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Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

  Lectura

¡Es Obvio!

La palabra “obvio” debe ser una de las más temibles de toda la matemática; lo que es “obvio” para unos no es nada claro para otros, y el uso de dicha palabra puede crear la “angustia matemática” que todo estudioso ha conocido en algún momento de su aprendizaje.

o

obvi

3x + 4 = 10 n

b =P

El astrónomo norteamericano Nathaniel Bowdith (1773 - 1838) tradujo al inglés la obra de Laplace Mécanique Celeste e hizo el siguiente comentario: “Siempre que aparecían expresiones como 'es evidente', 'es obvio', 'es fácil de ver', ... yo sabía que me esperaban horas de arduo trabajo para llenar los vacíos y entender lo que era obvio”. De G.H. Hardy (1877 - 1847), uno de los matemáticos ingleses más importantes de principios del siglo XX, se da cuenta que dando una conferencia dijo que cierta relación matemática era trivial; después vaciló un instante y preguntó: “¿Será trivial?” Pidió disculpas, salió de la sala de conferencias y fue a su oficina. A los 20 minutos volvió y declaró: “Sí, es trivial”. El matemático norteamericano Ralph P. Boas cuenta que el profesor Tomkins dijo durante una conferencia: “esto es obvio”. Uno de sus colegas, Marston Morse, con mucha entereza, lo interrumpió y preguntó: “¿Nos podría explicar cuáles son las razones obvias? La explicación subsiguiente duró media hora. Pregunta 1. ¿La palabra obvio, es relativa o absoluta? ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................

Álgebra

53

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

Leyes de exponentes I Potenciación

Teoremas 1. an × am=an+m

Notación 2.

Exponente n

y

3. (bx) =b xy

b =P Base

bx =bx – y by

Potencia

Nota

y y (bx) ≠ b x 

Definiciones • Exponente natural

n

4. (ab) =a nb n

bn=b · b · b · .....· b , n ∈N n veces



Nota 1

b =b

5.

n a n a  = n b b

6.

a – 1 b   = a b

7.

a – n b n   =    b a

Recordar • Exponente cero 0 · N=N · 0=0

b0=1

N · 1=1 · N=N

Restricción:

0 + N=N+0=N b≠0 (+)(+)=+

• Exponente negativo

(+)( – )= – ( – )( – ) =+

1 b = b  – 1



+/+=+

Restricción:

+/ –= – b≠0

Álgebra

 – / –  =+

54

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

Problemaspropuestos 1. Halle

7. Efectúe 3 

2

90

E= – (2) –( – 3) +( – 1)



A) –14 B) –15 C) –16 D) –17 E) –18

A) 1 B) 0 C) 2

2. Halle

5 3+42+3

F=1+24+1

D) 33

E=(– 7)(– 7)(– 7)(– 7)...(– 7)  – (– 7)20

E) 65

20 factores

8. Simplifique

A) 1 B) 7 C) 49 D) 20 E) 0

(2×3)3(2×5)3(3×5)3



E=



A) 6

24×36×55

3. Halle

M=(– 5)90+(– 3)87 – 590+387

A) 5 B) 3 C) 90 D) 87 E) 0

C) 15

D) 30

E) 20

9. ¿Cuál es el valor de a?,

4. Marque verdadero (V) o falso (F) según

3

corresponda. I. 23=6 II. (– 5)1=– 5 III. 35=243 A) VFF B) VFV D) FFV

B) 10

si A=

2

a2  · a2 2

a3

, además A=8.

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16

C) VVV E) FVV

E) 1

10. Simplifique 5. ¿Cuál es el exponente de 2 al simplificar la

expresión?

E=

27 · 20 · 21 · 2– 5 4 · 8 · 16 · 2 – 10

E=

2 3 ·  3 4 ·  5 4       3 5 2

A) 5/3 B) 3/5 C) 2/5

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

D) 5/2

6. Reduzca

11. Reduzca 20 factores



E) 3/2

1

6 · 6 · 6 · 6...6 · 6 3 20  F=   ·  9 · 9 · 9...9 · 9 2



1 −3  − 3  −   (64) 3 + (−32) 5 



A) 0,5

20 factores

A) 0 B) 3 C) 2 D) 9 E) 1

Álgebra

B) 9

D) 1,5

55

2do. Año

C) 2 E) 0

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

12. Reduzca

14. Efectúe  – 2 – 1 – 9 – 4

E=(0,125)



A) 4 B) 2 C) 3 D) 6

A) 1 B) 2 C) 3

E) 5

D) 4

13. Reduzca

R=1616



A) – 1

E) 5

15. Efectúe  – 1

 – 5

 – 32



 1 −1  1 −1  1 −1 E =   +   +   4 3  2

B) 2

D) 1/2

C) 1



P= 3 27−1 + 0, 49



y dé como respuesta 30P.

A) 29 B) 30 C) 31

E) 4

D) 320

E) 1

Tarea Domiciliaria A) 2 B) 0 C) 4

1. ¿Cuál de los siguientes resultados es el mayor?

D) 6

A) – 23

B) – 22



D) (– 3)2

C) (– 2)3

4. Reduzca

E) (– 2)2



2. Halle el resultado de

E=

E) 1

(21)3×5

 1 −3  2 −2  4 −1  −0,5   +   +           5 11   3

A) 3/5 B) 1/2 C) 1/6

27×73

D) 1/4

E) 1/3

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9

5. Efectúe

E) 11



3. Simplifique 1



E=

2

2(– 2) 22

40

 5 −3 2  7  −6   + 7 −    ⋅     7    5  0

A) 1 B) 2 C) 3

4 0

(3 )

Álgebra

 1 −2 S =    2

D) 4

56

2do. Año

E) 5

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

  Lectura

Santa Claus Como creo que aún hay gente que le reclama a Santa Claus que no le haya traído lo que le pidió, les pido que sigan atentamente las peripecias que el pobre Santa tiene que padecer todos los años. Aquí va. Existen aproximadamente dos mil millones de niños en el mundo. Sin embargo, como Santa Claus no visita niños musulmanes, ni judíos, ni budistas; esto reduce su trabajo en la noche de Navidad y sólo tiene que visitar 378 millones de chicos. Con una tasa promedio de 3,5 niños por casa, se convierte en 108 millones de hogares (suponiendo que al menos hay un niño bueno en casa). Santa Claus tiene alrededor de 31 horas de Navidad para realizar su trabajo, gracias a las diferentes zonas horarias y a la rotación de la Tierra, asumiendo que viaja de este a oeste (lo cual parece lógico). Esto suma 968 visitas por segundo, como quien dice, para cada casa cristiana con un niño bueno, Santa tiene alrededor de 1/1000 de segundo para: estacionar el trineo, bajar, entrar por la chimenea, llenar las botas de regalos, distribuir los demás regalos bajo el arbolito, comer los bocadillos que le dejan, trepar nuevamente por la chimenea, subirse al trineo... y llegar a la siguiente casa. Suponiendo que cada una de esas 108 millones de paradas están equitativamente distribuidas geográficamente, estamos hablando de alrededor de 1248 metros entre casa y casa. Esto significa, un viaje total de 121 millones de kilómetros... sin contar descansos o paradas al baño. Por lo tanto, el trineo de Santa Claus se mueve a una velocidad de 1040 kilómetros por segundo... es decir, casi tres mil veces la velocidad del sonido. Hagamos una comparación: el vehículo más rápido fabricado por el hombre viaja a una velocidad máxima de 44 km/seg. Un reno convencional puede correr (como máximo) a 24 km por hora o, lo que es lo mismo, unas siete milésimas de kilómetro por segundo. La carga del trineo agrega otro elemento interesante. Suponiendo que cada niño sólo pidió un juguete de tamaño mediano (digamos de un kilo), el trineo estaría cargando más de 500 000 toneladas... sin contar a Santa Claus. En la Tierra un reno normal no puede acarrear más de 150 kg. Aún suponiendo que un reno pudiera acarrear diez veces el peso normal, el trabajo obviamente, no podría ser hecho por ocho o nueve renos. Santa Claus necesitaría 350 000 de ellos, lo que incrementa la carga otras 54 000 toneladas... sin contar el peso del trineo. Más allá de la broma, 600 000 toneladas viajando a 1040 km/seg sufren una resistencia al aire enorme, lo que calentaría los renos, de la misma forma que se calienta la cubierta de una nave espacial al ingresar a la atmósfera terrestre. Por ejemplo, los dos renos de adelante, absorberían 14,3 quintillones de joules de energía por segundo, cada uno... por lo que se calcinarían casi instantáneamente, exponiendo a los renos siguientes y creando ensordecedores “booms” sónicos. Todos los renos se vaporizarían en un poco más de cuatro milésimas de segundo... más o menos cuando Santa Claus esté a punto de realizar su quinta visita. Si no importara todo lo anterior, hay que considerar el resultado de la desaceleración de 1 040 km/seg. en 0,001 de segundo, suponiendo, un peso de Santa Claus de 150 kg, estaría sujeto a una inercia de fuerza de 2 315 000 kg, rompiendo al instante sus huesos y desprendiendo todos sus órganos, reduciendo al pobre Santa Claus a una masa sin forma, aguada y temblorosa. Si aún con todos estos datos, los enoja que Santa Claus no les haya traído lo que le pidieron este año, es porque son tremendamente injustos y desconsiderados. Preguntas 1. ¿Cuánto crees tú, que sea posible, que podrías ser tú Santa Claus? 2. ¿Si tú fueras a ser Santa Claus, cómo te sentirías con este trabajo?

Álgebra

57

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

Leyes de exponente II - Radicación Teoremas

Definición Exponente fraccionario x y

• y

b = bx

b

x

= ( b) y

x

b=

x⋅ y

b

•

n

ab = n a ⋅ n b

•

n

a = b

n

a

n

b

G PROLO

y

x y

Nota Regla práctica

Restricción Si: y: par Entonces b: no negativo

am

·

n

n

b = a m⋅n ⋅ b

Problemaspropuestos

1. Reduzca

0,6

5. Reduzca

M=32 +32

0,4



A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 16

A) 0 B) 2 C) 4 D) 5

2. Reduzca

 T=250,5+2431/5 –   3 



D) 32

8

{

}

1/ 4

A) 20 B) 16 C) 15 D) 22 E) 12

N= 25



E=641/6+2431/5+6251/4+491/2



A) 6

B) 24

C) 20

D) 18

E) 17

8. Resuelva

4. Reduzca

E) 64

7. Halle

  35 S=  3 5 3 5 3 5  + 12 3 17     

1 2

E=[32 – 324/5 – 323/5 – 322/5]5/2

A) 4 B) 8 C) 16

3. Reduzca

1+

E) 3

6. Reduzca

 12 2  5 

A) 0 B) 5 C) –15 D) –10 E) –17



K=251/2 – 81/3

1 − 625 0,25 + 169 2



A) 2 B) 4 C) 6

A) 130 B) 133 C) 150 D) 125 E) 135

Álgebra

5

5 4 3 4 8 3 M= 3 − 9 + (2 )

D) 0

58

2do. Año

E) 8

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

9. Halle el valor de x en la siguiente ecuación

13. Halle el valor de x en

3 +3



x

x+1

=36

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

p4(x – 6)=p – 2(x+3)

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1

E) 0

10. Halle el valor de x en

ax=a2x – 1

14. Indique el exponente de x

A) 0 B) 1 C) 2 D) – 1 E) – 2

31 21 A) B) 32 12

11. Halle el valor de x en

E= x x x x x x

a2x – 3=ax – 5

63 32

32 1 D) E) 63 32

A) 0 B) 1 C) 2 D) – 1 E) – 2

15. Reduzca

12. Halle el valor de x en





C)

m7 – 2x=m

n

n M= n

n

nn

2n

nn

3

n n A) n B) nn C)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

D) n3 E) n2

Tarea Domiciliaria



1. Reduzca       2 2 2  2

A) 0

B) – 1

D) 2

C) 1 E) –  2

4. ¿A cuánto equivale T? A) 1 B) 2 C) 2 8

D) 2



E) 0

A) 7 B) 3 C) 5

2. Reduzca

T = 6 + 3 3 3.......

D) 9

 0 H=  5 27 3 2 2  + 321/ 5 − 144 0,5

E) 11

5. Reduzca

A) – 6

B) – 8



D) – 11

C) – 9 E) – 12



3. Reduzca

0,5

5

5

∞ 5  55 5

A) 6 B) 3 C) 25 1/2

F=16 +25  – 1000

Álgebra

1/3

D) 5

59

2do. Año

E) ∞

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

  Lectura

¿Hasta cuando podrá mantener el Sol la vida en la Tierra ? El Sol podrá mantener la vida terrestre (tal como la conocemos) mientras irradie energía como lo hace ahora, y a este período de tiempo podemos ponerle ciertos límites.

La radiación del Sol proviene de la fusión del hidrógeno y el helio. Para producir toda la radiación vertida por el Sol hace falta una cantidad ingente de fusión: cada segundo tiene que fusionarse 654 600 000 toneladas de hidrógeno en 650 000 000 toneladas de helio. (Las 4 600 000 toneladas restantes se convierten en energía de radiación y las pierde el Sol para siempre. La ínfima porción de esta energía que incide sobre la Tierra basta para mantener toda la vida de nuestro planeta). Nadie diría que con este consumo tan alto de hidrógeno por segundo, el Sol pudiera durar mucho tiempo, pero es que ese cálculo no tiene en cuenta el enorme tamaño del Sol. Su masa totaliza 2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 de toneladas (más de dos mil cuatrillones de toneladas). Un 53% de esta masa es hidrógeno, lo cual significa que el Sol contiene en la actualidad 1 166 000 000 000 000 000 000 000 000 de toneladas, aproximadamente, de hidrógeno. (Para satisfacer la curiosidad del lector, diremos que el resto de la masa del Sol es casi todo helio. Menos del 0,1% de su masa está constituido por átomos más complicados que el helio. El helio es más compacto que el hidrógeno. En condiciones idénticas, un número dado de átomos de helio tiene una masa cuatro veces mayor que el mismo número de átomos de hidrógeno. O digámoslo así: una masa dada de helio ocupa menos espacio que la misma masa de hidrógeno en Helio al ritmo de 654 millones de toneladas por segundo y que lo seguirá haciendo hasta el final, se calcula que ha estado radiando desde hace unos cuarenta mil millones de años y que continuará así otros sesenta mil. Pero las cosas no son en realidad tan simples. El Sol es una “estrella de la segunda generación”, constituida a partir del gas y polvo cósmico desperdigados por estrellas que se habían quemado y explotado miles de millones de años atrás. Así pues, la materia prima del Sol contenía ya mucho helio, desde el principio, casi tanto como tiene ahora. Lo cual significa que el Sol ha estado radiando durante un ratito solamente (a escala astronómica), porque sus reservas originales de hidrógeno sólo han disminuido moderadamente. El Sol pueda que no tenga más de seis mil millones de años. Pero además es que el Sol no continuará radiando exactamente al mismo ritmo que ahora. El hidrógeno y el helio no están perfectamente entremezclados. El helio está concentrado en el núcleo central, y la reacción de fusión se produce en la superficie de este núcleo. A medida que el Sol siga radiando, ese núcleo de helio irá adquiriendo una masa cada vez mayor y la temperatura en el centro aumentará. En última instancia, la temperatura sube lo suficiente como para transformar los átomos de helio en átomos más complicados. Hasta entonces el Sol radiará más o menos como ahora, pero una vez que comience la fusión del helio, empezará a expandirse y a convertirse poco a poco en una gigante esfera roja. El calor se hará insoportable en la tierra, los océanos se evaporarán y el planeta dejará de albergar la vida en la forma que conocemos. Los astrónomos estiman que el Sol entrará en esta nueva fase dentro de unos ocho mil millones de años. Y como ocho mil millones de años es un plazo bastante largo, no hay motivo para alarmarse todavía.

Álgebra

60

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

Ecuaciones exponenciales Forma

Ejemplo 2 bx=by





(x+1)x=



b>0; b≠1

Resolución x=y

→ (x+1)x · (x+1)=27

(A bases iguales exponentes iguales)

(x+1)x · (x+1)1=33   

Forma aa=bb

27 (x+1)

(x+1)x +1=33

Por comparación

(a ∧ b dif. de 0 ∧ 1)

→ x+1=3 → Por comparación

x=2



a=b

Forma

Ejemplo 3 axa=bxb

(a ∧ b dif. de 0 ∧ 1)

(x+1)Ex=(5x+4)E5x+3

→ Por simetría

Resolución

a=b

→ (x+1) Ejemplo 1

2+x+9

bx

=bx(x – 3)+2

Ex+1 E1

=(5x+4)E5x+3



(x+1)Ex+1=(5x+4)E5x+3 · E1



(x+1)Ex+1=(5x+4)E5x+34

Resolución Por simetría

(a bases iguales exponentes iguales)



x+1=5x+4

x2 +x+9= x2  – 3x+2



1 – 4=5x– x

x+9= – 3x+2



→ x2+x+9=x(x – 3)+2

– 3=4x

   4x=– 7

    

x=

– 7 x= 4

Álgebra



61

– 3 4

2do. Año

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Tomo I

Problemaspropuestos 1. Resuelva 2 3

3 4

4 5

7. Calcule x en m

(a )  · (a )  · (a )  =a

y dé como respuesta el valor de m+2.



A) 38 B) 39 C) 40 D) 41

 25  x  343  x−1 7   ⋅  =  49   125  5

A) 3 B) 4 C) 5

E) 42

D) 1/4

2. Halle x si

E) 2

8. Resuelva la ecuación

3

3x =3125

2x+3 – 2x+2+2x+1 – 2x=50x

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

E) 7

y dé como respuesta x2.

A) 1/4 B) 9/4 C) 4/9 D) 9/25

3. Luego de resolver

E) 4

2x · 4x+1 · 8x+2=16x+3

9. Si

dé como respuesta el valor de x2.



A) 0 B) 1 C) 4 D) 9

a

3 b 3 c = 27

calcule

E) 16

3 a−c



4. Resuelva x+1

(23)

=82(x – 2) – 1

A) 10

B) 9

D) 7



25 c 15625 a−b

A) 25

B) 5

C) 1/5

D) 125

C) 8

E) 1/25

E) 6

10. Halle x en 2x+3+4x+1=320

5. Señale usted el valor de x en 25x · 625x=125

A) 4 B) 9 C) 12 A) 1/4 B) 1/3 C) 1/2 D) 1

D) 3

E) 5

E) 2

11. Calcule el valor de a – 3, si 6. Resuelva

9 · 3

x – 5

=1



3

4

x ⋅ x2 ⋅ x3 = x

2 a−1 a ;

x > 0 ∧ x ≠1

A) 2 B) 3 C) 4

A) 12 B) 11 C) 10

D) 5

D) 9

Álgebra

E) 6

62

2do. Año

E) 8

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

12. Resuelva

6n+5 · 6n+3 64+n

14. Si =6



2n – 7

A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

A) 12 B) 11 C) 10 D) 9

xa=x · x2 · x3 · ...x100; x > 0 ∧ x ≠ 1 calcule la suma de cifras de a.

E) 8

15. Si 13. Resuelva 2



m−1 4

⋅ 2

m+1

6

= 2

x x x x = calcule k2 – 1

m+9

A) 12 B) 10 C) 6 D) 5

k−1 x k

A) 63 B) 155 D) 255

E) 3

C) 205 E) 511

Tarea Domiciliaria

1. Resuelva

A) 1/3 B) 4/3 C) 7/12

3x+3 · 9x+9=272x+12

D) 3/8



E) 4/9

e indique el valor de x+1.

4. Resuelva

A) 0

B) – 1



D) – 3

2x+1 · 3x – 2=48

C) – 2



E) – 4

y dé como respuesta el valor de x2+1.

A) 10 B) 17 C) 26

2. Resuelva 53x  1 3 x−2 =   25  5 

D) 37

E) 50

5. Halle x en

A) 1

B) 1/3

2−1

C) 2/3

D) 3/4

E) 1/4



3. Para qué valor de n se cumple que

3

n

9

3 ⋅ 9

n+1

=

Álgebra

27

27

n+2

⋅

81

3−1

2x ⋅

4

x

⋅

4 −1 5−1

8

=6

−1

32

16

A) 2/19 B) 1/19 C) –  2/19

n+3

81

D) 19/2

63

2do. Año

E) –  7

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

  Lectura

Afinadores de piano (en Boston) Gerardo Garbulsky fue un gran proveedor de ideas y de material, no sólo para aportar historias al programa de televisión, sino para mi vida en general, y mis clases en la facultad, en particular. Gerardo y su mujer, Marcela vivieron en Boston durante varios años. Se fueron de la Argentina inmediatamente después de la graduación de Gerardo como Licenciado en Física en la Universidad de Buenos Aires. Luego, él se doctoró –también en Física– en el MIT (Massachussets Institute of Technology). En un momento determinado, ya con el título en la mano, se propuso dejar la vida académica y buscar algún contrato en una empresa privada en donde pudiera utilizar sus capacidades. Y en la búsqueda de empleo, tropezó con una institución que, en la selección del potencial personal que contrataría, sometía a los candidatos a una serie de entrevistas y tests. En una de esas citas, en una conversación mano a mano con un ejecutivo de la empresa, éste le dijo que le haría algunas preguntas que tendían a estimar “el sentido común“. Gerardo, sorprendido, no entendía bien de qué se trataba, pero se dispuso a escuchar. ¿Cuántos afinadores de piano cree usted que hay en la ciudad de Boston? (La entrevista se hacía ahí, en esa ciudad de los Estados Unidos). No se trataba, obviamente, de que él pudiera contestar con exactitud. Posiblemente nadie sepa con precisión el número exacto de afinadores de piano que hay en una ciudad. De lo que si se trataba es que alguien que viviera en una ciudad pudiera estimar. No pretendían que él dijera ni 23 ni 450 000. Pero sí querían escucharlo razonar, y verlo llegar a una conclusión. Supongamos, por un momento, que había alrededor de mil. No querían que él concluyera ni 23 ni 450 000, por supuesto, porque hubiera estado alejadísimo del número aproximado. De la misma forma, si a una persona le preguntaran cuál podría ser la máxima temperatura en un día en la ciudad de Buenos Aires, nadie va a decir 450 grados, ni tampoco 150 grados bajo cero. Se pretende, entonces, una estimación. Pero mucho más aún: lo querían escuchar “razonar”. Mientras tanto, yo fui a buscar los datos para poder hacer mi propia conjetura. Y los invito a seguirla. En el momento en el que estoy escribiendo estas líneas (mayo de 2005), viven en Boston aproximadamente 589 000 personas y hay unas 250 000 casas. Entonces, hasta aquí: Personas: 589 000 Casas: 250 000 Aquí uno tiene que conjeturar otra vez. ¿En cuántas casas uno diría que hay un piano? ¿Cien? ¿Mil? ¿Diez mil? Yo voy a elegir cien, que es lo que me deja más satisfecho. Luego, con 250 000 casas, y un piano cada cien, eso significa que estoy suponiendo que en Boston hay 2500 pianos. Ahora bien: hace falta volver a hacer una nueva estimación. Cada afinador, ¿cuántos pianos atiende? ¿Cien? ¿Mil? ¿Diez mil? Otra vez, voy a hacer mi propia estimación, y vuelvo a elegir cien. Luego, si hay 2500 pianos, y cada afinador atiende cien pianos (en promedio, obviamente), resulta que hay, de acuerdo con mis conjeturas, aproximadamente 25 afinadores de piano. Otra anécdota dentro del mismo contexto. Luego de la preselección, invitaron a todos los precandidatos a un encuentro de capacitación en el Babson College. Cada postulante debería pasar tres semanas completas (de lunes a sábado) asistiendo a cursos y seminarios preparatorios. Para ello, unas semanas antes de la cita, cada uno de ellos recibió una caja que contenía varios libros. Gerardo, al recibir la caja en su casa y ver el contenido, tuvo que hacer una nueva estimación: descubrió que si el objeto era que leyera todos los libros “antes” de tener que presentarse en el Babson College, eso sería una tarea imposible. Haciendo un cálculo más o menos elemental, descubrió que aunque leyera día y noche, y no hiciera ninguna otra cosa, no podría terminar con todos (ni muchos menos). Entonces, optó por leer en forma “selectiva”. Eligió “qué leería” y “qué no”. De alguna forma, trató de separar lo “importante” de lo “accesorio”. El objetivo que descubrió más adelante, es que la empresa quería mandar un mensaje más: “es imposible que un ser humano pueda hacer el ciento por ciento de las cosas que tiene que hacer. Lo que importa es ser capaz de seleccionar el veinte por ciento más importante, para cubrir los temas más relevantes, y evitar dedicarle un tiempo más largo al 80% de los temas que son menos relevantes”.

