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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRíA ANALíTICA – TÉCNICAS

ACTIVIDAD ENTREGABLE 3 Sr. Estudiante usted debe resolver estos ejercicios, escanearlos y enviar el archivo hasta el viernes 10 de febrero de 2017. El archivo debe tener el siguiente nombre: Apellido1_Apellido2_Nombre.Geometría_Analítica.E3

DEBER 8

1.-) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1 ; 4) circunferencia

2

2

y es tangente a la

en el punto (−2; 1) .

x + y +6 x +2 y+ 5=0

Ubicamos el centro de la circunferencia2

( x 2+ 6 x+3 2) + ( y 2+ 2 y +12 )=−5+3 2+12 ( x+ 3 )2+ ( y+1 )2 =5→ C (−3 ;−1 ) Recta que pasa por ambos centros C (−3;−1 ) y (−2; 1) m=

1+ 1 =2 (−2 ;1 ) −2+3

y−1=2 ( x +2 ) → y=2 x +5 : L Calculamos laecuacion de la cuerda ( 1 ; 4 ) y (−2; 1 ) m=

1−4 =1→ y−4=1 ( x−1 ) −2−1 y=x +3 mc =1

la mediatriz de una cuerda ( secante ) pasa por el centro

Punto Medio

{

( 1 ; 4 ) y (−2 ; 1 ) 1−2 4+1 −1 5 Pm ; = ; 2 2 2 2

(

)(

pendiente perpendicular :m=

{

)

−1 −1 = =−1 mc 1

( −12 ; 52 ) → y=−x+ 2 : M 5 1 y − =−( x+ ) 2 2

m=−1 Pm

mediatriz

{

2 x +5=−x +2 Centro L: y=2 x+5 → C(−1 ; 3) x=−1; y=3 M : y=−x+2

circunferencia 1: Centro (−1; 3 ) pasa por (1 ; 4) (x+ 1)2 +( y−3)2=r 2

( 1; 4 ) →

(1+1)2 +(4−3)2=r 2 →r 2=5 Ecuacion general

( x+1 )2 + ( y −3 )2=5 2

2

x +2 x +1+ y −6 y +9=5 2

2

x + y +2 x−6 y +5=0

2.-) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5 ; 9) x+ 2 y −3=0 x+ 2 y −3=0 → y=

en el punto (1 ;1) . −1 3 −1 x+ mT = 2 2 2 Pendiente de la cuerda ( 1 ;1 ) y ( 5; 9 ) mc =

9−1 −1 =2 → mc ∙mT =2 ∙ =−1 5−1 2

y es tangente a la recta

pendientes perpendiculares por tanto lacuerda es el diametro

{(

(1 ; 1 ) y ( 5 ; 9 ) Punto Medio: Centro 1+5 1+9 C ; =( 3 ; 5 ) 2 2

)

(5−1)2 +(9−1)2 √ 80 2 √20 d radio= = √ = = =√ 20 2 2 2 2 circunferencia :Centro ( 3 ; 5 ) r 2=20

( x−3 )2 + ( y−5 )2=20 x 2−6 x+ 9+ y 2−10 y +25=20 x 2+ y 2 −6 x−10 y+ 14=0

3.-) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11 ; 4 ) y es tangente a la circunferencia x 2+ y 2 −8 x−6 y=0. ubicamos centro y radio de la circunferencia

( x 2−8 x+ 4 2 ) + ( y 2−6 y +32 ) =4 2 +32 (x−4)2+( y−3)2=25 Centro ( 4 ; 3 ) r=5 Triangulo rectangulo entre :C ( 4 ; 3 ) Punto de tangencia y (11 ; 4) hipotenusa=√(11−4)2 +(4−3)2=√ 50

se calcula el radio de una segunda circunferencia con centro en(11 ; 4)

