - C

10 - D

1 -C 13

16 - C

02 - A

05 - B

08 - C

11 - D

14 - C

17 - A

03 - E

06 - C

09 - C

12 - A

15 - B

18 - A

FUNCIÓN INVERSA 01 - B

04 - C

07 - E

10 - B

13 - C

16 - B

02 - A

05 - A 05

08 - D

11 - A

14 - C

17 - B

03 - B

06 - D

09 - D

12 - E

15 - C

18 - A 18

GRÁFICA DE RELACIONES 0 -E 01

04 - D

07 - A

10 - D

13 - C

16 - D

02 - E

05 - D

08 - B

11 - D

14 - B

17 - B

03 - E

06 - E

09 - E

12 - B

15 - D

18 - A

LOGARITMOS 01 - D

04 - B

07 - D

10 - C

13 - B

16 - C

02 - B

05 - E

08 - C

11 - C

14 - C

17 - D

0 -A 03

06 - A

09 - A

12 - D

15 - C

18 - B

FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL 0 -D 01

04 - B

07 - E

10 - C

13 - B

16 - E

02 - B

05 - C

08 - E

11 - B

14 - C

17 - B

03 - C

06 - A

09 - B

12 - B

15 - D

18 - A

Preguntas propuestas

7 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Álgebra Matrices

Práctica 5.

NIVEL BÁSICO

1.

Sean las matrices  a b  2 b A=  y B=  0 c   b c 

6.

A) – 1 D) 1/2

B) – 1/2

Dada la matriz

A) sen(2a) B) 2cosa+1 C) 1 D) 0 E) 3

 2 −1 a 1  A=  , B=  c 5   3 1  tal que AB=BA. Calcule el valor de (a+c). B) 1/2

C) 2 E) 6

calcule la traza de matriz BBT.

Sean las matrices

A) 1/4 D) 2

B) 4

 cos α sen α 0  B =  sen α cos α 0    0 1  0

C) 0 E) 1 UNI 2000 - II

2.

Niveles

Si la matriz A es simétrica, entonces calcule el valor de x2+y2+z2.  x3 x + y x2 + z    A =  −3 y2 3y   y 2  −3 5 A) 0 D) 3

1 0  Si se cumple que A+B=I, donde I =  ,  0 1  halle el valor de a+b+2c.

por

C) 1 E) 3

NIVEL INTERMEDIO UNI 2004 - I

3.

Halle el valor de x+y+z si se sabe que las ma-

7.

trices A y B son iguales.

3i si i = j aij =   i + j si i ≠ j 1 si i = j bij =  0 si i ≠ j

 (0, 2) x −1  27   25 33 x + 2 y   A= 1 z  ; B =  ( y − 1) 4    4      2 A) logy1 D) 3

4.

B) 1

Halle la traza de la matriz A+B.

C) 2 E) 4

b  a Sea A =  una matriz. Si existen ma − b − b  trices X e Y, de modo que A=aX+bY, halle la

Sean A=(aij)2×2 y B=(bij)2×2 dos matrices, de modo que

A) 11 D) 9

8.

B) 12

x Si la matriz A =  y

suma de los elementos de X+Y2.

el valor de x+y? Considere x ≠ y.

A) – 2 D) 4

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 0 7

C) 10 E) 8

x es idempotente, ¿cuál es y 

B) 1

C) – 1 E) 2

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

9.

Si la matriz M cumple lo siguiente 5 4 2 0  3 3  M = 1 1  determine la suma de sus elementos. A) 2/3 D) 0

B) 1/3

C) 1 E) 2

10. Sean A y B dos matrices de orden 2×2. Señale

la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Si A2=0 → A=0 II. Si AB=0 → A=0 o B=0 III. (A+B)(A – B)=A2 – B2 A) VVV B) VVF C) FFV D) FFF E) FVV

orden. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. (AB)2=A2B2 II. (A+B)2=A2+2AB+B2 III. Si AB=BA, entonces A y B son matrices conmutables. IV. Si AB=A, entonces B=I ∨ A=0.

13. Sea la matriz A=(aij)2×2, donde la traza de A es igual a cero y la suma de los elementos de la diagonal secundaria también es igual a cero; además, a11=5 y a21= – 4. Calcule el equivalente de An; n ∈ N y n es impar. n

A) 9 2 ⋅ I B) 9n · A n−1 2 ⋅

A

D)

n+1 9 2 ⋅

A

E)

n−1 9 2 ⋅I

C) 9

de (E+L) – (T+U) si E, L, T y U satisfacen el siguiente producto de matrices. Y  T

0   E L  Y 0  = U   T U   E L 

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4 UNI 2005 - II

15. Si se cumple que n

A) FFFF B) FVVF C) FFVV D) FFVF E) VFVF

16 32  k 1  +  0 k  =  0 16  ; tal que n, k ∈ Z , determine el valor de

 −1 1 

12. Dada la matriz A =  , determine la matriz  −1 0  A2010.

0 1  D)  1 0 

NIVEL AVANZADO

14. Sea Y un número real no nulo. Calcule el valor

11. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo

0 0 A)   0 0 

Material Didáctico N.o 7

A) 3/2 D) 1/3

B) 1/2

n . k C) 2 E) 1

0 1  , determine el valor  −1 0 

16. Dada la matriz J =  1 0  B)   0 0 

1 0  C)   0 1 

de T.

1 1  E)   0 0 

A) I D) 2010J

T=J+J2+J3+...+J2012 B) J

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8

C) 0 E) I+J

Anual UNI

Álgebra

17. Sea

  a 0 b     M =  0 c 0  {a; b; c} ⊂ N   a 0 b     Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones. I. Si A, B ∈ M → AB ∈ M II. Si A ∈ M → – A ∈ M III. Si A, B ∈ M → (A+B) ∈ M A) VVV D) VFF

B) FVF

C) FFF E) VFV

9

Álgebra

18. Si (x1; x2; ...; x20) es una 20-upla de números reales. Sea la ecuación (x1 – x2)2+(x2 – x3)2+(x3 – x4)2+...+(x19 – x20)2+ +(x20 – x1)2=1 El número de 20-uplas de números enteros (x1; x2; ...; x20) que son soluciones de la ecuación anterior es igual a A) 0 D) 20

B) 1

C) 19 E) ∞ UNI 2006 - I

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Álgebra Práctica por Niveles

Determinantes y matriz inversa 5.

