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Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

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INDICE       

Álgebra

Inecuaciones …………………………. Valor Absoluto ………………………. Logaritmos …………………………… Relaciones y Funciones ……………… Límites ………………………………. Derivadas ……………………………. Misceláneas …………………………..

03 18 23 34 52 67 80

1

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IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.B. TELF.: 540–0814 / 98503121

DPTO.

Álgebra

DE

PUBLICACIONES

2

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TEMA: INECUACIONES Para entender apropiadamente la teoría de inecuaciones, es necesario estudiar previamente el tema de desigualdades. A continuación tocaremos algunos conceptos en torno a las desigualdades. DESIGUALDADES Es aquella comparación que se establece entre dos números reales mediante los símbolos de desigualdad: < , > ,  , . Luego, si a y b son números reales, entonces a < b, a > b , a  b y a  b se llaman desigualdades, y se leen: a  b : “a menor o igual que b” a  b : “a mayor o igual que b”

a < b : “a menor que b” a > b : “a mayor que b”

El siguiente acápite es de mucha importancia para las desigualdades e inecuaciones Recta Numérica Real: Es la forma geométrica que permite ordenas los números reales. Existe una correspondencia bunivoca entre R y la recta.

a

+ 0

b

 Orden : a  0  b Pr opiedades   Densidad : c  R / a  c  b a,b  R DEFINICIONES: Sea a  R. 1) 2) 3) 4)

0 1 1 8 4

1 2

1

“a” es positivo  a > 0 “a” es negativo  b < 0 a>ba–b>0 a 0 2 < 12  2 – 12 = -10 < 0 5) a  b  a > b  a = b 6) a  x  b  x  a  x  b Ejm:



INTERVALO:

 : Intersección ()  : Unión ()

Es un subconjunto de los números reales que generalmente poseen extremos. R

I

C o ta s S u p e rio re s

C o ta s In fe rio re s In te rv a lo

E x tre m o In fe rio r

E x tr e m o S u p e rio r

CLASIFICACIÓN: IN T E R V A L O A C O TA D O

N O A C O TA D O A B IE R T O CERRADO S E M IA B IE R T O

1) ACOTADOS O FINITOS a. Intervalo Abierto A  a; b  a; b   x  R / a  x  b

a IN F IM O

Álgebra

b SUPREM O

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INFIMO:

Es la mayor cota inferior. Si el ínfimo pertenece al intervalo, se llama MÍNIMO.

SUPREMO:

Es la menor cota superior. Si el supremo pertenece al intervalo, se le llama MÁXIMO.

b. Intervalo Cerrado C   a; b   x  R / a  x  b c a

a c b  c b

M IN IM O

M A X IM O

c. Intervalo Semiabierto:



A  a; b

a

B 

a

b

b

SUPREM O M IN IM O

a; b

M A X IM O IN F IM O

A  a ;    x  R / x  a

2) NO ACOTADOS O INFINITOS

A a

B    ; b   x  R / x  b B b C    ;    R

C

Álgebra

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OPERACIONES CON DESIGUALDADES: Sean: 1) A = -3 ; 2

; B = -1 ; 6

B

-3

-1 2

6

A  B = -3 ; 6 A  B = -1 ; 2 A – B = -3 ; 1 B – A = 2 ; 6 A’ = CA = - ; -3  2 ; + B’ = CB = - ; -3  6 ; + 2)

A={xR/x2x3} B = { x  R / -2  x  3 }

B A

A -2

3

AB=R A  B = {-2; 3} INECUACIONES: Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica.

  e  Desigualdad x 3  2  x 

 Inecuación

y  seny  y  Álgebra

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Conjunto Solución (C.S.) Ejemplos: 1) 2x + 1 > 7 x > 3  C.S. = 3 ; + 2) Sen (x + 1) + 2 > 4  C.S. =  3) x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + … + (x + 100)2 + 3 > 0

 C.S. = R

Punto Crítico En la inecuación: P( x )  0 ó P( x )  0 ó P( x )  0 ó P( x )  0

P(x) : Polinomios Los puntos críticos son las raíces de P(x), es decir: " " es punto crítico  P( x )  0

Ejemplo: P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0  Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2 MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS En la inecuación polinomial a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0 1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1. 2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.

xn

Álgebra

......

+ x3

+ x2

x1

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Si : P(x)  0

ZONA  ó   C.S.  POSITIVA () P(x)  0  Si : P( x )  0 ZONA  ó   C.S.  NEGATIVA () P( x)  0  Ejemplos: Resolver las sgtes. inecuaciones 1) x2 – 5x + 6  0 (x – 2)(x – 3)  0 Puntos críticos: 2 ; 3

+

+

 C.S. = 2; 3

2

3

2) (2 – x)(x + 5) < 0 Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0

+ -5  C.S. = - ; -5  2 ; +

+ 2

INECUACIONES POLINOMIALES 1) INECUACION LINEAL Álgebra

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ax  b  0 ; a  0

RESOLUCIÓN

ax  b  0 ax  b  ( b)  0  ( b)       b

0

ax  b

b a b * Si a  0  x   a Ejemplo: a2x + b < b2x +a Si: 0< a < b  a – b < 0 * Si a  0  x  

Solución:

() ( ) (a  b)(a  b) x  (a  b) (a  b )x  1 x 

1 ab

2) INECUACION CUADRATICA P( x )  ax 2  bx  c  0 ; a  0

Resolución: 1)

  0  TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Donde:  : discriminante  = b2 – 4ac Ejemplos: 1. –4x2 – 4x + 1 < 0  = 0  (2x – 1)2 < 0 Álgebra



C.S. = 

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2)

 3   2

2. (2x – 3)2 > 0



C.S. = R  

3. (-2x + 4)2  0



C.S. = R

4. (-5x + 20)2  0



C.S. = {4}

  0  METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS

Ejemplos: (x – 4)(x – 9) < 0  C.S. = 4 ; 9

1) x2 – 13x + 36 < 0 x  -9 x -4

+

+ 4

2) x2 – 2x – 2  0   = 12 > 0. Hallamos los puntos críticos:

9 x2 – 2x – 2 = 0 2  12 2  1 3

x 

+

+ 1

3

C.S. = - ; 1  3)

1

3

3   1 +

3 ; +

  0  APLICAR LOS TEOREMAS

a) Teorema del Trinomio Positivo Sea: P(x) = ax2 + bx + c ; a  0  < 0  a > 0  P(x) > 0 xR b) Teorema del Trinomio Negativo  < 0  a < 0  P(x) < 0 Álgebra

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xR c)

  0  a > 0  P(x)  0 xR

d)

  0  a < 0  P(x)  0 xR INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Teoremas: x 2n 1  0  x  0 ; n  N x 2n 1  0  x  0 ; n  N

Ejemplos: 1) (x + 1)66173 > 0 (x + 1) > 0 x > -1 C.S. = -1 ; + 2) (x + 2)777. (x + 1)111 < 0 (X + 2)(X + 1) < 0 C.S. = -2 ; -1 3) (x2 + x + 2)30. (x + 1)23. (x – 3)5 > 0 +  0 C.S. = - ; -1  3 ; + 4) (x4 + x2 + x8 + 3)66. (x2 + x + 1) . (x + 1) . (x – 2) < 0 +  2) Transformar la inecuación en una polinomial. TEOREMAS:

Álgebra

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2n 1

x

 

2n 1

x

 2n 1 y 

0  x

 

 x

Ejm: Resolver:

0  

y

 1)  3 ( x  3)  ( 4  x )7  0

5 (x

 ( x  1)( x  3)( 4  x )  0

 ( x  1)( x  3)( x  4)  0 +

+ 4

1

3

C.S. = -3 ; 1  4 ; +

x x x x

   

a a a a

   

Ejemplo: Solución:

x  0a  0x  x  0a  0x  ( x  0  a  0)  ( x ( x  0  a  0)  ( x

a2 a2  0  a  0  x  a2 )  0  a  0  x  a2 )

x 2  4x  5x  1

Resolver: x 2  4x  0 x( x  4 )  0



5x  1  0 x  1/ 5

x  - ; 4  0 ;   C.V.A = Operamos:

1 ; 5 x 2  4x

2

 (5 x  1)2

2

24x – 14x + 1 > 0 (12x – 1) (2x – 1) > 0

1 1  ;   ……….. () 12 2 1 C.S. = C.V.A.  () = 2 ;   x ;

Álgebra

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PROBLEMAS PARA LA CLASE * Sean: A = {x  R / -3 < x  12}

 1 3 x ;  y  2 2

12) Si

B = {x  R / -7 < x  9}

x5  m ; n . Hallar m . n x2

Halle las sgtes. operaciones: 1) A  B : 2) A  B :

1 1  2   3  ; . A qué 3 2   x 

13) Si 

3) B – A :

intervalo pertenece:

4) A’ , B’ : 5) (A  B) ’ : 6) (B – A) ’ 7) 3x2 – x – 4 < 0

14)

8) 3x – 4x + 1  5 9)

x 2  2x  24  4

10)

x 2  16  3

11) Hallar el menor número “M” tal que  x  R, cumpla: 1 + 6x – x2  M

Álgebra

2 x 1 7   3 x3 9

15) x4 – 13x2 + 36 < 0 16)

x 1 x  3  x4 x2

17)

x2  x  1 0 x( x  1)( x  2)

* Resolver las sgtes. Inecuaciones: 2

5  4x 1  2x

18) (x2 + 2x – 3)(3x – 4 – x2)  0

19)

24  2 x  x 2  2 x  3

20)

3

x2 

7x

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PROBLEMAS PARA LA CASA * Resolver: 1) 1 

15  7 x 0 x2

a) - ; 1  1 ; 2 b) - ; 0  2 ; + 13 c) - ; 1   ; + 6 d) 1 ; 3  4 ; + 13 e) - ; 2   ; + 6

4)

4 x2 4   4x 5 x a) b) c) d) e)

3 ; 4 5 ; 6  3 ; 7 6 ; + - ; 0  4 ; 10 N.A.

