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• Baltazar Habana

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Actividad 1. Métodos de integración Integración directa: En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas Ejemplo Calcular la integral indefinida

.

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de

es

. Por

tanto: Funciones analíticas El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que:

Método de integración por sustitución El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con unaintegral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Ejemplo #1[editar · editar fuente] Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral se reemplaza

con

:

(1) Ahora se necesita sustituir también Se tiene que

por tanto derivando se obtiene

agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

para que la integral quede sólo en función de

:

. A continuación se despeja

y se

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo

: (límite inferior) (límite superior) Tras de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

Método de integración por partes El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca menos flaca(menos integral) Vestida De Uniforme". Eligiendo adecuadamente los valores de

y

, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

. Un buen orden para escoger la u según la función es este: 1. Trigonométrica Inversa 2. Logarítmica 3. Algebraica o polinómica 4. Trigonométrica 5. Exponencial. Método de integración por cambio de variables El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si

es la variable original y

es una función invertible, se tiene:

Integrales de funciones trigonométricas Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso puede lograrse gracias a las siguientes identidades:

Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:

Integral que contiene potencias de senos y cosenos



En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).



La identidad

permite convertir de una parte a otra entre potencias pares

de seno y coseno. Existen 3 casos:

Cuando n es impar Cuando

, podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad

para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo

,

. Como en la expresión no tenemos

un

multiplicamos ambos lados por

expresión

y nos queda la

que ya podemos sustituir:

Cuando m es impar Cuando

, podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y

emplear

para poder expresar los factores restantes en términos del

al hacer

y

:

tendríamos

Cuando m y n son pares Cuando dichas potencias son pares a la vez

y

ángulo:

algunas veces es útil usar la identidad:

sería igual a:

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes



Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

, podemos aplicar las identidades de la mitad de

Puesto que:

, se puede separar un factor

y convertir la potencia restante (par)

de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad

.

O bien, puesto que:

, se puede separar un factor

y convertir la potencia

restante (par) de tangente a secante Reducción a funciones racionales Si el integrando puede expresar como una función racional de funciones trigonométicas:

(*) Entonces el cambio:

permite reescribir la integral (*) como:

Que resulta ser una función racional, y por tanto, de integración mecánica Integrales de funciones racionales Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:

Si el denominador es un polinómico mónico

con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización

en términos de polinomio irreducibles:

Si las formas:

entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de

Por lo que la integral de la función

es una combinación lineal de funciones de la forma:

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración. Integración numérica La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica(a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.



Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd edición), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1



Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur , Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231 Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat , Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, pp. 200–201



Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899), Gerhardt, Karl Immanuel, ed., Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band , Berlin: Mayer & Müller



Rudin, Walter (1987), «Chapter 1: Abstract Integration», Real and Complex Analysis (International edición), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-100276-9