NIVEL BÁSICO

1.

Si

a b =2; c d

halle el valor de A) – 2 D) 1

I.

2+ a b 1 d . +2 2+ c d 1 b

B) – 1

A)

3   2 5   2 1  A =  2 + 1 1 3  1 1 B) 2

2

D) 0

3.

III.

Calcule el determinante de A si se cumple lo siguiente  2 −1   0

C) 1

6.

sea singular.

{ } 1 2

1 2  C)  3 5    2 2 5 3 E)  2 2    2 1 

NIVEL INTERMEDIO

3 3 ;− 2 2

7.

Si se sabe que  2010 2009   m q  3 1  ( −1 2) =  2009 2008   p n 

E) {3; – 3} 1 i  Sea A =  ; i = −1. Calcule det(P(A))  i −1 si se sabe que P(x)=1+x+x2+x3+... A) 1 D) 4

3 5 B)  2 2    1 2 

2 1  D)  3 5    2 2

1 1 ; 3 2

B) {2; – 2}

4.

Si |A| ≠ 0, tal que

 3 2 1 A)    5 2  2

{ } { }

C) FVV E) VVV

entonces determine AT.

x +1 2  A=  x − 1  4

D)

B) VVF

3 2 A= A   5 4 

E) 1/2

C) 2;

3a 3 b a b =6 2c 2 d c d

A) VFV D) VFF

Determine los valores de x para que la matriz

A)

3 7 10 5 1 4 5 1 4 = 3 8 1 3 8 1 3 7 10

4 7 8 8 0 0 II. 0 8 9 = 10 6 0 0 0 6 20 5 4

C) 0 E) 2 UNI 2000 - I

2.

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes igualdades.

B) 0

C) – 1 E) 5

determine el valor de mn – pq. A) 2010 B) 0 C) 1 D) 2009 E) 7

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Academia CÉSAR VALLEJO

8.

Álgebra

Si A y B son matrices 3×3 y r ≠ 0 un número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. det(AB)=det(A)det(B) II. det(A+B)=det(A)+det(B) III. det(rA)=rdet(A) A) VVV D) VFF

B) VVF

C) FVV E) FFF UNI 2008 - II

9.

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes igualdades. I.

a+ x c+ y

1 II. 2 22

b a b x = + d c d y

b d

1 3

1 4 = ( 4 − 2) ( 4 − 3 ) ( 3 − 2)

32

42

B) FFV

C) VVV E) VFV

C) 1 E) 0

w w2  1   A =  w w2 1   w2 1 w 

A) w2 D) 1

2π 2π + i sen 3 3 B) wi

A) 0 B) 1 C) n D) 2n E) A no tiene inversa

NIVEL AVANZADO

13. Sean A, B y P tres matrices cuadradas del mismo orden, de modo que B=P – 1AP. Indique la proposición verdadera.

D) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1AP E) B3=(P – 1)3AP3 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

14. Respecto al polinomio

11. Halle el determinante de

si w = cos

n +1 n  A=  n − 1  n

C) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

calcule el valor de T. T=traz(A)+|At|

B) – 2

inversa de la siguiente matriz.

B) B3=PA3P – 1 ∧ B – 1=P – 1A – 1P

10. Si A=[aij]11, tal que A+At=0;

A) 2 D) – 1

12. Determine la suma de los elementos de la

A) B3=P – 1A3P ∧ B – 1=P – 1A – 1P

18 7 12 III. 30 9 20 = 0 24 5 16 A) FVF D) VVF

Material Didáctico N.o 7

C) 0 E) – w

 2 1 P(x)=det(xI – A), tal que A =  ,  3 4  indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. La suma de raíces de P(x) es igual a la traza de A. II. El producto de raíces P(x) es igual al determinante de A. III. P(x)=x2 – 6x+5 A) FFF B) FFV C) VVF D) VVV E) VFV

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Álgebra

Anual UNI

3 0  −1 1   y B=   0 1  6 −5

15. Con las matrices A = 

se forma la matriz P=ABA– 1. Halle la matriz P – 1.

A) det(A)=a3x3+a2x2+a1x+a0 B) det(A)=x3+a1x2+a2x+a3

C) det(A)=(x – a1)(x – a2)(x – a3) D) det(A)=(x+a1)(x+a2)(x+a3) E) det(A)=a0x3+a1x2+a2x+a3

 5 1 A)    3 2

 5 2 B)    3 1

 5 1 C)    2 3  5 3 E)    1 2

 5 3 D)    2 1

16. Sea la matriz

 0 −α  M= ; α ≠ 0.  α 0 

Calcule el valor de |M2013|. B) – a2307

A) – a D) a2013

C) – a4026 E) a4026

17. Halle el determinante de la siguiente matriz.  a0  −1 A=  0  0

Álgebra

a1

a2

a3  x 0 0   −1 x 0   0 −1 x 

18. Resuelva la ecuación 1 x1 x2 1 x x2 1 x1 x 1 x1 x2

x3 x3 = 0 ; x1 ≠ x2 ≠ x3 x3 x

de incógnita x. Luego indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. Presenta 3 soluciones. II. La suma de las soluciones es igual a x1+x2+x3. III. El producto de soluciones es igual a x1x2 x3. A) VVV B) FFF C) VFV D) FFV E) VVF

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Álgebra Práctica

Sistema de ecuaciones lineales y no lineales

A) 2 D) 5

NIVEL BÁSICO

1.

5.

Dado el sistema lineal 3 x + 2 y = a + 2  3 x − 3 y = 2a − 1

2.

B) 14/13

6.

Dado el sistema de ecuaciones

A) 47 D) 4

C) VVV E) VVF

B) 34

Resuelva el sistema  2 2  x   − 2    =   3 4   y   − 2

¿Para qué valores de k el sistema de ecuaciones x+ky=3 kx+4y=6 tiene solución única?

e indique la suma de componentes de la solución. A) 3 D) 1

8. UNI 2000 - I

Halle el valor de m+n para que el sistema de ecuaciones ( m + n) x + ( m + 7) y = 2 m + 8   nx + 6 y = 9 sea indeterminado.

19

C) 11 E) 74

NIVEL INTERMEDIO

7.

