• Author / Uploaded
• Jorge Marcelo Mena Rojas

Citation preview

INTEGRACIÓN Definición Sea  función derivable en , llamaremos función diferencial de  en  a la función que denotaremos por   donde :             Ejemplo Sea             se tiene que :        con lo cual , se tiene que : 

     ,



      

,



   

luego podemos decir que . 1.-           es decir      por lo tanto :      ,       2.-             es decir        por lo tanto :      ,       3.-          es decir     por lo tanto :     ,       

1

.- En general, se tiene que            es decir       por lo tanto :       ,          Ejemplo Sea              se tiene que :               con lo cual , se tiene que : 



    ,        luego podemos decir que . 1.-         es decir    por lo tanto :    ,       2.-            es decir       por lo tanto :     ,     

2

3.- En general, se tiene que                   

es decir          



 

por lo tanto :          



, 

            



Ejemplo   

Dada la función

   

     es decir

con lo cual

sea     se tendra que : es decir :

se tiene que

 



  

 



  



     

y que

      



   



    

en otras palabras , se tiene que :    



  



         

Observación En general se tiene que : si     entonces o bien

( ) 

 





   es decir    





   es decir  ( )   

3

Ejemplo Sea          se tiene que :                                 

   

     

PROBLEMA Dada la función   con       Determinar una función     con     tal que :             Ejemplo Si          con       se tiene que :           con       es tal que               tambien se tiene que :            con       es tal que



             en general , se cumple que :             con       y  constante en  es tal que 

             4

Ejemplo Si          con     se tiene que :            con     es tal que             tambien se tiene que :    es tal que

 

        con    



           en general , se cumple que :    

 

       

con     y  constante en  es tal que 

          

Observación Toda ecuación del tipo : Dada la función   determinar  función  con      tal que           Se llama ecuación diferencial de primer orden en la variable  Se dice que :     es solución de la ecuación diferencial  ssi           

5

Ejemplo Resolver la ecuación diferencial :

 

        

Solución  se sabe que :          por lo tanto, es claro que :           ;      es solución de la ecuación ya que : 

     ;      Ejemplo Resolver la ecuación diferencial :                Solución Es claro que :    3       ;         es solución de la ecuación ya que : 

     ;         Ejemplo  Resolver la ecuación diferencial :              si se tiene que :                 Solución Como  es una función definida por tramos, es claro que si  a de ser la solución de la ecuación,  debe estar definida por tramos por lo tanto, se tiene que  a de ser de la forma :          

            

6

y como debe ser derivable         , debe ser continua en      y como : lim     y lim     



se tiene que  no es continua en     pero si consideramos            

            

se tiene que dicha función es continua

       

ademas, es claro que  es derivable en      por lo tanto podemos decir que  es solución de la ecuación diferencial

Ejemplo  Resolver la ecuación diferencial :              si se tiene que :               Solución

Como  es una función definida por tramos, es claro que si  a de ser la solución de la ecuación,  debe estar definida por tramos por lo tanto, se tiene que  a de ser de la forma :  

 

                   y como debe ser derivable         , debe ser continua en      y como : lim     y lim     



se tiene que  no es continua en     pero si consideramos

7

           

            

se tiene que dicha función es continua         ademas, es claro que  no es derivable en    por lo tanto podemos decir que  no es solución de la ecuación diferencial en      Observación En este curso el objetivo no es la resolución de la ecuación diferencial, es  decir no buscaremos una función  tal que           , buscaremos una solución más especial ,no tan exigente Definición Dada una función  definida en el intervalo   . Diremos que una función  es una antiderivada o primitiva de  en  ssi 1.-  es continua en   2.-           salvo un número finito de puntos Observación 1.- Es claro que la solución de una ecuación diferencial, es tambien una primitiva. 2.- Tambien es claro que una primitiva de una ecuación , no necesariamente se solución de la ecuación diferencial Ejemplo Determinar una primitiva de :        en      Solución Es claro que :    3       ;         es solución de la ecuación diferencial ya que :       ;         por lo tanto tambien es primitiva de 

8

Ejemplo  Determinar una primitiva de :      en      si se tiene que :               Solución

Por lo visto anteriormente            

            

se tiene que dicha función es continua

       

ademas, es claro que  no es derivable sólo en    por lo tanto podemos decir que  es primitiva de  en      pero no es solución de la ecuación diferencial en      tambien se tiene que      

 

        

          

son primitivas de  en          pero no son solución de la ecuación diferencial en         

9

Ejemplo



     

si     

     

se tiene que                              es continua en  y                            analogamente

es primitiva de  ya que

  

