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CORPORACIÓN EDUCATIVA

Formando líderes, con una auténtica educación integral

School´s

Primero Cuarto de Secundaria

Álgebra

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de

Presentación Didáctico

uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los Nuestra Institución School’s propone una perspectiva integral mayores problemas de nuestro país, laMentor educación, brindando una enseñanza de alta calidad. y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo estudiantes, una formación y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros impulsando susprincipios capacidades parabuscando el éxito el endesarrollo la vida profesional. personalizada basada en y valores; integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da

Estambién por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 sede da Guías tambienDidácticas con el trabajo de con el esfuerzo de los docentes a través que los docentes a través de que permitirán un mejor nivel académico y lograr permitirán unGuías mejorDidácticas nivel académico y lograr alcanzar la práctica que lo que que el alumno(a) requiere, requiere, porque nuestra metameta es: que es: alcanzar es la práctica es lo que el alumno(a) porque nuestra

“Formar líderes con una auténtica

“Formar líderesintegral” con una auténtica educación educación integral”

Capítulo 1.

Teoría de Ecuaciones ..........................................................

9

Capítulo 2.

Ecuaciones de 2do Grado I ................................................ 18

Capítulo 3.

Ecuaciones de 2do Grado II .............................................. 26

Capítulo 4.

Ecuaciones Polinomiales .................................................... 34

Capítulo 5.

Ecuaciones Fraccionarias ................................................... 43

Capítulo 6.

Ecuaciones Irracionales ...................................................... 50

Capítulo 7.

Sistema de Ecuaciones Lineales ........................................ 57

Capítulo 8.

Sistemas No Lineales .......................................................... 64

Capítulo 9.

Desigualdades ...................................................................... 71

Capítulo 10.

Inecuaciones de Primer Grado .......................................... 79

Capítulo 11.

Inecuaciones de Segundo Grado ....................................... 87

Capítulo 12.

Ecuaciones con Valor Absoluto ......................................... 96

Capítulo 13.

Inecuaciones con Valor Absoluto ...................................... 103

Capítulo 14.

Inecuaciones Fraccionarias y de Grado Superior ............ 109

Capítulo 15.

Funciones I ........................................................................... 117

Capítulo 16.

Funciones II .......................................................................... 127

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

1

Teoría de Ecuaciones

Introducción La teoría de ecuaciones se enriquece con los aportes de muchos grandes matemáticos, desde Annes hasta Abel, vía Cardano, respecto al Álgebra Elemental; mientras que en el Álgebra Moderna aportaron más Galois y Gauss. Se debe tener en cuenta que las ecuaciones son importantes para efectos de resolver problemas de Física, Química, Estadística, etc., por lo que su aplicación es muy amplia.

Ejemplo: x3 - x2 - 2x = 0 x + x + 3 = sen x

Solución de una Ecuación Es aquel valor que, asignado a la variable de la ecuación, hace que la igualdad se cumpla.

Conceptos Previos Ejemplos: IGUALDAD

1) En

Se llama igualdad a la relación que nos indica que 2 expresiones tienen el mismo valor. Así, si las expresiones P y S tienen el mismo valor, decimos que son iguales y escribimos P = S, donde “P” se llama el primer miembro y “S” el segundo miembro.



Ejemplos:

(x + y) (x2 - xy + y2) ≡ x3 + y3 (x + y)3 ≡ x3 + 3x2y + 3xy2 + y3



se observa que 0; 1 y -1 son soluciones de esta ecuación.

Conjunto Solución de una Ecuación (C.S.) Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuación. Si la ecuación no tiene solución, entonces su conjunto solución es el conjunto vacío Ø.

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN Una ecuación es aquella relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas.

9 9 se cumple que x = 3

2) En x3 = x

IDENTIDAD Es una igualdad incondicional, pues se verifica para cualquier valor numérico de las variables.

2x + 1 = x2

A(x; y; z; ...; w) = B(x; y; z; ...; w)

⇒ A(x; y; z; ...; w) - B(x; y; z; ...; w) = 0 Formando líderes con una auténtica educación integral

Ejemplos: 1) x2 = 1 2) 1/x = 0

⇒ ⇒

C.S. = {1; -1} C.S. = Ø = { }

3) 2x + 4 = 2(x + 2)⇒C.S. = C y R 9

Álgebra - 4to Sec. Clasificación de las Ecuaciones

1) Ecuaciones Compatibles Son aquellas que poseen al menos una solución.

C L A S I F I C A C I ÓN DE A CUERDO A SU ESTRUCTURA

Estas pueden ser :

1) Algebraicas

a) Determinada Una ecuación es compatible determinada si es posible determinar la cantidad de sus soluciones (número de soluciones es finito).

ecuación 1) x5 + 2x4 - 6x2 + 2x + 1 = 0

2) 3)

Ejemplo:

_____________ polinominal

* (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0 ⇒ C.S. = {1; 2; 3}

1 + x + 3 + x-2 = 0 x+2

______________ fraccionaria

* ax = cgt 7π/8 ; a ≠ 0 ⇒ C.S. = {(ctg 7π/8)/a}

x - 2 + 2 . x1/3

_______________ irracional

b) Indeterminada Una ecuación es compatible indeterminada si no es posible determinar la cantidad de sus soluciones (# de soluciones es infinito).

2) No Algebraicas o Trascendentes ecuación

Ejemplos:

a) xx + 1 = 0

_________ exponencial

* 0x = 0

b) log(x + 3) -1 = 0

_________ logarítmica



c) sen(cos x) + 2 = 0

_________ trigonométrica

* x + y = 2

d) 1+x+x2+x3+... = 0

_________ trascendente

Tabulando valores :

CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL GRADO

⇒

C.S. = C

x 1 0 2 -3 -7 ... y 1 2 0 5 9 ...

⇒ C.S. = {(1; 1), (0; 2), (-3; 5), ...}

a) 1er. grado (ecuación lineal) b) 2º. grado (ecuación cuadrática) c) 3er. grado (ecuación cúbica), etc.

CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL NÚMERO DE SOLUCIONES

2) Ecuaciones Incompatibles, Inconsistentes o Absurdas Son aquellas ecuaciones que no poseen soluciones, es decir, su conjunto solución: C.S. = Ø.

Podemos clasificarlas de la siguiente forma : Ejemplos: DETERMINADA

COMPATIBLES INDETERMINADA

ECUACIONES INCOMPATIBLES (C.S. = Ø)

10

* 0x = 6 ⇒ C.S. = Ø * x - 2 +

⇒

1 1 = x-2 x-2

C.S. = Ø

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. Análisis de la Ecuación Paramétrica en "x" ax = b Donde : a; b : parámetros x : variable

Ecuaciones Equivalentes Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas variables y el mismo conjunto solución.

Ejemplos:

1) compatible determinada

⇔

a≠0

E1 :

x 2x + = 14 ⇒ C.S. = {12} 2 3

E2 : 5x - 36 = 2x ⇒ C.S. = {12}

Ejemplo: * 5x = 10

∴ E1 y E2 son equivalentes. 2) compatible INdeterminada

⇔

a=0∧b=0

Ecuación Lineal

Ejemplo: Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la siguiente forma general:

* 0x = 0

3) incompatible

⇔

P(x) = ax + b = 0 / a ≠ 0

a=0∧b≠0

Ejemplo:

Resolución:

* 0x = 5

Ejercicios:

ax + b = 0 ax + b + (-b) = (-b) + 0 ax + 0 = -b

1) Indica las condiciones para que la siguiente ecuación sea determinada, indeterminada e incompatible.

⇒ ax = -b (como a ≠ 0 ⇒ a-1 ≠ 0)



(a - 3) (b + 2)x = (a - 3) (b + 4)

⇒ a-1 . ax = a-1 . (-b)



Ec. Determinada : a ≠ 3 ∧ b ≠ -2 Ec. Indeterminada : a = 3 Ec. Incompatible : b = -2 ∧ a ≠ 3

⇒ 1 . x = 1/a (-b)

2) Halla “a” para que la ecuación sea incompatible:

(a3 - 6a2 + 11a - 6)x = 6a - a2 - 8 0

≠0

⇒ x = -b/a Ejemplo:

3x + 9 = 0 → C.S. = {-3} x = -3 1 raíz





(a - 1)(a - 2)(a - 3)x = (-a + 2)(a - 4) (a = 1 ∨ a = 2 ∨ a = 3) ∧ (a ≠ 2 ∧ a ≠ 4) ∴a=1∨a=3

∴ C.S. = {-b/a}

1 solución

Se observa: # Raíces = # Soluciones = 1

Formando líderes con una auténtica educación integral

11

Álgebra - 4to Sec. Ejemplo 4: Resuelve :

Ejemplo 1: Resuelve : 1 3+

1

=

41 - x 5

9 x-a-b x-a-b x-a-b x-a-b + + +...+ = 10 3 6 12 90

1 1

3+

x+

1 5

Resolución:

Resolución: De la igualdad llegamos a la conclusión :

(

(x-a-b)

1 41 - x = x+ 5 5 40 = 2x 5 4=x

)

1 1 1 1 9 + + +...+ = 2 6 12 90 10

(

)

1 1 1 1 1 1 1 (x-a-b) 1- + - + - +...+ 2 2 3 3 4 9 10 9 10

Ejemplo 2: Halla el valor del parámetro “m” para que la ecuación sea incompatible : (m2 - 49)x = m - 7

→ x = a + b + 1

C.S. = {a + b + 1}

Resolución: Para ser incompatible :

Ejemplo 5:

m2 - 49 = 0 ∧ m - 7 ≠ 0 (m + 7)(m - 7) = 0 m = 7 ∨ m = -7 ∧ m ≠ 7 ∴ m = -7

(x - 5)(x + 3) (x - 2)(x - 10) 8 + = 3(x - 6)(x + 4) 5(x - 7)(x - 5) 15 señala 10x - 10.

Ejemplo 3: Resuelve :

Al resolver :

x-a-b x-b-c x-a-c =3 + + c a b

Resolución: -24 + 9

Resolución: x- a- b x-b-c-1 x-a-c - 1+ - 1= 0 + c a b x-a-b-c x-b-c- a x-a-c- b =0 + + c a b (x - a - b - c)

⇒

1 1 1 + + c a b

x-a-b-c=0

12

(

x=a+b+c

)

=0

35-15

x2 - 2x - 15 x2 - 12x + 20 8 + = 2 3(x - 2x - 24) 5(x2 - 12x +35) 15

8 3 3 1 1 = + + 3 x2 - 2x - 24 5 x2 - 12x +35 15 ⇒ x2 - 2x - 24 = x2 - 12x + 35 10x = 59

∴

10x - 10 = 7

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase

1) Resuelve : x - (5 - x) = 3 - (-2x + 8)

4) Resuelve :

Rpta.: _____

1 3+

1 41 - x 5

=

1 3+

1 x+

1 5 Rpta.: _____

2) Resuelve : (x - 3)/2 = 2 - (x - 2)/3

5) Resuelve : -3(2x+7) + (-5x+6) - 8(1-2x) - (x-3) = 0

Rpta.: _____

Rpta.: _____



6) Resuelve :

3) Resuelve : (x + 2)/3 + (x + 3)/4 = 2

Rpta.: _____

x-1 x-4 x-3 x-2 = 2 5 4 3 Rpta.: _____

Para Reforzar

1) Resolver : 2x - (x - 2) = 5(x + 1) - 4x - 3



4) Resuelve : 1/3 (x + 3) + 1/6 = 1/2 (x - 1) - (x - 3)

Rpta.: _____

Rpta.: _____

5) Resuelve : 2) Resuelve : x/2 + 3x/4 - 5x/6 = 15 Rpta.: _____



2 7-

4 5 - 4x

=

2 7-

4 5 - 4x Rpta.: _____



3) Resuelve : x - 1 + (x - 2)/3 + (x - 3)/2 = 6

6) Resuelve : Rpta.: _____

x-1 x-2 x + + =4 2 3 5 Rpta.: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

13

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Indica el valor del parámetro “m” para que la ecuación sea incompatible: (m2 - 4)x = m+ 2 a) -2 b) -1 d) 2

1

Indica el valor del parámetro “m” para que la ecuación sea incompatible: (m2 - 49)x = m - 7 a) 7 b) -7 d) -4

c) 1 e) 3

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Indica el valor del parámetro “k” para que la ecuación sea compatible indeterminada: (k2 - 1)x = k + 1 a) 1 b) -1 d) 2

c) 0 e) -2

Clave: 2

Indica el valor del parámetro “k” para que la ecuación sea compatible indeterminada: (k2 - 16)x = k - 4 a) 4 b) -4 d) -8

c) 8 e) 16

Resolución:

Resolución:

Clave: 14

c) 4 e) -1

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 3

Resuelve : x-1 x-2 x-3 x-5 =2 3 4 5 a) 1 b) 5/7 d) 2/9

3

Halla el valor de “x” en :



2+

5 (x + 1)2 - 4 -x-2 = x-2 x-2

a) x ∈ R b) x ∈ Ø c) x = 1/3

c) 3/8 e) 11/7

Resolución:

d) x ∈ R - {2} e) x = 3/2

Resolución:

Clave: 4

Resuelve :

Clave: 4

Resuelve : x+a a

a(a - x) b(b + x) =x b a a) a + b b) a - b d) b

c) a e) ab

Resolución:

. x+b =1

a) ab/(a + b) d) b/a e) a/b

b

b) ab/(a - b) c) ab/(b - a)

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 15

Álgebra - 4to Sec. 5

Resuelve :



a b

5

( ) ( ) 1-

a x

+

b a

1-

b x

2



=1

Halla el valor de “x” en : x-a x-b x-c = ab ac bc a) a2/(a + b - c) d) b2/(a + b - c) c) c2/(c + a - b) d) b2/(b + c - a) e) abc/(a + b + c)

2

a) a - b d) a + b b) a + b e) a2 - b2 2 2 c) a - ab + b Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Resuelve :

6 3

x+4 + 2-x

a) 1 b) 2 d) -1

3

2-x =2 x+4 c) 4 e) -2



Resuelve : x+5+2 x = -7 x+5-2 x a) 1 b) 2 d) 4

c) 9 e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave: 16

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 7

Resuelve :

7 x+1+2 x =3 x+1-2 x





Indica el valor de x-1 + 1. a) 4 b) 3,5 d) 2,5

Resuelve : x + 2ab + x - 2ab a = x + 2ab - x - 2ab b a) a2 b) b2 2 2 d) a + b

c) 3 e) 2

c) ab e) 4ab

Resolución: Resolución:

Clave: 8

Resuelve :



x+k+ x-k =k x+k- x-k Indica el valor de “x”.

Clave:

8

Resuelve : x x x + + - 1=mnp - x(m+n+p) mn np mp a) (m + n + p)/mnp d) mnp/(m + n + p) c) mn/p d) (m - n)/p e) m + n + p

a) x = k2 + 1 b) x = k2 c) x = k2 + k d) x = (k2 + 1)/2 e) x = (k2 + k)/2

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

17

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

2

Ecuaciones de Segundo Grado I

Definición Una ecuación de segundo grado en “x” es de la forma ax2 + bx + c = 0, siendo “a”, “b” y “c” constantes y a ≠ 0. Por ejemplo, x2 - 6x + 5=0, 2x2 + x - 6=0 y 3x2 - 5=0, son ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Las dos últimas ecuaciones se pueden dividir por 2 y 3, respectivamente, obteniéndose x2 + 1/2x - 3 = 0 y x2 - 5/3 = 0, siendo en ambos casos el coeficiente de x2 igual a1.



3) Resuelve: x2 + 9 = 0 Tendremos x2 = -9 y las raíces son x = ± -9 = ± 3i B) POR DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES

Una ecuación cuadrática pura es aquella que carece de término en “x”; por ejemplo: 4x2 - 5 = 0

Ejemplos: 4) Resuelve:

Resolución de una Ecuación de Segundo Grado

x2 - 5x + 6 = 0

Se puede escribir en la forma (x - 3) (x - 2) = 0. El producto de los dos factores será cero cuando lo sea uno cualquiera de ellos o ambos a la vez.

Es hallar los valores de “x” que la satisfagan. Estos valores reciben el nombre de soluciones o raíces de la ecuación dada.

Si x - 3 = 0, x = 3; si x - 2 = 0, x = 2. Por consiguiente, las soluciones son x = 3, x = 2.

2

Por ejemplo : x - 5x + 6=0 se satisface para x=2 y x=3. Por tanto, x = 2 y x = 3 son soluciones o raíces de la citada ecuación.

2) Resuelve: 2x2 - 21 = 0 Tendremos x2 = 21/2 y las raíces son x = ± 21/2 = ± 42/2



Métodos de Resolución de la s Ecuaciones de Segundo Grado

5) Resuelve:

3x2 + 2x - 5 = 0

Se puede escribir en la forma (3x + 5)(x - 1) = 0. Por tanto, de 3x+ 5 = 0 y x - 1 = 0 se obtienen las soluciones x = -5/3 y x = 1.

A) ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS

Ejemplos:

1) Resuelve : x2 - 4 = 0

18

2

Tendremos x =4, x=±2, y las raíces son x=2, -2.

6) Resuelve:

x2 - 4x + 4 = 0

Se puede escribir en la forma (x - 2)(x - 2) = 0. Por tanto, la ecuación tiene la raíz doble x = 2.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. C) FORMANDO UN CUADRADO PERFECTO

Nota

Ejemplos: 7) Resuelve:

Para aplicar este método : (1) el coeficiente de x2 debe ser 1 y (2) el número que hay que sumar a los dos miembros ha de ser el cuadrado de la mitad del coeficiente de “x”.

x2 - 6x - 2 = 0

Se escribe en un miembro los términos con la incógnita y se pasa el término independiente al otro miembro: x2 - 6x = 2 Sumando 9 a ambos miembros el primero se transforma en un cuadrado perfecto, es decir:

D) APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL Las soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 vienen dadas por la fórmula:

x2 - 6x + 9 = 2 + 9 o (x - 3)2 = 11 de donde x - 3 = ± 11 y las raíces son x = 3 ± 11

8) Resuelve:

x=

-b ±

b2 - 4ac 2a

en la que: “b2 - 4ac”, recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática.

3x2 - 5x + 1 = 0

Dividiendo por 3: x2 - 5x/3 = -1/3

Ejemplo:

Sumando [1/2 (-5/3)]2 = 25/36 a los dos miembros:

9) Resuelve:

x2 - 5/3 x + 25/36 = -1/3 + 25/36 = 13/36 , (x - 5/6)2 = 13/36 x - 5/6 = ± 13/6 y x = 5/6 ± 13/6

3x2 - 5x + 1 = 0

En este caso a = 3, b = -5, c = 1, por tanto: x=

-(-5) ± (-5)2 - 4(3)(1) 2(3)

5 ± 13 = como en el ejemplo 8 6

e) GRÁFICAMENTE Las raíces o soluciones reales de ax2 + bx+ c = 0 son los valores de “x” que corresponden a y = 0 en la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c. Esto es, las soluciones son las abscisas de los puntos en los que la parábola corta al eje “x”. Si la curva no corta al eje x, las raíces son imaginarias.

Formando líderes con una auténtica educación integral

19

Álgebra - 4to Sec. Ejemplo 4: Sea la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 si una raíz es el doble de la otra, la relación de los coeficientes debe ser:

Ejemplo 1: Halla “k” si la ecuación: x2 - (k + 3)x + 3k = 0 tiene raíces iguales.

Resolución: Sea: x1 = m ; x2 = 2m

⇒ x1 + x2 = 3m ∧ x1 x2 = 2m2

Resolución: ∆=0 (k + 3)2 - 4(1)(3k) = 0 k2 + 6x + 9 - 12k = 0 k2 - 6k + 9 = 0 (k - 3)2 = 0



-b = 3m a -b =m 3a

-b 2 c = 2 ( 3a ) a 2 c =2 b2 a 9a 9ac = 2b2

∴ k=3 Ejemplo 2:

Ejemplo 5: 2

Si se tiene que “x1”, y “x2” son raíces de 3x - 15x + 6 = 0, halla el valor de: E = (1 + x2)(1 + x1) + 3

Sea a < 0 ∧ b > 0, indica la mayor raíz de: x2 - (5a + 2b)x + 10ab = 0

Resolución:

Resolución:

De la ecuación:

Factorizamos:

15 x1 + x2 = =5 3 6 x1x2 = =2 3

⇒ E = 1 + (x + x ) + x x + 3 1 2 1 2 5

2

E = 11



x2 - (5a + 2b)x + 10ab = 0 x -5a x -2b (x - 5a) (x - 2b) = 0

∴ x = 5a ∧ x = 2b La mayor raíz es “2b”.