En todo caso, fue una lección más. Álgebra

64

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

Polinomios Notación

Valor numérico de un polinomio

P(x; y) : se lee polinomio P en “x” e “y”



variables

valores a cada una de sus respectivas variables.

Al valor que adopta un polinomio, se le asignan

Ejemplo Ejemplo

P(x; y)=3x2 – 5ay3+z

Si G(x;

término independiente coeficientes (con todo y signo)

G(x;

y)

y)=x

2

+2xy – y3, dé el valor numérico de

para que x=3 e y=2 (también se puede

representar G(3; 2)).

Teoría de grados

Luego G(3; 2)=(3)2+2(3)(2) – 23=9+12 – 8=13

Según el caso, tenemos

Observación

Grado de un monomio • Grado relativo (GR) Es el exponente de la variable en el monomio.

Valores numéricos notables

• Grado absoluto (GA) Es la suma de los grados relativos.





• Suma de coeficientes unidad.

Ejemplo M(x; y; z)=3x7y4z5

Suma de coeficientes=P(variables=1)

GR(x)=7

Ejemplo Halle la suma de coeficientes en P(x)=3x2 – 2x – 1

GR(y)=4  GA(M)=16

GR(z)=5

Resolución Haciendo P(1)=3(1)2 – 2(1)–1=0

Grado de un polinomio • Grado relativo (GR) Es el exponente máximo de la variable en el polinomio.

• Término independiente Se obtiene reemplazando las variables por ceros.

• Grado absoluto (GA) Es el mayor grado absoluto entre los monomios que forman el polinomio.

Término independiente=P(variables=0)

Ejemplo P(x; y; z)=3x5+2x6y2+y7z3 – 64x3z 5º

8º

10º

Ejemplo

4º

GR(x)=6 GR(y)=7  GA(P)=10



Halle el término independiente en



P(x)=7x4 – x2 – 3x+6

Resolución

GR(z)=3

Álgebra

Se obtiene reemplazando sus variables por su

Haciendo P(0)=7(0)4 – (0)2 – 3(0)+6=6

65

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

• Polinomio completo y ordenado





* Polinomio completo (con respecto a una de a.  En forma ascendente:

Ejemplo

   P(x)=3+2x – x2+5x3

a0 x n+a1 x n – 1+a2 x n – 2+...+an=0

b.  En forma descendente (lo más común):

→

   H(y)=6y5+4y4 +y3 – 2y2+5y – 2



sus variables)

b.  En forma descendente:

   Q(x)=x10 – 6x7+x2 – 3



Ejemplo



P(x)=5 → GA(P(x))=0



• Polinomios especiales



a. Polinomio mónico

Observación El único polinomio constante que no posee grado es el polinomio nulo.

Aquel cuyo coeficiente principal es la unidad. Ejemplo P(x)=x2+2x+3

Es aquel polinomio que adopta un solo valor numérico para todo valor de una variable.

a.  En forma ascendente:

   P(x)=5+x3+6x7

a0=a1=a2=...=an=0

• Polinomio constante

* Polinomio ordenado (con respecto a una de



Se dice de un polinomio P(x) es idénticamente nulo si P(x)=0; ∀ x.

sus variables)

c. Polinomio idénticamente nulo



Ejemplo



P(x)=0 → GA(P(x))=no definido

• Polinomios homogéneos

b. Polinomios idénticos

Un polinomio será homogéneo cuando el GA de

Dos polinomios P(x) y Q(x) ambos de grado

cada uno de los términos que lo conforman es

n serán idénticos si para más de n valores

igual al grado absoluto; al que se le denomina

diferentes, los polinomios adoptan valores

grado de homogeneidad.

numéricos iguales por cada valor.



P(x; y)=3p 2 x 6 y 2+5xy7+2x4y4+y8

Ejemplo Si Ax2+Bx+C ≡ mx2+nx+P

8º 8º 8º 8º GA(P(x; y))=8 (grado de homogeneidad)

→ A=m; B=n; C=P

Álgebra

Ejemplo

66

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

Problemaspropuestos 1. Halle el valor de n si se sabe que el grado del

6. Calcule la suma de coeficientes del siguiente

monomio A es 6.

polinomio completo y ordenado en x.

A(y)=2 n y18



P(x; y)=mx my b+(m+2)x2+(m – 1)x+(2m – 1)xn

A) 2 B) 4 C) 1

A) 10 B) 15 C) 13

D) 3

D) 11

E) 0

7. Calcule la suma de coeficientes polinomio

2. Halle el valor de a para que el grado del siguiente

homogéneo.

monomio sea igual a 10.

E) 12

P(x; y)=(22x a+2 y)2



2 – 2 4

P(x; y)=8ax n

2

y +6(a – b)xa+b+(20b –15)xn y2n – 6

A) 2 B) 4 C) 1

A) 148 B) 157 C) 227

D) 3

D) 237

E) 0

3. Calcule m+n del siguiente monomio

x

1+ m 2− n

x

1− n 2− m

E) 247

8. Determine E=m+n+p+q si el polinomio

y

y

sabiendo que su GA=10 y su GR(y)=4



P(x;  y)=5xm+2 y n+2xm+1y2+x2pyq+3xq–1y5



es homogéneo de grado 7.

A) 2 B) 5 C) 8

A) 5 B) 7 C) 8

D) 3

D) 15

E) 6

4. Calcule E=(a+c)b en el polinomio 2

E) 10

9. Calcule a+b, si el polinomio está ordenado en

2



P(x)=a(3x  – x+2)+b(2x – 1) – c(x  – x) – 6x



si es idénticamente nulo.

forma descendente y está completo P(x)=x a+4 – 3xb – 7

A) 3 B) 8 C) 16

A) 4 B) 8 C) 9

D) 9

D) 6

E) 4

10. Calcule el valor de n para que el polinomio P(x)

5. Halle la suma de coeficientes del polinomio n2 – 2 4

n2 2n – 6

sea completo y ordenado en forma creciente

y +4(a – b)xayb+(10b – 1)x y



P(x)=2ax 



si es homogéneo.

P(x)=4xn+2 – 53xn+3 – 3xn+4

A) 107 B) 106 C) 100 D) 90

Álgebra

E) N.A

A) – 4

B) – 3

D) –  1

E) 96

67

2do. Año

C) – 2 E) N.A

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I A) 1 B) 5 C) 9

11. Si el polinomio P(x) está completo y ordenado ascendentemente, calcule n n+p+2m

P(x)=x

 – 3x

p – 3

 – 2x

D) 10

E) –1

m – 8

14. ¿Cuál es la suma de coeficientes del polinomio

A) –5

B) 3

D) –24

homogéneo?

C) 4

P(x,y)=axa+4 – 3xayb+bxb+5

E) N.A

A) 14 B) 13 C) 12

12. Calcule b sabiendo que el polinomio es homogéneo

D) 11

P(x)=6x3a – 5xayb – 1+3y16 – a

15. Si el siguiente polinomio es homogéneo

A) 4 B) 9 C) 10 D) 6

axbya+bxyb–x3y4

E) N.A.



13. Calcule a – b en el siguiente monomio, si además

E) N.A.

¿Cuál es la suma de sus coeficientes?

se sabe que GA(x)=15; GR(y)=10.

A) 0 B) 5 C) 3

– 3xa+byb+8

D) 1

E) N.A.

Tarea Domiciliaria 4. En el siguiente polinomio

3 1. Si se sabe que el grado de P(x)=3  x a+1 es 9,

halle a. A) 24 B) 26 C) 28 D) 30



P(x,y)=mxm+n+2ym – 1+nxm+nym+1+mnxm+n+1ym



el grado de homogeneidad es 13 y el grado relativo a x es el grado relativo a y como 3 es a 2,

E) 1

calcula la suma de coeficientes.

2. Si el polinomio

axa+by+(b – a)xya+3



es homogéneo.



Halle la suma de coeficientes.

A) 17 B) 15 C) 18 D) 19

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 20

5. ¿Cuál será el valor de A+B+C+D, si se sabe que

E) 5

el polinomio es idénticamente nulo? Ax3+2x2 – 3x3+2Cx2+8 – 3Bx+D+9x

3. Halle el grado del polinomio homogéneo mx2myn+2 – mx2ny4m

A) 2 B) 4 C) 1 D) 5

Álgebra

A) – 1

B) – 2

D) –  5

E) N.A.

68

2do. Año

C) – 4 E) N.A.

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

  Lectura 5

¿Se hunden los barcos hasta el fondo del mar o llega un momento en que la presión les impide seguir bajando? Un objeto se hunde en el agua si es más denso que ella. La densidad del agua es de un gramo por centímetro cúbico, y las sustancias como la piedra o los metales son mucho más densos que eso. Los barcos, aunque están construidos de grandes masas de acero, flotan porque en su interior encierran grandes espacios de aire. La densidad media del acero y demás materiales de construcción, más el volumen de aire dentro del barco es menor que la del agua. Si por accidente entra agua en el barco, la densidad media de los materiales de construcción más el agua del interior es mayor que la del agua, y el barco se hunde. A medida que se hunde, va experimentando presiones cada vez mayores. En la superficie del océano, la presión (debida a la atmósfera) es de 1034 gramos por centímetro cuadrado de superficie. Diez metros más abajo, el peso de esa columna de agua añade otros 1034 gramos por centímetro cuadrado a la presión, y lo mismo para cada uno de los diez metros siguientes. La presión en el fondo del lugar más profundo del océano que se conoce, es de mil cien veces la presión atmosférica, lo que equivale a más de una tonelada por centímetro cuadrado. Tales presiones no tienen, sin embargo, ningún efecto sobre el empuje hacia arriba que experimenta un objeto al hundirse. La presión actúa en todas las direcciones por igual; hacia abajo, hacia arriba y lateralmente, de manera que el objeto sigue hundiéndose, sin hacer ningún caso del aumento de presión. Pero hay otro factor. La presión comprime el agua y aumenta así su densidad. ¿No podría ser que, como consecuencia de ese aumento de presión, el agua se hiciese tan densa que el objeto dejará de hundirse y quedará flotando en las profundidades del mar? ¡No! El efecto de comprensión es muy pequeño. Incluso a una presión de 1 tonelada por centímetro cuadrado, la densidad del agua aumenta sólo de 1 a unos 1,05 gramos por centímetros cúbico. Un sólido que tuviera una densidad de 1,02 gramos por centímetro cúbico se hundiría, efectivamente en el agua, pero quedaría flotando a unos cinco kilómetros de profundidad. Los materiales de construcción ordinarios, sin embargo, tienen densidades muy superiores a 1,05 gr, la densidad del aluminio es 2,7 y la del acero 7,8 gramos por centímetros cúbico. Los barcos metálicos se hundirían hasta el fondo de los abismos más profundos sin la menor posibilidad de flotar. Pero supongamos que el océano fuese más profundo aún. ¿Llegaría un momento en que una barra de aluminio por poner un ejemplo, alcanzase una profundidad máxima? La respuesta sigue siendo, ¡no! Si los océanos tuviesen una profundidad de 68 kilómetros (en lugar de unos 11 como máximo), la presión en el fondo alcanzaría unas 7 toneladas por centímetros cuadrado y la densidad del agua 1,3 gramos por centímetro cúbico. Pero para entonces el agua ya no sería líquida, sino que se convertiría en una sustancia sólida llamada “hielo VI”. (El hielo VI es más denso que el agua, mientras que el hielo I, el hielo ordinario, es menos denso). Por consiguiente, el aluminio o cualquier otra sustancia de densidad mayor que 1,3 gramos por centímetro cúbico descenderían hasta cualquier profundidad oceánica mientras que el agua siguiese siendo líquida, y en último término iría a posarse sobre una superficie sólida que podría ser el fondo marino o ese hielo VI. El agua ordinaria nunca puede hacerse suficientemente densa para hacer flotar al aluminio y mucho menos al acero.

Álgebra

69

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

Repaso Problemaspropuestos 1. Calcule

E=

5. Simplifique

1 – 3 2 –2 4 –1    –     –    2 5 7

A) 0

M=

C) yx

1 D) 4

x y E) D) y x

1 E) 8

6. Calcule 2+4n

a n

n+3

2. Reduzca

2n+4+2n+3 2n+3+2n+2

n+2

2+2n

a n

A) an

A) 2

x m · y – n x –n · y m

A) x B) y

B) 1

1 C) 2



m+n

C) an+2

B) 4

D) a

C) 3

D) 1

B) a2n

1 E) 2

E) 1

7. Simplifique (2n+3) veces

3. Efectue E=

E=

(x5)6·(x6)5 5 11

(x )

(n+4) veces

; x≠0

A) x B) x2

2

A) x B) x

C) x3

3

C) x 4

D) x

D) x4

5

E) x

E=2 – 7{2 – 6[2 – 5(24)3]2·70}1

2n+4 – 2n+3 – 2n+2 E= 2(2n)



1 A) 2

B) 4



C) 8

D) 16 Álgebra

E) x5

8. Calcule

4. Simplifique

A) 2

x·x·x ..... x 2 – n  · x x·x·x ..... x

B) 1

C) 16

D) 2

E) 32 70

2do. Año

E) 8

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I A) 5

9. Calcule M=



156·124·59·63 1011·313·54

A) 1

E) 25

1 B) 2

13. Halle el grado del siguiente monomio

E) 2

A) 1





P(x; y)=

2 a/b a

b · y  ; a; b ∈N

x

3n+3+3n+5+3n+7 3n+1+3n+3+3n+5

B) 2

C) 3

D) 8

10. Reduzca E=

C) 15

D) 20

1 C) 3 D) 3

B) 10

E) 16

14. Al efectuar la siguiente suma de términos semejantes

A) 2

B) 3

mxa+(8 – 3m)

C) 9

D) 27

E) 81

x6 x m

2xb x 2



Se obtiene



Halle (a – b)m



A) – 8



C) – 4

11. Halle n, si la expresión es de 2do grado



[(x n – 2)3·x2n – 3]2·x4 [(x n)2·x4]2

B) – 6

D) –  125 A) 1

E) N.A.

B) 3

15. Dado el polinomio

C) 4

D) 5

E) 6

12. En el polinomio

P(x; y) ≡ 2xn+3ym – 2z6 – n+xn+2ym+3



el GA es 16 y GR(x) – GR(y)=5. Calcule el valor de

P(x; y)=xa – 2yb+5+2xa – 3yb+7xa –1yb+6



donde GA=17 ∧ GR(x)=4,



calcule (a – b)2.

A) 1

2m+n+1.

Álgebra



C) 4

D) 9

71

B) 2

2do. Año

E) 16

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo I

Tarea Domiciliaria

A) 2

1. Si el polinomio

b

a

P(x; y; z)=xa +x7yb +(y2z2)8



2

2

es homogéneo. Calcule a +b +6 . a+b

A) 71/9

E) 31

2. Si

Calcule

P(x)=3x3a–b+2x2a+5x3b+c+7xa+b+c+....



es completo y ordenado en forma descendente.



es homogéneo de grado n. 2n –1



A) 4

P(x; y; z)=ncxa+2yb+2+nbya+4zc+naxb+1yc+3

E) 7

4. Halle el valor de: (a+b+c)b+c, si el polinomio

C) 14

D) 5

C) 4

D) 5

B) 55

B) 3

C) 6

D) 7

(a+b+c)2n a2n+b2n+c2n

B) 5

E) 8

5. Si el polinomio A) 1

B) 2

P(x)=(a – 2b+3)x5+(b – 2c –1)x4+(c – 2a+2)x7

C) 3



Calcule: (a+b+c)2.

1 E) 2

D) 4

A) 4

3. En el polinomio completo y ordenado en forma creciente, calcule la suma de coeficientes.

m+n

P(y)=my 

m –1

+ny 

p+t

– py 

se anula para cualquier valor de su variable.



B) 81

C) 16

t

+ty 

D) 121

E) 25

Aprendemos, o por inducción o por demostración. La demostración parte de lo universal; la inducción de lo particular.

Aristóteles

Álgebra

72

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le



Tomo II

historia del álgebra

Álgebra en las distintas civilizaciones Las tabletas babilónicas revolucionarian la historia El admirable avance algebraico de los babilonios nos han sido revelado por los militares de tabletas babilónicas desenterradas en Mesopotamia, en los últimos ochenta años; ellas han aclarado definitivamente que los babilonios usaron el símbolo cero, que conocieron muchísimas fórmulas para hallar las áreas y volúmenes de sólidos geométricos, inclusive de algunos cuerpos redondos; también conocieron problemas que implicaban ecuaciones de 2.do grado, bicuadradas y de 3.er grado. Los egipcios El conocimiento algebraico alcanzado por los babilonios, si bien es cierto que no continúa su ritmo de progreso, logra por lo menos expandirse pálidamente hacia la India y en Egipto; el grado de adelanto logrado por los egipcios en el terreno algebraico se puede establecer fácilmente a través de sus papiros, siendo el más importante el de Ahmes. Gracias al Papiro de Ahmes sabemos que hace cerca de 4000 años, acaso se encontraba ya en los egipcios un rudimentario intento del simbolismo en los jeroglíficos e ideogramas, cuando indicaban la suma con un pie orientado hacia adelante y la resta con un pie orientado hacia atrás. Ellos conocieron problemas como éste que ahora resolviéramos por medio de una ecuación de primer grado: Hallar el número que sumado con sus séptima parte es igual a 19. Los griegos Euclides (s. III a. C.) Por los procedimientos geométricos, demuestra que: (a+b)2=a2+ab+b2, que (a+b)(a – b)=a2 – b2 En su data resolvió problemas para hallar dos números conociendo su producto y su suma o diferencia, o también conociendo su producto y la suma de sus cuadrados. En sus immortales Elementos fue aún más lejos resolviendo los equivalentes de las ecuaciones x2+ax=a, y también x2+ax=b2. Pero solo se quedó ahí por falta de una álgebra simbólica. Diofanto (s. III a. C.) Es considerado como el inagurador del álgebra sincopata; con él se inicia ya, aunque no muy nítidamente, un nuevo concepto del número, necesario para el desarrollo del álgebra. Padre del álgebra Diofanto llegó a resolver perfectamente los sistemas de ecuaciones que tienen más ecuaciones que incógnitas y consideraba solamente las soluciones positivas, aún cuando no ignoraba la existencia de las soluciones negativas; tuvo verdadera predilección por las ecuaciones indeterminadas. Diofanto inicia el verdadero simbolismo, el método analítico en la resolución de los problemas, la simplificación y la generalización que al álgebra le hacían falta para emprender su vuelo incontenible, la organización de la teoría de las ecuaciones, plasmando por primera vez el álgebra en un libro. Por todo esto se considera a Diofanto como el

Álgebra

65

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

Productos notables I Son los resultados de ciertas multiplicaciones cuyo producto es fácil de recordar mediante ciertas reglas que a continuación daremos.

Ejercicios a. Simplifique

Suma de un binomio al cuadrado (x+y)2=x2+2xy+y2

(α)

H=(n+5)(n – 3) – (x+7)(x – 5)+4



Rpta.: .....................................

b. Simplifique

Diferencia de un binomio al cuadrado (x – y)2=x2 – 2xy+y2





E= (x+13)(x – 13)–(x+5)(x – 5)



Rpta.: .....................................

(β) c. Reduzca

De (α)+(β) ∧ (α) – (β), se reduce



E=(x3 – 3)2 – (x3 – 1)(x3 – 5)

Identidades de Legendre



Rpta.: .....................................

(x+y)2+(x – y)2=2(x2+y2) 2

d. Reduzca

2

(x – y)  – (x – y) =4xy

Diferencia de cuadrados (a+b)(a – b)=a2 – b2



M=(3x+2)2 – (3x+1)2 – 3(2x+1)



Rpta.: .....................................

e. Reduzca

S=(x+y)2 – 2(x+y)(x – 2y)+(x –2y)2



Rpta.: .....................................

Identidad de Steven (Multiplicación de dos binomios con un término en común)

f. Simplifique

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab



R=(x+1)2 – (x+2)2 – (x+3)2+(x+4)2



Rpta.: .....................................

Ejemplos • (2x+3)2= ...............................................

g. Efectúe

• (4x+7)2= ...............................................



N=(x – 3)2 – (x – 1)2+4x



Rpta.: .....................................

• (4x –3y)2=

...............................................

• (5x – 1)2= ...............................................

(9 – x2)(x2+9)=

...............................................

• (5 –3x)(3x+5)=

...............................................

• (2x+3)(2x+5)=

...............................................

•

h. Efectúe

Rpta.: .....................................

• (a+c+7)(a+c – 3)= ............................................... Álgebra

L= (x – 5)2 – (x+3)2+16x

66

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

Problemaspropuestos 1. Calcule

A) 1 B) 2 C) 3



D) 4

(n+4)2 – (n+5)(n+3)

E) 5

A) 5 B) 4 C) 3

7. Si (a+b+c+d)2=4(a+b)(c+d)

D) 2



Encuentre el valor de



A = 

E) 1

2. Realice

2 2 M= (x+y)  – (x –y) xy

A) 4 B) 5 C) 7 D) 3

D) 4

halle x4+y4. A) 21 B) 23 C) 29

halle N=a+b; siendo (a+b > 0).

D) 17

A) 2 B) 1 C) 4 D) 4x2

M=(2x+1)2+(2x – 1)2 – 2

A) 8 B) 0 C) 4

2

D) 4x

E) 8x



M=(x+1)(x+3)+(x+2)(x+2) – 2x2 – 7 – 5x



A) 4x



D) 2x

5. Multiplique

x y 2  x y 2 + –   –  , y x y x

Álgebra

S= x2+

1 x2

x4 +

1 x4

E) –  2

11. Calcule

E) 5

6. Simplifique S=

E) – 2x

D) 2

A) 1 B) 2 C) 3



C) 3x

A) 0 B) 1 C) –  1

S=(8 2 +1)(8 2  – 1)(4 2 +1)( 2 +1)(2)

D) 4

B) 2

10. Halle

2





E) 21

9. Efectúe

E) 8x2

4. Reduzca

E) 9

8. Si x2+y2=5; xy=2,

E) 5

3. Si a2+b2=12 ∧ ab=2,



343(c+d)



1/2

A) 1 B) 2 C) 3



3(a+b)

x; y ≠ 0

67



E=(x+4)(x – 2)+(x – 6)(x+4) – 2x2



A) 16

B) – 16

C) 24

D) –  32

E) 30

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

12. Calcule

E=

14. Simplifique

(ex+e– x)2 – (ex – e– x)2  ; donde e=2,7182 4

13. Si xy=b;

1 x2

+

1 y2

n – 3

1+3(22+1)(24+1)(28+1)... n factores

A) 250 B) 256 C) 258

A) 1 B) 2 C) 3 D) e

E =2

D) 259

E) e2

E) 220

15. Si x4+x– 4=34, 2

=a; entonces (x+y) es igual a

calcule T=x – x– 1

2

2

A) (a+2a) B) b(ab+2) C) a +b

2

A) 1 B) 2 C) 3

E) a–1+2ab

D) ab(b+2)

D) 4

E) 5

Tarea Domiciliaria



(

a2+b2 B) (a – b)2 C)

A) a+b

1. Efectúe



2 2 m + n )  – ( m  –  n )

D) (a+b)2

E) ab

4. Si x2+y2=36

A) 2m

B) 2n



D) 2 m

C) 4 m n

xy=18

E) 2m+2n



(x+y)2 2

calcule



A) 48 B) 36 C) 27

2. Calcule

D) 24

(x+n)(x – n)(x2+n2)(x4+n4)(x8+n8)+n16

5. Sabiendo que A) x12 B) n16 C) x16



D) x16+n16



E= 1+



A) 2

E) x16 –  n16

3. Simplifique

2

P=2b +2ab+

Álgebra

(a

2

+b

)

2 2

2

 – (2ab) ;

{a; b} ∈R

x2+1  =  2 , x

calcule 1 x

x2+

1 x

B) 2 2

D) 2

68

E) 38

C) 0 E) 4

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo II

inicios del álgebra

Los hindúes El álgebra hindú fue retórica en un comienzo, pero el hecho de emplear sílabas diferentes para incógnitas distintas y el uso que hicieron de cierto simbolismo, le dio ya cierta fisonomía de álgebra sincópata. También tuvieron una clara visión de lo que eran los números positivos y negativos, ya que los interpretaban como créditos y débitos, respectivamente; esto les permitió unificar las distintas modalidades de las ecuaciones de segundo grado. Luego ingresan al cálculo de la suma de los términos de las progresiones geométricas, el análisis indeterminado de las ecuaciones lineales. Representaron por medio de un color determinado cada incógnita, siendo la negra para la 2.a incógnita pues llamaban gulika (bolilla) a la primera incógnita, la azul para la 3.a y la amarilla para la 4.a. Esto le dio gran facilidad en la resolución de las ecuaciones simultáneas, ya que esos colores eran los equivalentes respectivos de lo que generalmente son ahora para nosotros las letras: v, x, y, z.