                            



    

es primitiva de 

Ejemplo

       sea     una función no acotada    se tiene que       es una primitiva de  en  ya que es continua en  y derivable en 

10

Observación si   es una primitiva de  en  , se tiene que       es una primitiva de  en      Teorema Si    son primitivas de  en  entonces    constante , tal que           Ejemplo           Determinar las primitivas de                       Solución Se tiene que una primitiva de :       es              es         

 

  es      

            pero              no es continua en             considerando los limites laterales de las dos primeras funciones ,se tendra que haciendo el siguiente arreglo

11

                           no es continua en             considerando los limites laterales de las dos ultimas funciones ,se tendra que haciendo el siguiente arreglo

          

 

                  

   

es continua en 

 

ademas

                      

   

        

 

por lo tanto  es primitiva de  en  Notación Si  es una primitiva o antiderivada de  en  , escribiremos           constante en  se lee tambien : la integral de  respecto a  Observación Si  es primitiva de  , se tiene que            

12

Ejemplo Se tiene que   

   

       

es una primitiva de            es decir :                         

tambien  

   



   

         



   

       

      

 

es una primitiva de            es decir :                            

   

      



   

       

13

 



PRIMITIVAS BÁSICAS 1.-

           

2.-

 

3.-

  

4.-



5.-

 

                 

6.-

 

          

7.-

  

8.-

  

9.-

  

         

   

n

  



 

         

      







 

 

    



                                      

 

     

10.-

 

         

11.-

 

      

12.-



   

13.-



   

     

14.-



   

    

15.-

  

     

      

14

   

16.-

 

      

Teorema Sean    funciones con primitivas en  y sea    se cumple que 1.-

   

2.-

  

      

   

Ejemplo 1.-

     

                        

2.-

  



     

   

  

    

              

                 3.-

      

                         

           Observación Considerando el algebra de funciones como tambien el algebra de derivadas de funciones,es claro que determinar p`rimitivas ha de ser algo un poco mas complicado, es decir no todas las primitivas se pueden determinar de modo tan directo como lo visto,es por ello que a continuación veremos los llamados métodos para determinar primitivas

15

Métodos para determinar primitivas I.- Sustitución Teorema Sea  una primitiva de   Si  es una función continuamente diferenciable (  continua ) Se cumple que :          Demostración Dado

   se tiene que

     



    con lo cual, se tendra que

              

Ejemplo Resolver 1.-      Solución sea      se tiene que    es decir     con lo cual, al sustituir se tiene :                         2.-      Solución sea      se tiene que    es decir     con lo cual, al sustituir se tiene :                          otra forma

16

sea      o bien      se tiene que    es decir     con lo cual, al sustituir se tiene :                                3.-         Solución sea      se tiene que       ademas    con lo cual, al sustituir se tiene :                                                        4.-        Solución sea      se tiene que     ademas      con lo cual, al sustituir se tiene :                                                                    







otra forma 

sea      se tiene que      ademas    con lo cual, al sustituir se tiene :                                                            

17

5.-        Solución     

sea      se tiene que       ademas con lo cual, al sustituir se tiene :

                                                   



 

 

 



                  

otra forma sea       se tiene que        ademas     con lo cual, al sustituir se tiene :

                                                            

 





            

6.-       Solución 

sea      se tiene que      con lo cual, al sustituir se tiene :

                 





 

   

 



  

   

18



 



 

7.-     Solución 

se tiene que 

   



  

sea    se tiene que con lo cual, al sustituir se tiene :



   

                

Ejercicios Resolver 1.-



       

2.-



        

3.-



          

4.-



5.-

  

6.-



   

7.-



 

8.-



     

9.-



2+e   

    



 

 

 

   

19

 

      

  

      

10.-    II.- Por partes



 

Teorema Sean   funciones continuamente diferenciables respecto a  se cumple que



           

Demostración  

Se tiene que :



   

     con lo cual

         por lo tanto

                      



es decir luego, se tiene que

           

Ejemplo Resolver 1.-      Solución sea



   

       

        

    

20

se tendra que :

       

2.-     Solución sea

     

      

     sea

   

     

    

       

    

     

se tendra que :

se tendra que :

     

        

 



 







             3.-   Solución sea

      

   

se tendra que :

     



     

21

.-   Solución sea



        

   

     

se tendra que :

  

          en la cual  consideremos la sustitución       con o cual    luego, se tiene que :



  





           

  

      

por lo tanto, se tiene :

5.-   Solución sea



        

   

         

 

se tendra que :

  

