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1

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA

ESCUELA DE POST-GRADO DOCTORADO EN RECURSOS HIDRICOS

Curso: METODOS NUMERICOS Tema:

AGUAS SUBTERRANEAS (SOLUCION NUMERICA DE FLUJO SUBTERRANEO)

Docente: Dr. Abel Mejía Marcacuzco Alumno: Abelardo Manrique Díaz Salas

La Molina Diciembre de 2007

2 INDICE Pag. I. II.

III.

INTRODUCCION 1.1 Objetivos AGUA EN LAS ROCAS II.1 Hidrogeología II.2 Tipos de formaciones geológicas i. Acuíferos ii. Acuitardos iii. Acuicludos iv. Acuífugos II.3 Agua subterránea II.4 Tipos de acuíferos i. Acuífero libre, freático o no confinado ii. Acuífero confinado, cautivo o a presión iii. Acuífero semiconfinado iv. Acuífero semilibre II.5 Energía del agua en los acuíferos i. Potencial o carga total ( Φ ) o energía total 10 ii. Energía potencial iii. Energía de presión hidrostática iv. Energía cinética v. Trabajo realizado por unidad de peso II.6 Parámetros que definen a una roca como acuífero i. Capacidad de una roca para almacenar agua a. Coeficiente de almacenamiento en acuíferos libres a.1 Porosidad eficaz de la roca a.2 Porosidad intergranular a.3 Porosidad por fisuración a.4 Porosidad por disolución b. Coeficiente de almacenamiento en acuíferos confinados o semiconfinados ii. Movimiento del agua a través de las rocas a) Ley de Darcy b) Gradiente hidráulico ECUACION GENERAL DE FLUJO SUBTERRANEO Y SU SOLUCION III.1 Ecuación general del flujo en régimen transitorio y en régimen permanente III.2 Solución de la ecuación general de flujo subterráneo i. Condiciones de contorno a) Potencial impuesto b) Flujo impuesto c) Flujo condicionado por el valor del potencial hidráulico

5 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 10

10 11 11 11 12 12 13 3 14 14 14 15 15 16 17 17 19 19 20 20 20

3 ii.

IV.

V. VI. VII.

Método de solución a) Método gráfico b) Método analítico c) Método numérico c.1 Método de elementos finitos c.2 Método de diferencias finitas c.2.1 Ecuación de Laplace en diferencias 1) Diferencias finitas 23 2) Derivadas de orden superior 25 APLICACIONES IV.1 Aplicaciones de MATLAB IV.2 Resultados IV.3 Obtención de las curvas de nivel freático CONCLUSIONES RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFIA

20 20 20 21 22 23 23 27 28 29 29 31 32 33

RELACION DE FIGURAS N°

DESCRIPCION

2.1

DISTINTOS TIPOS DE ACUIFEROS

2.2

TIPOS DE POROSIDAD EN LOS ACUIFEROS (A) POROSIDAD

PAG 9

POR DISOLUCION, (B) PORODISAD INTERGRANULAR. (C) POROSIDAD POR FISURACION. 2.3

13

(A) POROSIDAD ALTA EN MEDIO INTERGRANULAR HOMOGENEO. (B) POROSIDAD BAJA POR HETEROGENEIDAD GRANULOMETRICA.

14

2.4

ESQUEMA DE EXPERIMENTO DE DARCY.

3,1

BALANCE DE MASA DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DEL ACUIFERO

17

3.2

INTERPRETACION GRAFICA DE LAS DIFERENCIAS

24

3.3

MALLA USADA PARA LA SOLUCION DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE LA ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL ELIPTICA. ECUACION DE LAPLACE.

4.1 4.2

26

CROQUIS DE UN ACUIFERO CON SUS NIVELES FREATICOS EN LAS FRONTERAS.

27

DISTRIBUCION DE LOS NIVELES DE LA NAPA FREATICA DE UN ACUIFERO

30

4 RELACION DE PLANOS N° 1

DESCRIPCION

PAG

RED DE FLUJO

I

INTRODUCCION

La mayor parte del agua que existe en la Naturaleza, el 97.5 %, es agua salada almacenada en los océanos y en algunos lagos. Sólo el 2.5 % de agua restante es agua dulce que se encuentra almacenada en las rocas, en casquetes polares y glaciares, ríos, lagos, biomasa y atmósfera en forma de vapor. De estos 2.5 % de agua dulce el 30.1 % constituyen Las aguas subterráneas dulces y el 68.7%

son aguas de los

glaciares y de los casquetes polares. Dado esta realidad por su importancia en magnitud es necesario evaluar las aguas subterráneas. El presente trabajo trata sobre aguas subterráneas, se ha dado énfasis en cuanto a los criterios de evaluación que permitan interpretar el comportamiento de las aguas subterráneas. El comportamiento del flujo subterráneo matemáticamente se describe mediante la ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. La ecuación de Laplace que un caso especial de ecuaciones diferenciales parciales se pueden resolver mediante tres métodos: método gráfico, método analítico y método numérico. Como una aplicación del curso de Métodos Numéricos en el presente trabajo se ha empleado el método numérico para solucionar la ecuación de LAPLACE y como la solución es compleja porque se trabaja con varias ecuaciones con varias incógnitas se

5 ha empleado el software MATLAB para solucionar dichas ecuaciones. La aplicación de MATLAB a un ejemplo ha dado buenos resultados. Para graficar las niveles freáticos se ha utilizado AUTOCADLAND. El trabajo se ha organizado en siete capítulos. En capítulo I se trata sobre la importancia de aguas subterráneas y de los objetivos, en el capítulo II se describen los acuíferos y sus parámetros. En el capítulo III se realiza la interpretación matemática del flujo subterráneo. En el capítulo IV se aplica a un ejemplo la solución de la ecuación de LAPLACE.. En los capítulos V y VI se indican las conclusiones y recomendaciones . Finalmente en el capítulo VIII se presenta la bibliografía. El trabajo es una aplicación del curso de Métodos Numéricos dictado en la Escuela de Post Grado de la Universidad Nacional Agraria La Molina, en el Programa de Doctorado en Recursos Hídricos.

