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TALLER APLICADO: VECTORES Y PROYECCIONES EN R² Y R³ CRISTIAN ORDOÑEZ

CORPORACION UNIVERSITARIA IBEROAMERICANA TOCANCIPA 2019

Vectores y proyecciones en 𝑹𝟐 𝒚 𝑹𝟑 Taller – práctico aplicado. (Aplicación práctica)

1. Dados los siguientes vectores 𝑣⃗ = (1, 2, 3), 𝑢 ⃗⃗ = (2, −8 ), 𝑤 ⃗⃗⃗ = (−2, 3, 5), 𝑝⃗ = (2, −8), 𝑜⃗ = (2, 3, 5), 𝑦 𝑞⃗ = (2, −3, −5), grafique, desarrolle y compruebe las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas. a. 𝑣⃗ = 𝑤 ⃗⃗⃗

R/TA: Falso

b. 𝑢 ⃗⃗ = 𝑝⃗

R/TA: Verdadero

c. 𝑣⃗ = 𝑜⃗

R/TA: Falso

d. 𝑤 ⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗⃗

R/TA: Falso

e. 𝑞⃗ = 𝑤 ⃗⃗⃗

R/TA: Falso

Sean los siguientes vectores: 𝑢 ⃗⃗ = (3, −4, 5, 0, 0), 𝑣⃗ = (4, 8, −2, −1, 3), 𝑤 ⃗⃗⃗ = (−4, 7, −5), 𝑝⃗ = (0, 0, 1), en caso de ser posible realice y grafique las siguientes operaciones: 2.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗) −𝟑(𝟐𝒗

Solución: ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 2 ∗ 𝑣⃗ = (4, 8, −2, −1, 3) → (8, 16, −4, −2, 6) … − 3(2𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −3 ∗ (8, 16, −4, −2, 6) (2𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (−24, −48, 12, 6, −18) −3(2𝑣

3.

𝟐(𝐮 ⃗⃗ − 𝟓𝐯⃗⃗ + 𝐰 ⃗⃗⃗)

Solución: 5𝑣⃗ = 5 (4, 8, −2, −1, 3) = (20, 40, −10, −5, 15) (𝑢 ⃗⃗ − 5𝑣⃗) = (3, −4, 5, 0, 0) − (20, 40, −10, −5, 15) = (−17, −24, 15, 5 − 15) 2(𝑢 ⃗⃗ − 5𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗) = 2 (−17, −24, 15, 5 − 15) = (−34, −48, 30, 10, −30) 4.

⃗⃗ + 𝟑 𝒘 ⃗⃗ 𝟐( 𝒑 ⃗⃗⃗⃗) − 𝒖

3𝑤 ⃗⃗⃗ = 3(−4, 7, −5) = (−12, 21, −15) ( 𝑝⃗ + 3 𝑤 ⃗⃗⃗) =, 𝑝⃗ = (0, 0, 1) + (−12, 21, −15) = (−12, 21, −14) ( 𝑝⃗ + 3 𝑤 ⃗⃗⃗) − 𝑢 ⃗⃗ = (−12, 21, −14) − (3, −4, 5, 0, 0) = (−15, 25, −19) 2( 𝑝⃗ + 3 𝑤 ⃗⃗⃗) − 𝑢 ⃗⃗ = 2 (−30, 50, −38)

⃗⃗ − 𝟐 𝒘 5. 𝟑𝒑 ⃗⃗⃗⃗ 3𝑝⃗ − 2 𝑤 ⃗⃗⃗ = 3(0,0,1) − 2(−4, 7, −5) = (8, −14, 13)

6. Obtenga el producto entre los siguientes para de vectores y diga si son ortogonales (𝟑, −𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟔), (𝟒, 𝟏, −𝟏, −𝟑, 𝟐) Solución: (3, −1, 2, 5, 6) ∗ (4, 1, −1, −3, 2) = 12 − 1 − 2 − 15 + 12 = 6 Por lo tanto, los vectores no son ortogonales. 7. Obtenga la distancia, el producto punto entre los siguientes pares de vectores y diga si son ortogonales. ⃗⃗ = (−𝟑, 𝟏, 𝟏, −𝟐, 𝟑), 𝒗 ⃗⃗ = (𝟔, −𝟔, 𝟎, −𝟏, 𝟒) 𝒖

Solución: Distancia: ⃗⃗ − 𝒖 ⃗⃗| = |(𝟔, −𝟔, 𝟎, −𝟏, 𝟒) − (−𝟑, 𝟏, 𝟏, −𝟐, 𝟑)| = |𝟗 − 𝟕 − 𝟏 + 𝟏 + 𝟏| 𝒅=|𝒗

√𝟗𝟐 + (−𝟕)𝟐 + (−𝟏)𝟐 + (𝟏)𝟐 + (𝟏)𝟐 = √𝟖𝟏 + 𝟒𝟗 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 = √𝟏𝟑𝟑 Producto: (−𝟑, 𝟏, 𝟏, −𝟐, 𝟑) ∗ (𝟔, −𝟔, 𝟎, −𝟏, 𝟒) = −𝟏𝟖 − 𝟔 + 𝟎 + 𝟐 + 𝟏𝟐 = −𝟏𝟎 Podemos decir entonces, que; los vectores no son ortogonales.