Ejemplo 3: En la ecuación: 5x2 - (a + 3)x + 2 = 0 La suma de raíces es 7/2. Indica el valor de “a”. Resolución:

-b x1 + x2 = a 7 -[-(a + 3)] = 2 5 35 = 2a + 6 29 =a 2

20

La cultura griega floreció desde aproximadamente 600 a.C. hasta cuando los árabes conquistaron Alejandría alrededor de 600 d.C. El primer matemático conocido en la historia es Tales de Mileto y entre los últimos del museo de Alejandría encontramos a Hipatia, la primera mujer dentro de la matemática. La mayoría y la mejor parte de la matemática griega fue creada en el periodo 370 - 220 a.C. desde Theaiteto y Eudoxo hasta Arquímedes y Apolonio.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Resuelve : 7x = 15 - 2x2 Rpta.: _____



4) En la siguiente ecuación : 2x2 - 4x + 6 = 0, las raíces son x1 y x2. Halla x12 + x22. Rpta.: _____



2) Resuelve y da una raíz de : x2 + 7x + 5 = 0 Rpta.: _____



5) Dada la ecuación : 5x2 - 10x + 15 = 0, de raíces x1 y x2. Halla x13 + x23. Rpta.: _____



3) En la siguiente ecuación : 3x2 = 4x + 5, indica la suma de raíces.



6) Resuelve si m > 0 : x2 - 6x + 9 = m2. Indica la mayor solución.

Rpta.: _____

Rpta.: _____

Para Reforzar 1) Resuelve 3x 2 = 12 - 5x e indica una de las soluciones. Rpta.: _____



4) En la siguiente ecuación : 3x2 - 3x + 6 = 0, las raíces son x1 y x2. Halla x12 + x22. Rpta.: _____

2) Resuelve : x2 - 3x - 1 = 0 e indica la mayor raíz. Rpta.: _____



5) Resuelve  si k > 0 : 9x2 - 6x + 1 = k2 e indica la menor raíz. Rpta.: _____



3) En la siguiente ecuación : 2x2 - 3x = 7, indica el producto de raíces. Rpta.: _____



Formando líderes con una auténtica educación integral

6) Dada la ecuación: x2 - 6x + 9 = 0, de raíces x1 y x2 Halla: x13 + x23 Rpta.: _____

21

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Si se tiene que x1 y x2 son raíces de x2-2x+3=0, halla el valor de (1 + x1) (1 + x2). a) 2 b) 4 d) 8

c) 6 e) 10

1

Si se tiene que x1 y x2 son raíces de 3x2 - 15x + 6 = 0 halla el valor de (1 + x2) (1 + x1) + 3. a) 15 b) 14 d) 12

c) 13 e) 11

Resolución: Resolución:

Clave: 2

Halla “m” si la ecuación: x2 - 2x + m - 7 = 0 tiene raíces iguales. a) 1 b) 7 d) 8

c) 9 e) 1

Resolución:

2

Halla “k” si la ecuación: x2 - (k + 3)x + 3k = 0 tiene raíces iguales. a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave: 22

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 3

En la ecuación : 5x2 - (a + 3)x + 2 = 0, la suma de raíces es 7/5. Indica el valor de “a”.

3

a) 1 b) 2 d) 4



c) 3 e) 5

Si la ecuación : (k - 6)x2 - (k + 3)x + (3k + 4) = 0 tiene una sola solución, indica el valor de “k”. a) 5 b) 6 d) 4

c) 9 e) 7

Resolución: Resolución:

Clave: 4

Si la ecuación : (2b - 7)x2 - (2b + 1)x + 10b + 40 = 0 tiene como producto de raíces a 6, halla “b”. a) 82 b) 7/2 d) 6

Clave: 4

c) 41 e) 40

Resolución:

Halla “n” para que en la ecuación de segundo grado la suma de raíces sea 8: (2n - 3)x2 - (15n + 10)x + n - 2 = 0 a) 3/2 b) -10/15 d) 4/3

c) 34 e) -1/3

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 23

Álgebra - 4to Sec. 5

Encuentra el valor de “m” si en: x2 + 9x + m = 0 una raíz es el doble de la otra.

5

a) 16 b) 17 d) 18



c) 19 e) 20

Encuentra k en la ecuación : 2x2 - 16x + 5k - 1 = 0 si una raíz es el triple de la otra. a) 1 b) 2 d) 4

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Siendo α y β raíces de la ecuación: 2x2 - 3x + 5 = 0, halla : M = 1/α + 1/β

a) 3/5 b) 4/5 d) 4/3

c) 5/3 e) 1

Resolución:

Clave: 6

Si m y n son raíces de : 2x2 - 3x + 6 = 0, halla: R = m/n + n/m a) -45/4 b) 45/4 d) 17/3

c) -17/3 e) 3/17

Resolución:

Clave: 24

c) 3 e) 5

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 7

Si “α” y “β” son raíces de la ecuación x2 - 6x + c = 0, entonces el valor de :



2 2 M = α + β + 2c es igual a : 9

a) 3 b) 6 d) 4

7

Dada la ecuación : 9x2 + 5x + 1 = 0 con raíces “x1” y “x2”, calcula “k” si: 3(x1x2)k-4 = x1 + x2 + (14/9)2 a) 9/2 b) 7/2 d) 2/3

c) -6 e) -3

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Resuelve :



Clave: 8

1 1 1 1 + + = a b x a+b+x



c) 5/2 e) 5/4

Resuelva la ecuación cuadrática en x. (a2 - b2)x2 + 4abx - a2 + b2 = 0 e indica una raiz.

a ≠ -b

a) 2

a) b) c) d) e)

a-b d) 2

x1 = a , x2 = b x1 = -a , x2 = -b x1 = a , x2 = -b x1 = -a , x2 = b x1 = a , x2 = -a

b) a + b

a-b a+b 2 e) a+b c)

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

25

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

3

Ecuaciones de Segundo Grado II

Análisis de sus Raíces

Ejemplo: x2 - 4x - 12 = 0 ⇒ C.S. = {6; -2} ∆ = 16 - 4(1)(-12) > 0

Sea ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 Se define el discriminante (∆):



∆ = b2 - 4ac

; a, b, c ∈ R

P(x)

Gráficamente :

1.er caso

x1

x2

Si ∆ = 0, entonces tiene 2 raíces reales e iguales o RAÍZ MÚLTIPLE (solución única).

x1

x2 x

Ejemplo: 3.er caso

4x - 4x + 1 = 0 ⇒ C.S. = {1/2} ∆ = (-4)2 - 4(4)(1) = 0 2

Si ∆ < 0, entonces tiene 2 raíces complejas imaginarias y conjugadas.

Gráficamente : P(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0



P(x)

Si x1 = 2i

⇒

x2 = -1

Ejemplo: x2 + x + 1 = 0

x1 = x 2 x1 = x 2

⇒ C.S. = x



{- 12 + 23 i; - 12 - 23 i}

∆ = 12 - 4(1)(1) = -3 < 0

Gráficamente :

2.º caso

P(x)

x Si ∆ > 0, entonces tiene 2 raíces reales y diferentes.

26

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. Reconstrucción de la Ecuación

Si ambas poseen igual conjunto solución (C.S.), entonces se cumple : a b c = = m n p

x2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0

(es decir, son equivalentes)

Ejemplo: Demostración:

Si x1 = 2 , x2 = 4, entonces la ecuación reconstruida a partir de sus raíces será : x2 - 6x + 8 = 0

Sean x1 y x2 las raíces :

Ejercicio:



Sea x2 - 4x + 5 = 0, halla x1 - x2.



Resolución:

(x1 + x2)2 - (x1 - x2)2 = 4x1x2 4

c a p De 2 : x1x2 = m



Utilicemos la propiedad de diferencia de raíces :

-b a -n De 2 : x1 + x2 = m De 1 : x1 + x2 =

5

16

De 1 : x1x2 =



de donde :

20 Por T. Cardano

⇒ (x1 - x2)

2

-b -n = a m

c p = a m

⇒

b a = n m

a

⇒m=

c p

a b c = = m n p

Ejercicio:

= -4 ⇒ (x1 - x2) = -4 2

Calcula (n - m) si las ecuaciones: (2m + 1)x2 - (3m - 1)x + 2 = 0 (n + 2)x2 - (2n + 1)x - 1 = 0 son equivalentes.

|x1 - x2| = 2i

Resolución:

Ejercicio: n

n

Si 2x2 + 7x + 9 = 0 ; Sn = x1 + x2 con x1 y x2 sus raíces, halla: 2 S30 + 7 S29 + 9 S28

Como son ecuaciones equivalentes, se cumple: 2m + 1 3m - 1 = = -2 n+2 2n + 1

Resolución: Tenemos :

x1 + x2 = -7/2 (Por T. Cardano) x1x2 = 9/2 → 2(x130+x30 ) + 7(x129+x29 ) + 9(x28 +x28 )= 2 2 1 2 (2x12 + 7x12+ 9) + x228(2x22 + 7x2 + 9) = x28 1 =0



0

TEOREMA Sean las ecuaciones : 1) ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 2) mx2 + nx + p = 0 ; m ≠ 0

2m + 1 = -2n - 4 ⇒ 4m + 2 = -4n - 8 3m - 1 = -4n - 2 ⇒ 3m - 1 = -4n - 2 m + 3 = -6 m = -9 -27 - 1 = 4n - 2 ⇒ n = 13/2 ∴ n - m = 31/2



(-)

0

Raíces Simétricas Sea ax2 + bx + c = 0 ⇔ {x1; x2} si x1 = x2, entonces son simétricas. Tenemos entonces : b=0



Formando líderes con una auténtica educación integral

27

Álgebra - 4to Sec. Raíces Recíprocas

Ejemplo 4:

Sea ax2 + bx + c = 0 ⇔ {x1 x2} si x1 = 1/x2 o x1x2 = 1, entonces son recíprocas.

Si la ecuación:

(m + 5)x2 + 3mx + m = 0 presenta raíces iguales, halla los valores que toma m.

Tenemos entonces:

Resolución:

c=a

∆ = 0 9m2 - 4(m + 5)(m) = 0 9m2 - 4m2 - 20m = 0 5m2 - 20m = 0 m2 - 4m = 0 m(m - 4) = 0 m1 = 0 ∧ m2 = 4

Ejemplo 1: Halla “k” si las raíces son simétricas, en: 2x2 + (k - 3)x + 4 = 0

Ejemplo 5: Resuelve:

Resolución:

∆x2 + ∆x + 6 = 0 Donde ∆ : Discriminante. Halla la menor raíz (∆ ≠ 0).

Raíces simétricas b = 0 ∴ k - 3 = 0

Resolución:





k=3

Ejemplo 2: Forma una ecuación de segundo grado donde una raíz es : x1 = 3 + 5

25x2 + 25x + 6 = 0 5x 3 5x 2 (5x + 3)(5x + 2) = 0 -3 -2 x1 = x2 = 2 5

x1 = 3 + 5 x2 = 3 - 5

Hallamos :

x 1 + x2 = 6 x1 x2 = 4

∴ La ec.:

x2 - 6x + 4 = 0

Ejemplo 3: Halla “m” si las raíces de la ecuación son recíprocas : (2m - 1)x2 + (3m - 4)x + 3m - 11 = 0 Resolución: Si las raíces son recíprocas: a = c ⇒ 2m - 1 = 3m - 11 28



Resolución: Si :

⇒

∆ = ∆2 - 4(∆)(6) 0 = ∆2 - 25∆ 0 = ∆ (∆ - 25) ∆ = 0 ∧ ∆ = 25

10 = m

¿Qué tan grande es un Millón? La palabra “millón” significa un millar de miles. Un millón se representa con el siguiente número 1 000 000 que con ayuda de los exponentes abreviadamente se escribe 10exp6 ó 106. Si deseas percibir las dimensiones verdaderas de un millón, imagina lo siguiente: • Caminando un millón de pasos en una misma dirección, te alejarías 600 kilómetros. De Lima a Trujillo hay un millón de pasos aproximadamente. • Un millón de hombres alineados en una sola fila, hombro con hombro, se extenderían 250 km. • Un millón de puntos como los de este libro, colocados muy juntos, se alargarían en una línea con una longitud de 100 metros. • Sacando agua con un dedal un millón de veces, se vacía alrededor de una tonelada de agua. • Un libro con un millón de páginas tendría un espesor de 50 metros. • Un millón de días son más de 27 siglos. ¡Desde el nacimiento de Jesús no ha transcurrido aún un millón de días!

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase

1) Indica la naturaleza de raíces de: x2 + 5x + 2 = 0 Rpta.: _____



Rpta.: _____

2) Halla “a” si la ecuación tiene raíces iguales : x2 - 2x +a-7=0



4) Halla “m” si las raíces son recíprocas : (2m - 1)x2 + 5x + 3 = 0

5) Forma la ecuación de raíces: x1 = 2 y x 2 = 5

Rpta.: _____

Rpta.: _____

3) Halla “k” si las raíces de la ecuación son simétricas: 4x2 + 3(k - 4)x + 6 = 0

6) Halla la suma de valores de “n” sabiendo que la ecuación de segundo grado tiene raíz doble : (n - 3)x2 - (n - 3)x + 25 = 0

Rpta.: _____

Rpta.: _____

Para Reforzar



1) Indica la naturaleza de las raíces de: x2 - 2x + 7 = 0

Rpta.: _____

2) ¿Cuánto vale “m” para que x2 + 3x + m = 0 tenga raíces iguales? Rpta.: _____



3) Halla “a” si las raíces de 4x2 - ax + 9 = 0 son iguales (a > 0).

4) Halla “k” si las raíces de la ecuación son simétricas: 2x2 + (k - 3)x + 4 = 0 Rpta.: _____



5) Halla “m” si las raíces de la ecuación son recíprocas: (3m - 2)x2 + 4x + 13 = 0 Rpta.: _____

6) Forma la ecuación de raíces: x1 = -2 y x2 = 4 Rpta.: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Rpta.: _____

29

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Si la ecuación: (m + 5)x2 + 3mx + m = 0 (m > 0); presenta raíces iguales, halla “m”. a) 0 b) -2 d) 8

1

Halla “k”, si la ecuación : x2 - (k + 3)x + 3k = 0 tiene raíces iguales. a) 1 b) 2 d) 4

c) 4 e) 6

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Halla “k” si las raíces de la ecuación : (2k - 1)x2 + (3k - 12)x + 9 = 0 son simétricas. a) 3 b) 4 d) 6

c) 5 e) 7

Resolución:

Clave: 2

Halla “a” si las raíces de la ecuación : (3a - 2)x2 + (4a - 5)x + (3a - 1) = 0 son simétricas. a) 4 b) 5 d) 5/4

c) 4/5 e) -4/5

Resolución:

Clave: 30

c) 3 e) 5

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 3

Halla “m” si las raíces de la ecuación : (2m - 1)x2 + (3m - 4)x + 3m - 11 = 0 son recíprocas. a) 4 b) 5 d) 9

3

Halla “k” si las raíces son recíprocas en la siguiente ecuación : (5k+7)x2 + 5(k + 2)x + 3k + 5 = 0



c) 7 e) 10

a) 1 b) 0 d) -2

Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Forma la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1/3 y 1/5.

a) b) c) d) e)

c) -1 e) 2

Clave: 4

Forma la ecuación de segundo grado cuyas raíces son 1/2 y 1/7.



15x2 - 8x - 1 = 0 15x2 - 1 = 0 15x2 - 8x + 1 = 0 15x2 + 8x - 1 = 0 15x2 + 8x + 1 = 0

a) b) c) d) e)

Resolución:

14x2 + 9x + 1 = 0 14x2 + 9x - 1 = 0 14x2 - 9x - 1 = 0 14x2 - 1 = 0 14x2 - 9x + 1 = 0

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 31

Álgebra - 4to Sec. 5

Si la ecuación : x2 + 3x + 6k - 1 = 0 no tiene solución real, entonces se cumple:



5

a) k > 5/24 b) k > 25/4 c) k > 13/24

d) k > 24/13 e) k > 25/13

Si la ecuación : x2 - (k + k2)x + k3 - 1 = 0 tiene una sola solución, indica el valor de k - k2. a) -2 b) 1 d) 0

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Halla “m” si en la ecuación : x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 el discriminante es igual a la suma de raíces.



Clave: 6

a) 1; 2 b) -2; 1/2 d) -1/2; 1

c) 2i e) -i

c) 2; -1 e) -2; -1

Resolución:

Forma una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean los cuadrados de las soluciones de la ecuación x2 - x + 2 = 0. a) b) c) d) e)

x2 - 3x + 4 = 0 x2 + 3x + 4 = 0 x2 + x + 4 = 0 x2 - 3x - 4 = 0 x2 + 3x - 4 = 0

Resolución:

Clave: 32

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 7

7

Calcula “n” en la ecuación : 1 x2 + 6x =1+ n -3 4(x + 2)



Si la ecuación : (k - 6)x2 - (k + 3)x + (3k + 4) = 0 tiene una raíz doble, indica el valor de “k”.



si las raíces tienen igual valor absoluto y con signo contrario.

a) 5 b) 6 d) 4

a) 1 b) 3 d) 5

Resolución:

c) 4 e) 7

c) 9 e) 7

Resolución:

Clave: 8

8

Calcula “m” para que la ecuación: 1 + 2m 3x - 1 = 2 1-m x



Clave: ¿Para qué valores de “m” tendrá la ecuación : x2 - 2x(1 + 3m) + 7(3 + 2m) = 0 raíces iguales?

admita una raíz “x” de multiplicidad dos.

a) 5; 2 b) 1; 3/5 d) 2; -10/7

a) 1 ó 5/17 b) 1 d) 15

Resolución:

c) 5/17 e) 17

c) 4; -1 e) 3; -1

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

33

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

4

Ecuaciones Polinomiales

Entonces, tenemos que: * 2 es raíz de multiplicidad 3. * -3 es raíz de multiplicidad 2. * 1 es raíz simple.

Forma general de una ecuación polinomial de grado “n”: P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 / a0 ≠ 0 ∧ n ∈ N

Nota

Raíz de un Polinomio

Un método práctico para hallar las raíces de un polinomio es factorizar al polinomio e igualar cada factor a cero.

Sea: P(x)=a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 a ≠ 0 , n ∈ N diremos que “α” es una raíz de un polinomio P(x) si y sólo si P(α) = 0.

Determina las raíces de:

“α” es raíz de P(x) ⇔ P(α) = 0 Consecuencia : α es raíz de P(x) si y solo si (x - α) es factor de P(x). Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 2x2 - x+ 2, se observa que P(1) = 0; P(-1) = 0; P(2) = 0. Luego -1, 1 y 2 son raíces de dicho polinomio; por lo tanto (x+ 1), (x - 1), (x - 2) son factores de dicho polinomio.

Raíz Múltiple Si “α” es raíz de multiplicidad “k” de P(x), entonces : P(x) = (x - α)k . q(x) ; q(x) ≠ 0 Ejemplo:

34

P(x) = (x - 2)3 (x+ 3)2 (x - 1)

Ejemplo: P(x) = (x + 2)3 (x - 5)2 (x - 8)

Resolución Igualando cada factor a cero. (x + 2) = 0 ⇔ x1 = -2 (x + 2) = 0 ⇔ x2 = -2 (x + 2) = 0 ⇔ x3 = -2

x = -2 es raíz de multiplicidad tres o raíz triple.

(x - 5) = 0 ⇔ x4 = 5 (x - 5) = 0 ⇔ x5 = 5

x = 5 es raíz de multiplicidad dos o raíz doble.

(x - 8) = 0 ⇔ x6 = 8

x = 8 es una raíz simple.

