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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL TICOMÁN INGENIERÍA EN AERONÁUTICA

8AV2

CONSTRUCCIONES AERONAUTICAS

ING. CARLOS CRESPO Y MENA

ESTUDIO ESTADÍSTICO PARA AVIÓN DE 2 PLAZAS (Wilder Esel)

FECHA DE ENTREGA: 7/SEPTIEMBRE/2018

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Autores Miguel Antonio Aguayo Galaviz Aguilar Castillo Javier Arturo Barrera Jurado Brandon Jafet Barroso Velázquez Víctor Alfonso Calderón Serrano Samantha Marcela Campos Malagón Edwin Carlos David Espinosa Ramírez Carranza Centeno Osvaldo Andrés Castillo Castillo Julio César Cruz Vélez Jesús Emmanuel Donoso Arciniega Alberto Eduardo Duarte López Fernando Hernández Sánchez Fernando Daniel Jurado Galicia Rodrigo Loredo Belmonth Héctor Andrés Madrigal Mendoza Francisco

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Contenido Autores ................................................................................................................................................ 3 Estado del Arte .................................................................................................................................... 6 Objetivo General ................................................................................................................................. 6 Objetivos Específicos ........................................................................................................................... 6 Introducción ........................................................................................................................................ 7 Desarrollo ............................................................................................................................................ 7 1.- Probabilidad y Estadística .............................................................................................................. 8 Probabilidad .................................................................................................................................... 8 Estadística........................................................................................................................................ 8 Poblaciones y muestras................................................................................................................... 9 Recabación de datos ....................................................................................................................... 9 Gráficas de dispersión de puntos .................................................................................................. 10 2.- Medidas de Tendencia Central .................................................................................................... 12 Media ............................................................................................................................................ 12 Moda ............................................................................................................................................. 12 Varianza ......................................................................................................................................... 12 Desviación estándar ...................................................................................................................... 12 Distribución binomial .................................................................................................................... 13 Métodos numéricos ...................................................................................................................... 14 3.-Medidas de Varianza..................................................................................................................... 16 Varianza ......................................................................................................................................... 16 Distribución normal....................................................................................................................... 16 Delimitación de población (σ-1, σ+1) ............................................................................................ 17 Campana de Gauss ........................................................................................................................ 18 4.-Métodos Numéricos ..................................................................................................................... 20 Regresión lineal ............................................................................................................................. 20 Mínimos cuadrados ....................................................................................................................... 21 Regresión polinómica .................................................................................................................... 22 Regresión exponencial .................................................................................................................. 24 Regresión logarítmica.................................................................................................................... 25 Coeficiente de Determinación ...................................................................................................... 26 Proceso estadístico........................................................................................................................ 26 4

5.- Estudio Estadístico de Aeronaves Similares ................................................................................. 27 PESO MAXIMO (lb) ........................................................................................................................ 27 CARGA ALAR (lb/ft2) ...................................................................................................................... 30 SUPERFICIE ALAR (ft2) .................................................................................................................... 33 ENVERGADURA (ft)........................................................................................................................ 36 CUERDA MEDIA (ft) ....................................................................................................................... 39 ALARGAMIENTO ALAR................................................................................................................... 42 SUPERFICIE DEL EMPENAJE HORIZONTAL (ft2).............................................................................. 45 ENVERGADURA DEL EMPENAJE HORIZONTAL (ft) ........................................................................ 48 CUERDA MEDIA EMPENAJE HORIZONTAL (ft) ............................................................................... 51 ALARGAMIENTO DEL EMPENAJE HORIZONTAL ............................................................................ 54 SUPERFICIE DEL EMPENAJE VERTICAL (ft2) ................................................................................... 57 ENVERGADURA DEL EMPENAJE VERTICAL (ft) .............................................................................. 60 CUERDA MEDIA DEL EMPENAJE VERTICAL (ft).............................................................................. 63 ALARGAMIENTO DEL EMPENAJE VERTICAL .................................................................................. 66 LONGITUD DEL FUSELAJE (ft) ........................................................................................................ 69 ALTURA DEL AVIÓN (ft) ................................................................................................................. 72 POTENCIA DEL MOTOR (HP).......................................................................................................... 75 VELOCIDAD DE DESPLOME (MPH) ................................................................................................ 78 VELOCIDAD DE DESPLOME (ft/s) ................................................................................................... 81 VELOCIDAD DE DESPEGUE (MPH) ................................................................................................. 84 VELOCIDAD DE DESPEGUE (ft/s) ................................................................................................... 87 VELOCIDAD DE CRUCERO (MPH)................................................................................................... 90 VELOCIDAD DE CRUCERO (ft/s) ..................................................................................................... 93 AUTONOMIA (HRS)........................................................................................................................ 96 VELOCIDAD DE ASCENSO (ft/s) ..................................................................................................... 99 TECHO DE SERVICIO (ft)............................................................................................................... 102 CONSUMO DE COMBUSTIBLE (lb) ............................................................................................... 105 CONSUMO TOTAL DE ACEITE (lb) ................................................................................................ 108 6.- Cálculo de la Aeronave............................................................................................................... 111 Bibliografía ...................................................................................................................................... 115