A) k ≠ – 2; k ≠ 3 B) k ≠ – 2; k ≠ 2 C) k ≠ – 3; k ≠ 3 D) k ≠ – 3; k ≠ 2 E) k ≠ – 2; k ≠ – 3

4.

C) 8 E) 2

determine el valor de m, de modo que y sea menor que x en 7 unidades.

5 x + 2 y = 1 III. El sistema  es incompatible. 5 x + 2 y = 2

3.

B) 5

5 x − 2 y = m  x + 9y = m

36 x + 24 y = 30 II. El sistema  6 x + 4 y = 5 es compatible indeterminado.

B) VFV

C) 3 E) 8

Determine el valor de k para que el sistema de ecuaciones

A) 7 D) 4

2 x + 7 y = 124 I. El sistema  48  x − 14 y = 361 es compatible determinado.

A) FVF D) FFF

B) 10

no admita soluciones.

C) 5/11 E) 1/11

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

Niveles

( k + 1) x + 9 y = 15  ( k − 1) x + ( k + 1) y = 10

calcule el valor de a que permita x=2y. A) 13 D) 1/5

por

B) 2

C) – 1 E) 0

Luego de resolver el sistema 1 1 4   x   6  0 2 3  y  = 8      0 0 1   z 2 determine el producto de las componentes de la terna solución. A) 6 D) – 6

B) 12

C) 24 E) 8

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

9.

Luego de resolver el sistema

NIVEL AVANZADO

 x − 2 y + z + 3w = 18  y + 3 z − w = 10   5 z + 3w = 43   5w = 30

13. Al resolver el sistema

se obtiene como conjunto solución CS={(x1, x2, x3, x4)} Halle el valor de x1+x2+x3+x4. A) 9 D) 6

B) 8

C) 12 E) 10

10. Sea da el sistema de ecuaciones ( a + b) x + ( a − b) y = 10  (2a − b) x + (2a + 3 b) y = 12

A) 4 D) 1

B) 3

C) 2 E) 0

solver el sistema lineal

(3 p + 1) x + (3 p − 1) y = 2  ( p + 6 ) x + ( p + 3) y = 11

A) – 23/14 B) – 23/7 C) 11 D) 31/7 E) 1

se cumple que x+y=1. A) 2 D) – 2

11. Determine la suma de todos los valores reales de a, de modo que el sistema homogéneo 6 x − ay = y  2 x + 3 y = ax tenga infinitas soluciones B) – 1

C) 0 E) – 2

B) – 1/2

2 x − 6 y = 5  6 x − 18 y = 15

C) 1/2 E) – 1

15. Dado el sistema lineal de incónitas x, y, z  ax + y + z = 1  x + ay + z = a   2  x + y + az = a Determine el valor de z si a ≠ 1 ∧ a ≠ – 2. A)

1 a+2

B)

a +1 a+2

D) a+2

12. Al resolver el sistema

C) E)

( a + 1)2 a+2 a+2 a +1

16. Halle la suma de todos los valores reales que

se obtiene como conjunto solución   2t − 5   CS =   t;  t ∈ R 2a    Halle el valor de a2+a+1. A) 17 D) 20

 ax + by = m   cx + dy = m por la regla de Cramer, se obtiene que a m 5 b c n 3 d ∧ y= x= a 2 1 b c 1 1 d Calcule x+y.

14. Determine el valor de p, de manera que al re-

cuya solución es (3; – 1). Calcule el valor de 3a – b.

A) 1 D) 2

Material Didáctico N.o 7

B) 18

C) 10 E) 13

puede tomar λ en la siguiente expresión.  x1  1 2   x1   2 1   x  = λ  x  2 2 donde x1 ≠ 0 y x2 ≠ 0. A) – 1 D) 2

B) 0

UNI 2012 - I

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C) 1 E) 3

20

Anual UNI

Álgebra

17. Resuelva el sistema no lineal

18. Determine el número de pares ordenados

 x + y + z = 2  2 2 xy − z = 4 Determine el valor de x2+y2+z2, donde {x; y; z} ⊂ R. A) 3 B) 12 C) 27 D) 64 E) 14

Álgebra

(x0; y0) ∈ R×R que verifican el siguiente sistema de ecuaciones.  x 2 + y2 − 8 x − 2 y = −8  y+ x−4 =4   2 3 y + ( x − 4 ) = 12  A) 0

B) 1

D) 3

21

C) 2 E) 4

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Álgebra Práctica por Niveles Programación lineal

2.

NIVEL BÁSICO

1.

Resuelva el sistema de inecuaciones lineales 2 y + x ≤ 6  x + y ≤ 4 x ≥ 0 ∧ y ≥ 0  luego indique la región que forma su C.S.

Determine la región factible del siguiente problema de programación lineal. Mín. f (x; y)=7x+y sujeto a las restricciones. y − 4x ≤ 0  y + x ≥ 10   4 y ≥ x  x ≥ 0; y ≥ 0 A) Y

A) (0; 3) (2; 2)

(4; 0)

X B)

B)

Y 8

(0; 3)

2 2

(4; 0)

8

X

C) Y

C) (0; 3)

(4; 0)

D)

X D) Y

(0; 3) (3; 2) (4; 0)

4 1 1

E)

4

X

E) Y

(0; 3)

(4; 0)

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X

Academia CÉSAR VALLEJO

3.

Álgebra

Material Didáctico N.o 7

D) el valor óptimo es 15. E) (5; 5) es el punto óptimo.

Determine el sistema de inecuaciones lineales que presenta la siguiente región sombreada admisible de un programa lineal. (0; 5)

(6; 5)

5.

Y

(0; 2)

4 (2; 0)

(6; 0)

3

x ≤ 6 y ≤ 5  B)  x + y ≥ 2  x ≥ 0; y ≥ 0

x ≤ 6  A)  y ≤ 6  x ≥ 0; y ≥ 0  x ≤ 6 y ≤ 5  C)  x + y ≤ 2  x ≥ 0; y ≥ 0

0

1

A) (2; 3) D) (6; 4)

6 B) (2; 0)

X

C) (0; 3) E) (4; 6) UNI 2008 - II

6. x ≤ 5 y ≤ 6  E)  x + y ≥ 2  x ≥ 0; y ≥ 0

x ≤ 6 y ≤ 5  D)  x + y ≥ 4  x ≥ 0; y ≥ 0

4.