Sus máximos exponentes fueron: Aryabhata, Brahmagupta, Mahavir “el Sabio” y Bhaskara. Los árabes   Los árabes recibieron una doble influencia científica: de los hindúes, a través del comercio y de la traducción de sus obras, y de los griegos, cuya literatura despertó notable interés entre los árabes. Pero no fueron ellos unos simples receptores, sino que tomando como base ese razonamiento depurado de la geometría griega, por otro, logrando como síntesis feliz los lineamientos casi definidos de ésta nueva disciplina, que es el álgebra elemental, la que conservaría después casi intacta su fisonomía durante muchos siglos. Al - Juarizmi

El álgebra de Al - Juarizmi es de carácter retórico, designa a la incógnita con el nombre de La cosa, que en árabe es Xai, cuya letra inicial x se tomó posteriormente para representar a la incógnita, y que es como llegó más tarde hasta nosotros, siendo lo más importante de su obra La resolución de las ecuaciones de 2.º grado, la discusión de las misma y algunas propiedades de los radicales.  

El álgebra prende en Europa (Edad media) Más conocido como Fibonacci (1175), es el auténtico representante del álgebra de la edad media y su Liber Quadratum, hace un amplio desarrollo de problemas muy importantes. Él hizo un viaje de estudios al oriente, y es precisamente a su vuelta que introduce en Europa la numeración y el álgebra indo - arábigos, contenido en su libro Liber Abaci. En realidad, es la primera vez que se escribe un libro verdaderamente científico, depurado ya de toda la magia y la superstición que dominaron desde muy antes; él sabía resolver la ecuación x3+2x2+10x – 20=0.

Álgebra

69

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

Productos notables II IDENTIDADES CONDICIONALES

Con aquellos productos que se pueden determinar directamente, sin la necesidad de efectuar la operación de multiplicación siendo la más importante.

Si a+b+c=0, luego • a3+b3+c3=3abc • a2+b2+c2= – 2(ab+bc+ac)

Suma o diferencia de un binomio al cubo (ordinaria)

Ejemplos

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

a. (2a+3n)3= ...............................................

(a – b)3=a3 – 3a2b+3ab2 – b3

b. Identidad de Cauchy



(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)

(α)

(a – b)3=a3 – b3 – 3ab(a – b)

Suma o diferencia de cubos a3+b3=(a+b)(a2 – ab+b2) a  – b =(a – b)(a +ab+b 3

3

2a+ 3b) = ............................................... 3

c. (x – 2n)3= ............................................... d.

(z – 1 – 8y – 2)3= ...............................................

e.

(mn+3x – 1)3= ...............................................

f.



(

2

2

)

(I)

1 3 z+   = 2

...............................................

g.

(a2b+ab2)3=

h.

(2a2+3x)3= ...............................................

i.

(2 – yn)3= ...............................................

k.

(0,2x2 – 1)3= ...............................................

Demostración: ( I )

...............................................

Ejercicios

De (α) ; sabemos que (a+b)3=a3+b3+2ab(a+b)

1. Reduzca (x+3)(x2 – 3x+9)+(x2+3x+9)(x – 3)

Transponiendo (a+b)3 – 3ab(a+b)=a3+b3

A) x3

B) 18

D) 54

Factorizando (a+b)[(a+b)2 – 3ab]=a3+b3

C) 2x3 E) 27

2. Si a+b=3 y ab=5, halle a3+b3.

Efectuando (a+b)[a2+2ab+b2 –  3ab]=a3+b3



De (I) (a+b)[a  – ab+b ]=a +b 1.q.q.d 2

2

3

3

A) – 18

B) 27

D) –  27

C) 9 E) 18

3. Si x3+y3=28 ; además xy(x+y)=12, calcule A=x+y.

TRINOMIO AL CUADRADO (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)

A) 2 B) 3 C) 4

Álgebra

70

D) – 2

E) – 3 2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

Problemaspropuestos



1. Reduzca

A) 1

B) –1

(x+1)(x +x+1)(x – 1)(x – x+1) – x

D) –  1/2

A) 1 B) 2 C) 0

7. Teniendo en cuenta





(a+b)3=a3+b3 ; ab ≠ 0



indique el valor de



N=



A) 2

2

2 

6

D) – 2

E) – 1

2. Efectúe

6

(x+3 2 )(x2 – 3 2 x+3 4 )(x3 – 2)+4

C) 1/2 E) 2

(a+1)2 – (a – 1)2 (b+1)2 – (b – 1)2

A) x3+2 B) x C) x+2 D) 2

E) 0

B) – 1

D) 1/2

C) 0 E) 1

3. Simplifique

(3 2 +1)3 3

4 +3 2 +1

8. Si a+b+c=1   ab+bc+ac=0

+1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

A) 0

halle

B) – 2

C) – 3 E) 1

m2+n2+p2=300

C) 125

calcule

E) 27

(m+n)2+(n+p)2+(m+p)2

5. Si x2+x+1=a5



A) – 1

9. Si m+n+p=20 B) 18

A) 500 B) 600 C) 700

x – 1=a, 6



(ab)2+(bc)2+(ca)2 abc

D) 2

D) 25



señale

E) 5

1 4. Si x+ = 5 , x 1 halle x6+ 6 x



D) 800

3

E) 900

=  x  – 1

10. Si x+y+z=0 ; xyz ≠ 0

– 1

a A) a B) a  C)

calcule

E) a2

D) 1

2

3

(x+y – 3z)2+(3x – y – z)2+(x – 3y+z)2 x2+y2+z2

2

6. Siendo x +xy+y=x+y ; y ≠ y

A) 4 B) 8 C) 16

2 calcule x  – x y2 – y

Álgebra



71

D) 16xyz

E) 4xyz

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

11. Si a+b+c=0,

D) x2+y2+z2

a2+b2+c2 calcule R= ab+bc+ac

E) xy+yz+xz

A) 1 B) 2 C) –  1 D) –  2

14. Si a=2+b+c

E) 0

12. Si a+b+c=0,

calcule M=

C) (xyz)2

(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 (a+b)(b+c)(c+a)



además ab+ac=2+bc



Calcule el valor de a2+b2+c2

A) 2 B) 4 C) 8 D) –  2



A) 3

B) – 3

D) –  2

C) 4

15. Si a2+b2+c2=5

E) 16

13. Encuentre el equivalente de

R=2(a2+b2+c2+ab+bc+ac)



Si x=a+b; y=b+c; z=c+a

E) 6



determine



(a+b+c)2+(a – b – c)2 (2bc+5)

A) x+y+z

A) 1 B) 2 C) 3

B) xyz

D) 4

E) 5

Tarea Domiciliaria

1. Dado a ; b ∈R+

A) a+b



además a +b =7ab





Simplifique

2

2

E) 5



(m+n)2+(m – n)2 – 4mn ; m≠n 2(m – n)2 B) 1/2

D) 2

señale el valor de



2. Simplifique

A) 1

E) 5(a+b)

4. Siendo m+n=1 ∧ m; n ∈Z

3 ab

D) 4



D) 4(a+b)

C) 3(a+b)

a+b

A) 1 B) 2 C) 3



B) 2(a+b)

m2+n2 m3+n3  –  3 2 A) 1/6

B) 6

D) 1/7

C) 7 E) 2/7

5. Halle el valor de

C) 1/4

(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2 – (a+b+c)2

E) 4



si a2+b2+c2=7

3. Simplifique

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

a2+b2+2ab – c2 a2 – b2+c2 – 2ac + a+b – c a – b – c Álgebra

72

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

ra

u ct

Le ¿quiénes forjaron el álgebra moderna? Pacioli (1445 - 1519) En 1494 publica su monumental obra Summa de Aritmética, Álgebra y Geometría, en la cual vuelca cuidadosamente y detalladamente todo el conocimiento matemático hasta entonces desarrollado, y cual rápida difusión fue el inicio de un nuevo florecimiento del álgebra. Nicolás Chuquet Su contribución en la notación Es en lo que respectaba a la notación donde la originalidad de Chuquet resalta en forma nítida; con él aparece los exponentes, indicando con R2 y R3 las raíces cuadrada y cúbica, respectivamente; para indicar una potencia cualquiera de la incógnita escribe el exponente respectivo en el coeficiente, y no le fue extraño emplear los exponentes cero y menos uno: por último empleó las letras P(plus), M(minus) para indicar la suma o resta. Tartaglia (1500 - 1557) A él se debe la regla general para resolver las ecuaciones de tercer grado (1534), y un avance en la simplificación del simbolismo, el cual se puede notar en su importante libro de álgebra, que él escribió con el nombre de Tratado general. Cardano (1501 - 1576) Su Ars Magna En esta obra hace una exposición magistral sobre las ecuaciones de tercer y cuarto grado, la transformación de las ecuaciones cuadrinomias en trinomias, y una interpretación todavía tímida de las raíces negativas (a las que él llama falsas) e imaginarias; también incursionó en lo que respecta a las relaciones entre los coeficientes y las raíces de las ecuaciones, y no fue menos importante su gran afán en las transformaciones de las ecuaciones, pues con el auxilio de la factorización eliminaba factores iguales y disminuía así el grado de las ecuaciones. Bombelli (1530 - 1579) Fue un incansable divulgador y sus manuscritos son muchos, en ellos dedica gran parte a los números complejos, las reglas operatorias con monomios y polinomios, números imaginarios provenientes de raíces cuadradas de números negativos, transformaciones de las ecuaciones. Publica el primer libro italiano que lleva el nombre de Álgebra, que fue un trabajo sistemático de toda el álgebra hasta entonces acumulativa; aún con un simbolismo todavía imperfecto inicia el cálculo literal, el cual llegará más tarde a su perfección con Vierta.

Álgebra

73

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

División algebraica I • Una división es inexacta si y solo si R(x) ≠ 0

Es la operación que tienen como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R), conociendo otras denominadas;

D(x) ≡ d(x) · q(x)+R(x)

dividendo (D) y divisor (d). Ejemplo

ESQUEMA CLÁSICO

8º 8

D d q  R 

D(x)

5

d(x)

x +x +2x – 3 x  – 7 5º

Siendo Conocido → D×d

4



Por hallar → q y R

→ [g]º = 8 – 5=3



Se cumple

máx. º[R]=5 – 1=4

MÉTODOS D=d×q+R

Clásico Procedimiento

PROPIEDADES

Para dividir dos polinomios tenemos los siguientes

• El grado del cociente es igual al grado del

criterios

dividendo menos el grado del divisor.

• Ordenar el dividendo y divisor, según una misma variable, colocando cero para los términos que

º[q]=º[D] –  º[d]



faltan. • Se divide el primer término del dividendo entre el

• El grado máximo del resto es el grado del divisor

primer término del divisor obteniendo el primer

disminuido en uno.

término del cociente.

máx. º[R]=º[d]׺[q]+º[R]

• Se multiplica el primer término obtenido del cociente por todo el divisor y el producto



se resta del dividendo, para ello se coloca

máx. º[R]: grado máximo del resto.

cada término de este producto debajo de su semejante cambiándole de signo. Luego se suma

• La propiedad fundamental de la división en el

algebraicamente.

álgebra forma una identidad.

• Se efectúa las operaciones como en los pasos

D=dq+R → D(x) ≡ d(x) · q(x)+R(x)

anteriores continuando hasta que el residuo sea polinomio de grado menor que el divisor.

CLASIFICACIÓN Ejemplo

• Una división es exacta si y solo si R(x) ≡ 0

• Dividir 4x5 – 12x4+13x3+12x2 – x+1

D(x) ≡ d(x) · q(x)





entre 2x2 – 3x+1

Solución Álgebra

74

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog 4 x5 –12x4+13x3+12x2 – x + 1 –4 x5 + 6x4 – 2x3

Tomo II x2 +7x +12 – x2 – 3x

2x2– 3x+1 2x3–3x2+x+9

2x3+15x2 – x –2x3 + 3x2 – x



Ejemplos Indique para cada caso el cociente (q) y el residuo (R).

25x–8



– El polinomio cociente es 2x3 – 3x2+x+9



– El polinomio residuo es 25x – 8

Luego el cociente es x+4 y la división es exacta pues el residuo es 0.

18x2 – 2x + 1 –18x2 +27x–9

Se observa

x+4

4x+12 – 4x –12 0

–6x4+11x3+12x2 +6x4 – 9x3 + 3x2



x+3

2 a. x  – 5x+4 x – 1

q(x)=..........................

R(x)=..........................

• Efectúe la división

2 b. x  – 2x – 63 x – 9

x3 – 27 ÷ x+3

Resolución

En este caso, el dividendo carece de términos en



q(x)=..........................

x2 y en x, por lo cual lo supliremos con coeficiente



R(x)=..........................

cero.

3 2 c. x  –3x +3x – 1 x – 1

x3 + 0x2 – 0x + 27 x+3 – x3 – 3x2 x2–3x+9 – 3x2 +0x + 3x2 +9x 9x – 27 – 9x – 27

Finalmente



• Cociente: x2 – 3x+9



• Residuo: – 54



(x



R(x)=..........................



q(x)=..........................



R(x)=..........................

4 e. x  – 16 x+2

• Efectúe la siguiente división 2

q(x)=..........................

3 2 d. 2a  – 3a +4a – 5 a – 2

– 54



+7x+12) ÷ (x+3)



q(x)=..........................



R(x)=..........................

f.

x7 – x+2 x2 – x

Resolución

Álgebra

75

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II Ejercicios



q(x)=..........................





R(x)=..........................

1. Dada la siguiente división

5 g. x  – x+2 x3+x2 – 6



q(x)=..........................



R(x)=..........................

q(x)=..........................



R(x)=..........................

i.

– 63+2x+x2 x+9



q(x)=..........................



R(x)=..........................



complete.



a. El grado del polinomio dividendo es

..........................

b. El grado del polinomio divisor es

..........................

5 3 h. 3x  – 5x  – 3x+7 x2 – 1





6x4 – 11x3+4x2+2x – 3 3x2+x – 2



c. El grado del polinomio cociente es

..........................

d. El máximo grado del residuo es

..........................

2. Dada la siguiente división

x4+5x3+2x2 – 18x+1 x3+5x2 – 7x+3



a. El grado del polinomio dividendo es

.......................... j.

x3+2x2 – 5x – 6 x2 – x – 2



b. El grado del polinomio divisor es

..........................

q(x)=..........................





..........................

R(x)=..........................

4

2

k. x  – 4x +16 x2+4

q(x)=..........................



R(x)=..........................

l.

12x4 – 10x3+8x2 – 6x+4 x2+1



q(x)=..........................



R(x)=..........................

c. El grado del polinomio cociente es

d. El máximo grado del residuo es

..........................

3. Sea la división

8x5 – 4x3+3x2 – 6x+1 2x3+x2+3



además

A: grado del dividendo



B: grado del divisor



C: grado del cociente



efectúe (A+B).

A) 62 B) 63 C) 64 D) 65

Álgebra

76

2do. Año

E) 66

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

Problemaspropuestos

1. Efectúe

6. Halle el cociente de la siguientes división



(– 63+2x+x ) ÷ (x+9)



Indique el cociente.

2

A) x – 4



A) x – 2

B) x – 5



E) x – 8



2

x +2x  – 3x – 6 x2 – x – 2

A) 2



4x4 – 4x3+5x2+9x+6 2x2 – 3x+5



indique el cociente.





B) x+3

C) x+4

E) 2x2 – 2x – 1

y3+5y2 – 7y+5 y2+2y – 3

A) y+5

D) x+5

E) x+6



Indique verdadero (V) o falso (F).

I. El cociente es x  – 8 II. El residuo es – 48



III. La división es exacta

A) FVV



E) 10y+14

z4 – 3z3+2z2+z – 5 z2 – 3z+1

A) z2+1

B) VVV

B) – 2

C) 4z

D) –  6

C) FFF

D) VFF

D) – 10y+14

9. Halle el residuo de la división

2



B) y2+3

C) y+3

4. Dada la división (x4 – 4x2+16) ÷ (x2+4)



C) 2x2+x – 1

8. Halle el residuo de la siguiente división

anterior.



B) x2 – 1

D) x+11

E) 1

3. Indique el polinomio cociente del problema

A) x+2

E) 2x+3

A) x2+x – 1

B) 0

C) 3

D) 4

D) 2x – 3

7. Al efectuar la siguiente división

2. Efectúe e indique el residuo 3

B) x+6

C) x – 1

C) x – 6 D) x – 7

x3+5x2+6x – 7 x2 – x – 2

E) 4z – 6

E) VFV

10. Halle el residuo de la siguiente división 5. Indique el cociente, luego de dividir

3x5+2x4+5x2+4x+1 x3+x2+1



(12x4 – 10x3+8x2 – 6x+4) ÷ (x2+1)





A) 12x2 – 10x – 4

A) x2+3x+1



C) 12x2 – 10x – 2



D) 12x2 – 10x – 1 Álgebra

B) 12x2 – 10x – 3

B) x2+3x

C) x2 – 3x E) 11x2 – 10x – 1

D) x2+5x 77

2do. Año

E) x2 – 5x+1

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II A) 22

11. Halle el residuo de la división

1 6 2 5 1 4 1 3 2 2  x +  x +  x  –   x +  x  – 2x – 11 3 3 2 3 3 2 2  x +1 3

A) –11 C) –  x+10 D) x – 10



C) 17

D) 25

B) –  12 E) – 10

12. Halle A+B, si la siguiente división



2m4 – 4m3+am2 – 5m+b ; calcule a+b m2 – m+2 B) 13

C) 9

D) 8

x4+3x+2x2+Ax+B ; es exacta. x2+3x – 2

A) 1 C) 3 D) 4

E) 28

14. En la siguiente división exacta

A) 2



B) 18

E) 19

15. Determine a+b; si la división

B) 2 E) 5



3x4 – 5x3+ax+b x2+x – 1



deja como residuo 5x+7.

13. Calcule m+n+p si la división es exacta. A) 28



6y5 – 17y4+7y3+my2+ny+p 3y3 – 4y2+5y – 7



Indique el cociente.

D) 16



B) 24

C) 20 E) 12

Tarea Domiciliaria 1. Halle el resto en la siguiente división 4



2

x +2x +5 x2+1

A) 1 C) 3 D) 4



A) 1



C) 3

D) 4 B) 2



(2x4+7) ÷ (3x3+9x+15)



Halle el residuo.

en la siguiente división



A) – 6x2 – 9x+8

6x3 – x2+2x+6 3x2 – 2x – 1



C) – 6x2 – 10x+9



D) 6x2+10x+9

A) 1 C) 3 D) 4

E) 5

E) 6x2 – 10x – 9

luego de dividir E) 5

x4+3x3+2x2+3x+m x2 +3x + 1 se obtiene un resto nulo; calcule m.

Álgebra

B) 6x2+9x+8

5. Halle el término independiente del cociente,

B) 2

3. Al dividir



E) 5

4. En la siguiente división

2. Indique el término independiente del cociente



B) 2

78



10x4+6x3 – 37x2+33x – 9 5x2 – 7x + 3



A) – 1 C) – 3 D) – 4

B) – 2 E) – 6 2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo II

la justicia

La justicia consiste en conocer, respetar y hacer valer los derechos de las personas. Honrar a los que han sido buenos con nosotros, dar el debido salario a un trabajador, reconocer los méritos de un buen estudiante o un abnegado colaborador, son entre otros, actos de justicia, porque dan a cada cual lo que se merece y lo que necesita para desarrollarse plenamente y vivir con dignidad. Así como ser justos implica reconocer, aplaudir y fomentar las buenas acciones y las buenas causas, también implica condenar todos aquellos comportamientos que hacen daño a los individuos o a la sociedad y velar por que los responsables sean debidamente castigados por las autoridades judiciales correspondientes.



Para ser justos • Desarrollemos nuestro sentido de lo que está bien y lo que está mal. • Seamos honestos, rectos y, sobre todo, compasivos y humanos. • No permitamos que se cometan atropellos contra nosotros mismo, ni contra los demás. • Protestemos con energía y denunciemos los abusos y los crímenes, vengan de donde vengan. La injusticia La injusticia tiene lugar cuando se desconocen o no son respetados los derechos fundamentales de las personas. Una persona es injusta con otra, por ejemplo, cuando es desagradecida, cuando le niega un reconocimiento al que tiene derecho, cuando le paga un salario inferior al que se merece o la abandona a su suerte luego de beneficiarse de ella durante años enteros. La injusticia no solo se manifiesta en el plano individual, sino también en el social. Un sistema social es injusto cuando la riqueza está mal repartida y solo unos pocos pueden disfrutar de ella, en tanto que el resto de la población pasa grandes trabajos para vivir dignamente o sobrevive en la miseria; cuando el gobierno se olvida de los ciudadanos más trabajadores o los más pobres y no los protege debidamente de la voracidad de los que solo buscan explotarlo, o cuando su aparato judicial es ineficiente y permite que se cometa toda clase de atropellos contra personas inocentes. Obstáculos para la justicia • La arbitrariedad con que suelen obrar quienes tienen el poder. • La impunidad que premia a los pícaros, a los ladrones, a quienes traicionan la confianza pública y a quienes anteponen su propio beneficio al cumplimiento de la ley. • La ausencia de autoridades legítimas que tengan la fortaleza necesaria para garantizar que cada quien tenga acceso a lo que le corresponde.

Álgebra

79

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

División algebraica II Para todos los métodos es necesario que el dividendo y divisor estén ordenados y completos en forma descendente, si falta algún término completar con el cero.

Mediante operaciones entre los coeficientes dados (dividendo y divisor) se obtendrán los coeficientes requeridos (cociente y residuo), los cuales permitirán calcular los polinomios resultantes.