5) Hallar “A + B”, si x  -1 ; 3 y x3 A B 2 x  x  16 a) 3

2)

13 x  3 7 x3 a) - ; 1  3 ; + 25 b) - ;    3 ; + 6 c) - ; 3/8  2 ; + 25 d) - ;  6 e) N.A.

3)

x 1 2

x 1 a) b) c) d) e)

Álgebra



1 x 1

- ; -1  0 ; + - ; 1  2 ; 5 - ; 1  2 ; 3 - ; 1 2 ; 5 N.A.

176 c) 146

b) -2 d)

189

199 176 e) 90 6) Resolver: 5x + 1 < 6x + 3 < 7x + 9 a) 3 ; 4 c) -5 ; +

b) -2 ; + d) N.A.

7) ¿Qué valores de x mayores que 1/3 satisfacen la 1 2  inecuación: ? x  1 3x  1 a) {x  R / 1/3 < x < 3} b) {x  R / 1 < x < 4} c) {x  R / 2 < x < 4}

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d) {x  R / -1 < x < 3} e) N.A. 8) La desigualdad: 1 1 2   x y xy

se satisface cuando: a) x > y c) x = y e) N.A.

b) x>0, y>0 d) y > x

9) Resolver: x2 + 7x + 12 > 0 a) b) c) d) e)

- ; -8 - ; 1 - ; -4  -3 + - ; 2  3 ; + N.A.

10) Resolver: ( 4 x  8 )( x 2  1)  1 ; x  1 ( x  1) a) x < – 3 b) x < -3/2 c) x = -3/2 d) x = 5 e ) No tiene solución 11) Resolver: x4 + 96x – 144 < 6x3 + 7x2 a) b) c) d) e) Álgebra

12) Al resolver la siguiente inecuación: x2 – 10x + 33 < 0, podemos afirmar que: a) b) c) d) e)

No existe solución real. x < -33 / 10 x > -33 / 10 x>0 x3  x=0  No hay solución

En II:

-x + 3 +x + 1 = x – 2 2< x < 3  6 = x  No hay solución

En III: -x + 3 + x +1 = -x + 2 -1 < x < 2 x = -2  No cumple En IV: -x + 3 – x – 1 = -x + 2 0=x  No cumple.  C.S. = 

Álgebra

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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO | x | a  x   a  x a | x | a  x   ( a  x a)

Ejemplos:

Resolver:

1) |x + 2| > 2x – 3 Solución: x + 2 < -(2x – 3)  x+2>x–3 3x < 1 5>x x < 1/3  x 0  (-x + 3 < 3x – 1 < 5x – 3) x > 3/5  -5x + 3 < 3x – 1  3x – 1 < 5x – 3 -8x < -4  -2x < -2 x > 1/2  x>1 C.S. = 1 ; +   | x | | y | x 2  y 2

Ejemplo: 

|x + 3| < |3x – 4| |x + 3|2 < |3x – 4|2 (x + 3)2 < (3x – 4)2 (x + 3)2 – (3x – 4)2 < 0 (4x – 1)(-2x + 7) < 0 (4x – 1)(2x – 7) > 0 1

7

 C.S.    ; 4  2 ;  

Álgebra

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PROBLEMAS PARA LA CLASE * Resolver los siguientes casos: (Hallar el conjunto solución) 1) |x – 2| = 5 Rpta.: 2) |3x – 5| = -2 Rpta.: 3) |3x – 1| = x Rpta.: 4) |x – 8| = 3 Rpta.: 5) |2x – 3| = 7 Rpta.: 6) |3x – 5| = 2x Rpta.: 7) |6x – 8| = 2 Rpta.: 8) |2x – 9| = x + 2 Rpta.: 9) |x – 8| = 2x Rpta.: 10) |x2 – 5x| = |6| Rpta.:

Álgebra

11)

4x  1  2x 3

Rpta.: 1 12) | 2x  3 |  1

Rpta.: 13) |2x + 1| > 2 Rpta.: 14) |2x – 5| > 3 Rpta.: 15) |x2 – x + 4| < 6 Rpta.: 16) |2x2 + x – 5|  |x2 – 2x – 9| Rpta.: 17) |3x – 1| < |x + 2| Rpta.: 1 18) x  | x |

Rpta.: 19) |x – 4| > -3 Rpta.: 20) |2x – 6| – |x – 2|  |2x – 4| – |x – 3| Rpta.:

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PROBLEMAS PARA LA CASA Hallar el conjunto solución: 1)

2)

3)

4)

|x – 5| = 3 a) {8 ; 2} d) {3 ; 4}

b) {8 ; 0} e) N.A.

|2x – 3| = 5 a) {-4 ; -1} b) {4 ; -1} d) {5 ; -2} e) N.A.

10) |x2 – 4x| < 8 c) {6 ; 1}

c) {3 ; -1}

|5x – 6| = -2 a) {4/5 ; 8/5} b) {4 ; 8/5} d) {4/3 ; 8/3} e) N.A. |2x – 7| = 13 a) {10 ; 3} b) {-3 ; 5} d) {-3 ; 9} e) N.A.

c) {4 ; 9}

c) {10 ; -3}

5)

|6x – 2| = 2x a) {5 ; 9} b) {1 ; 4} c) {1/8 ; 3/4} d) {1/2 ; 1/4} e) {2 ; 4}

6)

|7x – 9| = |x| a) {3/2 ; 9/8} b) {3 ; 8} d) {6 ; 8} e) N.A.

7)

8)

|3x – 1| < 4 a) x  -1 ; 2 c) x  -2 ; 9 e) N.A.

9)

c) {3/2 ; 3}

b) x  -1 ; 5/3 d) x  -1 ; 5

b) x  -3 ; 5 d) x  -9 ; 2

|x + 5| < 2x – 3 a) x  8 ; + c) x  4 ; + e) N.A.

Álgebra

-1 – 2 ; -1 + 2  -2 – 12 ; -2 + 12  -3 ; 4 -3 – 12 ; -3 + 12  N.A.

11) |2x + 5| > 3 a) x  -1 ; 2  2 ; 4 b) x  -2 ; 9  - ; 2 c) x  -1 ;   - ; -4 d) x  1 ; 9  9 ; 2 e) N.A.

12) |2x2 – 3|  4x + 3 a) x  0 ; 3 c) x  -2 ; 3 e) N.A. 13)

b) x  0 ; 4 d) x  -2 ; 4

x 2  4x  5x  1 a) x  -1 ; 1/12  1/12 ; 3 b) x  - ; 9  9 ;  c) x  -2 ; 9  9 ; 12 d) x  - ; 12  12 ; + e) x  - ; 1/12 1/12 ; +

14) |x2 – |x – 2|| = x – 1

|x + 3|  5 a) x  -8 ; 2 c) x  -3 ; 6 e) N.A.

a) b) c) d) e)

b) x  -2 ; 8 d) x  5 ; 9

a) b) c) d) e)

C.S. = {1 ; -1 ; 3} C.S. = {2 ; -3 ; 1} C.S. = {1 ; -2 ; 9} C.S. = {1 ; -1 ; 4} N.A.

15) |3 – |x|| = 2 a) C.S. = {-2 ; 1 ; 3 ; 0} b) C.S. = {-3 ; 2 ; 1} c) C.S. = {-5 ; -1 ; 1 ; 5} d) C.S. = {-2 ; 1 ; 5 ; 9} e) N.A.