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Estado del Arte La aviación general es un elemento importante del crecimiento económico, en parte por que satisface las necesidades de transporte que en algunos lugares no pueden cubrirse por medios convencionales, como pueden ser los vuelos comerciales desde aeropuertos grandes. La aviación general también provee servicios especiales, como entretenimiento, ambulancias aéreas y observación a comunidades con servicio de transporte convencional. En la actualidad, la industria en México solamente abarca los actores de transporte aéreo, mantenimiento, reparación y revisión mayor, servicios a la navegación y apoyo a tierra. Desde 1984 no se han diseñado aeronaves en México. El Proyecto Azteca inició en 2015 y en 2018 estará lista la primera aeronave que responderá directamente a las necesidades de adiestramiento básico en el que los cadetes de la Escuela Militar de Aviación tendrán sus primeras horas de vuelo. Azteca 1 contará con un tren de aterrizaje fijo tipo triciclo; el fuselaje será de material compuesto con base en fibra de carbono, vidrio y epoxi. Llevará un solo motor de cuatro cilindros y 100 caballos de fuerza; el fuselaje tendrá un peso máximo de 700 kilos.

Objetivo General EL propósito general del proyecto consiste en desarrollar el diseño conceptual de una aeronave ligera utilitaria monomotor de dos plazas. El propósito del primer libro es generar un estudio estadístico que nos permita conocer, las características de las aeronaves similares a las que se propone para tener un punto de partida para las posteriores iteraciones en el diseño de una aeronave utilitaria ligera de dos plazas.

Objetivos Específicos -

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Recopilación de datos de aeronaves similares a la propuesta en el estudio. Estudio Estadístico de los datos seleccionados para la extrapolación de datos finales. Consolidación e informe de los datos obtenidos.

Introducción El proyecto consiste en el diseño conceptual de una aeronave ligera utilitaria monomotor de dos plazas, con el propósito de brindar al lector las herramientas utilizadas en su desarrollo y su desarrollo se divide en tres fases las cuales están presentadas en tres libros. la primera consiste en un estudio estadístico de aeronaves de similares características existentes para obtener valores como punto de partida, para ello se propusieron Treinta y Seis aeronaves similares las cuales fueron seleccionadas utilizando como requisitos que la aeronave fuera monomotor alternativo, su peso máximo no debería exceder 2000lb y la carga útil a considerar seria de 440 lb. La segunda fase consiste en el diseño aerodinámico de la aeronave, en esta se tratan temas como selección de perfiles, equilibrio estático y dinámico, peso y balance etc. Esta se presenta en el segundo libro. Para la tercera fase se realiza el diseño especifico de las secciones de la aeronave como son el fuselaje, empenaje vertical, empenaje horizontal, etc. Estos se presentan en el tercer libro.

