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• Ivan Fernandez Flores

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Unidad 4 Administración de inventarios.

4.1 Definición y tipos de inventarios. 4.2 Ventajas y desventajas de los inventarios. 4.3 Administración de los inventarios. 4.3.1 Tipos de costos. 4.3.2 Clasificación ABC 4.4 Modelos de inventario determinísticos. 4.4.1 Modelos de Cantidad Optima del Pedido. 4.4.2 Modelo con Descuentos. 4.4.3 Modelo de producción y consumo. 4.4.4 Modelo con faltantes. 4.5 Modelos de inventarios probabilísticos. 4.5.1 Nivel de servicio e inventario de seguridad. 4.5.2 Modelo de Cantidad Fija. 4.5.3 Modelo de Periodo Fijo. 4.6 Uso de software en inventarios Referencias Bibliográficas 12. O’Grady, P.J. Just in Time, Una Estrategia Fundamental Para los Jefes de Producción, Mc GrawHill, 1992. 13. Render Barry y Heizer Jay. Principios de Administración de Operaciones (Séptima edición), Pearson Educación, 2009. 14. Schonberger, Richard J. Técnicas Japonesas de Fabricación, Ed. Limusa, 1998. 15. Shingo, Shigeo. El Sistema de Producción Toyota desde el punto de vista de la Ingeniería. 2da. Edición.

4.1 Definición y tipos de inventarios. Propósito Considerar métodos para controlar los inventarios de artículos individuales cuando se asume que la demanda seguirá un patrón conocido (esto es, el error de pronóstico de la demanda equivale a cero). Puntos clave 1. Clasificación de inventarios (Tipos de Inventarios). • •  

Materias primas. Son los recursos necesarios para la producción o procesamiento. Componentes. Pueden ser materias primas o subgrupos que se incluirán posteriormente en un producto final. Trabajo en proceso (WIP). Son los inventarios que se encuentran en la planta esperando ser procesados. Artículos terminados. Son artículos que han terminado su proceso de producción y esperan ser embarcados.

Cuando se hace alusión a los inventarios en el contexto de la manufactura y la distribución, hay un esquema natural de clasificación que sugiere el valor agregado por la manufactura o el procesamiento. (Desde luego que este no es el único medio de categorizar los inventarios, pero esel más natural para las aplicaciones en manufactura.) • • •

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Materias primas. Recursos que requiere la actividad de producción o procesamiento de la empresa. Componentes. Artículos que todavía no han sido terminados en el proceso de producción. A los componentes a veces se les llama subgrupos. Trabajo en proceso. Inventario que espera en el sistema para procesarse o ser procesados. Los inventarios de trabajo en proceso incluyen los de componentes, y también pueden incluir algunos de materias primas. El nivel del inventario de trabajo en proceso con frecuencia se usa como medida de la eficiencia de un sistema de programación de la producción. El método justo a tiempo, que se describe con detalle en el capítulo 7, tiene por objeto reducir al mínimo el trabajo en proceso. Bienes terminados. También llamados artículos terminados o artículos finales, son los productos finales del proceso de producción. Durante la producción se agrega valor al inventario en cada nivel de la operación de manufactura, que culmina con los artículos terminados.

El nombre o etiqueta apropiada para el inventario depende del contexto. Por ejemplo, los componentes de algunas operaciones podrían ser los productos finales de otras.

4.2 Ventajas y desventajas de los inventarios. 2. ¿Por qué mantener inventario? • • • • • • •

Economías de escala. Pedir o producir lotes grandes probablemente sea más barato que hacerlo en pequeños lotes. Incertidumbre. Las incertidumbres en la demanda, en el tiempo de demora y en el abastecimiento. Todas ellas nos obligan a conservar inventarios. Especulación. Los inventarios pueden acumularse anticipándonos a una elevación en su valor o costo. Transporte. Dirigir inventarios que están en tránsito de un lugar a otro. Suavizamiento. los inventarios suavizan un patrón de demanda irregular. Logística. Restricciones del sistema que pueden requerir mantener inventarios.

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Costos de control. Mantener un inventario puede disminuir los costos que se necesitan para monitorear un sistema. (Por ejemplo, puede ser más barato hacer pedidos anuales y guardar las unidades, que realizar pedidos semanales y monitorear de cerca los pedidos y las entregas.)

4.3 Administración de los inventarios. 4.3.1 Tipos de costos. Se deben asignar costos a las diversas consideraciones del inventario para evaluar adecuadamente los méritos de las funciones que están en oposición. Los costos más importantes y los símbolos por medio de los cuales se asignan en las fórmulas se presentan en los siguientes párrafos. 

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Precio (P). El valor de un artículo es su precio unitario de compra si se obtiene de un proveedor externo, o su costo unitario de producción si se produce internamente. La cantidad que se invierte en un artículo que se está manufacturando es una función de su grado de refinamiento. El valor de un producto durante su etapa inicial de desarrollo es un poco mayor que el costo agregado de reunir las materias primas. Conforme avanza a través del ciclo de producción, acumula una parte del costo fijo de las instalaciones de producción, los costos directos e indirectos de mano de obra para las operaciones de refinamiento, y el costo directos de las adiciones de material. El precio unitario de las compras externas también puede variar como una función de los descuentos por la cantidad comprada. Costo del capital ( iP). La cantidad invertida en un artículo es una parte del capital que no está disponible para otros propósitos. Si el dinero se invirtiera en otra cosa, se esperaría una recuperación de la inversión. Se hace un cargo al gasto del inventario para explicar esta recuperación que no se obtiene. La magnitud del cargo refleja el porcentaje de recuperación esperado de otras inversiones. El interés que se carga i, se aplica al precio, P, para apoyar cualquier reclamación acerca del costo anual del capital. Costo de la orden (O). Los costos de adquisición se originan en el gasto de hacer un pedido a un proveedor externo o en los costos de preparación para la producción interna. En los costos de la orden se incluyen el costo fijo para mantener un departamento de adquisiciones y los costos variables de preparar y ejecutar las adquisiciones. Aún cuando las ordenes sean entregadas por otros departamentos de la misma compañía, se aplican los niveles del inventario, hacer los pedidos, la continuación, y poner al día los registros del inventario pertenece a la adquisición interna. Los costos de preparación dan cuenta del trabajo físico que se lleva a cabo para preparar una corrida de producción (equipo de preparación y máquinas de ajuste) y se incluyen en ellos los costos de oficina de las órdenes externas, la adquisición interna y los costos de preparación permanecen relativamente constantes, independientemente de la magnitud de la orden. Costos de tenencia (H). Los costos que se originan de mucha fuentes se agrupan con el nombre de costos de tenencia. Por lo común se da un porcentaje o valor monetario al conjunto total para explicar todas las fuentes enlistadas a continuación. En general, los costos de tenencia permanecen fijos para una cierta capacidad del inventario y después varían con la cantidad adicional que se almacene. Instalaciones de almacenamiento: Se necesitan edificios propios o rentados para almacenar el inventario. En el gasto se incluyen el costo anual equivalente de la inversión se las instalaciones son propias o la renta si son alquiladas, la calefacción, la luz y los impuestos a la propiedad. Manejo: En el costo de mover los artículos hacia, desde y dentro del almacenamiento se incluyen los gastos por daños, salarios y equipo. Depreciación: El cambio en el valor de un artículo durante el almacenamiento lo provocan el deterioro, la mutilación y el robo que no están cubiertos por el seguro, y la obsolescencia. El seguro: Una política conservadora consiste en asegurar los artículos durante el almacenamiento. La protección se basa por lo común en el valor monetario promedio del inventario.

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Impuestos: Algunos estados aplican un impuesto periódicamente sobre el inventario durante un año según la cantidad que se tenga en almacenamiento en determinado momento. En particular en los canales de ventas al menudeo, tales como los distribuidores de automóviles, es posible manejar los niveles del inventario de modo que los mínimos coincidan con las fechas de pago del impuesto. Costo de oportunidad (OC). Se asocian dos tipos de costos con el agotamiento de las existencias cuando aún existe demanda del producto. El primero es el costo de las medidas de emergencia para apresurar una entrega urgente. Este costo se identifica fácilmente como la diferencia entre el costo usual de adquisición y el costo extra por el servicio urgente. El otro costo es más difícil de establecer porque hay personas involucradas en él. Cuando los procedimientos de emergencia no pueden proporcionar el artículo deseado, el cliente queda insatisfecho. El único costo aparente es la perdida de utilidad de la venta potencial al menudeo o la producción perdida. La reacción de un cliente insatisfecho en términos de negocios futuros es una estimación de costo de una naturaleza muy poco exacta.

