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La Integral Indefinida: Métodos de Integración

CÁLCULO INTEGRAL

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN A estas alturas ya somos capaces de calcular cualquier integral de manera inmediata o por medio de un cambio de variable, como conclusión de la anterior unidad podemos sugerir el siguiente procedimiento para resolver integrales indefinidas: 1.) Identificar a la función del integrando

Intentar un Cambio de Variable Identificar en el integrando a:

2.) Seleccionar la fórmula de integración inmediata

No hay fórmula No se pudo

Si la hay Si se pudo

3.) Identificar componentes

Emplear un Método de Integración 4.) Sustituir en fórmula y simplificar

Cuando una integral no se puede resolver de manera inmediata o por el método de sustitución por cambio de variable, se emplea algún método de integración más complejo. En esta unidad solo veremos 4 métodos:  Método de integración por partes  Método para funciones trigonométricas  Método de sustitución trigonométrica  Método de fracciones parciales

INTEGRACIÓN POR PARTES Sean:

u  f ( x) y v  g ( x )

El producto de estas funciones queda definido como:

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)  uv x Si consideramos a u  e y v  cos x , entonces uv  e x cos x .

Si este producto lo incluimos dentro de una integral, tenemos:



e x cos x dx

Aplicando el diagrama de flujo de la página anterior, vemos que la integral no se puede resolver con alguna de las 27 fórmulas de integración inmediata de nuestro formulario. Al intentar un cambio de variable, éste resulta imposible por lo que de acuerdo al procedimiento debemos emplear algún Método de integración. Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

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CÁLCULO INTEGRAL

Toda regla de diferenciación tiene una regla de integración correspondiente, por ejemplo, a la regla de la cadena en la derivación le corresponde la regla de integración por el método de sustitución por cambio de variable. Para el método de integración por partes, la regla que le corresponde es la de la derivación de un producto de funciones:

d (uv) du dv  v u dx dx dx Convirtiendo la anterior regla a su forma diferencial

d (uv)  vdu  udv Integrando ambos miembros de la ecuación

 d (uv)   vdu   udv Aplicando la propiedad de la igualdad

 udv  vdu  uv Despejando el primer término del lado izquierdo de la ecuación

 udv  uv  vdu A esta ecuación se le denomina fórmula de integración por partes. La finalidad de emplear este método de integración es la de resolver una o más integrales sencillas o de igual complejidad que la integral original. El método consiste en descomponer el integrando en u y dv , lo que significa un doble cambio de variable. En general, en la elección de u y dv trataremos de definir a

u  f ( x) como la función más sencilla de diferenciar, o al menos que no sea la más complicada, siempre y cuando dv  g ( x)dx se pueda integrar con facilidad para obtener v . Ejemplo 1.

Determinar

 x senx dx

Para resolver la integral, se emplea la fórmula de integración por parte:

 x sen x dx  x( cos x)    cos xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sen x  C ux du  dx

dv  senx dx v



senx dx   cos x

Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

 udv  uv  vdu 2

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CÁLCULO INTEGRAL

Variantes del método de integración por partes Ejemplo 2. La integración por partes se puede realizar las veces que sean necesarias en un mismo ejercicio. Determinar

 ux

 x e dx 2 x

Nuevamente por partes

:







  x 2e x dx  x 2e x  e x 2 xdx  x 2e x  2 xe x dx  x 2e x  2  xe x  e x dx   

2

x

dv  e dx

du  2 xdx

v



x

e dx  e

x

x

ux

dv  e dx

du  dx

ve

x

Finalmente





x 2e x dx  x 2e x  2 xe x  2 e x dx  x 2e x  2 xe x  2e x  C

Ejemplo 3. La fórmula de integración por partes, se puede manipular con los axiomas de las ecuaciones lineales. Determinar



 e cos x dx x

Nuevamente por partes





e x cos xdx  e x cos x  e x (sen x dx)  e x cos x  e x sen x dx dv  e dx

du   sen xdx

v



x

u  sen x

x

u  cos x



:

x

e dx  e

dv  e dx

du  cos xdx

x



ve

x

Es la integral original



  e x cos xdx  e x cos x  e x senx  e x cos x dx   e x cos x  e x senx  e x cos x dx  

Sumando en ambos miembros de la ecuación la integral



e x cos xdx

 e cos xdx   e cos xdx  e cosx  e senx 2 e cos xdx  e cos x  e senx  x

x

x

x

x

x

x



Finalmente dividiendo por 2 ambos lados de la ecuación:



e x cos x  e x senx e cos xdx  C . 2 x

El Método de Integración por Partes se recomienda cuando en el integrando tenemos un producto de funciones o funciones logarítmicas o funciones trigonométricas inversas. Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

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CÁLCULO INTEGRAL

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Este método hace uso de las identidades trigonométricas, sobre todo las pitagóricas y las de ángulo doble. El objetivo es convertir a integrales trigonométricas complicadas en otras más sencillas que pueden ser resueltas por métodos directos o por cambio de variable, mediante el uso de identidades trigonométricas. Este método resuelve los siguientes tipos de integrales y sus variantes:

A)



sen mu cosn u du

Caso I.- Si m y n son pares y positivos o alguno de ellos es nulo, utilizar:

sen 2 u 

1  cos 2u 1  cos 2u 2 y cos u  2 2

Caso II.- Si m o n son impares y positivos: a) Si m es impar, se factoriza sen u du y se aplica: sen 2 u  1  cos2 u . b) Si n es impar, se factoriza cos u du y se aplica: cos2 u  1  sen 2 u .