Sea f : R2 → R una función definida por f (x; y)= – 3x+y. Determine el punto de la región convexa mostrada en la figura, donde f alcanza su mínimo.

Calcule el área de la región que se forma al determinar todos los (x; y) que cumplen las siguientes restricciones. x + y ≤ 4  2 x + y ≤ 6 x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 

Se da la función f (x; y)= 6x – 3y sujeta a la región factible

A) 4 u2 D) 7 u2

B) 5 u2

C) 6 u2 E) 8 u2

(6; 11)

Y

NIVEL INTERMEDIO

(8; 10) (4; 7)

7.

(6; 6) (5; 5) X Respecto de la función objetivo Mín. f (x; y) podemos afirmar que A) tiene una solución. B) no tiene solución. C) tiene infinitas soluciones.

Halle los puntos extremos del siguiente problema Máx. f (x; y)=x+y sujeto a 3 y ≤ − 4 x + 41   y ≤ − x + 12  x ≥ 2; y ≥ 3  A) (2; 3), (2; 10), (6; 7), (8; 3) B) (2; 3), (5; 7), (8; 3) C) (3; 2), (10; 2), (7; 5), (3; 8) D) (2; 3), (2; 10), (5; 7), (8; 3) E) (1; 3), (1; 10), (5; 7), (8; 3)

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Álgebra

Anual UNI

8.

Identifique la gráfica de las restricciones x + 3y ≥ 6 x + y ≥ 4   −2 y ≤ 5 x + 4   x ≥ 0; y ≥ 0

un problema de programación lineal en dos variables y ≥ x + 4  y ≤ − x + 8 0 ≤ x ≤ 6; y ≥ 0 

B) 4

4

2

2 4

6

6

C) 4

6

D)

E) 4

4

2

2 4

9.

Indique cuáles son las proposiciones falsas. I. Existen 10 puntos factibles de componentes enteros. II. (6; 2) no es punto factible. III. (3; 8) es un punto factible. A) solo I B) solo II C) I y II D) II y III E) todas

2 4

A) VVV B) VVF C) FVV D) VFV E) FFF

10. Se da el siguiente conjunto de restricciones de

A)

4

Álgebra

6

11. Una empresa con sede en Lima fabrica diver-

4

6

Resuelva el sistema en Z×Z  y + 2x ≤ 6  2 y + x ≤ 6 x ≥ 0 ∧ y ≥ 0  Luego indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. El cardinal del CS es 11. II. La mayor suma de x+y ocurre en el punto más alejado del eje X y del eje Y. III. Si x > 0 ∧ y >0, entonces el cardinal de CS es 4.

sos modelos de radiotransistores. Todos los componentes de estos radios se fabrican en Lima, excepto los transistores que son importantes. Existen 1000 transistores del tipo T1 y 1200 del tipo T2. Cada modelo de radio R – A requiere un transistor T1 y 4 transistores T2; los modelos R – B requieren 2 transistores de T1 y uno de T2. Si se sabe que los beneficios o utilidades de cada radio son 50 y 30 dólares por R – A y R – B, respectivamente, halle la cantidad de unidades a fabricar de cada modelo para que las utilidades totales sean máximas. A) 200A y 400B B) 100A y 500B C) 500A y 400B D) 200A y 300B E) 300A y 400B

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Academia CÉSAR VALLEJO

Álgebra

Material Didáctico N.o 7

12. Wilson Cachay se dedica a la compra y venta

14. La doctora Sara Díaz ganó 10 millones de so-

de papaya y naranja. Todas las mañanas visita a su proveedor de frutas en el mercado mayorista Túpac Amaru II y hace las compras del día. El día anterior recibe los pedidos de sus clientes y estos suman 600 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja. Wilson transporta las frutas en su camioneta que tiene capacidad de cargo de 1600 kg. Si compra el kg de papaya a S/.1,30 y lo vende a S/.1,60 y el kg de naranja lo compra a S/.1,00 y lo vende a S/.1,20, determine cuántos kilos de cada fruta debe comprar para maximizar sus ganancias.

les en una lotería y le aconsejan que lo invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio anual del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen como beneficio solo el 7 % anual. Después de varias deliberaciones, decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir los 10 millones para que el beneficio anual de Sara sea el máximo posible?

A) solo 1200 kilos de naranja B) 600 kilos de papaya y 1000 kilos de naranja C) solo 1600 kilos de papaya D) 400 kilos de papaya y 1200 kilos de naranja E) 1000 kilos de papaya y 400 kilos de naranja NIVEL AVANZADO

13. Una estación de TV afronta el siguiente problema: se ha comprobado que el programa A con 20 minutos de música y 2 minutos de comerciales interesa a 30 000 televidentes, mientras que el programa B con 10 minutos de música y 1 minuto de comerciales interesa a 10 000 televidentes. El auspiciador de los programas insistió en que por lo menos se dediquen 6 minutos de propaganda por semana, mientras que la estación de TV no puede dedicar más de 80 minutos semanales para música. ¿Cuántas veces por semana deberá ser presentado cada programa a fin de lograr el mayor número de televidentes? A) 3A; 2B B) 4A; 0B C) 2A; 3B D) 5A; 1B E) 5A, 3B

A) 6 millones de soles en acciones tipo A y 4 millones en acciones de tipo B. B) 2 millones de soles en acciones tipo A y 2 millones en acciones tipo B. C) 5 millones de soles en acciones tipo A y 5 millones en acciones tipo B. D) 3 millones de soles en acciones tipo A y 7 millones en acciones tipo B. E) 1 millón de soles en acciones tipo A y 9 millones en acciones tipo B.

15. En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas. II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito. III. En un programa lineal, pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima. A) VFV B) FFF C) FFV D) FVV E) VFF UNI 2010 - I

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Álgebra

Anual UNI

16. Se tiene la siguiente representación de un conjunto de restricciones de un problema de programación lineal. Y 16

Álgebra

I. (a; b) es solución del nuevo problema. II. No existe solución para el nuevo problema. III. El nuevo problema tiene infinitas soluciones. A) solo I D) solo II

B) I y III

C) solo III E) I, II y III

18. La región admisible S y el crecimiento de la función objetivo del problema, maximizar f(x, y) s.a. (x, y) ∈ S se muestra en la siguiente figura:

5 3 4 6

10

X

Dado z=y – x+14, indique la secuencia correcta luego de determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones. I. Máx(z)=30 II. Mín(z)=11 III. La función z no tiene máximo ni mínimo. A) VVV D) VFV

B) VVF

–1

C) FFV E) FVV

17. Se sabe que (a; b) es solución del problema de Máx f(x; y)=2x+10y 2 y − x ≥ 8  5 y + 3 x ≤ 75  x; y ≥ 0  si se añade la restricción 5y+x ≤ 40, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?