Teorema de Cardano Sea la ecuación polinomial de grado “n” : P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 ; a0 ≠ 0

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. cuyas raíces son x1, x2, x3, ..., xn, entonces se cumple lo siguiente :

Suma de Raíces S1 = x1+x2+x3+ ... + xn = -

a1 a0

Ejercicio: Si P(x) = x3 - 2x2 + x + 5 tiene como raíces a α, β y γ, calcula: 1 1 1 M = α + 1 + β + 1 + γ + 1 Resolución Desarrollando se obtiene :

Suma de Productos Binarios S2 = x1x2+x2x3+...+xn-1xn=+

a2 a0

M=

βγ+β+γ+1+αγ+α+γ+1+αβ+α+β+1 (α + 1)(β + 1)(γ + 1)

M=

(αβ + αγ + βγ) + 2(α + β + γ) + 3 1 + (α + β + γ) + (αβ + αγ + βγ) + (αβγ)

Suma de Productos Ternarios S3 = x1x2x3 + x2x3x4+ ... = -

a3 a0

Producto de Raíces a Sn = x1x2x3 ... xn = (-1)n an 0

Por el Teorema de Cardano, hallamos cada término encerrado entre paréntesis. * α + β + γ = 2 * αβγ = -5 * αβ + αγ + βγ = 1 Reemplazando, obtenemos:

1 + 2(2) + 3 M = 1 + 2 + 1 - 5 = -8

Ejemplos: 1. P(x) = 2x2 - x + 7 (+) (-) (+) * x1 + x2 = -(-1/2) = 1/2 * x1x2 = 7/2 2. P(x) = 3x3 + 6x + 8 ⇒ P(x) = 3x3 + 0x2 + 6x + 8 (+) (-) (+) (-) * x1 + x2 + x3 = -0/3 = 0 * x1x2 + x2x3 + x1x3 = +6/3 = 2 * x1x2x3 = -8/3

Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio de grado mayor o igual a 1 posee al menos una raíz compleja. Corolario : Todo polinomio de grado “n” posee exactamente “n” raíces entre complejas y reales. Ejemplos: P(x) = x3 - 5 P(x) = x20

⇒

Tiene 3 raíces ⇒ Tiene 20 raíces

Ejemplo: 3. P(x) = 2x7 + 3x6 + x3 - 6

⇒ P(x)=2x7 + 3x6 + 0x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x - 6 + + + + * x1 + x2 + ... + x7 = -3/2 * x1x2 + x2x3 + ... + x6x7 = 0 * x1x2x3 ... x7 = -(-6/2) = 3

Resuelve : (x - 2)3 (x + 1)2 (x - 5) = 0 Raíces : x1 = 2 , x2 = 2 , x3 = 2 , x4 = -1 , x5 = -1 , x6 = 5 Soluciones : 2 , -1 , 5 ⇒ C.S. = {2 , -1 , 5} Se deduce que :

Formando líderes con una auténtica educación integral

# RAÍCES ≥ # SOLUCIONES

35

Álgebra - 4to Sec. Teorema de Paridad de Raíces

Por teorema de Cardano:

Sea P(x) un polinomio de grado “n”, n ∈ N , entonces se cumplen los siguientes teoremas : (Nota : º[P(x)] ≥ 2)

1. Si P(x) es un polinomio de coeficientes reales y una raíz es a + bi; a, b ∈ R, i = -1, entonces la otra raíz es a - bi.

x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 3

4 + x5 = 3 ⇒ x5 = -1

Por T. de Cardano:

Ejemplos: * Si una raíz es 3 + 2i, entonces la otra raíz es 3 - 2i. * Si una raíz es (-i), entonces la otra es (i). 2. Si P(x) es un polinomio, º[P(x)] ≥ 2, de coeficientes racionales y una raíz es a + b; a ∈ Q; b ∈ I; entonces la otra raíz de P(x) es a - b.

x1x2x3x4x5 = -b (1 + i)(1 - i)(1 + 2)(1 - 2)(-1) = -b ⇒ b = 2(-1) = -2

Ejemplos: * 2 + 5 ⇒ 2 - 5

1. Si m, n y p son raíces de:

* - 3 + 1 ⇒ 3 + 1



3. Si º[P(x)] ≥ 4, P(x) es de coeficientes racionales, donde una raíz es a +   b; a, b ∈ I; entonces, otras raíces de P(x) son a - b; - a + b; - a - b.



x3-6x2+3x+2 = 0.

Calcula:



E=

1 1 1 + + mn np mp

Ejemplos:

Resolución

Si una raíz es : 2 - 3 las otras serán :

Homogenizamos las fracciones: n m E= p + + nmp pmn mnp

* - 2 + 3 * - 2 - 3

E = p +m+n pmn

*

E= 6 -2

2+ 3

Ejercicio: Si P(x) = x5 - 3x4 + ax + b tiene como raíces a 1 + i y 1 + 2, hallar “b” si a y b ∈ R.

Resolución x1 = 1 + i ⇒ x2 = 1 - i x3 = 1 + 2 ⇒ x4 = 1 - 2 x5 = ?

36

= - 3

2. Calcula "n" para que la suma de raíces de: 2x3 - nx2 +1 = 0 sea 5. Resolución Sabemos: x1+x2+x3 = - b a -(-n) ∴5= 2

10 = n

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 3. Calcula el producto de raíces en la ecuación:

x3- (m-7)x2+(m+1)x -(2m-10)=0 si la suma de las raíces es igual a 6.

Función afín

Resolución

Se dice que la expresión ax + b es un polinomio de grado 1 (o lineal) ya que 1 es el exponente de la variable y la función definida por f(x) = ax + b se denomina función afín (o lineal). La gráfica de la función afín es una línea recta no vertical.

m-7 = 6 ⇒ m =13 1 x1x2x3= -[ -(2m -10)] =16 1

Tn 4. S i d o s d e l a s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n x 3 + mx - n = 0, son -1 y -3, calcula "mn". Resolución De la ecuación, la suma de raíces es 0. ⇒ Sea: x1=-1 , x2=-3 , x3= p x1+ x2 + x3= = 0 -1 - 3 + p = 0 p=4

1

m = (-1)(-3)+(4)(-1)+(-3)(4) m = 3 - 4 - 12 m = -13

n Si representamos la sucesión T(n), de los fósforos, se obtienen los puntos que marcamos en la gráfica y observamos que éstos están alineados.

∴ n = (4)(-1)(-3)

1

0

y

n = 12

5. Resuelve: x3 + 6x2 + 11x +6 = 0 e indica la mayor raíz. Resolución

1

6

11

6

-2

-2

-8

-6



4

3

0

1

(x + 2)(x2 + 4x + 3) = 0 (x + 2) x +3 x +1

f(x) = x/2 - 1/2

x Si utilizamos en vez de n una variable real x, la representación de esta función da una recta.

(x + 2)(x + 3)(x + 1) = 0

∴ x1 = -2 x2 = -3 x3 = -1

Formando líderes con una auténtica educación integral

Y además cuando hacemos f(x) = 0 se convierte en una ecuación de primer grado e inclusive es el punto donde se intercepta con el eje de las abscisas.

37

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 4) La ecuación : x3 - 3x2 - 6x + 8 = 0 tiene raíces x1, x2 y x3. Indica el valor de x1 . x2 . x3

1) Resuelve : x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0 e indica la mayor raíz. Rpta.: _____

Rpta.: _____

2) Resuelve : x3 - x2 - x - 2 = 0 e indica la raíz entera.

5)

Rpta.: _____

En la siguiente ecuación : x4 + 8x3 + 14x2 - 8x - 15 = 0 de raíces x1, x2, x3 y x4, halla K = x1 + x 2 + x 3 + x 4 Rpta.: _____

3) Dada la ecuación : x3 + 4x2 + x - 6 = 0 de raíces x1, x2 y x3, halla x1 + x2 + x3.



6) En la ecuación : x3 - 5x2 + ax + b = 0 una raíz es 1 + 2. Indica la raíz entera.

Rpta.: _____

Rpta.: _____

Para Reforzar 1) Resuelve :

4) En la ecuación : 2x4 - 5x3 + 7x + 2x2 - 3 = 0 de raíces x1, x2 , x3 y x4, halla: M = x 1 + x2 + x3 + x4

x3 + 2x2 - x - 2 = 0 e indica la menor raíz. Rpta.: _____

Rpta.: _____ 2) La ecuación : x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 tiene raíces x1, x2 y x3. Indica : M = x 1 + x2 + x3

5) Si x1, x2 y x3 son raíces de 5x3 + 4x2 - 5x + 2 = 0, Rpta.: _____

indica : A =

x1 + x 2 + x 3 x1 x2 x3 Rpta.: _____

6) En la ecuación : 2x3 - 8x2 + mx + n = 0 una raíz es 3 + 5. Indica la raíz entera.

3) En la siguiente ecuación : x3 + 35x2 + 50x + 24 = 0 de raíces x1, x2 y x3, indica el valor de x1x2x3. Rpta.: _____

38

Rpta.: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 4

Para el profesor: 1

Para el alumno:

En la ecuación : 2x3 - x2 - 7x - 3 = 0, dos de sus raíces suman 1. Encuentra la tercera raíz. a) 1 b) -1 d) -1/2

1

c) 1/2 e) -2

En la ecuación : 5x3 + x - 2x2 + 1 = 0 dos de sus raíces suman 2. Indica la tercera raíz. a) 2/5 b) 3/5 d) 8/5

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

La ecuación : x4 - 12x - 5 = 0 presenta dos raíces que suman 2. Indica la suma de las otras dos raíces. a) 1 b) 2 d) -2

c) 4/5 e) -8/5

Clave: 2

c) -1 e) -3

Resolución:

La ecuación : x5 + 8x2 - 3 = 0 presenta tres raíces que suman 5. Indica la suma de las otras dos raíces. a) 1 b) 5 d) -5

c) -2 e) -3

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 39

Álgebra - 4to Sec. 3

En la ecuación : 36x3 - 12x2 - 5x + 1 = 0 se cumple que una raíz es la suma de las otras dos. Halla dicha raíz. a) 1/3 b) 1/8 d) 1/4

3

c) 1/6 e) 1/2

Sabiendo que 1 y 2 son raíces de la siguiente ecuación : x3 + ax + b = 0 indica el valor de la tercera raíz. a) -1 b) -2 d) 3 Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Sabiendo que una de las raíces de la ecuación : 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 es (1 - 3), la suma (a + b) es igual a : a) 3 b) 6 d) -6

c) -3 e) -12

Resolución:

Clave: 4

La suma de las siete raíces de la siguiente ecuación: x7+8x6+17x5+9x4+9x3+17x2+8x+1=0 es: a) - 6 b) 6 d) 8

c) - 8 e) -7

Resolución:

Clave: 40

c) -3 e) 6

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5

Halla el valor de “k” si las raíces de la ecuación : x3 - 9x2 + kx - 24 = 0 están en progresión aritmética. a) 12 b) 13 d) 26

5

c) 24 e) 28

Si la ecuación : x3 - px2 + qx - r = 0 tiene dos raíces iguales en magnitud pero de signos contrarios, la relación que cumplen “p”, “q” y “r” es : a) pq = r b) rq = p c) rp = q

d) p + q = r e) p + r = q

Resolución: Resolución:

Clave: 6

Si una raíz de la ecuación : x3-9x2+(a-2)x - 15=0 es la semisuma de las otras dos, calcula a. a) 5 b) 5 d) 7

Clave: 6

c) 7 e) 2 2

Resolución:

Al resolver : 2[x2 (x2 - 5) + 6] = x(2 - x2) se observa que el valor para “x” que no la satisface es : a) x = 2 b) x = - 2 c) x = -2

d) x = -2/3 e) x = 3/2

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 41

Álgebra - 4to Sec. 7

Sabiendo que a, b y c son las raíces de la ecuación x3 + 5x+ 1 = 0, calcula el valor de : E = a4 + b4 + c4 a) 10 b) 20 d) 40

7

Calcula la suma de los ceros imaginarios de : P(x) = x3 - 7x2 + 17x - 14 a) 1 b) 2 d) 4

c)30 e) 50

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Si a, b y c son raíces de : x3+ x + k2 + 1 = 0 calcula el valor de la expresión:



G=

(a+b)3+(b+c)3+(c+2)3+6abc abc

a) 3 b) 3k d) 0

c) 3 e) 5

c) k2 e) 6

Resolución:

Clave: 8

En la ecuación : x3 - 63x + α = 0 determina un valor de “a” para que una de las raíces sea el doble de otra. a) 162 b) 180 d) 800

c) 400 e) 149

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 42

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

Ecuaciones Fraccionarias

Concepto

5

Observamos que al reemplazar x = -1 en la ecuación, se obtiene:

Sea :

P(x) =R(x) Q(x)

(-1)2 - 1 = -1 -1 + 1 0 = -1 0 ∴ x∈ ∅

una ecuación fraccionaria donde se debe tener en cuenta : Q(x) ≠ 0 ∀ x ∈ C.S.

En forma general, tenemos que : Para poder resolverla se reduce : P(x) R(x) = Q(x) S(x)

P(x) = Q(x) . R(x) Ejemplo: 1) Resuelve :

la ecuación fraccionaria se reduce a:

x+2 =5 x+1

Resolución

P(x) . S(x) = R(x) . Q(x) x + 2 = 5(x + 1) x + 2 = 5x + 5 -3 = 4x x = -3/4 C.S. = {-3/4}

2 2) Resuelve : x + x = -1 x+1

Resolución



Ejemplos: 1) Resuelve : x + 2 = x + 5 x+1 x+3

x2 + x = -1(x + 1) x2 + x = -x - 1 x2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)2 = 0 x+1=0 x = -1

Formando líderes con una auténtica educación integral

Resolución (x + 2) (x + 1) = (x + 5) (x + 3) 2 x + 3x + 2 = x2 + 8x + 15 -5x = 13 x = -13/5 ∴ C.S. = {-13/5}

43

Álgebra - 4to Sec. 2) Resuelve :

5x - 4 3x - 2 = x-1 x-1

3. Resuelve:

5x + 2 7x+ 2 = 3x+4 5x+4

Resolución

Resolución

(3x - 2) (x - 1) = (5x - 4) (x - 1) 3x2 - 3x - 2x + 2 = 5x2 - 5x - 4x + 4 0 = 2x2 - 4x + 2 0 = x2 - 2x + 1 (x - 1)2 = 0 x-1=0 x=1

25x2+30x+8=21x2+6x+28x+8 4x2 - 4x = 0 x2 - x = 0 x (x -1) = 0 x =0 x=1

pero para :

3x - 2 5x - 4 = x-1 x-1 x≠1 ∴ x∈ ∅

4. Resuelve:

( )

x2 - 6x+9 x-3 - 3 =4 x2+2x+1 x+1 Resolución

( ) ( ) ( )

( x - 3 )2 x-3 - 3 =4 (x+1)2 x+1

1. Resuelve:

Resolución

x-3 x+1 x-3 x+1

x2- x - 2+x2+2x-15 2x2- x - 11 = 2 x2 - 5x+6 x - 5x+6

(

2x2- x- 11 x+1 x+5 + = x-2 x2 - 5x+6 x-3

2x2+ x - 17 = 2x2 - x - 11 2x = 6 x=3 Pero: x ≠ 3 ∴ c.s = {ø} 2. Resuelve: 5x + 1 x-1 + =2 x+2 x Resolución 5x 2+x+x 2+x - 2 = 2(x 2+2x) 6x2 + 2x - 2 = 2x2 +4x 4x2 - 2x - 2 = 0 2x2 - x - 1 = 0 2x +1 x -1 (2x + 1)(x - 1) = 0

44

x1 = -1/2 y x2 = 1

2

x-3 x+1

- 3

x-3 x+1

-4=0 -4 +1

)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x-3 -4 x+1

x-3 +1 = 0 x+1

x-3-4x-4 x-3+x+1 = 0 x+1 x+1 -3x- 7 2x- 2 =0 x+1 x+1 3x+7 x -1 =0 x+1 x+1 x=

-7 ∨ x=1 3

5. Resuelve: 4x 3x + =x x +6 x+4 Resolución 4x 3x + =x x +6 x+4 4x2+16x+3x2+18x =x x2 +10x +24

7x2+34x=x(x2+10x+24) 7x+34 = x2 +10x+24 0 = x2 +3x -10 x +5 x -2

∴ x = -5 y x = 2

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Resuelve:

4) Resuelve: 2 3x 4-x + = x-3 x-3 x-3

x + 3 x + 2 2x2 + 3x - 10 + = 2 x-1 x-2 x - 3x + 2 Rpta: _____

Rpta: _____

2) Resuelve:

5) Resuelve:

12 2x 6 + = 3x - 5 6x - 10 9x - 15



1 2 = 2 + x-2 x-1

e indica una raíz de la ecuación.

Rpta: _____

Rpta: _____

3) Resuelve:

6) Resuelve : x+4 x-5 = x-1 x+8



8 6 = 5 + x+6 x+4

e indica una raíz de la ecuación.

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Resuelve:

4) Resuelve:

2 1 x + = x+1 x+1 x+1 Rpta: _____



x + 1 x + 5 2x2 - x - 11 = 2 + x-3 x-2 x - 5x + 6 su conjunto solución es: Rpta: _____

2) Resuelve:

5) Resuelve :

2 3 x-1 + = 2x + 2 3x + 3 x + 1 Rpta: _____



2 3 = 2 + x-3 x-2 e indica una raíz de la ecuación. Rpta: _____

3) Resuelve:

6) Resuelve:

x+5 x+1 = x+4 x+2 Rpta: _____



Formando líderes con una auténtica educación integral

3 5 = 2 + x+1 x+3 e indica una raíz de la ecuación. Rpta: _____

45

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 5

Para el profesor: 1

Resuelve:

Para el alumno: 1

2x - 3 x + 4 1 = x-1 x+1 x-1

indicando luego x2 - 1. a) 0 b) 2 d) 3

Resuelve:

2x - 5 2x - 2 6x - 45 + = 2x - 6 x-3 4x - 12

a) {9/2} b) {-2/9} d) {-9/2}

c) 1 e) 5

c) {2/9} e) {1}

Resolución: Resolución:

Clave:

2

Resuelve :

2

4x + 5 6x - 7 = 2x +1 3x + 1 a) {1/27} b) {8/27} d) {-1/27}

c) {2/27} e) {7/27}

Resolución:

Resuelve:

3x + 2 2x + 3 = 9x +1 6x + 1

a) {14} b) {-1/14} d) {1/11}

c) {-14} e) {-1}

Resolución:

Clave: 46

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 3

Resuelve:

3

x+7 2x + 1 =5 + x x-2

e indica una raíz. a) 5 b) 6 d) 8

Resuelve :

5x + 1 x - 1 + =2 x+2 x

e indica una raíz. c) 7 e) 9

a) 1 b) 1/2 d) -2

Resolución:

Resolución:

Clave:

4 Resuelve:

c) -1 e) 2

4

x+2 x2 + x - 2 = 2 x-2 x -x-2

a) {2; -2} b) {2} d) {-1}

Clave:

c) {-2} e) {0}

Resuelve:

x+3 x2 + x - 6 = 2 x-3 x -x-6

a) {3; -3} b) {3} d) {1}

c) {-3} e) {0}

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 47

Álgebra - 4to Sec. 5

Resuelve:

5

x2 + x + 2 x3 + x 2 = 3 2 x -x x2 - x +2 a) {0} b) {-1} d) {1, -1}

c) {2, -2} e) { }

Resuelve: x2 + x + 1 x3 + x 2 = 3 2 x -x x2 - x +1 a) {1} b) {-1, 1} d) { }

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Resuelve:

2x 4x + = 2x x+1 x+3

y da la menor solución. a) -2 b) 0 d) -1

Clave:

6

Resuelve:

4x 3x + =x x+6 x+4

e indica la mayor raíz. c) 1 e) 2

a) -5 b) 2 d) -1

c) 0 e) 1

Resolución:

Resolución:

Clave: 48

c) {0} e) {2}

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 7

Resuelve: x3 + mx2 + nx + p x2 + mx + n = 2 x3 + ax2 + bx + p x + ax + b

7

Resuelve:

x-b x-a-1 x-a x-b-1 + = + x- a -1 x - b - 2 x - b - 1 x - a - 2

a) {(b - m)/(n - a)} b) {(b + n)/(m + a)} c) {(b + n)/(m - a)} d) {(b - n)/(m + a)} e) {(b - n)/(m - a)}

a) {(a + b) / 2} b) {(a + b + 2) / 3} c) {(a + b) / 3} d) {(a + 2b) / 3} e) {(a + b + 3) / 2}

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Resuelve:

x-5 x-1 x-2 x-6 + = x-6 x-2 x-3 x-7

a) {6,5} b) {5,5} d) {4,5}

c) {5} e) {4}

Clave:

8

Resuelve:

x+5 x+2 x+3 x+4 + = + x+6 x+3 x+4 x+5

a) {-9/2} b) {2/9} d) {-1/3}

c) {1/3} e) {2/3}

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

49

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

6

Ecuaciones Irracionales

Concepto

Ejemplos: 1) Resuelve :

Sea : n

P(x) = Q(x)



una ecuación irracional.