√

2

r 2= ( √ 50 ) −5 2=5

(x−11)2 +( y −4)2=52

puntosde interseccion de ambas circunferencias

{

( x −4)2 +( y−3)2=25 ( x−11)2 +( y −4)2 =25

{

x 2−8 x+ 16+ y 2−6 y +9=25 −x 2+ 22 x−121− y 2+ 8 y−16=−25

14 x+ 2 y =112 → y =56−7 x

( x−4)2+(56−7 x−3)2=25

{

x 2−15 x+56=0 x=7 y=56−7 ( 7 )=7 x=8 y=56−7 ( 8 )=0

{ {

P 1 ( 7 ; 7 ) ( 11 ; 4 ) 4−7 −3 Recta tangente 1: m1= 11−7 = 4 →3 x +4 y−49=0 −3 ( y−7= x−7 ) 4 P2 ( 8 ; 0 ) ( 11 ; 4 ) 4−0 4 Recta tangente 2: m1= 11−8 = 3 → 4 x−3 y −8=0 4 y−8= ( x−8 ) 3

4.-) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (−1 ;−4 ) ; (2 ;−1) centro está sobre la recta 4 x +7 y +5=0. (x−h)2 +( y −k )2=r 2

(−1 ;−4 ) →(−1−h)2 +(−4−k )2=r 2

( 2;−1 ) →(2−h)2 +(−1−k )2=r 2

y cuyo

{

2

2

2

1+2h+ h +16+8 k + k =r 2 2 2 −4+4 h−h −1−2k −k =−r

−3+ 6 h+15+6 k =0 → 6 h+6 k =−12 C ( h ; k ) → 4 x +7 y +5=0

{

h+k =−2 → h=−3 k=1 4 h+7 k=−5

(2+3)2+(−1−1)2=r 2 → r 2=29 (x+ 3)2 +( y−1)2=29 x 2+6 x +9+ y 2−2 y+1=29 x 2+ y 2 +6 x−2 y−19=0

5.-) La ecuación de una circunferencia es

2

2

4 x +4 y −16 x+ 20 y+ 25=0 . Hallar la ecuación de la

circunferencia concéntrica que es tangente a la recta se busca el centro comunde ambascircunferencias x

(

4 (¿¿ 2−4 x +4 )+ 4 y 2+ 5 y +

25 =−25+ 16+25 4

)

¿ 5 2 5 2 =16 →( x−2)2+ y + =4 2 2

( )

4 ( x−2)2+ 4 y +

(

Centro 2 ;−

5 y el radio es ladistancia a :5 x −12 y −1=0 2

)

|

5 ( 2 )−12

r=d=

( )

( −52 )−1|= 39 =3

√ 52 +(−12)2

(x−h)2 +( y −k )2=r 2 5 2 2 =3 2

( )

(x−2)2+ y +

13

5 x−12 y =1.

x 2−4 x + 4+ y 2 +5 y +

25 −9=0 4

5 x 2+ y 2 −4 x +5 y + =0→ 4 x2 + 4 y 2−16 x +20 y+ 5=0 4

6.-) Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia

x 2+ y 2 +2 x−2 y−39=0 , en el punto

(4 ;5 ). se busca el centro de lacircunferencia

( x 2+ 2 x +1 ) + ( y 2−2 y +1 ) =39+1+1 (x+1)2 +( y−1)2 =41 →C (−1; 1)

Pendiente del radio

{

C (−1; 1 ) ( 4 ; 5) 5−1 4 mr= = 4+ 1 5

Pendiente de la tangente

{

{

mT ∙ mr =−1 −5 → mT = 4 4 mT ∙ =−1 5

−5 (4 ; 5) 4 recta tangente → 5 x + 4 y−40=0 −5 y−5= (x−4 ) 4 mT =

7.-) Hallar la diferencia de las áreas, de las circunferencias tangentes a: x+ 2 y −26=0; 2 x− y +8=0 , si sus centros están sobre la recta: x+ y−10=0. buscamos los puntos de interseccion entre todas las rectas

{

entre tangentes x +2 y=26 x=2 y=12 A (2 ; 12) 2 x− y=−8

{

tangente 1 y linea de centros x + y =10 x=−6 y=16 B(−6 ; 16) x +2 y=26

{

2 28 tangente 2 y linea de centros x + y =10 x=−6 y =16 C ; 3 3 2 x− y =−8

(

)

¿ ¿ A ( 2; 12 ) B (−6 ; 16 ) m AB= Pm

−1 m =2 2 1

12+ 16 ; = (−2 ; 14 ) ( 2−6 2 2 )

y −14=2 ( x +2 ) →2 x− y=−18 ¿ ¿ ecuacionmediatriz AB ¿ Centro y radio con el Pm de AB: circunferencia1