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TEMA: LOGARITMOS Los logaritmos son, en realidad, una operación inversa. Sabemos que la operación inversa de la suma, es la resta; de la multiplicación, es la división. De la misma forma, la operación inversa de la potenciación es la logaritmación. Los logaritmos surgen por la necesidad de despejar incógnitas que se encuentran como exponentes. Por ejemplo: 10x = 0,30103. La teoría de logaritmos es una herramienta fundamental para resolver ecuaciones d la forma: ax = b. LOGARITMACION EN R Dada la siguiente expresión:

bx  N

La operación inversa, ósea:

Logb  N  x

(potenciación)

Recibe el nombre de logaritmación. Ejemplos:

   

32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243

 Log3 9 = 2  Log3 27 = 3  Log3 81 = 4  Log3 243 = 5

Podemos decir que siendo 3 la base en todos los caso, el logaritmo de 9 es 2, puesto que 2 es el exponente a que se debe elevar la base 3 para obtener el número 9. Análogamente, en base 3, el logaritmo de 27 es 3, el logaritmo de 81 es 4 y el logaritmo de 243 es 5. LOGARTIMO DE UN NÚMERO REAL Definición: El logaritmo de un número real y positivo real y positivo N, en l base b(b > 0  b  1) es el exponente x al cual hay que elevar la base para obtener el número N, es decir: LogbN  x  b x  N

Donde:

x : resultado (logaritmo) b : base del logaritmo , b > 0  b  1 N : número real y positivo

En general, si se cumple que ab = c, tendremos que b = LogaC. Es decir, que la operación de extraer logaritmos, también llamada logaritmación, es una operación inversa de la potenciación, ya que mientras en la potenciación se trataba de

Álgebra

24

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

encontrar un número llamado potencia, conocidas la base y el exponente, en la logaritmación se trata de hallar el exponente, conocidas la base y la potencia. De lo expuesto anteriormente, deducimos que cualquier número positivo diferente de la unidad puede utilizarse como base del sistema de logaritmos. Por consiguiente el número de logaritmos es infinito. Pero en la práctica, son dos los sistemas de logaritmos más utilizados: el sistema de logaritmos vulgares, cuya base es 10. Este sistema fue descubierto por el matemático ingles Henry Briggs. El otro sistema es el sistema de logaritmos naturales o neperianos, descubierto por el matemático escocés John Neper, cuya base es el número irracional e = 2,7182…… NOTAS: * Cuando se emplean logaritmos vulgares se acostumbra omitir el subíndice 10. Así por ejemplo, tendremos que si: 10° = 1, escribiremos 101 = 10, escribiremos 102 = 100, escribiremos 103 = 1000, “ 106 = 1000000, “

log1 = 0 Log10 = 1 Log1010 = 1 Log100 = 2 Log10100 = 2 Log1000 = 3 Log101000 = 3 Log1000000 = 6 Log101000000 = 6

* Cuando se emplean logaritmos neperianos, la notación será la siguiente:

L nN  loge N 

Ejemplos:  Ln e = logee = 1  Ln 8 = loge8  Ln x = logex

Se lee: Logaritmo neperiano del número N, se sobreentiende que la base es el número irracional e.

Ejercicios: 1. Calcule “x” en: Ln x = 2 Solución: x = e2 2. Calcule “x” en: Log2(x2 + 7x) = 3 Solución:

Álgebra

x2 + 7x = 23

25

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

x2 + 7x – 8 = 0 x 8 x -1 (x + 8) (x – 1) = 0 x = -8  x = 1 IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS LOGARITMOS De la definición de logaritmos, se desprende que: blogb N  N

N>0;b>0b1

Ejemplos:   

6log63 = 3 7log75 = 5 eln4 = 4

Ejercicio: Efectuar:

4log25 + 27log34

Solución:

(22)log25 + (33)log34 = (2log25)2 + (3log34)3 = (5)2 + (4)3 = 84

A continuación veremos las propiedades de los logaritmos que cumplen para cualquier sistema de logaritmos. PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS 1)

Logb 1  0

Logbb  1

Ejemplos: . Log51 = 0 ; log81 = 0 , Ln1 = 0 . Log44 = 1 ; lne = 1 , Ln(e + 3)(e + 3) = 1 2)

logb A  B  logb A  logb B

Ejemplos: . log335 = log35 + log37 . log24 = log23 + log22 = log224 A logb  logb A  logb B 3) B

Álgebra

26

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Ejemplos:

5 = log25 – log23 3 . log25 = log210 – log22 . log2

4) logb A n  n logb A Ejemplos: . log381 = log334 = 4log33 = 4 . log2512 = log229 = 9log22 = 9 1 1 . log5 3 5 = log551/3 = log55 = 3 3 NOTA:

n  logn ,n 1 b A  (logb A ) ; n  Z Por lo tanto, deducimos que: logbAn  logn b A

Ejemplos: . log32 7  (log2 7)3  (log2 7)(log2 7)(log2 7) . (log2 5 4  4 log2 5 5)

logb n A 

1 logb A n

n  2 ; n  Z+

Ejemplos:

1 1 log4 4  5 5 1 3 . log7 2  log7 Z 3 5 . log4 4 

6)

logb A  logb n A n  logn b n A

COROLARIO: Ejemplos:

Álgebra

logb m A n 

; n  Z+

n logb A ; m, n  Z+ m

27

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

3 6 . log3 3 9  log 3 3  3 (9)  log3 3  6

4 . log16 256  log4 16 256  log2 4  2 8 8 9 . log29 2  log2 2  9 9

7) Propiedad del Cambio de Base

logb A 

logx A log x b

;x>0x1

Ejemplos: . log3 7  8)

log2 7 log7 7  log2 3 log7 3

logB A  logD B  logE D  logE A

COROLARIO: logB A 

1 log A B

A> 0 A 1

B>0B1 Ejemplos: . log27 . log52 . log35 . log73 = log77 = 1 . log38 . log85 . log59 = log39 = Z 1 . log53 = log3 5 1 . log27 = log7 2 9)

alogb c  c logb a

a  0a 1 c  0c 1

Ejemplos: . 3log25 = 5log23

. 6log45 = 5log45 COLOGARITMO. Se define el cologaritmo de un número N positivo en una base dada “b” positiva y diferente de la unidad, como el logaritmo de la inversa de dicho número en esa misma base.

Álgebra

28

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Co logb N  logb

1   logb N N

Ejemplos:

1  log2 16  4 16 1  log3 81  4 . Co log3 81 . Co log2

ANTILOGARITMOS El antilogaritmo de un número real en una base dada es igual al número que resulta de elevar la base al número. anti logb X  b x

Ejemplos: . antilog23 = 23 = 8 . antilog25 = 25 = 32 Propiedades 1) antilogb (logbN) = N ; N > 0  b > 0  b  1 2) logb(antilogbx) = x ; xRb>0b1 Ejemplos: . antilog5(log5log216) = log216 = 4 . log3(antilog3400) = 400 FUNCION LOGARITMO Graficar f(x) = log2x Tabulando para algunos valores: x y

... ...

1/ 8 3

1/ 4 2

1/ 2 1

1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

... ...

Uniendo estos puntos, tenemos:

Álgebra

29

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

y y  lo g

x

2

3 2 1

1 1 4 2

1

-1

2

x

8

4

-2

(x) =

Graficar:

log 1 x 2

Tabulando: x y

... ...

1/ 4 2

1/ 2 1

1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

... ...

y 2 1 -1

2

4

1 4

8 x

-2 -3

Definición:

y  lo g 1 / 2 x

Una función logaritmo se define como el conjunto de pares ordenados (x ; y) / y = logbX, donde: x > 0  b > 0  b  1 Dom  = R+  Rom  = R Es decir: f = { (x ; y) / f(x) = logbX ; x > 0  b  1}

Álgebra

30

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Veamos dos casos: A) Primer caso f(x) = logbx ; x > 0  b > 1 y y  lo g

b

x

y  lo g b x

2

y  lo g b x 1

(1 ;0 )

Del grafico:

x1

x

x2

Si : logb x 2  logb x1  x 2  x1

B) Segundo caso f(x) = logbx ; x > 0  0 < b < 1 y

y  lo g b x x1

x2

(1 ;0 )

Del grafico:

y  lo g b x

1

y  lo g b x

2

x

Si : logb x1  logb x 2  x1  x 2

DESIGUALDADES LOGARITMICAS logb x1  logb x 2  b  1  x1  x 2  0

Si:

logb x1  logb x 2  0  b  1  0  x1  x 2 Si: Ejemplos: . log2x > log25  x > 5 log 1 x  log 1 2  0  x  2 . 3

3

Además: * Si: b > 1, entonces se cumple:

Álgebra

31

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

. logb x    x  b  . logb x    0  x  b Ejemplos: Log2x > 2  x > 22  x > 4 Log3x < 4  x <  0 < x < 34 *

Si: 0 < b < 1, entonces se cumple: . logb x    0  x  b . logb x    x  b Ejemplos:  1   2

2

log 1 x  2  x   2

0x

 1   3

log 1 x  3  x   3

3

1 4

 x  27

log 1 ( x  3)  2 4

 1   4

x3  0 x3  

2

x  3  x  3  16 x   3   x  19  3  x 19

Álgebra

32

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE Calcular “x” ecuaciones:

en

1) Log17x = 1 Rpta.: 2)

Log x 8 

3 7

Log x 125 

Log3 Log6

13) Log2

3 2

3

1 x

6

x 1

Rpta.: 6)

Log9

3

3

3 x

Rpta.: 7)

Log x 3  2 Rpta.:

8)

Log2 ( x  1)  3 Rpta.:

9)

Log2

2

x 4

2

)0

3

( x  2)  1

Rpta.: 2 14) xLog x ( x  2)  7 Rpta.:

15) 9Log9 ( x Rpta.:

2  5)

 31

16) 4  6Loga 6  2  x loga 6  1296 Rpta.: 17) Resolver: Log3(7 – x) > 0 Rpta.: 18) Resolver: Log16(log4(2 – x2)) < 0 Rpta.: 19) Resolver: 24x – 5(22x) + 6 = 0 Rpta.: 20) Resolver: co log x 0,5  log8 x 2  co log2 x 0,25

Rpta.: 10) Log 2

3 (x

Rpta.:

Rpta.: 5)

11) Log2

9 12) Log2 3 2  x

Rpta.: 4)

siguientes

Rpta.:

Rpta.: 3)

las

( x  2)  0 3

8

Rpta.:

Rpta.:

Álgebra

33

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CASA Calcular “x” en las siguientes ecuaciones:

 x logx 3 - log32  log   2

1)

Logx125 = 3 a) 5 b) 4 d) 2 e) 1

c) 3

2)