Desarrollo Como primer paso para el desarrollo del estudio estadístico y probabilístico, se realizó una búsqueda de treinta y seis aeronaves con características similares a las propuestas, obteniendo los datos más característicos y relevantes para su funcionamiento. Una vez obtenidos los datos se procede a realizar las regresiones lineales para obtener los valores óptimos con base a una carga útil de 440lb, esto basándonos en los métodos estadísticos que se describen en el apartado siguiente, de estos se procede a realizar la ficha técnica del avión.

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1.- Probabilidad y Estadística La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas: •

La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas.

•

La Estadística ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos.

De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad.

Probabilidad En este sentido, el cálculo científico de probabilidades puede ayudarnos a comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica de manera errónea. Un ejemplo típico es la denominada "paradoja de los cumpleaños". Supongamos que estamos en un grupo de 23 personas. Los cálculos nos dicen que la probabilidad de que dos personas celebren el mismo día su cumpleaños es del 50%, algo que a simple vista parece increíble. No es de extrañar por tanto que la Teoría de Probabilidad se utilice en campos tan diversos como la demografía, la medicina, las comunicaciones, la informática, la economía y las finanzas.

Estadística. Cuando hablamos de estadística, se suele pensar en un conjunto de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es debida a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de comunicación, periódico, radio, televisión, etc., no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística. Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología, Psicología, ... empezamos a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes determistas. La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos (Estadística Descriptiva), siempre 8

y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones (Estadística Inferencial).

Poblaciones y muestras Población estadística, también llamada universo, es el conjunto de elementos de referencia sobre el que se realizan las observaciones. Una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población. En diversas aplicaciones interesa que una muestra sea una muestra representativa y para ello debe escogerse una técnica de muestreo adecuada que produzca una muestra aleatoria adecuada (se obtiene una muestra sesgada cuyo interés y utilidad es más limitado dependiendo del grado de sesgo que presente). Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la población, para lo cual deben ser representativas de la misma (una muestra representativa se denomina técnicamente muestra aleatoria). Para cumplir esta característica la inclusión de sujetos en la muestra debe seguir una técnica de muestreo. En tales casos, puede obtenerse una información similar a la de un estudio exhaustivo con mayor rapidez y menor coste (véanse las ventajas de la elección de una muestra, más abajo). Por otra parte, en ocasiones, el muestreo puede ser más exacto que el estudio de toda la población porque el manejo de un menor número de datos provoca también menos errores en su manipulación. En cualquier caso, el conjunto de individuos de la muestra son los sujetos realmente estudiados. El número de sujetos que componen la muestra suele ser bastante inferior a la población total, aunque suficiente grande como para que la estimación de los parámetros determinados tenga un nivel de confianza adecuado. Para que el tamaño de la muestra sea idóneo es preciso recurrir a su cálculo.

Recabación de datos La noción de recolección refiere al proceso y el resultado de recolectar (reunir, recoger o cosechar algo). Un dato, por su parte, una información que permite generar un cierto conocimiento. Esto quiere decir que la recolección de datos es la actividad que consiste en la recopilación de información dentro de un cierto contexto. Tras reunir estas informaciones, llegará el momento del procesamiento de datos, que consiste en trabajar con lo recolectado para convertirlo en conocimiento útil. Dentro de la recolección de datos se pueden apelar a diversas técnicas: las encuestas, la observación, la toma de muestras y las entrevistas, entre otras, 9

