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• Joseph Condori Cahui

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2 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Frecuentemente se presentan integrales indefinidas, en las cuales no es posible su cálculo mediante las fórmulas de integración de inmediatas. Para ello, existen teoremas importantes llamados métodos de integración que facilitan su cálculo. Entre estos métodos sólo estudiaremos los principales. A. SUSTITUCIÓN DE VARIABLES. Ya lo vimos en la anterior clase. B. INTEGRACIÓN POR PARTES Este método es uno de los más útiles del cálculo integral, i está basado en la diferencial DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES. Sean las funciones 𝑢 = 𝑓(𝑥) i 𝑣 = 𝑔 (𝑥), entonces: 𝑑 (𝑢𝑣) = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫(𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢) = 𝑢𝑣 ⇒ ∫ 𝑢𝑑𝑣 + ∫ 𝑣𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −

𝑣𝑑𝑢

A esta fórmula se le conoce como INTEGRACIÓN POR PARTES. OBSERVACIONES importantes que deben considerarse al aplicar este método de integración: i.

Este método de integración se emplea cuando la función integrando es el producto de una función (𝑢) por la derivada de otra (𝑣), es decir:

ii.

En la práctica, si empleamos este método, debemos separar el integrando en dos partes. Una es la función 𝑢 = 𝑢(𝑥) y la otra 𝑑𝑣 = 𝑣 ´ (𝑥)𝑑𝑥. Saber elegir adecuadamente quien hace el papel de 𝑢(𝑥) y quien el de 𝑣 ´ (𝑥) es el paso más difícil en muchos casos Suele ocurrir que al hacer una elección para 𝑢(𝑥) y 𝑣 ´ (𝑥), la integral, lejos de resolverse, se complique más. Esto significa que no hemos hecho la elección correcta y debemos intentarlo con una nueva. Nótese que para resolver la integral 𝐼 = ∫ 𝑢𝑑𝑣 debemos hallar el producto de dos funciones (𝑢𝑣), o cual no representa ninguna dificultad y otra integral ∫ 𝑣𝑑𝑢 . Esta última integral debe ser más fácil de resolver que, ya que si fuese más 𝐼 = ∫ 𝑢𝑑𝑣 complicada el método no sería útil (evidentemente, no nos interesa que para resolver una integral tengamos que hacer una más complicada que la que nos dan). Puede ocurrir que la integral ∫ 𝑣𝑑𝑢 que debemos resolver para hallar 𝐼 = ∫ 𝑢𝑑𝑣, se tenga que resolver por este mismo método, es decir, hay que aplicar el método de integración por partes dos veces.

iii.

iv.

v.

EJEMPLOS:

Ejemplo 7: Resuelva las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de integración por partes.

SOLUCIÓN

EJERCICIO 8:

ACTIVIDAD NRO 3 : REALIZAR 10 EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES .