• Author / Uploaded
• Henrry Miguel MEZA ALVAREZ

Citation preview

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

ÁLGEBRA El Álgebra, es una rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del Álgebra son:

Suma

(+)

Resta

(-)

Multiplicación ( x )

Álgebra

División

()

Potencias

()

Raíces

()

1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

HISTORIA La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia. La palabra árabe al-ŷabr que significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra. En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio

Abu

Kamil

enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen:

x + y + z = 10,

Álgebra

x2 + y2 = z2,

2

y.x.z = y2.

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA

1. Escribe dos ejemplos de operaciones con su respectiva solución, para cada operación del Álgebra.

2. ¿En qué pueblos y en qué época el hombre inició su conocimiento algebraico?

3. Investiga sobre el sistema de numeración egipcio.

4. Investiga y anota brevemente, ¿Quiénes fueron los Siete Sabios de Grecia?

Álgebra

3

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

NÚMEROS ENTEROS

Introducción Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representarán cantidades positivas o negativas. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos que aprendieron de los hindúes, que los utilizaban para representar pérdidas en las negociaciones comerciales. En la Matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica.

POSITIVOS QUE NO ALCANZAN El conjunto de los números naturales:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . } nos permite contar lo que tenemos, lo que queremos, lo que necesitamos o lo que damos.

Para expresar con cifras un conjunto vacío, es decir, identificar que no había nada, no quedaba nada o no faltaba nada, creó el 0 (cero), y formó así otro conjunto numérico, el de los números cardinales:

No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . }

Álgebra

4

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

Con el conjunto de los números Naturales, el hombre solucionó sus problemas, pero, luego se le presentaron nuevas situaciones; así por ejemplo:

Pedro y Pablo juegan a las canicas, luego de algún tiempo, Pedro ha ganado 5 canicas, entonces decimos que Pedro tiene: ………… canicas. Pablo perdió las 3 canicas que tenía, pero siguió jugando y volvió a perder 2 canicas más. Ahora Pablo le debe 2 canicas a Pedro, entonces decimos que tiene: …………. Canicas.

Las cantidades que posee o que gana una persona se consideran positivas, y las cantidades que debe, gasta o paga se consideran negativas.

Para expresar cantidades positivas se utilizan los números naturales con el signo más (+). Para expresar cantidades negativas se utilizan los números naturales con el signo menos (-).

Álgebra

5

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) El conjunto de los Números Enteros, que en adelante lo representaremos por Z, está conformado por los números negativos, el cero y los números positivos.

Representación: Sobre una línea recta, ubiquemos un punto de referencia (origen) al que le hacemos corresponder el número cero. A partir del cero, ubicamos puntos hacia la derecha y hacia la izquierda haciendo corresponder a cada uno los números positivos y negativos respectivamente.

NEGATIVOS

CERO

POSITIVOS

“Los números en Z aumentan de izquierda a derecha”. 

Representa los siguientes números enteros en la recta numérica: -5 , +4 , -2 , +2 , 0 , -1 , +3 , +5 , -6

NEGATIVOS

Álgebra

CERO

6

POSITIVOS

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA 1.

¿Cuál es el número que separa los números positivos de los negativos?

2.

Menciona tres ejemplos de la vida cotidiana, en donde se haga uso de los números negativos.

3.

Representa los siguientes números enteros en la recta numérica: -8 , -6 , -2, +2 , +5

NNEGATIVOS

4.

POSITIVOS

Representa los siguientes números enteros en la recta numérica: -1 , -4 , -2 , +2 , +1 , -6

NNEGATIVOS

5.

CERO

CERO

POSITIVOS

Representa los siguientes números enteros en la recta numérica: -8 , -10 , -7 , +2 , +8 , +9

NNEGATIVOS

Álgebra

CERO

7

POSITIVOS

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo: El opuesto de -6 es +6 El opuesto de +3 es -3 El opuesto de -24 es ………. El opuesto de +50 es ………... El opuesto de -12 es ………. El opuesto de +40 es ………... El opuesto de -127 es ………..

RELACIÓN DE ORDEN EN Z

Z

es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha. Ejemplos:  Ordenaremos de menor a mayor -3, +4, -5 y +5.

Los números ordenados son: ………………………………………….  Ordenaremos de mayor a menor -4, +3, -6, 0 y +5.

Los números ordenados son: ………………………………………….

RECUERDA:    

Todo número entero positivo es mayor que 0. Todo número entero positivo es mayor que cualquier número ……….. ………… Todo número entero negativo es menor que 0. Todo número entero negativo es menor que cualquier número ……….. …………

Álgebra

8

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA 1. ¿Cuál es el número opuesto a -32?

2. ¿Cuál es el número opuesto a +71?

3. Escribe el opuesto de los siguientes números: El opuesto de -124 es …………… El opuesto de +307 es …………… El opuesto de -510 es ……...……. El opuesto de +64 es …………....

4. Utilizando la recta numérica, ordena de mayor a menor, los siguientes grupos de números: a) +2, -8, 0, -3, +5, -5 y +6 b) +10, -9, +7, -5, +1, -4 y +8 c) +4, -6, -1, 0, -9 y +3

5. Ordena de menor a mayor, los siguientes grupos de números: a) +9, -8, +7, -6, +5, -4, +3, -2, +1 b) +9, +7, -13, -15, -5, +4, 0, +3 c) -12, -9, +10, -6, -1, +6, -15, +2

6. Responde a las siguientes preguntas: a) Si 23 grados sobre cero son representados por +23ºC. ¿Cómo se representa 12º bajo cero?

b) Si 12 pasos al frente se representa por +12. ¿Cómo se representa 24 pasos para atrás?

Álgebra

9

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Pedro ganó 5 soles, luego ganó 4 soles más, ¿Cuánto dinero tiene en total? Pedro ganó 5 soles lo representamos por: ( +5 ), luego, ganó 4 soles, lo representamos por: ( +4 ) Total:

( +5 ) + ( +4 ) =

…………

Ricardo perdió en el parque 6 soles, luego volvió a perder 3 soles, ¿Cuánto tiene Ricardo en total? Ricardo pedió 6 soles, lo representamos por: ( -6 ) Luego, perdió 3 soles, lo representamos por: ( -3 ) Total:

( -6 ) + ( -3 ) =

…………

Regla: Para sumar dos números enteros que tengan el mismo signo, se suman los valores de los números (los números sin su signo), y al resultado se le antepone el signo común.

Ejemplos: (+4) + (+9) = (+12) + (+7) = (-8) + (-10) = (-2) + (-5) = (+3) + (+7) = (+10) + (+18) = (-12) + (-5) = (-8) + (-6) =

Para sumar dos números enteros que tengan diferente signo, se restan el mayor valor menos el menor valor (los números sin su signo), y al resultado se le antepone el signo del número que tenía mayor valor.

Álgebra

10

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

Ejemplos: (+4) + (-10) = (-6) + (+5) = (+6) + (-8) = (-7) + (+3) = (+8) + (-11) = (-8) + (+10) = La suma de un número y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).