1.1

Objetivos 

Evaluar el comportamiento del flujo subterráneo mediante métodos



numéricos. Realizar mapas de nivel freático.

6

II AGUA EN LAS ROCAS La mayor parte del agua que existe en la Naturaleza, el 97.5 %, es agua salada almacenada en los océanos y en algunos lagos. Sólo el 2.5 % de agua restante es agua dulce que se encuentra almacenada en las rocas, en casquetes polares y glaciares, ríos, lagos, biomasa y atmósfera en forma de vapor. El agua dulce en la hidrósfera se reparte de la siguiente manera:  Glaciares y casquetes polares : 68.7 %  Aguas subterráneas dulces : 30.1 %  Lagos de agua dulce : 0.26 %  Ríos : 0.006 %  Biomasa : 0.003 %  Vapor en la atmósfera : 0.04 %  Ciénagas y suelo : 0.891 % Dado la importancia en magnitud y calidad del agua subterránea en el presente trabajo se evalúa el agua subterránea. 2.1 Hidrogeología Es parte de la geología que estudia el agua del subsuelo y especialmente el agua subterránea o escorrentía subterránea. 2.2 Tipos de formaciones geológicas En relación a las aguas subterráneas, las unidades geológicas se pueden clasificar en:

7

i. Acuíferos Son rocas que almacenan y transmitan agua. La palabra acuífero proviene del altín (aqua=agua y ferre=llevar). El agua almacenada en estas unidades geológicas es conocida con el nombre de agua subterránea. Dentro de estas formaciones se pueden encontrar materiales muy variados como gravas del río, calizas muy agrietadas, areniscas porosas poco cementadas, arenas de playa, etc. ii. Acuitardos Son formaciones geológicas semipermeables que, conteniendo apreciables cantidades de agua la transmiten lentamente, por lo que no son aptos para el emplazamiento de captaciones subterráneas. Es el caso de depósitos de limos y arcillas arenosas, areniscas, rocas compactas con alteración

y/o fracturaciones

moderadas. iii. Acuicludos Son formaciones geológicas que conteniendo agua en su interior incluso hasta la saturación, no la transmite y por lo tanto no es posible su explotación. Se pueden citar como ejemplos los depósitos de arcillas de cualquier origen, que a pesar de contener enormes cantidades de agua, no la drenan por gravedad ni la dejan pasar. iv. Acuífugos Son rocas que ni almacenan ni trasmiten agua. Es el caso de macizos graníticos y de las rocas plutónicas. 2.3

Agua subterránea

Es el agua de los acuíferos. Estas agua surgen principalmente a partir de la agua infiltrada desde la superficie del terreno que alcanza las grietas y orificios del subsuelo, donde queda almacenada o bien continua fluyendo. 2.4 Tipos de acuíferos Atendiendo al grado de confinamiento, es decir a la presión hidrostática del agua encerrada en los mismos, se distinguen a los siguientes tipos: i.

Acuífero libre, freático o no confinado

Es aquel acuífero que presenta una superficie libre de agua sujeta a la presión atmosférica. Se supone que el peso de la roca no ejerce ninguna presión sobre el agua

8 que en ella se almacena, es decir que el esqueleto del acuífero es una estructura independiente y estable (si se vacía de agua, las rocas no se desmoronan). ii. Acuífero confinado, cautivo o a presión Es aquel acuífero que está asilado de la atmósfera por unidades geológicas impermeables. El acuífero confinado está siempre saturado de agua, y en todos sus puntos el agua se encuentra a una presión mayor que la atmosférica. El agua se encuentra confinada a dos estratos impermeables. iii. Acuífero semiconfinado Son una variante de los acuíferos confinados y se caracterizan porque están limitados en su parte superior por una capa semipermeable (acuitardo) y en su parte inferior por una impermeable (acuífugo o acuicierre) o también por otro acuitardo. En este tipo de acuíferos puede ignorarse la componente horizontal del flujo. iv.

Acuífero semilibre

En estas formaciones geológicas la capa confinante superior es un estrato semipermeable o acuitardo, de características tales que la componente horizontal del flujo no puede ignorarse. Es el caso de acuíferos formados por granos gruesos, limitado en la parte inferior por una formación impermeable y en la parte superior por una formación de granos finos. En la figura N°2.1, se muestra los distintos tipos de acuíferos.

9

FIGURA N° 2.1

2.5

DISTINTOS TIPOS DE ACUIFEROS

Energía del agua en los acuíferos En el suelo el agua fluye a través de poros interconectados que resultan de la

disposición de las partículas individuales y de la agregación de las mismas. Pero para que se produzca el movimiento se requiere de energía (diferencia de potencial) y capacidad del medio poroso para transmitir agua. La altura que alcanza el agua subterránea en el interior de un sondeo ranurado exclusivamente en un punto de un acuífero, es consecuencia directa de la energía que tiene el agua en ese punto. A esta energía se le denomina potencial hidráulico en este punto. Por tanto en una altura de agua en un sondeo, se mide en unidades de longitud. A efectos de poder establecer relaciones entre los niveles piezométricos o freáticos en diferentes puntos de un acuífero sedan todos ellos según una referencia común. Esta referencia suele ser la misma que se toma origen para la mediad de cotas topográficas. i. Potencial o carga total(Ф) o energía total Denominado también como carga hidráulica, carga piezométrica o carga total.