En



debe verificarse que P(x) ≥ 0 y además Q(x) ≥ 0 .



Para poder solucionarla se le reduce a : P(x) = (Q(x))n

n

x+5=5- x x + 5 = (5 - x)2 x + 5 = 25 - 10 x + x 10 x = 20 x=2 x=4 C.S. = {4}

P(x), si n es par,

2) Resuelve: x - 1 + 3 - x = x - 5 Observamos : x - 1 ≥ 0 o sea x ≥ 1 3 - x ≥ 0 o sea x ≤ 3 x - 5 ≥ 0 o sea x ≥ 5

Ejemplo: 1) Resuelve:



x-2=3

No hay valor para x que cumpla : x≥1 ∧ x≤3 ∧ x≥5

x-2=9 x = 11 C.S. = {11}

2) Resuelve :



3

∴ x∈∅

x-1=2

Observación

x-1=8 x=9 C.S. = {9}

3) Resuelve :

n

x+5=-2

⇒ x∈∅

P(x) + n Q(x) = n R(x)

se trata de despejar:

∴ El resultado de una raíz par no puede ser negativa.

50

x+ x+5=5

Para ir reduciendo:  Si n es 2 : debe verificar:

(n P(x) + n Q(x))n = R(x) P(x) + Q(x) = R(x)

P(x) ≥ 0 ∧ Q(x) ≥ 0 ∧ R(x) ≥ 0

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

1. Resuelve: x+ 5 -

x=5

4. Resuelve: Resolución

Resolución





( x+ 5)2 = ( 5 + x )2 x+ 5 = 25+x+10 x - 20 = 10 x -2= x

∴ La ecuación es incompatible.

2. Resuelve: x-3+

7 - 6x = x

1 =2 x-3

2

2



7 - 6x = x 7 - 6x = x2 2 0 = x +6x - 7 x +7 x -1



0 = ( x + 7) (x - 1) x1 = -7 ∧ x2= 1





pero como x ≥ 0 ∴x=1

Resolución Sabemos: a + 1 = 2 ⇒ a= 1 a ∴ x - 3 = 1 x-3=1 x=4

5. Resuelve: 1 1 2 = 1- 1-x 1+ 1-x x Resolución

3. Resuelve:

1+ 1-x -1+ 1-x 2 = 1- 1+x x

3x2 +9 = x+3 Resolución

2 1-x x

( 3x2 +9 )2= (x+3)2 3x2 +9 = x2+6x +9 2x2 - 6x = 0 x2 - 3x = 0 x (x- 3) = 0

( 1-x )2

x=0 ∨x=3

2 x

=

( ) 2 2

=

1-x=

2

1 2

1 =x 2

Todos los habitantes de la Tierra somos primos Para demostrar este hecho, basta con calcular la cantidad de nuestros antepasados de la siguiente manera. Yo tengo 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos, y así sucesivamente, de tal forma que si la distancia entre generaciones es de unos 20 años, y nos remontamos unos 1,000 años hacia atrás, veremos que han transcurrido 50 generaciones. Siguiendo nuestro árbol genealógico encontraremos 250 = 1,125,899,906,842,624 ascendientes directos, en esa generación. Sabemos que la población de la Tierra es mucho menor a esa cantidad, por lo que podemos concluir que no sólo nuestros tatara...tatarabuelos estaban emparentados entre sí, sino que compartimos ascendientes con todos los habitantes de la Tierra.

Formando líderes con una auténtica educación integral

51

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Resuelve:

4) Resuelve: 3x + 3 = 3

5x + 4 = x +2 Rpta: _____

Rpta: _____

5) Resuelve:

2) Resuelve: x+2=x

5x+ 10 = 2x -1

Rpta: _____

Rpta: _____

6) Resolver:

3) Resuelve: 7x+2 = 2x

x+7+ x=1 Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 4) Resuelve :

1) Resuelve: I.

5x + 6 = 4



y+3-2=0

II.

4x + 1 = x +1 Rpta: _____ Rpta: _____

5) Resuelve : 2) Resuelve:

3x - 11 = x -3

3x + 4 = x

Rpta: _____ Rpta: _____

6) Resuelve : 3) Resuelve :

x+5+ x=5 7 - 6x = x

Rpta: _____ Rpta: _____

52

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 6

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Resuelve:

1

x+7- x=1 a) {10} b) {9} d) {7}

c) {8} e) {6}

Resuelve: x+5- x=1 a) {1} b) {2} d) {4}

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

c) {3} e) {5}

Resuelve:

2

x+6+ x-1=7 a) {8} b) {11} d) {12}

Clave:

c) {9} e) {10}

Resuelve : x+4+ x-1=5 a) {1} b) {2} d) {4}

c) {3} e) {5}

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 53

Álgebra - 4to Sec. 3

Resuelve : x - 1 + 4x - 4 + 9x - 9 = 30 a) {22} b) {24} d) {28}

3

c) {26} e) {30}

Resuelve : x -

x2 - 9 = 1

a) {1} b) {2} d) {4} Resolución:

Resolución:

Clave:

4

c) {3} e) {5}

Resuelve : x+2+

4

x+1=1

a) {0} b) {-1} d) {1}

Clave:

c) {2} e) { }

Resuelve : x+5- x-3=2 a) {1} b) {2} d) {4}

c) {3} e) {5}

Resolución: Resolución:

Clave: 54

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5 Resuelve :

5

x+2 x=0

a) {- 4} b) {4} d) {1}

Resuelve : x- x-6=0 a) {- 4} b) {4} d) {5}

c) {0} e) {2}

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Resuelve : 3

c) {9} e) {16}

Clave:

6 x2 - x + 1 + (x + 4) (x - 2)=2 3 (x - 1)2 + x x2 + 2x - 8

a) {1} b) {2} d) {4}

c) {3} e) {5}

Resuelve : 6-x x+4 + = 2 x+4 6-x a) {1} b) {2} d) {4}

c) {3} e) {5}

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 55

Álgebra - 4to Sec. 7

La suma de las raíces de la siguiente ecuación: 3

7

x - 1 + x + 2 = 14 + x - 7 + x

x - 5 + 3 x - 6 = 3 2x - 11

es:

es: a) 6 b) 11 d) 33/2

La solución de la ecuación :

a) 5 b) 4 d) 2

c) 31/2 e) 35/2

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

La solución de la ecuación :

a) a b) 4a d) 16a

Clave:

8

x-a x- a = +2 a a+ x 3

es :

c) 3 e) 1

c) 9a e) 25a

La solución de la ecuación : x+5-

x-5= 2 x

es : a) 4 b) 5 d) 25

c) 9 e) 36

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 56

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

7

Sistema de Ecuaciones Lineales

Sistemas Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismo valores de sus incógnitas.



Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los siguientes métodos:

solución de un sistema

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierten en identidades. Conjunto Solución (C.S.) Es la unión de todas las soluciones de un sistema. Ejemplo: *

x+y=9 x-y=3 Solución: (6; 3) C.S. = {(6; 3)}

*

x2 + y2 = 13 x . y = -6 Solución: (3; -2)(-3; 2)(2; -3) (-2; 3) C.S. = {(3; -2)(-3; 2)(2; -3)(-2; 3)}



Regla de Cramer:

Sea el sistema :

Es el sistema en el cual cada una de sus ecuaciones es de primer grado.

*

Reducción (Gauss) Sustitución Igualación Determinantes (regla de Cramer) Matricial Por gráfico

Sistema de dos Ecuaciones con dos incógnitas

Sistema de Ecuaciones Lineales

Ejemplo:

Incógnitas: x1 , x2 , x3 Coeficientes: a1, a2, a3, ..., d1, d2, d3

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

El conjunto solución es: x=

Dx D sistema

;

y=

Dy D sistema

donde: D sistema = Determinante del sistema D x = Determinante de x D y = Determinante de y D sistema =

a 1 b1 a 2 b2

= a1b2 - a2b1

Dx=

c 1 b1 c2 b2

= c1b2 - c2b1

Dy=

a 1 c1 a 2 c2

= a1c2 - a2c1

a1x1 + b1x2 + c1x3 = d1 a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2 a3x1 + b3x2 + c3x3 = d3 Solución: (r, s, t)

Formando líderes con una auténtica educación integral

57

Álgebra - 4to Sec. Ejemplo:

1. Determinado Si:

Resuelve: 5x + 3y = 5 4x + 7y = 27

2. Incompatible Si: y

y

5 3 27 7 5 x 7 - 27 x 3 x= = 5x7-4x3 5 3 4 7 35 - 81 = = -2 35 - 12 5 5 4 27 5 x 27 - 5 x 4 y= = 5x7-4x3 5 3 4 7 135 - 20 = =5 35 - 12

[2]

Las rectas son paralelas

[2]

(x0, y0) [1]

[1]

x

x

a1 b1 a2 ≠ b2

a1 b1 c1 a2 = b2 ≠ c2

Solución única

3. Indeterminado Si: y

[2]

CLASIFICACIÓN de LOS sistemaS 1. Sistema Compatible

Las rectas están superpuestas [1]

Es aquel sistema que admite por lo menos una solución. Estos sistemas pueden ser:

a1 b1 c1 a2 = b2 = c2

x

a. Sistema Compatible Determinado Se conoce así cuando el número de soluciones es limitado, generalmente un sistema es de este tipo cuando el número de ecuaciones es mayor o igual al número de incógnitas.

2x + 10y = 12 8x - 7y = 5

b. Sistema Compatible Indeterminado Es cuando el número de soluciones es ilimitado; generalmente un sistema es de este tipo cuando el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas. Ejemplo:

x + y + z = 10 2x + 3y + 5z = 20

2. Sistema Incompatible Es aquel sistema que no admite solución. Ejemplo:



x+y+z=9 y - z + 2x = 9 2x - y = 1

ANÁLISIS GRÁFICO deL sistema a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 58

2x + 5y = -24 ... (I) 8x - 3y = 19 ... (II)

Resolución:

Ejemplo:

1. Resuelve:

Si multiplicamos la ecuación (I) x 3 y (II) x 5; se obtiene: 6x + 15y = -72 40x - 15y = 95 46x = 23 x = 23/46 x = 1/2 2. Luego de resolver: indica (m + n).

Reemplazando en (I):

(-24 - 2(1/2)) 5 y = -5 y=

4/m + 2/n = 6 3/m + 2/n = 5

Resolución: Sea: x = 1/m ∧ y = 1/n se tiene: 4x + 2y = 6 ... (I) 3x + 2y = 5 ... (II) Restando (II) de (I) se obtiene: x = 1 ⇒ 1/m = 1 ⇒ m=1 Reemplazando en II: 4(1) + 2y = 6 y=1 1/n = 1 n=1 \ m+n=1+1= 2

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Luego de resolver el sistema: x + y = 5 x - y = 7 indica el valor de 3x + y.

4) Resuelve: 2x - y = 1 x + 3y = 11 y halla “x . y”.

Rpta: _____

Rpta: _____

5) Resuelve: 3x - 25 = 2y 3y + 5 = -2x e indica “x + y”.

2) Resuelve: 7x + 8y = 29 5x + 11y = 26 Rpta: _____

Rpta: _____

6) Resuelve: x+1 -3=0 y x +1=3 y+1 2 2

3) Resuelve: 10x + 9y = 8 8x - 15y = -1 y da como respuesta “x + y”. Rpta: _____



indicando el valor de “x - y”. Rpta: _____

Para Reforzar 4) Halla “x” en: 2x - y = 1 x + 2y = 8

1) Luego de resolver el sistema: x+y=8 x - y = 10 indica el valor de “y”.

Rpta: _____

Rpta: _____

5) Halla “y/x” en: 3x - 5y = 5 4x + 3y = 26

2) Halla “y” en: 2x + 5y = -24 8x - 3y = 19

Rpta: _____

Rpta: _____

3) Luego de resolver: 2x + y = 3 y + x = 2 indica el valor de E = x - y. Rpta: _____

6) Del sistema: 3(x + 2) - 3(y - 4) = 12 2(x - 3) + 4(y - 3) = 8 halla “5x + y”. Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

59

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 7

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Resuelve: x(3 + y) = y(5 + x) - 25 4(3 - y) = 2(x - 2) + 18 - 2y a) {(-3; 2)} b) {(5; -2)} d) {(-15/4; 11/4)}

1

c) {(-5; 2)} e) {(-3; 0)}

Resuelve:

3x + y = 2(x + 9) 5x - y = 4(x + 4)

a) {(2; 1)} b) {(16; 1)} d) {(0; 2)}

Resolución:

c) {(17; 3)} e) {(17; 1)}

Resolución:

Clave:

2

Resuelve: 20/x - 12/y = 3 8/x + 30/y = 7 indica “x + 2y”. a) 10 b) 16 d) -4

2

c) 12 e) 20

Resolución:

Resuelve: 30/x + 20/y = 11 25/x - 16/y = 1 e indica el valor de “x”. a) -4 b) 6 d) 8

c) 5 e) 9

Resolución:

Clave: 60

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 3 Halla “y” en: a) 5

3

6 x+2 9 + x+2

8 = -2 y-3 2 =4 y-3

b) 4

d) 1

Dado el sistema:

17 5 =5 x+y x-y 34 1 x+y - x-y =5

halla “x - y”.

c) -5 e) 2

a) 0 b) -1 d) 3

c) -2 e) 4

Resolución: Resolución:

Clave:

4

Resuelve: 10/x - 9/y = 2 7/x + 6/y = 11/2 y da como respuesta el producto de sus soluciones. a) -6 b) -4 d) 6

c) 4 e) 15

Clave:

4

Dado el sistema:

1 + 3 =8 x+2 x-y 7 5 9 26 + = x+2 x-y 7

halla “x + y”. a) 1 b) 3 d) 5

c) 7 e) 9

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 61

Álgebra - 4to Sec. 5

El par (2; 1), verifica el sistema: ax + by + 10 = 0 ax - by + 2 = 0 halla “a - b”. a) -1 b) 20 d) -5

5

c) -9 e) -4

Si el par ordenado que verifica: nx + y = 4 y + mx = 2 es (1; 2), halla “nm”. a) 1 b) 2 d) -1

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

¿Para qué valores reales del parámetro “k” el sistema tiene solución única? 3x + (k - 2)y = k + 3 3x + 5y = 8 a) R - {1} b) R - {0} d) R

c) 0 e) -2

c) R - {7} e) R - {-4}

Clave:

6

Halla los valores de “a” para que el sistema tenga solución única. (a2 - 1)x + y = 1 4x - y = 4 a) R

b) R - {1}

{

}

-1+ 5 d) R - 2

c) R - {0} e) R - {-2}

Resolución: Resolución:

Clave: 62

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 7

Determina los valores del parámetro “k” para que el sistema sea inconsistente: kx + (k + 3)y = k + 6 8x + (k + 10)y = 30 a) 4; -6 b) 1; 2 d) 7; 1/3

7

c) 3; -5 e) 2; -1

Halla el valor de “m” para que el sistema no tenga solución. (5m + 1)x + (5m + 2)y = 7 (3m - 2)x + (3m - 1)y = 4 a) 0 b) -1/2 d) 3/2

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Dado: nx + 3y = 2n + 3 2x + (n - 1)y = 4n - 6 determina el valor de “n” para que el sistema sea compatible indeterminado. a) 3 b) 4 d) 3 y -2

c) -3/2 e) 1/2

c) -2 e) 2

Clave:

8

Halla (m + n) para que el sistema sea compatible indeterminado. 5x + 3y = 1 mx - ny = 4 a) 5 b) 6 d) 8

c) 7 e) 10

Resolución: Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

63

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

Sistema No Lineales

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

⇒ (x + y + 3)(x + y - 2) = 0

Es el conjunto de dos o más ecuaciones en el cual las expresiones matemáticas que intervienen en el sistema pueden ser algebraicas o no algebraicas.

I) Si x + y = -3 en (2) xy = 5 ⇒ y = -x - 3 ⇒ x(-x - 3) = 5 x2 + 3x + 5 = 0

Ejemplos:

Cuya ecuación no deja soluciones reales.



y = x2 2x + 5y = 20 Sistema algebraico



log(2x) + y = 5 1/2 yx + 5y = 20 Sistema no algebraico

8

II) Si x + y = 2 en (2) xy = 0 ⇒ y = 2 - x ⇒ x(2 - x) = 0 Donde: x = 0 ∨ x = 2 y=2 ∨ y=0 Como x < y ⇒ x = 0 ∧ y = 2 \ xy = 0

Para poder resolver el Sistema de Ecuaciones No Lineales no existe un método general; sin embargo, de acuerdo a la forma que presenta el sistema, se resolverá utilizando: productos notables, factorización, diversos artificios, inclusive gráficamente.

2. Indica el número de soluciones del sistema: xy - 6 = y3/x ... (1) xy + 24 = x3/y ... (2) Resolución: Sumando a la ecuación (2), 4 veces la ecuación (1) se obtiene: 5xy = 4y3/x + x3/y ⇒ 4y4 - 5x2y2 + x4 = 0

1. Al resolver: x2 + xy + y2 = 4 ... (1) x + xy + y = 2 ... (2) (x0, y0) es una solución con x0 < y0. Halla x0y0. Resolución: x2 + xy + y2 = 4

(+)

x + xy + y = 2 x + 2xy + y2 + x + y = 6 (x + y)2 + (x + y) - 6 = 0 2

64

Factorizando: (4y2 - x2)(y2 - x2) = 0 De donde: x = ±2y ; x = ±y I) x = y en (1): x2 - 6 = x 2 ⇒ ∃ x II) x = -y en (1): -x2 - 6 = -x2 ⇒ ∃ x

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. III) x = 2y en (2): 2y2 + 24 = 8y2 ⇒ y = ±2 ⇒ x = 4 ; y = 2 ⇒ (4; 2) es solución x = -4 ; y = -2 ⇒ (-4; -2) es solución

5. Luego de resolver, indica el valor de (x + y - z)2.

IV) x = -2y en (2): -2y2 + 24 = -8y2 ⇒ y = ±2i x = -4i; y = 2i ⇒ (-4i; 2i) es solución x = 4i; y = -2i ⇒ (4i; -2i) es solución

\ existen 4 soluciones.

3. ¿Cómo debe ser la dependencia entre “a” y “b” para que el sistema tenga solución única? x + y = 3 ... (1) ax + by = 5b ... (2) 5x - 3y = 7 ... (3)

De (1) y (3) x + y = 3 ... (1) ⇒ y=3-x 5x - 3y = 7 ... (3) En (3):

5x - 3(3 - x) = 7 ⇒ x = 2

En (1):

y=3-2 ⇒ y=1

En (2):

a(2) + b(1) = 5b 2a = 4b







Resolución: (1) + (2) + (3): x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 64 ⇒ (x + y + z)2 = 64 x + y + z = 8 ∨ x + y + z = -8 En (3): z(x + y + z) = 8 I) Si x + y + z = 8 ⇒ z = 1 x+y-z=6 II) Si x + y + z = -8 ⇒ z = -1 x + y - z = -6 \ (x + y - z)2 = 36

Observación

Resolución:



x2 + xy + xz = 24 xy + y2 + yz = 32 xz + yz + z2 = 8

\ a = 2b

4. ¿Qué valor debe darse a “m” para que el sistema admita solución única? y + mx = 2 ... (1) x + y = 10 ... (2) x + my = 3 ... (3) Resolución: (1) + (3): y + mx + x + my = 5 ⇒ y(m + 1) + x(m + 1) = 5 (m + 1)(x + y) = 5 pero (x + y) = 10 , ⇒ (m + 1) . 10 = 5 \ m = -1/2

Formando líderes con una auténtica educación integral

Sistemas equivalentes son aquellos que poseen una misma solución. * Si D sistema ≠ 0 ⇒ compatible determinada * Si D sistema = D x = Dy = 0 ⇒ compatible indeterminada * Si D sistema = 0 y (D x ≠ 0, D y ≠ 0) ⇒ inconsistente o indeterminada

En electrónica de consumo, los circuitos integrados han hecho posible el desarrollo de muchos nuevos productos, como computadoras y calculadoras personales, relojes digitales y videojuegos. Se han utilizado también para mejorar y rebajar el costo de muchos productos existentes, como los televisores, los receptores de radio y los equipos de alta fidelidad. Su uso está muy extendido en la industria, la medicina, el control de tráfico (tanto aéreo como terrestre), control medioambiental y comunicaciones.