Ejemplos: (-4) + (+4) = (+5) + (-5) = (-9) + (+9) = (+50) + (-50) =

Álgebra

11

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA 1.

Calcula: a) (+5) + (+7) = b) (-6) + (-2) = c) (+10) + (+7) = d) (-8) + (-5) = e) (-11) + (-12) = f) (-4) + (-2) = g) (+8) + (+7) =

2.

Calcular: a) (-5) + (+3) = b) (-6) + (+2) = c) (-4) + (+7) = d) (+10) + (-5) = e) (-8) + (+12) = f) (-4) + (-15) = g) (+8) + (-6) = h) (-17) + (+17) = i) (+57) + (-57) = j) (-124) + (+124) =

3.

Representa en la recta numérica y halla el resultado de: a) (-6) + (+3) =

0 b) (+4) + (-9) =

0 c) (-5) + (-6) =

0

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Álgebra

12

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

Para calcular la diferencia de dos números enteros, se debe sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.

a – b = a +( -b) Ejemplos: (+4) – (-3) = (+4) + (+3) = …………… (-2) – (+5) = (-2) + (-5) = …………… (-7) – (-6) = (-7) + (+6) = …………… (+10) – (+6) = (+10) + (-6) = …………… (-12) – (-10) = (-12) + (+10) = ……………

Escritura simplificada: Otra manera de trabajar los números enteros es reduciendo los signos, para lo cual tendremos en cuenta lo siguiente: -

Un número entero sin signo que lo preceda, se considerará un entero POSITIVO. Ejemplos: 253 = +23 17 = ………. 287 = ……….

-

Si se tiene un entero entre paréntesis y un signo positivo lo precede, el paréntesis se puede eliminar y el entero seguirá con su mismo signo. Ejemplos: + (-32) = -32 + (+18) = ………. + (-208) = ……….

-

Si se tiene un entero entre paréntesis y un signo negativo lo precede, el paréntesis se puede eliminar, pero, se invertirá el signo del entero, si es negativo se le pondrá signo positivo, y si es positivo, se le pondrá signo negativo. Ejemplos: - (-25) = +25 - (+23) = ………. - (-142) = ……….

Ejercicios Álgebra

13

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

Desarrollar las siguientes operaciones con números enteros, utilizando la escritura simplificada: (+4) + (-6) = 4 – 6 = ______ (-10) + (-5) = -10 – 5 = ______ (+5) - (-8) = ________________ (-10) - (+9) = ________________ (+7) - (+3) = ________________ (-8) - (+10) = ________________ (+2) - (-7) = ________________ (+6) - (-7) = ________________ (-20) + (-8) = ________________ (+7) + (-14) = ________________

Álgebra

14

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA 1. Calcular: a) -5 + 2 = b) -10 + 5 = c) -9 + 10 = d) -4 – 12 = e) +15 - 7 = f) +30 - 40 = g) -6 + 25 = h) -14 + 15 = i) -42 – 8 = j) +7 - 30 = 2. Calcular: a) (-10) - (+6) = b) (-12) - (+8) = c) (-14) – (-4) = d) (+6) – (-6) = e) (-24) – (+5) = f) (+4) – (+5) = g) (-12) – (+15) = h) (+8) - (+15) = 3. Restar: a) (-12) de (-10)

=

b) (+15) de (-6)

=

c) (+25) de (-30)

=

d) (-14) de (-10)

=

e) (+8) de (-7)

=

Álgebra

(-10) - (-12) =

15

-10 + 12

=

…………

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros tendremos en cuenta dos casos:

1º Caso.- Cuando los dos factores tengan igual signo, es decir, los dos son positivos o los dos son negativos, entonces, el producto tendrá signo positivo. Ejemplos: (+3) . (+5) = (+2) . (+7) = (+9) . (+5) = (-5) . (-7) = (-6) . (-8) = (-3) . (-12) = (-10) . (+7) =

Regla de Signos

(+) . (+) = (+) (-) . (-) = (+)

2º Caso.- Cuando un factor es positivo y el otro negativo, el producto tiene signo negativo. Ejemplos: (-3) . (+4) = (+7) . (-2) = (- 5) . (+6) = (-8) . (+1) = (+4) . (-6) = (-8) . (+4) = (+6) . (-7) =

Recuerda:

Álgebra

Regla de Signos

(-) . (+) = (-) (+) . (-) = (-)

Si los dos factores tienen

Igual signo

Diferente signo

El producto es positivo

El producto es negativo

(+) . (+) = + (- ) . (- ) = +

(+) . (- ) = (- ) . (+) = -

16

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

EJERCICIOS PARA LA 1. Calcula: a) (+2) . (+9) = b) (-5) . (-2) = c) (-7) . (+3) = d) (+8) . (-4) = e) (-2) . (+12) = f) (+5) . (-8) = g) (+7) . (-10) = h) (-4) . (-6) = i) (+3) . (-9) = j) (-9) . (+6) = k) (-6) . (-3) = l) (-12) . (+10) = m) (-6) . (-20) = n) (-12) . (-3) =

Álgebra

17

4to Grado de Primaria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

POTENCIACIÓN MULTIPLICACIÓN

POTENCIACIÓN

4 x 4 x 4 = 43 = 64 5 x 5 x 5 = 53 = 125 3 x 3 = 32 = 9

4 x 4 x 4 = 64 5 x 5 x 5 = 125 3x3=9

¡Sabias que ........ Una potencia está formada por el producto de factores iguales, donde el factor que se repite se llama base, elevado a un exponente que indica el número de veces que se repite el factor.

Términos de una Potencia:

Exponente

2 3 = 2 x 2 x 2 = 8  Potencia Base

En:

xn = b

x (..........................) : ___________________________________________ n (..........................) : ___________________________________________ b (..........................) : ___________________________________________

Álgebra

18

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

Ejemplos:

32 = 9

43 = 64

Se lee: 3 elevado al cuadrado.

Se lee: 4 elevado al cubo.

Ejemplos: a) 34 = ………………………………… = ……………  Se lee: ……………………. b) 25 = ………………………………… = ……………  Se lee: …………………….. c) 62 = ………………………………… = ……………  Se lee: …………………….