{

2 x− y =−18 → x=−8 y= 38 C −8 ; 38 3 3 1 3 3 x + y=10

(

√(

r 1=d = −2+

)

8 2 38 2 20 + 14− = 3 3 9

) (

)

√

¿ ¿ 2 28 −1 A ( 2 ; 12 ) C ; m AC =2 m 2= 3 3 2 2 28 2+ 12+ 3 3 4 32 Pm ; = ; 2 2 3 3 32 −1 4 y− = x− → 3 x+6 y=68 3 2 3 ¿ ¿ ecuacion mediatriz AC ¿

(

)

(

)(

)

( )

Centro y radio con el Pm de AC : circunferencia 2

{

3 x +6 y=68 → x= −8 y= 38 C −8 ; 38 3 3 2 3 3 x + y =10

r 2=d=

(

√(

)

4 8 2 32 38 2 + + − =√ 20 3 3 3 3

)(

)

Diferenciade areas :

A 2− A 1=π r 22 −π r 21 =20 π −

20 160 π= π unid 2 9 9

8.-) El punto C( 3;−1) , es el centro de una circunferencia que intercepta en la recta 2 x −5 y +18=0

una cuerda, cuya longitud es igual a 6 . Hallar la ecuación de esta

circunferencia. distancia del centro a lacuerda

d=

|2 ( 3 )−5 (−1 )+18| 29 = = √29 2 2 29 √ 2 +(−5) √

lamediatriz de la cuerda pasa por el centro

y se forma un triangulo rectangulo entre el puntomedio , centro y punto de tangencia 2

r 2=32 + ( √ 29 ) →r 2=38 2

Ecuacion de la circunferencia:C ( 3;−1 ) r =38

( x−3 )2 + ( y +1 )2=38 x 2−6 x+ 9+ y 2 +2 y+1−38=0 x 2+ y 2 −6 x+2 y−28=0

DEBER 9

1.-) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en (−1;−4 )

y foco en

(−1; 0)

P=1 ∴ 4 P=4 → ( x+1 )2=4 ( y−0 )2 x 2+2 x +1=4 y 2 → x 2−4 y2 +2 x+ 1=0

2.-) Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical, si pasa por (1 ;−2) (−1 ; 0 ) . ( x+1 )2 =−4 P ( y−0 )2 → ( 1+1 )2=4 P (−2 )2 → 4 P=1

y su vértice está en

( x+1 )2 =−1 ∙ y 2 → x 2 + y 2 +2 x+1=0

3.-) El vértice de una parábola está en la recta 3 x−2 y−19=0 ; su foco en la recta x+4 y =0 y su directríz es x=2 . Hallar su ecuación. Eje principal y =k Foco ( f ; k ) Vertice (h ; k )

| p|=f −h=h−2 → f =2h−2 V ( h; k ) → 3 x−2 y−19=0 →3 h−2 k=19 Foco ( f ; k ) → x +4 y=0 → f + 4 k =0

{

f =8 f −2 h=−2 → h=5 3 h−2 k=19 f +4 k=0 k =−2

p=8−5=3→ 4 p=12 2

2

( y +2) =12 ( x−5 ) → y + 4 y −12 x +64=0

4.-) Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal, que pasa por los puntos: (−2;−1 ) ; ( 4 ; 5 ) ;( 4 ;−3) . ( y−k)2 =4 p(x −h)

( 4 ; 5 ) →(5−k )2=4 p (4−h) ( 4 ;−3 ) →(−3−k)2 =4 p(4−h) (5−k )2=(−3−k )2 nota : (−3−k)2 =(3+ k)2 25−10 k+ k 2=9+6 k + k 2 → 25−9=6 k + 10 k k =1

( 4 ; 5 ) → ( 5−1 )2=4 p ( 4−h ) → p ( 4−h )=4

(−2;−1 ) →(−1−1)2=4 p (−2−h ) → p (−2−h )=1 p ( 4−h ) 4 = → 4−h=4 (−2−h ) p (−2−h ) 1