permiten realizar la tarea. De acuerdo al tipo de datos, la persona utilizará distintos instrumentos (grabadora de audio, cámara de fotos, etc.). En el caso de la entrevista es fundamental que la persona que la va a llevar a cabo, de manera previa, proceda a prepararla. Y es que sólo así podrá elegir las preguntas (abiertas o cerradas) que va a realizar, así como fijar el tiempo que va a invertir, el lugar donde la va a desarrollar e incluso las “herramientas” que puede utilizar para poder sacar la mayor cantidad posible de información. Además de lo expuesto no podemos pasar por alto que se puede proceder a la recolección de datos mediante dos tipos diferentes de entrevistas: -Las estructuradas. Estas tienen las ventajas de que son fáciles de administrar, ofrecen una gran sencillez en cuanto a lo que es su evaluación, que lleva un tiempo limitado su realización y que permiten conseguir unos resultados mucho más objetivos. -Las no estructuras. Estas otras, por su parte, a favor tienen que la persona que las lleva a cabo posee más libertad para realizar las preguntas, así como que cuenta con la posibilidad de poder explotar otras cuestiones que surjan de manera espontánea durante el encuentro. De la misma manera, otro de los recursos que se pueden emplear para acometer la recolección de datos es el cuestionario, que puede ser cerrado o abierto. La diferencia entre ambos es que el primero permite que la persona que vaya a contestar al mismo sólo pueda dar unas respuestas muy concretas, mientras que en el otro los resultados puedan ser mucho más variados y amplios. Supongamos que un periodista está realizando una investigación sobre un funcionario gubernamental que habría participado de un acto de corrupción. Para realizar su trabajo periodístico, inicia la recolección de datos entrevistando a otros funcionarios, políticos opositores, policías y autoridades judiciales. Además, accede a documentos que le permiten probar el hecho. Una vez que recolecta todos los datos, los procesa y los presenta con forma de artículo en un diario.

Gráficas de dispersión de puntos El diagrama de dispersión es una herramienta gráfica que ayuda a identificar la posible relación entre dos variables. Representa la relación entre dos variables de forma gráfica, lo que hace más fácil visualizar e interpretar los datos. Cada fila de la tabla de datos la representa un indicador cuya posición depende de sus valores en las columnas que se establecen en los ejes X e Y. Se pueden usar varias escalas en el eje Y cuando se desea comparar varios indicadores con rangos de valor significativamente distintos. Se puede establecer una tercera variable para que se corresponda con el color o el tamaño (por ejemplo, un gráfico de burbujas) de los indicadores, lo que agregaría otra dimensión más al gráfico. 10

La relación entre dos variables se llama correlación. Si los indicadores forman una línea casi recta en el gráfico de dispersión, las dos variables tendrán una correlación alta. Si los indicadores se distribuyen de manera uniforme a lo largo del gráfico de dispersión, la correlación es baja o nula. Sin embargo, aunque parezca que existe una correlación entre variables, esto no siempre es así. La causa de una aparente correlación podría ser que dos variables estén relacionadas con una tercera variable, lo que explicaría la variación, o pura coincidencia. Si se aplica al crear el análisis, el gráfico de dispersión puede mostrar información adicional en líneas de referencia o varios tipos distintos de curvas. Estas líneas o curvas podrían, por ejemplo, mostrar si los puntos de los datos se adaptan bien a un ajuste de curva polinómica determinado, o resumir un conjunto de puntos de datos de muestra ajustándose a un modelo que describe los datos y mostrará una curva o una línea recta sobre la visualización. La curva normalmente cambia su aspecto en función de los valores que se hayan filtrado del análisis. Al pasar por encima el ratón, una sugerencia sobre herramienta mostrará la forma en que se calcula la curva.

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2.- Medidas de Tendencia Central Media La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. X es el símbolo de la media aritmética.

Moda La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

Varianza La varianza mide qué tan dispersos están los datos alrededor de la media. La varianza es igual a la desviación estándar elevada al cuadrado. La fórmula para el cálculo de esta variable, es la siguiente: ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑋)2 𝜎 = 𝑁−1 2

Donde: ✓ σ2: varianza de la variable. ✓ x: dato de la muestra. ✓ X: media de una distribución estadística. ✓ N: número de datos de la muestra. Particularmente usamos el software Microsoft Office Excel para el cálculo de esta variable, por medio de la fórmula =VAR.S(“tamaño de la muestra”).

Desviación estándar La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. 12

Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable. Se caracteriza por ser el estadígrafo de mayor uso en la actualidad. Se obtiene mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

-

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Donde: ✓ ✓ ✓ ✓

σ: desviación estándar de la muestra. x: dato de la muestra. 𝑥̅ : media de una distribución estadística. n: número de datos de la muestra.

Distribución binomial Una distribución binomial es una distribución discreta que modela el número de eventos en un número de ensayos fijo. Cada ensayo tiene dos resultados posibles, y evento es el resultado de interés en un ensayo. Utilice la distribución binomial para describir un proceso donde los resultados se pueden etiquetar como un evento o un no evento y cuando esté interesado en la ocurrencia de un evento y no en su magnitud. Por ejemplo, un elemento pasa o no pasa una inspección o un partido político gana o pierde. La distribución binomial se usa frecuentemente en control de calidad, sondeos de opinión pública, investigaciones médicas y seguros La función de probabilidad es la siguiente:

Donde:

✓

las combinaciones de n en x. 13

✓ Donde x = 1,2,…,n De igual manera se usa el software Microsoft Office Excel para el cálculo de esta variable, por medio de la fórmula =DISTR.BINOM.N

Métodos numéricos El análisis de regresión engloba a un conjunto de métodos estadísticos que usamos cuando tanto la variable de respuesta como la la(s) variable(s) predictiva(s) son contínuas y queremos predecir valores de la primera en función de valores observados de las segundas. En esencia, el análisis de regresión consiste en ajustar un modelo a los datos, estimando coeficientes a partir de las observaciones, con el fin de predecir valores de la variable de respuesa a partir de una (regresión simple) o más variables (regresión múltiple) predictivas o explicativas. El análisis de regresión juega un papel central en la estadística moderna y se usa para: • • •

identificar a las variables predictivas relacionadas con una variable de respuesta describir la forma de la relación entre estas variables y para derivar una función matemática óptima que modele esta relación predecir la variable de respuesta a partir de la(s) explicativas o predictores.

Tipos de regresión. El término regresión puede ser confuso porque existen muchas variantes especializadas de regresión. Además, R tiene muchas funciones para ajustar una gran gama de modelos de regresión.

Selección de modelo. Dadas dos variables cuantitativas existen virtualmente cientos de modelos que podrían describir la relación matemática entre ellas. El reto está en elegir el modelo 14

que mejor se ajuste a estos datos para minimizar el error en la estima que se haga a partir del modelo. Usamos los modelos para estimar el valor promedio de la variable de respuesta en función de parámetros estimados de los datos. De manera general, podemos predecir valores de la variable de respuesta usando esta fórmula: estimai=(modelo)+erroriestimai=(modelo)+errori. Para obtener la máxima precisión (mínimo errori) en nuestra estima o predicción, tendremos que: 1. elegir una familia de modelos adecuados a nuestros datos (modelos lineales, polinomiales, exponenciales, no lineales …) 2. determinar el grado de parametrización adecuado del modelo 3. obtener estimas de máxima verosimilitud de dichos parámetros Sólo así podremos llegar a un compromiso óptimo entre realismo del modelo, grado de ajuste del modelo a los datos, y mínima varianza de la estima.

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3.-Medidas de Varianza Varianza La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. También se puede calcular como la desviación típica al cuadrado. Dicho sea de paso, entendemos como residuo a la diferencia entre el valor de una variable en un momento y el valor medio de toda la variable. La unidad de medida de la varianza será siempre la unidad de medida correspondiente a los datos, pero elevada al cuadrado. La varianza siempre es mayor o igual que cero. Al elevarse los residuos al cuadrado es matemáticamente imposible que la varianza salga negativa. Y de esa forma no puede ser menor que cero. ∑𝑛 𝜎 = √ 𝑖=1

(𝑥1 − 𝑋) 𝑃

σ: desviación estándar de la muestra. 𝑥1 : dato de la muestra. X: media de una distribución estadística. P: número de datos de la muestra. Se ocupó el software Microsoft Office Excel para el cálculo de esta variable, por medio de la fórmula =DESVEST.M(“tamaño de la muestra”).