COSTOS DE INVENTARIOS Los principales costos para acopiar y mantener inventarios son los siguientes:  costos de ordenar e iniciar la producción para colocar pedidos, expedición, inspección, y cambio o establecimiento de instalaciones para producir internamente.  

costos de mantener en inversión de capital, manejo, almacenamiento, seguros, impuestos, obsolescencia, deterioro y procesamiento de datos. costos de compra incluyendo el precio pagado o la mano de obra, los materiales y los cargos indirectos necesarios para producir el artículo.

El costo total (CT) de un inventario es la suma del costo de ordenar, más el costo de mantener y el costo de compra. Si D es igual a la demanda en unidades en una base anual, Co es igual al costo de preparar o hacer un pedido, Cc es igual al costo de mantener una unidad en inventario durante un periodo de tiempo dado, P es igual al precio de compra, Q es igual al tamaño del lote, y Q/2 equivale al inventario promedio, entonces las relaciones pueden ser expresadas matemáticamente: Costo total = costo de ordenar + costo de mantener + costo de compra Costo por ordenar =

Costo de mantener =

Costo de compra =

Diferenciando respecto a la cantidad ordenada Q se obtiene la pendiente de la curva de CT. (Referirse al Prob. 11.5 para una explicación de la diferenciación).

Estableciendo esta primera derivada igual a cero identifíquese el punto donde CT es un mínimo.

La ecuación (11.5) es la cantidad económica de pedido (CEP) o tamaño económico del lote (TEL). Ésta proporciona la cantidad que se ordenará para satisfacer la demanda calculada al menor costo total. Cuatro supuestos básicos delinean el modelo CEP; son los siguientes:  La demanda y el tiempo de entrega son conocidos y constantes.  El reemplazo es instantáneo tras la expiración del tiempo de entrega.  Los costos de compra no varían con la cantidad ordenada.  Las expresiones de costos de ordenar y mantener incluyen todos lo0s costos relevantes y esos costos son constantes. La figura 11.6 describe la relación entre los costos relevantes de ordenar y mantener.

COSTOS DE INVENTARIOS. La meta de la administración de inventarios consiste en proporcionar los inventarios que se requieren para mantener las operaciones al más bajo costo posible. Costos totales del inventario: A.- Costos de mantenimiento Comprende los costos de almacenamiento, de capital y de depreciación (mermas y desusos). Para determinarlo se debe calcular primero el costo porcentual por año por el mantenimiento Para su cálculo debemos tomar en cuenta lo siguiente: Inventario promedio = A = unidades por orden / 2 = (S/N)/2

S = unidades que se van a comprar todo el año N = el número de compras que se hacen P = precio de compra C = costo porcentual por año por el mantenimiento del inventario. Para calcular C se toman todos los costos como son: costos de financiamiento ( costo de capital * inversión promedio en el inventario ), almacenamientos, seguros, mermas, . Estos se suman y se dividen entre la inversión promedio del inventario ( A*P ) Ya calculando C, para determinar el costo total de mantenimiento sería: CTM = costo total de mantenimiento = C*P*A B.- Costos de ordenamiento Estos son los costos de colocar una orden y de recibirla (normalmente son costos fijos independientemente del tamaño de la orden). Costo total de ordenar = CTO = F*N F = costo fijo por orden N = número de órdenes colocadas en el año. N puede ser calculada. N = S / 2A Entonces, también se puede expresar el costo total de ordenar de la siguiente manera: Costo total de ordenar = CTO = F * ( S / 2A ) C.- Costos totales del inventario CTI = CTM + CTO = ( C * P * A ) + F ( S / 2A ) y si A = Q / 2 entonces CTI = C * P * ( Q / 2 ) + F * ( S / Q )

4.3.2 Clasificación ABC SISTEMAS MULTIPRODUCTO Análisis ABC Un asunto que no hemos comentado es el costo de implementar un sistema de control de inventarios, y los intercambios entre el costo de controlar el sistema y los beneficios potenciales obtenidos con ese control. En los sistemas de inventario con varios productos, no todos tienen igual rentabilidad. Los costos de control se pueden justificar en unos casos y en otros no. Por ejemplo, es claro que no resulta económico gastar anualmente 200 dólares para monitorear un artículo que sólo aporta 100 dólares de ganancia anual. Por esta razón es importante diferenciar entre los artículos rentables y los no rentables. Para hacerlo tomaremos prestado un concepto de la economía. Vilfredo Pareto fue un economista que estudió la distribución de la riqueza en el siglo XIX, y notó que una gran parte de ésta pertenece a un segmento pequeño de la población. Este efecto Pareto también se aplica a los sistemas de inventario: una gran parte del volumen monetario total de las ventas se debe, con frecuencia, a una pequeña cantidad de artículos en el inventario. Supongamos que los artículos se clasifican en orden decreciente por sus valores monetarios de ventas anuales. El valor acumulado de las ventas da como resultado, en general, una curva muy parecida a la de la figura 5-7. En forma típica, el 20 por ciento superior de los artículos explica el 80 por ciento del volumen monetario anual de las ventas; el siguiente 30 por ciento, el 15 por ciento de las ventas, y el 50 por ciento restante, el último 5 por ciento del valor monetario. Esas cifras sólo son aproximadas, y varían ligeramente de un sistema a otro. Los tres grupos de artículos se identifican como A, B y C, respectivamente. Cuando se necesita una distinción más refinada se pueden usar cuatro o cinco categorías. Aun cuando sólo se usen tres categorías, los porcentajes usados para definir los artículos A, B y C podrían ser distintos a los porcentajes de 80, 15 y 5 que acabamos de recomendar.

Como los artículos A tienen la tajada más grande en las ganancias anuales, deben ser vigilados más estrechamente. Los niveles de inventario para los artículos A deben monitorearse en forma continua. Se podrían usar procedimientos más complejos de pronóstico, y debe tenerse más cuidado al estimar los diversos parámetros de costo necesarios para establecer las políticas de operación. Para los artículos B, los inventarios podrían revisarse en forma periódica, se podrían pedir grupos de artículos y no artículos individuales, y podrían usarse métodos de pronóstico menos complicados. El grado mínimo de control se aplicaría a los artículos C. Para artículos C muy poco costosos con niveles moderados de demanda, se recomiendan tamaños grandes de lote para minimizar la frecuencia con que se piden. Para los artículos C costosos con muy poca demanda, la mejor política es no tener existencias. Tan sólo se piden esos artículos cuando se demandan.

Ejemplo Se selecciona al azar una muestra de 20 artículos distintos de la bodega de Harvey’s Specialty Shop. Los precios de esos artículos varían de .25 a 24.99 dólares, y su demanda promedio anual varía de 12 a 786. Los resultados del muestreo se registran en la tabla 5-1. En la tabla 5-2 se categorizan en orden decreciente por el valor monetario de sus ventas. Observe que sólo 4 de los 20 artículos almacenados explican más del 80 por ciento del volumen anual monetario generado por todo el grupo. También observe que hay artículos costosos en las categorías A y C. Este informe fue muy útil para Harvey, quien había supuesto que un queso de cabra empacado del sur de Francia, el R077, era rentable debido a su costo, y no se había percatado del TTR77, un chocolate en barra del país.

4.4 Modelos de inventario determinísticos. 4.4.1 Modelos de Cantidad Optima del Pedido. Este modelo es el más sencillo y fundamental de todos los modelos de inventario. Por sus iniciales se le podría llamar modelo CEP. Describe el importante compromiso entre los costos fijos y los costos de mantener el inventario, y es la base para el análisis de sistemas más complicados.

El modelo básico Haremos los supuestos siguientes: 1. La tasa de demanda se conoce y es una constante igual a A unidades por unidad de tiempo. (La unidad de tiempo puede ser día, semana, mes, etc. En lo sucesivo se supondrá que la unidad de tiempo es un año, salvo que se afirme otra cosa. Sin embargo, el análisis es válido para otras unidades de tiempo, mientras se expresen todas las variables relevantes en las mismas unidades.) 2. No se permiten faltantes. 3. No hay tiempo de demora de pedido. (Este supuesto será relajado.) 4. Los costos incluyen a) Costo de preparación K por pedido colocado. b) Costo proporcional de pedido c por unidad pedida. c) Costo de mantener el inventario h por unidad mantenida por unidad de tiempo. Se supondrá, sin pérdida de generalidad, que el inventario disponible en el tiempo cero es cero. No se permiten faltantes, de modo que cuando el tiempo es cero habrá que hacer un pedido. Sea Q el tamaño del pedido. En consecuencia, el inventario disponible aumentará en forma instantánea desde cero hasta Q, siendo el tiempo t A 0. Veamos el siguiente tiempo cuando hay que hacer un pedido. Esta vez el inventario puede ser positivo o ser cero otra vez. Un poco de reflexión nos indica que podemos reducir los costos de mantener el inventario si esperamos hasta que el nivel de inventario llegue a cero antes de hacer un nuevo pedido. En el momento en que el inventario disponible es igual a cero, el caso parece exactamente igual que cuando t A 0. Si fue óptimo colocar un pedido de Q unidades en ese momento, seguirá siendo óptimo pedir Q unidades. En consecuencia, la función que describe los cambios en los niveles de inventario a través del tiempo es la forma familiar de diente de sierra que muestra la figura 4-4.