Log2(x – 3) = 3 a) 9 b) 11 d) 8 e) 1

c) 10

3)

b) 5 e) N.A.

 a b log  2   log ab

c) 6

Log5(x2 – 2x + 1) a) 1 b) 2 d) 3 e) 5

c) 4

Log2(x – 4x + 4) a) 2 b) {3 ; 1} d) {5 ; 7} e) N.A

6)

Resolver: log3|3 – 4x| > 2 a) 3 ; +

b) - ;

c) - ; 

3   3 ; + 2

e) 0

a)

b) b4 e) 0

Simplificar: P 

a) 6 d) 9 (alog ca2 +

a) 1

Álgebra

b) y

c) -1

x log x

y x

x

log y x

log x y  log y x c) 2

x

b)

19 3

c)

e) 7

29 19

13) Resolver: logx + 1(5x + 19) = 2

c) b3

b) 2 e) N.A

30 17

d) 3/2

Si: logalogab – logaloga c = 1 calcular: logalogbN - logalogcN a) 3 d) 0

9)

d) 1

c) 2

12) Si logxyx = 4. Calcular: log xy 5 y

3  2

Si: logba = 4. Hallar: b4logcb2) logbc4 a) 40b4 d) b

8)

b)

3

c) {2 ; 5}

d) - ; -3  3 ; 2 e) N.A. 7)

1 2

a) 3

2

5)

2

a) 4 b) 115 c) 6 d) 7 e) 8 11) Si: a = xlogy ; b = ylogx reducir:

Log2 2 ( x  5)  0 a) 4 d) 9

4)

d) x e) xy 10) Resolver:

y

b) 7 e) 10

c) 8

14) Resolver: log 22 x  6 | log 2 x | 16  0 a) b) c) d) e)

- ; 28 0 ; 2– 8  28 ; + 0 ; 3  4 ; + - ; 1  2 ; + N.A.

15) Resolver: log16(log4(2 – x2)) < 0 a) -1 ; 1 c) -2 ; 1

b) 0 ; 1 d) 1 ; 2 

34

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

e) 0 ;

Álgebra

Cuarto Año

2

35

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Cuarto Año

TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES Conceptos Previos: PAR ORDENADO: Se define así:



(a ; b)  { {a} ; {a ; b} }

(3 ; 5) = { {3} ; {3 ; 5} } (5 ; 3) = { {5} ; {5 ; 3} } (3 ; 5)  (5 ; 3)

Además: (a; b)  (c; d)  a  c  b  d

Ejm:

(3 ; a) = (b ; 4)  b=3a=4

Observación: (a ; a) = { {a} }

PRODUCTO CARTESIANO A  B  { (a ; b ) / a  A  b  B }

Ejemplo:

A = {1 ; 2} B = {a ; b ; c}

A x B = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c) } B x A = { (a ; 1) ; (a ; 2) ; (b ; 1) ; (b ; 2) ; (c ; 1) ; (c ; 2) } AxBBxA

Álgebra

36

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

DIAGRAMA DE VENN:

AxB

A 1 2

B a b c

PROPIEDADES: 1) A x B = B x A  A = B 2) A x B =   A    B   3) n(A x B) = n(A) x n(B) Donde: Ejm:

n(A) = cardinal de A (# de elementos) n(A) = 2 n(B) = 3 n (A x B) = 6

RELACIONES Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A x B. Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) } Entonces: R1 = { (1 ; 2) } R2 = { (x ; y) / x  y ; x  A , y  B } = { (2 ; 2) } R3 =  FUNCIÓN Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función F de A en B (f = A  B) es un conjunto de pares ordenados tal que todos los elementos de A debe tener un único elemento en B.

Álgebra

37

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Ejemplo:

f

A

B S i e s f u n c ió n

f

A

B S i e s f u n c ió n

f

A

B N o e s fu n c ió n

Definición Formal Sea f : A  B una función, entonces se cumple: x  A, !

y  B /( x ; y )  f

Condición de existencia Si : ( x ; y )  f  ( x ; Z )  f  y  Z

Ejemplo: Sea f = { (2 ; x – y) ; (3 ; x + y) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) } una función. Halle: 2x – y Solución:

x–y=3x+y=4  2x = 7

x

Álgebra

7 2



y

1 2

 2x  y 

13 2

38

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

f x  y 

2

3

x  y

3

4

Entonces se cumple: NOTA:

f  R  A B

. Toda función es una relación . No toda relación es una función

NOTACIÓN:

f:

B

A 

DOIMINIO

P R E IM A G E N

IM A G E N

A

B RANG O

D O M IN IO O C O N JU N TO D E P A R T ID A

C O N JU N TO D E LLEG AD A O RANG O

Observación: Algunos matemáticos consideran:

E s f u n c ió n

Álgebra

39

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

E s a p lic a c ió n E l d o m in io e s ta fo rm a d o p o r to d o s lo s e le m e n to s d e l c o n ju n t o d e p a r t id a FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Son aquellas funciones cuyo dominio y rango es un subconjunto de R. Ejemplo: f = 0 ; 1  R f: R R DOMINIO: Dom(f) = { x / (x ; y)  f } RANGO: Ran(f) = { y / (x ; y)  f } REGLA DE CORRESPONDENCIA Es aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango. Ejemplo: f

A

1

2

2

9

3

28

4

65

B

y  f( x )

y = x3 + 1

V a r ia b le in d e p e n d ie n te V a r ia b le d e p e n d ie n t e

f = { (x ; y) / x  A  y  B }

Álgebra

40

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Ejemplo:

Sea: f = { (1 ; 2) , (3 ; 5) , (7 ; 6) , (4 ; 9) } Dom f = {1 ; 3 ; 7 ; 4} Ran f = {2 ; 5 ; 6 ; 9}

Ejemplo:

f

f(5) = 5

2

f(4) = 4

2

f(2) = 22

A

5

4

4

16

2

25

B

Entonces f(x) = x2 ; x  {2 ; 4 ; 5} Grafica de una función real en variable real La grafica de una función “f” es la representación geométrica de los pares ordenaos que pertenecen a la función. Gra(f) = { (x ; y)  R2 / y = f(x) ; x  Domf } Ejemplo: F(x) = x3 Dom f = R

y y  x

3

x

TEOREMA: Sea f : R  R Si toda recta paralela al eje “y” corta a la grafica a lo más en un punto, dicha grafica será la representación de una función. Ejemplo:

Álgebra

41

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

y

y R e c ta

R e c ta x

x

E s f u n c ió n

N o e s fu n c ió n , e s u n a R E L A C IÓ N NOTA: Generalmente una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia. FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN CONSTANTE f( x )  C

Regla de Correspondencia:

f

y

c

Dom f = R Ran f = {c}

c > 0 x

Ejemplo: 1. Graficar: f(x) = 3 , x  R  y=3 Tabulando:

x y

... ...

3 3

y

-4 -3 -2 -1

2 3

1 3

0 3

1 3

2 3

3 3

f

3 1

2

3

4

5

x

2. Graficar: f(x) = -2 ; x  -5 ; 2

Álgebra

42

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

y -5

2

x

-2

y = -2 FUNCIÓN IDENTIDAD f( x )  x

Regla de Correspondencia:

y Y=x Dom f = R

a

Ran f = R

45°

Ejemplo: 1. Graficar f(x) = x ; x  2 ; 5

x

a

y 5 2 2

5

x

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO f( x ) | x | Regla de Correspondencia: Dom f = R ; Ran f = 0 ; + Sea y = |x|, tabulando:

Álgebra

x y

3 3

2 2

1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

43

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

y

-3 -2 -1 FUNCIÓN LINEAL Regla de Correspondencia:

y = |x |

f( x )  mx  b ; m  0

Pendiente de la recta

Dom f = R ; Ran f = R y

m >0 b>0

y f (x )

b

b





x

m >0 b 1 ; x  R

1er CASO: n es PAR y

y  x

6

y  x

4

y  x

2

Ran f = 0 ; + Dom f = R

x

2do CASO: n es IMPAR y y  x

3

y  x

5

Ran f = R Dom f = R

x

Observación:

Sea y = ax2n ; n  N y

a  1

y  x2 0  a  1

x

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Regla de correspondencia:

f( x ) 

x

;x0

Su grafica es la siguiente y se obtiene tabulando:

Álgebra

48

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

y

y 

x

Ran f = 0 ; + Dom f = 0 ; + x

Ejemplo: 1. Obtener la grafica de f( x )  x  2 Solución: La grafica de esta función la obtendremos desplazamiento horizontal, a partir de la grafica original y  x .

y

y 

y

x

x 2. Graficar: f( x )  y

y  x 2

x

2

x6 2 y

y 

y

y 

x x

por

6

x 5 x

y 

x  6  2

2 6

x

Ran f = 2 ; + Dom f = 6 ; +

Álgebra

49

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Halle el dominio de

49  x 2

Rpta.: 2) Halle el dominio de:

1 x2  4

Rpta.:

7) Sea f una función tal que: 2x  1  x  5 . f(2x – 5) = Hallar f(3). Rpta.: 8) Indicar si la grafica es una función.

y

3) Hallar xy, para que el conjunto de pares ordenados representen una función. F = {(2 ; 4) , (3 ; x + y) , (5 ; 6), (3 ; 8) , (2 ; x – y )}

x Rpta.:

Rpta.: 4) Calcular a y b, para la siguiente función de pares ordenados: f = {(2; a -4) , (5; 6), (2; 7), (5; b -2), (3; 9)}

9) Indicar si la siguiente grafica es una función.

y

Rpta.: 5) Hallar el rango de:

x

1 x2  4

Rpta.: 6) Halle la regla de correspondencia de la función, cuyo grafico es: Gr(f) = {(1 ; 2) , (2 ; 5) , (3 ; 10) , (4 ; 17)}

Rpta.: 10) ¿Cuál es el máximo valor que toma la siguiente función: f (x) = -x2 + 10x – 21? Rpta.:

Rpta.:

Álgebra

50

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

11) Encontrar una función lineal f tal que: f(2) = 3 y f(3) = 2f(4) Rpta.: *

Construir la gráfica de las siguientes funciones.

