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• Gildardo Porras

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FÍSICA MECÁNICA LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA IBEROAMERICANA GILDARDO PORRAS MACHADO ACTIVIDAD 2

Actividad 02 - Las matemáticas del movimiento Analizando el movimiento relativo en sistemas inerciales Estudio de caso A continuación, se describen una serie de situaciones donde la idea es que el estudiante se familiarice con la idea de los sistemas de referencia, los sistemas de referencia inerciales y la forma en que la velocidad a la que se desplaza un objeto depende del sistema de referencia en que se mida. Es muy importante que para cada pregunta se explique en palabras el resultado. Es decir: la respuesta numérica no basta, se requiere incluir un párrafo explicativo de máximo 100 palabras. Suponga que un niño viaja con su padre en un bus por una carretera muy extensa, completamente recta. El conductor del bus es bastante extremo y decide ir a la la máxima velocidad permitida en la carretera que es 80 km/h y se mantiene siempre en esa velocidad. El padre le dice al niño que se quede “quieto”. Desde el punto de vista del padre el niño está quieto V=0 km/h. En cambio, la mamá no está en el bus, está en la carretera viendo pasar el bus. 1. Desde el punto de vista de la mamá, ¿el niño está quieto? Respuesta. Desde el punto de vista de la mama, “usándola a ella como marco de referencia” el niño no está quieto ya que éste va la misma velocidad a la que se desplaza el bus que específicamente en el enunciado de este se dice que va a 80 km/h. 2. ¿A qué velocidad ve la mamá al niño? Respuesta. Como lo mencionaba en el punto anterior el niño al estar en una silla sin presentar un movimiento relativo se desplaza a la misma velocidad a la que se mueve el bus que es para este caso 80 km/h. El “punto de vista” en física se conoce como el sistema de referencia. En este caso tenemos dos sistemas de referencia que se mueven uno con respecto al otro. Ahora suponga que el niño se mueve hacia el conductor, va caminando por lo que avanza a una rapidez de 2 km/h con respecto al piso del bus. 3. ¿A qué velocidad ve el papá al niño? Respuesta. Para este caso es importante especificar que la referencia es el papá del niño que está en el bus en una silla a una velocidad relativa igual a la rapidez con la que avanza el bus, ósea “80 km/h”, con lo que la velocidad con la que ve el papá al niño es la velocidad con la que este avanza hacia el conductor que sería específicamente 2 km/h.

4. ¿A qué velocidad ve la mamá al niño? Respuesta. Usando como marco de referencia nuevamente a la mamá del niño ésta vería al niño con la velocidad que lleva el bus “80 km/h” sumado a los 2 km/h de velocidad que lleva el niño en su desplazamiento hacia la parte delantera del bus, que en total serian 82 km/h, teniendo en cuenta que los desplazamientos en la dirección al conductor si lo ajustamos a un plano cartesiano serian vistos como los desplazamientos positivos, por tal razón la suma de la velocidad del bus y del niño.

Ahora el niño se dirige hacia la parte de atrás del bus, avanza con una rapidez de 2 km/h. 5. ¿A qué velocidad ve la mamá al niño? Respuesta. Ahora tomando como marco de referencia a la madre del niño y entendiendo que el desplazamiento del niño hacia la parte trasera del bus se asume como un desplazamiento hacia la izquierda tomando en cuenta un plano cartesiano, debo hacer una resta de la velocidad del niño, “2 km/h” con respecto a la velocidad que avanza el bus “80km/h” que sería específicamente para este caso 78 km/h. 6. ¿A qué velocidad ve el papá al niño? Respuesta. Asumiendo que el padre del niño se encuentra en una posición relativamente estática en la parte trasera del bus y que ahora el niño se desplaza hacia la parte izquierda considero que el padre vería al niño con una velocidad de 2km/h, aunque tomando en cuenta la dirección en la que se desplaza el niño en referencia al padre ésta sería una velocidad de -2km/h. En este caso tenemos dos sistemas de referencia: el primero es el “piso” respecto al cual la mamá está en reposo. El segundo sistema de referencia es el “bus” respecto al cual el papá está en reposo. 7. Desde el sistema de referencia del papá, ¿a qué velocidad se mueve la mamá? Respuesta. Tomando en cuenta que el sistema de referencia del padre está en movimiento con respectos a la referencia de la madre, la velocidad con la que el padre ve que se mueve la madre es la misma a la que avanza el bus, es decir 80 km/h, ya que a pesar que la madree está en el paradero de manera relativamente estática, todo lo que ve el padre por la ventana del bus y que se encuentre en esa misma posición lo vera avanzar a la velocidad que él avanza. De la experiencia resulta evidente que para las personas del bus la velocidad no se “siente”. Las personas al interior del bus “sienten” es cuando el bus acelera o frena, pero mientras que se desplaza a velocidad constante no sienten nada especial. Si fuera de noche y no pudieran ver el piso de afuera, no hay forma de que pudieran darse cuenta a qué velocidad van o incluso