Distribución normal Se trata, sin duda, del modelo continuo más importante en estadística, tanto por su aplicación directa, veremos que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo, como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística. En realidad, el nombre de Normal proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo. Su función de densidad viene dada por la fórmula:

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que, como vemos, depende de dos parámetros μ (que puede ser cualquier valor real) y σ (que ha de ser positiva). Por esta razón, a partir de ahora indicaremos de forma abreviada que una variable X sigue el modelo Normal así: X ~ N (μ, σ). Por ejemplo, si nos referimos a una distribución Normal con μ = 0 y σ = 1 lo abreviaremos N (0, 1). *Media de una distribución estadística μ. *Su varianza es σ2 y, por tanto, su desviación típica es σ. *Es simétrica respecto a su media μ, como puede apreciarse en la representación anterior. *X es dato de la muestra Como en este caso se utilizó de igual manera el software Microsoft Office Excel para el cálculo de esta variable, por medio de la fórmula =DISTR.NOM.N(“x, media, desviación estándar, acumulado (“falso”)).

Delimitación de población (σ-1, σ+1) Una vez que se ha definido cuál será nuestra unidad de análisis, se procede a delimitar la población que va a ser estudiada y sobre la cual se pretende generalizar los resultados. Así, una población es el conjunto de todos los casos que concuerdan con una serie de especificaciones. La muestra suele ser definida como un subgrupo de la población. Para seleccionar la muestra deben delimitarse las características de la población. Muchos investigadores no describen lo suficiente las características de la población o asumen que la muestra representa automáticamente a la población. Si consideramos un intervalo centrado en la media y de amplitud una desviación típica hacia arriba y hacia abajo la probabilidad es del 68.2%. Si la amplitud es de dos desviaciones típicas hacia arriba y hacia abajo, la probabilidad es del 95.5%. Si la amplitud es de tres desviaciones típicas hacia arriba y hacia abajo, la probabilidad es del 99.7%. En la distribución normal, uno puede calcular la probabilidad de que varios valores ocurran dentro de ciertos rangos o intervalos. Sin embargo, la probabilidad exacta de un valor particular dentro de una distribución continua, como la distribución normal, es cero. Esta propiedad distingue a las variables continuas, que son medidas, de las variables discretas, las cuales son contadas.

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El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. P (μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 % P (μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 % P (μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Campana de Gauss La campana de Gauss es empleada en estadística y probabilidad, y debe su nombre a su descubridor, el matemático, astrónomo y físico alemán Carl Friedrich Gauss. La campana de Gauss es una representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Propiedades: Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado parámetro. El punto máximo de la curva corresponde a la media, y tiene dos puntos de inflexión a ambos lados.

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1) El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞). 2) Es simétrica respecto a la media µ. 3) Tiene un máximo en la media µ. 4) Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. 5) En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión. 6) El eje de abscisas es una asíntota de la curva. 7) El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. 8) Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. 9) La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. Aplicaciones: Este gráfico se usa en variables asociadas a fenómenos naturales: caracteres morfológicos de individuos como la estatura o el peso, caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco, caracteres sociológicos como el consumo de un determinado producto por un mismo grupo de individuos, caracteres psicológicos como el cociente intelectual.

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4.-Métodos Numéricos Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo.

Regresión lineal El modelo de pronóstico de regresión lineal permite hallar el valor esperado de una variable aleatoria a cuando b toma un valor específico. La aplicación de este método implica un supuesto de linealidad cuando la demanda presenta un comportamiento creciente o decreciente, por tal razón, se hace indispensable que previo a la selección de este método exista un análisis de regresión que determine la intensidad de las relaciones entre las variables que componen el modelo. El pronóstico de regresión lineal simple es un modelo óptimo para patrones de demanda con tendencia (creciente o decreciente), es decir, patrones que presenten una relación de linealidad entre la demanda y el tiempo.