Álgebra

19

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Convierte las siguientes multiplicaciones a potencia: 3 x 3 x 3 = _33____ = ___27_ 5x5

= ______ = _______

6 x 6 x 6 = ______ = _______ 4x4

= ______ = _______

2 x 2 x 2 = ______ = _______ 8x8

= ______ = _______

2.- Observa y completa el cuadro: Multiplicación Potencia Base

4x4

42

Exponente

4

Se lee

Cuatro elevado al

2

cuadrado

3x3x3

16 27

23

Dos elevado al cubo

5x5

5

Cinco elevado al

2

cuadrado

82

64

3.- Escribe “V” o “F” según convenga: a) 3 x 3 x 3 = 33 (

)

b) 42 = 4 + 4 = 8 (

)

c) 5 x 5 x 5 = 53

(

)

d) 8 x 8 = 26

(

)

e) 36 = 62 f) 125 = 53

( (

) )

Álgebra

Valor

20

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO g) 102 = 100

(

)

h) 82 = 16

(

)

4to Grado de Primaria

4.- Completa las siguientes tablas: 2

Elevado al

Álgebra

3

Elevado al

1

12

1

1

13

1

2

22

4

2

23

8

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

21

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

Casos especiales de la potenciación a) Exponente 0 (cero): Un número elevado al exponente cero (0) es igual a uno (1).

b0 = 1

;

b 0

Ejemplos: a) 80 = ……… b) 270 = ……. c) 9270 = …….

b) Exponente 1 (uno): Un número natural elevado al exponente uno (1) es el mismo número natural.

b1 = b Ejemplos: a) 61

=

b) 31

=

c) 201

=

d) 8001

=

e) 10001 =

Álgebra

22

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Expresa como potencia: a) 2.2.2.2 = ………. b) 7.7.7 = ……….. c) 9. 9. 9. 9 = ………. d) x . x . x . x = ………. e) 10.10.10.10.10.10.10 = ……….

2) Hallar: a. 59°

=

………….

b. 693°

=

………….

c. (97 x 63)° =

………….

d. 91

=

………….

e. 171

=

………….

f. 2051

=

………….

a) 32 x 23

=

………….

b) 53 x 21

=

………….

c) 53 x 9°

=

………….

d) 71 x 24

=

………….

e) 450 x 231 =

………….

3) Hallar el resultado:

Álgebra

23

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

4) Completa el cuadro según convenga: Exponentes 2

2 9 7 5 10

3

4 729 5

5) Resuelve las potencias, luego compara de acuerdo a la condición. Coloca un aspa donde corresponda: Mayor que

13 =

23 = 8

x

62 =

91 =

102 =

43 = 53 = 73 =

¡Sabias que ... El exponente indica las veces que se repite la base como factor: 64

Álgebra

24

82 = 8 x 8 =

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

PROBLEMAS PARA LA

1) Efectúa: a) 72 = b) 25 = c) 34 = d) 245° = e) (9 x 8)° = f) 451 x 28° = g) 23 x 31 x 7° = h) x . x . x . y . y = i) 8. 8. 8. 8 = j) 10. 10. 10. 10. 10 = k) 23 . 51 = l) 130 . 181 =

2) Completa el cuadro: 3° Base Exponente Potencia

Álgebra

25

25

19

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

3) Completa: N 1

n° 1

n1

n2

n3

9

125

n4

2 100

4) Relaciona las potencias con sus resultados: a. 23 x 6



b. 4 x 32



4 9

c. 52 x 22 

10 0

e. 7 x 29°  2

3 6

5) Une con una flecha según convenga:

Álgebra

252

2 500

102

625

83

512

502

100

26

4 8

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

Ejemplo: 16

= 4 porque 42 = 16

25

= 5 porque 52 = 25

Radicando Índice

2

x a

Signo radical

Álgebra

;

Porque x = a2

Raíz

27

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA CLASE 1) 52 = _____________ porque

= ________________

2) 32 = _____________ porque

= ________________

3) 72 = _____________ porque

= ________________

4) 92 = _____________ porque

= ________________

 Calcula y completa: 5) 5 al cuadrado es igual a _____ la raíz cuadrada de ______ es _______ 

52 = _________

= ___________

6) 7 al cuadrado es igual a ____ la raíz cuadrada de _______ es _______ 72 = ___________ 

= ____________

7) 10 al cuadrado es igual a ______ la raíz cuadrada de _______ es _____ 102 = ___________ 

= ____________

* Halla la raíz cuadrada de: 8)

25

=

9)

49

=

10)

36

=

* Halla el resultado de las siguientes operaciones 11)

16

-

9

+

12)

25

.

9

– 10 =

13)

36

.(

4

+ 1) =

1

=

9 - 120 =

14)

36



15)

100

100 x 22 – 80 =

9

EJERCICIOS PARA LA

Álgebra

28

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

 Halla la raíz cuadrada de: 1)

36

=

5)

64

=

2)

16

=

6)

4

=

3)

1

=

4)

25

=

7) 8)

81

49

=

=

 Efectúa y halla el resultado: 1)

+ 36 = a) 3 b) 8 c) 7 d) 9 e) 11

2) 5(

64

a) b) c) d) e) 3)

49

a) b) c) d) e)

Álgebra

100

121 =

a) b) c) d) e) 6)

)–6= 34 36 40 4 6

144 -

a) b) c) d) e) 4) (

5) 52 -

25

14 25 17 20 11

x 10 - 18 = 12 18 10 30 N.A.

9

a) b) c) d) e) 7)

=

4 3 2 5 N.A.

25

–

a) b) c) d) e)

+ 270) 22 = 1 2 3 4 5

8)

36

a) b) c) d) e)

29

16

=

3 4 6 1 5 .

4 .

12 24 36 72 144

9

=

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

LEYES DE EXPONENTES 1)

Multiplicación de bases iguales Observa los ejemplos: a) 22 x 23 = (2 . 2) . (2 . 2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = b) 33 x 34 = (3 . 3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = c) 45 x 4 = (4 . 4 . 4 . 4 . 4) . (4) = 4 . 4 . 4 . 4 . 4. 4 = d) 82 x 83 x 84 = (8 . 8) . (8 . 8 . 8) . (8 . 8 . 8 . 8) = 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 = De los ejemplos anteriores podemos ver que cuando tengamos una multiplicación de dos o más potencias que tengan bases iguales, podemos simplificar a una sola potencia con la base común, y como exponente se colocará la suma de los exponentes dados.

am. an = _____

Ejemplos:

22. 23 = _________________ 67. 62 = _________________ 52. 54 = _________________ 96. 95 = _________________ 2012. 2035 = _________________

2)

División de bases iguales Observa los ejemplos: a) 24  23 = (2 . 2 . 2 . 2) = (2 . 2 . 2) 5 4 b) 3  3 = (3 . 3 . 3 . 3 . 3) = (3 . 3 . 3 . 3) 5 2 c) 4  4 = (4 . 4 . 4 . 4 . 4) = (4 . 4) 6 2 d) 8  8 = (8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 ) = (8 . 8)

Álgebra

30

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

De los ejemplos anteriores podemos ver que cuando tengamos una división de dos potencias que tengan bases iguales, la potencia resultante tendrá la base común, y el exponente se obtendrá restando los exponentes dados.

 a≠ 0

Ejemplos: 28  23 = _________________ 34  3 = _________________ 67  62 = _________________ 59  54 = _________________ 46  45 = _________________ 1210  125 = _________________

3)

Exponente nulo Si en un caso resulta que m = n entonces tendríamos: am  a m n  a 0  1 n a Por lo tanto:

a0 = 1 Ejemplos: a) 230 = b) 120 = c) 50 = d) (12 x 81)0 = e) (9 + 5 x 8  2)0 =

Álgebra

31

 a≠ 0

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 4)