65

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Si (x0, y0) es una solución del sistema: x2 + xy + y2 = 5 x + xy + y = 7 calcula el mayor valor (x0 + y0). Rpta: _____

2) Al resolver: x2 + x + y = 22 xy (x + 1) = 40 da como respuesta un valor de “xy”. Rpta: _____

3) Resuelve: (x + 3y)(x - y) = 48 x+y=8 e indica los valores de “y”. Rpta: _____

4) Resuelve: x + 2y + z = 4 x + y + 2z = 1 2x + y + z = 7 y halla “x + y + z”.

5) Resuelve: x + y + 2z = 4 x + 2y + z = 3 2x + y + z = 5 y halla “x”.

Rpta: _____

Rpta: _____

6) Halla “x - y” si: x + 2y + 4z = 31 5x + y + 2z = 29 3x + y + z = 10 Rpta: _____

Para Reforzar 1) Si (x0, y0) es una solución del sistema: x2 + y2 = 2xy + 4 x+y=6 calcula el mayor valor de 2x0 + 5y0. Rpta: _____

2) Al resolver, calcula el mayor valor de “y”. x2 + x + y = 12 xy(x + 1) = 11 Rpta: _____

3) Calcula el menor valor de “y” luego de resolver: x2 - y = 47 x2y = 98 Rpta: _____

66

4) Resuelve: x+y-z=2 x-y+z=3 -x + y + z = -5 y halla “x + y + z”. Rpta: _____ 5) Resuelve: x+y=4 y+z=9 z+x=1 y halla “x + y + z”. Rpta: _____ 6) Sea el sistema: x+y+z=6 2x + y - z = 1 3x - 2y + z = 2 halla “xyz”.

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 8

Para el profesor: 1

Para el alumno:

En el siguiente sistema de ecuaciones: m+n+r=4 m+n-r=0 5r - 3m + 4n = -3 halla el valor de R =

1

m+n r

a) 1 b) 3 d) 1/3

Resuelve: y halla “y”.

x+y=5 x + 2y + z = 12 x+z=6

a) 1 b) 2 d) 4 c) 2/5 e) 5/2

c) 3 e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Indica “y” si: 5x + 4y = xy/6 3x + 4z = xz/6 3y + 5z = yz/6 a) 48 b) 80 c) 60 d) 36 e) 120

Clave:

2

Halla “x . y . z” en: x + y = 10 y + z = 6 z + x = 8 a) 21 b) 24 c) 34 d) 48 e) 56 Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 67

Álgebra - 4to Sec. 3

Resuelve el siguiente sistema: (x + y)(y + z) = 0 (x + y)(x + z) = 3 (x + z)(y + z) = 0 2 y halla M = x - y2. a) 2 b) 3 d) 5

3

c) 4 e) 6

Resuelve: x2 + xy + xz = 24 ... (1) yx + y2 + yz = 32 ... (2) xz + yz + z2 = 8 ... (3) y halla el valor de (x + y + z)2. a) 25 b) 64 d) 81

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Resuelve: a(a + 2b + 3c) = 50 b(a + 2b + 3c) = 10 c(a + 2b + 3c) = 10 da como respuesta la suma de las componentes de una de las soluciones (a0, b0, c0). a) 6 b) 8 d) -7

c) 60 e) 90

c) 9 e) -8

Clave:

4

Encuentra el valor de “y” en: x(x + y + z) = 48 y(x + y + z) = 12 z(x + y + z) = 84 a) -3 b) 2 d) 1

c) 0 e) -2

Resolución: Resolución:

Clave: 68

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5 Resuelve:

5

x(y + z) + z2 = 14 y(z + x) + x2 = 9 z(x + y) + y2 = 13 indicando el valor máximo de (x + y + z). a) 4 b) 6 d) 8

Resuelve el sistema: x+y=y+z+4=z+x-8=6 indicando el valor máximo de (x + y + z). a) 15 b) 16 d) 17

c) 9 e) 7

c) 18 e) 20

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Dado el sistema:

x3 + y3 = 35 xy(x + y) = 30 determina la suma de las soluciones reales para “x” e “y”. a) 5 b) 9 d) 12

c) 10 e) 17

Resolución:

Clave:

6

Resuelve el sistema y da el valor de “z”: xy + x + y = 23 xz + x + z = 41 yz + y + z = 27 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 69

Álgebra - 4to Sec. 7

Resuelve:

x2 - y2 = 1 y2 - z2 = 2 z2 - x2 = 3

a) R c) {(1; -1; 0)} d) ∅

7

b) R+

Si: x/y (x + y) = 12 y/x (x + y) = 3 halla “xy”. a) 2 b) 4 d) 8

e) R - {(0; 0; 0)}

c) 6 e) 1

Resolución: Resolución:

Clave:

8

Siendo (x0; y0) la única solución al resolver el sistema: x2 + y2 + 2x ≤ 1 x-y+a=0 el valor de (x0 + y0) es: a) -1 b) -2 d) -4

c) -3 e) -5

Clave:

8

Si el sistema: y - b = x2 x - b = y2 debe tener 2 soluciones reales, entonces el máximo valor entero de “b” es: a) 0 b) -4 d) -2

c) -3 e) -1

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 70

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

9

Desigualdades

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES Sea R el conjunto de números reales, provisto de dos operaciones; la adición (+), la multiplicación (x) y una relación de orden (< : menor que) que constituye el Sistema de los Números Reales. R : (+, x, 0 → ac < bc; ∀ a, b ∈ R 3. a < b ∧ c < 0 → ac > bc, ∀ a, b ∈ R

[a; b〉 = {x ∈ R / a ≤ x < b}



(signos iguales)

-∞

+∞ a

5. ab < 0 ↔ {(a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)} (signos diferentes)



a > 0 → (1/a) > 0



a < 0 → (1/a) < 0

-∞

+∞ a

b

D. Intervalos Infinitos

7. a < b → a2n-1 < b2n-1, ∀ n ∈ N

〈a; +∞〉 = {x ∈ R / x > a}



8. 0 < a < b → a2n < b2n, ∀ n ∈ N 2n

b

〈a; b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}



6. ∀ a ∈ R - {0} : a y a-1 presentan el mismo signo.

2n

9. a < b < 0 → a > b , ∀ n ∈ N

-∞

10. Si a < x < b ∧ ab < 0; entonces 0 ≤ x2 ≤ máx(a2, b2)

13. Si 0 < a < b; entonces: a+b a< 0 ↔ {(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)}



b

B. Intervalo Abierto

∀ a ∈ R se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones: a>0 ∨ a b > 0 → a3 < a2b < ab2



Si a > b > 0; indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. 1/a < 1/b II. a2 > b2 III. a3 > b3



a) VVV b) FVV d) FVF



a) VVV b) VVF d) FFF



Resolución:



Resolución:

c) FFF e) VFF

3

Clave:

Clave:

Si 3 ≤ x ≤ 7; además la expresión: 2x + 1 M= 2x - 5 pertenece al intervalo [a, b]. Calcula 3a + 2b.

4

calcula el valor de A2 + B2.



a) 12 b) 14 d) 31



a) 12 b) 13 d) 34



Resolución:



Resolución:

4

c) 19 e) 27

Clave: 76

c) VFF e) VFV



Si x ∈ [-1, 9/5] y A ≤

3 - 5x 2 ≤B

c) 25 e) 26

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. Si x ∈ R; halla la variación de 2x y= 1 + x2 5

5



a+b 2ab ≥ ≥ ab 2 a+b a+b 2ab b) ab ≥ ≥ 2 a+b c) a + b ≥ ab ≥ 2ab 2 a+b 2ab a+b d) ab ≥ ≥ a+b 2 e) N.A.



Resolución:



a) [-1, 1] b) [0, 1] d) [-2, 2]

c) [0, 2] e) [-1, 0]





Resolución:

Sabiendo que {a, b} ⊂ R+, ¿cuál de las siguientes relaciones es correcta?



a)

Clave: 6

Calcula el menor valor de M si: 4x – x2 – 10 ≤ M para todo valor real de x.



a) -4 b) -5 d) -7



Resolución:

c) -6 e) -8

Clave: 6

Halla el menor valor de “m” con la propiedad 7 + 12x – 2x2 ≤ m (∀ x ∈ R)



a) 18 b) 16 d) 21



Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

c) 25 e) 20

Clave: 77

Álgebra - 4to Sec. 7

Si (a + b)(b + c)(a + c) ≥ Kabc, halla el mayor valor de “K” si {a, b, c} ⊂ R+

7

Si p + q + r = 7; {p, q, r} ⊂ R+, calcula el mayor valor de “m”: (7 - p)(7 - q)(7 - r) > mpqr



a) 1 b) 2 d) 4



a) 2 b) 6 d) 7



Resolución:



Resolución:

c) 3 e) 8

Clave: 8

c) 8 e) 16

Clave: 8



Indica cuál es el máximo valor que toma la expresión: f(x) = -x2 + 2x + 9



Indica cuál es el mínimo valor que toma la expresión: f(x) = x2 - 6x + 2



a) 6 b) 7 d) 9



a) -5 b) -6 d) -8



Resolución:



Resolución:

c) 8 e) 10

Clave:

c) -7 e) -9

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 78

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

Inecuaciones de Primer Grado

DESIGUALDAD En el campo de los números reales tenemos una propiedad de orden que se acostumbra designar con el símbolo (0

SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN Son todos los valores que satisfacen a la inecuación. La solución se da en forma de intervalo. PROPIEDADES FUNDAMENTALES

Las desigualdades son quizá tan importante en las aplicaciones de las matemáticas como las ecuaciones. En efecto, el grado de conocimiento del mundo físico se obtiene midiendo (no meramente contando), ese conocimiento se describe por desigualdades.

1. Si a ambos miembros de una inecuación se le suma o se le resta una misma cantidad el sentido de la desigualdad no se altera. Si a > b, entonces a + c > b + c; ∀ a, b, c ∈ R

Si decimos que el diámetro “d” del planeta Venus es de 7 700 millas, queremos decir: 7 650 < d < 7 750

2. Si a ambos miembros de una inecuación se le multiplica por una misma cantidad mayor que cero el sentido de la desigualdad se mantiene. Si a > b, entonces ac > bc; ∀ c > 0

Un momento de reflexión muestra que una medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física, tal como:una distancia, un peso, una velocidad, etc., es completamente imposible; la precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden hacerse totalmente para medir dentro de ciertas tolerancias específicas, nunca exactamente.



Si la cantidad por la cual se multiplica es menor que cero, el sentido de la desigualdad se invierte Si a > b, entonces ac < bc; ∀ c < 0

3. El principio anterior se cumple para la división:

También veremos después que las desigualdades son esenciales para aclarar conceptos fundamentales como el límite, sobre el cual se construye todo el cálculo. Por estas razones es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Si a > b, entonces a/c > b/c; ∀c>0 Si a > b, entonces a/c < b/c; ∀cb c>d entonces: a + c > b + d

4. Resuelve:

-5(x - 1/5) ≤ 3 - 5x

Resolución: Efectuando la multiplicación indicada: -5x + 1 ≤ 3 - 5x

5. Si a < b, entonces b > a.

Reduciendo:

6. Si a < x + c < b, entonces a-c 1, resuelve:

x/3 + x/2 + x/6 > 5 MCM(3, 2, 6) = 6 2x + 3x + x 6x > 5 → > 5 6 6 x>5

Resolución: Como: a > 1 → “1 - a” es menor que cero.

\ x ∈ 〈5, +∞〉

Multiplicando por (1 - A) miembro a miembro cambiará la desigualdad:

2. Resuelve: (3x + 2)(x - 5) - (12x - 76) > 3(x + 7) (x - 1) - 42

( 3x1 --a2 ((1 - A) > (4x + 5)(1 - A)

Resolución: 3x2 - 13x - 10 - 12x + 76 > 3x2 + 18x - 21 - 42 3x2 - 25x + 66 > 3x2 + 18x - 21 - 42 -25x + 66 > 18x - 63

3x - 2 > 4(1 - A)x + 5(1 - A) Transportando las “x” a un solo miembro: 3x - 4(1 - A)x > 5(1 - A) + 2

Transponiendo términos: 66 + 63 > 18x + 25x 129 > 43x ↔ 43x < 129 x < 129/43 x 5 - 5a + 2 [3 - 4 + 4a]x > 7 - 5a

\ x ∈ 〈-∞, 3〉 3. Resuelve:

3x - 2 < 4x + 5 1-a



(4a - 1)x > 7 - 5a

3x - 5 > 3(x - 5/3)

como (4a - 1) es mayor que cero:

Resolución:

\ x > 7 - 5a 4a - 1

Efectuando la multiplicación indicada: 3x - 5 > 3x - 5 Reduciendo términos se tiene: 0>0 lo cual es falso, en consecuencia la inecuación es incompatible. \ x∈φ 80

Formando líderes con una auténtica educación integral

Formando líderes con una auténtica educación integral

> mayor que... < menor que... ≥ mayor o igual que... ≤ menor o igual que...

signos de relación

la relación que existe entre cantidades que tienen diferente valor.

es

Definición

a>b↔a-b>0 a 0 se verifica ∀ x, y ∈ R

ejemplo

aquella que se verifica para cualquier número real asignada a su variable.

es

Absolutas

DESIGUALDAD

2x + 3 > 9 se verifica sólo para x>3

ejemplo

aquella relación que se verifica sólo para determinados valores que se asignen a sus variables.

es

Relativas o inecuaciones

desigualdades

Clases

Álgebra - 4to Sec.

81

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcula la suma de los valores de los números enteros “x”, tal que: 5 ≤ 2x + 1 ≤ 11

4) Resuelve: 3x - 2 x + 2 x 4(x - 1) indicando el menor valor entero que adopta “x”. Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Calcula la suma de los valores de los números enteros “x”, tal que: 3 ≤ 2x ≤ 10

4) Resuelve: x+2 x+6 x+3 + + ≤ 5 3 5 7 indicando su intervalo solución.

Rpta: _____

Rpta: _____ 5) Resuelve:

2) Resuelve:

x+1 x-1 + ≥ 6 2 3 indicando el intervalo solución.

x+5 x-3 + > 5 4 2 Rpta: _____

3) Resuelve: x-2 x+1 x+4 + + ≥ 3 3 6 9

6) Resuelve:

x x x x + + < +5 2 3 4 6 e indica el mayor valor entero que la verifica.

Rpta: _____

82

Rpta: _____

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 10

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Resuelve:

1

Resuelve:



a) 〈-∞, -3] b) [3, ∞〉 d) [37, ∞〉



Resolución:

3x+ 4 x 2x + 1 ≥ 8+ 2 5 3

a) 〈-∞, 10] b) [-10, ∞〉 d) [-10, 10]



Resolución:

c) [10, ∞〉 e) 〈-∞, -10]

5x - 1 3x - 2 x ≤ 2+ 4 5 30

Clave:

c) [-3, ∞〉 e) 〈∞, 3]

Clave:

2

Resuelve: x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3)

2

Resuelve: (x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ x3 + 6x2 + 10x + 12



a) 〈-∞, -1〉 b) 〈1, ∞〉 d) 〈1, 1〉



a) x ≥ 10 d) x ∈ φ



Resolución:



Resolución:

c) 〈-∞, 1〉 e) 〈1, ∞〉

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

b) x ≤ 6

c) x ≥ 4 e) x ≥ 6

Clave: 83

Álgebra - 4to Sec. 3

Resuelve:



a) 〈-∞, -1] b) [-1, ∞〉 d) [1, ∞〉



Resolución:

(x2 – 1)(x + 2) ≥ x(x + 1)2 c) 〈-∞, 1] e) [-1, 1]

3

Resuelve: (x + 8)(x + 3) < x(x + 11) + 12



a) x ∈ 〈-∞, 3〉 c) x ∈ 〈-∞, 12〉 d) x ∈ R



Resolución:

b) x ∈ 〈24, ∞〉 e) x ∈ φ

Clave: 4

Resuelve:



a) x ∈ 〈-∞, -6〉 c) x ∈ 〈-∞, -2〉 d) x ∈ R



Resolución:

7x + 9 < 6x + 3 < 5x + 1 b) x ∈ 〈-∞, -2] e) x ∈ φ

Clave: 84

Clave: 4

Resuelve:

a) x ∈ [6, 15] b) x ∈ R d) x ∈ [-1, 1]



Resolución:

2 ≤ 2x - 10 ≤ 20 c) x ∈ [6, 18] e) N.A.

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5

Halla cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones. 11 - 6x ≤ 1 - x < 7 - 2x



a) 1 b) 3 d) 5



Resolución:

c) 4 e) 6

5

Uno de los números pares que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones: x-3 x 1+x ≤ ≤ 2 5 2



a) -2 b) 3 d) 5



Resolución:

Clave: 6

c) 4 e) 6

Clave: 6



Resuelve: (3a - 2b)x (3b - 2a)x + 7b ≥ + 7a 5 5 sabiendo que a < b.



Resuelve: ax + 2b bx + 2a +b< +a 3 3 sabiendo que a < b.



a) 〈-∞, 7] b) [7, ∞〉 d) [5, 7]



a) 〈-∞, 5〉 b) 〈-5, ∞〉 d) 〈-5, 5〉



Resolución:



Resolución:

c) 〈-∞, 5] e) [5, ∞〉

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

c) 〈5, ∞〉 e) 〈-∞, -5〉

Clave: 85

Álgebra - 4to Sec. 7

Resuelve:



a) x ≥ -a + b b) x ≥ a d) x ≤ b



Resolución:

a(x + b) + b(x - a) ≥ a - b si a < b < 0. 2

2

c) x ≤ a - b e) x ≥ a - b

7

Si a < b; a, b ∈ R+, resuelve: a b b a x+ x≥ + b a a b



a) x ≥ 1 b) x ≥ 2 d) x ≤ 2



Resolución:

Clave: 8

Clave:



Después de resolver el sistema mostrado a continuación 2x - 3 x-1 + < 2 9 5 3x - 2 x + 2 + > 4 5 3 indica el número de valores que la verifican.



a) 1 b) 2 d) 4



Resolución:

c) 3 e) 5

c) x > 1 e) x ≤ 1

8

Resuelve el siguiente sistema: x-1 x+1 + < 2 4 6 2x + 1 x + 1 + > 2 3 2



a) 〈1, 5〉 b) 〈1, 4] d) {3}



Resolución:

Clave:

c) 〈2, 4〉 e) [2, 5〉

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 86

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

Inecuaciones de Segundo Grado

INECUACIÓN CUADRÁTICA

11

Procedimiento

Forma general:

1. Se factoriza el polinomio. P(x) = ax + bx + c < > 0; a ≠ 0 2

2. Hallamos los dos puntos críticos, luego se ordenan en la recta real en forma creciente.

donde {a, b, c} ⊂ R

3. Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello se colocan entre los puntos críticos los signos (+) y (-) alternadamente de derecha a izquierda; comenzando por el signo (+).

De donde se obtiene: ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ≥ 0; ax2 + bx + c ≤ 0 La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante: D = b2 - 4ac primer caso Si D > 0 ∧ a > 0; el polinomio ax2 + bx + c es factorizable en el campo real. Para resolver utilizaremos el método de los puntos críticos. a(x - x1)(x - x2) < >0

4. Si tenemos: P(x) = ax2 + bx + c < 0 o P(x) = ax2 + bx + c ≤ 0 el conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo (-). En forma análoga: P(x) = ax2 + bx + c > 0 ∨ P(x) = ax2 + bx + c ≥ 0 el conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparece el signo (+).