Ejemplo Así en la división

Procedimiento 2x5+3x – 1 2x3 – x2+6

• Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma horizontal. • Se distribuyen los coeficientes del divisor en

completando con ceros se tiene

forma vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y los restantes se colocan con signo

2x5+0x4+0x3+3x2+0x – 1 2x3 – x2+0x+6

cambiado. • La línea que separa el cociente del resto se

Método de Horner

traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares

En la división D(x)

d(x)

como lo indica el número que representa el

R(x)

q(x)

grado del divisor. • Se dividen los primeros coeficientes del dividendo

• D(x) es el dividendo • q(x) es el cociente

• d(x) es el divisor • R(x) es el residuo

y divisor siendo este el primer coeficiente del cociente. • Se multiplica el primer coeficiente del cociente

Para el método de Horner, se hará uso del siguiente diagrama

por los términos que cambiaron de signo y los resultados se escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce los coeficientes de la segunda columna dividiendo este resultado entre el primer coeficiente del divisor, el resultado es el segundo coeficiente del cociente. • Se continuará hasta completar los coeficientes del cociente y residuo.

el cual será llenado de la siguiente manera

estos coeficientes sí cambian de signo

coef. del divisor

este coeficiente no cambia de signo

Ejemplos coeficientes del dividendo



aquí irán los coeficientes del cociente

Álgebra

• Divide

aquí irán los coeficientes del residuo

80

x2 – x3+x4 – 3x+2 x2+x+2



Resolución



Ordenando el polinomio dividendo



x4 – x3+x2 – 3x+2 x2+x+2 2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog 1

1

–1

–1

1

–1

–2

–2

2

1

–3

–2

Tomo II 4 3 c. 4x  – 2x  – x – 1 2x2 – x – 1

2

4 –1

–2

0

0

1



q(x)=..........................



R(x)=..........................

2 4 3 d. 22x +6+12x  – 15x  – 5x 4x2 – 5x+6

Del esquema

Cociente → q(x)=x2 – 2x+1



q(x)=..........................



R(x)=..........................

e.

4x3 – 2x2+x – 1 x2+x+1



8x5+14x4+5x3+16x2+3x+2 4x2+x+3



Resolución



q(x)=..........................



R(x)=..........................

f.

38x4 – 65x3+27 2x2 – 5x+3



q(x)=..........................



R(x)=..........................



Resto

 → R(x)=0

• Efectúe las división de polinomios

4

8

–1

14

5

–2

–6

–3

16

3

2

–3 – 9 1

2

3

–1

3 –2

–6

4

–4

2 3

3 2 g. x +5x  – 7x+5 x2+2x – 3

2

Cociente → q(x)=2x +3x  – x+2 Residuo → R(x)=4x – 4



Ejercicios Para cada caso halle el cociente y residuo (Método de Horner).



q(x)=..........................



R(x)=..........................

4 3 2 h. 4x +13x +25x+12+28x 4x2+6+5x

3 2 a. 6x  – 25x +3x – 5 2 3x  – 5x+2



q(x)=..........................



q(x)=..........................



R(x)=..........................



R(x)=.......................... i.

x3+5x2 – 7x+5 x2+2x – 3

3

2

b. 6x +19x +18x+9 3x+5

q(x)=..........................



q(x)=..........................



R(x)=..........................



R(x)=..........................

Álgebra

81

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

Problemaspropuestos



1. En el siguiente esquema de división 1

2

–1

4

5

b

–4 –2

a

2

2

c

A) 22 B) 18 C) 17

D) 25

7

6. Halle a para que el residuo de la división –4

d

1

2

3

9



x3 – ax2 – ax – a2 ; sea 5a+13. x – a – 2



A) 1 B) 2 C) 3

D) 4

Halle la suma de a+b+c+d.

1

2. Si la división

3

x +2x  – 13x +mx+n ; es exacta, x2 – 3x+3

1



C) 24 E) 12





–6

m

3

1

–3

3

1

–3

–6

–2

6

0

0

0

–3

3. Si la división 3

–2

1

halle m+n.

4

1

3 2

A) 9 B) – 9 D) –  12

E) 5

7. Determine mnp, si la división es exacta.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 12

5

E) 28

A) – 30

1

–2

B) – 120

D) –  240

n

p

C) 120 E) 240

2

2x  – 4x +nx  – 5x+m ; es exacta, x2 – x+2

8. En la división

halle m+n. A) 2 B) 13 D) 8

C) 9 E) 19



6x3 – 12x2+3ax+a 3x2+3



el residuo toma la forma mx+m.

Calcule m+a.

4. Calcule el valor de α para que



(x5 – 3x4+2x2+4α) sea divisible por x – 2.

A) 1 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6

4

3

C) 30

D) –  30

E) 9



ax4+bx3 – 4x2+19x+14 3x2 – x+7



A) 13

2



6x  – 17x +7x +mx +nx+p 3x3 – 4x2+5x – 7



es exacta.

Álgebra

B) – 21

9. Calcule a – b en la siguiente división exacta

5. Halle m+n+p, si la división 5

A) 21

B) – 13

D) –  7 82

2do. Año

C) 7 E) 3

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

10. En la siguiente división exacta

13. Al efectuar 2x5+7x4 – 3x3+5x+1 x3+3x2 – 4x+K



6x4+11x3+Bx2 – 7x– 3B 3x2+4x+5





halle el valor de B.



se obtiene un residuo de primer grado. Calcule dicho resto.



A) 13x+4 B) 14x+3 D) 13x+3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

C) 12x+4 E) 12x+3

11. Si {m; n} ⊂ Z y al efectuarse la división

14. En la división

x3 – x se obtiene como resto 6, x2+mx+n

calcule n – m. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4





el residuo obtenido es 6ab+b2.

Calcule

3a2+b2 a2

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

12. Calcule (m+p)n, si la siguiente división



9x4+6ax3+(a2+3b)x2+abx+9a2 3x3+ax – b

mx4+nx3+px2+17x – 5 2x2 – x+2

15. Si el polinomio ax7+bx5 – 1 es divisible por

tiene residuo R(x)=6x – 3 y su cociente cuya suma de coeficientes es –12.



A) 10 B) 70 C) –  70 D) 100 E)   –7

mx5nx4+px3 – x – 1 Calcule el valor de ab+mn+p.

A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

Tarea Domiciliaria 3. Calcule (mn)2 si la siguiente división

1. Divida





x4+4x3+6x2 – 7x+2 x2+2x+1

A) – 25 B) 25 D) 21

e indique el resto.

A) 1 – 10x

B) 1+11x



D) 10x – 2

6x4+5x3+2mx – 3n ; es exacta. 2x2+x+3

C) 24 E) 0

4. Calcule a b si la división

C) 1 – 11x



E) 4x – 1

ax4+bx3+7x2+10x+3 ; es exacta. 3x2+x+3

A) 1 B) 27 D) 4

2. Calcule a+b si la siguiente división

C) 16 E) 2



5x4+4x3 – 13x3+ax+(b+1) x2+2x – 1



deja como residuo a – 12.





A) 2 B) 3 C) –  3

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

D) –  2 Álgebra

5. Si

E) 1 83

x5+3x4 – 3x3 – 4x2+(A – 1)x+(B+1) x2+2x – 2

deja como resto 4x – 10, calcule A+B.

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo II

LA LIBERTAD

La libertad es la posibilidad que tenemos de decidir por nosotros mismos cómo actuar en las diferentes situaciones que se nos presentan en la vida. El que es libre elige, entre determinadas opciones; la o las que le parecen mejores o más convenientes, tanto para su bienestar como para el de los demás o el de la sociedad en general. Las personas libres piensan muy bien lo que van a hacer antes de decidirse a actuar de una u otra manera; pues saben que la libertad no es sinónimo de hacer lo que se no dé la gana, y que la mayoría de nuestros actos tienen consecuencias buenas o malas según el grado de responsabilidad con el que actuemos. Para ser libres • Participemos activamente, mediante el voto (si se trata de elegir gobernantes) o la expresión de nuestras ideas, en la toma de decisiones que afectan nuestra vida personal, familiar o social. • Defendamos nuestra privacidad. • No aceptamos presión de nadie para hacer alqo que no queremos o con lo que no estamos de acuerdo. • Forjemos una personalidad propia mediante el cultivo de la honradez, la sinceridad, la reflexión y la independencia de criterio. La esclavitud La esclavitud se da cuando no somos dueños de nuestros actos ni decidimos por nosotros mismos acerca de lo que queremos o es mejor para nosotros. El esclavo actúa porque se lo mandan, sin cuestionar las órdenes que reciben, aún cuando estas vayan contra sus principios o perjudiquen a sus compañeros o a la sociedad. En nuestro tiempo, al esclavitud (aunque no tenga ese nombre) se presenta cuando una persona renuncia a ser ella misma y permite que otros decidan por ella o la manejen a su antojo. Así como podemos ser esclavos de otras personas, de una institución o de un régimen político, también podemos serlo de un vicio, una mala costumbre o un capricho. Todo aquello que nos tiraniza y contra lo cual no oponemos resistencia nos convierte irremediablemente en esclavos. Obstáculos para la libertad • El miedo: nadie puede actuar libremente cuando está sometido al permanente temor de ser castigados o censurado. • La ignorancia: la falta de educación y de conocimiento hace que muchas personas acepten a ciegas todos los valores y doctrinas que otros les imponen. • El conformismo: los que se conforman con lo que son, con lo que saben y con lo que tienen difícilmente se aventurarán a ir más allá de lo que ya conocen; en consecuencia, es improbable que experimenten la emoción y el valor de ser libres.

Álgebra

84

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

División algebraica III MÉTODO DE PAOLO RUFFINI

3

2

–5

1

1

3

Se aplicará cuando el divisor sea un polinomio

lineal, es decir

5

+1

0 d(x)=ax+b ; a ≠ 0

1 3

Aquí se hará uso del siguiente diagrama

5

0

1

2

Cociente: q(x)=3x3+5x2+0x+1=3x3+5x2+1

Residuo: R(x)=2

coeficientes del dividendo

• Divida

Aquí va el coeficiente independiente del divisor, pero con signo opuesto



x2+7x+12 x+3

Resolución

coeficientes del cociente

residuo

x+3=0

1

x=– 3

÷a

1

Las operaciones a realizar con los coeficientes son

7

12

–3

–12

4

0

Cociente: q(x)=1x+4=x+4

mu

s u m a



ltip

lic

ac

ión

colocando el producto

• Divida

Ejemplos

3x4+2x3 – 5x2+x+1 x – 1

x3+27 x+3



Resolución



Completando y ordenando el dividendo



x3+0x2+0x+27 x+3

• Divida



Residuo: R(x)=0

x+3=0

1

x=– 3

Resolución

1

0

0

27

–3

9

–27

–3

9

0

Completemos el diagrama con los coefi-



cientes, teniendo mucho cuidado con los



Cociente: q(x)=1x2 – 3x+9=x2 – 3x+9

signos.



Residuo: R(x)=0

Álgebra

85

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

• Divida 3

3 2 e. 3x  – 32x +52x – 63 x – 9

2



x  – 3x +3x – 1 x – 1



Resolución x –1=0

1

x=1 1



–3

3

–1

1 –2

1

–2

1

0



q(x)=..........................



R(x)=..........................

f.

3x4+7x3 – 3x2+10x – 19 3x – 2



q(x)=..........................



R(x)=..........................

Cociente: q(x)=1x2 – 2x+1=x2 – 2x+1

Residuo: R(x)=0

Ejercicios Encuentre o halle el cociente y residuo para cada caso.

4 3 2 g. 6x +3x +x  – 6x – 1 2x – 1

3 2 a. 4x  – 5x +3x – 3 x – 1



q(x)=..........................



R(x)=..........................



q(x)=..........................



R(x)=..........................

3 2 h. 6x +x  – 4x+5 2x+1

3 4 b. 6x +x+2x +3 x+3



q(x)=..........................



R(x)=..........................

3 2 c. x +x +2x – 2 x – 1



q(x)=..........................



R(x)=..........................

2 3 d. x +2x  – 5x+2 x+2



q(x)=..........................



R(x)=..........................

i.

8+40x3 – 2x+128x4 2x+1



q(x)=..........................



R(x)=..........................

j.

5x3+1 x – 1



q(x)=..........................



q(x)=..........................



R(x)=..........................



R(x)=..........................

Álgebra

86

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II

Problemaspropuestos

1. Halle a, para que la división

6. Halle el valor de a, si al dividir

2x3 – 5x2+2x+a ; sea exacta. x – 1



x a+17+x a+16+x a+15+...+x2+x+1 x – 1



se observa que la suma de los coeficientes del

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

cociente es igual a 90 veces su resto.

E) 5 A) 161 B) 162 C) 163

2. Sabiendo que la división 4

D) 164

E) 165

2



3x +x +5x+(2n – 3) , x+1



determine el valor de n.

7. Halle el resto de dividir

x3 – 2x2+(2 – m2 – 2m)x – 2m – 2 x – m – 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5

A) 1 B) 2 C) 3

D) – 2

E) – 1

3. Al dividir



8. Halle a para que el residuo de la división

3x4 – 2 2x3 – (2 3 – 1)x2 –  6x+m x –  6



se obtuvo como resto 3m – 4. Calcule m.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5



división (n ∈R) nx +(3 – n  – n)x +(5n – 3)x  – 8nx – 8n x – n – 1



2

3

2

A) – 1



D) – 4 Álgebra

B) – 2

de

B) 2+3 2



A) 3+2 2



D) 2 –  2



5. En la división [x3 – (m – 1)x2+2m] ÷ (x – 1)



suma

coeficientes

del

C) 1+ 2 E) 4+3 2

10. Al dividir

E) 60

el resto obtenido es nulo. Halle m.

la

cociente.

A) 50 B) 53 C) 51



3x4+2 2x3+4x2+ 2x – 6 3x –  2

proporcione

2

si el resto es 64.

D) 52

E) 5

9. Luego de dividir

4. Halle la suma de coeficientes del cociente de la 4

x3 – ax2 – ax – a2 ; sea 5a+11 x – a – 2



nx3+(n2 – 1)x2+(n3 – n)x+5 nx – 1 La suma de coeficientes del cociente es 3; halle el residuo.

C) – 3

A) 4 B) 5 C) 6

E) – 5

D) 7 87

2do. Año

E) 8

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo II A) 1 B) 0 C) 2 D) 4 E) 3

11. Halle el residuo de la siguiente división



3x3+2 3x – 2x2 – 9 x –  3

14. Si el residuo de la división



A) 1

B) – 1

D) 2

C) 0



E) –  2

12. Sea N, el producto de los coeficientes del cociente de

(3x21+2) ÷ (x – 2); luego, calcule el valor



A) 3(29) B) 3(211) D) 3(210)

de

21

N.



Se cumple Σ coef.cociente=2R(x)

es R(x)=2 (a+b)(c+d) ;



calcule

(a+b) (c+d)

15. Dado

13. Halle n para el



A) 0 B) 1 C) 2 D) 8 E) 5

C) 3(212) E) 3(28)

3nx5+(n+3)x4+2(2n – 1)x3 – 4nx2+9nx – 2n 3x – 2

ax3+bx2+cx+d x – 1



P(x)=2x5 –  3x4+5x3 – 6 3x2+6x+4 3,



calcule P( 3 ).



A) 0 B) 16 3 C) 3 D) –  2 E) 3

Tarea Domiciliaria

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

1. Calcule el valor de a, si la división

x3 – ax2 – 2x – a2 x – a – 3

4. Del esquema de Ruffini

da un residuo de 29a+6.

A A) 8 B) 5 C) –  5 D) 6 E) –  6

–1 e

B

C

D

E

F

1

3

5

7

9

d

c

b

a

0

2. Halle el cociente en la división





3x4+x3+6x2+5x – 1 3x+1

Determine la suma de coeficientes del polinomio dividendo.

A) 10 B) – 40 D) 50

A) x3+2x+1

C) 40 E) –  50

B) x3+2x – 1 C) x3+2x2+1

5. Dado el polinomio

D) x3+2x2+1



E) x3+x2+2x+1

evalúe P( 2 – 1).

3. Halle el residuo en la división



8x5 – x4+16x3 – 2x2+4 8x – 1 Álgebra

P(x)=( 2+1)x4+2 2x – 3 2,

88

A) 1 B) 2+1 C) 2  –1 D) – 2 E) – 3 2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo III

JOSEPH LOUIS LAGRANGE Turín (Italia) 1736 - París 1813

Hijo de una ilustre familia parisina, pasó sus primero años en Turín,

su madurez en Berlín y sus años en París donde logró su mayor fama.

A los diecinueve años fue nombrado profesor de matemáticas en

la escuela Real de artillería de Turín. A los veinticinco obtuvo fama resolviendo el problema isoperimétrico. Inventó un nuevo cálculo de variaciones, que será el tema central de su vida.

Después de varios años de esfuerzo (de vez en cuando enfermaba

debido al exceso de trabajo) sucedió a Euler en Berlín.

Fue llamado por Federico II a formar parte de la Academia de Berlín

en 1788, y allí, trabajó con gran esfuerzo y éxito en temas relativos al

Josep h L. Lagrange

análisis, la mecánica y la astronomía.

Residió en Prusia durante veinte años produciendo obras que culminaron en su Mecánica Analítica

publicada en Francia. A la muerte de Federico regresó a su país natal donde se dedicó a la metafísica, la historia, la religión, la filología, la medicina, la botánica y la química.

En 1786, Luis XIV de Francia le invitó a trasladarse a París, donde hizo gran amistad con el químico

Lavoisier, y en parte agotado por los esfuerzos realizados en Berlín, sufrió fuertes depresiones y desganas para trabajar en matemáticas.

Se dice que cuando en 1788 salió publicada su obra maestra, la Mecánica Analítica, ni siquiera quiso abrir

su ejemplar La época de Terror (1793-1794) le trajo más sufrimientos, entre otros, el del guillotinamiento de su amigo Lavoisier.

Se le perdonó por ser extranjero e incluso, poco después, los organismos de la Revolución requirieron su

ayuda menos, su esfuerzo estimuló a Cauchay, que siguió un curso más acertado.

Cuando Lagrange murió rodeado de honores, Laplace dijo, en su elogio fúnebre, que él, al igual que

Newton, había poseído, en máximo grado, aquel supremo arte que consiste en descubrir los principios generales que constituye la propia esencia de la ciencia.

Lagrange tuvo efectivamente, la virtud de saber detectar y traducir en fórmulas matemáticas principios

básicos, por ejemplo de la Mecánica, de los que se derivan los resultados más insospechados con ayuda del cálculo y que, luego, la experimentación pone de manifiesto.

Murió convertido por Napoleón en conde y senador

Álgebra

51

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

División algebraica III - Teorema del resto TEOREMA DEL RESTO



Reemplazando en el dividendo





→ ( – 2+3)7+[( – 2)2 – ( – 2) – 7]8 – ( – 2) – 2=R

Se utiliza para calcular es resto sin tener que

efectuar la división, se aplica cuando el divisor es

(1)7+[ – 1]8+2 – 2=R

un binomio de primer grado de la forma: ax+b y en



algunos casos especiales.

• Halle el resto de dividir



8x2001+13x2+1999 x+1

se calcula el valor de la variable (siempre que el



Resolución

divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se



Aplicando el teorema del resto

reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es



x+1=0

el resto.

→ x= – 1

Regla

Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero,



Ejemplo

→ R=8( – 1)2001+13( – 1)2+1999

Calcule el resto en





x5+3x – 5 x – 2

T. Resto  x – 2=0 → x=2



R=2004

• Calcule el resto



2x5+3x3+x – 6 x2+1



Resolución



Aplicando el teorema del resto



x2+1=0

Resolución

Reemplazando en el dividendo

→ R=25+3(2) – 5 → R=33

Ejercicios

→ x2= – 1

• Calcule el resto



(x+3)7+(x2 – x – 7)8 – x – 2 x+2





Resolución





Aplicando el teorema del resto



x+2=0

Reemplazando en el dividendo

Observación D(x) ≡ 2(x2)2x+3(x2)x+x – 6

→ R=2( – 1)2x+3(– 1)x+x – 6

→ x= – 2

∴ R= – 6

Álgebra

52

2do. Año

2=R

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

Problemaspropuestos

1. Halle el resto en la siguiente división

6. Al dividir

x3+3x – 15 x – 2

A) 5 B) – 5 D) 1

C) 0 E) –  1

(x – 2)8+(x+1)4 – 16 x – 1

E) 1



A) – 8

B) – 7

D) 6



2x4 – 3x3+2ax2 – 3a x+1



el resto es 2, halle a.



C) 8 E) –  4

C) – 1 E) –  5/2

D) – 2

E) – 1

x5+x3– x x+1

A) 3 B) 1 C) 0 D) 2

x60+x80+x90+x20+4 x10+1

E) –  2

9. Halle el resto, en

A) 2 B) 4 C) 10 D) 8

B) 1

8. Halle el coeficiente cuadrático del cociente, en

4. Halle el resto en

A) – 3/2



siguiente división



A) 3 B) 2 C) 1

3. Halle la suma de coeficientes del cociente en la x(x2+1) – 3x2(x – 1)+2 x – 2

obtengo como resto – 1, halle a.

7. En la división

A) 0 B) 2 C) 32 D) 16



D) 5/2

2. Calcule el resto en



6x4 – 4x3+x2+10x – 2a 3x+1

E) 6

2x9 – 3x6+x3+1 x3 – 1

A) 1 B) 2 C) 0

D) – 1

E) – 2

5. Calcule el resto en

(x+1)2n – (x+1)n – 3 x+2

10. Halle el residuo, en

además n es impar.

A) – 1

B) 1

D) 2 Álgebra

– 3x15+6x10 – 3 x5+1

C) – 2

A) 5 B) 4 C) 10

E) 0

D) 6 53

2do. Año

E) 8

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

11. Halle el resto de la división 35



28

17

(x+1) +7(x+1) +3(x+1) +3 x2+2x+2



A) 7x+5

B) 76x+2



D) 6x – 1

C) 7x+6 E) 3x – 1

14. En la división

A) 2x

B) 2x – 12



D) 2x+12

C) 2x+5

E) 2x+7



x n – 1 – (n+2)x+n+1 x – 1 el término independiente del cociente es – 10, ¿de qué grado es el dividendo?

12. Determine la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir



4x80 – 2x79+x+b x – 1

B) 9

D) 3

D) 164

C) 7 E) 8

15. Halle el residuo en

A) 165 B) 162 C) 163

n+3

3+(x – 3)3

E) 161



13. Halle el resto de la división

A) 13

x3 – 26+27x – 9x2

A) 3 B) 2 C) 1

x3 (x+1)(x+2)

D) 5

E) 6

Tarea Domiciliaria



1. Halle el resto 5 

2

3



3x – 10x +12x – x +15 x – 3



A) 26

A) – 2

B) 3

C) – 4

D) 1

E) 0

4. Indique el valor de K para el polinomio B) 223

D) 441

C) 663

x3+y3+z3+(K – 9)xyz sea divisible entre x+y+z.

E) 645 A) 3 B) 6 C) 9

2. Halle el resto en

D) 2

E) 4

90



(x – 3)(x+7) +7 x+6

5. En la siguiente división

(2x40+n)x+5



A) 7

B) – 2

D) 4

x – 1

C) 2



E) 16

determine el resto, para que la suma de coeficientes del cociente sea 93.

3. Halle el resto



27x425+81x424 – 5x – 19 x+3 Álgebra

A) 2

B) – 6

D) 16 54

2do. Año

C) 18 E) 24

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo III

CURIOSIDADES

INVENTAN PARAGUAS CON INTERNET El aburrimiento de un día lluvioso podría desaparecer una vez que una nueva gama de paraguas de tecnología de punta –desarrollada por diferentes compañías– esté disponible en el mercado. Uno de estos paraguas –creado por una empresa estadounidense– es capaz de recibir boletines meteorológicos automáticos a través de un receptor radial integrado en el mango del paraguas. Este receptor recibe la información meteorológica de 150 localidades en Estados Unidos a través del sitio en la internet Accuweather. com. Si está próximo a llover o a nevar, una luz se iluminará en el mango del paraguas. La luz titilará con más o menos fuerza dependiendo de que tan malo sea el pronóstico. Por ejemplo, si existe 100% de probabilidad de lluvia, la luz titilará rápidamente y si la posibilidad es de solo 10%, lo hará con más lentitud. Videos A pesar de que son objetos que han sido utilizados desde hace más de 4000 años, los paraguas han cambiado muy poco.

Pero al parecer la incorporación de tecnología moderna es inevitable.