B)



tan mu secn u du

Caso I.- Si m es impar y positiva, se factoriza: secu  tan u du y se aplica tan 2 u  sec2 u  1 Caso II.- Si n es par y positiva se factoriza: sec2 u du y se aplica sec2 u  tan 2 u  1 Caso III.- Si m es par y n es impar, emplear el método de Integración por Partes.

C)



cot mu cscn u du

Caso I.- Si se factoriza cot u du o cot 2 u du , se aplica: cot 2 u  csc2 u  1 Caso II.- Si se factoriza csc2 u du , se aplica: csc2 u  cot 2 u  1 , este caso solo aplica cuando n es par. Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral trigonométrica:



cos5 xdx

Esta integral pertenece al tipo A, y los exponentes son m = 0 y n =5, por lo que emplearemos el caso 2 inciso b.





cos5 xdx 

 



cos 4 x cos xdx 

du  2 u du  2





1  sen x  2

2

u  sen x

cos xdx 



1  u 

2 2

cos xdx 

du  cos x dx



1  2u

2

 u 4  du

 u 21   u 41   u3  u5 u du  u  2     u  2     2 1   4 1   3 5 2 1  sen x  sen 3 x  sen 5 x  C 3 5 4

Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

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CÁLCULO INTEGRAL



Ejemplo 2. Calcular la siguiente integral trigonométrica:

sen 2 x cos 2 x dx

Esta integral es del tipo A y pertenece al Caso I, m = n =2 = par



sen 2 x cos 2 x dx 



1 4



1  cos

2



1  1  cos 2 x  1  cos 2 x     dx  2 2 4   

2 x  dx 

1 4

  dx 

1 4



1  cos 2 x 1  cos 2 x  dx 

cos 2 2 xdx 

La segunda integral pertenece al mismo Caso I y se vuelve a sustituir la función cuadrática: 



1 1 x 4 4



1 1  1  cos 4 x   dx  x  2 4 8  

1 1 1 x x 4 8 8





1 1 1 cos u dx  x   8 8 4 du  4 dx 

1  cos 4 x dx 



1 1 x 4 8

1 1 cos u 4dx  x  8 32

  dx 



1 8

cos 4 x dx u  4x

cos u du 

1 1 1 1 x  sen u   x  sen 4 x  C 8 32 8 32

Ejemplo 3. Calcular la siguiente integral:



sec4 xdx

Esta integral pertenece al tipo B y caso II



sec4 xdx 







sec2 x sec2 xdx 

u 2 sec2 xdx  tan x 





 tan

2

x  1 sec2 xdx 

u 2 du  tan x 



tan 2 x sec2 xdx  u  tan x



sec2 xdx 

u3 1  tan x  tan 3 x  tan x  C 3 3

du  sec2 xdx

Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

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CÁLCULO INTEGRAL

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Este método se sugiere para integrales que no se pueden resolver por medio de un cambio de variable. El objetivo de este método de integración es transformar a integrales

a2  u 2 , a2  u 2 y

algebraicas que contengan en su integrando a expresiones como

u 2  a 2 , donde a  0 , en una integral trigonométrica de una nueva variable de la siguiente forma: Para

Sustituir con

Tomar a u como

a2  u 2

a cos 

u  a sen 

h2=co2+ca2

Triángulo a

u

h



 ca

a2  u 2

a sec

a2  u 2

a2  u 2

u  a tan 

u

 a u

u  a sec

a tan 

u 2  a2

co 

sen  

co h

csc  

h co

cos  

ca h

sec  

h ca

tan  

co ca

cot  

ca co

u 2  a2

 a

Ejemplo. Resuelve la siguiente integral indefinida:



dx x

2

4  x2

Para este ejercicio, si intentáramos resolverlo por un cambio de variable veríamos que es imposible, no obstante como tiene una expresión con radical similar a la segunda de la tabla, aplicamos este método de integración. Por medio de analogías obtenemos los valores de a y u, y construimos el triángulo rectángulo que nos servirá para finalizar el ejercicio: a2  4  a  2, u 2  x2  u  x

4  x2 h  2 ca x co u  a tan   x  2 tan   dx  2sec2  d  tan    2 ca a 2  u 2  a sec  4  x 2  2sec   sec  

 1 4

dx x2 4  x2







2sec  d 2

2 tan   2sec 

sen 2  cos  d  v  sen 

2

1 4





1 4



v 2 cos  d  dv  cos  d

sec  d 1  tan 2  4

1 4



Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz



4  x2

 1    d 1  cos    2 4  sen      cos  

x  2



cos  d  sen 2

1  v 21  1 1 1 v 2 dv     csc    4  2  1  4v 4sen  4

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CÁLCULO INTEGRAL

Hasta aquí correspondería a la solución trigonométrica, pero como la función original es algebraica debemos de cambiar la variable x nuevamente con la ayuda del triángulo:

h 4  x2 csc    co x





1  4  x2   4  x 4  x2

dx x2

 4  x2 C   4 x 

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES El objetivo de este método de integración es resolver integrales algebraicas que contengan en su integrando la división de polinomios. Este método solo se aplica a integrandos que contengan fracciones racionales propias. Definición: se llama función racional a aquella en la que el numerador y el denominador son expresiones en donde la variable solo tiene exponentes enteros y positivos:

f ( x) 

p( x) q( x)

Donde f(x)= función racional, p(x) y q(x) son polinomios.

