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Actividad Evaluativa Eje 2

Técnicas de Integración

Yeison Gonzalez Gomez Mauricio Jimenez Estrella Hugo Mario Grajales Olaya Oscar Ferley Guerrero Cangrejo

Fundación Universitaria del Área Andina Ingeniería de Sistemas Cálculo Integral Marzo 2020

Objetivo

Aplicar las diferentes técnicas de integración aprendidas en el desarrollo del Eje 2, para resolver integrales de tipos polinómicas, racionales, trigonométricas, parciales, exponenciales y logarítmicas, entre otras. .

Taller

Descripción del taller:

La resolución de problemas en cálculo integral comprende tres etapas básicas que son: 1. Reconocimiento del problema a tratar y planteamiento de la integral adecuada. 2. Resolución de la integral. 3. Interpretación del resultado.

En el caso del presente taller se hará énfasis en dichas etapas, esperando que el estudiante adquiera las habilidades necesarias para la resolución de esta clase de ejercicios, por lo cual se le solicita al grupo mostrar en el documento entregable, exactamente, cuáles son esas partes y cómo las desarrollaron.

Requisitos de la tarea: •

Realice la lectura del referente de pensamiento.

•

Haga las lecturas complementarias.

•

Realice la actividad de aprendizaje.

Revise diferentes bibliografías que permitan la profundización del tema tratado.

​Instrucciones: Para un exitoso desarrollo del taller propuesto, se recomienda ejecutar los siguientes pasos: 1. Realice la lectura del eje y las lecturas complementarias del referente de pensamiento sobre las técnicas de integración, de manera individual.

2. Organicen grupos de tres o cuatro estudiantes, o según las indicaciones del tutor.

3. Reúnanse colaborativamente mediante alguna herramienta tecnológica, por ejemplo, documentos compartidos.

4. Identifiquen las estructuras de las diferentes integrales que se muestran en los ejercicios adjuntos ejercicios_eje2, prestando atención al desarrollo que solicita sobre ellas.

5. Seleccionen la mejor técnica de integración que permita realizar el ejercicio. Para ello pueden utilizar documentos colaborativos.

6. Presenten los resultados en un documento utilizando para la consignación de sus cálculos y desarrollo usando el editor de ecuaciones de Word. Adjunte evidencia del trabajo en equipo.

7. Envíen un documento de Word o formato PDF al espacio de actividad de evaluación del eje 2.

Ejercicios - Actividad Evaluativa 1. Resuelva cada una de las siguientes integrales usando el método de integración por partes:

2. Usando integración trigonométrica, resuelva cada integral:

3. Aplicando el método de Sustitución trigonométrica, resuelva las siguientes integrales:

4. Resuelva cada una de las siguientes integrales utilizando fracciones parciales:

Desarrollo de la Actividad 1. Resuelva cada una de las siguientes integrales usando el método de integración por partes:

Hugo Grajales R/.

∫ udv = u.v − ∫ vdu U =x V ′ = cos x.dx V = ∫ dv = sen x U′ = 1 = x.(sen x) − ∫ sen x.dx = x.(sen x) − (− cos x).dx = x.sen x + cos x + c

Yeison Gonzalez Gomez - R/.

∫ udv = u.v − ∫ vdu U = Ln x dv = x2 du = 1x 3 v = x3 3

2

= Ln x ( x3 ) − ∫ x3 ( 1x ) dx =

x3 3 Ln

2

x − ∫ x3 dx

=

x3 3 Ln

x−

=

x3 3 Ln

x − 13 ( x3 )

=

x3 3 (Ln

1 3

∫ x2 dx 3

x. − 13 ) + c

Oscar Ferley Guerrero R/.

∫ udv = u.v − ∫ vdu U = x2 dv = ex du = 2 x v = e2 = x2 ex − ∫ ex 2x dx = x2 ex − = x2 ex −

[ [

2x ex − 2 ∫ ex dx

= x2 ex − [2x ex − 2ex ] = x2 ex − 2x ex (x − 1)

[

2

x

] ]

2x ex − ∫ ex 2 dx

]

x

x

= x e − (2x e − 2e ) = x2 ex − 2x ex + 2ex + c = ex (x2 − 2x + 2) + c

2. Usando integración trigonométrica, resuelva cada integral:

Mauricio Jimenez - R/. sen2 x = 1 − cos2 x

∫ vn dv

=

v n+1 n+1

V = cos x dv =− sen x.dx = ∫ sen 2x (1 − cos2 2x) cos2 2x dx = ∫ sen 2x cos2 2x dx −