Ejemplo: En la papelería de una universidad se venden lápices #2 con una tasa constante de 60 por semana. A la papelería le cuestan .02 dólares cada uno y los vende a .15 dólares por pieza. Cuesta 12 dólares iniciar un pedido, y los costos de mantener inventario se basan en una tasa anual de interés de 25%. Calcule la cantidad óptima de lápices que debe comprar la papelería, así como el tiempo entre la colocación de los pedidos. ¿Cuáles son los costos anuales de mantener el inventario y de preparación para este artículo? Solución: Primero se convierte la demanda a una tasa anual, para que sea consistente con los cargos por intereses que se hacen cada año. (También podría convertirse la tasa anual de interés a tasa semanal de interés.)

La tasa anual de demanda es (60)(52) 3 120. El costo h de mantener el inventario es el producto de la tasa de interés anual y el costo variable del artículo. Por consiguiente, h = (0.25)(0.02) = 0.005. Sustituyendo en la fórmula de la cantidad económica de pedido se obtiene

El tiempo del ciclo es T = Q/D(A) = 3 870/3 120 = 1.24 años. El costo anual promedio de mantener el inventario es h(Q/2) = 0.005(3 870/2) = $9.675 dólares. El costo anual promedio de preparación es K/Q, que también es 9.675 dólares. 4.4.2 Modelo con Descuentos. Hasta ahora se ha supuesto que el costo c de cada unidad es independiente del tamaño del pedido. Sin embargo, con frecuencia sucede que el proveedor está de acuerdo en cobrar menos por unidad cuando los pedidos son mayores. Esos descuentos por cantidad son comunes en muchos bienes de consumo. Aunque existen muchas tarifas (planes, programas, etc.) de descuento de distintos tipos, hay dos que parecen las más usadas: sobre todas las unidades e incrementales. En cada caso se supone que hay uno o más puntos límite que definen los cambios en el costo unitario. Sin embargo, hay dos posibilidades: el descuento se aplica a todas las unidades en un pedido (totales), o sólo se aplica a las unidades adicionales respecto al punto límite (incrementales). El caso más común es el de descuento sobre todas las unidades Ejemplo: Weighty Trash Bags tiene la siguiente tabla de precios para sus bolsas grandes de basura. Para pedidos de menos de 500 bolsas, .30 dólares cada una; para más de 500 pero menos de 1 000, .29 dólares cada una, y para más de 1 000, .28 dólares cada una. En este caso, los puntos límite son 500 y 1 000. El esquema de descuento es sobre todas las unidades, porque el descuento se aplica a todas las unidades en un pedido. La función costo de pedido C(Q) se define como sigue:

Se observa que el costo promedio por unidad con un esquema de descuento en todas las unidades será menor que el correspondiente con el esquema incremental. El esquema para todas las unidades parece irracional en ciertos aspectos. En el ejemplo anterior, 499 bolsas costarían 149.70 dólares, mientras que 500 sólo costarían 145 dólares. ¿Por qué Weighty Trash Bags cobra en realidad menos en un pedido mayor? Una razón sería para dar un incentivo en la compra al mayoreo. Si usted quisiera comprar 400 bolsas, podría elegir llegar al punto límite para obtener el descuento. Además, es posible que Weighty Trash Bags haya almacenado sus productos en lotes de 100, de tal modo que sus ahorros en costos de manejo podrían más que compensar el menor costo total. Supongamos que la empresa quiere saber qué pedido colocar con Weighty, y que su uso de bolsas de basura es relativamente constante (600 por año). El departamento de contabilidad estima que el costo fijo de hacer un pedido es 8 dólares, y que los costos de inventario se basan en una tasa de interés anual de 20%., c0 = 0.30, c1 = 0.29 y c2 = 0.28 son los respectivos costos unitarios. El primer paso para llegar a la solución es calcular los valores de la cantidad óptima de pedido que corresponden a cada uno de los costos unitarios, que representaremos como Q(0), Q(1) y Q(2), respectivamente.

Se dice que el valor de CEP es realizable si cae dentro del intervalo que corresponde al costo unitario que se usa para calcularlo. Como Q0 = 500, Q0 sí es realizable. Sin embargo, ni Q(1) ni Q(2) es realizable (Q(l) tendría que ser entre 500 y 1 000, y Q(2) debería ser 1 000 o más). Cada valor de cantidad económica de pedido corresponde al mínimo de una curva distinta de costo anual. En este ejemplo, si Q(2) fuera realizable, debería ser necesariamente la solución óptima, porque corresponde al punto mínimo de la curva más baja. Las tres curvas de costo anual promedio para este ejemplo se ilustran en la figura 4-11. Como cada curva sólo es válida para ciertos valores de Q, la función del costo anual promedio se representa con la curva discontinua gruesa. El objetivo del análisis es calcular el mínimo de esta curva discontinua. Hay tres candidatos para la solución óptima: 400, 500 y 1 000. En general, la solución óptima será la CEP máxima realizable o uno de los puntos límite mayor que ella. Es el tamaño del lote con el mínimo costo anual promedio.

Resumen de la técnica de solución para descuentos en todas las unidades 1.

2.

Determinar el valor máximo realizable de cantidad económica de pedido. La forma más eficiente de hacerlo es calcular la CEP primero para el precio mínimo y continuar con el siguiente más alto. Detenerse cuando el primer valor de CEP sea realizable (esto es, dentro del intervalo correcto). Comparar el valor del costo promedio anual a la máxima CEP realizable y en todos los puntos límite de precios que sean mayores que la máxima CEP realizable. La Q óptima es el punto en el que se tiene el mínimo costo anual promedio.

4.4.3 Modelo de producción y consumo.

4.4.4 Modelo con faltantes. Como mencionamos con anterioridad el modelo EOQ, puede tener diversas aplicaciones de esta forma el modelo EOQ Con faltantes, se basa en que la compañía permite que haya tiempos de espera entre un pedido y otro, es decir, que hayan pedidos atrasados, de esta manera se supone que hay un tiempo donde la demanda no se satisface a tiempo y se produce una escasez. De todo esto, también en se incurre en un nuevo costo que es el de las unidades faltantes durante el periodo t. De esta forma este

modelo de inventario tiene unos supuestos, que se basan en los mismos del EOQ clásico con la diferencia que se agregan: 1. Se permiten las faltantes 2. Se incurre en un costo de Faltante 3. La demanda es Constante y conocida: Esto se refiere a que por ejemplo, si la demanda ocurre a una tasa de 1000 unidades por año, la demanda durante cualquier periodo de t meses será 1000/12. 4. Los tiempos de reposición son instantáneos: Esto quiere decir que un pedido llega tan pronto se hace. 5. Existen Costos de hacer un pedido 6. Existen Costos de Mantener guardado en inventario 7. Los costos de mantener inventario y el costo de pedir no varían en el tiempo. 8. La cantidad a pedir es constante 9. Existe una relación directa costo-volumen

De esta manera aparece una cantidad “S” que es la cantidad máxima que permite la empresa como faltante. Observemos la gráfica:

De esta grafica se deduce que la empresa tiene en inventario un inventario máximo, que al consumirse totalmente por la demanda (llega a cero) la empresa esta permitiendo que una cantidad S de unidades le falten, para hacer un nuevo pedido que satisfaga la demanda de las unidades faltantes más las de las unidades que se demandan diariamente; de esto tenemos, que: I max= Es mi inventario máximo D=la demanda del periodo t S= cantidad de unidades de demanda faltantes Q= cantidad de unidades que se piden. Q = I max + S à

S=Q-Imax

Costo de Un periodo

Costo total anual.

