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CIENCIAS

1

DAVIS MOODY

Razones

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Observa los objetos indicados:

Observa los números indicados:

8

2

Ahora compara y responde: ¿Cuál es el mayor? Rpta.: Ahora compara y responde:

¿Cuánto más?

¿Qué hay más, computadoras o personas? Rpta.:

Rpta.: ¿8 es doble, triple o cuádruple que el 2? Rpta.:

¿Cuánto más? Rpta.:

¿2 es cuádruple, mitad o cuarta parte que el 8?

Las personas, ¿son el doble o la mitad de las computadoras?

Rpta.:

Rpta.: ¿Qué hay menos, computadoras o personas?

Estas dos comparaciones se denominan: Razón Aritmética y Razón Geométrica.

Rpta.:

Pensamiento

¿Cuánto menos? Rpta.: Las computadoras, ¿es el doble o la mitad de las personas? Rpta.:

3ro sec

“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo” Arquímedes

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55

CAMPEONES POR EXCELENCIA

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

Razón Aritmética Es la comparación de 2 cantidades mediante la sustracción de sus números. Partes: ra = a – b Razón Aritmética

Consecuente Antecedente

Razón Geométrica Es la comparación de 2 cantidades mediante la división indicada (fracción) de sus números. Partes: a rg = b

Antecedente Consecuente

Razón Geométrica

Se dice también : * “a es a b” * “a es entre sí con b” * “relación de a y b”

Hipatia de Alejandría (370 – 415)

Filósofa griega, nacida y muerta en Alejandría. Es la primera mujer de la que se tiene noticia que dedicó su vida a las matemáticas. Su muerte en el año 415 a manos de cristianos fanáticos marcó el ocaso de la escuela de Alejandría que inició sus actividades con Euclides (300 a.C.) y continuó con grandes matemáticos como Arquímedes, Apolonio o Pappus. La obra de Hypatía se centró en los comentarios sobre las obras de los matemáticos anteriormente citados y unos trabajos originales sobre curvas cónicas. Hypatía fue la última lumbrera de la biblioteca de Alejandría y su martirio estuvo muy legado de la misma.

6 6

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

1 La razón entre la suma y la diferencia de dos

DAVIS MOODY Aritmética

3 Si: x2 + y2 = 261

números es 7/2. La razón geométrica entre el

y también:

mayor y el menor es:

Calcula “x + y”.

x 2 = y 5

Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:

2 La relación geométrica de 2 números cuya suma

4 En una fiesta hay hombres y mujeres de tal

es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita

manera que por cada 4 mujeres hay 3 hombres,

17 al mayor. ¿Cuál es el menor de los números?

además después del reparto de comida se retiran 6 mujeres. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta si

Resolución:

todos pueden bailar? Resolución:

Rpta:

3ro sec

Rpta:

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77

CAMPEONES POR EXCELENCIA 3ro Secundaria 5

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

Las edades de María y Luisa están en la relación

6 Las edades de Jorge y Mario están en la relación

de 2 a 5. Dentro de 5 años sus edades sumarán 59

de 9 a 8. Hace 25 años estaban en la relación de

años. Halla la edad de Teresa si hoy la relación de

11 a 7. ¿Cuál es la diferencia de las edades de

la edad de María y Teresa es de 7 a 10.

Jorge y Mario?

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

7. En una reunión hay hombres y mujeres siendo el número de hombres al total de personas como 3 es a 8, y la diferencia entre hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres si se retiran 20 parejas?

10. La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 6, 2 y 16. Determina la suma de dichos números.

8. En una reunión por los festejos de año nuevo a la cual asisten 140 personas entre varones y damas, por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si llegan “n” parejas, por cada 4 mujeres habrá 5 hombres. Halla “n”.

11. En un partido de la «U» vs. Alianza inicialmente favorecen las apuestas a la «U» en razón de 3 a 2, pero al final es favorable a Alianza en razón de 5 a 1. ¿Cuántos hinchas de la «U» se pasaron a Alianza si en total 30 000 apostaron?

9. En un acuario hay peces de colores azul, anaranjado y amarillo. Si el número de peces azules es al número de peces anaranjados como 6 es a 5 y el número de peces amarillos es al número de peces azules como 5 es a 4, ¿cuántos peces azules hay en el acuario, si la razón aritmética entre el número de peces amarillos y anaranjados es 15?

12. Dos motociclistas parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Transcurridos los primeros 45 minutos la razón de la distancia a su punto de partida es de 3 a 5, y a los 30 minutos siguientes se encuentran distanciados 80 km. ¿Cuál es la diferencia de sus velocidades en km/h?

8 8

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

1. La razón entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. La razón geométrica entre el mayor y el menor es: a) 4:1 b) 1:4 d) 5:2

c) 2:5 e) 8:1

2. La razón geométrica de las raíces cuadradas de dos números es de 1 a 4. Si la suma de dichos números es 170, halla el menor de ellos. a) 10 b) 160 d) 150 3. Se sabe que

c) 20 e) 30

A 4 = ; B 7

c) 28 e) 36

4. Ana tuvo su hijo a los 18 años. Ahora su edad es a la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene su hijo? a) 15 años b) 13 años d) 30 años

c) 28 años e) 35 años

5. En una fiesta por cada 5 hombres hay 2 mujeres. Si en total asistieron 91 personas, ¿cuántos son hombres? a) 65 b) 60 d) 50

c) 55 e) 45

6. Dos números están en relación de 5 a 8. Si aumenta a uno de ellos 91 y al otro 133, se obtendría cantidades iguales. Halla el número menor. a) 60 b) 70 d) 120