Científicos de la Universidad Keio de Tokio, trabajan en un prototipo de paraguas que se conecta a la internet a través de una conexión inalámbrica y luego proyecta imágenes del ciberespacio en la parte interna del paraguas.

Conocido como Pileus, el paraguas le permite al usuario ver videos de sitios en la internet mientras camina.

El entretenimiento bajo la lluvia continúa debido a que el paraguas también puede tomar fotografías a través de una cámara fotográfica incorporada. Posteriormente, las imágenes pueden ser transferidas a los sitios web diseñados para compartir fotografías e imágenes. Además constan de un sistema de posicionamiento satelital en caso de que al observar los sitios en la internet, el usuario pierda el camino. El sistema posee un mapa de los alrededores que se proyecta en el interior del paraguas. Y si lo que usted prefiere es sentarse a disfrutar de los contenidos, estudiantes de diseño de Japón y Korea han estado trabajando en una gama de innovadores bancos para parques que se adaptan a este propósito. Uno de ellos, es un banco con marco de metal que incluye un mecanismo que mantendrá abierto el paraguas, de forma tal que usted se podrá sentar con calma en el parque sin preocuparse de que la lluvia vaya a mojarle.

Álgebra

55

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

Factorización I (Factor comuín - Identidades - Agrupación) Ejemplos

FACTORIZACIÓN

• Factorice f(x)=x2 – 25

Definición

Reconociendo una diferencia de cuadrados obtenemos:

Es un proceso mediante el cual, un polinomio se

f(x)=(x – 5)(x+5)

expresa como la multiplicación indicada de factores primos.

• Factorice G(x)=x2 – 3

Para llevar a cabo este proceso se usarán diversos



criterio, como:

Diremos; “no se puede factorizar, es primo”; en cambio si el enunciado fuera:

• El factor común



• Agrupación de términos

G(x)=(x –  3 )(x+ 3 )

Factorice en R, entonces

• Identidades

• Aspas

Nótese que la variable no está bajo el signo radical; ambos factores son de primer grado y

• Evaluación

esto es correcto.

Factor primo

Observaciones

Es aquel que no se puede factorizar más, es

• Todo polinomio de primer grado es primo.

decir, son aquellos polinomios de grado positivo que



no se pueden expresar como una multiplicación de

• Para reconocer si un polinomio es primo en Z, no

factores de grado positivo. Así por ejemplo:

es suficiente con agotar los recursos necesarios; a veces se encuentran en un artificio de sumas y

–  4; no es primo, porque se puede • f(x)=x2 

restas.

expresar como (x – 2)(x+2). • f(x)=x – 2; sí es primo; porque no se puede factorizar.



Por ejemplo f(x)=x4+4



donde aparentemente no se puede factorizar; cambia si sumamos y restamos 4x2.

• G(x)=3x  –  6; sí es primo; porque al obtener

Así

3(x – 2), percátese que 3 es de grado cero.



Por ejemplo 4x – 3; x+y+1

F(x)= x4+4x2+4 – 4x2 T.C.P

Se dice que la factorización se realiza en Z cuando

diferencia de cuadrados

los factores primos obtenidos presentan únicamente coeficientes enteros; mientras no se indique alguna



aclaración la factorización sólo se realizará en Z.

Álgebra

=(x2+2)2 – (2x)2

56



=(x2+2+2x)(x2+2 – 2x)

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

CRITERIOS DIVERSOS

Reconocemos (3n)3 – (2)3

Factor común

Luego

Se denomina así al factor repetido en varios

27n3 – 8=(3n – 2)(9n2+6n+4)

términos; para lo cual se eligen las bases comunes afectadas al menor exponente.

c. Suma de cubos

Así 4x3y4 – 5x2y5+7x4y7

A3+B3=(A+B)(A2 – AB+B2)

Se observa

(x2y4) como factor común

8n6+1

Luego factorizando tenemos

Reconocemos

x2y4(4x – 5y+7x2y3)

(2n2)3+(1)3 Luego

Identidades

8n6+1=(2n2+1)(4n4 – 2n2+1)

Es la aplicación inmediata de algunos Productos

Notables como:

d. Trinomio cuadrado perfecto

a. Diferencia de cuadrados

A2+2AB+B2=(A+B)2 A2 – 2AB+B2=(B – A)2=(A – B)2

A2 – B2=(A+B)(A – B)



Así, al factorizar



Así, al factorizar

9x4+6x2+1

9x2 – 16

Nótese

Reconocemos 2

Así, al factorizar

(3x2)2+2(3x2)(1)+(1)2

2

(3x)  – (4)

Luego

Luego

9x4+6x2+1=(3x2+1)2

9x2 – 16=(3x – 4)(3x+4) Factorice 25y4 – 20y2+4

b. Diferencia de cubos A3 – B3=(A – B)(A2+AB+B2)



Nótese (5y2)2 – 2(5y2)(2)+(2)2

Así, al factorizar

Luego

3

25y4 – 20y2+4=(5y2 – 2)2

27n  – 8

Álgebra

57

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

Agrupación

Factores primos

Consiste en seleccionar convenientemente los términos de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad.

* (x – y)

Así, al factorizar

• Factorice

* (a+b)



a10 – a2b8+a8b2 – b10



ax+bx – x2+ab



Nos percatamos que no hay factor repetido en



Resolución

todos los términos; pero si agrupamos de dos en dos

Agrupando

obtenemos

a2(a8 – b8)+b2(a8 – b8)

Factor repetido

(a8 – b8)(a2+b2)

Extrayendo lo que se repite

Factores primos

* (x+b) * (a+x)

(a4+b4)(a2+b2)(a+b)(a – b)(a2+b2)

• Factorice

Se usó repetidas veces “diferencias de cuadrados”





Continuamos

a(x+b)+x(b+x)

(x+b)(a+x)

a8 – b8

Luego



(a4+b4)(a2+b2)2(a+b)(a – b) Ejercicios



x2 – 36



Resolución



Utilizando la diferencia de cuadrados



x2 – 62=(x+6)(x – 6)



Factores primos

• Factorice

a3+a2+a



Resolución



Sacando el término que se repite



a(a2+a+1)



Factores primos

* (x+6) * (x – 6) • Factorice

A=(a+b)2 – (c – d)2

* a2+a+1



Resolución

• Factorice



Utilizando la diferencia de cuadrados

(x – y)a+(x – y)b



A=[(a+b)+(c – d)][(a+b) – (c – d)]



Eliminando los paréntesis



A=(a+b+c – d)(a+b – c+d)

* a



Resolución



Sacando el término que se repite

(x – y)(a+b) Álgebra

58

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

Problemaspropuestos

1. Halle el número de factores primos de

6. ¿Cuál es el número de factores primos de

ax2+bx2 – ay2 – by2



P(a; b; c)=a(b2+c2)+b(a2+c2)?

A) 1 B) 5 C) 3

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4

D) 4

E) 2

2. ¿Cuántos factores primos se obtienen al factorizar

7. Luego de factorizar

a4m+a4n – b4m – b4n?



L(a; b)=a9b – a3b7



establecer el valor de verdad de cada una de las

A) 2 B) 3 C) 1 D) 4

siguientes proposiciones. I. a2+ab+b2 es un factor primo de L.

E) 0

a2x2+b2y2 – b2x2 – a2y2



indique un factor primo.

II. Su número de factores primos es 6.

III. a2 – b2 no es factor de L.

3. Después de factorizar

E) 5



A) VVV

B) VFV

D) VFF

C) VVF E) FFF

A) x+y B) x+b C) y+b D) x+a

8. Señale el factor primo de

E) x – a



L(x; y)=x3+x2+x2y2+x+1+y2

4. Factorice (4x+3y)2 – (x – y)2

A) x+y+1 B) x+1 C) x2+y



e indique un factor

D) x+y2+1



A) 5x+4y



D) 3x+4y

B) 3x+2y

E) x2+y+1

C) 2x+5y

9. Sumando los factores primos de

E) 5x+3



x2+y2 – z2 – 2xy+18z – 81



se obtiene



A) 2(x – z)



D) 2x

5. Factorice

a2(b – c)+b2(c – a)+c2(a – b)



A) (b – c)(a – c)(a – c)



B) (a+b)(a+c)(b+c)



C) (a+b)(a – b)(a+c)



D) (a+b+c)(ab+ac+bc)

E) 2(x – y)

10. ¿Cuál es un factor primo de

L(a; b; c; d)=a(d – 1) – b(1 – d)+cd – c?

A) d+1 B) a+b+c C) a – 1

E) (a+b)(a+b)(a+b+c)

Álgebra

B) 2(x – y+z) C) x+y – z

D) a

59

2do. Año

E) b+1

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

11. Factorice 2

2

2

2



ab(x +y )+xy(a +b )



e indique un factor primo obtenido.

A) 13 B) 12 C) 2

D) 6

E) 4

14. ¿Cuántos factores primos posee? A) x+y B) a+b C) ax+y



D) ay+bx E) x+by

A) 1 B) 2 C) 3

12. Calcule la suma de los factores primos de

D) 4

J(x; y)=(x+y)(x2+y2) – 2xy(x+y)+(x – y)2xy

A) x(y+2) B) y(x+2)

C) 2(x+y)

D) xy+2

E) xy(x+y)

N(b;c)=b(b – c)2+c(b – c)2+4bc(b+c)

E) el mismo

15. Indique la suma de coeficientes del factor cuadrático primo de

K(z)=z3+(z+2)+8

13. Indique el número de factores primos o



irreductibles del polinomio

A) 0 B) 2 C) 3

P(x; y; z)=x4y2z7 – xy2z7 – 3x3y2z7+3x2y2z7

D) 4

E) 5

Tarea Domiciliaria



1. ¿Cuántos factores primos posee?

R(x; a; b)=x2ab2+x2a2b+x3ab2+x3a2b

A) a+2b B) x+b C) x – a

D) a – b

A) 2 B) 3 C) 4

4. Indique un factor de

D) 5



E) 6

a3+2a2b+4ab2+8b3

A) a2+b2 B) a2+2b2 C) a+b

2. Calcule un factor de

E) a+3

a2+2a+ab+b+1

D) a+2b

E) a+4b

A) a+b+1 B) b+1 C) b – 1

5. Factorice

D) a – 1



x6 – x2 – 8x – 16



e indique un factor primo obtenido

E) a+b

3. Factorice (ax – 3b)2 – (bx – 3a)2

A) x2+x+4 B) x2+x – 4 C) x3+x+4



D) x3+x – 4

e indique un factor

Álgebra

60

E) x+4

2do. Año

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ra

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Le

Tomo III

LEONHARD EULER Matemático suizo



Basilea (Suiza) 1707 - San Petersburgo (Rusia) 1783.

Euler fue hijo de un pastor calvinista y matemático, que fue alumno de Jakob Bernoulli, e inició al joven Euler en los rudimentos del conocimiento matemático. Al igual que su padre, Euler fue alumno de un miembro de la familia Bernoulli, Johan, y entabló amistad con otros miembros de dicha familia. Destacó rápidamente en sus estudios matemáticos; para él era una cuestión de honor intentar responderse el máximo de cuestiones que pudiera preguntar a sus profesores. A los quince años terminó los estudios de bachiller y a los diecisiete años era licenciado, y un año más tarde publicaba su primera memoria en la Academia de París.

Leonhard Euler

A partir de ese momento comenzó el camino que le llevaría al reconocimiento de ser la figura más importante de la época en las matemáticas. Euler trabajó en todas las ramas de las matemáticas, y en cada una de ellas hizo aportaciones muy notables; es frecuente encontrar resultados con su nombre. Puede ser considerado como el matemático con mayor número de trabajos publicados en ciencias matemáticas y otras (más de 700 memorias redactadas). Al sistematizar el estudio de las funciones elementales, sus derivadas e integrales, introdujo la notación que se utiliza actualmente. “Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros”, es la frase que solía decir Laplace a sus alumnos. Con esta frase mostraba el respeto y admiración que profesaba por Euler. Un alumno de estudios preuniversitario está familiarizado con una metodología y notación clara y precisa. Muchas de estas notaciones son debidas a Euler; por ejemplo, en 1736 introdujo el símbolo e para indicar la base de los logaritmos naturales o neperianos; en 1737 el símbolo p y en 1777 el símbolo i (unidad compleja imaginaria).

Álgebra

61

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

Factorización II Aspa simple - Aspa doble ASPA SIMPLE Se

utiliza

Ejemplo

para

factorizar

Factorice

particularmente

polinomios de la forma



ax2n+bxn+c

E(x; y)=3x2+4xy+y2+4x+2y+1

Resolución E(x; y)= 3 x 2 + 4 x y + y 2 + 4 x + 2 y + 1

Procesos

3x I

• Descomponer los extremos.

x

• Verificar que la suma de productos en aspa sea

Descomponemos

E(x; y)=(3x+y+1)(x+y+1)

x 2 –7x+12 x –3 x –4

Ejercicios

Verificando – 3x – 4x= – 7x



Luego, los factores se forman horizontalmente

• Factorice utilizando el criterio del aspa simple.

(x – 3)(x – 4)

Aspa doble



P(x)=x2+7x+12



Resolución x 2 +7x+12 x 4 x 3

Se utiliza para factorizar polinomios de seis

términos de la forma 2n

n m

2m

ax +bx  y  +cy

1

Finalmente





II

 y + III. 3x + I. 3xy + II.  xy  y  x 4xy 2y 4x

Así, al factorizar x2 – 7x+12



III y

Comprobaciones

igual al término central.



1

y

n

m

+dx  +ey  +f



Sumando



P(x)=(x+4)(x+3)

4x 3x 7x

Término central

El método consiste en descomponer todos los Los factores primos son (x+4) y (x+3)

términos que produzcan aspa, de tal manera que la suma de la multiplicación en aspa nos compruebe cada uno de los términos del polinomio. Si faltara

• Factorice

algún término se les completará con cero, además



P(x)=x2+4x – 21



utilizando el criterio del aspa simple

los factores se toman horizontalmente. Álgebra

62

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III • Factorice

Resolución x 2 +4x –21 x 7 x –3

7x –3x 4x



P(x)=(x+7)(x – 3)



Los factores primos son

F(x)=abx2+(a2+b2)x+ab



Resolución

Término central

abx 2 +(a 2 +b 2 )x+ab ax b bx

b 2x a2x

a

(a 2 +b 2 )x

(x+7) y (x – 3)



• Factorice



P(x, y)=6x2+13xy+6y2+7x+8y+2



Luego los factores primos son



F(x)=(ax+b)(bx+a)

Término central

• Factorice

Resolución



Aplicando aspas simples P(x; y)= 6 x 2 + 13 x y + 6y 2 + 7 x + 8 y + 2 3x

2y I

2x



S(x; y)=9x2+11xy+2y2+26x+5y – 3



Resolución



Utilizando el aspa doble

2

S(x; y)= 9x 2 + 11x y + 2 y 2 + 26x + 5y – 3

II 1

9x

2y I

I.  9xy   4xy 13xy

III 3y





6y  III. 4x  II. 2y 3x 8y 7x

I.  9xy   2xy 11xy

Los factores primos son

III y

x

–1 II 3

6y  III. II.  27x  – y   – x 5y 26x

Finalmente

(3x+2y+2)(2x+3y+1)

S(x; y)=(9x+2y – 1)(x+y+3)

Problemaspropuestos

1. Factorice 72+y2 – 17y

2. ¿Cuántos factores primos se obtienen al factorizar

y dé como respuesta la suma de los términos

P(a; b)=2a3b – 5a2b – 3ab?

independientes de los factores primos. A) –  17

B) 72

C) 15

D) 9

Álgebra



A) 1



C) 3

B) 2

D) 4

E) –  9

63

2do. Año

E) 0

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

3. ¿Cuál es uno de los factores que se obtienen al 4

2

factorizar (5x  – 1) – (x +3)? A) x – 2

A) 1



C) 3

B) 2

D) 4

B) x2+1

C) x+1 D) x3+2



E) 0

9. Señale un factor de

E) 2x+1



F(x; y)=10x2+23xy+12y2+26x+25y+12



A) 3x+4y+1



C) 2x+3y+4



D) 2x+3y+1

4. ¿Cuántos factores primos se obtienen al factorizar x3yz – x2y2z – 6y3xz? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

B) 2x+y+3

E) 2x – 3y+4

E) 5

10. Factorice 5. Halle la suma de los términos independientes de los factores primos de

P(y)=4y2+y4 – 5

A) 5

B) 6

C) 7

D) 3

E) 0



P(x; y)=4x2+13xy+10y2+18x+27y+18



indique la suma de factores primos.



A) 5x+7y+9



C) 5x+3y+7



D) 4x+7y+6

B) 5x+4y+8

E) 4x+5y+6

6. ¿Cuántos factores primos de segundo grado se 11. Factorice

obtienen al factorizar

12x2 – 18xy – 12y2+2x+11y – 2

9m6+26m4 – 3m2?

A) 1

B) 2

de sus factores primos.

C) 3

D) 4

E) 0

A) 1

7. ¿Cuántos factores primos lineales se obtienen al P(x; y)=4x2y2+12xy3+9y4?

A) 1

12x2+20xy+8y2 – 12x – 10y+3

B) 2



la

suma de los coeficientes de uno de sus

factores pirmos es

E) 0

A) 4

8. ¿Cuántos factores pirmos de segundo grado se

obtienen al factorizar



P(x)=25x6 – 10x4+x2

D) 7

Álgebra

E) 5

12. Factorice

C) 3

D) 4

B) –  1

C) 3

D) –  3

factorizar

indique la suma de los términos independientes

64

B) 5

C) 6

2do. Año

E) 9

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

13. Factorice 6x2 – 7xy+2y2+12x – 7y+6



A) 1



y dé como respuesta la suma de los coeficientes



C) 3

de uno de sus factores primos?

D) 4

A) 3

B) 5

B) 2

E) 5

15. ¿Cuántos factores primos de tercer grado se

C) 7

obtienen al factorizar

D) 9

E) 11

2a6b3 – 13a3b3 – 24b3 ?

14. ¿Cuántos factores primos lineales se obtienen al

A) 1

factorizar



4x4y+4y – 17x2y ?

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Tarea Domiciliaria

1. Factorice y dé un factor primo

4. Factorice

2



P(x)=8x  – 2x – 3



A) 2x – 1



C) 2x+3

D) x+1

B) 4x – 3 E) 3x – 1 

2. Factorice y dé un factor primo

B(x)=20x4+31x2 – 9



A) 5x2 – 9



E(x; y)=21xy – 39y2+56x – 92y+32



e indique la suma de sus factores primos.



A) 3y+9



B) 10x – 13y+12



C) 3y+8



D) 2x – 13y+4

B) 2x+1

E) 7x – 10y+12

E) 2x2+11

5. Factorice

C) x – 1 D) x2+9



D(x; y)=15x2+151xy+10y2+45x+301y+30



A) (x+1)(15y+30)



B) (x+y+1)(15x+y+30)



C) (15x+y+30)(x+10y+1)



D) (15x+y+30)(x – 10y+1)

3. Factorice

P(x; y)=6x2+19xy+15y2 – 17y – 11x+4



y señale un factor primo.



A) 2x+y+1



C) 2x+3y – 1



D) 2x+y – 1

Álgebra

B) 3x+5y+4

E) (x+y+1)(15x+10y+30)

E) x+5 – 4

65

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo III

CURIOSIDADES

¿Por qué la nieve es blanca?

Primero recordemos que la nieve es solo agua

congelada, igual que lo es el hielo. ¿Qué hace que uno sea transparente y la otra blanca?

Pues bien, en un post anterior veíamos como

está formada la nieve. La nieve está formada por cristales de hielo de hermosas formas hexagonales, si la vemos con algunos aumentos. La cuestión es que entre esos cristales hay aire. Esas zonas con aire difunden la luz, aunque su tamaño es suficientemente grande para que no se aprecie selección cromática. Por eso, la luz difundida se ve blanca. Es un efecto parecido al que provocan las minúsculas gotas de agua en las nubes, que hace que se vean también blancas.

Así que la luz blanca que vemos proviene de la dispersión que produce el aire entre los cristales

de la nieve.

Sucede algo similar con los osos polares (cuya piel es negra), ya hemos explicado que su pelo es

transparente, pero hueco. En su interior hay aire que difunde la luz como lo hace la nieve. La nieve es transparente, pero difunde el blanco de la luz.



Álgebra

66

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

Factorización III - Divisores binomios MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

Probando

Se usa básicamente para factorizar polinomios

1

de grado mayores o iguales a tres.

x=– 2



Consiste en evaluar usando el esquema de

–1

–6

–2

–2

6

1

–3

0

1



Proceso

3

división exacta

Luego

Ruffini, así dado un polinomio F(x).

(x+2)(x2+x – 3)

coeficientes del polinomio F(x)

• Si no es mónico el polinomio, usaremos

x=a

opcionalmente 0 cociente

división exacta



±  Divisores del término independiente Divisores del coeficiente principal



Así al factorizar

Luego F(x)=(x – a)q(x)

Al valor a se denomina cero del polinomio.

(2x3+x2+x – 1) Ejemplo



(x3 – x2 – 4); si evaluamos en x=2, tenemos 1

–1

0

–4

2

2

4

1

2

0

x=2 1

Planteamos, luego

±  1; 1 2

Al usar el esquema, una vez agotados los valores enteros (+1;   –  1) no genera división exacta entonces probamos

Luego

2

(x3 – x2 – 4) x=1/2

Se puede expresar como

2

(x – 2)(x2+x+2). Nótese que está factorizando



Importante es saber en qué valores podemos usar el

Finalmente

esquema; entonces veamos: • Si el primer coeficientes es la unidad (polinomio mónico), se trabaja con los divisores del término

=

independiente. Así, al factorizar (x +3x  – x – 6); 3

2

notamos que es mónico, luego planteamos

1

–1

1

1

1

2

2

0

(2x2+2x+2)

2x – 1  2(x2+x+1) 2

=(2x – 1)(x2+x+1)

± (1; 2; 3; 6) Álgebra

1 = x –  2

1

67

2do. Año

¡Importante! división exacta

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III • Factorice

Ejercicios • Factorice

P(x)=x3 – 11x2+31x – 21



Resolución



Como el polinomio es mónico planteamos



± 1; ± 3; ± 7; ± 21; para x=1, luego tendrá un factor (x –1) determando el otro factor por Ruffini. 1 x=1 1



–11

31

–21

1

–10

21

–10

21

0



A(x)=x5+5x4+7x3 – x2 – 8x – 4



Resolución



Los divisores del término independiente son



± 1; ± 2; ± 4



se anula para x=1; x= – 2 y x=– 1



aplicando Ruffini tres veces 1 x=1 1 x=– 2 1

Luego P(x) = (x –1)(x2 –10x+21) x –7 x



x=– 1

–3

P(x)=(x – 1)(x – 7)(x – 3)

–1

–8

–4

1

6

13

12

4

6

13

12

4

0

–2

–8

–10

–4

4

5

2

0

–1

–3

–2

3

2

0

1

x

• Factorice

7

Luego A(x)= (x –1)(x+2)(x+1)(x2 +3x+2) x 2

Finalmente

1



5

R(x)=x3 – x – 6



A(x)= (x –1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+1)

Finalmente

Resolución



Los divisores del término independiente son



± 1; ± 2; ± 3; ± 6



• Factorice

Para x=2, se anula el polinomio; veamos 23 – 2 – 6=0

Entonces tendrá un factor (x – 2)



Luego por Ruffini 1 x=2



1

0

–1

–6

2

4

6

2

3

0

E(x)=2x3+3x2+3x+1



Resolución Como el polinomio no es mónico se plantea:



± 

1 1  = ± 1; ±  1; 2 2

1 x=– 2

R(x)=(x – 2)(x2+2x+3)

Álgebra



1 Para x= –  se anula, entonces tendrá un factor 2 (2x+1).

finalmente

A(x)=(x – 1)(x+2)2(x+1)2

2

2

68

3

3

1

–1

–1

–1

2

2

0

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog = x+

1 2

Tomo III

(2x2+2x+2)

x=

2x+1 = 2(x2+x+1) 2

12



Luego



E(x)=(2x+1)(x +x+1) 2

= x – 

=

• Factorice

R(x)=12x3+8x2 – 3x – 2



R(x) no es mónico, se plantea



1 1 1; 2 ±   = ±   1;    ;   2 3 1; 2; 3; 4; 6; 12

12

1 2

1 2

8

–3

–2

6

7

2

14

4

0

(12x2+14x+4)

2x – 1 2

2(6x2+7x+2)

R(x)= (2x –1)(6x2+7x+2) 3x 2 2x



1 Para x=  sea anula, luego 2

1



Finalmente



R(x)=(2x – 1)(3x+2)(2x+1)

Problemaspropuestos



1. Factorice

P(x)=x3 – 6x2+11x – 6



y dé un factor primo.