Si el grado de p(x) es menor al grado de q(x), entonces f(x) es una fracción racional propia, en caso contrario es impropia.

f ( x) 

3x  2 p( x) grado 1    fracción racional propia 2 x  x  2 x q( x) grado 3 3

x3  1 p( x) grado 3    fracción racional impropia x  2 q( x) grado 1 En caso de tener un integrando que sea una fracción racional impropia, se realiza la división larga antes de resolver la integral: f ( x) 

x3  1 7 f ( x)   x2  2 x  4  x2 x2 Si el integrando es una fracción racional propia, se emplea alguno de los casos siguientes: Caso I: Todos los factores lineales del denominador son distintos. A cada factor lineal ax+b que este una sola vez en el denominador de una fracción A racional propia, le corresponde una sola fracción simple de la forma , donde A es ax  b una contante cuyo valor se tendrá que calcular. Caso II: Algunos de los factores lineales del denominador se repiten. n

En este caso el factor repetido (ax+b) se transforma en las siguientes fracciones simples: A3 An A1 A2     2 3 n ax  b  ax  b   ax  b   ax  b  Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

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CÁLCULO INTEGRAL

Caso III: Algunos de los factores del denominador son cuadráticos irreducibles, de la forma ax 2  bx  c, donde b2  4ac  0, entonces dicho factor genera una fracción simple de la forma: Ax  B 2 ax  bx  c Caso IV: Algunos de los factores del denominador son cuadráticos irreducibles “repetidos” de la forma

 ax

2

 bx  c  , donde

n

b2  4ac  0 , se transforma en las siguientes

fracciones simples: A3 x  B3 A1 x  B1 A2 x  B2    2 2 3 2 ax  bx  c  ax 2  bx  c  ax  bx  c  

Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral indefinida:





An x  Bn

 ax

2

 bx  c 

n

3x  2 dx x  x2  2x 3

Al intentar realizar un cambio de variable nos encontraríamos con la imposibilidad de hacerlo, por lo que recurriríamos al método de fracciones parciales, ya que tenemos una división de polinomios en el integrando. PROCEDIMIENTO Paso 1. Determinar si el integrando es una fracción racional propia o impropia. 3x  2 p( x) grado 1 f ( x)  3 2    fracción racional propia x  x  2 x q( x) grado 3 Paso 2. Factorizar el denominador. x3  x2  2 x  x  x 2  x  2   x( x  2)( x  1)

Paso 3. Identificar el caso al que pertenece la factorización. Para este ejemplo es Caso I: 3x  2 A B C    2 x  x  2x x x  2 x 1 3





3x  2 dx  x  x2  2x 3



B C  A    dx  x x  2 x 1 

Paso 4. Obtener los valores de las constantes de las fracciones simples del Paso 3. Multiplicando ambos lados de la fracción por x( x  2)( x  1) obtenemos: 3x  2  A( x  2)( x  1)  Bx( x  1)  Cx( x  2) 3x  2  Ax 2  Ax  2 A  Bx 2  Bx  Cx 2  2Cx factorizando con respecto a las x's 0 x 2  3x  2   A  B  C  x 2    A  B  2C  x  2 A

Las flechas nos indican equivalencias entre coeficientes, lo cual nos lleva a la generación de un sistema de ecuaciones: Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

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CÁLCULO INTEGRAL

A  B  C  0..........(1)  A  B  2C  3..........(2)

resolviendo: A  1, B 

 2 A  2..........(3) Paso 5. Resolver las integrales resultantes del Paso 3.



3x  2 dx  3 x  x2  2x





2  53  1 3    x x  2 x  1 dx   



dx 2  x 3



dx 5  x2 3

2 5 y C 3 3



dx x 1

3x  2 2 5 dx  ln x  ln x  2  ln x  1  C 2 x  x  2x 3 3 3

BIBLIOGRAFIA SUGERIDA 1) Fuenlabrada, Samuel. Cálculo Integral, México, McGraw Hill, 2004. 2) Granville W. A. Cálculo diferencial e integral, México, Limusa, 2000. 3) Leithold L. El cálculo, México, Oxford University Press, 1998. 4) Purcell J. E., Varberg D. y Rigdon S. E. Cálculo, México, Pearson Educación, 2001. 5) Stewart J. Cálculo, Trascendentes tempranas, México, Thomson Learning, 2002. 6) Swokowski, Earl W. Calculo con geometría analítica, México, G.E. Iberoamérica, 1989.

Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

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