3ro sec

a) 50/29 b) 40/19 c) 30/19 d) 83/19 e) 40/29 8. Dos números están en la relación de 2 a 3. Si se aumenta a cada uno de los términos en 9 unidades su razón es 3/4, halla el mayor de los números. a) 18 b) 27 d) 45

c) 45 e) 115

c) 36 e) 63

9. En una granja el número de patos es al número de gallinas como 3 es a 2, además el total de animales es 22. ¿Cuántos patos hay si además existe 2 conejos en la granja? a) 4 b) 3 d) 16

además 2A+5B=258. Halla “A” a) 24 b) 42 d) 20

7. En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres hay 5 hombres; además, el número de mujeres excede al número de hombres en 21. ¿Cuál es la nueva relación si se retiran 16 parejas?

c) 12 e) 8

10. La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Determina la suma de dichos números. a) 16 b) 20 c) 40 d) 15 e) 10 11. Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentan 2 listas “A” y “B”. Para votos se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial, la elección favorece a “B” en la razón de 3 a 2, pero en la votación legal, “A” ganó en una razón de 5 a 3. ¿Cuántos socios cambiaron de opinión? a) 44 b) 54 d) 56

c) 144 e) 64

12. En un corral hay «n» aves entre patos y pavos. Si el número de patos es a «n» como 5 es a 12, y la diferencia entre el número de patos y el número de pavos es 18, ¿cuál será la relación entre patos y pavos? a)

3 5

b)

4 5

5 d) 7

c)

9 10

e) 1 2

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99

CAMPEONES POR EXCELENCIA

2

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

Proporciones

PROPORCIONES

Ejemplo 2:

Se forma con dos razones iguales.

Calcula la cuarta diferencial de 5 ; 1/2 y 7 Resolución:

CLASES

1 =7-x 2 9 x=72 5-

1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA Se llama así cuando se tienen 2 razones aritméticas iguales, en la forma:

a-b=c-d=r Donde: a y d: extremos b y c: medios

Principio:

.... (1) r: razón aritmética

Rpta.: x =

1.2. Proporción aritmética continua (PAC) Cuando los términos medios son iguales y distintos a los otros.

de (1) a+d=b+c

Suma de extremos = Suma de medios

Ejemplo 1:

* 5 - 3 = 3 - 1



* 4 -

7 7 = -3 2 2



SUBCLASES

En general:

a-b=b-c

b : media diferencial c : tercera diferencial

1.1. Proporción aritmética discreta (PAD) Cuando los términos medios son distintos. * 5 -3=8-6 Ejemplo 1: * 9 - 2 = 16 - 9

5 2



b=

a+c 2

Ejemplo 2: Calcula la media diferencial de 1/5 y 1/3.



En general:

a-b=c-d

d : cuarta diferencial

10 10

Resolución: 1 1 + 5 3 b= 2

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

Rpta.: b =

4 15

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

Ejemplo 3:

Ejemplo 2:

Calcula la tercera diferencial de 2 y 1/4.

Calcula la cuarta proporcional de 12, 4 y 9.

Resolución:

Resolución: 1 2= 4 1 x= 4

1 -x 4 7 4

12 = 9 4 x 12x = 36

Rpta.: x = -

3 2

2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Se llama así cuando se tienen dos razones geométricas iguales, en la forma: a c b = d = k

.... 2

Rpta.: x = 3

2.2. Proporción geométrica continua (PGC) Cuando los términos medios son iguales y distintos a los otros. 1 Ejemplo 1: * = 3 8 * = 4

Donde: a , b , c y d ≠ 0

En general:

a y d → extremos b y c → medios k → razón geométrica o simplemente "razón" o constante de proporcionalidad

b : media proporcional o media geométrica.

3 9 4 2

a b b = c c : tercera proporcional b2 = a.c

Ejemplo 2: Principio:

de (2) a.d=b.c

Calcula la media proporcional de

1 y 4

1 si es positiva.

Producto de extremos = Producto de medios

Resolución: b2 =

1 x1 4 Rpta.: b =

SUBCLASES 2.1. Proporción geométrica discreta (PGD) Cuando los términos medios son distintos.

1 2

Ejemplo 3: Calcula la tercera proporcional de 8 y 2.

3 Ejemplo 1: * = 4 9 * = 3

12 16 27 9

Resolución: 8 2

En general:

a c b = d

o a:b::c:d

d : cuarta proporcional

3ro sec

=

2 x

2 2 x = 2 . 2 x =

2 2

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11 11

CAMPEONES POR EXCELENCIA PROPIEDADES P.1. Si:

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

P.3. En una PGC

a c = , se cumple: b d

a b = = k b c



a)

a c a-c a+c = = = b d b-d b+d



* b = ck



b)

a+b c+d = b d



* a = ck2



c)

a+b c+d = a-b c-d



an d) bn



e)

n n

cn dn

=

a = b

P.4. Si:

n n

a c e = = =k b d f

c d



a) a = bk ; c = dk ; e = fk



b) k =

P.2. En una PGC a b = b c

a) Producto de 4 términos: b) Producto de 3 términos:

a . b . b . c = b4 a . b . c = b3

a+c+e b+d+f

c) k3 =

a.c.e b.d.f

d) kn =

an + cn + en bn + dn + f n

Tres estudiantes fueron a USA. Llegaron a un motel y pidieron rentar un cuarto. El hijo del dueño del motel, que se encontraba en la recepción en el momento que llegaron, les dijo que un cuarto cuesta 30 dolares. Entonces cada uno de los estudiantes saco 10 dolares y asi juntaron los 30 dolares para pagar el cuarto. Después de haber pagado y subido a su cuarto llegó el dueño del motel a la recepción y se dió cuenta que su hijo les cobró demasiado porque el cuarto cuesta solamente 25 dolares, entonces mando a su hijo al cuarto con 5 billetes de 1 dólar. Pero el hijo decidió que va a ser demasiado dificil dividir 5 dólares entre 3 personas, puso 2 dólares en su bolsa y dió un dólar a cada uno de los estudiantes.