4−h=−8−4 h → 3 h=−12→ h=−4 (5−1)2=4 p ( 4+4 ) → 4 p=

16 =2 8

( y−k)2 =4 p ( x−h ) →( y−1)2=2(x + 4) y 2−2 y +1=2 x+ 8→ y 2−2 y−2 x−7=0

5.-) Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal cuyo vértice es V (1 ;−3)

y cuyo foco está

sobre la recta 2 x +3 y−6=0. Foco ( x ,−3 ) → 2 x +3 (−3 )−6=0 → x =6 Foco ( 6 ;−3 ) V (1 ;−3) p=d=√ (1−6 ) + (−3+3 ) =5 → 4 p=20 2

2

(x−h)2=4 p ( y−k ) →( x−1)2=20 ( y−1 ) x 2−2 x +1=20 y −20 → x 2−2 x−20 y +21=0

6.-) Hallar la ecuación de la parábola de foco en (4 ;−1) , eje focal x=4 , si pasa por el punto (8 ; 2).

Abre hacia arriba y V (4,−1− p) (x−h)2=4 p ( y−k )

( 8 ; 2 ) →( 8−4)2=4 p ( 2+1+ P ) →16=4 p (3+ p)

{

16=12 p+ 4 p 2 → p 2+ 3 p−4=0 ( p−4 ) ( p+1 )=0 p=4 V ( 4,−5 ) 4 P=16 (x−4)2=16 ( y +5 ) → x 2−8 x−16 y−64=0

7.-) Hallar la ecuación de la parábola, de directríz: x+ y+ 3=0

y su lado recto es de 6 unidades.

y +3=0 , si su foco está en la recta

Caso 1: si abrehacia arriba 4 p=6 →2 p=3→ Foco ( f ;−3+3 )=(f ; 0)

( f ; 0 ) → f +0+ 3=0 → f =−3 F (−3 ; 0) 3 3 3 p= V −3 ;−3+ = −3 ;− 2 2 2

(

)(

)

( 32 )

(x+ 3)2 =6 y +

Caso 2: si abre hacia abajo

4 p=6 →2 p=3→ Foco ( f ;−3−3 ) =(f ;−6)

( f ; 0 ) → f −6+3=0 → f =3 F (3 ; 0) 3 3 9 p= V 3;−3− = 3 ;− 2 2 2

(

)(

)

( 92 )

(x−3)2=6 y +

8.-) Hallar la ecuación de la parábola, si se dan su foco F( 2;−1) Punto sobre la parabola P ( x ; y ) Distancia P ( x ; y ) al Foco ( 2;−1 ) d PF =√(x−2) +( y +1) 2

2

Distancia P ( x ; y ) a la recta : x− y−1=0

d Pr =

|1∙ x−1 ∙ y −1| | x− y−1|

√ 12+(−1)2

=

√2

Definicion geometricade parbola :d PF =d Pr

√( x−2) +( y +1) = 2

2

|x− y−1|

√2

( x− y−1)2 →(x−2) +( y +1) = 2 2

2

y la directríz

x− y−1=0.

2 ( x2 −4 x +4 + y 2 +2 y+1 )=x 2+ y 2+1−2 xy −2 x +2 y 2

2

x + y +2 xy−6 x +2 y+ 9=0

DEBER 10

1.-) Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus vértices en el punto a=7 →

(0 ;−7)

y pasa por el punto

( √ 5;

14 ) 3 .

y2 x2 + =1 a2 b2

(

14 2 2 3 ( √5 ) 14 4 5 √ 5 ; → 2 + 2 =1 → + 2 =1 3 9 b 7 b

)

( )

5 5 = → b=3 2 b 9

2

2

2

c =a −b → c=√ 49−9=√ 40=2 √ 10 c 2 √ 10 y2 x2 e= = → Elipse : + =1 a 7 49 40

2.-) Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto eje menor coincide con el eje x , menor.

7 ( √ ; 3) , tiene su centro en el origen, su 2

y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje

2 a=2 ( 2 b ) →a=2 b

√ 7 ; 3 → y 2 + x 2 =1 2 2

(2 )

a

√7

b

2

( )

2 ( 3 )2 9 7 + 2 =1→ 2 + 2 =1 2 (2 b ) b 4b 4b 1 1 = → b=2 a=4 2 4 b 16 y2 x2 Elipse : + =1 16 4

