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Ecuaciones diferenciales Colaborativo 1

ACTIVIDAD No. 1

Cuál es la historia y porque nacen las Ecuaciones Diferenciales. (Referirse al planteamiento de Newton en la mecánica clásica y la temática de la caída libre)

En la época de Newton se conocían las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario La primera ley derriba la idea de las orbitas circulares y declara que las orbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas y el sol se encuentra en uno de sus focos La segunda la velocidad areolar es constante, “es decir la recta que une al planeta con el sol barre áreas iguales en tiempos iguales” (FisicaLab, s.f.) Si T es el periodo de Tiempo de un planeta, y “a” es el eje mayor de su órbita entonces T/a^2, es constante para todos los planetas Kepler no comprendió el alcance de estas, fue newton quien usó las ecuaciones diferenciales para el movimiento planetario y logró demostrar las tres leyes a partir de la ley de atracción universal. El estudio de las ecuaciones diferenciales se afianzó después de Newton pues se desarrolló en la medida que las ciencias naturales también lograban avanzar. Muchos problemas de física se plantean por medio de ecuaciones diferenciales así las leyes de movimiento de Newton, las ecuaciones de Euler de hidrodinámica, de Laplace, de poisson entre muchas otras. (Takeuchi, Ruiz, & Ramirez) Las ecuaciones diferenciales se utilizan en diversos campos de la ciencia aunque surgieron de los trabajos de Newton y Leibniz en el perfeccionamiento del cálculo y especialmente relacionado con la física principalmente relacionada con el movimiento de los planetas y la caída de los cuerpos. La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias comenzó a desarrollarse en el siglo XVII, simultáneamente con el surgimiento del cálculo diferencial e integral. Se puede decir que la necesidad de resolver las ecuaciones diferenciales para las exigencias de la Mecánica (es decir, para encontrar las trayectorias de los movimientos) fue, a su vez, el estímulo para la creación del nuevo método de cálculo por Newton y Leibniz. Las leyes de Newton constituyen un modelo matemático simple del movimiento mecánico (Napoles, 1998)

Fue Leibniz el primero en usar el término ecuación diferencial en 1676 desde entonces se usan para modelar y resolver problemas, muchas cosas que suceden de forma natural obedecen a leyes físicas estas permiten predecir la forma en que un fenómeno puede o no ocurrir. En caída libre si se lanza una roca desde un punto alto surgen preguntas como que tiempo puede tardar en llegar al suelo, se necesita un modelo matemático que pueda replicar el fenómeno y lograr un alto grado de predicción, la caída libre se rige por la ley de gravedad y el tiempo de caída está dado por dt=√ 2 h/g donde h es la altura y g es la aceleración gravitacional local (Cengel & Palm, 2013) Para lograr obtener una ecuación diferencial se necesita conocimiento del problema sus variables y los supuestos para el modelo Como caso especial, considere la caída libre de un cuerpo bajo la influencia de la gravedad. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, la única fuerza que actúa en el cuerpo es la fuerza de gravedad. Tomando la dirección vertical ascendente como la dirección positiva z, la fuerza gravitacional puede expresarse como F = -mg, donde g es la aceleración gravitacional local que actúa hacia abajo (en la dirección z negativa). Entonces, 2 2 reemplazando z por s y F (t) por -mg dado que f =ma=m d z /d t d2 s =−mg d t2 Donde s es la distancia vertical desde el punto de referencia (Cengel & Palm, 2013) La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias comenzó a desarrollarse en el siglo XVII, simultáneamente con el surgimiento del cálculo diferencial e integral. Se puede decir que la necesidad de resolver las ecuaciones diferenciales para las exigencias de la Mecánica (es decir, para encontrar las trayectorias de los movimientos) fue, a su vez, el estímulo para la creación del nuevo método de cálculo por Newton y Leibniz. Las leyes de Newton constituyen un modelo matemático simple del movimiento mecánico