12 12

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

1 La tercera diferencial de “a” y 21 es 14 como 6 es la media proporcional de b. Halla “a – b”

DAVIS MOODY Aritmética

3 En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Halla la media proporcional.

Resolución: Resolución:

Rpta:

Rpta:

2 Halla la cuarta proporcional de:

4 En una PGC, la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia 21. Halla la media proporcional

a, 2

Resolución:

Rpta:

3ro sec

a b

y b

2

si es positiva. Resolución:

Rpta:

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13 13

CAMPEONES POR EXCELENCIA 3ro Secundaria 5

Calcula la suma de los 4 términos de una PGC,

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

6 La suma de los 4 términos de una P.G. es 65 y

para la cual se verifica que el producto de los 4

cada uno de los 3 últimos es

términos positivos es igual a 27 veces la semisuma de los medios.

¿Cuál es el último término?

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2 del anterior. 3

Rpta:

7. En una proporción geométrica continua, el producto de sus 4 términos positivos es 312 y además uno de sus extremos es 9 veces el otro. Da como respuesta la suma de sus términos.

10. En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la misma relación que 4 y 25, y su suma es 116. ¿Cuál es la media proporcional?

8. El producto de los 4 términos positivos de una proporción geométrica continua es 50 625. Si la suma de los extremos es 34, halla su diferencia.

11. Si:



9. En una proporción geométrica, la suma de los términos de la primera razón es 45 y la suma de los términos de la segunda razón es 75. Halla el segundo antecedente sabiendo que la suma de los consecuentes es 48.

14 14

m p 5 = = n q 4

Además: pq = 1 100 + mn ; p – m = 25 Calcula: m + p.

12. Si:



Además:



Calcula p.

A = a A-9 = a - 15

1 B = p b B+12 b+20

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

1. La tercera diferencial de "a" y 18 es 12 como 8 es la media proporcional de b y 4. Halla a + b. a) 20 b) 30 c) 50

c) 40 e) 80

2. Halla la cuarta proporcional de a, a.b y b a) b b) a2 d) ab

c) 2b e) b2

3. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 34 y su diferencia es 16. Halla la media proporcional. a) 12 b) 14 d) 16

c) 13 e) 15

4. En una PGC, la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia 16. Halla la media propocional si es positiva. a) 3 b) 9 d) 81

c) 64 e) 6

5. Calcula la suma de los 4 términos de una PGC, para la cual se verifica que el producto de los 4 términos positivos es igual al cuádruplo de la suma de los medios. a) 6 b) 7 e) 10

3ro sec

a) 14 b) 20 d) 22

c) 16 e) 64

c) 16 e) 18

8. El producto de los 4 términos positivos de una proporción geométrica continua es 1296. Si la suma de los extremos es 13, halla su diferencia. a) 4 b) 6 d) 2

c) 5 e) 3

9. En una proporción geométrica, la suma de los términos de la primera razón es 15 y la suma de los términos de la segunda razón es 25. Halla el primer antecedente sabiendo que la suma de los consecuentes es 16. a) 6 b) 9 d) 16

c) 8 e) 12

10. En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Halla la media proporcional. a) 30 b) 60 d) 10 11. Si: a c 3 = = b d 4

c) 8 e) 9

6. La suma de los 4 términos de una P.G. es 85 y cada uno de los 3 1 últimos es del anterior. 4 ¿Cuál es el primer término? a) 4 b) 32 e) 16

7. En una proporción geométrica continua, el producto de sus 4 términos positivos es 28 y además uno de sus extremos es 4 veces el otro. Da como respuesta la suma de sus términos.

c) 45 e) 50

Además: ab – cd = 780 ; b – d = 4 Calcula: b + d. a) 260 b) 245 d) 248

12. Si:

Además:

c) 254 e) 250

a c = = k b d a+5 c+15 = b+3 d+9



Calcula: 1/k



a) 2/3 b) 3/5 d) 5/3

c) 1/3 e) 3/2

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15 15

CAMPEONES POR EXCELENCIA

3

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

Promedios

INTRODUCCIÓN

1. PROMEDIO ARITMÉTICO

Juan, alumno de 2.º de secundaria, enseña su libreta del colegio a Pedro, ambos alumnos y amigos. Las notas fueron:

Llamado también Media Aritmética (Ma) o simplemente «promedio». Dados 4 números: 4; 13; 12 y 17, la media aritmética es:



Nota

Aritmética 18 Álgebra 10 Geometría 08 Física 13 Raz. Matemático 16



4 + 13 + 12 + 17 Ma = = 11,5 4

Para : a1, a2, a3, ..., an a + a2 + a3 + ... +an Ma = 1 n

Promedio : 13 En ese momento, llega el papá de Juan y le pregunta: «Bien hijo,... ¿y? ¿Con cuánto pasas a 3.º de secundaria?», y Juan responde: «Con 18 papi». Pedro le queda mirando y le dice; «Oye, no!, dile el promedio». «Ah... sí, lo olvidé. Con 13, papi». Bien, así es, de un grupo de notas existe uno llamado «promedio» que les representa. Pero esta semana aprenderás que este promedio puede ser de 3 tipos: aritmético, geométrico y armónico. Lo obtenido en las notas es aritmético.