si están quietos con respecto al piso. Por esto es que, aunque la velocidad máxima a la que puede correr el niño (con mucho esfuerzo y sudor) es como de 10 km/h, cuando está montado en el bus caminando hacia el conductor puede ir a más de 80 km/h sin hacer mucho esfuerzo. Este fenómeno se debe al “principio de relatividad de Galileo”, el cual expresa que en todos los sistemas de referencia inerciales (es decir que se mueven a velocidad constante) se cumplen las mismas leyes físicas. Además, Galileo también planteó un modelo de conversión de velocidades entre dos sistemas de referencia. En notación vectorial Vca = Vba + Vcb. En palabras se puede expresar de la siguiente forma: La velocidad del niño con respecto a la mamá es igual a la velocidad del papá con respecto a la mamá más la velocidad del niño con respecto al papá. Como la velocidad es un vector, para un movimiento en 3 dimensiones, la transformación de velocidad se expresa en tres ecuaciones, una para cada uno de los ejes X, Y y Z: Vca(x) = Vba(x) + Vcb(x) Vca(y) = Vba(y) + Vcb(y) Vca(z) = Vba(z) + Vcb(z) Suponga que ahora la mamá se monta en un bus que también va a 80 km/h con respecto al piso, pero en sentido contrario. 8. Ahora, desde el sistema de referencia del papá, ¿a qué velocidad se mueve la mamá? Respuesta. Para resolver este punto es importante nombrar las velocidades a fin de facilitar la ejecución de operaciones, además tener en cuenta que si el desplazamiento se ejecuta de izquierda a derecha se tomará como una velocidad negativa y si se desplaza de derecha a izquierda será una velocidad positiva, así Vp = Velocidad del papá Vm =Velocidad de la mamá Vp =80 km/h

Vm = -80km/h

Vpm= Vp – Vm =80 km/h –(-80km/h) =80 km/h + 80km/h =160 km/h Desde el sistema de referencia del padre de niño, la madre se mueve a 160 km/h. Por los motivos enunciados es que siendo estrictos se debe siempre establecer ante qué sistema de referencia estamos midiendo las velocidades, ya que la velocidad es “relativa” al

sistema desde el cual estemos observando el objeto (es decir la velocidad del niño depende si le preguntamos al papá o a la mamá). 9. Con base en el concepto de velocidad relativa explique por qué es mucho más peligroso cuando dos autos colisionan de frente que cuando uno auto le pega por detrás a otro. Respuesta. Esta respuesta la puedo dar en base al ejercicio anterior donde claramente se puede observar que el concepto de velocidad relativa muestra que las velocidades en los vehículos son desde la percepción del observador ubicado en uno de ellos el doble o una sumatoria de las velocidades de cada vehículo, para lo que al momento de generarse una colisión la fuerza del impacto será muy alta ya que son fuerzas que están en sentidos contrarios, tanto como decir que ese choque frontal a 80mk/h de dos vehículos, sería igual que un vehículo estrellara a otro por detrás a una velocidad de 160 km/h.