Rpta.: 18) ¿Para que valor de “ab”, la relación binaria: F = {(2;5), (-1; -3), (2; 2a –b), (-1; b - a), (a + b2; a)}

12) f(x) = 2x + 6 Rpta.:

es una función?

13) f(x) = 5x – 10

Rpta.:

Rpta.: 14) Si f(x) = 2x + 6. Hallar la grafica de f(x – 3) Rpta.: 15) ¿A que función corresponde la siguiente grafica?

19) Hallar el dominio de la función: g( x ) 

x 1

6x

Rpta.:

y 20) Hallar la grafica de; y  Rpta.:

x

-2

|x| x

Rpta.: 16) ¿A que función corresponde la siguiente grafica?

y 2 3 Rpta.: 17) ¿Cuál es la f(x) = | x | ?

Álgebra

x grafica

de:

51

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Hallar

36  x 2

el

dominio

a) - ; -6  6 ; + b) - ; 3  4 ; + c) - ; -2  2 ; + d) -6 ; 6 e) N.A. 2) Hallar el domino 1 25  x

x

a) b) c) d) e)

c) 15

a) 0 d) 5 de:

b) 1 e) 6

c) 2 x5 9

7) Grafique: f(x) =

y

b) -3 ; 4 d) -5 ; 5 dominio

9

de:

x

5

a)

b)

 81

4) Hallar

y

el

dominio

y x

c) - 5 de:

2x

a) 2 ; + c) - ; 2 e) -2 ; +

b) - ; 2 d) -2 ; +

5) Los siguientes pares ordenados constituyen una función. R = {(1 ; 2a) , (2 ; 7) , (5 ; 1) ; 81 ; 3a – 5) , (7 ; 9)}. Determine la suma de elementos del rango de dicha función.

Álgebra

b) 27 e) 30

6) Hallar a, si el máximo valor de f(x) = -ax2 + 2ax + a2 + 1, es 7.

- ; 6  6 ; + - ; 1  2 ; + - ; -9  9 ; + - ; 1  2 ; + N.A.

3

a) 37 d) 12

2

a) -5 ; 5 c) -3 ; 2 e) N.A. 3) Hallar el 2

de:

x

9

d)

e) N.A. 8) Determine el dominio de la siguiente función: 3

2

x

a) 0 ; + c) 0 ; 5 e) 0 ; 6

b) 0 ; 4 d) - ; 4

9) De la figura: calcule:

f(1)  f( 4;7 ) f(5 )

52

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

y

a) b) c) d) e)

f 3 2 1

12) Calcule el rango de la siguiente

5

1 a) 2 c) 3 e) N.A.

función: f(x) =

x

Si x  5 ; 8

b) -1 d) 1

10) Encontrar

rango de la x3 = , x  -2 ; x2

5

2;

a)

el

función: f(x)

1 ; 2 2

1 ;  7 8  ; 7 8 c) 7 ;   8 ;  7

7

8

b)

7 2

b)

c) 4 ;  

d)

  ; 4

13) Del grafico, calcule (a + b), si “f” representa una función valor absoluto.

y d)

12 b

f

a

;1

11) Indicar si la siguiente grafica es una función:

y

a) 0 d) 9

x

b) 3 e) 12

x c) 6

14) Calcular el mínimo valor de la función: f(x) = x2 + 6x + 1 a) -8 d) -5

b) 9 e) 8

c) -6

15) Si x  -5 ; 4, calcule el rango de la función: f(x) = x2 + 4x + 7 a) 12 ; 39

Álgebra

2 . x4

e) 2 ; 4

a)

e)

Si es función No es función No se sabe Faltan datos N.A.

b) 2 , 11

53

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

c) 3 ; 39 e) 12 ; 36

Álgebra

Cuarto Año

d) 12 ; 39

54

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: LIMITES El concepto de límite es un hecho fundamental en la matemática moderna y es la base sobre la que se sustentan otras ideas como la derivada. Durante el siglo XVII, los matemáticos dedicados al estudio de las derivadas e integrales se vieron obligados a trabajar con procesos infinitos que no entendían bien. Estos problemas tardarían dos siglos en ser resueltas. INTRODUCCION A LOS LÍMITES  Recordemos que dada una función y = f (x), para cada valor de “x” existe su respectiva imagen f(x) llamada también “valor de la función f en x”. Veamos * Siendo: y = f(x) Para x = x1 su imagen es f(x1) x = x2 su imagen es f(x2) x = x3 su imagen es f(x3) Gráficamente: y

f( x 3

)

f( x 2

)

y  f( x )

f( x 1 ) *

x

Siendo: f(x) = x + 2 , x  0 ;1 + Para

Gráficamente

x=1 x=2 x=3

x

2

x

x

3

su imagen es f(1) = 3 su imagen es f(2) = 4 su imagen es f(3) = 5 y 5  f(3 ) 4  f( 2 )

f( x )  x  2

3  f(1 )

x

1 2 particular 3 A continuación consideremos 0un valor del dominio, por ejemplo x = a (x = 2). Cogiendo otros valores distintos de “a” (distintos de 2), pero cercamos al el, intentaremos una aproximación a “a” (aproximación a 2):

Álgebra

55

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

y f( x ' ) 1 f( x ' )

y  f( x )

2

f( x f( x

L 2

)

1

)

x1 x 2a x 2

x1

x3

Debemos observar que cuando x se va aproximando a “a” (tanto por la izquierda como por la derecha), las respectivas imágenes se van aproximando a “L” (tanto por abajo como por arriba).

y 5 4 ,5 4 3 ,5 3

0

f( x )  x  2

1

1 ,5 2 2 ,5 3

x

En este caso observamos que cuando x se va aproximando a 2 (tanto por la izquierda como por la derecha), las respectivas imágenes se van aproximando a 4 (tanto por abajo como por arriba). Para una mayor comprobación, en el caso de f (x) = x + 2, intentemos la aproximación a x = 2, con valores mucho mas cercanos a el. x

1,999

1,9999

1,99999

2

2,00001

2,0001

2,001

f( x )  x  2

3,999

3,9999

3,99999

4

4,00001

4,0001

4,001

Esto lo podemos resumir diciendo:

Álgebra

56

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Cuando x  2 (se lee: “x tiende a 2”) Se tiene que f(x)  4 (se lee: “f(x) tiende a 4”) Asimismo, se sintetiza con la siguiente notación:

lim

x2

Se lee: “Límite de f(x) cuando x tiende a 2 es igual a 4”

f( x )  4

Ahora, veamos otro ejemplo para comprender mejor el concepto de límite. Consideremos una función real de variable real: x2  1 f( x )  ;x 1 x 1 ¿Qué sucede si x toma valores muy cercanos a 1? Para ello, si multiplicamos la expresión inicial, obteniéndose en forma equivalente: f(x) = x + 1 ; x  1 Dándole un enfoque geométrico: y

f( x ) 2

1

x

x

( V a lo r e s p o r la iz q u ie r d a ) ( V a lo r e s p o r la d e r e c h a ) Se observa que a medida que x se acerca a 1, y asea por la izquierda o por la derecha, entonces f(x) se acerca a 2; es decir, si x tiende a 1, entonces f (x) tiende a 2. Simbolizando:

lim f( x )  2

x 1 O en forma equivalente:

lim ( x  1)  2 x 1 Álgebra

57

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Para obtener el valor limite 2, se ha reemplazado en la expresión f (x) = x + 1, el valor de 1 para x, así. lim

f( x )  lim ( x  1)  f(1)  (1)  1  2

x 1 IDEA DE LÍMITE

x 1

Siendo y = f(x) una función, diremos que si x  a implica f(x)  L. Entonces:

y y  f( x )

lim f( x )  L xa

L

x 0 a NOTA: Debemos tener en cuanta que “a” no necesariamente pertenece al Dominio de f. Ejemplo:

lim

y

f(x) = x2

f( x )  lim ( x 2 )  9

x 3

9

x 3

f(x )  x

2

x 0 3 Toda aproximación de x a 3 conduce a que f(x) se aproxime a 9 Ejemplo 2:

g( x ) 

x3  3x 2 x3

lim g( x )  lim  x 3  3 x 2  9 x  3  x  3  x3

Toda aproximación de x a 3 conduce a que g(x) se aproxime a 9.

y 9

0 Álgebra

g( x ) 

3

x3  x2  x2 x3

x

58

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

DEFINICION DE LÍMITE El número L se llama límite de la función real de una variable real f, en el punto X0 (x0 no pertenece necesariamente al dominio de f), si para cada  > 0, es posible hallar un valor positivo  (delta) que depende de  (épsilon), tal que: x  Domf  0 | x  x 0 |  | f( x )  L | 