3.-) Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje ecuación sabiendo que pasa por los puntos ( √ 6 ;−1 ) y (2 ; √ 2) . 2 2 ( √ 6 ;−1 ) → x 2 + y2 =1→ 62 + 12 =1

a

b

a

b

2 2 ( 2 ; √ 2 ) → x 2 + y2 =1→ 42 + 22 =1

a

b

a

{

b

−12 2 − =−2 −8 a2 b2 → 2 =−1→ a2=8 4 2 a + =1 a 2 b2

4 2 2 1 2 + 2 =1→ 2 = →b =4 8 b 2 b

x . Hallar su

2

Elipse :

2

x y + =1 8 4

4.-) El lado recto de una parábola, es el eje menor de la elipse

41 x 2+16 y 2 −656=0 . Hallar su

ecuación. 2

2

2

2

41 x 16 y 656 x y + = → + =1 elipse vertical 656 656 656 16 41 2

b =16→ 2 b=8=4 p → p=2

{

) 4 p=8 → x 2−8 y−16=0 parabolahacia arriba V ( 0,−2 2 ( x−0) =8( y +2) parabolahacia abajo

{

V ( 0,2 ) 4 p=8 → x 2+8 y −16=0 ( x−0)2=−8( y−2)

5.-) Determinar la excentricidad e de la elipse, si: a) su eje menor se ve desde uno de los focos formando un ángulo de 60 ° ; b) el segmento entre los focos se ve desde los vértices del eje menor formando un ángulo recto. a ¿ ∡ B 1 O F 1=

60 ° 2 2 2 =30 ° elipse :a =c +b 2

b a sen 30 °= → b= a 2

√

a 2 3 2 √3 c =a −b → c= a − = a= a 2 4 2 2

2

2

2

()

√

√3 a c 2 √3 e= = = a a 2 b ¿ ∡ O B 1 F 1=

90° =45 ° → ∆ B1 O F1 :isosceles 2

b=c → a2 =c 2+ b2 → a=√ c 2+ c2 =√2 c c c 1 2 e= = = →e= √ a √ 2 c √2 2

6.-) Hallar la ecuación de la elipse si se conoce su excentricidad

e=

1 2

x+ y−1=0 .

ecuación de la directríz correspondiente y=−x+ 1m1=−1

recta perpendicular : eje mayor m2=1 →α =tan (1 )=45 ° 1 c e= = → 2c=2hipotenusa 2 a d cos ( 45° ) = → d =√ 2 → x =3+ √ 2 2 recta eje mayor : m2=1 ( 3 ; 0 ) y−0=1 ( x −3 ) → y=x −3 Foco2

{

x=3+ √ 2 → F2 ( 3+ √ 2 ; √2 ) y=3+ √ 2−3=√ 2

{

elipse : P F 1+ P F 2=2 a F 1 ( 3 ; 0 ) F2 ( 3+ √ 2 ; √ 2 ) P ( x ; y ) a=2

√ ( x −3 ) + ( y−0 ) +√ ( x−3−√ 2 ) + ( y−√ 2 ) =2 ( 2 ) 2

2

2

2

2

( √( x−3−√ 2 )2 + ( y− √2 )2 ) =( 4−√ ( x −3 )2+ y 2)

2

x 2+ 9+2−6 x−2 √ 2 x +6 √ 2+ y 2−2 √ 2 y +2=16−8 √( x−3 ) + y 2 + ( x−3 ) + y 2 2

2

x 2−6 x−2 √ 2 x +6 √ 2−2 √2 y +13=16−8 √ ( x−3 ) + y 2 + x 2−6 x+ 9 2

−2 √ 2 x +6 √ 2−2 √ 2 y +13=25−8 √ ( x−3 ) + y2 2

8 √ ( x −3 ) + y 2=25+2 √ 2 x−6 √ 2+2 √ 2 y−13 2

2

( 4 √ ( x−3 )2 + y 2 ) =( 6+ √ 2 x−3 √2+ √ 2 y )2 16 ( x 2−6 x+ 9+ y 2 )=54 +12 √2 x−36 √ 2+12 √2 y +2 x 2−12 x+ 4 xy −12 y +2 y 2

