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Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Matemáticas IV Actividad 6 “Transformando”

Equipo 12 Maestro: Miguel Ángel Patlán Rodríguez Hora: M2 (L-M-V) Grupo: 002 Aula: 2204

Nombre

Matricula

Carrera

Juan Esteban Herrera Pérez Adrian Alberto Treviño Cavazos Lesly Anahí Martínez Corpus Luis Alonso Garza Luna

1726768 1753576 1796741 1805873

IMF IMF IMF IMF

Plan: 401

4to. Semestre

Semestre Enero-Junio 2019 San Nicolás de los Garza, a 08 de Abril del 2018

Actividad 6: Transformando Propósito: Calcular la transformada de Laplace de las funciones dadas mediante las propiedades o formulas correspondientes Criterio de evaluación: Se evaluara el procedimiento y la solución correcta de las Transformadas

Instrucciones Obtener las siguientes transformadas 1. ℒ{f(t)},

t , 0≤t≤5 f(t) = { 1 ⁄2 , t>5

t

2. ℒ {∫0 e3t ∙ cos(2t) dt } 3. ℒ{t 2 ∙ sen(3t)} 4. ℒ{f(t)} donde , f(t) = 2t 2 , 0 < t < 2 , f(t + 2) = f(t) 5. ℒ{(3𝑡 − 2)𝑢(𝑡 − 2)}

1

t , 0≤t≤5 f(t) = { 1 ⁄2 , t>5

1. ℒ{f(t)},

∞

ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒

5 −𝑠𝑡

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒

0

∞

−𝑠𝑡 (𝑡)𝑑𝑡

0

1 + ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 ( ) 𝑑𝑡 2 5

Integrando por partes con ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 dv = e−st e−st v= −s

u=t du = dt

5

5 −𝑠𝑡 𝑃 −𝑠𝑡 𝑡 ∙ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 𝑒 ℒ{𝑓(𝑡)} = | −∫ 𝑑𝑡 + lim ∫ 𝑑𝑡 𝑃→∞ 5 −𝑠 0 2 0 −𝑠 5

𝑃

(5) ∙ 𝑒 −𝑠(5) − 0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 ℒ{𝑓(𝑡)} = − 2 | + lim | −𝑠 𝑠 0 𝑃→∞ −2𝑠 5

5𝑒 −5𝑠 𝑒 −𝑠(5) − 𝑒 −𝑠(0) 𝑒 −𝑠(𝑃) − 𝑒 −𝑠(5) ℒ{𝑓(𝑡)} = − + lim 𝑃→∞ −𝑠 𝑠2 −2𝑠 Utilizando 𝐥𝐢𝐦 𝒆−𝒔𝑷 = 𝟎 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔 > 𝟎 𝒚 𝒆𝟎 = 𝟏 𝑷→∞

ℒ{𝑓(𝑡)} =

5𝑒 −5𝑠 𝑒 −5𝑠 − 1 0 − 𝑒 −𝑠(5) − + −𝑠 𝑠2 −2𝑠

Simplificando 𝟓𝒆−𝟓𝒔 𝒆−𝟓𝒔 − 𝟏 𝒆−𝒔(𝟓) 𝓛{𝒇(𝒕)} = − + −𝒔 𝒔𝟐 𝟐𝒔

2

t

2. ℒ {∫0 e3t ∙ cos(2t) dt } 𝒕

Utilizando 𝓛 {∫𝟎 𝒇(𝒕)𝒅𝒕} =

𝑭(𝒔) 𝒔

f(t) = e3t ∙ cos(2t) s−3 F(s) = (s − 3)2 + 4

𝒔−𝒃

Utilizando 𝓛{𝒆𝒃𝒕 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕)} = (𝒔−𝒃)𝟐 +𝒂𝟐