(3; 4)

4 3 2 1

crecimiento

2 3 4

8

–2

Si (x; y) es la solución del problema, determine f(x, y). 10 3 25 D) 3

A)

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B)

14 3

20 3 28 E) 3 C)

UNI 2013 - I

Anual UNI Matrices 01 - c

04 - e

07 - a

10 - d

13 - C

16 - c

02 - c

05 - e

08 - b

11 - d

14 - a

17 - e

03 - b

06 - e

09 - a

12 - c

15 - c

18 - a

Determinantes y matriz inversa 01 - e

04 - a

07 - b

10 - e

13 - a

16 - e

02 - c

05 - e

08 - d

11 - c

14 - d

17 - e

03 - e

06 - b

09 - c

12 - a

15 - d

18 - a

Sistema de ecuaciones lineales y no lineales 01 - b

04 - b

07 - c

10 - c

13 - b

16 - d

02 - c

05 - b

08 - d

11 - a

14 - e

17 - b

03 - b

06 - a

09 - a

12 - e

15 - c

18 - d

Programación lineal 01 - a

04 - c

07 - d

10 - e

13 - b

16 - c

02 - b

05 - d

08 - d

11 - a

14 - a

17 - c

03 - b

06 - d

09 - a

12 - b

15 - d

18 - c

Preguntas propuestas

8 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Álgebra Práctica por Niveles Límites

A) 1; –1; 1 B) 1; –1; no existe C) –1; 1; no existe D) 0; 0; 0 E) –1; –1; –1

NIVEL BÁSICO

1.

Si se cumple que x2 − 9 x→3 x − 3

L = lím

M = lím

x→2

6.

x2 − 5x + 6

 x + n; x > 4 f(x) =  2  x − 8 x + 21; x < 4 Si lím f(x) existe, cuando x → 4, calcule el valor numérico de n.

x2 − 3x + 2

determine el valor de L+M. A) 2 D) 5

2.

B) 0

Dada la función f( x ) =

C) –1 E) 7 3

2

x − x − 6x x2 − 3x

A) 125 D) 32

3.

x→3

B) 25

C) log52 E) 64

Si se sabe que  x − x − 2 L1 = lím   x→4  x−4 

A) 3 D) 3/16

4.

5.

B) 2/3

8.

II. lím f( x ) x → 2−

III. lím f( x ) x →2

B) 1/6

C) 5/12 E) – 5/12

Respecto a la función f, representada por la gráfica.

1

C) 1 E) 3/2

C) 7/6 E) 5/6

guientes límites, respectivamente. x → 2+

Dada la función f( x ) = x y f( ) − f( x ) g( x ) = lím x + h , determine g(4)+g(9). h→ 0 h

Y

Si se cumple que f(x)=sgn(x – 2), calcule los siI. lím f( x )

7.

L1 . L2

B) 3/4

C) 5 E) – 5

D) 1/4

Halle el valor de L. 30   5 L = lím  +  x→3  x − 3 9 − x 2  A) 2 D) 4

B) 3

NIVEL INTERMEDIO

A) 1/12

 x−2  L2 = lím   x→2  x + 2 − 2  calcule el valor de

A) 1 D) – 3

y

A = lím f( x ), B = lím f( x ), determine AB. x→0

Sea

–1

1

X

Señale la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. lím f( x ) = 0 x →1

II. lím f( x ) = +∞ x →1+

III. lím f( x ) = 1 x →+∞

IV. lím f( x ) = 1 x →−∞

A) VFVF D) FFVV

B) VFVV

C) FFFV E) VVFV

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 6 2

Álgebra

Anual UNI

9.

Calcule el valor del siguiente límite lateral. lím

 x 2 − 4 x + 2

x → 2−

x2 − x − 2

15. Sea

2

3

B) 1

C) 1/4 E) 2/3

2 2 2 2 +   +   + ... +   3 3 3 3

g( n) = 1 +

1  1  1  1 +   +   + ... +   3 3 3 3

3

x →5

A) 8 D) 9

A) 9/2

n→∞

B) 3

11. Calcule los siguientes límites en el orden respectivo. 1 + sen x sen πx y lím lím 3 π cos x x →0 sen 3 πx x→

E) 11/2

16. Sea f : N → R, tal que f( n) = f( n+1)

lím

f( n)

n→∞

.

A) e

B) 1

12. Calcule lím

x →+∞

B) 1/3 y 0

(

A) 0 D) – ∞

C) 0 y 1/3 E) 1 y 0

)

B) 5

x + 1  x − 1

C) +∞ E) 1

2

D) 3e

B) e3

C) sen2x0 E) – cscx0

2n + 3n

1 x2 − 4

B)

2

X

2

X

.

Y

–2

2

X

2

X

Y

–2

2 n+1 + 3 n+1 D)

calcule lím f( n) + lím f(2 n)

D) 2

x +1

E) 3e3

Y

C)

A) 3

x

C) 3e

2

–2

guiente límite. f( ) − f( x ) lím x + h para x=x0. h→ 0 h

n→+∞

2+ x

  ; g( x ) =   ;h =   x  ( x )  x − 1

18. Identifique la gráfica de f( x ) =

13. Si f(x)=senx, ∀ x ∈ R; determine el valor del si-

14. Se tiene f( n) =

x −1

Determine lím ( f + g + h)( x ).

A)

B) tanx0

. Determine

E) e2

17. Sean f( x ) = 

A) e

NIVEL AVANZADO

A) senx0 D) cosx0

nn

x →+∞

x +1− x + 5 . 2

n!