Definir una Ecuación Diferencial “Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial” (Zill & Cullen, Ecuaciones Diferenciales con Problemas en la Frontera, 2009) Se clasifican por orden, tipo y linealidad Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales. Clasificación por tipo Ordinaria

“Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO)”. (Zill & Cullen, Ecuaciones Diferenciales con Problemas en la Frontera, 2009) Parcial “Son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP)”. (Zill & Cullen, Ecuaciones Diferenciales con Problemas en la Frontera, 2009) Clasificación Por Orden El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor derivada en la ecuación. Clasificación por linealidad Lineales La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer orden Cada coeficiente de “y” y sus derivadas depende de la variable independiente “x”

No lineales Las que no cumplen las condiciones anteriores (Carmona, 2011) Ejemplos

Tomado de (Carmona, 2011)

Tomado de (Carmona, 2011)

Definición de la solución a una Ecuación Diferencial “Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.” (Carmona, 2011) Dentro del concepto de la definición de la solución a una Ecuación Diferencial, definir a qué corresponde una solución particular, una solución general y una solución implícita. Solución general de una ecuación diferencial “es la función que satisface a la ecuación y que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones)”. (Carmona, 2011) Solución particular de una ecuación diferencial “es la función que satisface la ecuación y cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico”. (Carmona, 2011) Se dice que una relación G(x, y)= 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria (4) en un intervalo I, suponiendo que existe al menos una función ø que satisface la relación así como la ecuación diferencial en I. (Zill, Ecuaciones Difrenciales con Aplicaciones de Modelado, 2009)

Actividad 3

Verifique que la ecuación es solución

y=(1−senx)−1 /2 →2 y ´ = y 3 cosx −3

−1 /2

y=(1−senx)

y´=

−1 ( 1−senx ) 2 (−cosx ) se deriva→ y ´= 2

cosx 3 −3 /2 3 si y =(1−senx) → 2 y ´ = y cosx luego si es 3/2 2(1−senx)

2

dy 6 6 +20 y=24 → y = − e−20t dt 5 5 6 6 dy 6 y= − e−20 t derivamos = [e−20t . (−20 ) ] 5 5 dt 5 dy =24 e−20t dt 1−e (¿¿−20 t) 6 y= ( 1−e−20t ) →20 y=24 ¿ 5 Si sumamos 20y a ambos lados de

dy dy −20t −20 t =24 e → +20 y=24 e + 20 y dt dt dy −20 t −20 t +20 y=24 e + 24(1−e ) dt dy dy +20 y=24 e−20 t + 24−24 e−20t luego +20 y=24 → sies solución dt dt

3 3

2

2

2

−1

x y ´ ´ ´ +2 x y ´ ´ −xy ´ + y=12 x → y=c 1 x +c 2 x +c 3 xlnx+4 x −2

y ´ =−c 1 x +c 2+ c 3 ( ln x +1 ) +8 x y ´ ´ =2 c 1 x−3 +c 3 x −1 +8 y ´ ´ ´ =−6 c 1 x−4 −c 3 x−2 remplazando

3

2

en x y ´ ´ ´ +2 x y ´ ´ −xy ´ + y=12 x

2

x +¿ 1 ln ¿ ¿ +8x −2 −c 1 x +c 2+ c 3 ¿ 3 −4 −2 2 −3 −1 x (−6 c1 x −c3 x )+2 x (2 c 1 x +c 3 x +8)−x ¿ −6 x 3 c 1 x−4 −x3 c 3 x −2 +4 x−1 c 1+ 2 x c 3+16 x 2 +c 1 x −1−x c 2−c 3 xlnx−x c3 −8 x 2+ c1 x−1 + c2 x+ c 3 xlnx+ 4 x 2=12 −6 x −1 c 1−x c 3 +4 x−1 c 1+ 2 x c 3+16 x 2 +c 1 x −1−x c 2−c 3 xlnx−x c 3−8 x 2+ c1 x−1+ c2 x+ c 3 xlnx+ 4 x 2=12 x 2 12 x 2=12 x 2 es solucion 4 Para qué valores de la variable m, será mx

y=e , solucion de la ecuacion y ´ ´−5 y ´ +6 y=0 y=emx mx

y ´ =e m y ´ ´ =e mx m2 y ´ ´ −5 y ´ +6 y=0 → e mx m2−5 e mx m+6 e mx =0 e mx ( m2−5 m+6 ) =0