4to Grado de Primaria

Exponente negativo Siguiendo con el ejemplo anterior (3°), si en un caso resulta que m = 0. Tendríamos: 1 a0   a0n  a n n n a a

Por lo tanto:

1  a n an

Álgebra

 a≠ 0

32

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA CLASE 1) Expresa como potencia: a) b) c) d) e)

2.2.2.2.2= 3.3.3= x.x.x.x.x.x = m.m.m.p.p.p = q . q . q . q . ....... q . q = 15 factores

2) Halla la potencia de: a) 43 = b) 34 = c) 26 = 3) Halla la potencia usando la primera ley: a. b. a) b) c) d) e) f) g) h)

23 . 2 2 . 2 = 33 . 3 2 . 3 0 = 4 . 42 . 40 = m2 . p 5 . m 3 . p 3 = x2 . x3 . x = xa . xb = p10  p7 = n4  n3 = z13  z7 = q8  q6 =

a) b) c) d) e)

140 . 3 = (17 . 23)0 = (5m)0= (a . b . c)0 = x3 . x-2 =

4) Efectúa

5) Escriba V si es verdadero y F si es falso: a) b) c) d) e) f)

Álgebra

210 . 2 = 211 53 . 54 = 512 24 = 8 x4 . x5 = x45 x3 . y2 = (x . y)6 m3 . m = m 4

33

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA 1) Efectúa a)

a5 . a 3 =

b) m4 . m3 . m2 = c) x . x3 . x2 = d) p . p . p = e) z13  z6 = f) c10  c12 = g) q9 : q7 = h) (4m + 5)0 = i) (720  716)0 = j) q2  q 3 = k) m8  m° = 2) Expresa como potencia: a) 2 . 2 . 2 . 2 . ...... . 2 .2 = “b” factores

b)

b.b.b.c.c.c.b.b.c.b=

c) (x . x . x . x) : (x . x . x) = d) 55  (5 . 5 . 5) = e) (3 . 3 . 3)  (4 . 4) = 3) Escribe V o F según corresponda: (Recuerda, para aplicar la regla estudiada las bases deben ser iguales)

Álgebra

a) 23 . 32 = 65 (

)

b) m3 . m5 = m8

(

)

c) q9 : q3 = q3

(

)

d) x10  x5 = x2

(

)

e) x12 : x7 = x5

(

)

34

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se denomina expresión algebraica al conjunto o unión de números y letras, unidos entre sí por cualquiera de las operaciones matemáticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de estas en un número limitado de veces. Ejemplos: 5x

;

3x2 ;

2x – y

;

4x3y + z

El álgebra emplea CONSTANTES y VARIABLES.  CONSTANTE Es un símbolo que admite un solo valor conocido o ya definido, por ejemplo:

3 ; -7 ; 8 ; 0,5 ; etc.  VARIABLE Es un símbolo que admite cualquier valor, dependiendo de la expresión de la que forma parte. Ejemplo: x ; y ; z ; ..... ; etc.  TÉRMINO ALGEBRAICO Es un conjunto de letras y números enlazados entre sí solamente por las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación, o una combinación de éstas en un número limitado de veces. Ejemplos: a) 6x4y5



b) (2x8 + y5)  algebraica

Álgebra

Es un término algebraico. No es un término algebraico, es una expresión formada por dos términos algebraicos.

35

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

Elementos de un término algebraico

Signo

Exponente

- 12x3 Coeficiente

Parte literal

1° Signo: Puede ser positivo (+) o negativo (-). 2° Coeficiente. Es un número que va junto a la parte literal. Ejemplos:    

3y5 16m9 7x2 x14

   

Coeficiente: 3 Coeficiente: 16 Coeficiente: 7 Coeficiente: 1

3° Parte literal. Es aquella parte formada por todas las letras o variables del término. Ejemplos:   

6m6 8a2b3 23x2y3

 parte literal: “m”  parte literal: “a” y “b”  parte literal: “x” y ‘‘y”

4° Exponente: Son los números escritos en la parte superior derecha de cada letra. Ejemplos:   

Álgebra

20a3 25b12 5x

  

exponente de a : 3 exponente de b : 12 exponente de x : 1

36

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA CLASE 1) En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuántos términos algebraicos hay y cuáles son. a) -3yz + x + zm

……………………….. (

)

b) 11ab + 3ax – by2

……………………….. (

)

c) 52xyz - m2 + 5y3 – zmx

……………………….. (

)

d) 3y + xy + 2x2 - mxy – 8m

……………………….. (

)

e) 15x2 + 6bx + c - 2my2 – 8xz – 9a

……………………….. (

)

f) 8xy + 3yz – 5xz - z3 + 4yz2 + z

……………………….. (

)

g) 5x2  y3 – 2x + (2y).(2x) - 8x2y

……………………….. (

)

h) 12  ab2 + 5b2 – 8a3b + 2a2b

……………………….. (

)

i) 5x3 + 2y – zm

……………………….. (

)

j) x2 + 3x3 + 5x4

……………………….. (

)

k) 9 – y

……………………….. (

)

2) Completa el cuadro: Término algebraico

Signo

Coeficiente

-x16 7y5 -12m2 12m-2 -125x5 -87s8

Álgebra

37

Parte literal

Exponente

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA Completa el cuadro

l) Término Algebraico

Signo

Coeficiente

Parte literal

Exponente

3x2 - 8m5 -15z -a7 3a9

2)

En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuántos términos algebraicos hay y cuáles son. a) 10y + x + z

……………………….. (

)

b) 11abx – by2

……………………….. (

)

c) 52xyz + 5y3 – 3mx

……………………….. (

)

d) (3y).(xz) + 2x2 – 8m

……………………….. (

)

e) 15x2 + 6bx – 8xz – 9a

……………………….. (

)

f) 8xy + 3yz – 5xz  z3

……………………….. (

)

g) 5x2  y3 – 2x + (2y).(2x)

……………………….. (

)

h) 12  ab2 + 58a3b + 2a2b

……………………….. (

)

Álgebra

38

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos que tienen iguales letras afectados de iguales exponentes. Por ejemplo: a) -5x8 ; 0,2x8 ; ½ x 8

son términos semejantes

b) 5x2y3 ; 4x3y2

no son términos semejantes

c) _______________ d) _______________ Reducción de términos semejantes Si descubrimos que dos o más términos son semejantes, estos pueden ser reducidos a uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo la misma parte literal. Ejemplos: a) Reducir:

10ab + 7ab = (10 + 7)ab = ______

b) Reducir:

2abc + 5abc = (2 + 5)abc = ______

c) Reducir:

-2m2 + 3m2 = (-2 + 3)m2 = ______

d) Reducir:

8x2 + 4x2 = (8 + 4)x2 = ______

e) Reducir:

5y4 –3y4 = (5 - 3)y4 =

f) Reducir:

-6a4 + 3b2 + 4a2 = (- 6 + 4)a2 + 3b2 =

______

___________________ g) Reducir:

-4m + 6p – 3r – m + p -3r = (-4 - 1)m + (6 + 1)p + (-3 - 3)r =

___________

Cuidado: Al sumar o restar los coeficientes de los términos semejantes, recurrimos a la regla de signos para la suma y resta de números enteros.