C) 0

D) e–1

2

A) 1 y 1 D) 1/3 y 1

C) 5/2

D) 7/2 C) f(5)+2 E) no existe

B) 7

n

determine lím f( n) + lím g( n) . n→∞

10. Dado f( x ) =  x + 3; halle lím f( x ) si existe.

n

f( n) = 1 +

2

A) 2 D) – 1/3

Álgebra

E)

Y

Y

n→+∞

B) 3/2

C) 6 E) 4

–2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 7 3

2

X

–2

x

Álgebra Práctica por Niveles Sucesiones reales

C) Sn converge a 2. D) Sn converge a n. E) Sn diverge.

NIVEL BÁSICO

1.

Determine el término n-ésimo de la siguiente sucesión. 1 3 5 7 9 ; ; ; ; ; ... 4 7 10 13 16

{

}

A) an = B) an = C) an = D) an = E) an =

2.

UNI 2004 - II

5.

{

B) 4,55

1 A) 0; ; 1 e D) +∞; e – 1; 1

6.

C) 4,555 E) 4,55555

}

B) 1; +∞; 1

C) +∞; e – 2; 1 E) +∞; e – 1; 0

Sea la sucesión (ak), donde  1 ak = k ⋅ ln 1 +   k Entonces, podemos afirmar que A) (ak) converge a 1.  1 B) (ak) converge a ln 1 + .  k C) (ak) converge a ln 2. D) (ak) converge a 0. E) (ak) no converge.

Determine cuáles de las siguientes sucesiones son monótona. 1 2 3 4 5 6 ; ; ; ; ; ; ... I. 2 3 4 5 6 7

{ III. {

}

sen 2 sen 3 sen 4  sen n  = sen 1; ; ; ; ... III.   n  2 3 4

En la sucesión de números reales 20, 25 + x k2 x k+1 = para k=0; 1; 2; ... 2xk Se sabe que x5=4,5; entonces x105 será igual a

{

}

 1  2 3  3 4  4 5  II.  ;   ;   ;   ; ... 4  3   4   5  

UNI 2003 - I

3.

{

+∞

 3  n  3 9 27 81 = ; ; ; ; ... I.     2 4 8 16   2   n=1

2n + 1 ; n ∈N 3n + 1 2n − 1 ; n ∈N 3n − 1 2n − 1 ; n ∈N 3n + 1 2n − 1 ; n ∈N n +1 n −1 ; n ∈N 3n + 1

A) 4,5 D) 4,5555

Determine el límite de cada sucesión, respectivamente.

UNI 2013 - II

}

II. 0; 2 − 2; 3 − 3; 2; 5 − 5; ...

A) todas D) I y III

4.

}

NIVEL INTERMEDIO

2; 3 3; 4 4 ; 5 5; 6 6 ; ... B) solo I

C) solo II E) I y II

7.

Sn = n + 1 − n entonces se puede decir que

Dada la sucesión (an), tal que 2n + 6 an = 3n + 3 Determine a partir de qué término se cumple que 2 an − < 0, 005 3

A) Sn converge a 0. B) Sn converge a 1.

A) 265 D) 268

Dada la sucesión de término general

B) 266

C) 267 E) 269

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 12 4

Álgebra

Anual UNI

8.

Sean a y b números reales. Si se cumple que xn+1=axn+b, n=0; 1; 2; ... entonces

Álgebra

I. Es una sucesión monótona. II. Es una sucesión acotada. III. Existe un término que supera a 2.

A) xn=n(x0+b), si a=1 y A) VVF D) VFF

1− an  x n = a n x0 +  b si a ≠ 1  1 − a  B) xn=x0+nb, si a=1 y

sión siguiente. 6 6 20 30 42 1; ; ; ; ; ; ... 5 5 17 26 37

{

C) xn=nx0+bn, si a=1 y

A) 1/3 D) 1/2

xn=(1– n)x0+anb si a ≠ 1 D) xn=x n0+nb, si a=1 y

1− an  x n = (1 − a) x 0 +  b si a ≠ 1  1 + a  UNI 2008 - I

Determine el número de sucesiones monótonas.

}

1 1 2 2 − n = ; 0; − ; − ; ... I.   n + 1  2 4 5

}

1 n

log n IV. n A) 0 D) 3

+∞

A) an diverge a +∞. B) an converge a n. C) an converge a 1. D) an converge a 0. E) an diverge a – ∞. UNI 2004 - II

13. Respecto a la sucesión siguiente

{

n =1

n∈N

B) 1

C) 2 E) 4

10. Respecto a la siguiente sucesión

{

C) 2 E) 1

NIVEL AVANZADO

1 2 5 8 II. − ; ; ; ; 1; ... 3 5 7 9 III. n −

B) 0

an = 3 n + 1 − 3 n Entonces, se puede afirmar que

E) xn=(1– n)x0 – nb, si a=1 y

{ { } { }

}

12. Sea (an) la sucesión de término general es

1+ an  x n = ax 0 +  b si a ≠ 1  1 + a 

{

C) VVV E) FVV

11. Determine el valor de convergencia de la suce-

1− an  x n = a x0 +  b si a ≠ 1  1 − a  n

9.

B) VFV

}

2; 2 + 2 ; 2 + 2 + 2 ; ...

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.

}

1 3 7 15 31 ; ; ; ; ; ... 5 11 23 47 95 indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones. 2n − 1 . I. El término n-ésimo es an = 3 ⋅ 2n + n − 2 II. Es una sucesión acotada. III. A partir del sexto término, son mayores que 20/61. A) FVF D) FFF

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B) VFV

C) FFV E) FVV

Academia CÉSAR VALLEJO

Álgebra

14. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

Material Didáctico N.o 8

16. Determine cuáles de las siguientes sucesiones

falsedad (F) según corresponda.

son acotadas.

I. Toda sucesión acotada es monótona.

 3 n 2 + 1 I. La sucesión  2  n + 5 

II. Toda sucesión decreciente de términos positivos es acotada. III. Toda sucesión creciente de términos negativos es acotada.

 sen n  II. La sucesión   n  III. La sucesión

A) FVF

A) todas D) I y III

B) VFV C) FFV D) FFF

(n 3 n + 2n ) B) solo I

C) solo II E) I y II

17. Sea la sucesión

E) FVV

15. Sean las sucesiones S y P donde

1 1 S1 = 1; S2 = 0; S3 = ; ...; S2 k−1 = ; S2 k = 0; k ≥ 2. 2 k 1 1 P0 = 1; P1 = 7; P2 = 0; P3 = ;...; P2 k−1 = ; P2 k = 1; k ≥ 2 k 2 entonces los límites a los que convergen las sucesiones S y P son, respectivamente, A) 0; 0

1 3 a1 = 0; a2 = 1; a3 = ; a4 = ; 2 4 5 11 21 43 ; ...; a5 = ; a6 = ; a7 = ; a8 = 8 16 32 64 entonces, la sucesión {an} converge a A) 7/12 D) 1

B) 5/8

C) 2/3 E) ∞ UNI 2010 - I

18. Determine el valor del siguiente límite.

B) 0; 1

1 1 1 1  lím  + + + ... + ( n + 1) ( n − 1) !  3 ⋅ 1! 4 ⋅ 2 !