Ejemplos: Intervalos

Factorizando

Puntos críticos

Graficando

x2 + x - 20 ≤ 0

(

)(

){

}

5x2 + x - 6 > 0

(

)(

){

}

20x2 - x - 1 < 0

(

)(

){

}

6x2 - 13x + 6 ≥ 0

(

)(

){

}

ax + (a+1)x + 1 < 0 ( ∀a>0

)(

){

}

(

)(

){

}

2

2x2 + 9x + 9 ≤ 0

Formando líderes con una auténtica educación integral

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

+∞

Conjunto solución

87

Álgebra - 4to Sec. segundo caso

TERCER caso

Si D = 0 ∧ a > 0; el polinomio ax2 + bx + c se transforma a un trinomio cuadrado perfecto de la forma:

Si D < 0 ∧ a > 0; el polinomio ax2 + bx + c se transforma en un cuadrado perfecto más un cierto número real positivo, de la forma:

(mx + n)2 < >0

(mx + n)2 + k < > 0 ; k >0

Ejemplo: Ejemplo:

Resuelve: x2 - 10x + 25 < >0

Resuelve: x2 + 2x + 6 < >0

Resolución: Resolución:

Calculando el discriminante:

Calculando el discriminante:

D = (-10)2 - 4(1)(25) = 0 x2 - 10x + 25 < >0 trinomio cuadrado perfecto



(x - 5)2 < >0

Luego: x2 + 2x + 1 + 5 < >0

Resolviendo cada una de las desigualdades: a. (x - 5)2 ≥ 0 se verifica: ∀ x ∈ R → \ C.S. = R



(x + 1)2 + 5 < >0 Resolviendo cada una de las desigualdades: a. (x + 1)2 + 5 > 0

c. (x - 5)2 < 0 se observa una inecuación, la cual no se verifica para ningún valor de x ∈ R: \ C.S. = φ

+



x2 - 6x + 9 < 0

Se verifica: ∀ x ∈ R \ C.S. = R = 〈-∞, +∞〉



+



+

También se verifica: ∀ x ∈ R \ C.S. = R = 〈-∞, +∞〉

Conjunto solución

c. (x + 1)2 + 5 < 0

x2 - 6x + 9 > 0 x2 - 6x + 9 ≥ 0

+

b. (x + 1)2 + 5 ≥ 0

d. (x - 5)2 ≤ 0 la inecuación sólo se cumple si: x-5=0 \ C.S. = {5}

Trinomio cuadrado perfecto

trinomio cuadrado perfecto



b. (x - 5)2 > 0 se verifica: ∀ x ∈ R; a excepción de: x-5=0 x=5 \ C.S. = R - {5}

Inecuación

D = 22 - 4(6)(1) D = -20 < 0

+

+



Nunca se verifica, pues el primer miembro siempre es mayor que cero:



\ C.S. = φ

2

x - 6x + 9 ≤ 0

d. (x + 1)2 + 5 ≤ 0

x2 + 4x + 4 > 0 x2 + 4x + 4 ≥ 0

88

+



+

Nunca se verifica:

\ C.S. = φ

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. Inecuación

- C.S. = R Comentario Completando - Se verifica ∀ x ∈ R = 〈-∞, +∞〉 cuadrados - Nunca se verifica - C.S. = φ

Corolario Si el polinomio:

x2 + 2x + 9 > 0

P(x) = ax2 + bx + c; {a, b, c} ⊂ R

2

4x - 4x + 6 < 0

tiene discriminante: D < 0; (a < 0), entonces:

x2 + 4x + 12 ≥ 0 x2 - 6x + 10 ≤ 0

ax2 + bx + c > 0; ∀ x ∈ R

x2 - 2x + 7 > 0 4x2 + 4x + 9 < 0 x2 + 6x + 10 ≥ 0

1. Resuelve: x2 - 11x + 28 > 0 teorema del trinomio positivo

Resolución: D = (-11)2 - 4(1)(28) = 9 > 0

Si el polinomio: P(x) = ax2 + bx + c; {a, b, c} ⊂ R

Como la discriminante es positiva podremos factorizar el trinomio: (x - 4)(x - 7) > 0

tiene discriminante (D = b2 - 4aC) negativo y (a > 0), entonces: ax2 + bx + c > 0; ∀ x ∈ R

Igualando cada factor a cero:

Ejemplo:

x-4=0 → x=4 x-7=0 → x=7 P.C. = {4, 7}

Halla el menor de los números “M” que cumple la siguiente condición: 4x - x2 - 12 ≤ M; ∀ x ∈ R

Graficando los puntos críticos en la recta real y aplicando la regla de los signos se tendrá:

Resolución: 4x - x2 - 12 ≤ M

+

Multiplicando a todos los términos de la desigualdad por (-1) se tiene: x2 - 4x + 12 ≥ -M 2 x - 4x + (M + 12) ≥ 0

-∞ Como:

Como se verifica (∀ x ∈ R) el primer coeficiente es positivo (1 > 0), entonces el discriminante debe ser menor o igual a cero. Luego tenemos: D = 16 - 4(M + 12) ≤ 0 16 - 4M - 48 ≤ 0 -32 ≤ 4M ↔ 4M ≥ -32 M ≥ -8

7

+∞

(x - 4)(x - 7) > 0

\ x ∈ 〈-∞, 4〉 ∪ 〈7, ∞〉 2. Resuelve: -x2 - 2x + 8 ≥ 0 Resolución: El primer coeficiente debe ser positivo, entonces multiplicamos por (-1) a los miembros de la desigualdad:

M -8

4

+

elegimos las zonas de signo (+)

Graficando: -∞

+

+∞

Del gráfico, el menor valor de “M” es -8.

Formando líderes con una auténtica educación integral

x2 + 2x - 8 ≤ 0 D = 22 - 4(1)(-8) = 36 > 0 89

Álgebra - 4to Sec. Factorizando el trinomio se tendrá:

Resolución:

(x + 4)(x - 2) ≤ 0 P.C. = {-4, 2}

Transponiendo: x2 - 6x + (M - 1) ≥ 0 ; ∀ x ∈ R

Graficando: -

+ -∞

Luego por propiedad, D ≤ 0:

+

-4

2

(-6)2 - 4(M - 1) ≤ 0 ↔ 9 - (M - 1) ≤ 0 10 ≤ M

+∞

Como: x2 + 2x - 8 ≤ 0

\ M = 10

el conjunto solución está en la zona negativa.

5. Si “x” es un número positivo, múltiplo de 17 que satisface las siguientes desigualdades:

\ x ∈ [-4, 2]

0
0

5(x - 120)(x + 5) 0, es x ∈ 〈-2, 3/5〉 Halla a . b . c; {a, b, c} ⊂ Z.



a) -210 b) -180 d) 180



Resolución:

c) -120 e) 210

3

Sea la inecuación cuadrática: x2 - mx + p ≤ 0



cuya solución es x ∈ [2, 4], indica: p - m 2



a) 1 b) -1 d) -2



Resolución:

Clave: 4

Al resolver el sistema: x2 + x + 1 ≤ x + 50 < x2 - 3x + 50 su solución es [a, b〉 ∪ 〈c, d]. Indica M = ac – b – d



a) -28 b) -35 d) 19



Resolución:

c) 0 e) 21

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

c) 2 e) 3

Clave: 4

Resuelve el sistema: 5x - 1 < x2 + 2x + 1 < 7x - 3



a) ]-∞, 2[ b) ]-4, ∞[ c) ]1, 5[ d) ]-∞, 2[ ∪ ]-4, ∞[ e) ]2, 4[



Resolución:

Clave: 93

Álgebra - 4to Sec. 5

Resuelve el sistema: x2 - 5x + 4 < 0 x2 - 5x + 6 > 0

5 Resuelve:



a) x ∈ φ b) x ∈ 〈2, ∞〉 c) x ∈ 〈2, 3〉 d) x ∈ R e) x ∈ 〈1, 2〉 ∪ 〈3, 4〉



a) 〈3, 6〉 b) 〈6, 9〉 c) 〈2, 4〉 d) φ e) 〈-1, 4〉



Resolución:



Resolución:

x2 + 18 < 9x x2 > 2x

Clave: 6

Resuelve:



6

Resuelve:

a) x ∈ R b) x ∈ R - {5/2} c) x ∈ φ d) x ∈ {5/2} e) x ∈ R - {2/5}



a) x ∈ R b) x ∈ φ c) x ∈ {1} d) x ∈ [1, ∞〉 e) x ∈ 〈-∞, 1]

Resolución:



Resolución:

x2 - 20x ≤ -(25 + 3x2)

Clave: 94

Clave:

(x - 1)2 ≤ 0

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 7

Resuelve:

7

Resuelve:



a) x ∈ R b) x ∈ 〈-∞, 4] c) x ∈ φ d) x ∈ [-4, 4] e) x ∈ 〈4, ∞〉



a) x ∈ φ b) x ∈ R c) x ∈ 〈-∞, -7〉 d) x ∈ {7} e) N.A.



Resolución:



Resolución:

4x2 - 12x + 9 ≥ 0

(x + 7)2 ≥ 0

Clave: 8

Resuelve:



Clave: 8

Resuelve:

a) x ∈ R b) x ∈ [-2, 4] c) x ∈ φ d) N.A. e) x ∈ [-1, 1]



a) x ∈ R b) x ∈ φ c) x ∈ [-2, 2] d) x ∈ 〈-∞, 1] e) N.A.

Resolución:



Resolución:

x2 - 2x + 8 > 0

Clave:

x2 - 2x + 4 < 0

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

95

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

12

Ecuaciones con Valor Absoluto

1. Valor Absoluto

En general:

DEFINICIÓN

|-x|

Se llama valor absoluto de un número real “x” y se denota por |x| al número real no negativo que cumple: x; x ≥ 0 |x| = -x; x < 0 También:



0

x

+∞

Para todo x ∈ R; se cumple:

1. |x| ≥ 0 2. |-x| = |x|

Ejemplos:

3. |xy| = |x| . |y|

* |3| = 3; pues 3 > 0 2

2

x2 = |x|

4.

2

* |x + 1| = x + 1; pues x + 1 > 0 * |-5| = -(-5) = 5; pues -5 < 0 * | 3 - 7| = -( 3 - 7) = 7 - 3; pues 3 - 7 < 0

5.

2n

x2n = |x|

6.

|x| x = |y| y

||

7. |x2| = |x|2 = x2

* |0| = 0

3. Ecuaciones con Valor Absoluto

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA La distancia de un número real al cero se denomina valor absoluto y se le representa entre barras.

Son aquellas donde la incógnita viene afectada por el operador | |. Ejemplo 1:

Ejemplo: |-6| -∞

-6

|3x| + 5 = 8 es una ecuación con valor absoluto. 3x + |5| = 8 NO es una ecuación con valor absoluto.

|6| 0

6

+∞

Resolución:

El valor absoluto de -6 es 6, ya que la distancia de -6 al 0 es 6 y se representa como |-6| = 6. También |6| = 6. 96

-x

2. Propiedades

x; x > 0 0; x = 0 -x; x < 0

|x| =

-∞

|x|

Para resolver una ecuación con valor absoluto se debe tener en cuenta la siguiente relación:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. Si |x| = a ∧ a ≥ 0 se cumple que x = a ∨ x = -a

2. Resuelve |2x + 7| = x - 1 Resolución:

Ejemplo 2:

|2x + 7| = x - 1 ⇔ x - 1 ≥ 0 y [2x + 7 = x - 1 ó 2x + 7 = -(x - 1)] ⇔ (x ≥ 1 y [x = -8 ó x = -2])

Si |x + 3| = 5, encuentra x. Resolución: x+3=5 x=2

∨

x + 3 = -5 x = -8

Así, C.S. = [1, ∞〉 ∩ {-2; -8} = f (no existen soluciones)

* También se cumple:

|x| = |y| ⇔ x = y ∨ x = -y

3. Resuelve |x2 - 12x + 31| = 4

Consecuencia: Resolución:

|x| = |y| ⇔ (x + y)(x - y) = 0

x2 - 12x + 31 = 4 ∨ x2 - 12x + 31 = -4 x2 - 12x + 27 = 0 (x - 3)(x - 9) = 0 ∨ x2 - 12x + 35 = 0 (x - 7)(x - 5) = 0

Ejemplo 3: Resuelve |3x + 5| = |x + 11| Resolución:

\ C.S. = {3; 5; 7; 9}

3x + 5 = x + 11 ∨ 3x + 5 = -(x + 11) 2x = 6 4x = -16 x = 3 x = -4

4. Si |2x + 3| = |6x - 5|, calcula la suma de sus soluciones. Resolución: 2x + 3 = 6x - 5 ∨ 2x + 3 = 5 - 6x

1. Resuelve la ecuación: |x - 3| = -2x

8 = 4x x=2

Resolución:

8x = 2 x = 1/4

Luego, la suma de las soluciones será:

|x - 3| = -2x

2 + 1/4 = 9/4

⇔ -2x ≥ 0 y [x - 3 = -2x o x - 3 = -(-2x)] ⇔ x ≤ 0 y [3x = 3 o x = -3] ⇔ x ≤ 0 y [x = 1 o x = -3] ⇔ x ∈ 〈-∞, 0] = U y x ∈ {1; -3} Así, vemos que esta ecuación tiene una sola solución: x = -3

Formando líderes con una auténtica educación integral

97

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 4) Resuelve:

1) Resuelve: |x - 5| = 5 y señala el producto de sus raíces.



|x + 4| = x + 8 e indica el número de soluciones.

Rpta: _____

Rpta: _____

5) Resuelve

2) Resuelve: |2x + 2| = 6x - 18 e indica una solución.



|3x - 2| = |x + 2| y halla el producto de soluciones.

Rpta: _____

Rpta: _____

6) Resuelve:

3) Resuelve: |5x - 1| = 4x + 2 y señala el cociente de sus raíces.



|3x + 2| = |x - 2| y halla el producto de las soluciones.

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 4) Resuelve:

1) Resuelve: |x - 4| = 5 y señala el producto de sus raíces.



|x + 1| = x - 3 e indica el número de soluciones.

Rpta: _____

Rpta: _____

5) Resuelve:

2) Resuelve: |2x - 3| = x + 1 e indica una raíz.



|2x + 1| = |x - 3| y señala una raíz.

Rpta: _____

6) Resuelve:

3) Resuelve: |2x + 8| = x - 1 y señala la diferencia de sus raíces.

Rpta: _____

98

Rpta: _____

|x - 2| = |3x - 4| y señala la suma de los valores de “x”. Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 12

Para el profesor: 1

Para el alumno: 1

Resuelve:



Halla la suma de los valores que satisface la ecuación: |x2 - 5x| = 6



|x + 5| = 6 y señala la suma de sus raíces.

a) 10 b) 1 d) 3



a) -6 b) 7 d) -15



Resolución:



Resolución:

c) 2 e) -6

Clave: 2

Luego de resolver, señala la mayor solución. |x2 + 3x - 26| = -5 a) 7 d) -4



Resolución:

c) -10 e) 6

Clave: 2

b) 4 c) 2 e) No existe solución

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Resuelve:

|x2 - x| = -3



a) x ∈ R d) x = ±3 e) x = ± 3



Resolución:

b) x ∈ f c) N.A.

Clave: 99

Álgebra - 4to Sec. 3

Resuelve:

3

| |

x+1 =3 x+2 e indica la suma de raíces.



a) -17/4 b) -7/4 d) -3



Resolución:

Resuelve:



c) -5/2 e) 5/2

|xx -- 23|= 4



e indica el producto de raíces.



Resolución:

a) 42/5 b) 28/3 d) 10/3

Clave: 4

Halla el número de soluciones de: |x2 - 9| = -2x + 6



Resolución:

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 6

Clave: 100

c) 14/5 e) 1

Clave: 4

Halla el número de soluciones de: |x2 - 4| = -2x + 4



Resolución:

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5

Resuelve:

5

|x2 - 9| = x - 3 e indica el número de soluciones. a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:



Resuelve:

|x2 - 4| = x - 2 e indica el número de soluciones. a) 1 b) 2 d) 4 Resolución:

Clave: 6

Resuelve:

a) -1 b) 5/2 d) -9/2



Resolución:

|x2 - x + 2| = |x2 - 2x - 4| e indica la suma de sus soluciones. c) 3/2 e) -5/2

c) 3 e) 5

Clave: 6

a) 4 ∧ -3 b) 2 ∧ -2 d) -4 ∧ -3



Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Resuelve:

|x2 - x - 8| = |x2 - x - 16| c) -3 ∧ -2 e) N.A.

Clave: 101

Álgebra - 4to Sec. 7

Halla el menor valor de x que verifique: ||2x - 1| - |x|| = 0.



a) 1 b) 1/3 d) 2



Resolución:

c) 2/3 e) 0

7

Resuelve:



a) 10 b) 20 d) 2



Resolución:

||x - 5| - 5| = 0 e indica la mayor solución.

Clave: 8

Resuelve: |2x + 1|2 + 2|2x + 1| = 15 e indica la menor solución.



a) -2 b) -1 d) 3



Resolución:

c) 1 e) 5

c) 31 e) 1

Clave: 8

Resuelve:



a) 9 ∧ -3 b) -9 ∧ 3 d) 9 ∧ 3



Resolución:

|x - 3|2 - 3|x - 3| - 18 = 0

Clave:

c) -9 ∧ -3 e) N.A.

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 102

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

Inecuaciones con Valor Absoluto

Teoremas

13

1. |x| ≤ b ↔ b ≥ 0 ∧ (-b ≤ x ≤ B)

x ≥ 0 ∧ x ≥ 2/5 ∧ x ≤ 2/3 intersectando

2. |x| ≥ b ↔ x ≥ b ∨ x ≤ -B)

x ≥ 2/5 ∧ x ≤ 2/3

2

2

3. |x| ≤ |y| ↔ x ≤ y

-∞

1. Resuelve: |x| ≤ 3 Resolución: |x| ≤ 3 ↔ 3 > 0 ∧ (-3 ≤ x ≤ 3) ↔ -3 ≤ x ≤ 3 \ x ∈ [-3, 3]

2/3

2/5

+∞

5. Resuelve: 1/|2x - 3| < 1 Resolución: Entonces tenemos: |2x - 3| > 1 ∧ x ≠ 3/2 2x - 3 > 1 ∨ 2x - 3 < -1 x>2 ∨ x 0; sólo consideramos: -5 < x - 3 < 5 sumando 3 a toda la desigualdad: -5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3 -2 < x < 8 \ x ∈ 〈-2, 8〉

\ x ∈ [2/5, 2/3]

Graficando:

3 2

2

+∞

\ x ∈ 〈-∞, 1〉 ∪ 〈2, ∞〉 6. Resuelve: |x - 5| > |2x + 3|

4. Resuelve: |2x - 1| ≤ x/2 Resolución: x/2 ≥ 0 ∧ (-x/2 ≤ 2x - 1 ≤ x/2) II x ≥ 0 ∧ (-x ≤ 4x - 2 ≤ x) I x ≥ 0 ∧ (-x ≤ 4x - 2 ∧ 4x - 2 ≤ x) I II

Formando líderes con una auténtica educación integral

Resolución: Por el teorema “3”, la inecuación es equivalente a: (x - 5)2 > (2x + 3)2 (x - 5)2 - (2x + 3)2 > 0 Diferencia de cuadrados: [(x - 5) + (2x + 3)][(x - 5) - (2x + 3)] > 0 [3x - 2][-x - 8] > 0 Multiplicando por (-1) al segundo factor: (3x - 2)(x + 8) < 0 De donde:



x ∈ 〈-8, 2/3〉 103

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Resuelve:

4) Resuelve:

|x| > 6

|3x – 1| ≤ 5

Rpta: _____

2) Resuelve:

Rpta: _____

5) Resuelve: |x + 1| < 5 e indica el número de valores enteros que verifican.

|x| < 11 Rpta: _____

3) Resuelve:

Rpta: _____

6) Resuelve: |2x - 1| ≤ 5 e indica la suma de valores enteros que verifican.

|x – 3| > 6 Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Resuelve:

1) Resuelve:

|x| > 7 Rpta: _____

2) Resuelve:

Rpta: _____

3) Resuelve: |2x - 3| ≤ 5 e indica la suma de valores enteros que verifican.

|x – 1| > 7 Rpta: _____

104

Rpta: _____

2) Resuelve: |x - 3| < 5 e indica el número de valores enteros que verifican.

|x| < 5 Rpta: _____

4) Resuelve:

|2x - 3| ≤ 7

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 13

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Resuelve:

1

2x - 1 ≤ 1 x

Resuelve:

|x/4| ≤ 1 e indica el intervalo no solución.

a) x ∈ 〈1/3, 1〉 b) x ∈ [1/3, 1] c) x ∈ [1/3, ∞〉 d) x ∈ 〈-∞, -1/2〉 e) N.A.

a) x ∈ 〈-4, 4〉 b) x ∈ 〈-6, 20〉 c) x ∈ [4, 20〉 d) x ∈ 〈-∞, -4] e) N.A.