2. PROMEDIO GEOMÉTRICO Llamado también Media Geométrica (Mg). Dados 3 números: 12 ; 3/8 y 6, la media geométrica es:

Mg = 3 12 x

3 x 6 = 3 27 = 3 8

Para : a1, a2, a3, ..., an Mg = n a1. a2 . a3 . ... . an

16 16

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY * La temperatura media de una ciudad durante el mes de noviembre fue variante:

3. PROMEDIO ARMÓNICO Llamado también Media Armónica (Mh).

Fecha N.º de Temperatura días media

Dados 4 números: 2 ; 5 ; 2/3 y 1, la media armónica es: Mh =

1 al 5

4 1 1 + 2 5

1 + 1

1 + 2 3

5

16° C

6 al 20

15

17° C

21 al 30

10

22° C

Mh = 1,25

La temperatura media en todo el mes fue:

Para : a1, a2, a3, ..., an n Mh = 1 1 1 1 + + +...+ a1 a2 a3 an

5 x 16 + 15 x 17 + 10 x 22 = 18,5ºC 5 + 15 + 10

5. PARA 2 NÚMEROS A Y B PROPIEDADES



A+B (a) Ma = 2

 Si todos los números son iguales, entonces: Ma = Mg = Mh = mismo número.



(b) Mg2 = Ma . Mh

Mg = AB ; Mh =

2AB A+B

 Si todos los números son distintos, entonces: a) Número < Promedio < Número Menor Mayor

b) Mh < Mg < Ma

4. PROMEDIO DE GRUPOS * El promedio de las aulas es variante.

Aula

N.º Alumnos

Promedio

A

20

17

B

30

12

50

10

C



El promedio de las 3 aulas es: 17 + 12 + 10 = 13 3

¡No!

20 x 17+30 x 12+50 x 10 Así : = 12 20 + 30 + 50

3ro sec

¿Cómo se calcula el cuadrado de un número utilizando promedios? Se dice que los primeros en aplicar las potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos. Así se ha deducido de unas tablillas encontradas en las orillas del río Éufrates. De acuerdo a lo estampado en ellas, los sacerdotes resolvían la multiplicación sin recurrir al ábaco, tan usado en esa época. Para solucionarla empleaban la tabla de cuadrados y se basaban en el siguiente principio: “El producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio menos el cuadrado de la mitad de su diferencia”. Vamos a comprobarlo con 5 y 3. El promedio de los dos es 4 y el cuadrado de 4 es 16. La diferencia entre 5 y 3 es 2, y su mitad corresponde a 1. 16 - 1 = 15 y 3 . 5 = 15 ¡Muy cierto!

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17 17

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1

Aritmética - 1ro Sec.

El promedio de las notas de un alumno en sus

3 El promedio de las edades de 6 personas es 26. Si

tres primeras prácticas es exactamente 12. Si en

se retiran 2 de ellas, el promedio de los que quedan

la cuarta práctica obtiene 08, ¿cuál será el nuevo

es 23 años. ¿Cuál es la suma de las edades de las

promedio?

personas que se retiraron?

Resolución:

Resolución:

Rpta:

2

ARITMÉTICA

Rpta:

Eduardo ha obtenido en las cuatro primeras

4 El promedio de cuatro exámenes de un mismo

prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál

alumno es 13. Si tres de ellos suman 48, ¿cuál es

debe ser su nota en la quinta práctica para que

la cuarta nota?

su promedio sea 13? Resolución: Resolución:

Rpta: 18 18

Rpta:

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

5 ¿Cuál es el número mayor si la media aritmética

6 La media geométrica de 3 números enteros

de 3 números es 30? Además uno de ellos es 24

positivos distintos es 7. Calcula su media

y la diferencia de los otros dos es 18.

aritmética.

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

7. En una clase de 40 alumnos, la estatura promedio de los hombres, que son 25, es 1,68 m y el promedio de las mujeres es 1,62m. ¿Cuál es el promedio de la clase?

10. ¿Cuál es el promedio armónico de 60 números si el promedio armónico de 20 de ellos es 18 y el promedio armónico de los 40 restantes es 54?

8. El promedio de las edades de cinco estudiantes es 15 años. Si ninguno de ellos es mayor de edad, ¿cuál es la menor edad que puede tener uno de ellos?

9. Halla “n”, sabiendo que el promedio geométrico de los números 2; 4; 8; 16; … (“n” números) es igual a 1 024.

3ro sec

11. El promedio de las notas de un curso de 30 alumnos fue 5,2; los primeros 6 obtuvieron un promedio 8,0 y los 10 últimos sacaron 3,1. Calcular el promedio de los alumnos restantes.

12. Las normas académicas de una institución establecen las calificaciones siguientes: APROBADO: nota ≥³14; DESAPROBADO: 9 ≤ nota < 14 y REPROBADO: nota < 9. En el curso de Aritmética, las calificaciones finales fueron: 40% aprobados, con nota promedio: 16 puntos; y nota promedio de los reprobados: 6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso fue de 11 puntos, entonces el porcentaje de alumnos rerobados es:

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19 19

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1. Eder calcula el promedio de sus 5 primeras prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio ahora?

a) 13,42 b) 14,25 d) 12,58

c) 13,57 e) N.A.