Álgebra

39

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 

4to Grado de Primaria

Signos de colección

Recuerda Los principales signos de colección son:

Paréntesis (

)

Corchetes





Llaves





Si estos signos de colección se encuentran unos dentro de otros. Se van eliminando “desde adentro hacia afuera”

Para suprimir signos de colección se procede del siguiente modo: a) Si delante de un signo de colección aparece el signo +, eliminamos tal signo de colección y los signos + o – de los términos interiores no cambian. Ejemplos: a) + (2x – 5x2) = 2x3 – 5x2 b) + (-6x + 2) = -6x + 2 c) + (-x3 – x2 + 4) = __________________ d) + (4x – 8z) = _________________

Álgebra

40

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

b) Si delante de un signo de colección aparece el signo menos (-), eliminamos tal signo de colección, y los signos + o – de los términos interiores cambian. Ejemplo: a) – (-x + 3y – z ) = x – 3y + z b) - (-2x4 + b2 + 7c) = 2x4 - b2 - 7c c) - (-2x4 + b2 + 7c) = 2x4 - b2 - 7c c) - (5a2 – 3b2 + 1) = ________________ d) - (8y - z) = __________________ e) - (-13c4 + 13b2 – 6) = _________________ f) - (-3x + y - z) = __________________

Álgebra

41

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

ACTIVIDADES PROPUESTAS 1) Se tienen los números: (-3) ; (+2) ; (-5) y las variables “x” e “y” Escribe 3 diferentes términos algebraicos con los números y variables dadas. Ejemplo: -3x2 2) Escribir 3 términos semejantes para cada uno de los 5 términos escritos en el caso (1).

3) Luego de efectuar la indicación (2) reducir cada grupo de términos semejantes a uno solo.

4) Reducir las expresiones mostradas a continuación. a. (-5a) + (-9a) = b. 12bc – 7bc -3bc + 9bc = c. (-3m + 4m + 7m – 9m) = d. (2a - 3b) + (6a + 7b) = e. 10ab – (4ab – 3ab) = f. (-4m + 6p – 3r) – (5m + 2p -3r) = g. (2d – 3e + 4f) + (3f + 4d – 2e) = h. 3x2 + (4y – x2) +2y) +5x2

Álgebra

42

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS De acuerdo al número de sus términos, las Expresiones Algebraicas se clasifican en: Monomios y Polinomios. I.

II.

Monomios: Es la E. A. que consta de un sólo término. Ejemplo: 3x ; -7y2 ; xy3 ;

7ab ;

x2yz3

Polinomio: Es la E. A. de dos o más términos. Ejemplo: 4x – 3y 2 T. A.

;

5x2 - 3y + xy ;

3xy + 5y – 3x + 6

3 T. A.

4 T. A.

De acuerdo al número de términos, se utilizan denominaciones especiales para nombrar a los polinomios. Así: a) Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos. Ejemplo: 3x2 – y 8x2y + y 2x + 3 b) Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos. Ejemplo: 3x2 – 7xz + z3 2a2 - 3ab + b2 3a2 + 5b3 – c2

GRADO DE UN MONOMIO 

Grado de una variable Sea el término algebraico: Exponente

- 12x3 Álgebra

43

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

La variable es “x” y su exponente es 3. Luego, diremos que el grado de la variable “x” es 3. Recuerda: El grado de una variable es el exponente de dicha variable. Ejemplos: En el término: 5x2y3  Grado de la variable “x” es 2 o segundo grado.  Grado de la variable “y” es 3 o tercer grado. En el término: 228a6b  Grado de la variable “a” es …………...  Grado de la variable “b” es …………... 

Grado de un monomio El grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.  El grado relativo es el exponente de una letra o variable en particular. Ejemplos: El grado relativo con respecto a “x” es 3 o tercer grado El grado relativo con respecto a “y” es 2 o segundo grado

9x3y2 El grado relativo con respecto a “a” es 8 El grado relativo con respecto a “b” es 7

104a8b7  El grado absoluto de un término algebraico esta dado por la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplos:

3+2=5 

El grado absoluto de: 9x3 y2 es: 8 + 7 = 15



Álgebra

El grado absoluto de: 104a8 b7 es:

44

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

GRADO DE UN POLINOMIO El grado de un polinomio puede ser relativo y absoluto.  El grado es relativo o con respecto a una letra si se refiere al mayor exponente de dicha letra o variable en el polinomio. Ejemplo 1: En el polinomio: 2x3 y4 + 7x5 y3 -

-

Grado relativo con respecto a “x” es: ___________ Grado relativo con respecto a “y” es: ___________

Ejemplo 2: En el polinomio: 175x6y3z – 26x3y4z2 -

Grado relativo con respecto a ‘’x” es: Grado relativo con respecto a “y” es: Grado relativo con respecto a “z” es:

___________ ___________ ___________

 El grado absoluto de un polinomio es igual al grado de su término de mayor grado absoluto. Ejemplo 1: En el polinomio:

6x2y – 2x2y4 + 4xy2 Grado absoluto del monomio: 1 + 2 = 3 Grado absoluto del monomio: 2 + 4 = ____ Grado absoluto del monomio: ____ + ____ = ____

 El grado absoluto del polinomio 6x2y – 2x2y4 + 4xy2 es …… o sexto grado Ejemplo 2: En el polinomio

6xy2z – 5x2y + 10xy4z2 – 7xy5 Grado absoluto del monomio: _____ Grado absoluto del monomio: ________ Grado absoluto del monomio: _________ Grado absoluto del monomio: _________

 El polinomio 6xy2z – 5x2y + 10xy4z2 – 7xy5 tiene por grado absoluto ____ o séptimo grado.

Álgebra

45

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1)

Identifica el coeficiente y parte literal de cada uno de los monomios siguientes: COEFICIENTE

a) 2x3



__________ ; __________

b) 6zy



__________ ; __________

c) 4z7y2



__________ ; __________

2 3 2 zy 5



__________ ; __________

e) –2ab4c5



__________ ; ___________

f) -16mn3



__________ ; ___________

d)

2)

PARTE LITERAL

Encierra con una línea curva a aquellos términos que sean semejantes en cada uno de los polinomios siguientes: a) 2a – 3ab2 + 5ab + 6ab2 b) 7x4y + 2 xy4 – 3x4y – x4y c) ab2 –2ab + 3ab2 + 4a2b – 7ab2 d) 11xy3 – 5y3x – 15xy3 + 5x2y e) 5x2a – 2xa2 + 3x2a – 3x2a + 7x2a2 – 3ax

3) De qué grado absoluto es cada uno de los monomios siguientes a) 4x2y2



__________ ;

__________

b) 2a3b2



__________ ;

__________

c) 6x3y2z



__________ ;

__________

Álgebra

46

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

d) –8x3yz3



__________ ;

__________

e) 3x2y5



__________ ;

__________

f) x5y3z2



__________ ;

__________

g) 6x2yz4



__________ ;

__________

4) En el polinomio: 27x3y2z – 60x2y3z2 a) Grado relativo con respecto a ‘’x” es:

___________

b) Grado relativo con respecto a “y” es:

___________

c) Grado relativo con respecto a “z” es:

___________

5) En el polinomio: a3b2c10 – 8a2b2c5 a) Grado relativo con respecto a ‘’a” es:

___________

b) Grado relativo con respecto a “b” es:

___________

c) Grado relativo con respecto a “c” es:

___________

6) Halla el grado absoluto de cada uno de los polinomios siguientes.