10 El trabajo o energía en general, viene representado por el producto de una fuerza por una distancia en el sentido del movimiento, la expresión matemática esta dada por: E=f ∗d (2.1) Donde: E=¿ energía o trabajo f =¿

fuerza

d=¿

distancia en la dirección del movimiento

La energía total está por la suma de las tres energías: Energía potencial, energía de presión y la energía cinética ii. Energía potencial Está dada por la siguiente expresión: E1=W × h (2.2) Donde: W =¿

peso

h=¿ altura

iii. Energía de presión hidrostática Está dada por la siguiente expresión: F E2=F∗h= × Ah A (2.3) Donde: p=¿ presión V =¿ volumen ¿ Ah

iv. Energía cinética Esta dad por la siguiente expresión: 1 E 3= m v 2 2 Donde:

(2.4)

11 m=¿

masa p=¿

velocidad

Entonces la energía total o el potencial hidráulico es : Et =E1 + E2 + E3 (2.5)

1 2 Et =wh+ pV + m v 2 (2.6) v. Trabajo realizado por unidad de peso Cuando la carga unitaria se toma como la unidad de peso se tienen: ∅w =

Et w

(2.7)

Expresando cada término de (2.6) en función del peso, se tiene: De:

γ=

pV = p

De:

w w ⟶V= V λ

entonces:

w γ

(2.8)

w=mg ⟶m=

w g

entonces:

1 w 2 2 mv = v 2 2g

(2.9)

Reemplazando (2.8) y (2.9) en (2.6) se tiene: Et =wh+ p

w w 2 + v γ 2g

(2.10)

Por tanto, la energía por unidad de peso del agua se expresa por: ∅w =

2 Et p v =h+ + w γ 2g

(2.11)

La ecuación (2.11) es denominada como ecuación de Bernoulli que se expresa por:

12 2

p v ϕ=Z+ + λ 2g

(2.12)

Donde: Z =¿ carga o energía de posición por unidad de peso p =¿ carga o energía de presión por unidad de peso γ 2

v 2 g = carga o energía cinética por unidad de peso Considerando en condiciones normales, la velocidad del flujo subterráneo es baja, por tanto la componente cinética de la energía que es proporcional al cuadrado de la velocidad puede despreciarse, quedando la ecuación (2.12) de la siguiente forma: ϕ=Z+

2.6

p λ

(2.13)

Parámetros que definen a una roca como acuífero De acuerdo a la definición de acuífero son dos los parámetros que permiten

considerar a los acuíferos como verdaderos embalses subterráneos: su capacidad de almacenar agua y su capacidad para permitir que el agua circule en su inferior. i. Capacidad de una roca para almacenar agua La capacidad para almacenar agua se mide a partir del coeficiente de almacenamiento S, que se define como el volumen de agua que proporciona una columna de acuífero de base unitaria y altura el espesor saturado del acuífero al descender en una unidad el potencial hidráulico. a. Coeficiente de almacenamiento en los acuíferos libres El volumen de agua que puede obtenerse de acuerdo con la definición del coeficiente de almacenamiento se corresponde con el agua almacenada en los poros interconectados del medio y que puede ser drenada por gravedad.

a.1

Porosidad eficaz de la roca Es el volumen de poros interconectados con relación al volumen de la roca,

expresado en porcentaje. La porosidad eficaz es diferente a la porosidad total que se

13 refiere al número total de huecos, interconectados entre si o no. La porosidad eficaz es menor que la porosidad total.

FIGURA N° 2.2 TIPOS DE POROSIDAD EN LOS ACUIFEROS (A) POROSIDAD POR DISOLUCION. (B) POROSIDAD INTERGRANULAR. (C) POROSIDAD POR FISURACION.

a.2

Porosidad intergranular Este tipo de porosidad es típico de las rocas detríticas no consolidadas. En ellas

los poros constituyen una red intrincada de canales de pequeño diámetro por los que circula el agua subterránea. Generalmente esta red de canales está distribuida por todo el volumen de la roca (ver la figura N° 2.2). La heterogeneidad de tamaño de los clastos tiene un efecto directo sobre la porosidad (ver figura 2.3) Ejemplos de acuíferos con este tipo de porosidad son:  Depósitos fluviales  Las fosas tectónicas rellenas de materiales no consolidados  Depósitos eólicos  Las llanuras o planas costeras  Los depósitos glaciares

14

FIGURA N° 2.3 (A) POROSIDAD ALTA EN MEDIO INTERGRANULAR HOMOGENEO. (B) POROSIDAD BAJA POR HETEROGENEIDAD GRANULOMETRICA

a.3

Porosidad por fisuración Este tipo de porosidad suele ser el característico de las rocas sedimentarias

consolidadas plutónicas y metamórficas. Como consecuencia de una serie de procesos tectónicos las rocas presentan fisuras. Las fisuras no suelen estar distribuidas homogéneamente en todo el volumen de la roca en donde generalmente se encuentran zonas fisuradas junto a zonas en las que la ausencia de fisuras es total (ver figura 2.2) a.4

Porosidad por disolución Es la porosidad de los medios kársticos en los que a partir de pequeñas fisuras y

planos de estratificación el agua va disolviendo la roca y acaban por formarse verdaderos redes de drenaje tridimensionales por las que pueden circular auténticos ríos de agua subterránea. b.