Se dice que L es el límite de f(x) , cuando x tiende a x0 y se escribe como: lim f( x )  L

xx0

Interpretación Geométrica:

y L + e

f

f( x )

L L - e

( x 0  ) x 0 x ( x 0  ) TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE

x

Sea una función real de una variable real y x0 no pertenece a Domf. lim f( x )  L1  lim f( x )  L 2  L1  L 2

xx0

x x0

LIMITES LATERALES Consideremos la siguiente función:

Álgebra

59

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

y

L2

y  f( x )

L1

x Podemos notar que: * Cuando nos aproximamos a “a” por la izquierda, el límite es L1. * Cuando nos aproximamos a “a” por la derecha, el límite es L2. Limite por la derecha Se dice que L es el límite lateral de f (x) cuando x tiende hacia “a” por la derecha y se denota por: lim f( x )  lim

x a 

x a

f( x )  L 2  L1  L 2

( x a)

Geométricamente:

y f( x )

L a Ejemplo:

Álgebra

Calcular:

x

x

lim |x|  x0 x

60

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Solución:

Si x  0+  x > 0 Como x > 0  |x| = x Reemplazando:

lim lim lim 1 |x| x   1   x0 x  0 x x  0 x Limite por la izquierda Se dice que M es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia “a” por la izquierda y se denota por: lim

x a 

f( x )  lim

x a

f( x )  M

( x a)

Geométricamente:

y M f( x )

x

a

x

TEOREMA: El limite de f existe y es único, cuando x tiende al valor de a“, si y solo si existen los limites laterales y además son iguales: lim

x a

f( x )  L 

lim

x a 

f( x )  L  lim

x a 

f( x )

Ejemplo:

Álgebra

61

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Calcular:

lim | x | x0 x

Solución: Ya vimos que: Además: Es decir:

lim |x| 1 x  0 x lim |x|  1 x  0 x

lim | x |  x  0 x



lim |x| x  0 x

lim |x|  x  0 x y 1

f( x ) 

|x | x x

-1

Álgebra

62

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEOREMAS SOBRE LÍMITES Sean f y g funciones tales que: f( x )  L

lim

x a

lim

y

x a

g( x )  M

Entonces: 1) 2)

lim

x a

, constante

cf( x )   C

lim

x a

f( x )   cL 

lim x  a

3)

x a

4)

x a

5)

x a

6)

CC

lim

x a





lim f( x )  g( x )  lim f( x )  lim g( x )  L  M



x a



x a

lim f( x )  g( x )  lim f( x )  lim g( x )  L  M lim

x a

1 g( x )



x a

x a

1 1  , Si M  0 lim g( x ) M x  a

7)

8) 9)

lim

x a

lim

x a

f( x ) g( x )



 f( x )  n

lim n f( x )  n

x a

lim f( x )

x a

lim g( x )

x a



L , Si M  0 M

 lim f(nx )  Ln x a

lim f( x )  n L ; donde:

x a

L  0  n  Z+ L < 0  n es IMPAR

Álgebra

63

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Ejemplo 1: lim

Encuentre el valor de: Solución: lim

x 3

2)

x 3

2x 4

2x 4 = 2 lim 2x 4 x 3

….

……. (Por el Teorema

x )4 = 2 ( xlim 3

….

……. (Por el Teorema

7)

= 2(3)4 

lim

x 3

……………… (Por el Teorema 3)

2x 4 = 162

Ejemplo: Encuentre el valor de:

lim

x4

x2  9 x

Solución:

lim

x4

x2  9 x

x2  9

lim

x 4

=

lim x

lim x 2  9



x4

4

x4

=

1 4

=

1 4

lim x 2  lim 9





x4

lim x  x4 

x4

2

9 

1 4

42  9 

5 4

FORMAS DETERMINADAS E INDETERMINADAS 

Formas Determinadas Cuando su calculo puede ser posible directa (reemplace directo) o indirectamente (mediante transformaciones); entre ellos tenemos, (consideremos: a = constante no nula)

Álgebra

64

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

lim

x 0

lim

x 0

lim

x 

lim

También:

x 

lim

x 0

a x x a a x x a x y

 0 0  0

 0 0

(no esta definida o no existe)

 

y 0

y 



a 0 0 a a   a x lim x  y

Formas Indeterminadas Se dice de aquellas expresiones que para un valor de su(s) variable(s) adoptan cualquier valor, o en todo caso no es posible hacer su cálculo. Entre las cuales tenemos:

0  ; ; 0   ;    ; 1 ; 00 0 

Estudio de las formas indeterminadas de la forma:

f( x )

0 0

0 , es preciso g( x ) 0 transformarla para “levantar la indeterminación”; es decir, simplificar al factor que hace indeterminada a la expresión. En este caso habría que encontrar el factor (x – a). Si la fracción:

para x = a, toma la forma

-

Para ello se utilizan criterios de factorización o racionalización, según se requiere el ocaso, para encontrar al factor (x – a) que es el que hace indeterminada la expresión.

-

Seguidamente se simplifica el factor (x – a).

Álgebra

Se evalúa la expresión resultante para x = a.

65

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

0 , se repten los procedimientos anteriores 0 hasta lograr una forma determinada.

-

Si persiste la forma

Ejemplo 1: lim

Calcular L =

x 0

 x 3  2x 2     3x 4  8x 2   

Solución:

00 0  ; y se tiene una indeterminación. 00 0 Analizando la expresión podemos factorizar x2 en el numerador y denominador. Sustituyendo x por 0 se obtiene

L  lim

x 0

L

x 2  ( x  2) 2

2

x (3 x  8 )

 lim

x 0

x2 3x 2  8

; evaluando para x = 0

02 1  08 4

Ejemplo 2: Hallar L  lim

x 0

x 1 x 1

Solución: 1 1 0  ; 1 1 0 indeterminación. Transformando el denominador:

Sustituyendo

Álgebra

x

por

1

obtenemos

y

se

tiene

una

66

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

L  lim

x 1

L

1 x 1

Álgebra

x 1 ( x  1)( x  1)



 lim

x 1

1 x 1

;

evaluando

para

x

=

1 2

67

1

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE Calcule los siguientes límites: 7) 1)

lim (5 x  6)

x 2



x  1   4 x  1   3

lim 

x 1

Rpta.:

Rpta.:

2)

8)

 x2  9   lim  x 3  x  3   

3)

x  1

x

2



 x 1

9)

Rpta.:

4)

 x3  1   x 1  x  1    lim

lim

x  5

10)

lim

x 4

Rpta.:

Álgebra



x  1  x  1 

4

lim 

x 1

 

 

lim

x 1

 

4

x  1  x 1  

Rpta.:



x5  



 25  x 2 

11)

Rpta.:

6)

x  1 

Rpta.:

Rpta.:

5)

2  x  3  2x   1  5  4x  

Rpta.:

Rpta.:

lim



lim

lim

x 1

x3  1 x2  1

Rpta.:  x  x  2    x  4  

3

12)

lim

x 1

x 1 x 1

Rpta.:

68

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

13)

lim

x 0

x 4

1  2x  1

17)

Rpta.: 14)

lim

x 0

lim

x  3

x 3

1 x  1

18)

lim

x  25

Rpta.:

Álgebra

x2  4

lim

x  1

x 2  7 x  10 x 2  25

Rpta.: x 2  2x  3 x 2  7 x  12

19)

Rpta.: 16)

x  2

x3  8

Rpta.:

Rpta.:

15)

lim

lim

x  a

x 2  ax  2a2 x 2  a2

Rpta.: x5 x  25

20)

lim

x  a

x3  3x  2 x3  4x  3

Rpta.:

69

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CASA Calcule los siguientes límites: 1)

9)

lim (3 x  6)

x 3

2)

 x 2  49     x7   

lim

x 7

10)

x  2

a) 9 4)

( x 2  3 x  5)

lim

 x3 

x  3



lim

x  2

a) 13

 9  x2 

6) N.A. 7)

lim

x 1

x  2

b) 3/2 c) 2/3 d) 3/7 e) 7

x 8

lim

3

x  64

lim

x 3

x3  8 x2

a) -9 e) N.A.

c) 0

d) 3

e) 4

a lim f( x )  b . Hallar b

x 4

b) -8

c) -7

d) -6

13) Sabiendo que:



a

e) -5



b

x 2  4x  3 x 2  6x  7

a) -22 b) -23 c) -24 d) -20 e) 21

2

 x  2x  3

x 2  5x  6

14)

x2  x  2

x3

x 9





x3 2





a) 672 b) 600 c) 172 d) 345 e) 729 

15)

1 1    5  h 5   h

lim



h0







2

x  4x  3

2

 x 3  5 x 2  49 x  245   

lim

x 7



 

1 12

lim  x 3

a) 1/3 b) 1/2 c) 1/8 d) 1/7 e) -1/2

Álgebra

x 4

b) 1

existe:

a) 1/3 b) 1/2 c) -1/6 d) 1/7 e) 1 8)

e) 1

2  1  x  x2  x3 x 1 1 x

a) -1/4 b) 2/7 c) 1/8 d) -1/2 e)

lim

d) 0

lim

a) 2

c) 1/3 d) 1/8 e) 1/7

b) 11 c) 12 d) 10

c) -1

12) siendo “f” una función definida por: a 5x f(x) = sabiendo que 1 5  x



a) 1/6 b) ½ 5)