2. Halla el promedio aritmético de 8, 12, 20 y 24.

a) 10 b) 16 d) 20

c) 11 e) 12

3. El promedio de notas de 27 alumnos es 15. Si a todos los alumnos se les aumenta un punto en su examen, ¿cuál será el nuevo promedio?

a) 14 b) 17 d) 18

c) 15 e) 16

4. El promedio aritmético de 13 números es 18. Si 3 de ellos suman 34, ¿cuál es el promedio de los demás?

a) 16 b) 19 d) 20

c) 17 e) 18

5. ¿Cuál es el número menor si la media aritmética de 3 números es 28? Además uno de ellos es 26 y la diferencia de los otros dos es 14.

a) 18 b) 19 d) 22

c) 20 e) 24

6. La media geométrica de 3 enteros positivos distintos es 2. Calcula su media aritmética.

a) 2 b) 3,5 d) 2,3

20 20

c) 3 e) 2,5

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

7. El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16; de la clase «B», que tiene 40 alumnos, es 14; y de la clase «C», que tiene 50 alumnos, es 12. Halla el promedio de las tres clases. a) 13,2 b) 14,2 d) 14,6

c) 13,4 e) 13,6

8. La edad promedio de 6 personas es 64 años. Si ninguna de ellas es mayor de 70 años, entonces la mínima edad que puede tener cualquiera de ellas es: a) 32 años b) 37 años d) 34 años

c) 36 años e) 38 años

9. El promedio geométrico de 3; 9; 27; ...; 3n es 243. Halla «n». a) 9 b) 11 d) 12

c) 10 e) 8

10. El producto de la M.A. de 2 números por su M.G. y por su M.H. da como resultado 4 096. Calcula la M.G. a) 18 b) 6 d) 16

c) 32 e) 8

11. El promedio de “a” y 18 es 13, el promedio de “b” y 20 es 18 y el promedio de “a”, “b”, “c” y 15 es 13. Calcular “a + b – c”. a) 14 b) 12 d) 15

c) 10 e) 11

12. De 500 alumnos de un colegio cuya estarura promedio es 1,67 m, 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60 m. ¿Calcular la estatura promedio de los varones? a) 1,25 b) 1,70 d) 1,50

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

c) 1,40 e) 1,30

3ro sec

CIENCIAS

4

DAVIS MOODY

Magnitudes Proporcionales

INTRODUCCIÓN

CLASES DE MAGNITUDES:

Todos alguna vez empleamos un razonamiento inductivo que viene asociado a experiencias vividas, por ejemplo decimos: Mientras más alto es un árbol, su sombra será también mayor; si un automóvil lleva una mayor velocidad podrá recorrer mayor distancia en un mismo tiempo o mientras más obreros trabajan en la construcción de una casa se demorarán menos tiempo en terminarla.

A. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)

Todos los ejemplos nos hablan de cambios o variaciones de las magnitudes (altura, velocidad, distancia, número de personas, días, etc.) que intervienen en una situación. En los dos primeros ejemplos el aumento de una magnitud provocaba el aumento de la otra y en el tercer ejemplo el aumento de una de ellas provocaba la disminución de la otra, cuando ocurren estas situaciones nos encontramos con magnitudes proporcionales.

El descubrimiento Se organiza una expedición arqueológica al Monte Ararat, donde se supone que descansó el arca de Noé despues del diluvio y excavando, el jefe de la expedición descubre los cadáveres de un hombre y una mujer desnudos y bien conservados puesto que estaban en la nieve. En cuanto los ve grita a sus compañeros "Mirad, son Adán y Eva". ¿Por qué supo que eran precisamente Adán y Eva?

Ejemplo: Un alumno llega a una librería pensando comprar seis cuadernos pero consultó por varias opciones y obtuvo los siguientes resultados: x3

÷2 3 12

N° Cuadernos Costo (s/.)

6 24

18 72

9 12 36 48

x3

÷2

Podemos observar: - Si se triplica el n°. de cuadernos (6 x 3 = 18) se triplica el costo (24 x 3 = 72). - Si se reduce a la mitad el número de cuadernos (6 ÷ 2 = 3) el costo también se reduce a la mitad ( 24÷ 2 = 12). - Si dividimos el n°. de cuadernos entre el costo se obtiene una cantidad constante. N° cuadernos costo

3

N

6

9

12

1

= = 12= 24= 36= 48= 4 C constante

MAGNITUD

Graficando y uniendo puntos:

Es todo aquello que experimenta cambios y puede ser medido. Ejemplo: La sombra de un árbol, la velocidad de un auto, los días trabajados, etc.

Costo C 36

•

24 MAGNITUDES PROPORCIONALES Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas la otra también varía.

3ro sec

Aumenta

12

•

•

N 3

6

Aumenta

9

N°Cuadernos

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21 21

CAMPEONES POR EXCELENCIA Obtenemos una recta. La gráfica nos indica que si el número de cuadernos aumenta, también el costo aumenta, y si el número de cuadernos disminuye, el costo disminuye. Podemos concluir que el costo y número de cuadernos son magnitudes directamente proporcionales.

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

Graficando y uniendo los puntos: N° Días D 30

•

Definición: Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP) si al aumentar o disminuir una de ellas, el valor de la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. También se cumple que el cociente entre sus valores correspodientes es una cantidad constante.

A = constante B

B. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.) Ejemplo: Un capataz contrata 15 obreros que puede construir un muro en 10 días.Luego de algunos razonamientos elabora la siguiente tabla: x2

÷3

N° Obreros N° Días

5 30 x3

15 10

30 5

•

N 10 15

5

N° Obreros

Definición: Dos magnitudes son inversamente proporcionales (I.P.) si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye en el primer caso o aumenta en el segundo caso en la misma proporción. También se cumple que el producto entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. Es decir, dadas las magnitudes "A" y "B".