Dado que las leyes físicas son iguales en dos sistemas inerciales, es entonces imposible identificar si uno está en un sistema de referencia en “absoluto reposo”. En la vida cotidiana pensamos que el reposo es estar quietos respecto al piso. Nuestro sistema de referencia natural es la superficie de la Tierra. No obstante, ahora sabemos que la Tierra está girando sobre sí mismo y cada 24 horas completa una vuelta completa. 10. ¿A qué velocidad se desplaza una persona parada en el Ecuador de la Tierra, con respecto al centro de la Tierra? (Para calcular la respuesta debes consultar por internet cuánto es el radio de la Tierra). Respuesta. 1669,7 km /h radio de la tierra= 6371 km Se calcula dividiendo la circunferencia de la tierra en el ecuador =40 075 km en el número de horas que tiene un día = 24 Vte =40.075 km/ 24h Vte = 1669,7 km/h “velocidad de la persona en el ecuador de la tierra” Y adicionalmente, la Tierra se mueve alrededor del Sol, completando una vuelta cada 365 días aproximadamente. 11. ¿A qué velocidad se desplaza una persona parada en el Ecuador de la Tierra, con respecto al Sol? (para calcular la respuesta también debe consultar por internet). Respuesta. -98.800 km/h Vte =1669,7 Vts = 100.000 km/h “velocidad de la tierra alrededor de sol” Vte s= 1669,7 km/h-100.000 km/h =-98.330,3km/h

12 ¿A qué velocidad se desplaza una persona parada en el Ecuador de la Tierra con respecto al centro de la galaxia? Respuesta. 1.998.330,3 km/h Vtg =Vte –Vg = 1669,7 km/h – 2.000.000 km/h = 1.998.330,3 km/h 13.Con base en las respuestas anteriores, ¿qué tan válido le parece decir que un niño esté “quieto” cuando su velocidad relativa frente a sus padres es de 0 km/h? ¿Está realmente “quieto”? Respuesta. Desacuerdo a los planteamientos y desarrollos de los puntos anteriores estoy totalmente convencido que no es válido afirmar que la velocidad relativa del niño es cero km/h debido a que únicamente con estar en reposo, sin hacer ninguna actividad o tendido en la cama estamos en movimiento de rotación en cuanto al movimiento que la tierra realiza sobre su propio eje y de traslación en cuanto al giro de la tierra en su órbita alrededor del sol, y teniendo en cuenta que aunque no lo logremos percibir son grandes estas velocidades, aunque siempre será importante para determinar el movimiento un sistema de referencia.

Conocer sobre las velocidades relativas puede ayudarlo en situaciones como atravesar un río. Y también un problema equivalente que es navegar un avión a través del aire. En ambos casos, el agua para el río, y el aire para el avión, se constituyen en sistemas de referencia inerciales que tienen una velocidad relativa con respecto al piso. El agua del río se mueve a 2 m/s con respecto al piso, suponiendo un plano de referencia en el piso se puede expresar que tiene una velocidad con respecto al piso de: Vpr(x) = 2 m/s Vpr(y) = 0 m/s Una persona intenta cruzar el río nadando en dirección perpendicular a la corriente (o sea en el eje Y). La rapidez con la que puede avanzar el nadador es de 3 m/s. Si avanza en sentido perpendicular, el vector está sólo sobre el eje Y, entonces la velocidad del nadador con respecto al río es: Brin(x) = 0 m/s Vrn(y) = 3 m/s 14. ¿Cuál es la velocidad del nadador con respecto al río? ¿Es decir que desde la perspectiva de la orilla del río el nadador cruza en línea recta?

Respuesta. U = 2 m/s

m/s

V´= 3 m/s

/

Tomando como referencia la velocidad de rio tenemos que la velocidad del nadador es 7 m/s, esto lo obtengo teniendo en cuenta los vectores que se generan al nadador moverse en sentido perpendicular al rio con una velocidad de 3m/s representado en mi triangulo como el cateto adyacente, la velocidad de rio como mi cateto opuesto que tiene una velocidad de 2m/s y es el vector resultante del arrastre que produce el rio en su normal rapidez de bajada y que para el planteamiento del ejercicio representa el eje x del plano cartesiano y por ultimo tengo la velocidad a la que se va a mover el nadador al intentarse desplazar de una lado al otro del rio que responde le segundo interrogante, ya que jamás será posible que desde la perspectiva de la orilla del rio el nadador cruce en línea recta, es más la distancia final recorrida por el nadador para pasar de un lado al otro será mayor que si lo hiciera en línea recta, pero esto será imposible debido a la velocidad del rio. 15. Si el nadador intenta cruzar un río de 60 m de ancho nadando en sentido perpendicular a la corriente, ¿a cuántos metros río abajo logrará llegar a la otra orilla? Respuesta: Llega 40 m más abajo. y 3 m/s