A) 2 B) 3 C) 5

D) 6

E) 7

4. Factorice A) x+1 B) x+2 C) x – 3



P(x)=x3 – 10x+3x2 – 24

D) x – 6



y dé un factor primo.

E) x+6

2. Señale un factor primo en

3

A) x – 2

2

P(x)=x  – 8x +17x – 10

A) x – 1

B) x – 2

D) x – 4

B) x – 1

D) x+2 C) x – 3

C) x+3 E) N.A.

5. Factorice

E) x – 5

3. Al factorizar



P(x)=x3 – x – 6x2+30



y dé un factor primo.



P(x)=x3+6x2+11x+6



dé la suma de los términos independientes de

A) x – 3

B) x – 1

C) x+5

sus factores primos.

D) x+3

E) x+1

Álgebra

69

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

6. Factorice 3

2



P(x)=x  – 4x – 3x +12



A) (x – 2)(x – 3)(x+2)



B) (x – 2)(x+3)(x – 2)



C) (x+2)(x – 3)(x+2)



D) (x – 2)(x – 3)(x – 2)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4

E) 5

12. Factorice

E) (x2+3)(x+4)



P(x)=2x3+3x2 – 8x – 12



y dé un factor primo.

A) x – 1

B) x+1

D) x – 4

7. Un factor del polinomio P(x)=x3 – 3x2+ax – 6 es

C) x+3 E) 2x+3

(x – 3). Halle a.

13. Si uno de los factores primos del polinomio A) 0 B) 1 C) 2



P(x)=x3 – 5x2 – 2x+24, es (x+2)

D) 3



¿cuáles serán los demás factores primos?



A) (x – 4)(x – 2)



B) (x+4)(x – 3)



C) (x – 4)(x – 3)

A) x2+x+1 B) x2 – x+1 C) x2+1



D) (x+4)(x+3)

D) x2 – 1

E) (x – 4)(x+3)

E) 4

8. Dé un factor primo luego de factorizar

P(x)=2x3+3x2+3x+1

E) 2x2+x+1

9. Factorice

14. Factorice el siguiente polinomio

3



P(x)=x  – x – 6



e indique el término independiente de uno de

P(x)=x2(2x – 3)+(4x+3)2

los factores primos. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5



A) (2x+1)(x+3)2



B) (2x+1)2(x+3)



C) (2x – 1)(x+2)2



D) (2x+1)(x – 3)2

E) (3x+1)(x+2)2

10. Factorice

P(x)=x5+4x4 – 10x2 – x+6



y dé el factor pirmo que más se repite.

15. Factorice

P(x)=x3 – 2ax2+(2 – 3a2)x+2a



A) (x+a)(x2 – 3ax+2)



B) (x – a)(x2 – 3ax+2)



C) (x+a)(x2+3ax+2) D) (x – 1)(x2 – 3ax+2)

A) x+2 B) x+3 C) x – 1 D) x+1

E) x – 3

11. Factorice

P(x)=12x3+16x2+7x+1





e indique el número de factores primos.

E) (x – a)(x2+2ax+3)

Álgebra

70

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

Tarea Domiciliaria

1. Factorice y dé un factor primo

3

4. Factorice

2

P(x)=x  – 6x +11x – 6

A) x+1

P(a)=a3+6a2+11a+6



A) (a+1)(a+2)(a+3)



B) (a – 1)(a – 2)(a – 3)



C) (a+6)3



D) (a – 1)(a+2)(a+3)

B)  – 6

C) x – 3 D) x+2



E) x

2. Señale el término independiente de un factor primo P(x)=m3 – 7m2+14m – 8

E) (a+1)(a+2)(a – 3) A) 2

B) –  3

C) 4

D) –  2

5. Encuentre un factor primo luego de factorizar

E) 6



P(a)=a3 – a – 6

3. Fatorice

P(x)=x3 – 9x2+23x – 15



e indique la suma de sus factores primos.



A) 2x2+x+1



C) 3x – 5



D) 2x – 1

A) a – 1 B) a – 4 C) a+3

B) 3x – 9

D) a2+2a+3

La

inteligencia

E) a2+2a+4

E) 3x+1

consiste

no

sólo

en

el

conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica.

G PROLO

Álgebra

71

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo III

carl friedrich gauss Matemático, físico y astrónomo alemán



Brunswick (Alemania) 1777 - Gotinga 1855.

Gauss es el más grande matemático del siglo XIX y probablemente, junto con Arquímedes y Newton, uno de los tres más grandes matemáticos de todos los tiempos. Nació en el seno de una familia obrera. Fue un niño prodigio y desde muy pronto mostró una asombrosa habilidad para el cálculo. Cuando tenía quince años, el Duque de Brunswick se fijó en él convirtiéndose en su protector y, tres años más tarde, le ayudó a ingresar en la universidad en Göttingen, donde cursó estudios de matemáticas. El 30 de marzo de 1796 comenzó un diario en el que aparecían las intrucciones para construir un polígono regular cuyo número de lados no fuese múltiplo de 2; 3 ó 5. El diario, que contiene 146 enunciados de resultados en tan solo 19 páginas, es uno de los documentos más importantes en la historia de las matemáticas.

Ca r l

Friedrich Gauss

A la edad de veinte años, ya en la universidad de Helmstädt, escribió su ahora famosa disertación doctoral. En ella, dio la primera demostración rigurosa del teorema fundamental de álgreba, según el cual todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces. Muchos matemáticos, entre ellos Euler, Newton y Lagrange, habían intentado antes demostrar este resultado. Realizó brillantes trabajos en astronomía y electricidad, pero las obras realmente asombrosas de Gauss son las que desarrolló en el terreno del álgebra y de la geometría. En 1811 descubrió un resultado que permitió a Cauchy desarrollar la teoría de variable compleja. Otras grandes aportaciones son su famoso método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones y la cuadratura gaussiana, técnica de integración numérica. Su espíritu matemático no dejó de acosar a los matemáticos del siglo XIX. A menudo resultaba que un nuevo resultado importante ya había sido descubierto por Gauss, pudiendo verse en sus notas inéditas. Catedrático de matemáticas en Göttingen desde 1807 hasta su muerte, fue honrado poco después con una medalla en la que estaba inscrito: George V, rey de Hannover, al Príncipe de los matemáticos.

Álgebra

72

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

MCD y MCM MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

• Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.

El máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado que es

• El MCM es el producto obtenido al tomar todos

factor de los polinomio dados.

los factores primos comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran a

Para hallar el MCD de varios polinomios se

formar parte en cada uno de los polinomios.

procede de la forma siguiente • Se descompone cada polinomio en el producto

Ejemplo

de sus factores primos.

• El MCM de

• El MCD es el producto obtenido al tomar todos los factores primos comunes elevados a la



A=(x – y)3(x+2y)2



B=(x – y)2(x+2y)3



C=(x – y)2(x+2y)



es (x – y)3(x+2y)3

menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.

Nota

Los número no son factores primos.

Ejercicios Ejemplo • El MCD de 3

• Extrae el MCD de



2

A=(x – y) (x+2y)



P(x; y; z)=x3y2z4



B=(x – y)2(x+2y)3



Q(x; y; z)=x2y5z6



C=(x – y)2(x+2y)



Resolución



2

es (x – y) (x+2y)



El MCD son los factores repetidos con menor



dos o más polinomios son primos entre sí, si su

exponente.

MCD. es la unidad ± 1.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

• Del problema anterior, extrae el MCM.

En dos o más polinomios, es el polinomio de

mayor grado del cual es factor cada uno de los

El MCM son los factores repetidos y no

repetidos con el mayor exponente

Para hallar el MCM de varios polinomios se

procede de la forma siguiente

Álgebra

Resolución



polinomios dados.

El MCD=x2y2z4



73

El MCM=x3y5z6

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

• Saque el MCD de 2

2



Resolución El MCM será



P(x)=(x+1) (x – 3)





Q(x)=(x – 3)(x – 1)(x+5)

(x – 2)2(x – 3)2(x+2)



Resolución

• Obten el MCD de



El MCD=(x – 3)



P(x)=(x +1)2



Q(x)=(x+1)(x – 1)

• Obten el MCM de

P(x)=(x – 2)2(x – 3)2



Resolución



Q(x)=(x+2)(x – 3)



El MCM será (x+1)

Problemaspropuestos

1. Halle el MCM de



A) (x+2)3(x – 3)2(x2 – 1)



A(a; b; c)=28a2b3c4



B) (x+2)(x – 3)(x+1)(x – 1)



B(a; b; c)=35a3b4c5



C) (x+2)3(x – 3)2



C(a; b; c)=4a2b5c6



D) (x2 – 1)(x2 – x – 6)



E) (x+2)(x – 3)(x+1)

A) a2b3c4

B) a3b5c6

C) 7a2b3c4

D) a3b5c4

4. Halle el MCD de E) a2b4c5



A(a; b)=a4 – 

4



B(a; b)=a4+2a2b2+b4

2. Halle el MCM de las expresiones

A(x)=3(x+1)

A) a2 – b2



B(x)=2(x2 – x+1)

C) a – b



C(x)=6x3+6

D) a + b



A) 6(x3+1)

5. Halle el MCD de



B) (x+1)(x2 – x+1)





C) 2(x+1)(x2+x+1)

C(x)=4x2+4x – 24



D) (x3+1)

E) (x+1)

3. Halle el MCM de los polinomios

A) (x+3)



B) 4(x+3)(x – 2)



C) (x+2)(x – 2) D) (x+2)



P(x)=(x+2)3(x – 3)2(x – 1)





Q(x)=(x+2)(x – 3)(x+1)

E) 2(x+3)

Álgebra

74

E) (a+b)2

B(x)=2x2+12x+18



B) a2+b2

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III

6. Halle el MCM de

10. Si el MCD de

2x2 – 9x – 81; x2 – 36; 4x2+12x+9





P(x)=x3 – 6x2+11x – m

Q(x)=x3+2x2 – x – n

y dé como respuesta la suma de sus factores



primos.

es (x – 1); halle m+n

A) –  8 A) x+1



B) 2x+3

C) 4

D) 6



C) 7x+3



D) 7x – 3

B) 8 E) 2

E) x – 1

11. Halle el MCD de 7. Halle el MCM de

2

2

A(x; y)=x  – y 2

2

2

2

B(x; y)=x  – 2xy+y



A(x)=m2+3mx+2x2



B(x)=m3+8x3



C(x)=2m2+4x2+6mx



C(x; y)=x +2xy+y

A) m+2x

B) m+x

C) m – x

A) (x+y)3



C) (x – y)3

D) (x2 – x2)3

B) (x – y)

D) m+1

E) (x2 – y2)2

12. Halle el MCM de

8. Si (x – 1) es divisor de (x3 – 6x2+11x – 6) y de

(x

3

 – 7x+6)

¿cuál es el MCD?

A) (x2 – 3x+2)

C) (x – 1)(x+2)



D) (x+2)

B) (x – 2)



3

B(x)=x  – 3x+2

B) x2+1

Álgebra

S(x)=(x2 – 4x+4)(x – 1)



T(x)=(x – 3)(x – 1)2



A) (x – 2)(x – 3)(x – 1)



B) (x – 2)2(x – 3)



C) (x – 2)(x – 3)



D) (x – 2)2(x – 3)(x – 1)2



M(x)=x2 – 8x+15



N(x)=x2 – 5 +6



R(x)=x2 – 9x+18

A) x – 5

C) x – 1 D) x – 2



13. Halle el MCM de

A(x)=x4 – 1

A) x+1

R(x)=x2 – 5x+6

E) (x+2)2(x – 3)(x – 1)2

E) x2 – 4

9. Señale el MCD de



E) m – 1

B) x – 2

C) x – 3 D) x – 6

E) x+2

75

E) x+3

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo III D) (x – 5)2(x+5)3

14. Sean los polinomios





E) (x – 5)2(x+5)3(x – 3)2

P(x) y Q(x)

Si P(x) · Q(x)=(x – 5)2(x+5)3(x – 3)2  y

15. Sabiendo que el producto del MCM y MCD de

MCD(P; Q)=(x – 3)

proporcione el MCM de P(x) y Q(x)



A) (x – 5)2(x+5)3(x – 3)2 2

dos polinomios es (x5 – x3) y la suma de ambos polinomios es (x3+x), determine el MCM. A) x2 – 1

3



B) (x – 5) (x+5) (x – 3)



C) (x – 5)(x+5)(x – 3)

B) x+1

C) x4 – x2 E) x2+1

D) x – 1

Tarea Domiciliaria



1. Halle el MCD de

A) x+2



B(x)=x2 – 2x+1

C) x2+x – 6



C(x)=x3 – x

D) x – 3



D(x)=x2 – 4x+3

B) x – 1

C) (x – 1)2

D) x2 – 1

E) (x+1)2

A(a; b)=a2 – b2



B(a; b)=a +2ab+b



C(a – b)=a2 – 2ab+b2



2



P(x)=x2 – 4x+3



F(x)=x2+4x+3



R(x)=x2 – 10x2+9

S(x)=x3+x2 – 9x – 9

2. Halle el MCM de

E) x+8

4. Halle el MCM de

A) x+1

B) x2 – x – 6

A) (x2 – 9)(x4 – 1)

2

A) (a2 – b2)2

C) (x2 – 9)(x+1) D) (x2 – 9)(x2+1)

E) (x2+9)(x2 – 1)

B) a – b

5. Halle el MCD de

C) a+b D) a2+b2

B) (x2 – 9)(x2 – 1)



E) N.A.

M(x)=x3 – mx2+19x – (m+4)

F(x)=x3 – (m+1)x2+23x – (m+7)

3. Halle el MCD de

P(x)=(x+1)4(x+2)3(x – 3)5(x – 1)2

A) x2 – 4x+3



F(x)=(x+8)4(x+2)(x – 3)5(x – 2)2

C) x2+4x+3



R(x)=(x – 2)2(x+2)2(x – 3)(x+7)6

D) x2 – 1

Álgebra

76

B) x2 – 2x – 3

E) x2+1

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog



ra

u ct

Le



Tomo IV

¿es posible hablar con los delfines?

¿Algunas veces te has preguntado de que hablan

los delfines?, pues mediante el uso de un instrumento llamado CymaScope, los investigadores británicos y estadounidenses han transformado los sonidos de los delfines en un gráfico que podría ayudarnos a descifrar el idioma de estos mamíferos marinos.

Ahora bien, existen pruebas sólidas de que los

delfines son capaces de ver el sonido, de modo similar a como los seres humanos usamos los ultrasonidos para observar un feto en el vientre de su madre. Pero este sonido no viaja en forma de ondas, como popularmente se cree, sino que se expande como burbujas y haces holográficos. En frecuencias audibles para los seres humanos –20 a 20,000 hertzios–, predomina la forma de burbuja; mientras por encima de los 20,000 hertzios, el sonido adquiere la forma de haz. El CymaScope capta esas vibraciones sonoras de los delfines en el agua, permitiendo visualizar su estructura tridimensional. El resultado es un gráfico llamado CymaGlyph, que contiene una serie de pautas reproducibles que podrían formar la base de un léxico de la lengua de los delfines, donde cada pauta representaría una imagen - palabra.

El ingeniero John Stuart Reid compara que descifrar lo que dicen los delfines a partir de un

CymaGlyph se parece mucho a interpretar los jeroglíficos egipcios. Ahora que los gorjeos, chasquidos secuenciados y silbidos que emiten los delfines se pueden convertir en imágenes, tenemos una importante herramienta para descifrar su significado, asegura.

Su compañero Jack Kassewitz, experto en el lenguaje de estos animales, es aún más optimista,

y asegura que el objetivo final es hablar con los delfines con un vocabulario básico de sonidos y entender sus respuestas. Creo que a la gente de todo el mundo le gustaría tener la oportunidad de hablar con un delfín; y estoy seguro de que a los delfines les encantaría hablar con nosotros, confiesa.

Álgebra

67

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

Fracciones algebraicas Fracción algebraica





Es una expresión que se puede escribir como P(x) . El polinomio cociente de dos polinomios Q(x) P(x) es el numerador y Q(x) el denominador de la

otra equivalente cuyo numerador y denominador no

fracción, donde Q(x)  0.

se lleva a cabo descomponiendo en factores

tengan más factores comunes que la unidad, ± 1. La fracción que resulta es irreductible. Esta reducción el numerador y el denominador, simplificando,

Ejemplo

Simplificar una fracción, es transformarla en

3x - 4

x2 - 6x + 8

 y 

seguidamente, los factores comunes siempre que

x 3 + 2y2

sean distintos de cero.

x 4 - 3 xy + 2 y 3

son fracciones algebraicas.

Ejemplo





Las reglas para el cálculo con fracciones

x 2 - 4 xy + 3 y 2 2

x -y

algebraicas son las mismas que las correspondientes

2

=

(x - 3 y )(x - y ) x - 3 y = (x + y )(x - y ) x + y

También

de las fracciones en Aritmética. Una de las fundamentales es: El valor de una fracción no se altera si se multiplican, o dividen, el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre que esta sea distinta de cero. En estas condiciones las



a a -a a a -a æ -a ö = =- ; = ; -ç ÷= è-b ø b b -b b b -b



Muchas veces la simplificación consiste en un

cambio de signo.

fracciones se llaman equivalentes.

Ejemplo

Por ejemplo, si se multiplica el numerador y

denominador de equivalente:

x +2 por (x – 1), se obtiene la fracción x -3

(x + 2)(x - 1) x 2 - x - 2 = siempre que (x - 3)(x - 1) x 2 - 4 x + 3

Análogamente, la fracción

x2 + 3x + 2 2

x + 4x + 3

x 2 - 3 x + 2 (x - 2)(x -1) (x - 2)(x -1) x -1 = = = =1- x -1 2- x 2- x - (x - 2)



La suma algebraica de fracciones que tienen

el mismo denominador es otra fracción cuyo

(x – 1) sea distinto de cero, es decir, x  1.



numerador es la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es el

se puede

denominador común.

(x + 2)(x + 1) expresar por y dividir, entonces, su (x + 3)(x + 1)

Ejemplos

numerador y denominador por (x+1), siempre que

•

3 4 2 1 3 - 4 - 2 + 1 -2 2 - - + = = =5 5 5 5 5 5 5

•

2 3x + 4 x2 + 5 + = x -3 x -3 x -3



=

(x+1) sea distinto de cero, o bien x  –1, obteniéndose x +2 . La operación de dividir por un factor común x +3 al numerador y denominador recibe el nombre de simplificación y se indica tachando el término

Para sumar y restar fracciones de distinto

común; por ejemplo:

denominador,

(x + 2)(x + 1) (x + 2) = (x + 3)(x + 1) (x + 3) Álgebra

2 - (3 x + 4 )+ (x 2 + 5) x 2 - 3 x + 3 = x -3 x -3

se

transforma

estas

en

otras

equivalente que tengan un denominador común. 68

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV Problemas resueltos

Ejemplos •

3 4 7 15 16 14 15 - 16 + 14 13 - + = + = = 4 5 10 20 20 20 20 20

1. Simplifique

3 x 2(14)- 3(7 x)- x (2 x 2 ) 28 - 21x - 2 x 3 - = = • x 2 2x 7 14 x 2 14 x 2 •

a 2 + 2a - 3

2

M =

(2 x +1)(x -1)-3 x 2 x 2 -4 x -1 2 x +1 3 = = x(x +2) (x +2)(x -1) x(x +2)(x -1) x(x +2)(x -1)

Resolución

a2 + a - 6

Buscando reducir numerador y denominador, para esto tratamos factorizar.

El producto de dos o más fracciones es otra

• a2+2a – 3=(a+3)(a – 1)

fracción cuyo denominador es el producto de los numeradores, y cuyo denominador es el producto

a 3

de los denominadores.

a –1

Ejemplos

2 4 15 2 ×4 ×15 1 × × = = 3 5 16 3 ×5 ×16 2



x - 5 (x + 3)(x - 3) x - 5 × = × 2 x - 6 x + 5 x + 3 (x - 5)(x - 1) x + 3

• a2+a – 6=(a+3)(a – 2) a 3 a

x2 - 9

Reemplazando

(a + 3)(a - 1) a - 1 = M = ( a + 3)(a - 2) a - 2

(x + 3)(x - 3)(x - 5) x - 3 = =( x - 5)(x - 1)(x + 3) x - 1

El cociente de dos fracciones es otra fracción

2. Efectúe

que se obtiene multiplicando la fracción dividendo (o

B =

fracción numerador) por el recíproco de la fracción divisor (o fracción denominador).



(a 2 - 1) a -1

+

1 - a2 1- a

Resolución

Ejemplos

– 2



3 3 5 3 4 3 ¸ ó 8 = × = 5 8 5 10 8 4 4 xy 7 7 7 x -2 = = = . 2 ( ) ( ) ( + 2 + 2 2 - 2) x x x xy xy x x -4

Factorizando los numeradores por diferencia de cuadrados.





B=

(a + 1)(a - 1) (1 - a)(1 + a) + (a + 1) (1 - a)

B=a –1+1+a=2a

Una fracción compuesta es aquella que tiene una o más fracciones en el numerador o en el

3. Efectúe

denominador. Para simplificarla:

M =

• Se reducen el numerador y denominador a fracciones simples.





1 x2 -1 2 2 x = x = x -1× x = x -1 x +1 1 x x +1 x +1 1+ x x

x-

2

m -1

m + m-2

Primero verifiquemos que cada fracción sea irreductible.

M =

(x + 1)(x - 1) = = x -1 (x + 1) Álgebra

m + 7 m + 10

-

Resolución

• Se dividen las dos fracciones que resultan.

m+5

2

m+5

-

(m + 5)(m + 2) (m - 1)(m + 2)       2 +7 m+10 m    Aspa simple

69

m -1

2 + m -2 m   Aspa simple

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

Problemaspropuestos A) 1 B) 0 C) –1

1. Reduzca

ax + ay + bx + by am + bm + an + bn

1 D) x +2

x-y x+y a A) B) C) m+ n m-n b a-b x+y D) E) m-n m+ n

7. Efectúe



D) 3

n2 - 1

n2 - n e indique como respuesta el denominador.