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Resuelve:

Clave: 2

|2x - 1| ≥ x + 1

Resuelve: |x + 6| > 2x - 3

a) x ∈ [2, ∞〉 b) x ∈ 〈-∞, 0] c) x ∈ [0, 2〉 d) x ∈ 〈0, 2〉 e) x ∈ 〈-∞, 0] ∪ [2, ∞〉

a) x ∈ 〈-∞, 9〉 b) x ∈ [9, ∞〉 c) x ∈ 〈-∞, 12〉 d) x ∈ φ e) x ∈ R

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 105

Álgebra - 4to Sec. 3



Resuelve: |5 - 3x| > 2x + 6 e indica como respuesta el mayor valor entero negativo que verifica. a) -1 b) -2 d) -4

c) -3 e) -5

3

Resuelve:



a) x ∈ [-1/5, 3/2] b) x ∈ [1/5, ∞〉 c) x ∈ 〈-∞, 1/5] d) x ∈ φ e) x ∈ [3/2, ∞〉

|3x + 4| ≤ 5x + 1



Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Resuelve:



a) x ∈ [5, ∞〉 b) x ∈ [5, 7] c) x ∈ 〈-∞, -12] d) x ∈ R e) x ∈ 〈-∞, 5]

|x - 14| ≥ |x + 4|

4

Resuelve:



a) x ∈ [1/2, ∞〉 b) x ∈ 〈-∞, 1/2〉 c) x ∈ [-1/2, ∞〉 d) x ∈ 〈-∞, -1/2] e) N.A.

|3x - 1| ≥ |3x - 2|



Resolución:

Resolución:

Clave: 106

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5

Resuelve:



a) x ∈ 〈-∞, -3〉 b) x ∈ 〈-3, ∞〉 c) x ∈ 〈-∞, 3〉 d) x ∈ φ e) x ∈ 〈-∞, -1〉

5

Resuelve:



a) x ∈ 〈-∞, -2〉 b) x ∈ 〈-∞, 2] c) x ∈ φ d) x ∈ 〈-2, ∞〉 e) x ∈ R

|x - 5| > |x + 7|

Resolución:

|x + 7| < |x - 3|

Resolución:

Clave: 6

Resuelve:



a) x ∈ 〈-∞, -13/3] ∪ [-2, ∞〉 b) x ∈ [-13/3, -2] c) x ∈ [-2, -1] d) x ∈ R e) x ∈ φ

x-5 ≤7 x+3

Clave: 6

Resuelve:



a) x ∈ 〈-∞, 3/5] ∪ 〈5/3, ∞〉 b) x ∈ 〈3/5, 5/3〉 c) x ∈ R d) x ∈ φ e) x ∈ 〈-∞, 3/5〉 ∪ 〈3/5, ∞〉

Resolución:

x+1 |x2 - 2x + 5|

7

Resuelve:



a) x ∈ 〈-3/2, 1〉 ∪ 〈1/9, ∞〉 b) x ∈ 〈-3/2, 0〉 ∪ 〈7/9, ∞〉 c) x ∈ 〈-3/2, -1〉 ∪ 〈7/9, ∞〉 d) x ∈ 〈-3/2, -1] ∪ 〈1/9, ∞〉 e) x ∈ φ



a) x ∈ [0, 2] ∪ {-2} b) x ∈ [0, 6] - {2} c) x ∈ R+0 - {-2} d) x ∈ R+0 ∪ {-2} e) x ∈ R

Resolución:

|x2 - 4| ≤ (x + 2)2

Resolución:

Clave:

Clave:

8

Resuelve: |x2 + x - 2| < |x2| + |x - 2|

8

Resuelve:



a) 〈-∞, 2〉 - {0} b) 〈-∞, -2〉 c) 〈0, ∞〉 - {2} d) 〈-∞, 0〉 ∪ 〈2, ∞〉 e) R - {0}



a) 〈-∞, -7〉 ∪ 〈-3, ∞〉 b) 〈-∞, 3〉 ∪ 〈7, ∞〉 c) 〈-3, 7〉 d) 〈3, 7〉 e) 〈-∞, -3〉 ∪ 〈7, ∞〉

Resolución:

|x - 2|2 > 4|x - 2| + 5

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 108

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

14

Inecuaciones de Grado Superior y Fraccionarias

Inecuaciones de Grado Superior Son aquellas que presentan la siguiente forma general: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an > 0; ( 0, entonces el trinomio es positivo ∀ x ∈ R, por ello se descarta de la inecuación o simplemente pasa a dividir, esto no altera el sentido de la desigualdad. 2. Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n; n ∈ Z+ estos pasan a dividir o se descartan, pero su punto crítico queda pendiente de si es solución o no. 3. Si encontramos factores de la forma: (ax + b)2n+1; n ∈ Z+, quedará en la inecuación sólo (ax + b).

109

Álgebra - 4to Sec. Es decir:

Ejemplo:

(x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 2) ≤ 0

Resuelve:

P.C. = {1, -4, 2, 3}

(x2-2x+4)(x+3)2(x-7)3(x+1)(x-2) ≥ 0 +

Resolución: - El trinomio (x2 - 2x + 4) tiene D = -12 (negativo), coeficiente principal positivo, por lo tanto es positivo ∀ x ∈ R. Se descarta o pasa a dividir sin alterar el sentido.

-4

Luego:

- El factor (x + 3)3 se descarta, pero su punto crítico x = -3 cumple con la desigualdad, al final debe estar contenido en la solución.

-

-1

+

2

-

3

+

x ∈ [-4, -1〉 ∪ [2, 3〉

Nota Acuérdate que “x” no puede ser -1 y 3.

- El factor (x - 7)3 es reemplazado por (x - 7). Luego tenemos: (x - 7)(x + 1)(x - 2) ≥ 0. P.C. = {-1; 7; 2} - Ubicando en la recta: -∞

-

+ -1

2

1. Resuelve:

+ 7

+∞

6 x2 - 2 2 x - 3 x + 2 ≤ 0

Resolución:

Luego: P(x) ≥ 0 se toman las zonas positivas más el punto crítico: x = -3 x ∈ [-1; 2] ∪ [7; +∞ 〉 ∪ {-3}

Dándole una forma adecuada al primer miembro y factorizando: 6 x2 - (2 2 + 3) x + 2 ≤ 0 aplicando aspa simple

Inecuaciones Fraccionarias



Forma:

2 x

-1

3 x

-2

⇒ x=

P(x) > 0; ( 3/16 se verifique para todo valor real de “x”?

a=±2

Luego, la única solución es: a = -2

Resolución: De la inecuación tenemos: x2 + 2mx + m - 3/16 > 0 Si se verifica ∀ x ∈ R debe cumplirse: 1 > 0; (2m)2 - 4(1)(m - 3/16) < 0 coef. discriminante de “x2” De lo último se tiene: 16 m2 - 16 m + 3 < 0 → (4m - 1)(4m - 3) < 0 Luego los puntos críticos son: m = 1/4 ; m = 3/4 Así tenemos: 1/4

3/4

Por lo tanto: 1/4 < m < 3/4

A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula.

5. Indica la condición que debe tener el número “n” para que el polinomio x2 + 2x + n sea superior a 10. Resolución: Se tiene: x2 + 2x + n > 10 ⇒ x2 + 2x + n - 10 > 0 Tenemos:

1 > 0 ; 22 - 4(1)(n - 10) < 0

Así se tiene: 4 - 4n + 40 < 0 ⇒ n > 11

Formando líderes con una auténtica educación integral

111

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Resuelve:

4) Resuelve:

(x2 - 4)(x2 - 9) ≤ 0



x(x - 1)2 > 0

Rpta: _____

2) Resuelve:

Rpta: _____

5) Resuelve:

x3 - 5x2 + 6x ≥ 0

x3 + 2x2 - 5x - 6 > 0

Rpta: _____

3) Resuelve:

Rpta: _____

6) Resuelve:

x3 ≤ 25x



x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 ≥ 0 y halla un intervalo de su solución.

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Resuelve: (x + 2)(x + 4)(x - 3) ≤ 0

4) Resuelve:

x3 > x

Rpta: _____

Rpta: _____

2) Resuelve: (x + 1)(x + 7)(x - 2) ≥ 0

5) Resuelve:

Rpta: _____

3) Resuelve:

Rpta: _____

6) Resuelve:

x3 < 9x

Rpta: _____

112

(x2 - x - 2)(x - 4) ≥ 0

x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 > 0 y halla un intervalo de su solución. Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 14

Para el profesor:

Para el alumno:

1

Resuelve: (x + 1)(x + 3)2(x - 7)5(x - 2) ≥ 0

1

Resuelve:





a) [-1, 2] ∪ [7, ∞〉 ∪ {-3} b) [1, 2] ∪ [7, ∞〉 - {-3} c) R d) φ e) N.A.



a) 〈0, ∞〉 - {1} b) x ∈ R - {-1} c) {1} d) 〈-∞, 0〉 e) 〈-1, 1〉



Resolución:

x(x - 1)2 > 0

Resolución:

Clave: 2

Resuelve: (x + 4)5(x + 1)4(x - 2)3(x - 5)2 ≤ 0 e indica la suma de los valores enteros que la verifican.



a) -1 b) -2 d) -4

Clave: 2

Resuelve:



(x2 - x - 6)(x + 7) ≤ 0 y halla su intervalo solución.



a) x ∈ 〈-∞, -7] ∪ 〈5, ∞〉 b) x ∈ 〈-7, -6] ∪ [3, ∞〉 c) x ∈ 〈-∞, -2] ∪ 〈3, ∞〉 d) x ∈ φ e) x ∈ R

c) -3 e) -7

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 113

Álgebra - 4to Sec. 3

Resuelve: (x2 + 7)(x + 4)8(x - 2)7(x - 5)(x + 6) < 0

3

Resuelve:



a) x ∈ 〈-∞, -7] ∪ [2, 5] b) x ∈ 〈-∞, -6] ∪ 〈2, 5〉 ∪ {-4} c) x ∈ 〈-∞, -6〉 ∪ 〈2, 5〉 - {-3} d) x ∈ 〈-∞, -6〉 ∪ 〈2, 5〉 - {3} e) x ∈ 〈-∞, -6〉 ∪ 〈2, 5〉



a) x ∈ [-3, - 3] ∪ [ 3, 3] b) x ∈ [-3, -2] ∪ [2, 3] c) x ∈ 〈-∞, -3] ∪ [3, ∞〉 d) x ∈ φ e) x ∈ R

Resolución:

(x2 + 4)(x2 - 9)(x2 - 3) ≤ 0

Resolución:

Clave:

Clave:

4

Resuelve: (x + 2)8(x - 1)16(x + 3)7(x + 1)7 ≤ 0

4

Resuelve: (x2 + 1)(x - 3)5(x - 7)(2 - x) ≤ 0



a) x ∈ 〈-∞, -3] ∪ [-1, ∞〉 b) x ∈ [-3, -1] c) x ∈ [-3, -1] ∪ {1} d) x ∈ R e) N.A.



a) x ∈ [2, 3] ∪ [7, ∞〉 b) x ∈ 〈-∞, 2] ∪ [3, 7] c) x ∈ [3, 7] d) x ∈ R e) x ∈ φ

Resolución:

Resolución:

Clave: 114

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5

Resuelve:



a) [-3, -1] ∪ [4, ∞〉 b) [-3, -1] ∪ [2, 4] c) 〈-∞, -3] ∪ [4, ∞〉 d) [-1, 2] ∪ [4, ∞〉 e) x ∈ φ

(x2 - x)2 - 14(x2 - x) + 24 ≤ 0

5

Resuelve:



a) x ∈ 〈-∞, -3] ∪ 〈-2, -1〉 ∪ 〈1, 2〉 ∪ 〈3, ∞〉 b) x ∈ 〈-3, -2〉 ∪ 〈-1, 1〉 ∪ 〈2, 3〉 c) x ∈ [-2, -1〉 ∪ 〈1, 2〉 d) x ∈ [-3, -2〉 ∪ [1, 2〉 e) N.A.

Resolución:

(x2 - 4)(x2 - 9)(x2 - 1) > 0

Resolución:

Clave: 6

Resuelve:



Clave: 6

(x + 4)(x - 2) (x + 1)(x - 3) ≤ 0

Resuelve:



a) [-4, -1〉 ∪ [2, 3〉 b) 〈-∞, -4〉 ∪ [-1, 2〉 c) R d) [-4, 4〉 e) φ



Resolución:

x+2 ≥0 x-3

a) [-3, ∞〉 b) 〈-∞, -2〉 ∪ 〈3, ∞〉 c) 〈-3, 2] d) [2, ∞〉 e) x ∈ R

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 115

Álgebra - 4to Sec. 7

Resuelve:



7

x+4 ≥0 x-3

Resuelve:



a) x ∈ 〈-∞, -4] ∪ 〈3, ∞〉 b) x ∈ [-4, 3〉 c) x ∈ 〈3, ∞〉 d) x ≥ -4 e) N.A. Resolución:

a) x ∈ [7, ∞〉 b) x ∈ [2, 7] c) x ∈ 〈2, 7] d) x ∈ R e) x ∈ φ Resolución:

Clave: 8

Resuelve:

x+3 ≥2 x-2

Clave: 8

x+4 x+2 ≥ x+2 x-4

Resuelve:

3x - 2 4 < x+1 x-2 y halla un intervalo de la solución. a) 〈1, 2〉 b) 〈2, 4〉 c) 〈-1, 2〉 d) 〈-2, 1〉 e) N.A.

a) x ∈ [2, 4] b) x ∈ 〈2, 4〉 c) x ∈ 〈1, 3〉 d) x ∈ 〈-∞, 2〉 ∪ 〈4, ∞〉 e) N.A. Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 116

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

15

Funciones I

Este ejemplo es uno de los muchos que existen cuando hablamos de función.

INTRODUCCIÓN El concepto de función es una de las ideas fundamentales en la matemática. Casi cualquier estudio que se refiere a la aplicación de la matemática a problemas prácticos o que requiera el análisis de datos emplea este concepto matemático que explicaremos a continuación: Ejemplo: Las compañías como Luz del Sur o Edelnor tienen como unidad de medida para facturar sus recibos el kilowatt - hora (kw-h). El (kw-h) indica cuántos kilowatts se han consumido de electricidad en casa. Además el (kw-h) cuesta S/. 2.

Aquí algunos más que aclaran la idea:  El área de un círculo depende o está en función de la longitud de su radio.  Las cuentas mensuales de agua y electricidad dependen de la cantidad de agua o electricidad que se utilicen.  El desarrollo muscular y firmeza de un cuerpo depende de los ejercicios físicos que se practiquen. Estas ideas nos ayudarán a entender el siguiente marco teórico. FUNCIONES 1. Par Ordenado

Supongamos que hoy papá nos dice que vayamos a pagar el recibo mensual de luz, en el camino observas que el monto a pagar es de S/. 80, entonces tú rápidamente haces cálculos. Si por 1 kw-h nos cobran 2 soles, ¿cuántos kw-h consumimos en casa? 1 kw-h x kw-h

Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden. (a , b) Primera componente

S/. 2 S/. 80 Rpta.: x = 40 kw-h

Ahora piensas y dices: si hubiera consumido 30 kw-h, ¿cuánto habríamos pagado?, realizas otra regla de tres y el resultado es S/. 60. Es decir, nos damos cuenta de que entre lo que pagamos y lo que consumimos existe una relación. Si consumes más, pagas más, si consumes menos, pagas menos.

Segunda componente

Propiedades 1. (a; b) ≠ (b; a) (no conmutativa) 2. Si (a; b) = (c; d) → a = c ∧ b = d 2. Producto Cartesiano

También podemos decir que el pago que efectuamos depende de la electricidad que consumimos o el pago está en función de la electricidad que consumimos.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Dados dos conjuntos "A" y "B" no vacíos, se llama producto cartesiano (AxB) al conjunto de pares ordenados (a; b) donde "a" ∈ "A" y "b" ∈ "B", es decir: A x B = {(a; b)/ a ∈ A ∧ b ∈ B}

117

Álgebra - 4to Sec. Ejemplo:

Ejemplo:

Sea la relación:

Sea: A = {1; 2; 3} B = {2; 3; 4} → A x B = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 2), (3; 3), (3; 4)}

R1={(1; 2), (2; b), (2; 7), (3; 2), (-1; 2)} → DR ={1; 2; 3} RR ={2; b; 7; -2} 1

Propiedades:

1

DEFINICIÓN DE FUNCIONES

1. n(A x B) = n(B x A) 2. n(A x B) = n(A) x n(B)

Sean "A" y "B" dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser A = B), llamaremos función definida en "A" a valores en "B" (función de "A" en "B") a toda relación:

3. Relación Dados dos conjuntos "A" y "B" no vacíos, se llama relación de "A" en "B" a todo subconjunto "R" del producto cartesiano "A x B", es decir, "R" es una relación de "A" en "B" ↔ "R" ⊆ "A x B". En particular, si A = B, "R" se llama relación en "A" (relación entre elemento de "A"). La definición anterior de relación exige la comparación de elementos pares, por eso suele llamarse "relaciones binarias". Ejemplo:

F⊂AxB que tiene la propiedad: (a; b)∈F y (a; c)∈F; entonces b = c Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. Notación: Si "F" es una función de "A" y "B" se designa por:

F

F: A → B o

En el conjunto: A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1}

a

b

A B Se lee: "F" es una función de "A" en "B".

establecemos las siguientes relaciones: * "a" es el doble de "b". * "a" es igual a "b". Escribe los pares que cumplen las relaciones, respectivamente:

Ejemplo 1: A

R1 = {(a; b)/"a" es el doble de "b"} = {(2; 1), (4; 2), (6; 3), (8; 4)}

F

B

a b c

1

R2 = {(a, b)/"a" es igual a "b"}

= {(1; 1); (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), 6; 6), (7; 7), (8; 8), (9; 9)}

* Si "R" es una relación entre elementos de "A" y "B", al conjunto "A" se le llama conjunto de partida de la relación y a "B" conjunto de llegada.

F Siendo a≠b≠c, diremos: A → B F = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es función

Ejemplo 2: F

* Se llama Dominio de una relación "R" al conjunto de todos los elementos (a ∈ A) tales que existe por lo menos un (b ∈ B) con (a, b) ∈ R. * Se llama Rango de una relación "R" al conjunto de todos los elementos (b ∈B), tales que existe por lo menos un (a ∈ A) con (a, b) ∈ R. 118

M

a b c d

1 2 3

N

F M→ N

F = {(1; c), (2; d), (3; b)} es función

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. * Es decir son las segundas compo-nentes de los pares ordenados.

Ejemplo 3: F M 1 2

a b c

S

* Si el par ordenado (a; b) ∈ F, escribiremos b = F(a) y diremos que "b" es imagen de "a" por "F" ( o también, que "b" es el valor de "F" en "a"). F={(a;b)∈AxB/ b = F(a); a ∈DF}

F M→ S

Ejemplo: F = {(1; b), (2; a), (2; c)} * Si a≠b≠c, luego no es función porque se repite el primer elemento. * Si a = c ≠ b, es función.

Sea la función: F={(2;3),(3;4),(7;3),(-2;6),(4;1)} halla: M = F(2)+F(3)+F(7)+F(-2)+F(4) Resolución:

Observación Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Como: F(2)=3; F(3)=4; F(7)=3; F(-2)=6;

Ejemplo:

∴ M = 17

Halla los valores de "a" y "b" para que el conjunto de pares ordenados: A = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a-b), (-1; b-a), (a+b2; a)} sea una función.

REGLA DE CORRESPON-DENCIA Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (DF) y una regla que permita asignar para cualquier x ∈DF ; su imagen F(x).

Resolución: En una función dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. ∴ (2;5) y (2;2a-b) ∈ A → 5= 2a-b (-1;-3) y (-1;b-a) ∈A → b -a= -3

F(4)=1

... (1) ...(2)

De (1) y (2), resolviendo: a = 2; b = -1 ∴ F = {(2; 5), (-1; -3), (3; 2)} * Si "F" es una función de "A" en "B", el conjunto "A" se llamará conjunto de partida de la función y "B" el conjunto de llegada.

