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• Luisa Fernandez Florez

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ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 3                                                        CRISTIAN ANDRES COLPAS VASQUEZ

INGENIERÍA DE SISTEMAS        

ECUACIONES DIFERENCIALES FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DEL ÁREA ANDINA 2019

ACTIVIDAD Problema propuesto situación 1 Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Usted debe realizar las siguientes etapas del problema:   

Explicar las condiciones asociadas que describen el movimiento. Formular la ecuación diferencial referente al problema. Resolver la ecuación diferencial

Diagrama de fuerzas

Figura 2 Fuente. Propia

𝐴: 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖o𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑚 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 = 0. 𝑃𝑖∶𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖o𝑛 𝑑𝑒 𝑚 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑡. En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, usted debe mostrar el procedimiento para llegar a la ecuación diferencial de segundo orden

d2 x =g dt 2 Sus soluciones son v=g t 1 x= =¿2 2

La velocidad instantánea en P es v = dx/dt. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt o a=d 2 s /dt 2 La fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton se obtiene: m

dv dv =mg o =g dt dt

Puesto que la masa cae desde el reposo, se ve que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabras v (0)=0. Esta formulación matemática es el problema de valor inicial v (t ) dv (t ) dt

=g v (0)=0

Aquí se tiene una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera de formular el problema es escribir: d2 x d2 x m 2 =mg o 2 =g dt dt En tal caso se tiene una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que se escogió el origen de este sistema de coordenadas en A). La formulación matemática es: dx d2 x =0 en t=0 =g x=0 y 2 dt dt Resolver la ecuación demencial

dv =g por variables separables: dt

∫ dv=∫ g .t . dt v=g .t +c 1 Puesto que v 0=0 cuando t=0 , c 1=0 lo cual quedaría v=¿ esto es

dx =g . t otra interpretación se produce: dt 1

∫ dx=∫ g .t .dt =x 2 g . t 2+ c 2 Como que v 0=0 cuanto t=0 , c 2=0 lo cual quedaría 1 x= g .t 2 2 Ubicación del objeto después de 2 segundos x=

1 cm 981 . ( 2 seg )2=1960 cm 2 2 seg

(

)

Problema propuesto situación 2 Considere un circuito eléctrico consistente en una fuente de voltaje 𝐸 (batería o generador), una resistencia 𝑅, y un inductor 𝐿, conectados en serie como se muestra en la figura

Fuente. Propia Adoptamos una convención: la corriente fluye del lado positivo de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo.

Por la ley de Kirchhoff, la fuerza electromotriz, 𝐸, es igual a la caída de voltaje a dI través del inductor, L , más la caída de voltaje a través de la resistencia, 𝑅𝐼, dt tenemos como la ecuación diferencial requerida para el circuito:

E=L

dI + RI dt

Usted debe realizar las siguientes etapas del problema:   

Explicar las condiciones asociadas que describen el circuito. Formular la ecuación diferencial referente al problema. Resolver la ecuación diferencial.

E=L

dI + RI dt

Para t 0 v1 −v + v R =0 ⇒v 1 + v R =v ⇒ L ∫ Ri dt

FI =e∫ p x dx ⇒ e ( )

R t i

R

R

⇒e i R

dI dI R v dy + RI =v ⇒ + i= ⇒ + p ( x ) y=q ( x ) dt dt L L dx

t

R

i

R

R

R

−R

t t t t dI R t V t v v t v e ⇒ + e i ⇒i e i ⇒ ∫ e i i = ∫ e i dx ⇒ e i i= e i + c ⇒ i= +c e i dt L L L R R E es una constante −R −R −R (0) t v v v −v v −v i t v i i(0) = +c e ⇒ i(0)= +c ⇒ 0= + c ⇒ c= ⇒ i (t)= + e ⇒ i (t )= 1−e i R R R R R R R

( )

( )

(

)