Álgebra

a) 2x3y + x3y2 – 4x2y2 + 2x3y4

 G.A.__________________

b) x3yz4 – 5xy2z + 5xyz2 - 2x2yz3

 G.A.__________________

c) 6x2y – 8x3y4 + x4y5- 4x2y3

 G.A __________________

d) 2xyz3 – 3xy2z3 + x2y3 – 2xyz6

 G.A __________________

e) x3y2z – 7x3yz2 + 3xyz6 – 7x2z3y

 G.A __________________

47

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

VALOR NUMÉRICO Cuando en un monomio o en un polinomio reemplazamos cada letra por un valor específico y efectuamos las operaciones indicadas, entonces, estamos hallando el valor numérico de dicho monomio o polinomio. Ejemplo 1: ¿Cuál es el valor numérico de 3m? Si m = 7 Solución: Reemplazando: 3m = 3 (

) = _______

Ejemplo 2: ¿Cuál es el valor numérico de 2ab? Si a = 4 y b = 5 Solución: Reemplazando: 2ab = 2(

).(

) = _________

Ejemplo 3: 2c + bc  a2 y c=8

Hallar el valor numérico de: Siendo: a = 2 ; b = 3 Solución:

Reemplazando los valores de a, b y c 2c + bc  a2 = 2( ) + ( ).( )  ( )2 = = _______ + ______  ______ = = _______ + _______ = _______ Ejemplo 4: Hallar el valor numérico del polinomio: x2 + 5x – 6; cuando x = 2 Solución: Reemplazando: x = 2 x2 + 5x – 6 = ( )2 + 5 ( ) – 6 = = _______ + _______ – 6 = = __________ Ejemplo 5: x3 – 6 , x2 - 2

Hallar el valor numérico de:

si x = 3

Solución: Reemplazando: x3 – 6 x2 - 2

Álgebra

=

48

(

)3 – 6 ( )2 – 2

=

________

=

_____

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA 1)

2)

Para el polinomio: 5x2 – 3x + 2. Halla su valor numérico para cada uno de los valores de “x” siguientes: a) x = -1



b) x = 2



c) x = 3



d) x = 1



e) x = 0



5(-1)2 – 3(-1) + 2 = 5 + 3 + 2 = _______ = _____

Sabiendo que: cada polinomio.

Álgebra

x = 3;

y = 2; a = 1; halla el valor numérico de

a) 2x2y + 3x – 7

= 2(3)2(2) + 3(3) – 7 = _______________

b) 3a2 – xy

=

c) x2y3 – 7y + a

=

d) 5a3 – 3xy + y

=

e) 5a – 3a2 + xy

=

f) 3x2y + 8a – 7

=

g) 3ay2 – y

=

h) x2a3 – 7y + x

=

i) 5a3 – 3xy + y2

=

j) 5ay – 3a2 + x2

=

49

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

OPERACIONES CON MONOMIOS Recuerda:

- 25 xy2

Observación: Dos o más términos algebraicos son semejantes si ___________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados. Ejemplos:

a) 11mx + 9mx = (11 + 9)mx = 20mx Términos semejantes

b) 2a + 5a = (2 + 5) a = ……… c) 5y2 + 8y2 + 7y2 = (5 + 8 + 7) y2 = ……… d) 12xy + 6xy + 13xy = ……………………….

e) 25ab – 13ab = (25 – 13) ab = 12ab

Términos semejantes

Álgebra

50

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

f) 8x – x = (8 – 1) = g) -5x2 + 2x2 + 4x2 = (-5 + 2 + 4) = h) 10x – 12x = i) 8s2 – 10s2 – 6s2 + 4s2 = j) 7x2 + 2x2 – 9x2 + 4x2 =

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para multiplicar dos monomios, primero, se multiplican sus coeficientes; luego, se escriben en orden alfabético todas las letras de los monomios dados, poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. Ejemplos: a) (3x2).(5x3) = (3.5)x2.x3 = 15x2+3 = 15x5 b) (-2a).(7b) = [(-2).(7)] a.b = c) (-2y).(-3x).(z) = [(-2).(-3).(1)] x.y.z = d) (-3mx).(-2m).(-2x) = e) (10m).(2mx).(3x) = f) (2a).(2a).(2b).(2b) =

Álgebra

51

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

EJERCICIOS PARA LA 1) Efectuar: a) 6x3 – 10x3 = b) –6abc + 8abc – abc = c) –10xy + 8xy = d) 15mb – 23mb = e) mnp – 4mnp + 7mnp = f) 2x2y + 6x2y + 12x2y – 7x2y = g) 18xz – 16xz + 9xz = h) 2m + 3n – 6m + 2n = i) 6abc + 8bca – 5cab = j) 9mx – 7xm + 12mx = 2) Halla el resultado de: Recuerda:

am.an = am+n a) (12s).(6s3) = b) (5a2b3).(4ab5) = c) (-7x).(-5x) = d) (ab).(2bc).(3ac) = e) (3mn).(4n3).(5m2) = f) (3a).(5b).(-4a) = g) (12ab).(-10ba).(-2ac) = h) (-2a).(3a).(-4a).(5a) = i) (a2 b) (-b2c) (-c2a) = j) (-x).(3y)(2x2)(-5xy) =

Álgebra

52

4to Grado de Primaria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO k) (12x).(5xy) =

Álgebra

53

4to Grado de Primaria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

POTENCIAS DE MONOMIOS La potencia de monomios es una multiplicación de factores monomios iguales. Para desarrollar una potencia, también podemos elevar independientemente el coeficiente y las variables al exponente dado. Ejemplos:

a) (2x)2 = (2x).(2x) = (2.2) x.x = 4x1+1 = 4x2 b) (3a)3 = (3a).(3a).(3a) = (3.3.3) a.a.a = c) (-2m3)2 = (-2)2.(m3)2 = d) (5a2b)3 = (5)3.(a2)3.b3 = e) (-3xy2)2 = (-3)2.x2.(y2)2 = f) (-3mn2p3)3 = g) (-2ab5c8)4 =

DIVISIÓN DE MONOMIOS Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. Ejemplos: 12 x 7 12  x 7   a) 4  x 5 4x 5

   3 x 7 5  

28a 6 b 7 28  a 6 b 7   b) 7  a 5 b 3 7a 5 b 3

c)