Ejemplos: 1. Halla el dominio de las siguientes funciones: a) F = {(2;3), (4;5), (6;3), (-2;a)} DF = {2; 4; 6; -2} b) F(x) = x - 2

x-2 + x x+5 x-3

c) F(x) =

* El dominio de una función "F" se designa por "DF" y se define como el conjunto siguiente:

DF=x-2 ≥ 0; x ≥ 2 DF=[2; +∞〉

x - 2 ≥ 0 x+5

DF=

DF= {x∈A/ ∃ y; tal que (x; y)∈F}

+

* El rango (o imagen) de una función "F" se designa por "RF" o "ImF" y se define como el conjunto siguiente:

RF ={y∈B/ ∃x; tal que (x; y)∈F}

Formando líderes con una auténtica educación integral

x-3≠0

-∞

+ -5

2

3

+∞

DF = 〈-∞; -5〉 ∪ [2 ;+∞〉 - {3} 119

Álgebra - 4to Sec. 2. Halla el rango de las siguientes funciones:

d) Para la función: x2 F(x)= 2 x +1

a) F={(2;3),(4;6),(5;7),(7;6),(-2;3)} RF = {3; 6; 7}

Resolución:

b) Sea F(x) = x2 y = x2 → x ∈ R; y ∈ R+ ∪ {0} DF = 〈-∞; +∞〉; RF = [0; +∞〉

y=

x2 ; yx2 + y = x2 x +1 → x2(y - 1) = -y 2

Tenemos varias formas de hallar rangos, pero presentaremos las más conocidas:



• Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja ‘‘x’’ en función de ‘‘y’’.

y →x=± 1- y y y ∴ ≥ 0; ≤0 1- y y-1 x2 =

• Cuando tenemos un intervalo como dominio, usamos desigualdades.

-

+

c) Para la función definida por: 2

G(x)= 2x +3x + 2 ; x ∈ R

-∞

y 1- y

+ +∞

1

0

Resolución:

y ∈[0; 1〉 → RF = [0; 1〉

y=2x2+3x+2 →2x2+3x+(2-y)=0 x = -3 ± 9 - 4(2)(2 - y) 2(2) Si "x"∈R, luego "y" también ∈ R. Pero: ∆ ≥ 0; 9 - 8(2 - y) ≥ 0 → y ≥ 7 8 → RG =

7 ;+∞ 8

d) Para la función definida por: H(x)= x2 - 4x + 7 ; x ∈ [2 ; 3]

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Sea ‘‘F’’ una función real, la gráfica de ‘‘F’’ es el conjunto ‘‘G’’ de todos los puntos (x , y) en el plano, tal que ‘‘x’’ está en el dominio de ‘‘F’’ e ‘‘y’’ es la imagen de ‘‘x’’ por ‘‘F’’; es decir: G= {(x,y) ∈ R2/ y =F(x); x ∈ DF}

• Una gráfica cualquiera será función, si y sólo si, al trazar una paralela al eje ‘‘y’’ corta a la gráfica en un sólo punto. Ejemplos: a) F(x)es una función, entonces ‘‘L1’’ es la recta paralela al eje ‘‘y’’que corta a la gráfica en un solo punto.

Resolución: y = x2 - 4x + 7

y

→ y = (x - 2)2 + 3 como: 2 ≤ x ≤ 3

L1 F(x)

→0≤x-2≤1 al cuadrado: 0 ≤ (x - 2)2 ≤ 1 más tres: 3 ≤ (x - 2)2 + 3 ≤ 4 → 3 ≤ y ≤ 4 ∴ RH = [3 ; 4] 120

x

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. b) G (x) no es función, entonces ‘‘L2’’ es la recta paralela al eje ‘‘y’’ que corta a la gráfica en más de un punto.

F(x)=

1-x

x+1+



L2

y

3. Halla el dominio de la función:

Resolución: D(F)= x + 1 ≥ 0 ∧ 1 - x ≥ 0 x

x ≥ -1 ∧ 1≥ x

Luego:

G(x)

-∞

-1

1

+∞

DF= x ∈ [ -1 ; 1 ] 1. Calcula ‘‘n’’ en la función:

4. Halla el dominio y rango de la siguiente función:

F = {(7; 9) , (n ; 2) , (3 ; 4) , (7 ; n2)}

F(x)= -

Resolución:

x +3 2

Resolución: • DF = R

Dos pares distintos no tienen la misma primera componente, entonces:

• RF : despejar ‘‘x’’ en función de ‘‘y’’. y - 3 = - x →-x = 2y - 6 → x = 6 - 2y 2

(7 ; 9) y (7 ; n2) ∈ F → 9 = n2 → n = 3 (no cumple)

Luego: y ∈ R

n = -3 (cumple con la función) 5. Halla el dominio y el rango de la siguiente función: 2. Indica la suma de los elementos del rango de la función: F(x)= 3x + 1



F(x) = x + 2 x+8

siendo el dominio:

• DF = R -{-8}

DF = {1; 2 ; 3 ; 4} • RF : despejar ‘‘x’’ en función de ‘‘y’’

Resolución:

y = x + 2 → yx + 8y = x + 2 x+8

Para: x=1→ F(x)= 4

x=3 → F(x)= 10

x=2→ F(x)=7

x = 4 → F(x)= 13

yx - x = 2 - 8y → x(y - 1) = 2 - 8y x = 2 - 8y y-1

Luego, la suma de los elementos del rango será: 4 + 7 + 10 + 13 = 34

Formando líderes con una auténtica educación integral

Luego: y ∈ R - {1} 121

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Halla "ab" si el conjunto de pares ordenados representa una función. F={(2;3),(3;a-b),(2;a+b),(3;1)}

4) Sabiendo que el conjunto de pares ordenados: F={(1;5),(a;6),(3;a2),(3;2a+3)} representa una función, indica el rango.

Rpta: _____

2) Si el conjunto: F={(1;7a+3b),(-2;3a+2b),(-2;-2),(1;-8),(a+b;4)} es una función, halla "a2+b2".

Rpta: _____



5) De la función: F={(2;3),(3;4),(4;1)} calcula: A = F(F ) + F(F ) (2)

(3)

Rpta: _____

Rpta: _____

3) ¿Cuál es el rango de la función? F= {(1;3),(2;5),(1;a-1),(2;b+2),(a;b),(2b;a)} Señala la suma de sus elementos.

6) Sea la función "F" tal que: F={(3;a2),(3;1),(5;4),(5;a+b),(b;4)} calcula la suma de los elementos del dominio.

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Si el conjunto de pares ordenados representa una función, señala el dominio y rango de la función: f = {(2;4a-b),(3;b),(2;3),(5;6),(3;1)}

4) Halla el rango de la función: F={(1;b),(1;b2-2),(b;2),(-1;3)}

Rpta: _____

Rpta: _____

5) Dado: 2) Si el conjunto de pares ordenados representa una función, calcula "xy". F = {(2;4),(3;x+y),(5;6),(3;8),(2;x-y)}



Rpta: _____

3) Reconoce el rango de la función: f = {(2;a),(2;3a-4),(3;a-1),(4;a2)}

122

halla:

F(1)

F(0)

F(2)

+ F(1)

F(0)

+ F(2)

Rpta: _____



Rpta: _____

F={(0;1),(1;2),(2;3)}

6) Sea la función "F" tal que: F={(2;5),(3;a2),(3;4),(a;5)} halla "a". Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 15

Para el profesor: 1

Del siguiente diagrama: f 1 2 3



Para el alumno: 1

g

2 5 3

De las gráficas, ¿cuántas corresponden a una función? y y y

5 2 3

x

calcula el valor de: f(2) + g(f

y

(3))

a) 1 b) 3/5 d) 6/5

y

(2))

f(3)+g(f

x

x

x c) 5/8 e) 8/5



Resolución:

x

a) 0 b) 1 d) 4

c) 2 e) 4

Resolución:

Clave: 2

Dada la función: F={(4;8),(b;3),(5;a2),(4;a+b),(5;9)} obtén: F(b)+F(5)+b



a) 18 b) 16 d) 27

Clave: 2

c) 29 e) 23

Sean las funciones: F={(-3;2),(-4;1),(0;-2),(1;-2)} G={(0;3),(-4;3),(7;1),(8;-3)} halla: F(-4)+G(7) E= F(G ) (7)



Resolución:

a) 1 b) -1 d) 2

c) 0 e) -2

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 123

Álgebra - 4to Sec. 3

Halla el dominio de la función: F(x)= 7x+1 x-7 a) x ∈R b) x∈R-{7} d) x∈R-{8}

3

Halla el dominio de la función: 4x -2 F(x)= x+4 c) x ∈R -{1} e) x ∈R-{-7}



Resolución:

a) x ∈R b) x ∈R-{2} d) x ∈R-{4} Resolución:

Clave: 4



F(x) =

4

8

1+x + 3 - x

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

4

¿Cuántos enteros hay en el dominio de la función? F(x) =



4

6

2+x + 2 - x

a) 3 b) 4 d) 6

c) 5 e) Más de 6

Resolución:

Clave: 124

Clave:

¿Cuántos enteros presenta el dominio de la función?



c) x ∈R -{-4} e) x ∈R-{1}

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5

Halla el dominio de la función:

a) [-1; 0] b) [-2; 0] d) [-1; 1]

Halla el dominio de:



f(x) = x+1 + 1 - x



5

c) [0; 1] e) [0; 2]



Resolución:

F(x) = x+9 + 4 a) x ∈ R+ b) x ∈R- d) x ∈ [9;+∞〉

Resolución:

Clave: 6



M(x)= x+2 x+8

a) y ∈R - {8} b) y ∈R+ d) y ∈R - {- 8}

Clave: 6

Halla el rango en:



c) x ∈R e) x∈[-9;+∞〉

Halla el rango en:

c) y ∈R - {1} e) y ∈R -

Resolución:



N(x)= 3x+2 x+4

a) y ∈R - {4} b) y ∈R d) y ∈R - {- 4}

c) y ∈R - {-3} e) y ∈R - {3}

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 125

Álgebra - 4to Sec. 7

Halla el rango en: F(x)= x2 - 6x+5; x ∈ R a) 〈-∞; -4] b) [-4; +∞〉 d) 〈-∞; 0]

c) 〈-∞; 4] e) [4; +∞〉

7

El dominio de la función: f(x)= x2, es [-1; 1] determina el rango de "f".



a) [-1; 1] b) [1; 2] d) [1; 4]

c) [-1; 0] e) [0; 1]

Resolución: Resolución:

Clave: 8

Calcula el dominio de la función:



F(x)=

8

5 x -4

Calcula el rango de la función:



2

a) R - {2} b) 〈-2;2〉 d) [5; +∞〉

Clave:

c) R - [-2; 2] e) R

Resolución:



F(x)= 8x-1 4x+2

a) R - {2} b) R - {-2;2} d) R - {1}

c) R - {-2} e) R

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 126

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec.

Capítulo

16

Funciones II

funciones especiales

3. Función Valor Absoluto

1. Función Constante





Regla de correspondencia: Fx = k DF = R; RF = k Significa que: F = {... , (0 ; k) , (1 ; k) , (2 ; k), ... } ∴ F = {(x ; y) /Fx = k }



Gráfica:

x=

y k

0

F(x) = k

2

3

6

Regla de correspondencia: F(x) = x x ; si x ≥ 0 - x ; si x < 0

+ DF = R; RF = R ∪ {0} Significa que: F={... , (-2; 2) , (-1 ; 1) , (0; 0), (1 ; 1)... } F(x) = |x| y =|x| → x=1;y=1 x = -1 ; y = 1 Gráfica: y y =|x|

x

2. Función Identidad

x 4. Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia: F(x) = x DF = R; RF = R Significa que: F = {... , (1; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3), ... } ∴ F(x) = {(x ; y) /Fx= x→ x = y } Gráfica:

y



F(x) = x

x

Formando líderes con una auténtica educación integral

Regla de correspondencia: F(x)= x DF = R+ ∪ {0} ; RF = R+ ∪ {0} Significa que: F={(0; 0) , (1 ; 1) , (2; 2), (3 ; 3),...} Gráfica:

y y= x

x 127

Álgebra - 4to Sec. 5. Función Lineal

6. Función Cuadrática







Regla de correspondencia: F(x)= a x + b ‘‘a’’ y ‘‘b’’ son constantes cualesquiera, a ≠ 0 D F = R ; RF = R



Su gráfica es una recta, con pendiente ‘‘a’’ e intercepto ‘‘b’’. Gráfica:

Es una función con dominio en el conjunto de los números reales y cuya regla de correspondencia es:



F(x) = ax2 + bx + c a; b; c ∈ R ; a ≠ 0 • Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba si a>0; y hacia abajo si a 0

( ( b 2a

F

V

y

x

a > 0 ∧ ∆ > 0

b

V: vértice α x

y = mx + b m 0 V: vértice {x1 ; x2} raíces de la ecuación, cuando y = 0. y V

x x1 = x2 =

b 2a

a > 0 ∧ ∆ = 0

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. Funciones Impares

y x1 = x2 =

b 2a

x

V

Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto del origen. I. Si: x ∈Df → -x ∈ Df II. f(x) = - f(-x) → ∀ x ∈Df



Ejemplo: a < 0 ∧ ∆ = 0 {x1 ; x2} raíces iguales de la ecuación, cuando y = 0.

y V



Indica qué funciones son pares, impares o ni par ni impar.



I. F(x) = x4 + 1 II. G(x) = x3 III. H(x) = x -|x|

Resolución: I.

( ( b 2a

F

x

b 2a

II. G(x) es impar, porque: G(-x) = (-x)3 G(-x) = -x3 -G(-x) = x3 -G(-x)= G(x) → ∴ G(x)es impar

a > 0 ∧ ∆ < 0

y

( (

f

b 2a

b 2a

F(x) es par, porque: F(-x) = (-x)4 +1 F(-x) = x4 +1 F(-x) = F(x) → ∴ F(x) es par

III. H(-x) = -x -|x| -H(-x) = x+|x| -H(-x)≠ H(x); también: H(-x) ≠H(x) ∴ H(x)no es ni par ni impar

x

V

DESPLAZAMIENTOS a < 0 ∧ ∆ < 0

a) Desplazamiento horizontal

h>0

Esta función, cuando y = 0, los valores de ‘‘x’’ son números complejos. OTRAS FUNCIONES Funciones Pares Son aquellas funciones que se caracterizan por ser simétricas respecto al eje "y"; y se cumple que:

I. Si: x ∈Df → -x ∈ Df



II. f(x) = f-x → ∀ x ∈Df

Formando líderes con una auténtica educación integral

y F(x+h) x y F(x) x

129

Álgebra - 4to Sec. y

b) Reflejo en el eje y

h>0

y

F(x-h)

F(x)

x

x b) Desplazamiento vertical

y F(-x)

y x x h>0

F(x)- h

c) Con valor absoluto y F(x)

y

x

F(x) x y

|F(x)| h>0

y

x

F(x)+h x

1. Indica cuál es la gráfica de: F(x)= |x|?

REFLEJOS a) Reflejo en el eje x

Resolución: y

Si: x ≥ 0 → |x|= x → ∴ F(x) = x es la función raíz cuadrada.

x

Si x < 0 → |x|= -x →

F(x)

∴ F(x) = -x simétrica a x con respecto al eje y. De las dos condiciones:

y

y

-F(x) x

x

130

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 2. Indica la gráfica de:

Resolución: y = f(-x) es simétrica a respecto al eje "y".

F(x)= 7 -|x - 2|

y Resolución:

1

Gráfica 1: y = |x| (función valor absoluto)

2

y

x

y = f(-x)-1 se desplaza una unidad hacia abajo. y x

2 x

Gráfica 2: y = |x -2| se desplaza dos unidades a la derecha respecto a y = |x| y

-1 4. Esboza el gráfico de: F(x)= 4x(x+m) + m2 siendo: m < 0 Resolución:

x

Efectuando F(x)=

Gráfica 3: y = -|x -2| es simétrica a y = |x -2| con respectoa al eje x. y



4x2+ 4xm + m2 trinomio cuadrado perfecto

→ F(x)= (2x +m)2 Gráfica 1: y = (2x)2 = 4x2 (función cuadrática simple)

x

y

Gráfica 4: y = 7 -|x -2| se desplaza hacia arriba 7 unidades. 7

y

x Gráfica 2: y = (2x+m)2 se desplaza "m" unidades a la derecha, pues m < 0 y

x

2

m

3. Según el gráfico de f(x)

x

y f(x)

1

-2

x

indica el gráfico de f(-x)-1

Formando líderes con una auténtica educación integral

131

Álgebra - 4to Sec.

Resolviendo en clase 1) Grafica:

f(x) = -2 Rpta: _____

4) Halla el área de la región sombreada formada por la recta "L" y los ejes de coordenadas, siendo: 10 -2x F(x)= 5

F(x)

L

x

Rpta: _____ 2) Grafica:

5) Grafica:

f(x) = 2x+3

F(x) =

x -1 Rpta: _____

Rpta: _____ 6) Si la gráfica de F(x) = x es y 3) Grafica:

x

F(x) = - x

Rpta: _____

halla la gráfica de F(x) = x -2

Rpta: _____

Para Reforzar 4) Grafica:

1) Construye la gráfica de la función: F(x) = -3

f(x) = 4 - 2x

Rpta: _____

2) Grafica:

Rpta: _____

5) Grafica:

f(x) = 4x - 5



f(x) =

x+2

Rpta: _____

3) Grafica:

6) Grafica:

F(x) = -x Rpta: _____

132

Rpta: _____

F(x) = - -x Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 16

Para el profesor: 1

Para el alumno: 1

Grafica: F(x) = x + 1 a)

b)

y

e)

y

x d)

a) y

y

1

x

c) Faltan datos

y

b)

x

x

y

Grafica: f(x) = x -1 c)

x

-1

d) y

e)

x

x

1 Resolución:

Clave:

Clave: 2

Grafica: F(x) = x2+1 a)

1

b)

y x

d)

y -1

y 1

Resolución:

2

x

-1

x

-1

y

e)

y 1

y 1

Grafica: F(x) = -x2 a)

y

b) x

x

x

c) Faltan datos

d)

y

x

y

e)

y x

x

c) Faltan datos x

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 133

Álgebra - 4to Sec. 3

3

Grafica: F(x) = (x+3)2 -5 a)

y

b)

y

c)

x d)

y

a)

x

y

b) y -3

x e)

y

Grafica: F(x) = (x - 5)2 +3 c) y 5

x

-3

x

5

d) y

y

5

x Resolución:

5

x

Resolución:

d)

b)

y x

-5 y 5

4 c)

y

5

x

y

Grafica: F(x) = 10x - x2-25 a)

y

x e) Faltan datos

b)

x d)

y

y

c)

y x

x e)

y

x

x

Resolución:

x

Resolución:

Clave: 134

Clave:

Grafica: F(x) = x2 + 10x + 25 a)

x

3

Clave: 4

x

e) y

-3

x

3

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Álgebra - 4to Sec. 5

5

Grafica: F(x) = |x-3| a)

y

c)

y 3

x

-3 d)

b)

-3

e)

y

d)

y

c)

x

8

-8

x

y

d)

b)

x

6 y

c)

y

3

x

Grafica: y = |x|- 8 a)

y

x

8

x e)

y -3

x

-8

Clave:

b)

3

3

y

Resolución:

Grafica: F(x) = |x|+3 a)

x e)

Clave: 6

y

x

y

x

Resolución:

b)

8

8

y -3

x

a) x

x

y

3

y

Grafica: F(x) = |x+8|

d)

y -3

x

Resolución:

x

8

c)

x

y 8

x

x e)

y -8

y

y -8

x

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 135

Álgebra - 4to Sec. 7

Grafica: F(x) = |x -2| a)

y

b)

7 y

x d)

c)

y

x

y

Grafica: y = |x+2| a)

y

e) Faltan datos

d) F(x)

c)

y

F(x)

x

2

x

Resolución:

b)

y 3

Clave: 8

y

c)

y

Grafica: F(x) =||x -1| -3|| a)

y 1

x x

d)

x

-2 e)

-2

Grafica: F(x) = ||x| -3| a)

F(x)

x

Clave: 8

y

F(x)

y

x Resolución:

y

x

2

x

b)

F(x)

-3

x e) N.A.

y x

d)

x

y

c)

y

y

3

x 1

-3

Resolución:

b)

x e)

y

x

x

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 136

Formando líderes con una auténtica educación integral