Cantidad Óptima a pedir

Cantidad Faltante Óptima

4.5 Modelos de inventarios probabilísticos. 4.5.1 Nivel de servicio e inventario de seguridad. NIVELES DE SERVICIO EN SISTEMAS (Q, R) Con frecuencia, los gerentes pasan momentos difíciles al determinar un valor exacto del costo p de faltantes, aunque el modelo de inventario descrito es bastante realista para definir muchos sistemas. En muchos casos ese costo incluye componentes intangibles, como pérdida de buena voluntad y demoras potenciales para otras partes del sistema. Un sustituto común del costo de faltantes es un nivel de servicio. Aunque existen varias definiciones de servicio, por lo general indica la probabilidad de que se satisfaga una demanda, o un conjunto de demandas. Los niveles de servicio se pueden aplicar a sistemas de revisión periódica y a sistemas (Q, R). En la siguiente sección se describe cómo aplicar los niveles de servicio en sistemas de revisión periódica. A continuación se explican los niveles de servicio para sistemas de revisión continua. Enseguida se describen dos tipos de servicio, los cuales se denominan Tipo 1 y Tipo 2, respectivamente. Servicio Tipo 1 En este caso se especifica la probabilidad de no tener faltantes durante el tiempo de demora. Usaremos el símbolo α para representar esa probabilidad. Como la especificación de α determina por completo el valor de R, se pueden desacoplar los cálculos de R y Q. El cálculo de los valores óptimos de (Q, R) sujetos a una restricción de servicio Tipo 1 es bastante directo. a) Determine la R que satisface la ecuación F(R) = α. b) Iguale Q = CEP. Se interpreta a α como la proporción de ciclos en los que no hay faltantes. Un objetivo del Tipo 1 es adecuado cuando una ocurrencia de faltantes tiene la misma consecuencia, independientemente de su tiempo o cantidad. Un ejemplo sería cuando se detiene una línea de producción al faltar 1 o 100 unidades. Por lo general, cuando decimos que nos gustaría proporcionar un servicio de 95 por ciento, estamos indicando que nos agradaría poder cumplir con el 95 por ciento de las demandas cuando se presentan, y no llenar todas las demandas en el 95 por ciento de los ciclos de pedido. Asimismo, como los diversos artículos tienen longitudes distintas de ciclo, esta medida no será consistente entre productos diferentes, y ello dificulta elegir la adecuada. Servicio Tipo 2 Este servicio mide la proporción de las demandas que se surten con las existencias. Usaremos el símbolo β para representar esa proporción. Como se vio en la parte 5 del ejemplo 5.4, n(R) Q es la fracción promedio de las demandas que no se surten cada ciclo por agotamiento de las existencias. Por consiguiente, al especificar β se tiene como resultado la restricción n(R)/Q = 1- β.

Esta restricción es más compleja que la que surge en el servicio Tipo 1, pues por lo general implica a Q y a R. Sucede que aunque la CEP no es óptima en este caso, comúnmente da resultados bastante buenos. Si usamos esa CEP para estimar el tamaño de lote, encontraríamos R para resolver n(R)= CEP(1-β). Considere de nuevo el caso de Harvey’s Specialty Shop descrito en el ejemplo 5.4. Hay incomodidad en esta empresa con el supuesto de que el costo de faltantes es 25 dólares, y decide aplicar en su lugar un criterio de nivel de servicio. Supongamos que opta por usar un objetivo de nivel de servicio igual a 98 por ciento. 1. Servicio Tipo 1. Si suponemos que α es .98, calculamos una R tal que F(R) =0.98. De la tabla A-1 o la A4 obtenemos z = 2.05. Al igualar R = σZ + µ se obtiene R = 151. 2. Servicio Tipo 2. En este caso, β =0.98. Debemos resolver la ecuación n(R) = CEP(1- β), que equivale a L(z) = CEP(1 - β)/σ. Sustituyendo CEP = 100 y β =0.98 se obtiene L(z) = (100)(0.02)/25 = 0.08. En la tabla A-4 a partir de las expectativas parciales unitarias normales obtenemos z = 1.02. Al igualar R= σz + µ se obtiene R = 126. Observe que los mismos valores de α y β producen valores muy diferentes de R. Para comprender con más claridad la diferencia entre esas dos medidas del servicio, considere el siguiente ejemplo. Imaginemos que hemos rastreado las demandas y los faltantes durante 10 ciclos consecutivos de pedido, y que los resultados fueron los siguientes:

Con base en una medida de servicio Tipo 1, vemos que la fracción de los periodos en los que no hubo escasez es 8/10 = 80 por ciento. Esto es, la probabilidad de que todas las demandas se satisfagan en un solo ciclo de pedido es .8, según estas observaciones. Sin embargo, el servicio Tipo 2 que se proporciona en dicho caso es considerablemente mejor. En este ejemplo, la cantidad total de demandas durante los 10 periodos es 1 450 (la suma de los números de la segunda columna), y la cantidad total de demandas que ocasionan faltantes es 55. Por consiguiente, la cantidad de demandas satisfechas es 1 450 - 55 = 1395. La proporción de demandas satisfechas es 1 395/1 450 =0.9621, aproximadamente 96 por ciento. Se usa el término tasa de cumplimiento con frecuencia para describir al servicio Tipo 2, y por lo general eso es lo que los gerentes entienden por servicio. (La tasa de cumplimiento en este ejemplo fue 96 por ciento.) En este ejemplo vimos una diferencia apreciable entre la proporción de ciclos en los que todas las demandas se satisfacen (servicio Tipo 1) y la tasa de cumplimiento (servicio Tipo 2). Aun cuando es más fácil determinar la política óptima de operación que satisface un objetivo de servicio Tipo 1, esta política no se aproximará con exactitud a un objetivo de servicio Tipo 2, y no debe usarse para sustituirlo.

4.5.2 Modelo de Cantidad Fija.

Para este modelo de inventarios desarrollaremos los conceptos con un ejemplo; puesto que al inicio de estos apuntes, desarrollamos las fórmulas para calcular la CEP; tendremos el desarrollo del presente ejercicio para introducir otros conceptos.

El distribuidor local de Toyota debe decidir la cantidad de amortiguadores de choque de repuesto de un tipo específico que debe ordenar para las reparaciones de los automóviles Toyota. Estos amortiguadores de choque tienen una demanda de cuatro unidades por mes y un costo de 25 dólares cada uno. El cargo de mantenimiento es de 30% por año y el costo de ordenamiento es de 15 dólares por orden. Con base en la información anterior, determinar a) ¿Cuál es la cantidad económica de la orden para este artículo? b) ¿Con qué frecuencia reordenará el negociante esta parte? c) ¿Cuál es el costo anual de ordenamiento y de mantenimiento de esta parte? Solución al inciso a: Analizando los datos del problema propuesto, tomaremos el modelo de EOQ base para poder resolver los cuestionamientos solicitados; para tal efecto en presente problema representa una planeación de inventario de refacciones; para lo cual basados en las bibliografías y lecturas vistas tomaremos la base del EOQ y agregaremos el modelo P con un nivel (S,s); primeramente resolveremos la parte del EOQ, calcularemos P para un nivel de (Q,0). Analizando la formula; tenemos que los datos solicitados de tasas son anuales; para el presente ejercicio la Demanda del artículo a solicitar es mensual; a lo que primeramente haremos la conversión a la tasa anual de la siguiente manera: Consideramos que 12 meses se integran en un año y para la Demanda anual tomamos la demanda mensual x el no. De meses en el año. Para encontrar la Demanda anual, lo anterior quedaría 4 x 12 meses = 48 amortiguadores en el año (en 12 meses). El siguiente paso es analizar la información requerida la cual se presenta en la siguiente tabla. Datos Requeridos D: Demanda anual S: costo por realizar un pedido o de preparación C: Costo por unidad o precio i: Tasa de Interés anual para costo de mantenimiento de inventarios D= S= C= i=

48 amortiguadores 15 dólares 25 dólares 30%

La fórmula a utilizar se presenta a continuación. Q=√(2SD/iC) Sustituyendo los datos analizados en la ecuación obtenemos. Q=√(2x15x48/0.3x25) Q = 14 amortiguadores por pedido;

Solución al inciso b: Analizando los datos del problema y para dar respuesta a este inciso necesitamos calcular el Tiempo de ciclo (periodo de tiempo entre pedidos), el cual se calcula a partir del resultado encontrado en el inciso anterior. La fórmula que utilizaremos es la siguiente: Tiempo de ciclo (P)= Q*/D Sustituyendo los datos en la anterior ecuación tenemos lo siguiente; Tiempo de ciclo = 14/48 ; quedando igual a 0.2887 años o 3.46 meses Como la frecuencia entre pedidos, con un nivel (S , s ) dado por S = Q y s = 0. Solución al inciso c: En un año tenemos 12 meses; dividimos los meses del año entre el tiempo entre pedidos y obtendremos el no. De pedidos en el año = 12/3.46 esto da 3.46 pedidos; redondeado a 4 pedidos completos dato que el ultimo pedido quedará iniciado al final del año. Con el dato anterior procedemos a calcular el costo promedio anual de pedido, el cual se puede obtener mediante la siguiente ecuación: Costo anual promedio de solicitudes = No. De pedidos x S Sustituyendo los datos tenemos Costo anual promedio de solicitudes = 4 x 15; lo anterior da como resultado $60 dólares al año con un total de 4 pedidos realizados (considerando que el ultimo pedido se hará al cierre del año y quedará iniciado su consumo). Para completar la respuesta nos basaremos el siguiente análisis; se tiene que en el periodo inicial el inventario Q es lo ya calculado al inicio de cada tiempo de ciclo y al final cuando se termina la existencia o sea el valor de 0, se ordena y recibe la nueva cantidad de inventario a administrar, desde esta perspectiva tenemos que para este modelo de inventarios su existencia promedio estará dada por el punto medio entre Q y 0; es decir; el inventario promedio = Q*/2; de lo anterior con los datos obtenidos en el inciso a procederemos a calcular el inventario promedio. Inventario promedio = 14 / 2; 7 amortiguadores; Para obtener el costo del inventario promedio en el año tenemos la siguiente expresión: Costo de mantener el inventario promedio = (Q/2)x C x i Costo de mantener el inventario promedio =(14/2)*25*0.30 Costo de mantener el inventario promedio =$51.96 dólares, con un nivel (S , s ) dado por S = Q y s = 0.