Coeficiente de almacenamiento en acuíferos confinados o

semiconfinados En caso de acuífero confinado o semiconfinado el volumen de agua que puede liberarse, según la definición de este parámetro, está en relación con los fenómenos elásticos que se producen en el sistema como consecuencia de la variación de la presión intersticial al disminuir el potencial hidráulico .Este no supone el vaciado físico del acuífero. Su orden de magnitud está muy condicionado por los valores de los coeficientes de compresibilidad del agua y del acuífero. En la generalidad de los casos suele estar entre expresión matemática es:

−3

10

y

−5

10

. La

15 S=γb(m e ∙ β +α ) (2.14) Donde: S=¿ coeficiente de almacenamiento (adimensional) γ =¿ Peso específico del agua me =¿

Porosidad eficaz (adimensional)

β=¿

módulo de compresibilidad del agua

α =¿

módulo de compresibilidad del acuífero

b=¿ Espesor saturado del acuífero

ii. Movimiento del agua a través de las rocas El movimiento del agua a través de medios porosos en la zona saturada se explica mediante la ley empírica de Darcy. a. Ley de Darcy Darcy realizó un experimento como lo mostrado en la siguiente figura. El experimento lo realizó con un suelo arenoso, cuando diseñaba los filtros de arena para el agua potable de la ciudad de Dijon. Darcy llegó a la conclusión de que la cantidad de agua que fluye a través de un medio poroso (muestra de arena) por unidad de tiempo, en otras palabras el caudal o la descarga, es proporcional a la sección transversal A, a la diferencia entre las cargas del fluido la muestra, es decir la pérdida de carga

Δϕ

en las superficies de salida y entrada de

Δ ϕ=Φ1−Φ 2

e inversamente proporcional a

la longitud de la muestra de la muestra de arena o trayectoria del flujo. Esta proporcionalidad matemáticamente es expresada por: Φ −Φ 2 Q=KA 1 L ó Q=KA

Δϕ L

(2.16) Donde: Q=¿ volumen de agua que atraviesa la muestra por unidad de tiempo A=¿ área de la sección transversal

(2.15)

16 Φ1 y Φ 2

= potenciales en los puntos 1 y 2 respectivamente

Δ ϕ=¿ pérdida de carga K=¿ Constante de proporcionalidad llamada conductibilidad hidráulica que depende de la naturaleza de la arena y del fluido (agua)

FIGURA N° 2.4

Esquema del experimento de Darcy.

b. Gradiente hidráulico La gradiente hidráulica se define como el cociente entre la diferencia de carga entre dos puntos y la distancia medida a lo largo de la línea de corriente del flujo entre esos dos puntos. La expresión matemática es: Φ −Φ 2 Δ ϕ i= 1 = L L

(2.17)

Aplicando el concepto de gradiente hidráulica , las ecuaciones de la ley de Darcy, se puede expresar como: Q=KAi

(2.18)

v =Ki (2.19)

III

ECUACION GENERAL DE FLUJO SUBTERRANEO Y SU SOLUCION

17 Mediante la ley de Darcy y utilizando la ley de la conservación de masa a un elemento del acuífero, se deduce la ecuación general de flujo subterráneo, tanto para régimen permanente (potencial constante a lo largo del tiempo) como para régimen transitorio ( potencial variable a lo largo del tiempo). 3.1

Ecuación general del flujo en régimen transitorio y en régimen permanente Considerando un pequeño elemento de un acuífero de dimensiones

dx , dy y dz

orientado en el espacio según unos ejes cartesianos X,Y,Z (ver la siguiente figura) y aplicando el principio de conservación de masa (entradas de masa de agua menos salidas es igual a la variación de masa en el almacenamiento del elemento).

FIGURA N° 3.1

BALANCE DE MASA EN UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE ACUIFERO

La masa de agua que entre en el elemento de acuífero en un instante

dt

según la dirección del eje X se puede expresar como el volumen de agua que entra en ese instante (sección por velocidad y por tiempo) multiplicando por la densidad del agua.

mx =dy ⋅dz ⋅⃗ v x ⋅ ρ ∙ dt

.

Donde: dy ∙dz =¿ sección perpendicular al flujo vx ⃗ = velocidad del flujo en la dirección del eje X ρ=¿

densidad del agua

dt =¿

intervalo de tiempo considerado

(3.1)

18 En eses mismo instante por la cara opuesta, separada de la anterior por sale el volumen de dada por la siguiente ecuación: mx+ dx=dy ⋅ dz ⋅⃗ v x+dx ⋅ ρ∙ dt .

dx ,

(3.2)

La diferencia entra la masa que entra por una cara del elemento y la que sale por la cara opuesta a de ser igual, para que se cumpla el principio de la conservación de masa, a la variación en el almacenamiento en esa dirección. La diferencia de calcula aplicando la fórmula de Taylor. Despreciando los términos superiores a la primera derivada queda: Δ M x =Δ V x ⋅ ρ=

v ∂⃗ v 1 ∂⃗ ⋅ x ⋅dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ ρ ⋅dt = x ⋅ dx ⋅dy ⋅dz ⋅ ρ 1! ∂x ∂x