10 15

A I.P. B

A.B= constante

÷2

Podemos observar:

Observación

- Si duplica el n° de obreros (15x2 = 30), el número de días se reduce a la mitad (10÷2 = 5). - Si se reduce a la tercera parte el número de obreros(15 ÷ 3 = 5), el número de días se triplica ( 10 x 3 = 30). - El producto del número de obreros y número de días es constante. N° Obreros x N° Días = 5 x 30 = 15x10 =

•

Se forma una curva denominada hipérbola equilátera. Según la gráfica podemos ver que si el número de obreros aumenta, el número de días disminuye, podemos concluir que el número de obreros y el número de días son magnitudes inversamente proporcionales.

Es decir, dadas la magnitudes "A" y "B". A D.P. B

15 10

Si:

A D.P. B



A I.P. C



A D.P. D2

A.C B.D2

=Constante

= 30 x 5 = 150

constante

Isacc Newton Es el más grande de los astrónomos ingleses; se destacó también como gran físico y matemático. Fue en realidad un genio al cual debemos el descubrimiento de la ley de gravitación universal, que es una de las piedras angulares de la ciencia moderna. Fue uno de los inventores del cálculo diferencial e integral. Estableció las leyes de la mecánica clásica, y partiendo de la ley de gravitación universal dedujo las leyes de Kepler en forma más general. Logró construir el primer telescopio de reflexión. También son importantes sus contribuciones al estudio de la luz. Sus obras más importantes publicadas son la Optica, en la que explica sus teorías sobre la luz, y la obra monumental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, comúnmente conocida como Principia, en la cual expone los fundamentos matemáticos del universo.

22 22

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

1 Si la magnitud "F" es D.P. al cubo de "T", completa el siguiente cuadro y da "m + p". F

m 625 40 4 p 2

T

DAVIS MOODY Aritmética

3 A3 es IP a B3 y cuando A = 2, B vale 3. H a l l a A, cuando B = 4. Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

2 El siguiente cuadro muestra los valores de dos

4 Si A IP B2 , A IP C y A DP D3, entonces:

magnitudes "A" y "B" que guardan cierta relación



de proporcionalidad. Calcula "x + y"

a)

AB2 = k C. D3

c)

A D3 = k B2 C

A 15 B

x

45

9

36 25

4

y d)

Resolución:

A D 3B 2 C

= k

b)

A B2 C =k D3

e)

A C =k B2 D3

Resolución:

Rpta:

3ro sec

Rpta:

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23 23

CAMPEONES POR EXCELENCIA 3ro Secundaria 5

La rueda A tiene 50 dientes, B tiene 40 dientes,

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

6 Sean A y B, magnitudes.

C tiene 15 dientes y D tiene 25 dientes. Si A

Calcular del gráfico: m + n +p

da 120 RPM. ¿Cuánto demora D en dar 8100



revoluciones?

A(DP)B

A(IP)B

A

8

B

4 C

D

Resolución:

Rpta:

2 n

8

p

32

A

Resolución:

Rpta:

7. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que cuesta 6400 dólares accidentalemente se parte en dos pedazos, uno los 3/5 del otro,¿qué pérdida sufrió el diamante?

8. El peso de un elefante es D.P. a la raíz cuadrada de su edad. Si un elefante de 36 años pesa 300 kg, ¿qué edad tendrá cuando pese 400 kg?

9. Sean 2 magnitudes A y B, tales que A es IP a B para B ≤ 30, y A es DP a B para B > 30. Si A = 6 cuando B = 20, halla A cuando B = 60.

24 24

B m

10. La potencia consumida por un foco es D.P. al cubo de la raíz cuadrada del tiempo que está prendido. Si la potencia de un foco es 200 watts, ¿cuál será la potencia de otro foco si utiliza un tiempo igual al cuádruple del anterior?

11. El tiempo que demora un barco en realizar un viaje es D.P. al cuadrado de su peso e I.P. a su velocidad. Si un barco realiza una travesía en 12 días, ¿qué tiempo demora otro barco que pesa 3 veces más que el primero y lleva una velocidad que es 2 veces más que el anterior?

12. La potencia de un motor es directamente proporcional a la capacidad del motor e inversamente proporcional a los años de trabajo. Si un motor de 2,5 litros de capacidad y 5 años de uso tiene una potencia de 10 HP, halla la capacidad de otro motor que tiene 6 años de antigüedad y 15 HP de potencia.

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

1. Si "A" es directamente proporcional al cuadrado de "B", halla "x+y". A 100 B x

y 8

16 2

a) 361 b) 261 d) 129

c) 69 e) 171

2. Si A y B son IP, calcula m + n + a. A 30 12 B n 15

a) 8 b) 9 d) 12

1 c) 173 e) 204

3. Si A2 es DP a B, halla B cuando A es 2, sabiendo que A=6 cuando B es 9. a) 1/9 b) 1/3 d) 3

b)

AB =k C . D2

e)

A =k B C . D2

5. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 50 g cuesta 4 000 dólares, ¿cuánto costará otro diamante que pesa 80 g? a) 10 000 b) 10 240 d) 12 400

c) 12 000 e) 9 800

6. Se tiene un diamante que cuesta $48000. Si éste se parte en 2 pedazos (uno el triple del otro), determina el costo total de ambos si sabiendo que el precio es DP al cuadrado de su peso. a) $30 000 b) $20 000 d) $15 000

c) $24 000 e) $16 000

7. La fuerza "F" de atracción entre dos cargas eléctricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Si cuando están separadas 40 cm la fuerza de atracción es 10 newtons, halla la nueva fuerza de atraccion si ahora están separados 8 cm.