Figura 1. El programa de compras de la pieza (amortiguadores) se observaría de la forma en que se presenta en la gráfica; 4 picos que representan las recepciones de los pedidos económicos realizados a lo largo del año. Ahora; para el presente análisis de la aplicación de los cálculos cuando los valores de S y s tienen valores distintos a los de Q como máxima cantidad de artículos en el inventario y 0 como el mínimo haremos en siguiente desarrollo. Primeramente hay que fijar los valores de los niveles de inventario; generalmente esto se hace en función de la capacidad financiera de la empresa, la disponibilidad de espacio, el tiempo de entrega de los productos; por mencionar algunos factores; para el presente ejercicio supondremos que la prioridad será garantizar en todo momento la existencia en un volumen superior a 3 veces la demanda mensual (nivel de servicio). De lo anterior tenemos que SS o Inventario de seguridad será igual al n veces la demanda mensual; es decir; SS= 14; y fijaremos a s = Nivel mínimo de inventario para reordenar la pieza y se optará que este nivel mínimo será igual al SS; el cual por cuestiones de calculo tomaremos que es igual a n veces la demanda mensual; es decir si SS =14 tendremos 4 meses (redondeando el valor) de demanda como inventario de seguridad, que en este caso será el valor de s (nivel mínimo de inventario). S= Nivel máximo de inventario por periodo; para este tomaremos el valor de Q más el inventario de seguridad; quedando S = Q + SS; lo anterior queda: 14 + 14 = 28; el nivel máximo de inventario En resumen tenemos los siguientes datos D mensual= 4 SS= 14 s= 14 S= 28 De lo anterior tenemos que la revisión periódica se hará cada mes; tomando como base el consumo mensual y el nivel mínimo de inventario igual a nuestro SS; para este análisis dado que el consumo de la parte es bajo (4); el SS que mantendremos será el de 4 meses de consumo (redondeando la cifra); bajo el supuesto que el tiempo de entrega del pedido se hace en el mismo día en que se solicita la reposición (pedido); y el monto a ordenar estará dado por U s; no se realiza ningún pedido en el ciclo de revisión. Lo anterior se puede visualizar en la gráfica presentada en el presente archivo (Figura 2), de igual manera las respuestas a los puntos b y c cambiarían al introducir estos puntos mencionados con anterioridad quedando de la siguiente manera: Solución al inciso b; con (S = Q + SS; s = SS) Lo expuesto en el análisis grafico se puede entender de la siguiente manera: Q= a la cantidad a ordenar D mensual; es el consumo de la demanda de un periodo; las revisiones hacen referencia a la supervisión del nivel mínimo para la solicitud de otra cantidad de pedido. S = al nivel máximo de inventario al tener en un evento de reorden.

La nueva cantidad a solicitar es igual a S - U; donde U = al nivel de inventario actual en el momento de la revisión. Lo que supone que la existencia en la formula toma la del nivel mínimo o SS y esto es restado directamente a S (o la suma de Q + SS) como lo que se consumirá al cierre del periodo; recordando que para Q el nivel real es 0 como punto de reorden en el método tradicional; por lo que el inventario promedio es Q/2; pero para este ajuste sería (Q/2 + SS), para un nivel mínimo igual al SS; si consideramos lo anterior y que esta actividad se repetirá durante todos los ciclos ; además que la demanda será la misma por mes. Lo anterior queda de la siguiente manera (integrando el valor del SS = s en la ecuación) Q= 14 amortiguadores por pedido (EOQ) P= Q*/D; donde 14/48, quedando igual a 0.2887 años o 3.46 meses, como el tiempo entre pedidos Quedando el no. De pedidos por año igual a 3.46 o 4 Pedidos completos; Lo anterior se obtuvo dividiendo 12 / 3.46 que para este caso es la frecuencia de pedidos en el año y el costo de pedidos total o anual igual a: Solución al inciso c: Costo de Promedio anual de pedido = 60 Dólares; Obtenido de No. De pedidos x S; donde S es el costo de ordenar en el modelo clásico de EOQ Costo de Mantenimiento del Inventario Promedio = 156.96 Dólares; El Costo de mantenimiento del inventario promedio está dado por la Formula de (Q/2 + SS) x C x i; sustituyendo (14/2 + 14) x 25 x 0.3 encontramos el valor presentado con anterioridad. Dado que en todo el año habrá un nivel mínimo igual a SS, más uno variable igual a Q/2 Puesto que representa la existencia máxima teórica menos la demanda del periodo en el que se recepciona; y su descenso hasta el punto de reorden (SS). EOQ (S,s) 30

25

20

15

10

5

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 306 312 318 324 330 336 342 348 354 360

0

4.5.3 Modelo de Periodo Fijo. Los sistemas de periodo fijo de pedido revisan los niveles de inventario en intervalos fijos de tiempo y se colocan pedidos que cubren material suficiente para que se recuperen los niveles e inventarios hasta algún nivel determinado. Los pedidos se colocan en intervalos de tiempo igualmente espaciados y las cantidades pedidas en cada ciclo se calculan utilizando esta fórmula: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝑀𝑒𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 − 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 − 𝐸𝐷𝐷𝐿𝑇 La meta superior del inventario normalmente se determina a partir de la cantidad de espacio asignada a un material, ya sea en un almacén o en los anaqueles de una tienda. Si en el momento de la revisión del nivel de inventarios éste es relativamente bajo, se colocan

cantidades más grandes. Si, por otra parte, durante la revisión los inventarios son elevados, se colocan cantidades menores. El sistema de periodo fijo se emplea en inventarios donde resulte deseable contar físicamente los inventarios en una base periódica regular, como en algunas tiendas al menudeo. En estas situaciones, particularmente en el caso de bienes exhibición, donde no es factible una contabilidad perpetua de inventarios, el conteo periódico de materiales podría ser el sistema más práctico y sería apropiado el sistema de periodo fijo de pedido. Una vez establecido el intervalo del pedido y conocidas las fechas de las revisiones de los inventarios, no es necesario que se vigile el nivel del inventario hasta la siguiente inspección. Entre estas revisiones, se combinan las incertidumbres de la demanda como del plazo de entrega para ofrecer a este sistema un riesgo mayor de faltantes de almacén que en el caso del sistema de cantidades de pedido fijo. Sin una revisión perpetua de los niveles de inventario, faltantes pueden ocurrir en los sistemas de periodo fijo de pedido, prácticamente en cualquier momento. El sistema de periodo fijo de pedido requiere por lo tanto de una existencia de seguridad más grande para hacer frente a este mayor riesgo de faltantes.

La selección de un punto de pedido para los materiales es la decisión clave en el sistema deli periodo fijo de pedido. Si los materiales se revisan con demasiada frecuencia, los costos anuales de pedir son excesivos, pero si se revisan con muy poca frecuencia, las cantidades de pedido y los niveles de inventario serán demasiado elevados y aumentará la probabilidad de faltantes. Por lo tanto, el intervalo de tiempo entre revisiones debe ser tal que los costos anuales de almacenar queden equilibrados contra los costos anuales de pedir. La tabla 10.7 presenta los supuestos y definiciones de las variables, así como las fórmulas para el modelo IV: periodo fijo de pedidos.