Considerando un volumen unitario eliminando

(3.3)

dx ⋅ dy ⋅ dz=1 , un tiempo unitario dt=1, y

ρ

de ambos miembros de la ecuación se tiene: ∂⃗ v Δ V x= x ∂X

(3.4) Teniendo en cuenta la ley de Darcy: ∂h v x =K ⃗ ∂X

(3.5)

Considerando medio homogéneo e isotrópico se tiene: ∂h ∂ K⋅ ∂X ∂2 h Δ V X= =K 2 ∂X ∂X

(

)

(3.6) Realizando un razonamiento semejante para las otras dos direcciones del espacio se tiene: Δ V Y =K

∂2 h ∂Y 2

(3.7) ∂2h ΔV Z =K ∂ Z2 (3.8) Sumando las tres expresiones queda:

19

ΔV =K

(

2

2

2

∂ h ∂h ∂ h + 2+ 2 2 ∂ X ∂Y ∂Z

)

(3.9) La ecuación (3.9) representa un balance de flujos de agua en la unidad de tiempo en el elemento unitario de acuífero que se ha considerado. El término de la derecha representa las entradas menos las salidas de agua y el término de la izquierda representa la variación del volumen almacenado, que puede expresarse como: ∂h Δ V =S ¿ ∂t (3.9) Donde: S ¿ =¿ coeficiente de almacenamiento específico, por tratarse de un elemento de acuífero de espesor unitario. Al ser el área de base del elemento de acuífero también la unidad , el segundo miembro de la ecuación (3.9) expresa el volumen de agua que gana o pierda el elemento del acuífero considerando según varíe el potencial hidráulico a lo largo del tiempo. Por tanto se puede escribir la siguiente ecuación: ∂2 h ∂2 h ∂2 h ∂h K + 2 + 2 =S ¿ 2 ∂t ∂ X ∂Y ∂ Z

(

)

(3.10) Que es la ecuación general del flujo en régimen transitorio o no estacionario (h varía a lo largo del tiempo) en medio homogéneo e isotrópico. Si el régimen es permanente o estacionario, h es constante a lo largo del tiempo. Por lo tanto se anula el segundo miembro de la ecuación (3.10), quedando la ecuación general del flujo dada por: 2 2 2 ∂h ∂ h ∂ h + 2 + 2 =0 2 ∂ X ∂Y ∂Z (3.11) 3.2

Solución de la ecuación general del flujo subterráneo La ecuación general del flujo subterráneo es una ecuación diferencial en

derivadas parciales de segundo orden que admite infinitas soluciones. La solución de un problema concreto a partir de la ecuación general del flujo subterráneo exige la definición de las características particulares del sistema del flujo subterráneo, conocidas como las condiciones de contorno, incluyendo su geometría

20 (forma y dimensiones) y su relación con las unidades hidrogeológicas y otros elementos adyacentes. i.

Condiciones de contorno Existen tres tipos de condiciones de contorno: potencial impuesto, flujo impuesto

y flujo condicionado por el valor del potencial hidráulico. a) Potencial impuesto Es la condición de contorno de primera clase o de Dirichilet. En este tipo de límite el potencial se conserva constante a lo largo del tiempo. Si el potencial es el mismo en todos los puntos del contorno , constituye una línea, una superficie equipotencial. Suele estar asociado a contactos entre el acuífero y masas de agua de importancia: lagos, mares, ríos caudalosos etc. b) Flujo impuesto Es la condición de contorno de segunda clase o de Neumann. Existe un flujo de agua definido que sale del acuífero o penetra en él. Este flujo puede ser nulo en el caso de contacto entre el acuífero y una unidad impermeable. Las divisorias de aguas también se ajustan a este tipo de condición de contorno. c) Flujo condicionado por el valor del potencial hidráulico Es la condición de contorno de tercera clase o de Cauchy. Se aplica a las entradas y salidas de agua del acuífero a través de capas semiconfinadas que lo separan de otra fuente de recarga externa. El flujo que sale del acuífero o penetra en él depende de la diferencia de potencial entre el acuífero y la fuente externa de la conductividad hidráulica vertical del acuitardo o capa semiconfinante, de su extensión superficial y de su espesor. Una vez establecidas las correspondientes condiciones de contorno, la solución de la ecuación general del flujo es única y corresponde al problema que se ha planteado. ii.

Métodos de solución La solución de la ecuación general del flujo puede abordarse de tres maneras

diferentes: gráficamente, analíticamente y numéricamente. a)

Método gráfico

21 La solución gráfica de la ecuación general del flujo subterráneo sólo es aplicable en régimen permanente. Es conocida con el nombre de método de las redes de flujo. Este método no se describe en forma detallada porque no es tema del presente trabajo. b) Método analítico La solución analítica de la ecuación general del flujo es uno de los temas a los que se presta mayor atención en las investigaciones hidrogeológicas a partir del trabajo de Darcy. Establecida la ecuación general del flujo subterráneo para régimen estacionario y no estacionario, los primeros trabajos de investigación en la determinación de las soluciones particulares están relacionados con el movimiento del agua subterránea hacia los pozos, captaciones de aguas subterráneas. Las ecuaciones usadas para son: 1) Ecuación de Thiem para acuífero confinado en régimen permanente 2) Ecuación de De Glee para acuífero semiconfinado en régimen permanente 3) Ecuación de Dupuit para acuífero libre en régimen permanente 4) Ecuación de Theis para acuífero confinado en régimen transitorio 5) Ecuación de Hantush para acuífero semiconfinado en régimen transitorio 6) Ecuación de Neuman para acuífero libre en régimen transitorio Los métodos analíticos no se describen a detalle porque no es materia del presente trabajo.