3ro sec

c) 10 e) 15

8. La velocidad del sonido en el aire es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta del medio ambiente. Si la velocidad del sonido es de 280 m/s a 21°C, ¿cuál será su velocidad a 111°C?

c) 1 e) 9

4. Si A DP a B ; A IP a C ; A DP a D2; entonces: AD2 = k B C A C c) = k BD2 ABD2 d) = k C

c) 300 N e) 50 N

9. La producción semanal de jeans en una fábrica es directamente proporcional al número de máquinas que tiene e inversamente proporcional a los años de uso de las mismas. Si una fábrica con 12 máquinas de 4 años de uso cada una produce 900 jeans, ¿cuántas máquinas tiene otra fábrica que tiene 5 años de fundada y produce 600 jeans?

a

a) 150 b) 165 d) 192

a)

a) 200 N b) 250 N d) 100 N

a) 300 m/s b) 420 m/s d) 490 m/s

c) 320 m/s e) 360 m/s

10. La velocidad del agua que atraviesa una tubería es inversamente proporcional a la sección recta de la misma y directamente proporcional al volumen de agua. Si por una tubería de 20 cm2 de sección recta circulan 120 m3 a razón de 15 m/s, ¿cuál será la sección de otra tubería por donde circulan 300 m3 a razón de 20 m/s? a) 40 cm2 b) 32,5 cm2 c) 30 cm2 2 d) 22,5 cm e) 37,5 cm2 11. La figura muestra la gráfica de los valores que toman las magnitudes A y B. Calcular: a + b. A

Rama de una hipérbola equilátera

a) 12 a b) 18 c) 14 8 d) 20 b e) 16 12 18

B

36

12. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra rueda B de 45 dientes. Si la rueda A tiene una velocidad de 18 RP.M., ¿cuál es la velocidad de la rueda B en R.P.M.? a) 40 b) 20 d) 25

c) 30 e) 24

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25 25

CAMPEONES POR EXCELENCIA

5

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

Reparto Proporcional

INTRODUCCIÓN

- REPARTO DIRECTO

El verano pasado tres amigos iniciaron un negocio de venta de artículos playeros. José aportó un capital de S/.1 200, Gerardo aportó S/.1 500 y Santiago S/.2 100. Al finalizar la temporada y luego de pagar los gastos de local e impuestos obtuvieron una ganancia de S/.4 800. ¿Cuánto le corresponde a cada uno, de esta ganacia? Nos daremos cuenta que la ganancia no se puede repartir en partes iguales debido a que los capitales impuestos fueron diferentes. Le corresponderá mayor parte de la ganancia a Santiago que impuso un capital mayor. Estamos frente a un caso de reparto directamente proporcional. Así como este ejemplo podemos encontrar otros; piensa y menciona algunos.

Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad. Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente: 1. Se suman los índices. 2. Se divide la cantidad a repartir entre dicha suma, siendo el cociente la "constante" de proporcionalidad (k). 3. Las partes se obtienen multiplicando cada "índice" por la "constante" de proporcionalidad (k). Ejemplo: Reparte a 750 en forma D.P. a 6; 7 y 12.

La salida Te encuentras en una habitación con cuatro puertas, una puerta está vigilada por una legión de soldados romanos dispuestos a todo. Otra puerta está custodiada por diez perros Doberman rabiosos. La tercera puerta está custodiada por diez cocodrilos de dos metros de largo cada uno. En la cuarta puerta hay un grupo de veinte leones muertos de hambre. ¿Por qué puerta saldrás de la habitación?

D.P. 6 7 12 25

Paso 1: 750

REPARTO PROPORCIONAL Este capítulo estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llama índices de proporcionalidad. REPARTO SIMPLE En este caso el reparto puede ser directo o inverso.

26 26

Paso 2:

k=

6 x 30=180 Paso 3: 7 x 30=210 12x 30=360

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

750 = 30 25

Partes

3ro sec

CIENCIAS

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PROPIEDAD

- REPARTO COMPUESTO

Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número, entonces el reparto no se altera. Ejemplo: En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6; 7; y 12 se obtuvieron como resultados: 180; 210 y 360...¿Qué pasaría si se reparte la misma cantidad D.P. a 6x2; 7x2; y 12x2?...Veamos...

{

12 → 12x15=180

750

14 → 14x15=210 24 → 24x15=360 50

¿son las mismas partes?... "Sí o No"

En este caso, se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera: 1. Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices). 2. Se multiplica los índices de las dos relaciones D.P. 3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices. Ejemplo: Reparte 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.

k = 750 =15 50 648

O sea que si todos los índices se multiplican por un mismo número, el reparto no se altera.

D.P. I.P. →D.P.

D.P.

4 3 1 3

4 3

x 3 = 4→ 4 x 108 = 432

2 3

x 3 = 2→ 2 x 108 = 216

1 6 9 9

→

multiplicamos

k= 648 =108 6

- REPARTO INVERSO Se hace en forma IP a los índices, para ello se invierten los índices y luego se efectúa un reparto directo, como ya se conoce.

Arquímedes 298 a.C. - 212 a.C.

Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2;3;6 y 10. I.P.→ D.P.

Se multiplica a todos por el MCM de los denominadores =30

2 1 x 30 = 15 → 15x18=270

2 1 x 30 = 10 → 10x18=180 3 594 6 1 x 30 = 5 → 5x18=90 6 1 10 x 30 = 3 → 3x18=54 10 33

3

k= 594 =18 33

Partes

Fue uno de los matemáticos más grandes de los tiempos antiguos. Nativo de Siracusa, Sicilia, fue asesinado durante su captura por los romanos en la Segunda Guerra Púnica. Cuentos de Plutarco, Livio y Polibio describen máquinas, incluso la catapulta, la polea compuesta, y un ardiente-espejo, inventadas por Arquímedes para la defensa de Siracusa. Pasó algún tiempo en Egipto, donde inventó un aparato ahora conocido como el "tornillo de Arquímedes". Arquímedes hizo muchas contribuciones originales a la Geometría en las áreas de figuras planas y las áreas y volúmenes de superficies curvas. Sus métodos anticipaban el Cálculo integral 2000 años antes de ser «inventado» por el Señor Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz. El fue conocido también por la aproximación de pi (entre los valores 310/71 y 31/7) obtenido por circunscribir e inscribir un círculo con polígonos regulares de 96 lados entre otros.