Tabla 10.7

MODELO IV.PERÍODO DE PEDIDO Supuestos 1. Es posible de estimar la demanda anual, el costo de mantenimiento y el costo de pedido y de material. 2. El inventario promedio es el tamaño promedio de pedido dividido entre dos. Esto explícitamente supone que no hay existencia de seguridad, que los pedidos se reciben todo de una vez, que los materiales se utilizan a una tasa uniforme y que en promedio los materiales se agotan cuando se recibe el siguiente pedido. 3. Se consideren inconsecuentes los faltantes de almacén, la sensibilidad a los clientes y otros costos. 4. No existen descuentos por cantidad. Definiciones de variables Aquí son aplicables las definiciones de variables del modelo I.* Además: 𝑇 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜. Fórmulas de los costos 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑟 𝐷𝑇 = ( )𝐶 2 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑟 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝐷 𝑆 = ( )𝑆 = 𝐷𝑇 𝑇 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑇𝑆𝐶) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑟 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑟 𝐷𝑇 𝑆 = ( )𝐶 + 2 𝑇 Deducción de la fórmula del periodo óptimo de pedidos Determine la derivada de TSC con respecto a T igual a cero y resuelva en función de T: 𝐷𝑇 𝑆 1. 𝐿𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇𝑆𝐶 𝑒𝑠: 𝑇𝑆𝐶 = ( ) 𝐶 + 2 𝑇 𝑑(𝑇𝑆𝐶) 𝐷 𝑆 2. 𝐿𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑇𝑆𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑇 𝑒𝑠: = ( ) 𝐶 − ( 2) 𝑑(𝑇) 2 𝑇 𝐷 𝑆 3. 𝐻𝑎𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑇𝑆𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 ( ) 𝐶 − ( 2) = 0 2 𝑇 𝑇 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑎 𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑇: 4. 𝐿𝑎 𝑇 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑠, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:

2𝑆 𝑇=√ 𝐷𝐶

El ejemplo 10.8 aplica estas fórmulas para el periodo óptimo de pedido y la cantidad de pedido óptima de este modelo a un material en una empresa al mayoreo. Observe que T, que es el intervalo óptimo de tiempo para revisar el estado de un material y colocar un pedido de materiales, se expresa como una fracción de año. Observe también que T es un cálculo que sólo se haría aproximadamente una vez al año, en tanto que los cálculos de las cantidades de los pedidos deben efectuarse para cada uno de ellos. En otras palabras, T se conserva fijo durante un largo tiempo y se permite que Q varíe de un pedido al siguiente.

EJEMPLO 10.8 El C, D & F Retailing Company revisa mensualmente los niveles de inventario de sus productos en exhibición y de ser necesario, envía pedidos para estos productos, a sus proveedores. El gerente regional se pregunta si las revisiones mensuales son óptimas al considerar tanto los costos de almacenar como los costos de pedir. Se selecciona un producto como objeto de análisis: Goo-Goo, alimento infantil dé cereal en envase de vidrio. Se desarrolló la siguiente información para Goo-Goo: D = 29,385 tarros anuales, C = 30% el costo de adquisición, AC = $129 por envase y S = $10.90 por pedido. a. ¿Con qué frecuencia deberá pedirse Goo-Goo? b. En la primera revisión después de haber calculado T en el inciso a, si el nivel de inventario es igual a 985 tarros, la meta superior del inventario (incluyendo la existencia seguridad = 3,220 tarros) y la demanda esperada durante el plazo de entrega = 805 tarros, ¿cuántos tarros deberán pedirse? SOLUCIÓN a. C= 0.3 x 0.29 2𝑆 2(10.9) 𝑇=√ = √ = 0.0923 𝑎ñ𝑜𝑠 = 33.7 𝑑í𝑎𝑠 (29,385)(0.3𝑥0.29) 𝐷𝐶 b. Cantidad de pedido = meta superior del inventario – nivel de inventarios + EDDLT = 3,220 − 985 + 805 = 3,040 𝑡𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠

Se pueden deducir las siguientes generalizaciones a partir de la fórmula para T: 1. Los materiales más costosos se revisan con mayor frecuencia. 2. Los materiales con ritmos más elevados de uso se revisan con mayor frecuencia. 3. Los materiales con costos de pedir superiores se revisan y piden con mayor frecuencia. Aparentemente estos son criterios racionales para la determinación del intervalo de los pedidos para los materiales. Tomado del libro: “Administración de Producción y Operaciones”, Normal Gaither, Greg Frazier. Páginas: 377-379.

MODELOS PARA PERIODOS FIJOS DE TIEMPO En un sistema con periodos fijos, el inventario sólo se cuenta en momentos concretos; por ejemplo, cada semana o cada mes. Contar el inventario y colocar órdenes periódicamente es aconsejable en ciertas situaciones, como cuando los proveedores visitan rutinariamente a los clientes y levantan órdenes para su línea entera de productos o cuando los compradores quieren combinar órdenes para ahorrar costos de transporte. Otras empresas operan con periodos fijos para facilitar la planeación de la contabilidad de sus inventarios; por ejemplo, el Distribuidor X llama cada dos semanas y los empleados saben que deben contar todo el producto de ese distribuidor. Los modelos para periodos fijos generan cantidades de la orden que varían de un periodo a otro, dependiendo de los porcentajes de uso. En general, requieren de un nivel más alto de existencias de reserva que el sistema de la cantidad fija de la orden. El sistema de la cantidad fija de la orden presupone un seguimiento constante de las existencias en inventario y la colocación inmediata de una orden cuando se llega al punto de una nueva orden. Por otra parte, los modelos estándar de periodos fijos suponen que sólo contamos el inventario en el momento especificado para la revisión. Existe la posibilidad de que una demanda grande reduzca las existencias a cero, justo después de que hemos colocado la orden. Esta situación tal vez pase inadvertida hasta la revisión del siguiente periodo. En tal caso, el nuevo pedido que hemos colocado todavía tardará algún tiempo en llegar. Por tanto, existe la posibilidad de que nos quedemos sin existencias a lo largo del periodo entero entre revisiones, T, y el tiempo de entrega del pedido, L. En este contexto, las existencias de reserva deben protegernos contra el desabasto durante el periodo entre revisiones y también durante el tiempo de entrega que es el tiempo que transcurre desde que colocamos el pedido hasta que lo recibimos.

MODELOS PARA PERIODOS FIJOS CON EXISTENCIA DE RESERVA Con un sistema de periodos fijos, colocamos las nuevas órdenes en el momento de la revisión (T) y las existencias de reserva que debemos pedir son: [14.10]

Existencias de reserva = 𝑧𝜎𝑇 + 𝐿

La figura 14.6 muestra un sistema de periodos fijos con un ciclo de revisión T y un tiempo de entrega constante de L. En este caso, la demanda está distribuida aleatoriamente en torno a una media d. El volumen de la orden q es: [14.11] 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 = 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑣𝑢𝑙𝑛𝑒𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒 + 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑 − 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑚á𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛, 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑐𝑎𝑠𝑜)

̅ (𝑻 + 𝑳) + 𝒛𝝈𝑻 + 𝑳 − 𝑰 𝒒=𝒅 Dónde: q = Cantidad que se ordenará T = Cantidad de días entre revisiones L = Tiempo de entrega en días (tiempo que transcurre entre la colocación de la orden y su recepción) d = Pronóstico de la demanda diaria promedio Z = Número de desviaciones estándar para una probabilidad específica de servicio 𝜎𝑇 + 𝐿 = Desviación estándar de la demanda entre revisiones y tiempo de entrega I = Nivel corriente del inventario (incluye artículos ya ordenados) Nota: La demanda, el tiempo de entrega, el periodo entre revisiones y demás pueden ser una unidad de tiempo cualquiera, como días, semanas o años, siempre y cuando sean constantes en toda la ecuación. En este modelo, si queremos, podemos pronosticar la demanda (d) y revisarla cada periodo entre revisiones o, cuando sea conveniente, podemos usar el promedio anual. Suponemos que la demanda está distribuida normalmente. El valor de z depende de la probabilidad de un desabasto y lo podemos encontrar usando el apéndice D o usando la función NORMSINV de Excel.

EJEMPLO 14.5: Cantidad por ordenar La demanda diaria de un producto es de diez unidades con una desviación estándar de tres unidades. El periodo entre revisiones es de 30 días y el tiempo de entrega es de 14 días. La gerencia ha establecido la política de satisfacer 98 por ciento de la demanda con los artículos en existencias. Al inicio de este periodo entre revisiones, el inventario tiene 150 unidades. ¿Cuántas unidades deberíamos ordenar?

SOLUCIÓN La cantidad que debemos ordenar es: 𝑞 = 𝑑̅(𝑇 + 𝐿) + 𝑧𝜎𝑇 + 𝐿 − 𝐼 𝑞 = 10(30 + 14) + 𝑧𝜎𝑇 + 𝐿 − 150 Antes de encontrar la solución completa, tendremos que encontrar 𝜎𝑇 + 𝐿 y 𝑧. Para encontrar 𝜎𝑇 + 𝐿 usamos la noción, como antes, de que la desviación estándar de una secuencia de variables aleatorias independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de las varianzas. Por tanto, la desviación estándar durante el periodo 𝑇 + 𝐿 es la raíz cuadrada de la suma de las varianzas de cada día: [14.12] 2 𝜎𝑇 + 𝐿 = √∑𝑇+𝐿 𝑖=1 𝜎𝑑𝑖

Como cada día es independiente y 𝜎𝑑 es constante, 𝜎𝑇 + 𝐿 = √(𝑇 + 𝐿)𝜎𝑑2 = √(30 + 14)(3)2 = 19.90 El valor z para P = 0.98 es 2.05. Así pues, la cantidad por ordenar es: 𝑞 = 𝑑̅(𝑇 + 𝐿) + 𝑧𝜎𝑇 + 𝐿 − 𝐼 𝑞 = 10(30 + 14) + 2.05(19.90) − 150 = 331 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.