Entonces s−3 𝐬−𝟑 (s − 3)2 + 4 ℒ {∫ e3t ∙ cos(2t) dt } = = s 𝐬[(𝐬 − 𝟑)𝟐 + 𝟒] 0 t

3. ℒ{t 2 ∙ sen(3t)} 𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝓛{𝒕𝒏 ∙ 𝒇(𝒕)} = (−𝟏)𝒏 ∙ 𝑭𝒏 (𝒔) n=2 f(t) = sen(3t) F(s) =

𝒂

Utilizando 𝓛{𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒕)} = 𝒔𝟐 +𝒂𝟐

3 s2 + 9

Derivando n veces (2) 𝐹 ′ (𝑠) =

(s 2 + 9)(0) − (3)(2𝑠) −6𝑠 = 2 2 2 (s + 9) (s + 9)2

𝐹 ′′ (𝑠) =

(s 2 + 9)2 (−6) − (−6𝑠)(2)(s 2 + 9)(2𝑠) (s2 + 9)[−6(s 2 + 9) + 24𝑠 2 ] = (s 2 + 9)4 (s2 + 9)4

𝐹 ′′ (𝑠) =

−6s2 − 54 + 24𝑠 2 18𝑠 2 − 54 18(𝑠 2 − 3) = 2 = (s 2 + 9)3 (s + 9)3 (s 2 + 9)3

Entonces 18(𝑠 2 − 3) 𝟏𝟖(𝒔𝟐 − 𝟑) ℒ{t 2 ∙ sen(3t)} = (−1)2 ∙ ( 2 ) = (s + 9)3 (𝐬𝟐 + 𝟗)𝟑

4. ℒ{f(t)} donde , f(t) = 2t 2 , 0 < t < 2 , f(t + 2) = f(t) Como la función es periódica se utiliza ℒ{f(t)} =

𝑻 ∫𝟎 𝒆−𝒔𝒕 ∙𝒇(𝒕)𝒅𝒕

𝟏−𝒆−𝒔𝑻

3

ℒ{f(t)} =

2 ∫0 e−st ∙2t2 dt

1−e−s(2)

=

2 2 ∫0 e−st ∙t2 dt

1−e−2s

Integrando por partes con ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 dv = e−st e−st v= −s

u = t2 du = 2t ∙ dt 2

2 ∫0 e−st ∙ t 2 dt = 2 [

𝑡 2 ∙𝑒 −𝑠𝑡 −𝑠

2

2 𝑒 −𝑠𝑡

| − ∫0 0

−𝑠

∙ 2𝑡 ∙ 𝑑𝑡]

Integrando por partes con ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 e−st −s e−st v= 2 s

u = 2t

dv =

du = 2dt 2

2 ∫0 e−st ∙ t 2 dt = 2 [ 2

2 ∫0 e−st ∙ t 2 dt = 2 [

ℒ{f(t)} =

−

(2)2 ∙e−s(2) −0 −s 4∙e−2s −s

−

−

2t∙e−st s2

2(2)∙e−s(2) −0 s2

2

2 e−st

| + 2 ∫0 0

−

2e−st s3

s2

dt]

2

| ] = 2[ 0

4∙e−2s −s

−

4∙e−2s s2

−

2e−s(2) −e0 s3

]

𝟖∙𝐞−𝟐𝐬 𝟖∙𝐞−𝟐𝐬 𝟒𝐞−𝟐𝐬−𝟏 − 𝟐 − 𝐬 𝐬 𝐬𝟑 𝟏−𝒆−𝟐𝒔

5. ℒ{(3t − 2)u(t − 2)} Utilizando 𝓛{𝒇(𝒕 − 𝒂) ∙ 𝝁(𝒕 − 𝒂)} = 𝒆−𝒂𝒔 ∙ 𝑭(𝒔) f(𝑡) = 3𝑡 𝐹(𝑠) =

, 𝑎=2

𝟏

Utilizando 𝓛{𝒕} = 𝒔𝟐

3 𝑠2

Entonces ℒ{(3t − 2)u(t − 2)} = 𝑒 −2𝑠 ∙

3 𝟑𝒆−𝟐𝒔 = 𝑠2 𝒔𝟐

4