C) no existe; no existe

n→∞  2

D) no existe; 1 E) 0; no existe UNI 2007 - I

A) 4 D) 3/2

B) 2

C) 1 E) 3/4

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 14 6

Práctica

por

Álgebra

Niveles

Sucesiones y Series 5.

NIVEL BÁSICO

Halle el valor de la siguiente sumatoria. n

∑

k=1

1.

Considere x > y > k y n ∈ N.

Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. 100

99

n= 0

i =0

A)

2 ∑ ( n + 1) = ∑ i 2

I.

100

 100

k=1

k=1

  100  k=1

100

100

k= 0

k=1

∑ (2 + k) = 2 + ∑ k

III.

100

∑ 2 = 200

IV.

E)

k= 0

A) FFVF D) VVVF

2.

B) FVVV

C) FFFF E) VFVF

6.

 k+1− k   k=1 k2 + k  99

A)

99 100

D)

10 9

B)

100 99

n +1 2

Determine el valor de S. 15  10  S = ∑  ∑ 2 i ⋅ 23 j   i =1  j =1

n n +1 2n D) 2n + 1

B)

2n 2n − 1

B)

16 ( 10 ) ( 15 ) 8 −1 2 +1 3

C)

E)

9 10

16 ( 10 ) ( 15 ) 8 +1 2 +1 5

D)

16 ( 10 ) ( 15 ) 8 −1 2 −1 5

E)

16 ( 10 ) ( 15 ) 8 +1 2 +1 9

2 n +1 n E) 2n + 1

NIVEL INTERMEDIO

C)

n

3 ∑ ( k + 1) ( k + 2) = 171n k=1

B) 12

16 ( 10 ) ( 15 ) 8 −1 2 −1 7

8 99

Calcule el valor de n si se sabe que

A) 13 D) 10

A)

C)

Determine el valor de J. n 1 J=∑ ( ) (2 k + 1) 2 1 k − k=1 A)

4.

2

Determine el valor de la siguiente suma.

∑ 

3.

( n − 1) n

1 B) log n ( n + 1) 2 ( n + 1) ( n + 2) C) 2 ( n n + 1) D) 2

∑ k3 =  ∑ k2   ∑ k

II.

log x y k ⋅ log y x k

C) 11 E) 9

7.

Sea la sucesión (an) convergente, tal que an = 6 + 6 + ... + 6   n radicales

determine el siguiente límite. an + 1 lím n→+∞ 1 − an+1 A) 3 D) – 3

B) – 2

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18

C) 2 E) 1

Álgebra

Anual UNI

8.

Álgebra

Sea la sucesión (an)n∈Z+0, tal que an+1– an=2n+3; a0=1. Determine el siguiente límite. 5 n2 + 6 n + π lím n→+∞ an A) +∞ D) 5/2

9.

B) 1

 k

∑  k + 1 −

k=1

A)

101 100

D)

50 101

100 101

C)

99 100

E)

101 99

lím sen ( πan+ 2 )

o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.   n + 1 n  2 I. La sucesión     converge a e .   n − 1   n2  II. La sucesión  n  converge a cero. 3 

n

∑ (6 k2 + ak) = n ( n + 1) ( bn + 5)

k=1

B) 6

 2 n! III. La sucesión  n  es divergente. 4 

C) 8 E) 16

A) VVF D) VFF

11. Determine el valor de S( n) =

n



2

1



∑  4 k2 − 1 + 2n + 1

2 2n + 1

D)

2n − 1 2n + 1

B)

2n 3n + 1

C)

3n 2n + 1

E)

n +1 2n + 1

12. Dada la sucesión 2; 6; 12; 20; 30; 42; ... Determine la suma de los 100 primeros términos de la sucesión anterior. B) 294 880

C) 323 400 E) 343 400 UNI 2009 - I

19

C) VVV E) FVV

o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. n2    1  I. La sucesión  1 +   converge a e2.   n   UNI 2005

A) 10 100 D) 333 300

B) VFV

15. Determine la secuencia correcta de verdad (V)

k=1

A)

A) 3 B) 2 C) 0 D) 1 E) –1

14. Determine la secuencia correcta de verdad (V)

10. Calcule el valor de ab si se sabe que

A) 4 D) 12

1

an+1 = (2an ) 2 ; a1 = 2

n→+∞

k − 1  k  B)

13. Sea la sucesión (an) convergente, tal que Determine el siguiente límite.

C) 5 E) 0

Determine el valor de la siguiente sumatoria. 100

NIVEL AVANZADO

 ( −1) n n2   converge a cero. II. La sucesión   3 n   n!  III. La sucesión  n+1  es divergente. 2  A) VVF B) VFV C) FVV D) VFF E) FVF

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

16. Respecto a la sucesión de Fibonacci (an)={1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...} indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. La forma recurrente de la sucesión de Fibonacci es an+2=an+an+1 si n ∈ N ∧ a1=1 a2=1

A) B) C) D)

II. a1+a2+a3+...+an=an+2 –1 an+ 2 1 + 5 = (número de oro) n→+∞ an +1 2

E)

III. lím

Material Didáctico N.o 8

(100 )(101)(102) 3 (100 )(101)(102) 2 (100 )(101)(201) 6 (99 )(100 )(101) 6 (100 )(101)(102) 6

18. Halle el valor de la siguiente suma. 21 21 21 21 + + + ... + 100 10 000 1 000 000 1 0 ...0

A) VVF B) VFV

20 ceros

C) VVV D) VFF

A)

1  21  21 − 99  (100 )10 

B)

1  20  20 − 99  (100 )10 

C)

1  21  21 + 99  (100 )10 

D)

1  21  21 + 999  (100 )10 

E)

1  21  21 − 999  (100 )10 

E) FVV

17. Calcule la suma de todos los números del siguiente cuadro. 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4      1+2+3+4+...+100

UNI 2000

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20

Álgebra

Práctica

Series numéricas

21 97 23 D) 101

NIVEL BÁSICO

1.