( m2−5 m+6 ) =0 → ( m−3 )( m−2 )=0 → m=3, m=2

5 Para que valores de la variable m, será y =x^m , solución de la ecuación

xy ´ ´ + 2 y ´ =0

y=x

m

y ´ =mx

m−1

y ´ ´ =mx m−2 (m−1) Remplazando

x [ m x m−2 ( m−1 ) ] +2 mx m−1=0 m x m−1 ( m−1 ) +2 m x m−1=0 mx

m−1

[ ( m−1 ) +2 ] =0

( m−1 ) +2=0 m+ 1=0 → m=−1

Actividad 5 1.1 los ejercicio De la página: 10 N° 19, 21, 22, 47 Compruebe que la expresión indicada es una solución implícita de la ecuación diferencial dada. Encuentre al menos una solución explícita y y=φ( x) en cada caso. Use alguna aplicación para trazar gráficas para obtener la gráfica de una solución explícita. Dé un intervalo I de definición de cada solución φ . dX 2 X−1 =( X−1 )( 1−2 X ) ; ln =t dt X−1

ln

2 X −1 =t esto se puede escribir X−1

2 X−1 ¿−ln ⁡( X−1) ¿ ln ¿ Derivando implícitamente con respecto a t 2 dX 1 dX − =1 2 X −1 dt X−1 dt

[ 2 ( X −1 )−( 2 X−1 ) ] dX =1 ( 2 X−1 ) ( X −1 )

dt

(2 X−2−2 X +1) dX =1 ( 2 X −1 ) ( X−1 ) dt (−1) dX =1 ( 2 X −1 )( X−1 ) dt

dX =−(2 X −1 )( X−1 ) dt dX =( 1−2 X ) ( X−1 ) Ecuacion inicial del problema , comprobado dt a

Luego por propiedades dado que lnb=a → b=e ln

2 X −1 =t X−1 t

2 X−1=e ( X −1) 2 X−1=X e t−et e t−1=X e t−2 X e t−1=X ( et −2)

X=

et −1 e t −2

la solución está definida en (−∞ ,∈2 ) o en (¿ 2, ∞) 20 2 xydx + ( x 2− y ) dy=0 ;−2 x 2 y+ y 2=1 Derivando implícitamente −2 x 2

dy dy −4 xy+ 2 y =0 dx dx

2 ( y−x 2 )

dy =4 xy dx

( y−x 2 ) dy =2 xy dx

( y−x 2 ) dy=2 xydx 0=2 xydx− ( y−x 2 ) dy 0=2 xydx + ( x 2− y ) dy demostrado

Podemos resolver para y

2

2

2

2

−2 x y + y =1 −2 x y + y −1=0 y=

2 x2 ∓ √ 4 x4 + 4 2 =x ∓ √ x 4 +1 2

21 En los problemas 21 a 24 compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución

c 1 et dP =P (1−P ) ; P= dt 1+ c1 e t c 1 et P= (1+ c1 e t ) ,

de esta se obtiene:

[

t

t

t t t t t c 1 e ( 1+ c 1 e ) −c 1 e ] dP ( 1+c 1 e ) c1 e −c1 e . c1 e = = =¿ 2 t t dt 1+ c 1 e 1+c 1 e (1+c 1 et )

t

c1 e

1+ c1 e t

[

t

1−

c1 e

1+ c1 e t

]

= P(1−P)