Álgebra

   4a 6 5 b 7 3  

8y3 x 8  y 3 x  2 31 11   y x   12 yx 12  yx  3

54

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

EJERCICIOS PARA LA 1) Efectuar las siguientes potencias de monomios: a. (5xy2)3 = b. (3ab2c3)3 = c. (10p2q8)4 = d. (2b2 c3)5 = e. (-2x2)3 = f. (-5x6)2 = g. (x2y3z)4 = 2) Halla el cociente a)

(28x5)  (4x3) =

b)

(-28x2y)  (7x) =

c)

(49ab3)  (7ab) =

d)

(96p5q3r2)  (3pq2r)=

e)

(450mn5)  (50mn3) =

f)

(36mx2)  (4mx) =

g)

(63a2b3)  (7ab2) =

h)

(187x11b13 )  (11x5b9 ) =

i)

(390m17n14 )  (13m16 ) =

Álgebra

55

4to Grado de Primaria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

PLANTEO DE ECUACIONES ¿Qué debemos saber?

ENUNCIADO ABIERTO



Es aquel en el que aparece por lo menos una letra o palabra llamada variable que al sustituirla por diferentes valores se transforma en una proposición. Ejemplos de enunciados abiertos: (a) x = 8

(b) x  7

(c) 3 + x = 8

(d) 2x – 1 = 7

(e) x + 7  12

(f) 10 – x  5

(g)

(h)

(i)

PROPOSICION



Es una expresión de nuestro lenguaje, a la que se puede calificar como verdadero o falso. Ejemplos: PROPOSICIONES VERDADERAS

PROPOSICIONES FALSAS

(a) 5  3

(b) 6  8

(c) Miguel Grau nació en Piura

(d) 4 es numero impar

(e) La capital de Perú es Arequipa

(f) 32 = 6

(g) 28 : 4 = 7

(h) 5 x 6 = 35

(i)

(j)

(k)

(l)

Álgebra

56

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

 Plantear una Ecuación Plantear una ecuación significa traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matemática mediante una ecuación. Todo enunciado de un problema, siempre nos pide hallar el valor de “algo”. A ese valor, por el momento desconocido, se le denomina INCÓGNITA y se le representa por una letra (x; y; z; etc). Toda frase en lenguaje común puede ser traducida a lenguaje matemático. Por ejemplo: Enunciado abierto:

FORMA VERBAL

FORMA SIMBÓLICA

Un número aumentado en 4 Un número disminuido en 9 El doble de un número La mitad de un número La cuarta parte de un número El doble de un número aumentado en 3 La edad de Iván hace 6 años La edad de Lourdes dentro de 4 años La suma de tres números consecutivos es 18 La suma de dos números pares consecutivos es 26 El doble de la edad de Alexandra es 16 años La mitad de la edad de Daniel aumentada en 5 años es 23 años El dinero que tiene Diana disminuido en s/.140

Álgebra

57

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

Enunciado abierto: FORMA SIMBÓLICA

FORMA VERBAL

3x X2 + 5 (x + 5)2 (2x)3 x+y+z ½x 4x3 3x + 4 3(x + 4)

Álgebra

58

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA 1) Traducir los siguientes enunciados a la forma simbólica: FORMA VERBAL

FORMA SIMBÓLICA

Un número aumentado en 15 Un número disminuido en 8 El doble de un número, aumentado en 5 El doble de un número aumentado en 5 El quíntuplo de un número, disminuido en 7 Cinco veces un número disminuido en 7 El dinero de Vanesa aumentado en S/.15 La edad de Lourdes hace 4 años El doble del dinero de Manuel La suma de dos números es 18 La tercera parte de un número disminuido en 13 El cuadrado de un número aumentado en 16 La mitad de un número disminuida en 14 2) Da un enunciado verbal que se adapte a cada una de las siguientes expresiones: FORMA SIMBÓLICA

FORMA VERBAL

x + 11 x – 13 2x – 13 2(x – 13) x+y 3x – 6 4x = 20 x2 - 1 (x - 1)2

Álgebra

59

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

ECUACIONES  Igualdad Son dos expresiones aritméticas o algebraicas, que tienen el mismo valor.

Por ejemplo: a) Una decena = 10 unidades b) 5 + 2 = 17 – 10 c) 5x = 20



Partes de una ecuación

En una ecuación encontramos dos partes llamadas miembros de la ecuación, que se encuentran de uno y otro lado del signo de la igualdad (=).

2 x = 10 1º Miembro



2º Miembro

Raíz de una ecuación

Es el número que al reemplazar a la variable de la ecuación, la transforma en una proposición verdadera. Ejemplos: * Halla la raíz de las siguientes ecuaciones:

a)

x – 9 = 16

b)

x + 3 = 41

c)

x + 17 = 41

d)

x – 32 = 30

e)

5x + 32 = 92

f)

4x – 15 = 33

Álgebra

60

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO g)

3x – 30 = x + 8

40 + x = 3(10

h) + x)

4to Grado de Primaria 10x – 24 = 2x

i) +8

 Soluciona los problemas, traduciendo los enunciados a la forma simbólica.

a) La suma de dos números es 32, si b) El doble de un numero aumentado uno de ellos excede al otro en 2 en 21 es 51, cual es el numero? unidades. Hallar dichos números.

c) La edad de Iván hace 9 años era d) La suma de tres números 17 años; que edad tiene Iván consecutivos es 33, cuales son los ahora? números?

Álgebra

61

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA 1) Halla la raíz de cada ecuación: a)

x + 12 = 26

b)

3x + 21 = 45

c)

7x – 17 = 32

d)

56 + x = 5 (8+ x)

e)

(3x – 4) = 2x + 12

f)

7(x-3) = 21

g)

6(x - 8) = 2x + 12

2) Resuelve los problemas traduciendo los enunciados a la forma simbólica. a)

La suma de dos números pares consecutivos es 30, ¿Cuáles son los números?

b)

El triple de un número aumentado en 6 es igual al doble del mismo número aumentado en 14. ¿Cuáles son los números?

c)

La mitad de un número aumentado en 7 es 16. ¿Cuál es el número?

d)

La tercera parte de un número disminuido en 12 es 33. ¿Cuál es el número?

e)

Los 2/3 de un número más 5 es igual a dicho número aumentado en una unidad. ¿Cuál es el número?

Álgebra

62

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

ECUACIONES PARTE III

1)

Resolver: a) x + 17 = 29

b) x + 7 = 22

c) x + 5 = 18

d) x + 9 = 14

2)

Halla la raíz de las siguientes ecuaciones: a) 3x – 8 = 38

b) 2x + 2 = 24

c) 4x + 6 = 26

d) 3x – 5 = 19

e) 7x – 6 = 43

f) 5x – 2 = 43

g) 2x – 8 = 6

Álgebra

63

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

h) 15x – 9 = 69

3)

a)

Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones.

Si al doble de la edad de mi padre le aumentara 6 años tendría 62 años. ¿Qué edad tiene mi padre?