, el foco F(3 ; 0)

y la

2

2

14 x −4 xy+ 14 y −12 ( 7+ √ 2 ) x +12 ( 1−√ 2 ) y+ 36 √ 2+54=0

7.-) Hallar la ecuación de la elipse, si el eje mayor de longitud 4, está en la recta eje menor de longitud 2, está en la recta 2 x + y =0. distancia P ( x ; y ) a larecta : 2 x + y=0

|2 x + y| 2 x+ y

x'=

√ 22 +12

=

√5

distancia P ( x ; y ) a larecta : x −2 y =0 y'=

|x−2 y| x−2 y

√12 +22

=

√5

(x ' )2 ( y ' )2 elipse oblicua: 2 + 2 =1 a=2 b=1 a b

{

(

2 x + y 2 x−2 y 2 √5 √5 (2 x + y)2 ( x−2 y)2 + =1 → + =1 4 1 20 5

) (

)

(2 x + y )2+4 (x−2 y)2=20 4 x 2 +4 xy+ y 2+ 4 x 2−16 xy +16 y 2=20 2

2

8 x −12 xy +17 y −20=0

x−2 y=0 , y su

DEBER 11

1.-) Los extremos del eje conjugado de una hipérbola, son los puntos ( 0 ; 3 ) y (0 ;−3) , y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su excentricidad. 2

b=3→

2( 3 ) 2b 2 =6 →a= =3 a 6

c 3 2 c=√ a 2+b 2=√ 9+9=3 √ 2→ e= = √ =√ 2 a 3 x2 y2 x2 y2 − =1 → − =1 9 9 a2 b 2

2.-) Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si tiene un foco en (0 ; 5) y un vértice en (0 ; 2) . Cuál es su excentricidad? a=2 c=5 →b 2=c 2−a 2=25−4=21 y2 x2 y2 x2 c 5 − =1 → − =1→ e= = 2 2 4 21 a 2 a b

3.-) Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en (0 ; 0) , excentricidad igual a 2, si uno de sus vértices está en ( 0 ; 4 ) . c c a=4 → e= → =2→ c=8 a 4 b2=c 2−a2 →b 2=64−16=48 2

2

2

2

y x y x − 2 =1 → − =1 2 16 48 a b

4.-) Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, si pasa por P(0 ; 6) y una de sus asíntotas tiene por ecuación 2 x +3 y=0 . ( 6 )2 ( 0 )2 y2 x2 − =1 → − 2 =1 →a 2=36 2 2 2 a b a b ( 3 y+ 2 x ) ( 3 y −2 x )=0 →9 y 2−4 x 2=0 2

2

2

2

9y 4 x y x − =0→ − =1 324 324 36 81

5.-) Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto (−1;−5) y tiene por asíntotas a los ejes coordenados. x ∙ y=(−1 )(−5 )=5 y=

5 x

6.-) Hallar la ecuación de la hipérbola de focos en ( 3 ; 4 ) y (−3 ;−4) , si la distancia entre sus directrices es 18/5. Directriz :

a2 1 18 a=3 = c 2 5 c=5

{

{

m=

recta eje principal

−4−4 4 = (0 ; 0) −3−3 3 4 y= x 3

3 x 9 relacion de triangulos: = → x= 5 3 5 y=

4 9 12 9 12 = V ; 3 5 5 5 5

()

(

)

9 12 108 x ∙ y= ∙ → xy = 5 5 25

7.-) Uno de los focos de una hipérbola es el punto (4 ; 5) y uno de sus vértices (1 ;1) . Si se sabe que los puntos están en los lados opuestos del eje conjugado y que el lado recto es los 2/3 del eje transverso, calcular las coordenadas del otro foco. Vertice a Foco : d= √( 4−1)2+(5−1)2=5 → a+c=5 2

2b 2 ( ) 2 Lado recto= = 2 b →b= a a 3 3 c 2=a 2+ b2 → c 2=a 2+

a+ √

2

2 √ 13 a a →c= 3 3

( )

13 15 13 a=5 →a= =2.27 → c= √ ( 2.27 )=2.73 3 3 3+ √ 13

{

5−1 4 = 4−1 3 → 4 x−3 y =1 Ec . de recta 4 y−1= ( x−1 ) 3 m=

Foco(f 1 ; f 2)

{√

4 f 1 −3 f 2=1 2

2

( f 1−4) +( f 2−5) =2( 2.73)

3 f 1 = f 2 →(f 1 −4)2 +( f 2−5)2=29.81 4

2

1.56 f 2 −16 f 2 +11.19=0

Foco(0.56 ; 0.75)

{

f 2=0.75 3 f 1= ( 0.75 )=0.56 4