 

consideremos la sustitución       con o cual    

 

  



  





en la cual 

luego, se tiene que :

        

           22

por lo tanto, se tiene :

.-       Solución sea

       

         

      

     

       

    

se tendra que :

 

    

 

           

          

   



  



  

   

7.-      Solución sea

      

      en donde, si

      

        

      

     

se tendra que :

     

se tendra que :

             

es decir, se tiene que

     

             

con lo cual

     

     

23

 

    

.-     Solución sea

      

    

  

se tendra que :



             en donde, si

      

  

    

se tendra que :



                                   es decir

     9.-



   

      

      



Solución sea

    



    

  

 

  

   

     

  

       

24

se tendra que :

   

10.-

    

Solución sea



        

      

se tendra que :

        

 



  

     

 



     

 

     

   





             11.-       

Solución sea      luego   

con lo cual

                         

sea



      

    

       



    

se tendra que :

      

    

 

     

 

        

        

     





            

25

III.- Fracciones Parciales Dados     si consideramos el cuociente se cumple que

 

1.- si    existen     con      ó      tal que :      por lo tanto se tendra que            

2.- si    se tiene que   es una fracción propia, la cual se puede descomponer en suma de fracciones parciales según los factores irreducibles que contenga ,es decir : i) si    es un factor propio de , dicho factor aporta con sumandos del tipo :          i) si      es un factor propio de  donde      es u irreducible en , dicho factor aporta con sumandos del tipo :                donde los  

son constantes que hay que determinar

De lo anterior se tendra que, la resolución de     se obtiene de la suma de las integrales que aportan los factores irreducibles es decir sumandos del tipo         





  

26

  

como tambien ,cuando corresponda con sumandos del tipo          













  

    

Ejemplo Resolver 1.-





   

Solución





   

    

     

2.-



 

 

 

  

 

 

  





       

 

  

  

  



   



     

Solución

       



        

   

 

 



 



 

 



 



 

      

27

      



       

   



  

 

  

IV.- Sustituciones Especiales 1.- Para problemas de los tipos

  



         



usar    donde      2.-

Para problemas de los tipos

  



     

usar    donde      3.-

Para problemas de los tipos

  

 

     

usar    donde     4.-

Para problemas del tipo



 (  

usar

 

    donde



  

 

5.- Para un problema del tipo

    

con  cuociente

usar      con lo cual se tendra que  

 

  

 

28

  

 

Ejemplo Resolver 1.-



  



Solución



  

en donde :

  

 

  

 

  

 

 



 



  



   



 

 

 

  

 

 

 

  

  

  

 

 

 



sea         con lo cual        luego

  

 

  

 

         

por otro lado



  

sea

 

luego

  

  

 

 



      



  con lo cual     



  

 

 



      

 

 

       

              por lo tanto, se tiene que



  

             

29

2.-

   

Solución

    

 



  



  

        en

 

luego 



  

  

 sea         

  



    

   

 

  

 

   



           por lo tanto

    

            

30

3.-



   

Solución



   



                                          

 









      

en



        

sea

 

  luego    

con lo cual



 

     

  

    

             



 

            

   

     

     

      

                              

               

            

luego:



   

        

 



        

                      

31

4.-

     

Solución                





 



    



 



    



 



         



    





 

 

    



 

 



    

 

 



      

  



 

en donde , para:



         

         

luego



y para



luego



    sea               

  

      

      

 

           

 sea  

  

  

   

      

por ello, se tendra que       

      

  

32

     





5.-

   

Solución Sea         con lo cual :



   

  



 

  

       



 

   

   

   

 

   

 

 

   

 

 

    

 

 

    



  

 

 

            

            con lo cual :



   



6.-

           

  

Solución Sea         con lo cual :



  

 



 

        

         



  

 

 

 

 

 



 



  

 

     

 





                            33

Ejercicios Resolver 1.-

   

2.-

    

3.-

       

4.-



5.-

   

7.-

   

8.-

9.-

  

10.-

 



6.-

  

         









11.-

 

12.-

 

13.-

   

14.-

     

15.-

  

16.-

 

17.-

  

18.-

    

19.-

     

20.-

    

21.-

    

22.-

   

23.-

3   

24.-

   

25.-

   

26.-

   

27.-

   

28.-

   

29.-

   

30.-

   











34







31.-

   

33.-

    

34.-



   

35.-

    

36.-



   

37.-

 



38.-



   

39.-

 



40.-



  

41.-

    

42.-



      

43.-

   

45.-

   

46.-



    

47.-

  

48.-



     

32.-

















44.-





 

35



   

    