¿Cuál es el número que disminuido en 52 es igual a 30?

b)

c)

¿Cuál es el número que multiplicado por 11 y disminuido en 15 es igual a 73?

¿Cuál es el número que aumentado en 35 es igual a 50?

d)

e)

El doble de la edad de Pedro aumentada en 13 años seria 29 años. ¿Qué edad tiene Pedro?

f)

La diferencia entre las edades de un padre y su hijo es 35 años y la edad del hijo es 22 años. ¿Qué edad tiene el padre?

Álgebra

64

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PARA LA a) Desarrolla las siguientes ecuaciones: 1) x + 9 = 20 2) n –10 = 18 3) 2x + 28 = 52 4) 12a + 14 = 154

b)

Desarrolla los siguientes problemas, primero plantea tus ecuaciones. 1)

¿Cuál es el número que aumentado en 15 da 60?

2)

¿Cuál es el número cuyo triple disminuido en 6 da 9?

3)

¿Cuál es el número que aumentado en 12 da 54?

4)

Si la edad de María le disminuyera 17 años entonces tendría 15 años. ¿Qué edad tiene María?

5)

¿Cuál es el número que aumentado en 24 da 63?

6)

El duplo de un número aumentado en 15 años da 31. ¿Cuál es el número?

7)

Si al duplo de un número le disminuyo 9 años da 17. ¿Cuál es el número?

Álgebra

65

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 8)

Álgebra

4to Grado de Primaria

Si a la edad que tiene mi madre le disminuyera 9 años tendría 18 años. ¿Qué edad tiene mi madre?

66

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad de números naturales que contiene una o más variables, es decir, cantidades no conocidas. Resolver una inecuación consiste en hallar el conjunto solución que satisfaga la desigualdad propuesta; para ello, es necesario que se apliquen las diferentes propiedades de las operaciones. Observemos los siguientes ejemplos: 1.

Hallar el valor de la variable en la inecuación:

x +3 < 5

Solución: x+36 11 – 4 > 6 7>6 

Resolución de inecuaciones en forma: x ± a < b Resuelve la siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones 1) x + 4 < 7 pasos

razones

2) x + 7 < 9 pasos

razones

3) x + 5 < 8 pasos

razones

4) x + 2 < 4 pasos

razones

5) n + 10 < 24 pasos

razones

6) y – 27 < 32 pasos

Álgebra

razones

68

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 7) y – 78 < 100 pasos

razones

8) z – 7 < 14 pasos

razones

9) n – 21 < 378 pasos

razones

10)x – 33 < 66 pasos



4to Grado de Primaria

razones

Resolución de inecuaciones en forma: x ± a > b Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones. 1) z + 73 > 9 pasos

razones

1) y + 105 > 202 pasos

razones

2) a + 96 > 126 pasos

Álgebra

razones

69

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

3) x + 5 > 368 pasos

razones

4) n + 33 > 128 pasos

razones

5) z + 73 > 99 pasos

razones

6) x – 38 > 128 pasos

razones

7) y – 110 > 428 pasos

razones

8) n – 78 > 327 pasos

razones

9) z – 56 > 243 pasos

razones

Álgebra

70

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 

4to Grado de Primaria

Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones a) Las edades de Felipe y Daniel juntas sobrepasan los 19 años. Si Daniel tiene 8 años, ¿Qué edades podría tener Felipe?

b) Dos canastas juntas contienen más de 386 panes. Si en una de ellas se guardan 221 panes, ¿Cuántos panes podrían estar guardados en la otra canasta?

c) Dividir el número 884 en dos partes tales que una parte, como mínimo, exceda a la otra en 98 unidades.

Álgebra

71

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

INECUACIONES II Inecuación es una desigualdad formada por constantes y variable. Así, son inecuaciones: x – 3 < 6; 2x + 1 > 3; 4x – 2 < 10; 5x + 2 > 22;

etc.

Resolver una inecuación es hallar su conjunto solución, pero como la solución es en N, se debe tener en cuenta que el conjunto solución sean números naturales. El procedimiento para resolver inecuaciones es el mismo que para resolver ecuaciones.

Álgebra

72

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS RESUELTOS Resolver: 1)

3x + 4

2)

> 2x + 6

3)

5(x + 2) < 3x + 20

4)

2(x - 2) > 3 (2x - 4)

5)

2x – 3 < 5 + x

6)

4x + 2 > 2 (x + 3)

7)

3(2x - 1) < 4 (x + 2) + 1

8)

4x – 12 < x

C. S. = { } ¿Por qué no son solución 2, 1 y 0? 9)

6(x - 4) > 3 (x + 2)

C. S. = {

}

EJERCICIOS PROPUESTOS Álgebra

73

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Resolver: 1) 2x + 3 > x + 8 2) 3x + 5 < x + 9 3) 5x – 3 < 18 – 2x 4) 4x – 1 > 15 – 4x 5) 6x + 8 < 5x +9 6) 7x + 9 > 6x + 13 7) 9x – 20 < 5x + 4 8) 2x + 10 >14 9) 5x + 8 > 23 10)4x – 5 < 7 11) 3x – 6 < 9 12)2x + 6 > 8 13)6x + 1 < 13 14)x + 8 < 12 15)x + 10 > 16

Álgebra

74

4to Grado de Primaria

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

METODOS DE SOLUCIÓN DE INECUACIONES Una inecuación puede resolverse por el método de Transposición de términos o aplicando Propiedades. Ejemplos: 1)

Resuelve las siguientes inecuaciones aplicando propiedades.

a)

8x < 40 PASOS

c) RAZONES

PASOS

C.S. = {.........................}

b)

RAZONES

C.S. = {...........................}

3x – 6 < 33

d)

PASOS RAZONES

7x – 5 < 23 PASOS RAZONES

C. S. = {.................................}

2)

5x + 2 > 17

C. S. = {...................................}

Resuelve las siguientes inecuaciones transponiendo términos. a) 4 + 3x > 16

b) 25 < 2x + 11

C. S. = {............................}

C. S. = {.............................}

c) 2a + 11 > 23 – 2a

d) 10x – 5 > 8x + 15

C. S. = {.......................}

Álgebra

C. S. = {......................}

75

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4to Grado de Primaria

EJERCICIOS PROPUESTOS 1)

Resuelve aplicando propiedades. a) 5x > 30 b) 4x < 20 c) 7x < 42 d) 13x > 130

2)

Halla el conjunto solución de los siguientes problemas. a) El triple de mi edad es menos de 36 años. ¿Cuál puede ser mi edad?

b) El doble de un número es mayor que 19 y menor que 21. ¿Cuál es el número?

c) Cuatro veces un número está entre 48 y 53. ¿Cuál es el número?

3)

Resuelve transponiendo términos. a) 16 < 3x – 14 b) 3x  555 c) 3x –5  x + 5

4)

Resuelve aplicando el método que desees. a) b) c) d)

Álgebra

16x  64 9x  108 7x + 5  26 3x – 10  8 76