11)

b) 12 c) 13 d) 15 e) 10

lim

b) -2

a) 3

a) 13 b) 14 c) 15 d) 19 e) 20 3)

x 3

a) -3

a) 15 b) 12 c) 13 d) 14 e) 19

x 3  6 x 2  12x  8 ( x  2)

lim

a) 1/12 d) 1/16



b) 1/15 e) N.A.

c) 1/25

70

Cuarto Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: DERIVADAS Si y = f(x), es natural que al cambiar x también cambie y. vamos a ocuparnos ahora de tratar de medir de alguna manera la relación entre estos cambios. Esta idea será sumamente fructífera ya que muchos problemas físicos, técnicos o geométricos, requieren analizar la relación entre las variaciones de dos magnitudes. Vamos a citar dos de los casos más conocidos y simples: LA VELOCIDAD Si S es la posición de un objeto sobre una trayectoria rectilínea, entonces S depende de t. la relación entre S y t es la velocidad:

Vmedia 

S( t  t )  S( t ) t

S( t ) S( t  t ) t t '  t Ya sabemos que la velocidad V(t) en un instante t esta dada por:

Veamos el siguiente esquema:

V( t )  lim

t 0

S( t  t )  S( t ) t

Se trata de una relación entre el cambio de S y el cambio de t. LA PENDIENTE DE UNA CURVA Como ya vimos anteriormente, la pendiente de la recta tangente a una curva sirve para definir la “pendiente de la curva” en un punto, digamos P. tomemos un punto Q sobre la grafica y consideremos la recta secante que pasa por P y Q. la pendiente de esta recta esta dad por: y

m( x ) 

f( x )  f(a ) cambio de ordenada  xa cambio de abscisa

f( x )

f(a )

Q P a

x

x

Ahora, se hace tender Q hacia P, entonces f (x) – f(a) y x – a tienden a cero y se define la pendiente de la recta tangente a la curva en P como:

Álgebra

71

Cuarto Año

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m  lim

f( x )  f(a )

x a

xa

Aquí aparece otra vez una relación entre el cambio de ordenadas y el de abscisas. LA DERIVADA EN UN PUNTO DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a un número x. La derivada de f en x, se denota por f(x) y se define por:

f( x  h)  f( x ) x a h

f(' x )  lim

Si este límite existe y es finito. En este caso diremos que la función f es diferenciable (derivable) en x. Observaciones:

' ' . En la definición de f( x ) , x puede representar un número concreto ( f( x ) es

también un número concreto) o un elemento cualquiera del domino de f (en ' este caso, f( x ) queda expresado en términos de x). En cualquier caso, la variable en el proceso de límite es h, y para los efectos del cálculo del límite, se toma como una constante a x. Ejemplo 1: ' Sea f(x) = 13x – 6. Encuentre f( 4 ) Solución:

f('4 )  lim

f( 4  h)  f( 4 )

h h0 13h  lim  lim 13  13 h 0 h h 0 h 0

f('4 )

 lim

13(4  h)  6  13(4)  6 h

Ejemplo 2: ' Si f(x) = 3x2 + 5x + 4, hallar f( x ) Solución:

Álgebra

72

Cuarto Año

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f(' x )  lim

h0

 lim

f( x  h)  f( x ) h

3(x  h)

h0

2

 

 5( x  h)  4  3 x 2  5 x  4 h



 lim

3 x 2  6 xh  3h2  5 x  5h  4  3 x 2  5 x  4h h

 lim

3h2  6 xh  5h  lim (3h  6 x  5)  6 x  5 h h 0

h0

h0

'  f( x ) = 6x + 5

Ejemplo 3: ' Si f(x) = 3x2 + 5x + 4, hallar f( 2) Solución:

f(1 h)  f( e ) h 0 h

f('2)  lim

3(2  h)2  5(2  h)  4  26 h 0 h

 lim

12  12h  3h2  10  5h  4  25 h 0 h

 lim

3h2  17h  lim (3h  17 )  17 h 0 h h 0

 lim '

 f( 2) = 17 Nótese que tanto en el ejemplo 2 como en el 3, utilizamos la misma función ' (f(x) = 3x2 + 5x + 4). Si reemplazamos x = 2 en f( x ) = 6x + 5 (ver ejemplo 2), ' obtenemos f( 2) = 17, lo cual confirma la respuesta en el ejemplo anterior. '

Obsérvese la ventaja de calcular f( x ) como función de un x arbitrario, pues si se tiene una expresión que permite calcular la derivada en cualquier número en que ella existe. A tal función se le llama función derivada.

Álgebra

73

Cuarto Año

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Otras notaciones para la derivada A lo largo de la historia se han utilizado diferentes notaciones para la derivada, las cuales, en mayor o menor grado y en dependencia de la aplicación de que se trate, se siguen utilizando en la actualidad. Si y = f|x|, la derivada se puede denotar como:



 df( x ) 

 y'   Lagrange  f '( x ) 

 Dx f(x) 

  dx  Leibnitz dy    dx 

 Cauchy

 Dx y 

Interpretación Geométrica y Física de la derivada Volviendo a nuestros problemas iniciales, es obvio que en ambos casos los límites planteados son derivadas. Vamos a formalizarlo:

y m  f (' x )

f( x )

 

x

x

f(' x ) : pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto (x ; f (x))

Si S = S(t) es una magnitud física que depende del tiempo t entonces S (' t ) 

ds dt

es la velocidad con que cambia S en el instante t.

DERIVADAS LATERALES Como la derivada es un limite h tiende a cero, la misma se puede calcular por un solo lado, lo cual en muchas problemas es necesario por diversas razones.

f' ( x )  lim h0

Álgebra

f( x  h)  f( x )



h

(Derivada lateral derecha)

74

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f( x h)  f( x ) h h 0 

f' ( x )  lim

(Derivada lateral izquierda)

Como en los demás limites, solo en el caso en que ambas derivadas laterales existan y sean iguales, la función será derivable en el número analizado. Ejemplo: ¿Es derivable en 1, la función f(x) = |x – 1|? Solución:

y

0 *

f' ( x )  lim

*

x

1

| 1  h  1 | 0 h h0

 lim

h |h| h lim  lim  lim 1  1  h  h h0 h0 h0 

h0

=

f( x  h)  f( x )

f





 f1(1)  1

f(1 h)  f(1) | 1  h  1 | 0  lim   h h h0 h 0 |h| h lim  lim  lim  1  1 h 0  h h 0  h h 0  =  f1(1)  1

f' (1)  lim

' ' Como f (1) y f (1) son diferentes, entonces f no es derivable en 1.

Álgebra

75

Cuarto Año

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CÁLCULO DE DERIVADAS En lugar de aplicar en cada problema de derivación la definición de derivada, es preferible deducir un conjunto de reglas generales que permitan hallar las derivadas de una gran cantidad de funciones. Por ejemplo, si f y g son funciones derivadas, entonces hallaremos mediante estas reglas la derivada de otras funciones como f + g ; f – g ; 2f + g ; f . g ; f / g , etc. Derivada de algunas funciones elementales TEOREMA: ' 1) Sea C una constante, si f(x) = c, entonces f( x )  0 , x  R ' 2) Si f(x) = x, entonces f( x )  1 , x  R ' 3) Sea n N , si f(x) = xn, entonces f( x ) = nxn – 1 ,  x  R

Ejemplos:

-

' Si f(x) = 3  f( x ) = 0 ,  x  R ' Si f(x) = x2  f( x ) = 2x ,  x  R ' Si f(x) = x5  f( x ) = 5x4 ,  x  R

ÁLGEBRA DE DERIVADAS TEOREMA Supongamos que f y g son derivables y que C es una constante. Luego: ' ' ' 1) f y g es derivable y ( f  g)( x )  f( x )  g( x ) ' ' ' 2) f – g es derivable y ( f  g)( x )  f( x )  g( x ) ' ' 3) c . f es derivable y (cf )( x )  cf( x ) ' ' ' 4) f . g es derivable y ( f  g)( x )  f( x )g( x )  f( x )g( x ) ' f(' x )g( x )  f( x )g(' x )  f     ; tal que g(x)  0 5) f/g es derivable y  g  (x) 2   (x) g Ejemplos:

 

Hallar la derivada de cada una de las funciones siguiente:

Álgebra

76

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f(x) = 3x4 f(x) = 3x4 + 2x f(x) = 4x3 – 3x2 + x + 2 f(x) = (x2 + 3x + 1) (x2 – 9x) x 2  3x  1 e) f(x) = x 2  9x a) b) c) d)

Solución: a)

f(' x )  3  4 x 3  12x 3

b)

f(' x )  (3 x 4 )'( 2x )'  12 x 3  2

c)

f(' x )  ( 4 x 3 )'(3 x 2 )'( x )'( 2)'

= 12x 2  6 x  1

d)

e)

f(' x )  ( x 2  3 x  1)' ( x 2  9 x )  ( x 2  3 x  1)( x 2  9 x )'

= (2x  3)( x 2  9 x )  ( x 2  3 x  1)( x 2  9)' ( x 2  3 x  1)' ( x 2  9 x )  ( x 2  3 x  1)( x 2  9 x ) f(' x )  ' ( x 2  9 x )2 