B) 39,5

Determine el valor de lím

n→+∞

A) 1/6 D) 1

3.

Sn n

B) 1/3

3

, donde S n =

7.

n

∑ k2.

8.

 3n + 2n  ∑ 5  2 n ⋅ 3 n  n =1

k2

 1  k  1  ∑   2  +  − 2   k= 0 +∞

A) 3/10 D) 1/2

5.



1

B) 64/15

C) 3/12 E) 3/16



∑  4 k2 − 1

6.

x x +1

x 1− x

x x −1 1 E) x +1

C)

Determine el valor de la serie π   2 cos  ∑ n! 6 n= 0

n

B) e – 2

A) 1+e D) e3

1 2

C) e 3 E) e – 1

10. Respecto a la serie +∞

 +∞ 1 

∑  ∑ n! 

−n

n= 0 n= 0

k=1

A) 1/4 D) 3/2

B)

+∞

Calcule el valor de la convergencia de la siguiente serie. ∞

1 2

Sea x un número real, de modo que Sn=x+x2+x3+...+xn y |x|< 1 Calcule el valor de límn→+∞ Sn

D)

9.

C) 〈–1; 0〉 E) −1; −

A) 1

C) 5/2 E) 15/3

Determine el valor de convergencia de la siguiente serie.

B) 〈0; 1〉

1 D) − ; 0 2

+∞

4.

Determine para qué valores de r la siguiente serie es convergente. 1+2r+r2+2r3+r4+2r5+r6+... A) 〈–1; 1〉

C) 1/2 E) 1/4

B) 1/2

25 91 25 E) 90 C)

k=1

Determine el valor de convergencia de la siguiente serie.

A) 3/2 D) 15/2

23 90

NIVEL INTERMEDIO

C) 40,5 E) 42,5 UNI 2009 - II

2.

Niveles B)

A)

Halle la suma de la siguiente serie. 27+9+3+1+... A) 38,5 D) 41,5

por

B) 1/2

C) 1 E) 7/4

Determine el valor de convergencia de la siguiente serie. +∞ 1 ∑ (2n − 1) (2n + 5) n =1 25

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. Es divergente. e −1 . II. Converge a e e . III. Converge a e −1 A) FFV D) VVF

B) FVF

C) VFF E) FFF

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 10

Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

11. Calcule el valor de convergencia de la serie +∞

2n + 1

∑ 1 + 4 + 9 + ... + n2

n =1

A) 1 D) 4

B) 3

C) 6 E) no converge

12. Determine los valores de x para los cuales la siguiente serie es convergente. +∞

∑

n

2 x

n= 0

3n B) 〈–1; 1〉

3 3 C) − ; 2 2 1 1 E) − ; 3 3

n

∑ x k. Indique la secuencia

B) FVF

C) FFF E) FFV UNI 2009 - II

14. Determine el valor de la serie 10 38 160 722 + + + + ... 6 36 216 1296 B) 7,5

1

+

1

B) 3/35

C) 4/35 E) 3/5

nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). +∞

∑ an es convergente si y solo si la

vergente. (Sn=a1+a2+...+an). +∞

∑ an

II. Si

k= 0

 1  converge a 0 cuando n tiende a ∞. III. S n   100 

A) 6,8 D) 6,5

1  . ⋅ an+ 2 

17. Indique la secuencia correcta luego de determi-

∑ x k, cuyas sumas parciales son

correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Sn(1) diverge cuando n tiende a ∞.  1 II. S n   converge a 2 cuando n tiende a ∞. 2

A) VVF D) FVV

n

n=1

dadas por S n ( x ) =

+



sucesión {Sn} de sumas parciales es con-

k= 0

1

+∞

∑  a

A) 12/35 D) 1/10

+∞

13. Dada la serie

+

k=1

I. La serie

NIVEL AVANZADO

1

n

16. Si ∑ ak = n2 + 4 n, indique a qué valor converge

n =1

2 2 A) − ; 3 3 3 D) 0; 2

15. Si

A) p2/8 B) p2/12 C) p2/3 D) 1 E) p2/24

la serie

n

Material Didáctico N.o 8

+ ... =

C) 8,5 E) +∞

es

convergente,

entonces

n=1

lím an = 0.

n→∞ +∞

III. Si

+∞

∑ an es convergente y ∑ bn es divergen-

n=1

te, entonces

n=1

+∞

∑ ( an + bn ) es divergente.

n =1

A) VVV D) FFF

B) VFV

C) VFF E) FVV

18. Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) a partir de las siguientes proposiciones. +∞ 2n + 1 I. ∑ converge. 2 2( n =1 n n + 1)

II.

+∞

n ∑ (2 + (−1) ) converge.

n =1 +∞

n

 π  n III. ∑ ( −1)  cot    diverge.  3   n =1

π2 6

12 2 2 3 2 4 2 determine el valor de 2 – 2+4 – 2+6 – 2+...

A) VVV D) FFV

B) VFV

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 11

26

C) FFF E) VFF

Anual UNI

Límites 01 - d

04 - e

07 - c

10 - e

13 - d

16 - d

02 - d

05 - b

08 - c

11 - b

14 - C

17 - d

03 - D

06 - b

09 - d

12 - b

15 - a

18 - e

Sucesiones reales 01 - c

04 - a

07 - b

10 - a

13 - e

16 - a

02 - a

05 - e

08 - b

11 - e

14 - e

17 - c

03 - E

06 - a

09 - d

12 - D

15 - e

18 - c

Sucesiones y Series 01 - c

04 - d

07 - B

10 - e

13 - c

16 - c

02 - e

05 - d

08 - c

11 - c

14 - c

17 - e

03 - e

06 - a

09 - b

12 - e

15 - c

18 - a

Series numéricas 01 - c

04 - b

07 - a

10 - a

13 - a

16 - B

02 - b

05 - b

08 - d

11 - c

14 - d

17 - a

03 - d

06 - b

09 - c

12 - c

15 - e

18 - e