22

En los problemas 21 a 24 compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución x

dy +2 xy=1 ; y=e− x ∫ et dt+c 1 e−x dx 0 2

2

−x

y ´ =e

x

2

−x

e −2 e

2

2

x

2

2

2

x ∫ e dt−2 x c1 e =1−2e t

−x

0

2

−x

x

2

2

x ∫ e t dt−2 x c 1 e−x 0

dy dy +2 xy=1 → =1−2 xy sustituyendo dx dx x

dy =1−2 x( e−x ∫ e t dt+ c1 e−x ) dx 0 2

x

2

2

dy =1−2 x e−x ∫ et dt +2 xc1 e−x demostrado dx 0 2

2

2

47 Las gráficas de los miembros de una familia uniparamétrica

x 3+ y 3=3 cxy se llaman

folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden 3 3 dy y ( y −2 x ) = dx x (2 y 3−x 3)

Derivamos

3

3

x + y =3 cxy (x 3+ y 3)/ xy=3 c 3x xy (¿ ¿ 2+ 3 y y ´ )−( y + xy ´ )( x 3+ y 3) =0 2 ( xy ) ¿ 2

y 3 x 3 +3 xy 3 y ´ −x3 y− y 4−x 4 y ´−xy ´ y 3=0 3

4

3

3

3

3 xy y ´−x y ´ −xy ´ y =−y 3 x + x y+ y

4

y ´ (2 xy 3−x 4 )=2 yx 3− y 4 y´=

y ( −2 x 3+ y 3 ) comprobado 3 3 x(2 y − x )

1.2 Ejercicios 1.2. De la página: 17 N° 9, 10, 19, 45 En los problemas 7 a 10, x = c1cos t + c2 sen t es una familia de soluciones de dos parámetros de la ED de segundo orden

x ´ ´ + x=0 . Determine una

solución del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y las condiciones iniciales dadas

9.

x

( π6 )= 12 , x ´ ( π6 )=0

x ´ ´ =−x x ´ =−∫ (c 1cos t+c 2 sen t) dt x ´ =−c 1∫ costdt −c 2 ∫ sentdt

x ´ =−c 1 sent +c 2 cost+ c

x´

x´

x

x

( π6 )=−c 1 sen ( π6 )+ c 2 cos ⁡( π6 )=0 π 1 c2 √ 3 =−c 1 + =0 ecuación 1 6 2 2

()

()

( π6 )=c 1 cos ( π6 )+ c 2 sen ( π6 )= 12 π 3 c 1 1 =c 1 √ + 2 = ecuacion 2 6 2 2 2

() ( )

Multiplicamos ecuación 1 por

−c 1

√3

√ 3 + c 2 3 =0

(2)

2

Y la sumamos a la ecuación 2 nos queda

c2 3 c2 1 1 1 1 + = → 2 c 2= de donde c 2= 2 2 2 2 4 Despejando en

−c 1

( 12 )+ c 2√ 3 =0 2

1 √3 1 4 0=−c 1 + 2 2

()

1 √3 1 4 c1 = 2 2 3 c 1= √ 4 Luego la solución es

3 1 x= √ cos t+ sen t 4 4

10

x=c 1cos t +c 2 sen t

x

( π4 )=√ 2; x ´ ( π4 )=2 √ 2

x ´ =−∫ (c 1cos t+c 2 sen t) dt x ´ =−c 1∫ costdt −c 2 ∫ sentdt

x ´ =−c 1 sent +c 2 cost+ c x´

( π4 )=2 √2

x´

( π4 )=−c 1 sen ( π4 )+ c 2 cos ( π4 )=2 √2

x´

( π4 )=−c 1( √22 )+c ( √22 )=2 √2 ecuacion 1 2

x

( π4 )=c 1 cos ( π4 )+ c 2 sen ( π4 )=√ 2

x

( π4 )=c 1 ( √22 )+c ( √22 )= √2 , ecuación 2

Sumando las ecuaciones 1 y 2

2 c2

( √22 )=2√ 2+√ 2

2 c2

( √22 )=3 √2 → c =3 2

−c 1

( √22 )+3( √22 )=2 √ 2=c 1( √22 ) [ 3−1 ]=2√ 2

−c 1

( √22 )=2 √ 2−3( √22 )