c)

Método numérico

22 La posibilidad de resolver la ecuación diferencial del flujo subterráneo mediante métodos numéricos con la ayuda de computadoras para abordar la solución de problemas complejos impulsó el desarrollo de los modelos digitales de flujo. Permiten la simulación del flujo subterráneo en una, dos y tres dimensiones, en medios homogéneos, heterogéneos, isotrópicos y anisotrópicos, y en la práctica totalidad de las circunstancias que pueden que pueden concurrir sobre un sistema hidrogeológico, siempre que sea posible asumir la validez de la ley de Darcy. Son herramientas imprescindibles en la planificación hídrica puesto que permiten formular hipótesis de actuación sobre el medio hidrogeológico y predecir el impacto de de estas actuaciones. También lo son para la definición de perímetros de protección, para una explotación racional de los recursos hídricos subterráneos y para los estudios de recuperación de acuíferos y zonas húmedas entre otros. El fundamento de los modelos digitales de flujo es sustituir el sistema hidrogeológico como medio físico continuo, representado por la ecuación general del flujo y sus correspondientes condiciones de contorno, por otro medio aproximado a él constituido por un número,

n , finito de elementos discretos o celdas. A este proceso

se le llama discretización. La ecuación general del flujo, cuyo sentido físico es un balance de flujos en un dominio continuo para un tiempo determinado, se sustituye por un sistema de ecuaciones con

n

n incógnitas, una para cada uno de los elementos o celdas definidos,

que se resuelve para un intervalo de tiempo determinado. Cuanto mayor sea el grado de discretización, más aproximada será la solución a la exacta, pero también será el tiempo de cálculo y las necesidades de la memoria de la computadora. El intervalo de tiempo, o tiempo de simulación, puede discretizarse también en varios pasos de tiempo, iguales o diferentes entre sí. En este caso la distribución del potencial hidráulico calculada para un paso de tiempo determinado se utiliza como inicial para el paso siguiente .. Si se solicita al modelo que proporcione resultados (potenciales hidráulicos) al final de cada paso de tiempo, será posible analizar cuál ha sido la evolución de los potenciales hidráulicos a lo largo del tiempo de simulación. La elaboración de un modelo digital exige definir la zona a modelar y sus condiciones de contorno de acuerdo con los objetivos del estudio. También exige

23 conocer la distribución de parámetros hidrogeológicos, recarga y acciones sobre el sistema para cada uno de los pasos de tiempo que constituyen el tiempo de simulación. La solución de la ecuación general del flujo mediante métodos numéricos puede abordarse por varios métodos. Los más conocidos son el método de los elementos finitos y el da las diferencias finitas. De los dos métodos considerados se va ver con más detalle el método de diferencias finitas porque es el método más adaptado para flujos subterráneos. c.1

Método de elementos finitos En el presente trabajo el método de elementos finitos se explica sólo como una

referencia de los métodos numéricos porque hay que considerar que se trata de un método matemático complejo, que estrictamente sólo es conservativo con respecto a la masa si se considera el sistema simulado globalmente y que existe muy poco software disponible a nivel de hidrogeólogo usuario. Una vez aproximado el medio físico continuo mediante un número finito de puntos o nudos, se procede a unir cada uno de ellos con sus adyacentes, resultando la discretización del modelo conceptual en una serie de elementos finitos de tamaño y forma variables. Generalmente se utiliza la forma triangular. Dentro de cada elemento el potencial hidráulico

h¿ , en cualquiera de sus

puntos, se obtiene por interpolación a partir del potencial

hi

en los nudos que

constituyen los vértices, utilizando una serie de funciones base que ponderan la influencia del potencial de cada nudo sobre el punto considerado en el interior de cada elemento, la ecuación matemática es: n

h¿ =∑ Φ i hi i=1

Donde: h¿ =¿ potencial hidráulico en un punto del elemento considerado hi=¿

potencial hidráulico en el nudo i

n=¿ número de vértices (nudos) de ese elemento Φi =¿ función de interpolación correspondiente al nudo i.

c.2

Método de diferencias finitas

(3.12)

24 Es un método sencillo e intuitivo puesto que en esencia está basado en la realización de un balance de caudales en cada una de las celdas en las que se ha discretizado el sistema. Debido a esta es conservativo en cualquier zona del sistema. Es un método que exige una distribución regular de nudos con celdas asociadas a ellos cuadrados o rectangulares. Es posible refinar la malla, pero afectando todas las filas y columnas que intervienen en el refinamiento, en toda su extensión. c.2.1 Ecuación de la Laplace en diferencias 1) Diferencias finitas Las deferencias finitas es una aproximación de derivadas parciales de una ecuación diferencial a través de fórmulas de diferencias, que satisfaga esa ecuación de diferencias en puntos de una región. Por definición la derivada de una función por:

u ( x ) en un punto

xi (¿) ¿ u ( (x i+ h) )−u ¿ ¿ lim ¿ ¿ du =❑¿h → 0 dx x=x

( )

x=x i

(3.13)

i

La ecuación (2.13) en forma aproximada se puede tomar como: u ( x i +h ) −u ( x i ) du = dx x=x h

( )

esta dada

(3.14)

i

Donde: h=¿ intervalo de paso (incremento) La ecuación (3.14) es llamada diferencia progresiva, dado que en el cálculo aparecen los valores de u en los puntos

x=x i

y

(( xi +h) ) . Los cuales se pueden

observar en la siguiente figura. En forma análoga, podemos definir una aproximación de diferencia regresiva dada de la siguiente forma: u ( x i ) −u ( xi +h ) du = dx x=x h

( )

i

(3.15)

Un esquema de diferencia central está dado por la siguiente ecuación:

25 du dx

( )

= x=x i

FIGURA N° 3.2

u ( x i +h ) −u ( x i−h ) 2h

(3.16)

INTERPRETACION GRAFICA DE LAS DIFERENCIAS.