Para garantizar un 98 por ciento de probabilidades de no sufrir desabasto, pediremos 331 unidades para este periodo entre revisiones.

Tomado del libro: “Administración de la Producción y operación para una ventaja competitiva”, Chase, Jacobs, Aquilano. Páginas: 622-624

EOQ de nuevo El modelo del EOQ también puede examinarse desde una perspectiva de revisión periódica. Recuerde que la suposición es que el tiempo de entrega es cero. El EOQ se podría ver como un sistema de revisión periódica, en el que el valor optimo del periodo de revisión es: Q∗ D

T*=

2A hD

=√

El nivel de inventario meta es Q*, de manera que el tamaño del lote ordenado es Q*. Cuando el tiempo de entrega es τ, T* permanece igual, pero el inventario meta es R+Q* con tamaño de lote Q*. Ejemplo 6-28. Sistemas de revisión periódica. Se hace referencia al pequeño taller de soldadura en el ejemplo 6-1. Solución. Se tiene D=1000lb/año Q*=EOQ=120lb Entonces Q∗

T*= D =120/1000=0.12años=6.24semanas Sea t=2 semanas el tiempo de entrega; la demanda por semana es 1000/52=19.25lb/semana. Esto da un punto de reorden de R=Dτ=38.50lb La geometría del inventario se muestra en la figura 6-24.

Figura 6-24 Geometría de revisión periódica.

MODELOS(S, T) Considere un sistema de revisión periódica en el que el inventario meta es igual a S; en cada revisión si xt ≤S, se ordena hasta el nivel del inventario meta S. este es un caso especial en el que R=S. Se tienen dos variables de decisión, el intervalo de revisión T y el intervalo meta S. Al igual que en los sistemas de revisión continua, todavía se tiene un trueque entre el nivel de servicio y la inversión. De nuevo hay dos enfoques, uno de optimización, basado en un costo por faltantes π, y un enfoque administrativo, en el cual se fija el nivel de servicio. Se analizará el enfoque administrativo. Se tienen las mismas suposiciones para lo sistemas (Q, R); existe un reabastecimiento infinito, la demanda es una variable aleatoria D y el tiempo de entrega es constante e igual a τ. La geometría del inventario se muestra en la figura 6-25.

Figura 6-25 Geometría del sistema (S, T) Decisión del periodo de revisión. El periodo de revisión T se puede basar en la conveniencia, es decir, una vez al mes, todos los viernes, etc., o según la fórmula EOQ, esto es, T=√

2A hḊ

Decisión del inventario meta. El mismo argumento dado para el sistema (Q, R) se cumple aquí; elegir S es equivalente a decidir el nivel del inventario de seguridad. La diferencia está en la longitud del periodo para el que se necesite el inventario de seguridad. En el sistema (Q, R) se requería el inventario de seguridad para cubrir sólo el tiempo de entrega τ, ya que las órdenes se pueden colocar en cualquier momento. Para los sistemas(S, T), una orden debe ser lo suficientemente grande para que dure hasta la siguiente revisión, T periodos después. Por lo tanto, S debe ser por lo menos igual a la demanda esperada durante (T+ τ), que no incluye inventario de seguridad. Al considerar el inventario de seguridad y usar la misma notación que para el modelo (Q, R), se obtiene S=Ḋ (T+ τ)+s Para una demanda en el tiempo de entrega con distribución normal, S=zσT+τ

lo que lleva a S= Ḋ(T+ τ)+ σT+τ donde σT+τ es la desviación estándar de la demanda durante (T+ τ). Un sistema(S, T) requiere más inventario de seguridad que un sistema (Q, R) ya que el periodo que necesita protección contra faltantes es mas largo. El valor de z determina el nivel de servicio y, como antes, se puede usar cualquiera de las políticas 1 o 2. Inventario meta, política 1: el nivel de servicio requerido es α, y el procedimiento es el mismo que para el sistema (Q, R). 1.- En la tabla de la distribución normal (tabla A-1), se encuentra el valor de z que corresponde F(z)=α 2.- Se evalúa S usando el valor obtenido para z. Inventario meta, política 2: el nivel de servicio requerido es la tasa de surtido β. La cantidad esperada de faltantes durante (T+ τ) es σT+τ L(z) El número esperado de unidades faltantes en el año es 1 (σ L(z)) (T + τ) T+τ porque son 1/(T+ τ) veces por año que se necesita protección contra faltantes. Éste es igual al número deseado de unidades que faltan al año obtenido por la tasa de surtido. Por lo tanto, 1

(1-β) Ḋ = (T+τ) (σT+τ L(z)) o, después de arreglar los términos, (1−β)Ḋ(T+τ)

L(z)=

σT+τ

Ḋ (T+ τ) es la demanda esperada durante el periodo que se necesita protección contra faltantes. El procedimiento para la política 2 es: 1.- Se evalúa L(z). 2.- Se usa L(z) en la tabla A-2 para obtener z. 3.- Se calcula S usando el valor de z. Ejemplo 6-29. Sistema(S, T). Jones, el dueño de una tienda de café estima que la demanda anual de cierto tipo grano de café tiene una distribución normal con Ḋ =240lb y σ=32. El tiempo de entrega de una orden es1/2 mes. Jones adopto una política de revisión periódica(S,

T); para controlar el inventario y establecer el ciclo de revisión T igual a un mes. Se requiere calcular el punto de reorden para las políticas 1 y 2. Las dos tiene nivel de servicio α = β = 95%.

Solución D~N(240,1024) T= 1 mes = 1/12 años τ = ½ mes = 1/24 años T+ τ = 1/12+1/24 años = 1/8 años 1 ḊT+t = Ḋ(T + τ) = 240 x = 30 8 σ2T+τ =

1024 → σT+τ = 11.31 8

Por lo tanto, DT+τ ~ N(30,128) Política 1: α = 95% F(z)=0.95 Entonces, de la tabla A-1, Z=1.65 S= ḊT+τ + zσT+τ = 30 + (1.65)(11.31) = 48.6

y Política 2:

β = 95% L(z)=

(1−β)ḊT+τ σT+τ

=

(1−0.95)(30) 11.31

= 0.1326

De la tabla A-2, se encuentra Z=0.745 de manera que

S=30+ (0.745)(11.35)=38.42

De nuevo se obtiene el mismo nivel de servicio en distintos puntos de reorden para las dos políticas. Fuente: Planeación y Control de la Producción. Daniel Sipper. Ropbert L. Bulfin Jr. (Pág. 305-308)

SISTEMA DE REVISION PERIÓDICA Un sistema alternativo de control de inventario es el sistema de revisión periódica (P), conocido a veces como sistema de reorden a intervalos fijos o sistema de reorden periódica, en el cual la posición de inventario de un artículo se revisa periódicamente y no en forma continua. Un sistema de ese tipo puede simplificar la programación de las entregas porque estable una rutina. Los nuevos pedidos se colocan siempre al final de cada revisión y el tiempo entre pedidos (TBO) tiene un valor fijo de P. La demanda es una variable aleatoria, por lo que la demanda total entre revisiones es variable. En un sistema P, el tamaño del lote, Q, puede cambiar de un pedido a otro, pero el tiempo entre pedidos es fijo. Un ejemplo de un sistema de revisión periódica es el de un proveedor de refrescos que visita semanalmente las tiendas de abarrotes. Cada semana, el proveedor revisa el inventario de refrescos de la tienda y vuelve a aprovisionarla con un volumen de artículos suficiente para satisfacer tanto la demanda como los requisitos de inventario de seguridad, hasta la semana siguiente. En un sistema P, se mantienen 4 de las suposiciones originales de la EOQ: (1) que no existan restricciones en cuanto al tamaño del lote; (2) que los costos pertinentes sean los de mantenimiento de inventario y los de hacer pedidos; que las decisiones referentes a un artículo sean independientes de las decisiones correspondientes a otros artículos, y (4) que no exista incertidumbre en los tiempos de entrega y se conozca la oferta. Sin embargo, aquí también se tiene en cuenta la incertidumbre de la demanda. Más adelante se tomará en cuenta la incertidumbre en los tiempos de entrega. La figura 12.12 ilustra el sistema de revisión periódica bajo estas suposiciones. Las líneas con pendiente descendente representa de nuevo el inventario disponible. Cuando el tiempo predeterminado, P, ha transcurrido desde la última revisión se coloca un nuevo pedido para que la posición de inventario, representada pro la línea de trazos discontinuos, vuelva al nivel de inventario deseado, T. El tamaño del lote para la primera revisión es Q1 , o sea, la diferencia entre la posición de inventario IP1 y T. Igual que en el sistema de revisión continua, IP y OH difieren solamente durante el tiempo de espera. Cuando llega el pedido, al final del tiempo de espera los valores de OH e IP vuelven a ser idénticos. La figura 12.12 muestra que los tamaños del lote varían de un ciclo de pedido al siguiente. Puesto que la posición de inventario es mas baja en la segunda revisión, se necesita una cantidad mayor para alcanzar un nivel de inventario T.