−c 1

( √22 )= 4 2√2 −3( √22 ) →−c 1( √22 )= √22 → c 1=−1

x=−cos t + 3 sen t

19 En los problemas 17 a 24 determine una región del plano xy para el que la ecuación diferencial dada tendría una solución única cuyas gráficas pasen por un punto (x0, y0) en la región Según ejemplo 4 de Zill pag 15

x

dy = y condición inicial dx

y ∂f 1 f ( x , y )= → = → x ≠ 0 solución x ∂y x

4 5Crecimiento de la población Al inicio de la siguiente sección veremos que las ecuaciones diferenciales se pueden usar para describir o modelar diversos sistemas físicos. En este problema suponemos que un modelo de crecimiento de la población de una pequeña comunidad está dado por el problema con valores iniciales

dP =0.15 P ( t ) +20 , P ( 0 )=100 dt Donde P es el número de personas en la comunidad y el tiempo t se mide en años. ¿Qué tan rápido, es decir, con qué razón está aumentando la población en t = 0? ¿Qué tan rápido está creciendo la población cuando la población es de 500?

dP =0.15 P ( 0 )+ 20=0.15 ( 100 ) +20=15+29=35 dt B

dP =0.15 P ( t ) +20=0.15 (500 )+ 20=75+20=95 dt

2.2 En los problemas 1 a 22 resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables. Punto 13: (e y + 1)2 e− y dx +( e x + 1)3 e−x dy=0 Se resuelve teniendo: e y dy e x dx = (e y +1)2 (e x +1)3 y

x

dy e dx = ∫ (eey +1) 2 ∫ x 3 ( e +1) Se resuelven por sustitución u=( e y +1 ) → du=e y dy

∫ u−2 du=u−1+ c , igual laota integral 1 x y −1 −2 −(e +1) = (e +1) +c 2

19 dy xy +3 x− y −3 = dx xy−2 x +4 y−8 y −2 x−1 5 5 dy = dx o 1− dy = 1− dx y+ 3 x+ 4 y +3 x +4

(

y−2

) (

)

x −1

∫ y +3 dy=∫ x +4 dx Se resuelven por fracciones parciales dy−5 ∫

dy dx =∫ dx−5 ∫ y +3 x+ 4

Integrales inmediatas y−5∈| y +3|=x−5∈|x +4|+c

5∈|x+ 4|−5∈| y +3|=x− y 5 ln

x+4 =x − y y +3

Por ley de logaritmos

Luego aplicando exponencial

x+ 4 5 =c1 e x− y y+ 3

( )

En los problemas 23 a 28 encuentre una solución explícita del problema con valores iniciales dado.

27

√ 1− y 2 dx+ √1−x 2 dy=0, y ( 0 )= √23 dx dy − =0 2 √1−x √1− y 2

∫

dx dy − =0 2 ∫ √1−x √ 1− y 2

Integrales inmediatas sin −1 x −sin−1 y =c

Se coloca

3 x=0 y y= √ 2

se obtiene que

c=

−π 3 . Tiene una solución implícita en el

−π −1 −1 valor inicial. sin x −sin y = 3 . π π π x √ 3 √1−x 2 2 y=sin sin x + =xcos + √1−x sin = + 3 3 3 2 2

(

−1

)

2.3 En los problemas 1 a 24 determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Indique el intervalo I más largo en el que está definida la solución general. Determine si hay algunos términos transitorios en la solución general. 23: x

dy + (3 x +1 ) y=e−3 x dx

Hay que dejar solo dy/dx

Por tanto se divide todo entre x

1 e−3 x y= x x

( )

y ´ + 3+

Para dejar la forma de una ecuación diferencial lineal de primer orden Luego ∫( 3 + 1x ) dx

u ( x ) =e

=e 3 x . elnx =x e 3 x

[ ( )]

1 3x Factor de integración: e ∫ 3+ x dx=xe 3x

−3 x

e ∗e xe y=∫ x x 3x

dx

3x

xe y=∫ dx=1

d [ xe3 x y ]=1 dx

;

y=e−3 x +

ce−3 x x

Todo esto para: 0< x