Una forma alternativa de obtener fórmulas de diferencias aproximadas es a través de las series de Taylor truncadas. De esta manera es posible estimar el error cometido en cada tipo de aproximación. u en

La expresión de la serie de Taylor del valor de u en

x=x i

en el punto

esta dada por: h3 d 3 u 6 d x3

x= x i

Que puede ser expresada de otra forma: u ( x i +h ) −u ( x i ) h2 d2 u du h3 d 3 u = − − dx x=x h 2 d x 2 x=x 6 d x 3

x= x i

u ( x i+ h )=u ( x i ) +h

( )

( x=x i +h )

du dx

( )

x= x i

h2 d 2 u 2 d x2

( )

( dudx )

= x=x i

+

x= xi

( )

i

Teniendo

+

u ( x i +h ) −u ( x i ) h

i

( )

+⋯

( )

+⋯

(3.17)

(3.18)

que es aproximación de diferencias

progresivas. En forma análoga a la ecuación (3.17) se puede escribir:

26

u ( x i−h ) =u ( x i) −h

( dudx )

Teniendo

du dx

2

( ) =

x=x i

+

x= xi

2

3

( )

h d u 2 d x2

−

x= xi

3

( )

h d u 6 d x3

u ( x i ) −u ( xi +h ) h

+⋯ x=x i

(3.19)

que es aproximación de diferencias

regresivas. Para obtener la ecuación de la diferencia central, restar la ecuación (3.19) de (3.17), obteniéndose: u ( x i+ h )−u ( x i−h )=2 h

du dx

( )

+

x= xi

h3 d 3 u 3 d x3

( )

+⋯

(3.20)

x= xi

O

( dudx )

= x=x i

u ( x i +h ) −u ( x i−h ) 2h

(3.21) O ( h2 ) .

Con un error de truncamiento

2) Derivadas de orden superior Para obtener aproximaciones de diferencias de orden superior, al sumar las ecuaciones (3.14) y (3.16) y de las ecuaciones (3.17) y (3.19) se obtiene: u ( x i+ h ) +u ( x i−h ) =2 u ( x i ) + h2

2

( ) d u 2 dx

4

+

x= xi

4

( )

h d u 12 d x 4

+⋯ x= x i

(3.22) Despreciando las derivadas de órdenes superiores de la ecuación (3.22) se obtiene: 2

( ) d u d x2

= x=x i

u ( x i +h ) −2u ( x i ) +u ( x i−h ) h2

=¿

(3.23) La ecuación (2.23) es una aproximación de diferenciales centrales para la derivada de segundo orden con error de

O ( h2 ) .

En forma general para un flujo subterráneo bidimensional expresado mediante la ecuación (3.19) a partir de la ecuación (3.123) se puede expresar la ecuación de Lapalce por: Las diferenciales centrales basadas en el esquema de la malla de la figura siguiente son:

27 ∂2 h hi +1, j −2 hi , j+ hi−1, j = ∂ X2 Δ x2 (3.24) y ∂ 2 h hi , j+1−2hi , j +h i, j−1 = ∂ y2 Δ y2 (3.25)

FIGURA N° 3.3

MALLA USADA PARA LA SOLUCION DE LA DIFERENCIAS FINITAS DE UNA ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL ELIPTICA. ECUACION DE LAPLACE.

Las ecuaciones (3.24) y (3.25) tienen errores

de

O [ Δ ( x )2 ]

y

O [ Δ ( y )2 ] ,

respectivamente. Sustituyendo las ecuaciones (3.24) y (3.25) en (3.11) se obtiene: hi+1, j−2 hi , j +hi−1, j hi , j+1−2 hi , j +hi , j−1 + =0 Δ x2 Δ y2 (3.26) En la figura N°3.3 se observa que obtiene:

Δ x= Δ y

hi+ 1, j +hi−1, j +hi , j+1 +hi , j−1−4 hi , j=0

y reagrupando términos se

(3.27)

La ecuación (3.27) es la solución de la ecuación de LAPLACE, que se conoce con el nombre de ecuación laplaciana en diferencias. Como se ha indicado para la solución de la ecuación se deben especificar las condiciones de frontera, para obtener una solución única. IV

APLICACIÓN

28 Como se ha indicado el comportamiento del flujo subterráneo se evalúa mediante la ecuación de Laplace. Dado el croquis indicado en la figura N° 4.1, hallar las superficies equipotenciales y la dirección del flujo.

FIGURA N° 4.1 CROQUIS DE UN ACUIFERO CON SUS NIVVELES FREATICOS EN LAS FRONTERAS.