D) n+2



E) 1

x x x-y x+y y y + x-y x+y

A) xy B) x C) y x D) 1 E) y

3. Efectúe a2 x - a2 y

ax 2 - ay 2

a a+ x a A) B) C) x+y a+ y x-y x a-x D) E) y a-y

9. Simplifique (x - y )(z - x )- (x - z )(y - z ) (y - x )(b - a) (a - b)(x - y )

4. Efectúe

D) 4



2

A) 1 B) 2 C) 3 E) 0

2

x -1 1- x + x +1 1- x

A) x

10. Reduzca B) 2x

C) 3x

D) 2

E) 1



6x2 + x -1

10 x - 3 - 3 x

A) x

5. Reduzca

E) 14

8. Simplifique

A) n B) n+1 C) n –1



35 − 7 x 7 + 2 x − 25 x + 5

A) 1 B) 0 C) 2

2. Efectúe

1 E) x +1

+

2x + 1 x -3 B) 1

D) –1

m2 n - 8 mn + 15 n mn - 3 n

A) m – 1

2

1 x E) 0

C)

11. Reduzca

B) m – 2

D) m – 4

C) m – 3



E) m – 5

a2 -a a-b b2 +b a-b

6. Efectúe

2

x +5

x + 7 x + 10

-

Álgebra

2

A) a B) b a D) –  b

x -1

x + x -2

70

2do. Año

C) 1 b E) a

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV

12. Simplifique



14. Halle

1 x -1 1 1- 2 x -x x-



si m2n–1=2 B) x –1 C) x2

A) 1

D) x

A) 2 B) 8 C) 10

E) –1

D) –1

13. Efectúe  xy  x+   x − y   x − y   ⋅ xy   x + y   x−  x + y  

m2 + 3 m m3 + 3 n2 + m+ n mn + n 2

A) –1

E) 5

15. Simplifique

x 3n n

x -1

-

x 2n n

x +1

-

1 n

x -1

+

1 n

x +1

A) x2n+1 B) x2n – 2

B) 1

D) x

C) 0

C) x2n+2

E) y

xn – 2 D) xn+2 E)

Tarea Domiciliaria

1. Transforme y simplifique



A) 0,25x2

x2 – 4 5ax+10a



D) 0,5x



R(x)=

B) 0,25x

E) 0,625x

x –1 x –2 x –2 A) B) C) a 5a 3a

4. Luego de efectuar

x D) x – y



–1 2x + 2 2  x –1 x +x



halle el numerador obtenido.

x+2 E) 5a

C) 0,125x

2. Simplifique

y2+2y – 3 y2+y – 6

y –1 y+1 1 A) B) C) y – 2 y – 2 y y+1 D) y

A) x2+3 B) x – 3

C) x+3



E) 2x – 3

5. Simplifique

y E) 2



3. Efectúe

 x − 1  2 x 2    ⋅  x   x 2 − 1

Indique

la

octava

parte

del

1-

1 1-

x y y C) 1–  x

x D) 1+ y

x E) 1–  y



71

1

1  – y A) x – y B) x numerador

simplificado.

Álgebra

D) 2x+3

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo Iv

¿sabías que el soñar ayuda a consolidar la memoria?

Creo que esto nos puede ayudar a la hora de querer recordar algo que estudiamos por la noche, por ejemplo a la hora de hacer exámenes, para los que aún estudian.

El sueño tiene varias fases, y es durante la

fase del sueño profundo cuando la actividad neuronal desempeña un papel importante a la hora de que la memoria conserve ciertas conductas aprendidas durante el resto del día, según lo recoge la revista Nature.

Así que un equipo de investigadores demostró que la actividad registrada en la corteza prefrontal

media se reproduce de forma similar en el hipocampo, área vital en la formación de la memoria y la recuperación de datos.

Ahora bien, ¿cómo llegaron a esta conclusión? Como es de esperarse, primero lo experimentaron

con ratas. Los investigadores observaron la actividad neuronal de un grupo de ratas mientras éstas intentaban salir de un laberinto en el que habían sido introducidas. Después registraron la actividad neuronal de estos mismos roedores durante el sueño una vez que ya se sabían el camino a seguir para salir del laberinto, tras lo que comprobaron que en sueños su mente seguía activa recordando el conocimiento adquirido.

Este estudio, según Nature, es el primero que centra su atención en la actividad de la corteza

prefrontal media a la hora de conformar la memoria en un sujeto.

Así que después de estudiar algo por la noche, nada como un buen sueño para ayudar a nuestra

memoria a recordar lo leído. Inténtelo y después nos comentan que tal le fue.

Álgebra

72

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV

Radicales dobles CONCEPTO

Se llaman así a aquellos en cuyo interior aparecen

adición y sustracción. Presentan la siguiente forma:

PROLOG

Ahora que ha visto qué fácil es transformar los radicales dobles a simples, es momento que usted demuestre cuánto ha captado de dicha transformación.

otros radicales ligados entre sí por las operaciones de

A± B Transforme los radicales dobles a simples utilizando Ejemplo

la propiedad

3 + 8    12 - 140

Transformación de radicales dobles a simples (propiedad)

A± B = Donde

A+C ± 2

A-C 2

•

3- 8 =

•

4+ 7 =

•

5 + 21 =

•

7 + 13 =

•

6 - 20 =

Transformación de radicales dobles a simples (método práctico)

2

C= A  – B

A±2 B = x ± y

Ejemplo Donde

Transforme el siguiente radical doble a radicales

x+y=A;  (x)(y)=B

simples mediante la propiedad.

además,  x > y

4 - 12

Ejemplo Transforme el siguiente radical doble a simple con el

Resolución

método práctico.

Primero debemos hallar el valor del que está



haciendo el papel de C.

C= 42 – 12



C= 4=2

17 + 2 30

Resolución

17

+ 2 30

15 +  2

Recuerde

Ahora, debemos reemplazar el valor de C en la

Cuando expresamos la solución en radicales simples, no olvide que el primer radical debe ser el mayor, de lo contrario, nuestra respuesta será incorrecta.

4+2 4 -2 = 2 2

= 4 - 12 = 3 - 1 Álgebra

73

2do. Año

PROLOG

propiedad

 15   ×    2

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

Así tenemos



17 + 2 30 = 15 + 2



Transforme los radicales dobles a simples con el

6+2 5 =

•

5+2 6 =

•

21 - 2 20 =

•

11 - 2 30 =

•

33 - 2 140 =





Resolución

6x2 – 7x – 3 3a +1 2a



E = 5x - 2 + 2 6x2 - 7x - 3 ¯ ¯ (3 x + 1)+ (2 x - 3) (3 x + 1)(2 x - 3)

11 + 6 2



E = 3x + 1 + 2x - 3

Resolución Descomponiendo el 6 e introduciendo el 3 en la

4. Descomponer en radicales simples

raíz

2 A - 1 + 2 A2 - A - 6

11 + 2 ´ 3 2

– 3

Entonces

1. Descomponer en radicales simples



E = 5x - 2 + 2 6x2 - 7x - 3



Factorizando

Problemas resueltos



E=2  5

3. Halle el equivalente de

método práctico •

= 7+ 5 –  7 – 1+ 6+ 5 –  6+1



Por método práctico

Resolución

2 A - 1 + 2 A2 - A - 6

11 + 2 18

¯ ¯ (A - 3)+ (A + 2) (A - 3)(A + 2)

Obtenemos

9+ 2  → 3+ 2

Por lo tanto, la expresión es equivalente a

A – 3 + A+2

2. Calcule el valor de

E = 12 + 140 - 8 + 28 + 11- 2 30 - 7 - 2 6

5. Reduzca y halle A+I



Resolución

10 + 2 21 + 8 - 2 15 =



Buscando el factor 2

Resolución



E = 12 + 4 ×35 - 8 + 4 ×7 + 11+ 2 30 - 7 - 2 6

Reduciendo

= 12 + 2 35 - 8 + 2 7 + 11 + 2 30 - 7 - 2 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

7+ 3+ 5 –  3  –  A + I

7+5



7 ×5 7 + 1

7 ×1 6 + 5

6 ×5

6 +1

6 ×1

7+ 5= A + I

= 7+ 5 – ( 7+ 1 )+ 6+ 5 – ( 6 –  1 ) Álgebra

74

∴ A+I 7+5=12 2do. Año

A+ I

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV

Problemaspropuestos 1. Calcule

A) 3

B) 1

D) 8

M = 9 + 2 14 - 12 - 2 35

C) 6 E) –1

A) 2 –  5 B) 2+ 5 C) 5 –  2

7. Transforme a radicales simples





D) 2 7+ 2

E) 2

2. Calcule I+C, si

7 + 61 + 2 60 - 3

A) 2

13 + 2 22 + 14 - 2 33 = I + C

B) 1

D) 5

A) 5 B) 1 C) 8

8. Efectúe

D) 7



E) 3

3. Reduzca

C) 0 E) 6+ 2

3 + 8 + 7 - 40 - 5

A) 0 B) 1 C) 2+ 5



E = 11 + 112 - 7





A) 1

9. Transforme en un solo radical doble

B) 7 C) 5

D) 2

E) 2



4. Efectúe

D) 2+ 5

E) 3+ 2

8 + 2 15 - 5 - 2 6

A) 6 + 40 B) 7 - 2 10 C) 7 + 40



A = 3 + 2 2 - 5 + 2 6 - 7 - 2 12

D) 4 - 2 5



A) 3

10. Resuelva



D) – 3

B) –1

C) 1 E) – 4

5. Efectúe

M = 9 - 80 - 4 - 12 - 7 - 40 + 1



A) 1

B) 2 –  3 C) 3 –  2

D) 3

E) 4 + 2 5



T = 6 - 2 5 - 11 + 2 50 + 1



A) – 2 B) 3

C) –  6



D) 3 3

E) 3 2

11. Reduzca

E) 2

A = 1- 2 2 - 4 6 - 4 7 - 2 6 - 3

6. Efectúe

( 2+

3 + 2- 3

Álgebra

A) 2

)

2

75

B) –  2 C) 3

D) –  3 2do. Año

E) 5

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

12. Calcule

14. Siendo

2 + 5 - 3 6 - 2 + 8 + 2 12

a b + 2 2



3+ 5 =



a>b>0



según ello, calcule a – b

4

3 +2 2 A) 3 B) 3 C)

A) 3 B) 4 C) 5

4

D) 2 2

E) 2

D) 6

15. Efectúe

13. Reduzca

E) 7



x - 3 - 2x - 1+ 2 x 2 - x - 6 + x + 2

+ 11 + 2 30 + ...



A) 1



D) 2x –1

3 - 2 2 + 5 - 2 6 + 7 - 2 12 + 9 + 2 20 +

x B) x –1 C)

sabiendo que la expresión tiene 36 términos.

A) 37 –1

B) 1

D) –1

E) 0

C) 37 E) –  37

Tarea Domiciliaria

A) 125 B) 100 C) 96

1. Descomponga en radicales simples

D) 80

8 + 2 7 + 16 - 2 63

E) 576

A) 1 B) 2 C) 3

4. Transforme en un solo radical doble

D) 4



E) 5

2. Efectúe los siguientes radicales dobles

A) 8 + 28 B) 11 + 28 C) 11 - 56

5 + 24 - 6 + 4 2

D) 11 + 4 7

A) 3+ 2 B) 3+2 C) 3 – 2 D) 4+3

B=

( 2+

3 + 2- 3 + 6

Álgebra

E) 11 - 2 28

5. Resuelva

E) 2 –  3



3. Calcule

12 + 2 35 - 9 - 4 5

3 x + y - 2 3 xy + 2 x + y + 2 2 xy

A) y B) x C) x+ y

)

4

D) x –  y 76

2do. Año

E) 3x + 2y

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo IV

el automóvil

Los primeros autos estaban conformados por tres ruedas, una especie de triciclo veloz, con un motor de vapor. Aunque fue recibido con gusto por los compradores, el vehículo no alcanzaba una velocidad mayor a 14,5 km/h , característica que lo fue convirtiendo en un auto lento y aparatoso. Hacia 1886, el motor de vapor fue sustituido por otro de gas, al cual se le incorporó un cilindro que permitía desarrollar mayor fuerza y velocidad. Fue el ingeniero alemán Karl Benz quien patentó el primer auto el 29 de enero de 1886, fecha en la cual nace el automóvil moderno.

La perfección del motor originó el diseño de autos a gran escala, en países como Francia y

Alemania, industrias que hasta el momento dominaban todo el mercado automotriz. Henry Ford, un comerciante estadounidense, presentó en 1908, su modelo T, vehículo que revolucionó por completo la industria mundial automotriz, considerado como el auto más vendido en el mundo junto con el escarabajo de la casa alemana Volkswagen.

En este año el Modelo T, costaba 850 dólares, precio bastante elevado para la época. Pero el

impacto social de este vehículo, hizo que muchas familias norteamericanas adquirieran este primer modelo y disfrutaran de las ventajas de un transporte más rápido que los coches tirados por caballos. Los pedidos eran numerosos y la pequeña fábrica Ford no daba abasto. La fabricación del Modelo T representó una época importante en el desarrollo del transporte urbano. Basta con decir que hacia 1925, la mitad de los coches que circulaban por el mundo eran de este modelo. Hasta 1927, La Compañía Ford había vendido quince millones de autos T.

Álgebra

77

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

Racionalización Casos

RADICACIÓN

Primera forma Índice

A n

n

A=R

Radicando

Raíz

am

Se multiplica el numerador y denominador por

n

am – n

Racionalización

Ejemplos

Es el procedimiento por el cual se transforma una

Si

fracción, que tiene denominador irracional en otra fracción equivalente cuyo denominador es racional.



Regla práctica

Si



Se multiplica el numerador y denominador por



una misma expresión a la cual se denomina factor

5 4

=

x

5 4

2 8

x5 y4

x

=

4

x3

4

x3

×

2 8

54 x 3

=

x5 y4

4

⋅

x4

8

x3 y4

8

x3 y4

=

54 x 3 x

=

28 x 3 y 4 x8 y8

8

=

28 x 3 y 4 xy

racionalizante (F.R.).

N F.R. × irracional F.R.     

Segunda forma

N.F.R. racional   

®

A 2n

x ± 2m y

Casos que se presenta EXPRESIÓN IRRACIONAL n

n

am

an – m

a

a+ b

a  –  b

a – b

a  –  b

a+ b

a – b

3

3

a+ b

3

3

3

3

a –  b

Se multiplica el numerador y denominador por la

EXPRESIÓN RACIONAL

F.R.

2

3

3

2

a+b

2

3

3

2

a – b

a  –  ab + b

a + ab + b

conjugada. 2 n x ∓ 2 m y Ejemplos Si 4 8+ 5

8+ 5

⋅

8− 5 8− 5

=

4( 8 − 5 ) 2

8 − 5

2

=

4( 8 − 5 ) 3

Si

Nota Por lo general, en la mayoría de los ejercicios o problemas lo que se racionaliza son los denominadores; esto no es necesariamente así, pudiendo racionalizarse también numeradores.

Álgebra

4

=

7 4

=

5+42

=

7 4

5+42

4

⋅4

5−4 2 5−4 2

7(4 5 − 4 2 )

( 5 + 2 ) 7 ( 4 5 − 4 2 )( 5 + 2 ) = ⋅ 3 5 − 2 ( 5 + 2)   2 2 5 − 2

78

=

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV

Tercera forma

3. El numerador racionalizado de

(2

5+ 7 ) es 6

B 3n

x ± 3n y

Se multiplica el numerador y denominador por

2

3n

x ∓ 3 n xy + 3 n y

2



Resolución



El factor racionalizante es 2 5 –  7



2 5 + 7 (2 5 − 7 ) (2 5 ) − ( 7 ) ⋅ = = 6 6 (F.R.) (2 5 − 7 )

Ejemplo

=

Si 20 3

7+34

=

20

⋅

3

2

7 − 3 7⋅4 + 3 4





2 2 20 ( 3 7 − 3 7 ⋅ 4 + 3 4 )

Problemas resueltos 1. Indique el denominador racionalizado de Resolución



El factor racionalizante es 2 4



3 5

2

3 5

2

2

5

24

×

4

=

5

3 24 5

25

=

Resolución



Eliminando la irracionalidad del denominador

.

5

3 24 2

x+ 2

x−

( ⋅ 2 (

x+

( x 2 − 4)(

x+ 2

)

x−2

=

( x + 2)( x − 2)( x + 2 ) ( x − 2)

(x+2)( x+ 2 )=4(2 2 )=8 2

2. El denominador racionalizado de la expresión 7 – 2

) = ( x 2 − 4)( x + 2 ) 2 2 2) ( x) − 2

x2 − 4

=

el denominador es: 2

5

1

5. Racionalice

, es

3

7+32



Resolución



Resolución



El factor racionalizante es 7+2



El factor racionalizante es

5



7 -2 =



( 7 + 2) 5 ( 7 + 2) = = ( 7 + 2) ( 7 - 2)( 7 + 2)

×

5 ( 7 + 2) 2

7 - 22

®



5 ( 7 + 2) 3



el denominador es: 3 Álgebra

x- 2



5

5

para x=2

El numerador es: 13

4. Halle el verdadero valor de

11



x2 - 4

20 − 7 13 = 6 (F.R.) 6 (F.R.)

=

3 7 3 ⋅3 4 3

=

2

2

7 + 3 4 3 72 − 3 7⋅4 + 3 42    3

2

79

1 3

=

7+32

⋅

3

2

2

2

7 − 3 7⋅2 + 3 2

3

7 − 3 7⋅2 + 3 2

F.R. 2

2

3

7 +32

3

=

3

2 3

3

7  –  7 · 2 + 2

F.R. 9

2do. Año

2

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

Problemaspropuestos 1. Racionalice

7. Reduzca

3

P=



7+2

A) 4

B) 7 – 2

D) 7 E)

C) 3( 7 – 2)

E=

2 5 –  3

 – 

3 5+ 2

1

 – 

3+ 2

A) 1 B) 0 C) 2

N.A.

D) –  2

E) 2 2

2. Efectúe

3

N=

8. Efectúe

5 –  2

A) 1

B) 2+ 5 C) 2 –  5

D) 10



3

E) –1

4. Al racionalizar el denominador de la fracción , el denominador x – y aumentado en y2 será

racionalizado

6 – 2

+

1 1  –  2+ 2 2

B) – 2

C) 1

1

A=



indique el denominador.

3

10 - 1

+

1



3

7+32

y A) 1 B) 2 C) 9 D) 4

2

E) 0

9. Racionalice

A) 1 B) 3 C) –  3

7x

A) 2

8+ 6

1

+

D) –1

5 -32

D) 2



E) ( 5 –  2 )

3

V=

R=

2

3. Dé el denominador racionalizado de

1



E) 3

2

A) x – y B) x – y C) y D) x

E) x2 – y2

10. Efectúe

5. Racionalice

A=

5 3

B) 1

D) 2 –  3



2- 3 2 - 2- 3

A) 2+ 3 B) 2+1 C) 4

E) –1

D) 2

1+ 2 + 3 + 6

la expresión resultante es A) 1– 2+ 6 –  3 D) 1+ 2 –  3+ 6 Álgebra

E) 5

11. Racionalice

2

2



M=



Señale el denominador.

2+ 3+ 5

B) 3 –  2

C) 5 –  6

2 + 2+ 3

+

C) 3 –  2

6. Racionalice



2+ 3

9 -36 +34

A) 3+ 2



E=

A) 2 B) 4 C) 6 E) 1

D) 8 80

2do. Año

E) 10

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV 14. Efectúe

12. Divida 20 entre 5+ 7+ 2



A) 50  –  70 + 20

E=

2+ 3 2 + 2+ 3

+

2- 3 2 - 2- 3

B) 50  –  20 + 70 C) 50  –  70  –  20

A) 2+ 3 B) 2+1 C) 3

D) 50 + 20 + 70

D) 2



E) 5

E) No es posible

15. El denominador racional de la expresión 13. Indique el denominador racionalizado de



14

E=

42 + 35 + 77

16 ⋅ cos (2π) 3

3 + 2 + 26 6 ( 3 9 − 3 3 + 1) 3

A) 60 B) 30 C) 15

A) 5 B) 2 C) 3

D) 6

D) 8

E) 22

E) 9

Tarea Domiciliaria

1. Reduzca

E=

A) 2

2 5 –  3

 – 

3 5+ 2

 – 

1

D) 1

3+ 2

A) 1 B) 0 C) 2

4. Efectúe





B=



A) – 2

D) 2 2

E) – 2

2. Racionalice

A=

5 3

3

2 B) 2 2 C) 2 E) 2

9 + 2 20 + 13 - 2 40 4 +2 3 - 5 -2 6 B) –1

D) 2

C) 1 E) 2+1

3

9- 6+ 4

A) 3+ 2

B) 1

D) –1

5. Reduzca

C) 3 –  2 E) 2 –  3



  −1 1 1 1 1  T= + + + ... +  2 + 3 3+ 4 4+ 5 19 + 20 



indique el denominador.

3. Racionalice y reduzca

A=

1 2 1 + + 2+ 2 6+ 2 2 2+ 6

Álgebra

A) 18 B) 12 C) 2 D) 20

81

2do. Año

E) 10

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo Iv

la calculadora

La primera máquina sumadora la inventó el matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) en 1642.

Era una máquina calculadora que podía sumar y

restar. Tenía unas ruedas, cada una de ellas mascada en su borde con las cifras 1 a 10. Cuando la rueda de la derecha, que representaba las unidades, daba una vuelta completa, engranaba con la rueda situada a su izquierda, y que representaba las decenas, y se adelantaba una muesca. Si se introducían los números correctos no había posibilidad de error. Pascal patentó la versión definitiva en 1649, pero constituyó un fracaso comercial, era demasiado cara. El matemático alemán Gotfried Whilelm Leibniz (1646-1716) ideó una máquina calculadora en 1693, que superaba a la de Pascal. Mientras que esta última solo podía sumar y restar, la de Leibniz podía multiplicar por repetición automática de la suma, y dividir por repetición automática de la resta.

La primera calculadora electromecánica la inventó el estadounidense Herman Hollerith (1860-1929),

la misma funcionaba con tarjetas perforadas. Con el tiempo Hollerith fundó una compañía dedicada a construir este tipo de máquinas, esa empresa sería International Business Machines Corporation generalmente conocida como I.B.M.

El mayor invento fue el de la calculadora de bolsillo, lejos la

que más gente utiliza. En 1970, Texas Instruments sacó a la venta la primera calculadora fácilmente transportable. Empleando circuitos transistorizados, sólo pesaba poco más de un kilo y costaba 150 dólares. En los años subsiguientes, tanto el peso como el precio descendieron espectacularmente.

Álgebra

82

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV

Ecuación de primer grado ECUACIÓN

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

La palabra ecuación tiene su origen en la expresión latina aequalis, la que en esencia describe el acto de balancear dos cantidades.

Por su solución Compatible Es aquella que admite solución, y se clasifica en • Determinada: si presenta un número limitado de soluciones.

Las ecuaciones no aparecieron en las formas como actualmente las conocemos. Recordemos que nuestra notación recién fue creada por Descartes en el siglo XVII, ellas eran enunciadas en palabras como la ecuación encontrada en el papiro de Rhino, que se expresa así: aha, su total, su séptimo, dan 19, que podemos escribirla como x x+ =19 7

• Indeterminada: si presenta un número ilimitado de soluciones. Incompatible Es aquella que no admite solución; frecuentemente se le llama ecuación absurda.

Por la naturaleza de sus expresiones

La palabra aha significa montón, y fue usada para designar a la incógnita en un problema. La elección de esta palabra es un ejemplo del origen práctico del álgebra.

Ecuación algebraica racional Es aquella en donde la incógnita solo podrá tener como exponentes a números enteros, estas ecuaciones a su vez podrán ser enteras o fraccionarias.

FORMA GENERAL

Ejemplos 2x –1=x2 – 4;  x+3=2+

ax+b=0 término independiente

Ecuación algebraica irracional Es aquella en donde la incógnita se encuentra afectada de algún signo radical. Ejemplos

término lineal o de primer grado

Solución de la ecuación



Despejamos x de la ecuación, obtenemos la ecuación de primer grado.

está sumando

→ pasa restando



está restando

→ pasa sumando



está multiplicando → pasa dividiendo



está dividiendo



Son iguales condicionales que se verifican para

Podrán ser de primer grado (o lineales), de segundo grado (o cuadráticas), de tercer grado (o cúbicas), ..., etc.

CRITERIOS DE SOLUCIÓN Al resolver una ecuación siempre se debe tener en cuenta lo siguiente:

→ pasa multiplicando

• Si la ecuación presenta la incógnita en el denominador, se deberá cuidar que su solución no anule al denominador:

valores particulares asignados a sus incógnitas (variables).