Figura 12.12 Sistema P cuando la demanda es incierta. Selección del tiempo entre revisiones. Para manejar un sistema P, los gerentes necesitan tomar dos decisiones: la cantidad de tiempo entre revisiones, P, y el nivel objetivo del inventario, T. Primero se considerará el tiempo entre revisiones, P. Éste puede ser cualquier intervalo conveniente, por ejemplo, todos los viernes o cada dos viernes. Otra opción consiste en tomar como base de P los trueques de ventajas y desventajas de costos de la EOQ. En otras palabras, P puede tener el mismo valor que el tiempo promedio entre pedidos para la cantidad económica de pedido, o sea, TBOEOQ. Debido a que la demanda es variable, algunos pedidos serán mayores que la EOQ y otros serán más pequeños. Sin embargo, a lo largo de un periodo prolongado, el tamaño promedio del lote se aproximará a la EOQ. Si se utilizan otros modelos para determinar el tamaño del lote (por ejemplo, los que se describen en el suplemento D,”Modelos especiales de inventario”), será necesario dividir el tamaño del lote seleccionado entre la demanda anual D, y usar este resultado como P. Este último estará expresado como la fracción de un año que transcurre entre los pedidos, la cual puede convertirse después a meses, semanas o días, según se requiera. Selección del nivel objetivo de inventario cuando la demanda es incierta. Ahora se calculará el nivel objetivo de inventario, T, cuando la demanda es incierta, pero el tiempo de espera es constante. La figura 12.12 revela que el pedido debe ser suficientemente grande para hacer que la posición de inventario, IP, dure hasta después de la próxima revisión, la cual se encuentra a P periodos de tiempo de distancia. El revisor deberá esperar P periodos para revisar, corregir y restablecer la posición de inventario. Entonces se colocará un nuevo pedido pero éste no llegará sino hasta que haya transcurrido el tiempo de espera, L. Por lo tanto, tal como se aprecia en la figura 12.12, se necesita un intervalo de protección de P+L periodos. Una diferencia fundamental entre lo sistemas Q y P es el lapso requerido como protección contra el desabasto. Un sistema Q sólo requiere dicha protección durante el tiempo de espera, por que los pedidos pueden hacerse ene el momento en el que se necesitan y será recibidos L periodos después. En cambio, un sistema P requiere protección contra el desabasto durante un

intervalo P+L más prolongado, porque los pedidos solamente se hacen a intervalo fijos y el inventario no se realiza hasta la próxima fecha designada para el efecto. Igual que con el sistema Q, es necesario desarrollar la distribución apropiada de la demanda durante el intervalo de protección, para especificar cabalmente el sistema. En un sistema P, debemos desarrollar la distribución de la demanda para P+L periodos. El nivel objetivo de inventario T deberá ser igual a la demanda esperada durante el intervalo de protección de P+L periodos más el inventario de seguridad suficiente para protegerse contra la incertidumbre de la demanda durante ese mismo intervalo de protección. Aquí se aplicarán las mismas suposiciones estadísticas que se plantearon en el caso del sistema Q. Así, la demanda promedio durante el intervalo de protección es d(P+L), o sea: T=d(P+L)+ inventario de seguridad para el intervalo de protección. El intervalo de seguridad para un sistema P se calcula de manera muy similar a como se hizo en el caso del sistema Q. Sin embargo, este inventario de seguridad tendrá que cubrir la incertidumbre de la demanda por un periodo de tiempo más largo. Cuando se usa una distribución de probabilidad normal, se multiplican las deviaciones estándar deseadas para implementa el nivel de servicio de ciclo, z, pro la deviación estándar de la demanda en el curso del intervalo de protección, σP+L. El valor de z es el mismo que en el caso de un sistema Q con el mismo nivel de servicio de ciclo. Por consiguiente: Inventario de seguridad= zσP+L Aplicando la misma lógica que se empleó anteriormente para calcular σL , se sabe que la desviación estándar de la distribución de la demanda durante el intervalo de protección es: σP+L = σt √P + L Por el hecho de que un sistema P requiere un inventario de seguridad para cubrir la incertidumbre de la demanda durante un periodo de tiempo más largo que un sistema Q, el sistema P requiere más inventario de seguridad; es decir, σP+L es superior a σL . Por lo tanto, para aprovechar las ventajas de un sistema P, es necesario que los niveles de inventario en general sean un poco más altos que los de un sistema Q. Cálculo de los costos totales del sistema P. Los costos totales del sistema P son la suma de los mismos 3 elementos de costos que en el sistema Q. Las diferencias residen en el cálculo de la cantidad de pedido y el inventario de seguridad. Como se muestra en la figura 12.12, la cantidad promedio de pedido será el consumo promedio del inventario durante los periodos P entre pedidos. En consecuencia, Q =dP. Los costos totales del sistema P son: dP

D

C= 2 (H) + dP (S) + HzσP+L La práctica administrativa muestra cómo Hewlett-Packard implementó un sistema de revisión periódica de inventario en muchas de sus unidades de negocios.

4.6 Uso de software en inventarios PRÁCTICA ADMINISTRATIVA. IMPLEMENTACION DE UN SISTEMA DE REVISIÓN PERIÓDICA DE INVENTARIO EN HEWLETT-PACKARD Hewlett-Packard fabrica computadoras, accesorios y una amplia variedad de dispositivos de instrumentación en más de 100 unidades de negocios separadas. Cada unidad es responsable por el diseño, marketing y fabricación de sus propios productos, así como de mantener el inventario requerido para atender a sus clientes. En la mayoría de las líneas de negocios de HP, los costos relacionados con el inventario (que incluyen la devaluación, obsolescencia, protección de precios y financiamiento del inventario) son ahora la mayor palanca de control que la organización manufacturera tiene sobre el desempeño empresarial, medido en términos del rendimiento de los activos o el valor económico agregado. El inventario es una de las principales directrices de los costos y el elemento más variable en el balance general. La mayoría de las unidades de negocios de HP eran ineficientes y mantenían más inventario del que necesitaban para alcanzar el nivel deseado de desempeño en la entrega de productos. A menudo, las unidades aplicaban métodos simplificados, como el análisis ABC, para determinar sus inventarios de seguridad de artículos con demanda independiente, pasando por alto la incertidumbre de la oferta y la demanda, el uso de partes en común, la disponibilidad deseada de los componentes o los costos. La solución consistió en desarrollar un sistema de revisión periódica que usa metas de disponibilidad de partes e incluye todas las incertidumbres posibles. El sistema, aunque en principio es semejante al sistema P descrito en este capítulo, usa ecuaciones complejas para determinar los parámetros del intervalo de revisión y el inventario objetivo. La complejidad se debe a que toma en consideración la incertidumbre tanto de la oferta como de la demanda en la determinación de los inventarios de seguridad. A pesar de que el sistema podía reducir los inventarios y mejorar el servicio al cliente, no podían realizarse sus beneficios sino hasta que el personal de planeación y compras lo usara en realidad. Debido a que cada unidad de negocios tenía algunas características peculiares, los resultados tenían que ser fácilmente comprensibles y verosímiles, y el sistema tenía que poder configurarse con facilidad en cada situación. En consecuencia, HP desarrolló un asistente de software que permite al usuario introducir datos y costos del producto en un ambiente amigable, y desarrolla las ecuaciones para el sistema de revisión periódica y después traduce los resultados según los requerimientos de formato del usuario. El asistente está programado en Excel, lo que permite a los usuarios tener acceso a todas las funciones de Excel para realizar sus propios análisis. El sistema de revisión periódica y el asistente de software resultaron muy exitosos. Por ejemplo, en la División de Fabricación de Circuitos Integrados de HP, los planificadores redujeron los inventarios en 1.6 millones de dólares y simultáneamente, mejoró el desempeño en cuanto a entregas puntuales, de 93% a 97%. Entre otros beneficios se cuentan menos

apresuramientos, menos desacuerdos sobre la política de operación y más control del sistema de producción. El sistema se usa en una amplia variedad de líneas de producción y zonas geográficas en todo el mundo. HP cree que no hay duda de que el sistema ha producido operaciones más eficientes en las divisiones.

Fuente: Administración de Operaciones. Procesos y cadenas de valor. Lee Krajewski. Larry Ritzman y Manoj Malhotra. (Pág. 484-486)

Video: http://www.youtube.com/watch?v=LJSWMBZUX5g