En el nodo (1,1) se plantea la siguiente ecuación: h21 +h01 +h12+ h10−4 h11 =0

(4.1)

En la ecuación (4.1) por las condiciones de frontera se conoce: h01=75 y h10=0 , por consiguiente la ecuación (4.1) se expresa mediante la siguiente ecuación: −4 h11 +h12 +h21=−75

(4.2)

Ecuaciones similares se pueden desarrollar para los otros nodos interiores de la figura N° 4.1. El resultado se muestra en la ecuación (4.3). 4 h11−h21+ 0 h31−h12+ 0 h22+ 0 h32+ 0 h13+ 0 h23+ 0 h33 =75 −h11 +4 h21−h31−0 h12−h22+ 0 h32+ 0 h13+ 0 h23+ 0 h33=0 0 h11 −h21 +4 h31−0 h12+ 0 h22 −h32 +0 h13 +0 h23 +0 h33 =50 −h11−0 h21+0 h 31 + 4 h12−h 22+0 h32−h13+ 0 h23+ 0 h33=75

29 0 h11 −h21 +0 h31−h12 +4 h22−h32 +0 h13−h23+ 0 h33=0 0 h11 + 0 h21−h31−0 h12−h22+ 4 h32 +0 h13 +0 h23−h33=50 0 h11 −0 h21 +0 h31−h12 +0 h22 +0 h32 +4 h13 −h23 +0 h33 =175 0 h11 + 0 h21 +0 h 31+0 h 12−h22+ 0 h32−h13 +4 h23−h33=100 0 h11 + 0 h21 +0 h 31+0 h 12+0 h22 −h32+0 h 13−h23 +4 h33 =150 (4.3) 4.1

Aplicación de MATLAB La ecuación (4.3) se puede resolver mediante el uso del MATLAB, como se

muestra a continuación: La ecuación 4.3 se resuelve mediante matrices para lo cual se tienen las siguientes matrices:

A=

4

-

0

-

0

0

0

0

0

-

1 4

-

1 0

-

0

0

0

0

1 4

0

1 0

-

0

0

0

0

4

-

1 0

-

0

0

0

-

1 4

-

1 0

-

0

-

1 0

-

1 4

0

1 0

-

1 0 -

B=

0

1 0 750 1 50 0 75 0 0 50 175 100 150

Para hallar los valores de h en MATLAB se realiza la siguiente operación: A=[4 -1 0 -1 0 0 0 0 0;-1 4 -1 0 -1 0 0 0 0;0 -1 4 0 0 -1 0 0 0;-1 0 0 4 -1 0 -1 0 0;0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0;0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1;0 0 0 -1 0 0 4 -1 0;0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1;0 0 0 0 0 -1 0 -1 4] B=[75;0;50;75;0;50;175;100;150]

h=A\B 4.2

(4.4)

Resultados Realizando las operaciones con matrices A y B y con la ecuación (4.4). Se

obtienen los resultados siguientes h= 42.8571 33.2589 33.9286

30 63.1696 56.2500 52.4554 78.5714 76.1161 69.6429

Ordenando los valores de h se tienen (ver las figuras N 4.1 y N°4.2. h11 =42.86 h21=33.26 h31=33.93 h12=63.17 h22=¿

6

56.25

h32=42.46 h13=78.57 h23=76.11 h33=69.64

9

En medio magnético se incluye el programa en MATLAB. 4.3

Obtención de las curvas de nivel freático Las curvas equipotenciales se han obtenido

aplicando

AUTOCADLAND cuyos resultados se muestran en el plano N°1.

el

software

31

FIGURA N° 4.2 DISTRIBUCION DE LOS NIVELES DE LA NAPA FREATICA DE UN ACUIFERO.

V

CONCLUSIONES

1. El flujo subterráneo se puede explicar mediante las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden.

32 2. Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden se pueden resolver mediante métodos numéricos como son las diferencias finitas, adecuadas para solución de la ecuación de LAPLACE. 3. Con las diferencias finitas se forman una serie de ecuaciones simultáneas de acuerdo al número de celdas planteadas, que su solución analítica es compleja. 4. Las ecuaciones simultáneas se resuelven de manera rápida mediante el empleo del software MATLAB. 5. La red de flujos en el presente caso se ha obtenido mediante el AUTOCAD LAND con buenos resultados. 6. El método numérico es apropiado en la evaluación de aguas subterráneas o en la construcción de red de flujo por debajo de las estructuras hidráulicas como las presas.

VI

RECOMENDACIONES

1. Se recomienda dibujar la red de flujo con MATLAB 2. Generar algoritmos para aplicar MATLAB para estudio de aguas subterráneas en explotación mediante pozos. 3. Se recomienda aplicar el método de elementos finitos en aguas subterráneas y comparar con el método de diferencias finitas.

33

1.

VII BIBLIOGRAFIA BROWEL, Luis; EIGER, Sérgio, ROSMAN, Paulo, TUCCI, Carlos y CIRILO, José. Metodos Numericos em Recursos Hidricos.

2.

Associacao Brasileira de Recursos Hidricos. Brazil. 1989. CHAPRA, Steven Y CANALE, Raymond. Métodos Numéricos

3.

Para Ingenieros. McGraw-Hill. México. 2003. FRANCISS, F. Hidráulica de Meios Permeaves. Universidad de

4.

Sao Paulo. Río de Janeiro, 1980. MARTINEZ, Pedro E, MARTINEZ, Pedro y CASTAÑO, Silvino. Fundamentos de Hidrogeología. Ediciones Mundi Prensa.

5.

España. 2005. MUÑOZ, Rafael y RITTER, Axel. Hidrología Agroforestal. Mundi

6.

Prensa. España. 2005. NAKAMURA, Shoichiro. Análisis Numérico y Visualización

7.

Gráfica con MATLAB: Pearson Educación. México. 1997. PEREZ, Diosdado. La explotación del Agua Subterránea. Un

8.

nuevo Enfoque. Editorial Científica Técnica. La Habana. 1995. VILLON, Máximo. Hidrología. Editorial Villón. Lima. 2002.

34