8. Determine el ángulo entre los siguientes vectores y diga si son ortogonales, paralelos o ninguno de los anteriores ⃗⃗ = (𝟐, −𝟏 , 𝟑, 𝟒, 𝟓), 𝒗 ⃗⃗ = (𝟎, −𝟏, −𝟐, 𝟑, 𝟒) 𝒖 Solución: ⃗⃗ = (𝟐, −𝟏 , 𝟑, 𝟒, 𝟓) 𝒖

⃗⃗ = (𝟎, −𝟏, −𝟐, 𝟑, 𝟒) 𝒗

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =

⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗⃗ 𝒖 |𝒖 ⃗⃗| ∗ |𝒗 ⃗⃗|

𝑢 ⃗⃗ ∗ 𝑣⃗ = (2, −1 ,3, 4, 5) ∗ (0, −1, −2, 3, 4) = 0 + 1 − 6 + 12 + 20 = 27 Por lo tanto, los vectores no son ortogonales. |𝑢 ⃗⃗| = √22 + (−1)2 + 32 + 42 + 52 = √4 + 1 + 9 + 16 + 25 = √55 |𝑣⃗| = √02 + (−1)2 + (−2)2 + 32 + 42 = √0 + 1 + 4 + 9 + 16 = √30 cos 𝜃 =

27 √55 ∗ √30

cos 𝜃 =

27 5√66

𝜽 = 𝟒𝟖. 𝟑𝟒°

9. Determine la Proy 𝑣⃗(𝑢 ⃗⃗) para los siguientes vectores. ⃗⃗ = (𝟐, −𝟏, 𝟑, 𝟒 , 𝟓), 𝒖

⃗⃗ = (𝟎, −𝟏, −𝟐, 𝟑, 𝟒) 𝒗

Solución: 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 =

⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗⃗ 𝒖 ⃗⃗ ∗𝒗 𝟐 |𝒗 ⃗⃗|

⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗⃗ = (𝟐, −𝟏 , 𝟑, 𝟒, 𝟓) ∗ (𝟎, −𝟏, −𝟐, 𝟑, 𝟒) = 𝟎 + 𝟏 − 𝟔 + 𝟏𝟐 + 𝟐𝟎 = 𝟐𝟕 𝒖

|𝒗 ⃗⃗| = √𝟎𝟐 + (−𝟏)𝟐 + (−𝟐)𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 = √𝟎 + 𝟏 + 𝟒 + 𝟗 + 𝟏𝟔 = √𝟑𝟎

𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 =

𝟐𝟕 ∗ (𝟎, −𝟏, −𝟐, 𝟑, 𝟒) 𝟑𝟎

𝟎 𝟐𝟕 𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟏𝟎𝟖 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 = ( , − ,− , , ) 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 = (𝟎, − 10.

𝟗 𝟗 𝟐𝟕 𝟏𝟖 ,− , , ) 𝟏𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟓

Determine la Proy 𝑣⃗(𝑢 ⃗⃗) para los siguientes vectores.

𝑢 ⃗⃗ = (1, 3, 5),

𝑣⃗ = (5, −1, 1)

Solución: 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 =

⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗⃗ 𝒖 ⃗⃗ ∗𝒗 𝟐 |𝒗 ⃗⃗|

⃗⃗ ∗ 𝒗 ⃗⃗ = (𝟏, 𝟑, 𝟓) ∗ (𝟓, −𝟏, 𝟏) = 𝟓 − 𝟑 + 𝟓 = 𝟕 𝒖 |𝒗 ⃗⃗| = √𝟏𝟐 + 𝟑𝟐 + 𝟓𝟐 = √𝟏 + 𝟗 + 𝟐𝟓 = √𝟑𝟓 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 =

𝟕 ∗ (𝟓, −𝟏, 𝟏) 𝟑𝟓

𝟑𝟓 𝟕 𝟕 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 = ( , − , ) 𝟑𝟓 𝟑𝟓 𝟑𝟓 𝟏 𝟏 𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 = (𝟏, − , ) 𝟓 𝟓