∫ cos4 2x sen 2x dx

=− ∫ cos2 2x (sen 2x) dx + ∫ cos4 2x (− sen 2x) dx =

cos3 2x 3

+

cos5 2x 5

+ c

Yeison Gonzalez Gomez - R/. u = 1 − cos x du = sen x dx du dx = sen x x = ∫ sen u2

du sen x

= ∫ du u2 = =

−1 u +c −1 1−cos x +

c

Oscar Ferley Guerrero R/. x = ∫ sen√tan x cos x

√tan x √tan x

√tan x = ∫ sen x cos dx x √tan x sen x cos x

= ∫ sen x cos x = ∫ cos2 x

1 √tan x

1 √tan x

= ∫ cos12 x

1 √tan x

= ∫ sec2 x

(

dx

dx

dx

1 √tan x

) dx

u = tan x du = sec2 x dx dx = secdu2 x = ∫ sec2 x

(

1 √tan x

= ∫ √1u du =∫u

−1/2

du

= ∫ 2u 1/2 = 2√u = 2√tan x + c

)

du sec2 x

3. Aplicando el método de Sustitución trigonométrica, resuelva las siguientes integrales:

Yeison Gonzalez Gomez - R/. √a2 − x2 = cos θ a

√a2 − x2 x a

= a cos θ

= sen θ

x = a sen θ dx = a cos θ dθ Reemplazando =∫

a cos θ dθ 2 (a sen θ) a cos θ

=∫

dθ a2 sen2 θ

=

1 a2

∫ sen1 θ dθ

=

1 a2

∫ csc2 θ dθ

=

1 a2 cot θ + c 1 √a2 − x2 + c a2 x

=

2

a2 − x2 = √ a2 x + c

Mauricio Jimenez R/. a = cos θ √a2 + x2 a = cos θ√a2 + x2 a cosθ x a =

= √a2 + x2 tanθ

x = a tan θ dx 2 dθ = a sec θ dx = a sec2 θ dθ =∫

a sec2 θ dθ √a2 +a2 tan2 θ

=∫

a sec2 θ dθ a √1+tan2 θ

=∫

a sec2 θ dθ √a2 (1+tan2 θ)

=∫

a sec2 θ dθ √a2 √1+tan2 θ

2

dθ = ∫ sec θ 2dθ = ∫ secθ secθ √sec θ

= ∫ sec θ dθ = Ln |tanθ + sec θ| + c | 2| = Ln | ax + 1 + ax2 | + c | | | √a + x2 + x2 | = Ln | |+c a | | | | = Ln |x + √a2 + x2 | + c | |

√

Hugo Grajales - R/. x = 2 sen θ x′ = cos θ dx = cos θ dθ

√x2−a

2

= a cos θ I dentidad cot2 θ = csc2 θ − 1 = ∫ √x x dx = 2 − a2

2

θ ∫ a2 cos sen θ cos θ dθ

2

2

θ a cos θ 2 = ∫ a22cos sen θ dθ = ∫ sen θ dθ == ∫ a tan θ dθ

= ∫ a (csc2 θ − 1) dθ = a cont θ + c = a cont θ + c

4. Resuelva cada una de las siguientes integrales utilizando fracciones parciales:

Hugo Grajales - R/. u = x+1 u’ = 1 dv = u1′ du = 1 du x = ∫ x+1 1 du

= ∫ u −u 1 du = ∫ uu − =∫1

1 u

1 u

du

du

= ∫ 1du − ∫ = u −∫

1 u

1 u

du

du

= u − ln(|u|) = x + 1 − ln(|x + 1|) = x − ln(|x + 1|) + c = x − ln|x + 1| + c

Mauricio Jimenez R/. 2

= ∫ x + 2x + 4 +

9 x−2 dx

= ∫ x2 + 2x + 4 dx +

9 dx ∫ x−2

= ∫ x2 + 2x + 4 dx +

9 dx ∫ x−2

=

x3 3

+ x2 + 4x + 9Ln |x − 2| + c

Oscar Ferley Guerrero R/. =

A x+2

+

B x−1

+

C D 2 + 3 (x−1) (x−1) 3

2

x3 + 1 = A(x − 1) + B (x + 2)(x − 1) + C (x + 2)(x − 1) + D(x + 2) x3 + 1 = Ax3 − 3Ax 2 + 3Ax − A + B x3 − 3Bx + 2B + C x2 + C x − 2C + Dx + 2D

Reorganizando x3 + 1 = Ax3 + B x3 − 3Ax 2 + C x2 + 3Ax − 3Bx + C x + Dx − A + 2B − 2C + 2D Agrupando x3 + 1 = (A + B )x3 + (− 3A + C )x2 + (3A − 3B + C + D)x + (− A + 2B − 2C + 2D) Ecuaciones Polinómicas 1 =− A + 2B − 2C + 2D 0 = 3A − 3B + C + D 0 =− 3A + C 1=A+B Resolviendo 7 20 7 2 (A, B , C , D) = ( 27 , 27 , 9 , 3 ) Sustituyendo =

7 27

x+2

+

20 27

x−1

+

7 9

2

(x−1)

+

2 3

3

(x−1)

Simplificando(extremos y medios) 7 20 = 27(x+2) + 27(x−1) + 7 2+ 2 3 9(x−1)

3(x−1)

Usando propiedades de la integral 7 20 = ∫ 27(x+2) dx + ∫ 27(x−1) dx + ∫

7 2 dx 9(x−1)

+∫

2 3 dx 3(x−1)

Integrando 7 = 27 ln |x + 2| +

20 27 ln |x

− 1| +

7 9x−9

+

1 2 3(x−1)

Simplificando 7 = 27 ln |x + 2| +

20 27 ln |x

− 1| +

7 9x−9

+

1 2 3(x−1)