( 2x  3)( x 2  9 x )  ( x 2  3 x  1)(2x  9) ( x 2  9 x )2



 12 x 2  2x  9 ( x 2  9 x )2

LA REGLA DE LA CADENA Cuando una variable “y” depende de una variable independiente “x” en una forma muy complicada, es conveniente considerarla como una función compuesta de dos o mas funciones. Por ejemplo: Si: y = (3x2 + x – 5)4 Entonces podemos considerar: y = 4, donde  = 3x2 + x – 5 Esto a veces se representa esquemáticamente como una “cadena” de variables, lo cual da nombre a la regla que veremos mas adelante: yx

Álgebra

77

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Y podemos leer: y depende de  ;  depende de x. Las cadenas pueden aun ser más largas. 3   3x  2  2  y      5   x3    

Por ejemplo:

Puede escribirse como:

3x  2 es decir, y    z  x x3 Aunque parezca increíble, las funciones compuestas son muy fáciles de derivar, pues se rigen por la regla siguiente: y = 3 , donde  = z2 + 5 y z =

TEOREMA: Si f y g son derivables y: y = f(), donde  = g(x) y    x dy dy d    f(l )  gl( x ) dx d dx

Entonces: Ejemplo:

Hallar la derivada de la función f(x) = (3x2 + x – 5)4 Solución. Sea y = f(x), luego podemos escribir: y = 4, donde  = 3x2 + x – 5 dy dy dy d d  4 3 y    6 x  1, como d dx d dx dx Entonces:

dy = 43 . (6x + 1) dx

= 4 (3x2 + x – 5)3 . (6x + 1)

COROLARIO: Suponga que g es una función derivable y que n  Z





l n 1 n  gl( x ) Si f( x )  g( x ) , entonces f( x )  n[g( x ) ]

Álgebra

78

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DETERMINACION DE MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES A) Criterio de la primera derivada l 1. Resolver la ecuación f( x )  0 para calcular los valores críticos. 2. Representar estos valores críticos sobre el eje de las abscisas de un sistema coordenado, estableciendo un cierto número de intervalo. l 3. Determinar el signo de f( x ) en cada uno de los intervalos anteriores. 4. Para cada uno de los valores críticos x0: l f(x) tiene un máximo f(x0) si f( x ) pasa de + a – l f(x) tiene un mínimo f(x0) si f( x ) pasa de – a + l f(x) no tiene un máximo ni un mínimo en el punto f (x0) , si f( x ) no cambia de signo

B) Criterio de la segunda derivada l 1. Resolver f( x ) = 0 para calcular los valores críticos. 2. Para cada uno de los valores críticos x0: ´'' f(x) tiene un máximo f(x0) si f( x 0 ) < 0 ´'' f(x) tiene un mínimo f(x0) si f( x 0 ) > 0 ´' '

Si f( x 0 ) = 0 ó se hace infinito; no se puede afirmar nada. En este último caso hay que recurrir al criterio de la primera derivada. Ejemplo 1: Hallar el máximo y el mínimo de: f(x) = 1  6 x  l Solución: f( x )  6 

3 2 x 0 2

1 3 x 2

 x  2

Como solo hay 2 valores (puntos) críticos, entonces podemos reemplazar en la función cada uno de estos valores y el mayor valor que tome f será el máximo, y el menor, el mínimo de la función.

Álgebra

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1 ( 2)3  9 2 1 f( 2)  1  6( 2)  ( 2)3  7 2  fmax  9 ; fmin  7

 f( 2)  1  6(2) 

Ejemplo 2: Un jardín de 20m 2 de área debe cercarse. Hallar las dimensiones que requieren la menor cantidad de cerca, si uno de los lados del jardín es colindante a una pared. Solución:

Del enunciado: xy = 200  y 

200 ………. (1) x

Hallamos la longitud del cerco (L) L = 2x + y …………………… (2) (1) en (2): L = 2x +  Lmin, si

200 x

dL 0 dx

dL 200  2  0  x 2  100  x  10 2 dx x Reemplazando en (1): y = 20  Las dimensiones son: 10 y 20 metros

Álgebra

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Cuarto Año

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PROBLEMAS PARA LA CLASE Hallar la derivada de cada una de las siguientes expresiones: 1) f(x) = x3 2) g(x) = 6x5 1 3 3) h(x) = x 3 3 4) g(x) = 4 x

15) Sea f(x) =

la x 2  2ax  b

determinar a  x2 ' a y b, sabiendo que f( 2)  0 y f(1) = 2

16) Sea f(x) =

17) Si

8) y = (x + 1) (x – 1) 9) y = (3x6 – 1)7 1 10) h(x) =  2x  3 11) y =

12) y =

13) y = 14) y =

Álgebra

x 1 x2 2x 2  1 x2  3

x xa

' tal que f(a ) 

5) y = 6x2 – 3x + 1 6) y = 3x3 – 2x + 6x4 1 7) y = 5x  3 x

función

f(x)

1

a2 =

determinar “a” ;a0 a2  x 2 a2  x 2

' (a = constante). Hallar f( 2a )

18) Hallar los valores máximos y mínimos de la función: f(x) = x3 – 3x + 7 19) Si un número y el cuadrado de otro suman 192. hallarlos para que su producto sea máximo. 20) Hallar dos números reales cuya diferencia es 40 y su producto sea mínimo.

2 5 x  3x 2  8x  5 5

1 5 35 2 32 x  x  8x 2  1 3 3

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PROBLEMAS PARA LA CASA Hallar la derivada de cada una de las siguientes expresiones: 1) y = x9 a) x8 c) 9x8

b) 9x7 d) x3

2) y = -3x3 a) -9x c) 8x e) -9

b) -9x2 d) 7x

7) y =

a)

d) 2x + 7

1  5x  2 5

b)

( 5 x  2)2 5

( 5 x  2)2

1/2

3) y = -2x

a) –x3/2 c) 8x2 e) N.A.

c) 2x – 7 e) 3x – 7

b) 3x1/2 d) –x –1/2

c)

1

d)

(5 x  2)2 5

4) y = 3x2 – 5x + 2 a) 6x – 3x + 2 c) 6X – 5 e) N.A.

( 5 x  2 )2 b) 6x – 5x d) 3x – 5

5) y = 9x3 – 6x1/2 + 7x3/7 a) b) c) d) e)

27x2 – 3x–1/2 + 3x–4/7 27x3 – 3x2 + 3x 27x2 – 3x3 + 2 -27x2 + 3x–1/2 – 3x–4/7 N.A.

6) y = (x – 3) (x – 4) a) 3x + 9

Álgebra

e) N.A.

8) y =

a)

c)

x3 2x  4 7 2( x  2) 6 ( x  2)

2

2

b)

d)

6 ( x  2)2 7 ( x  2)2

b) 2x + 9

82

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d) (x – 2) (3x2 – 6x – 1) –3/2 e) N.A.

e) N.A.

9) y =

3 83 1 55 x  x 3 8 2

la función: f(x) =

a) x5/3 – x1/5 + 2 b) x3/5 – x2/5

1 –3/5 x 5 d) x5/3 – x3/5 e) N.A.

a) 1 c) 3 e) 5

10) y = (2x5 – 9)3 3(2x5 – 9) (x4) 3(2x5 – 9)2 (10x4) (2x5 – 9) (10x3) 3(2x5 – 9) (x) N.A.

11) y = (3x4 + x2)6 a) b) c) d) e)

6(3x3 + x) (12x3 + 2x) 7(3x2 + x3)5 (6x3 + 3x2) 6(3x4 + x2)3 (12x3 + 3x2) 6(3x4 + x2)5 (12x3 + 2x) N.A.

12) Si: f(3x

– 1)

=

3x 2  6x  1

a) (x – 1) (3x2 – 6x – 1) –1/2 b) (x – 2) (3x2 – 6x – 1) c) (x – 1) (2x2 – 6x – 1) 1/2

b) 2 d) 4

14) Encuentre el máximo y mínimo de: f = 2x3 – 6x + 5 a) 1 ; 9 c) 1 ; 8

b) 1 ; 3 d) 2 ; 9

15) Hallar dos números cuya suma sea igual a k (k es constante) y cuyo producto sea máximo.} a) –k ; 2k

b)

k k ; 2 2

c) 2k ; 3k

d)

1 2 k; k 2 3

hallar f’(3x – 1)

Álgebra

bx  1 , sea x2

-1 para x = 5

c) x5/3 –

a) b) c) d) e)

13) Hallar b, tal que la derivada de

e)

1 4 k ; k 5 5

83

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Álgebra

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MISCELÁNEAS 1) Efectuar:  27



2) Efectuar: P

n 2

2

n 4

2

2

10) Si:

3) Hallar ”x”: 6

2

6

x2 x2 

n 6

2n  2  2n  4  2n  6

xx 

2

1

9) Si:  x   x  Calcular:

( 27 )6

3

x4  x4 6

ab 4  ab ab

2

a 2  3b 2 a  5a  3b b

Hallar: M 

4) Hallar: (3x)x Si: 8x – 8x – 1 = 14

11) Transformar:

5

5) Resolver:

12) Transformar:

9  2 14

1632

x 2

x 2  22



1    27  

7) Hallar “x”: 8) Si: x 

1 x

6

 81    16 

 

12

x

6

2 Hallar: x 

Álgebra

13) Efectuar: 32 

N

6) Calcular:

24

50 

200 

0,25

98

72

14) Hallar: P 

3

24 

3

24  3 24  .....

x

15) Racionalizar: 2 3 7 2 5 3 4 2

1 x2

85