Álgebra

3 x + 2 + x -1 = 2 (3 - x - 2 ); 2 x -1 = 3 2 x + 3 - x 2

Por su grado

Recuerda que para despejar la incógnita en toda ecuación, si

1 x

83

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

Por ejemplo, antes de resolver 2 +3=x – 2, se debe cumplir que x –1  0, es x –1 decir: x  1

Dividiendo

de algún signo radical de índice par, se deberá proceder así 2n



Se debe cumplir que F(x) ≥ 0  ∧  G(x) ≥ 0

7 10

3. Resuelva

• Si la ecuación presenta a la incógnita afectada



x=

F(x) =G(x)  n ∈ Z



1 1 +1= x – 3 x – 3



Resolución



Tener en cuenta que los denominadores son diferentes de cero

x – 3  0  x  3 (I)

Esto significa que F(x) y G(x) no deben ser

Reduciendo

negativos.



1+x – 3 1 = x – 3 x – 3

Problemas resueltos



1. Resuelva

1+x – 3=1



     x=3 (II)

7(18 – x) – 6(3 – 5x)= – (7x+9) – 3(2x+5) – 12



Resolución



Realizando la propiedad distributiva



Cancelando (x – 3)



De (I) y (II) se observa una contradicción.



Por lo tanto, la ecuación es incompatible.

4. Resuelva

126 – 7x – 18+30x= – 7x – 9 – 6x – 15 – 12

(x – 3)(x – 5)=5x(x – 5)

Por transposición de términos

–  7x+30x+7x+6x= – 9 –15 –12 –126+18

36x= –144

Dividiendo x= – 4



Resolución



Cancelando (x – 5) en ambos miembros, pero lo igualamos a cero para no perder soluciones.

x – 5=0  →  x=5

2. Resuelva

Entonces

x+2 x – 2 1 + = 3 2 4

x – 3=5x   – 3=4x 3 =x –  4 3 Las soluciones de la ecuación es x=5; x= –  4

Resolución Multiplicamos ambos miembros por el MCM de los denominadores (3; 2; 4)

MCM=12

 x + 2   x − 2   1 + 12 = 12    3   2   4 

5. Resuelva

(12)



x+ x+5 =7

 10x – 4=3



Resolución

     10x=7

x+5 =7 – x

4x+8+6x –12=3

Álgebra

84

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Elevando al cuadrado ambos miembros 2

2

x+5 =(7 – x)   →  x+5=49 –14x+x



Tomo IV Si x=11; entonces

2

11+ 11+5 =7

x2 – 15x+44 = 0 x

–11 = –11x

x

– 4 = – 4 x

11+4=7 (absurdo)

Si x=4 4+ 4+5 =7

Donde



x=11;  x=4

4+3=7 (cumple la ecuación)

Verificando en la ecuación original

x+ x+5 =7



Por lo tanto, la única solución es 4.

Problemaspropuestos 1. Resuelva



5(x – 2)+3x=2(3x+4)

D) 9

A) 9 B) 6 C) 7

6. Resuelva

D) 2



1 1 1 + = x 4(x – 9) 2(x – 9)

2. Resuelva



A) –18

3(x – 1) – 4(5 – x)=2(6+x)



D) – 9

A) 7 B) 8 C) –  6

7. Resuelva





D) – 4

E) –  3

E) – 2

3. Resuelva

A) –13

D) –  2



E) 3

4. Resuelva 2(x+1) 3(x – 1) 7x+1  –  = 5 10 10

E) –  2

2x – 3 +1=0



A) 2

B) 2; – 2



D) indeterminado

C) – 2 E) incompatible

9. Resuelva la ecuación

A) 1 B) 2 C) 3

(m –1)x2 – (m2+7m – 5)x+5m –  9=0;

E) 5

si

es

primer grado.

5. Resuelva

A) 1 B) 3 C) –  4 4 3 E) –  D) –  3 4

5 2 95 + = 2x 3x 2x2 Álgebra

C) 12 E) – 8

D) 2

8. Resuelva



E) –  6

x+1 x+2 x – 3 x+4 + = + x – 1 x – 2 x – 1 x – 2

A) 2 B) 7 C) 6

D) 4

B) 9

C) 12

A) 3 B) 1 C) –1

(x – 5)2=x(x – 8)+11



B) 15

85

2do. Año

de

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

10. Calcule el valor de x.

2

x – m x – n m +n  –  = n m mn

13. Calcule m · n, si la ecuación

2



mx+3 n = x+1 2 es compatible indeterminada.

2m2 mn m2+n2 A) B) C) m – n m+n mn 2n2 m2 E) D) m – n m – n



11. Resuelva

14. Si la ecuación en x



A) 12 B) 18 C) 72 D) 54

a  a b  b 1−  + 1−  = 1 b x a x



n2x+3n =2x+3 2 resulta absurda, indique n.



A) 2



D) hay 2 correctas



E) 45

A) a+b B) a – b C) a D) b

E) ab

B) – 2

C) 1 E) –1

12. Resuelva

n – ax n – bx + =2x b+c c+a

15. Resuelva

a+b+c n A) B) a+b+c C) n a+b+c abc D) (a+b+c)2 E) n

6+ 2+ x =3

A) 5 B) 8 C) 48 D) 49

E) 44

Tarea Domiciliaria

1. Calcule el valor de x



indique el valor de x – 2b.



A) 2a+b B) a+2b

8x+2(x+1)=7(x – 2)+3(x+1)+13 D) a – 2b

A) 0 B) 1 C) f D) R

C) a+3b E) 2a

E) N.A.

4. Calcule el valor de x

m(x – m) n(x – n) =x –  n m

si (x –1) es raíz de dicha ecuación, indique lo



A) 2n

correcto.

D) m+n

2. Sea la ecuación 3(x+a)=x+b –1

A) a=b B) a+b= –1

C) 3a=b+1

D) a=– b

E) 3a+b=0



a b = b – x a – x

A) a – 2b

2(a+x) 3(b+x) 6(a2 – 2b2)  –  = b a ab Álgebra

E) m – n

5. Resuelva

3. Luego de resolver la ecuación

B) 2m C) mn

B) 2a C) a – b

D) a+b 86

E) 1 2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le



Tomo IV

el termómetro

Las sustancias se dilatan con el calor y se contraen con el frío. Galileo

fue quien intentó por primera vez aprovechar tal hecho para observar los cambios de temperatura. En 1603, puso un tubo de aire caliente sobre una vasija de agua.

Cuando el aire en el tubo se enfrió hasta igualar la temperatura de la

habitación dejó subir el agua por el tubo, y de este modo consiguió Galileo su «termómetro» (del griego thermes y metron: medida del calor).

Cuando variaba la temperatura del aposento cambiaba también el nivel

de agua en el tubo. Si se caldeaba la habitación, el aire en el tubo se dilataba y empujaba el agua hacia abajo; si se la enfriaba, el aire se contraía y el nivel del agua ascendía.

La única dificultad fue que aquella vasija de agua donde se había insertado el tubo, estaba abierta

al aire libre y la presión de éste era variable. Ello producía ascensos y descensos de la superficie líquida, es decir, variaciones ajenas a la temperatura que alteraban los resultados.

Galileo Galilei

Álgebra

87

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

Planteo y resolución de ecuaciones de primer grado ECUACIÓN

Enunciado

Es una igualdad condicional que se verifica para

Aquí se dan las relaciones entre los datos y la o

las incógnitas.

valores particulares de sus incógnitas.



Resolver

Traducción de enunciados de la forma verbal a la

simbólica.

4x+3=x – 5, es una igualdad que solo se cumple para x=– 8/3; al valor de x se le llama solución

FORMA VERBAL

o raíz.

FORMA SIMBÓLICA

Un número aumentado

Forma general

x+7

en 7. Un número disminuido en Ax+B=0

x – 5

5. El triple de un número.

Donde

3x

La cuarta parte de un

A: Coeficiente de primer grado

x/4

número.

B: Término independiente

El doble de un número

2(x+9)

aumentado en 9. El doble de un número,

Solución de la ecuación

2x+9

aumentado en 9.

Despejando x de la ecuación, obtenemos

La suma de tres números

– B x= A

consecutivos es 18.

(x – 1)+(x)+(x+1)=18

El doble de la edad de Juan, aumentado en 5

Discusión de la solución

2x+5=15

años es 15.

I. Si B ∈R ∧ A  0 → Ecuación compatible determinada II. Si B=0 ∧ A=0 → Ecuación compatible indeterminada III. Si B  0 ∧ A=0 → Ecuación incompatible

FORMA SIMBÓLICA 3x

PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES

x2+7

Consiste en traducir un problema dado en forma

de enunciado a un lenguaje de incógnitas, es decir,

(x+7)2

elegir apropiadamente los símbolos desconocidos. 2x3

Variable

Símbolo con el que se representa el valor o

(2x)3

valores que deseamos calcular o conocer. Álgebra

88

FORMA VERBAL El triple de un número. El cuadrado de un número, aumentado en 7. El cuadrado de un número aumentado en 7. El doble, del cubo de un número. El cubo, del doble de un número.

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV

Problemas resueltos

Resolución Sea x la edad de Pilar Multiplico por 4: 4x Sumo 6: 4x+6 4x+6 Divido entre 2: 2 4x+6  – 4 Resto 4: 2 4x+6 Obteniendo 39:  – 4=39 2 4x+6    =43 2       4x=80

1. Halle tres números consecutivos, cuya suma sea igual a 81. Resolución Sean los números: x – 1 ; x ; x+1 Sumados x –1+x+x –1=81      3x=81      x=27 Entonces, los tres números son 26; 27 y 28.

2. Si le multiplico por 4 a la edad de Pilar, luego le sumo 6, lo divido entre 2 y por último le resto 4,

    x=20

obteniendo al final 39, ¿qué edad tiene Pilar?



Por lo tanto, Pilar tiene 20 años.

Problemaspropuestos 1. Tres números enteros consecutivos suman 204.

5. Halle tres números consecutivos, si se sabe que

Halle el mayor.

los 8/15 del intermedio sumados con la mitad del mayor, equivale al menor de ellos aumentado en 3. ¿Cuál es el menor de ellos?

A) 70 B) 68 C) 71 D) 72 E) 69

A) 42 B) 44 C) 46 D) 43 E) 41

2. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65, halle el número intermedio.

6. Halle dos números consecutivos, si sabemos que los 5/6 del menor al ser sumado con los 7/9 del mayor, nos da 33 de resultado. Dé el menor de ellos.

A) 69 B) 67 C) 60 D) 62 E) 65

A) 19 B) 21 C) 24 D) 26 E) 20

3. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercer. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto?

7. En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, halle el número de disparos acertados.

A) 190 B) 188 C) 176 D) 197 E) 181

4. Se tienen tres números consecutivos. Si dividimos

A) 76 B) 84 C) 96 D) 46 E) N.A.

el menor entre 17, el intermedio entre 7, y el mayor entre 9, observamos que la suma de los dos primeros cocientes excede en 3 al tercer cociente que obtuvimos. ¿Cuál es el menor de los consecutivos?

8. María pensó un número, lo multiplicó por 4, le sumó 6, lo dividió entre 2 y le restó 4. Si el resultado es 39, ¿en qué número pensó? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

A) 34 B) 32 C) 37 D) 35 E) 38 Álgebra

89

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

9. Se compra dos piezas de tela: una a x soles el

13. Juan va a las carreras de caballos con S/.2000 y

metro y otra que tiene x metros más, a y soles el metro. Si por cada pieza se pagó lo mismo, ¿cuántos metros se compraron en total?

cuando está perdiendo las dos terceras partes de lo que no perdía, apuesta la mitad de lo que aún le queda y consigue triplicar la cantidad apostada. ¿Cuánto dinero tiene ahora?

x(x+y) x+y y(x+y) B) C) A) y – x x – y x – y x(x+y) x(xy+1) E) D) x – y x+y

A) 4800 B) 2400 C) 1200 D) 600 E) N.A.

10. El doble de la suma de siete números enteros

14. Cuatro hermanos viajaron al extranjero, unos

consecutivos es 1246, ¿cuál es el doble del número mayor? A) 184 B) 92 D) 90

a Panamá y otros a Los Ángeles con un gasto total de pasajes de $2250. Si un pasaje a Panamá cuesta $500 y un pasaje a Los Ángeles cuesta $600, ¿cuántos hermanos viajaron a Panamá?

C) 34 E) 91

11. El primero de tres números excede al triple del segundo en 54 y al tercero en 12. Si la suma de los tres números es 649, ¿cuál es el segundo número?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) ninguno

15. Él tiene la edad que ella tenía cuando él tenía

A) 93 B) 97 C) 88 D) 102 E) 112

la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene, ¿cuántos años tiene ella?

12. La suma de tres números enteros consecutivos es 234. ¿Cuál es el duplo del número intermedio?

A) 26 B) 32 C) 40 D) 54 E) N.A.

A) 77 B) 78 C) 82 D) 156 E) 84

Tarea Domiciliaria



1. Si sumamos cinco números enteros consecutivos, obtenemos 2000 como resultado. ¿Cuál es el número mayor?

mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuplo del de mujeres y el de mujeres es el triple que el de los niños, ¿cuántos hombres hay?

2. Al sumar tres números enteros pares consecutivos,

A) 315 B) 415 C) 515 D) 615 E) 715

se obtiene 102. ¿Cuál es el cuádruple del número menor?

5. Un niño toma 20 bolas, unas rojas otras azules. Si

C) 32 E) 62

pierde 4 bolas de cada color, entonces el triple del número de bolas azules, equivaldría al número de bolas rojas. ¿Cuántas bolas rojas tenía?

3. Si las edades de Susana, Pilar y Luis están representadas por tres números impares consecutivos siendo la suma de estas 69, ¿cuál es la edad del menor? Álgebra

C) 27 años E) 17 años

4. A una iglesia asisten 399 personas entre hombres,

A) 400 B) 396 C) 417 D) 410 E) 402

A) 34 B) 128 D) 64

A) 21 años B) 23 años D) 19 años

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) N.A. 90

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

ra

u ct

Le

Tomo IV

el molino de viento

La rueda hidráulica dio lugar al molino harinero activado por energía hidráulica.

Pero surge a la par la necesidad de aprovechar

otra de las fuentes de la naturaleza, la energía eólica. El primer molino de viento fue ideado por Herón, y servía para mover los fuelles de un órgano.

Los persas, a partir del siglo VII, ya poseían

molinos para riego y molienda, formados por alas montadas sobre un palo vertical, cuyo extremo inferior movía una molienda.

Estos molinos se difundieron por los países árabes y fueron llevados a Europa por los cruzados.

Se cree que alrededor del siglo XI Inglaterra había adoptado este invento, y en los Países Bajos, un molino se supone que data del 1197. Entre los siglos XI y XIII se difundieron por Europa. El ejemplar que ha llegado a conocerse era de un molino, en que todo el cuerpo giraba alrededor de un eje vertical montado sobre troncos de encina, apoyados sobre una base de ladrillos.

Álgebra

91

2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

Ecuación de segundo grado ECUACIÓN CUADRÁTICA

Ejemplo 2

Se llama ecuación cuadrática de segundo grado o cuadrática con una incógnita a toda ecuación que puede ser reducida a la siguiente forma

Resuelve 4x2 – 3x+1=0 Donde

ax2+bx+c=0

a=4;  b= – 3;  c=1

Donde a, b, c ∈R   y  a  0

x1,2 =

2 −(−3) ± (−3) − 4 (4)(1) 2 ( 4)

Factorización por aspa simple



x1,2 =

3 ± 9 - 16 8

Resuelve



x1,2 =

3 ± -7 8

Métodos de solución



x2 – 2x – 24=0 x 6



x – 4 (x+6)(x – 4)=0

imaginaria –1=i

En la ecuación ax2+bx+c=0, se tiene

Aplicando la fórmula general

x1,2 =

Unidad

grado

x+6=0  →  x1= – 6  ó  x – 4=0  →  x2=4

En toda ecuación ax2+bx+c=0, se cumple

3 + 7i 8   3 − 7i x2 = 8 x1 =

Estudio de la ecuación de segundo

Se iguala cada factor a cero

x1,2

3 ± 7i = → 8

de

segundo

I. Si a  0 ∧ {b; c} ∈ R, → compatible determinada II. Si a=b ∧ b=0 ∧ c=0, → compatible indeterminada

grado,

III. Si a=0 ∧ b=0 ∧ c  0, → incompatible

-b ± b2 - 4 ac 2a

Discriminante (D)

Ejemplo 1

Llamamos discriminante a la expresión subradical

contenida en la fórmula general, es decir

Resuelve 2x2 – 5x+1=0

D=b2 – 4ac

Donde a=2;  b= – 5;  c=1

x1,2 =



x1,2 =



x1 =

Análisis del discriminante

(−5) ± (5)2 − 4 (2)(1)

2 (2) 5 ± 25 − 8 5 ± 17 → x1,2 = 4 4

5 + 17 5 − 17 → x2 = 4 4 Álgebra

92

D>0

Las raíces son reales y diferentes.

D=0

Las raíces son reales e iguales.

D 0, se cumplirá

Considerando

Fundamentales

se cumplirá

Suma de raíces





b x1+x2=–  a

æc ö æ bö ax2+bx+c=0  x 2 - ç- ÷ x + ç ÷ = 0 è aø èa ø x2 – Sx+P=0

Donde S: suma de raíces P: producto de raíces

Producto de raíces x1x2=

ECUACIONES EQUIVALENTES

c a



Diferencia de raíces

Si las ecuaciones de segundo grado tienen las

mismas raíces, se cumplirá

|x1 – x2|=



D ;  a > 0 a



a2x2+b1x+c1=0 (I)

a2x2+b2x+c2=0 (II) a1 b1 c1 = = a2 b2 c2

Suma de inversas 1 1 – b + = x1 x2 c

Problemas resueltos 1. Resuelva

Observación

Resolución

Raíces simétricas: Si x1 y x2 son raíces simétricas,



se cumplirá

x2+6x+5=0 x 5

x1=A;  x2= – A

b x1+x2=0   → – =0  →  a

x2+6x+5=0

x 1 Factorizando

b=0

(x+5)(x+1)=0 (x+5)=0  ∧ (x+1)=0

Raíces recíprocas: Si x1 y x2 son raíces recíprocas,

x1= – 5    x2= –1

se cumplirá



1 x1=A;  x2= A

c =1  →  x1+x2=1   →  a

2. Resuelva c=a



x2 – 9=0



Resolución

Factorizando

Raíz nula: En la ecuación cuadrática de la forma:

(x+3)(x – 3)=0

ax2+bx+c=0 se tendrá una raíz nula cuando x=0, es

(x+3)=0  ∧ (x – 3)=0 x1= – 3    x2=3

decir, se cumplirá: c=0

Álgebra

∴  C.S.={– 5; –1}

93

∴  C.S.={– 3; 3} 2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog 3. Halle

Tomo Iv

1 1 + , si x1 y x2 son las raíces de la x1 x2

ecuación x2+3x –1=0

Resolución



Nos piden





Resolución



Si las raíces son recíprocas, el producto de raíces es 1.

x1x2=1

1 1 + x1 x2

– (2m+7) =1 m – 3

–  2m – 7=m – 3

Operando x +x } suma de raíces 2 1 x2 x1 } producto de raíces

–  4=3m 4 –  =m 3

1 x2+ 3 x –  1 =0 ↓ ↓ ↓ a b c

5. Forme la ecuación cuadrática que tiene por raíces a 3 y – 7.

b b - (3) a =3 =- = c c (-1) a -

Resolución

Por x 2 -  S x+  P =0 suma de raíces

producto de raíces

Reemplazando

4. Halle m si las raíces de la ecuación son

x2 – (3 – 7)x+(3)(– 7)=0

recíprocas

x2+4x – 21=0

(m – 3)x2+(3m+9)x – (2m+7)=0

Problemaspropuestos 1. Resuelva

3. Resuelva 2x(x – 5)=x+3



x2+3x – 28=0



A) 4; – 7



D) – 4; – 3

B) – 7; – 4

11 + 145 11 - 145 ; A) 4 4 2 + 45 2 - 45 ; B) 2 4 3+ 5 3- 5 ; C) 2 2 7 + 35 7 - 35 ; D) 2 2 E) N.A.

C) – 2; – 7 E) N.A.

2. Resuelva

x2+2x=5



A) –1+ 6; –1 –  6



B) –1+ 2; –1–  2



C) –1+ 3; –1– 3



D) 2+ 3; 2 –  3

4. Resuelva

A) a; b

E) N.A. Álgebra

x2+ab=(a+b)x

94

B) –  a; –1

D) – a; – b 2do. Año

C) b; –1 E) a

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo IV

5. Si x1 y x2 son raíces de x(x – 6)= –3



obtenga t=(1+x1)(1+x2)

8 3 A) –  B) 3 8

3 C) –  8 8 E) 3

D) –  8 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11

10. Forme una ecuación de segundo grado, si tienen

E) 12

por raíces a 2 y 5.

6. ¿Cuánto vale k para que x2+3x+k=0 tenga raíces A) x2 – 7x+10=0

iguales?

B) x2+7x – 10=0 3 9 7 C) A) B) 2 4 4 1 D) 4

C) x2 – 7x – 10=0 D) x2+7x+10=0

6 E) 5

E) x2+10x+7=0

7. Forme una ecuación de segundo grado, sabiendo

11. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación

que sus raíces son



x2 – 3x+1=0, calcule el valor de



M = x1 x 22 + 1 + x 2 x12 + 1

B) x2 – 14x+45=0



A) 6

B) 19

C) 21

C) x2 – 14x+47=0

D) 23

E) 45



x1=7+ 2;  x2=7 –  2

(

)

(

)

A) x2 – 14x+49=0

D) x2+14x – 47=0

12. Halle m de modo que la ecuación

E) x2 – 14x – 47=0

8. Luego de resolver la siguiente ecuación



x2+mx2 – 15x+3mx – 24=0



tenga raíces simétricas.

(x+1)2+2x=3x(x+1)+5

A) 0 B) 3 C) 5

halle la suma de raíces.

D) –1

1 A) –  2

B) 1

1 D) 2

C) 2

13. ¿Qué relación deben cumplir a, b y c en E) – 2



ax2+bx+c=0, para una de las raíces sea el triple de la otra?

9. Si se tiene la ecuación x2+8 – 5x=5+3x; donde x1 y x2 son raíces de la ecuación. 1 1 Halle  R= + x1 x2 Álgebra

E) –  5

A) b=ac

B) 2b=6ac C) bn=16ac

D) b=16ac 95

E) N.A. 2do. Año

Institución Educativa Privada Prolog

Tomo Iv

14. Determine el valor de p en la ecuación

15. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación



x2 – px+36=0; si se cumple que

2x2 – 3x+5=0



1 1 5 + = x1 x2 12

Halle



x1 y x2: raíces de la ecuación



E=

A) 10 B) 15 C) 20



A) –1

D) 25

D) 0,3

E) 30

x12 x 22 + x1 + 1 x 2 + 1 B) – 5

C) – 0,2 E) 0,2

Tarea Domiciliaria

1. Indique una raíz de



A) 0; 3

2x2 – 5x – 1=0



C) 3; 4



D) 1; 4

5+ 17 A) 2

– 5+ 17 B) 4

E) 0; 6

4. Halle el valor de m, si las raíces de las ecuaciones

5 –  17 C) 4 – 5 –  17 D) 4

B) 0; 4

6x2 – 11x+m=0, son entre sí como 9 es a 2. 5+ 33 E) 4 A) 5

2. Calcule la suma y producto de las raíces de la



ecuación

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

2x2 – 4x+1=0



1 A) – 2y  2



C) – 2y – 



D) 2y – 2

5. Escriba una ecuación completa de segundo

1 B) 2y  2

grado, cuyo primer coeficiente sea la unidad,

1 2

siendo las otras dos las propias raíces de la ecuación. E) – 2y –1 A) x2+2x+1=0

3. Resuelva 3x – 1=

C) x2 – 2x+1=0

5x+2 x – 2

Álgebra

B) x2 – x+2=0

D) x2+x – 2=0

96

E) x2+x – 1=0

2do. Año