60 m

x 2 m/s

𝑉𝑛= 3 𝑚/𝑠

𝑉𝑟= 2 𝑚/𝑠

𝑡

𝑑 𝑉𝑟 60 𝑚 𝑚 3 𝑠 20 𝑠 𝑑 𝑑

𝑉𝑟 ∗ 𝑡 2

𝑚 𝑠

∗ 20

d =40 m

16. Si hay una catarata que está ubicada 30 m río abajo, ¿el nadador alcanza a cruzar antes de caer al vacío? Respuesta: Realizando el cálculo de la distancia a la que va a salir al lado contrario de donde arranca a nadar me pude dar cuenta que sale 40 metros más abajo con lo que es lógico decir que NO alcanzaría a cruzar el rio. 17. ¿Cuál es mínimo ángulo con el que debe proceder el nadador para que alcance a llegar al otro lado antes de caer en la catarata? y 3 m/s 30 m

60 m

40 m

α

x 2 m/s

Como sabemos que en 30 metros el nadador se caería en la catarata asumiré que pase un metro antes a fin de que no se caiga, es decir que para el desarrollo del ejercicio asumiré el cateto opuesto al ángulo que voy hallar como 29 metros y el cateto adyacente será entonces el ancho del rio, ósea 60 metros. 29 𝑡𝑎𝑛−1 25 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 60 Respuesta: El ángulo mínimo con el que con el que debe proceder el nadador será 25 grados si tomamos como referencia la orilla del frente al punto de partida del nadador, o 65 grados si tomamos como referencia la orilla de donde inicia su carrera el nadador. 18. ¿En qué ángulo debe avanzar el nadador para que logre cruzar al extremo justo al frente al punto donde inició el recorrido (es decir sin moverse río abajo)?

y 3 m/s

θ 60 m θ =41,8

x 2 m/s

𝑉𝑟 2 𝑚/𝑠 41° 𝑉𝑛 3 𝑚/𝑠 Respuesta: El nadador debe iniciar su nado en sentido contrario a la corriente y con un ángulo de 41° con respecto al frnete de la orilla donde parte el nadador o 49° con respecto a la orilla donde inicia su travesía. 𝜃

𝑠𝑒𝑛−1

19. Si ahora el nadador intenta atravesar un río más caudaloso, con agua que avanza a una rapidez de 3.5 m/s, ¿es posible que logre cruzar el río en línea recta? Respuesta: Seria más difícil para el nadador poder cruzar el rio en línea recta ya que ahora la velocidad del rio es casi el doble que en el enunciado anterior, no logrará cruzar en línea recta. Por desconocer lo expuesto anteriormente es que algunas personas de la “ciudad” (o específicamente que no están familiarizados con los ríos, ni con el movimiento relativo) sufren accidentes y a veces terminan sus días ahogados al intentar cruzar un río nadando. Antes de intentar esas proezas es importante saber que es muy probable que el punto de llegada no sea justo frente al punto de origen y adicionalmente hay que evaluar si se nada con suficiente rapidez para contrarrestar la velocidad del río. 20. ¿Qué sugerencias le haría a una persona para evaluar si es capaz de cruzar un río a nado, antes de que emprenda dicha proeza? Recomendaciones:  Desde el punto de vista de la física sería sumamente importante que verifique la velocidad de rio.  Le recomendaría que nade en sentido de la corriente, ya que si nada en contra de ésta será más difícil atravesar el rio y se agotara con mayor rapidez.



Debe tener en cuenta que de ninguna manera será posible que atraviese el rio en línea recta, además que la distancia que recorrerá al final será mayor que la distancia que asume tiene el ancho del rio.

REFERENCIAS: Arrascue Córdova, L. (2015). Capítulo 4. Definiciones de cinemática. En Arrascue Córdova, L., Física mecánica: Nivelación para estudiantes universitarios. Gómez Espíndola, J. C., González Pineda, C. E. y Mayoral Ramírez, C. A. (2012). 2. Movimiento en un dimensión. En Gómez Espíndola, J. C., González Pineda, C. E. y Mayoral Ramírez, C. A., Física fundamental. https://es.slideshare.net/elsisgissell/velocidad-relativa-17248585.