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El objetivo de un análisis de regresión es determinar la relación que existe entre una variable dependiente y una o más variables independientes. Para poder realizar esta relación, se debe postular una relación funcional entre las variables. Cuando se trata de una variable independiente, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la relación lineal. El análisis de regresión entonces determina la intensidad entre las variables a través de coeficientes de correlación y determinación. Este punto introduce la ecuación de Regresión Simple como procedimiento analítico para la obtención de predicciones (también denominadas estimaciones o valores esperados). Las transformaciones lineales generan variables que incorporan la información proveniente de otras variables, y por ello son la base para definir procedimientos de predicción o estimación de variables habida cuenta de la covariación de las variables entre sí. El Análisis de Regresión se basa en definir la variable estimada (predicha) como transformación lineal de la variable predictora:

donde: Y' (A veces se simboliza como en la fórmula y otras veces se utiliza el apóstrofo): Variable predicha o estimada. a: Constante (también denominada interceptal). También simbolizada como "c" o "m". b: Coeficiente de la variable predictora (también denominado pendiente) X: Variable predictora

Mínimos cuadrados Método de mínimos cuadrados para obtener los coeficientes de β0 y β1 Partimos de una muestra de valores de X e Y medidos sobre n individuos: (x1, y1), (x2, y2), (xn,yn), y queremos estimar valores en Y según el modelo Y = β0 + β1X, donde β0 y β1 son por el momento desconocidos. Debemos encontrar entonces de entre todas las rectas la que mejor se ajuste a los datos observados, es decir, buscamos aquellos valores de β0 y β1 que hagan mínimos los errores de estimación. Para un valor xi, el modelo estima un valor en Y igual a yi = β0 + β1xi y el valor observado en Y es igual a yi, con lo cual el error de estimación en ese caso vendría dado por εi = yi−yi = yi − (β0 + β1xi). Entonces tomaremos como estimaciones de β0 y β1 , que notamos por β0 y β1, aquellos valores que hagan mínima la suma de los errores al cuadrado, que viene dada por:

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La solución se obtiene por el mecanismo habitual, derivando SSE con respecto a β0 y β1 e igualando a 0. Los estimadores resultan:

Siendo:

A la recta resultante Y =β0 + β1X se le llama recta de regresión lineal de Y sobre X. Un último parámetro a estimar en el modelo es la varianza de los errores (σ2). A su estimador se le denomina varianza residual y viene dada por:

Regresión polinómica En estadística, la regresión polinomial es un problema de inferencia para un modelo tipo: y=f(x,θ)+ϵ basado en datos multidimensionales x,y , donde f es alguna función no lineal respecto a algunos parámetros desconocidos θ. Como mínimo, se pretende obtener los valores de los parámetros asociados con la mejor curva de ajuste (habitualmente, con el método de los mínimos cuadrados). Con el fin de determinar si el modelo es adecuado, puede ser necesario utilizar conceptos de inferencia estadística tales como intervalos de confianza para los parámetros, así como pruebas de bondad de ajuste. El objetivo de la regresión no lineal se puede clarificar al considerar el caso de la regresión polinomial, la cual es mejor no tratar como un caso de regresión no lineal. Cuando la función toma la forma: f(x)=ax2+bx+c 22

la función es no lineal en función de x pero lineal en función de los parámetros desconocidos a, b, y c. Este es el sentido del término “lineal” en el contexto de la regresión estadística. Los procedimientos computacionales para la regresión polinomial son procedimientos de regresión lineal (múltiple), en este caso con dos variables predictoras x y x2. Sin embargo, en ocasiones se sugiere que la regresión no lineal es necesaria para ajustar polinomios. Las consecuencias prácticas de esta mala interpretación conducen a que un procedimiento de optimización no lineal sea usado cuando en realidad hay una solución disponible en términos de regresión lineal. Paquetes (software) estadísticos consideran, por lo general, más alternativas de regresión lineal que de regresión no lineal en sus procedimientos. Algunas veces cuando la relación entre las variables dependientes e independientes es no lineal, es útil incluir términos polinomiales para ayudar a explicar la variación de nuestra variable dependiente. Las regresiones polinomiales se pueden ajustar la variable independiente con varios términos y=a+bx+cx2