3ro sec

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27 27

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

Reparte 2728 en cuatro partes que sean

3 Toño, César y Martín reciben propinas semanales

directamente proporcionales a 3/4; 2/3; 5/8 y

en forma proporcional a sus edades, que son 14;

0,8. Halla la suma de cifras de la parte menor.

17 y 21 años, respectivamente, y se observa que los dos menores juntos reciben 4030 unidades

Resolución:

monetarias. ¿A cuánto asciende la propina de Martín? Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

La suma de tres partes es 1062; la primera es a la

4 Reparte 3010 en partes que sean I.P. a los

segunda como 4 es a 7 y la segunda es a la tercera

números

como 5 es a 9. Halla la segunda cantidad.

mayor.

Resolución:

Resolución:

Rpta: 28 28

375 ;

540 y 1215. Halla la parte

Rpta:

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

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5 Reparte 650 en partes que sean inversamente

6 Un padre de familia al final del año decidió

proporcionales a los números 2 ; 2 ; 2 .

repartir S/.280 entre sus tres hijos de acuerdo a

Halla la parte mayor.

su aprovechamiento escolar. Con ingrata sorpresa

40

41

43

notó que el mayor tuvo 2 notas desaprobatorias, el intermedio tuvo 4 desaprobatorias y el último

Resolución:

sólo una desaprobatoria. ¿Cuánto le correspondió al de menor rendimiento? Resolución:

Rpta:

Rpta:

7. Un padre de familia dejó ordenado hacer el reparto directamente proporcional a las edades de sus hijos que son: 28 y 20 años. El reparto por equivocación se hizo inversamente proporcional a las edades, por lo que el menor recibió 5000 soles más. ¿A cuánto asciende la herencia?

10. Juan empieza un negocio con 24000 dólares. Un mes después se incorpora Pedro con 16000 dólares y 3 meses después de ello el negocio se liquida por quiebra, retirándose Juan sólo con 9000 dólares. ¿Cuánto perdió Pedro?

8. S e p r o p o n e a d o s a l u m n o s r e p a r t i r proporcionalmente un número. Uno lo hace directamente a 3; 4 y 7; el otro lo hace directamente a los cuadrados correspondientes encontrándose una diferencia de 480 en lo que corresponde a la primera parte. Halla el número. 9. Se han asociado tres personas aportando la primera $2000 durante 6 meses, la 2a. $4000 durante 8 meses y la 3a. $6000 durante 10 meses. Si al finalizar el período obtuvieron una ganancia de 5200 dólares, ¿cuánto le corresponde a la persona de menor aportación?

3ro sec

11. En un juego de lotería participan 4 amigos “A”, “B”, “C” y “D”, los cuales realizaron los aportes siguientes:“A” aportó el doble que “C”; “B” aportó un tercio de“D”pero la mitad de “C”. Ganaron el premio y se repartieron de manera proporcional a sus aportes. ¿Cúanto recibió “A” si “D” recibió S/.6600? 12. Cuatro socios reúnen 2000000 de soles, de los cuales el primero pone 400000; el 2°., las 3/4 partes de lo que puso el primero, el 3°., los 5/3 de lo que puso el 2°. y el 4°., lo restante. Explotan una empresa industrial durante 4 años. Si hay que repartir una ganancia de 1500000 unidades monetarias, ¿cuánto le corresponde al último?

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29 29

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1. Reparte 445 directamente proporcional a 6/5; 3/2 y 7/4. Halla la parte mayor. a) 150 b) 125 d) 195

c) 175 e) 160

2. Reparte7680 soles entre Andrés, Beto y Carlos, de modo que la parte de Andrés sea a la de Beto como 4 es a 3 y la de Beto a la de Carlos como 7 es a 5. ¿Cuánto recibió Andrés? a) S/.3360 b) S/.5120 d) S/.5480

c) S/.4210 e) S/.4560

3. Reparte 2700 inversamente proporcional a 15; 20 y 30. Halla parte menor. a) 500 b) 700 d) 400

c) 800 e) 600

4. Se reparten una herencia entre hermanos en forma directamente proporcional a las raíces cuadradas de los números:1404, 1911 y 3900. Halla el monto de la herencia si el segundo recibió 3500 dólares. a) $11500 b) $14500 d) $16200

c) $12600 e) $9800

5. Divide el número 15540 en tres partes q sean I.P. a 108, 109 y 1010. Indica la parte mayor. a) 14 400 b) 12 100 d) 11 000

c) 14 000 e) 12 500

6. Tres obreros han colocado en un mes 200; 120 y 80 losetas, respectivamente, y han acumulado 4; 6 y 3 inasistencias. Si se debe repartir entre ellos 2900 soles teniendo en cuenta su trabajo y su puntualidad, ¿cuánto recibirá la tercera persona? a) S/.1200 b) S/.600 d) S/.500

30 30

c) S/.1000 e) S/.800

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

7. Luego de repartir una cantidad directamente proporcional a los números 10; 12 y 18 se observa que la dieferencia entre la mayor y menor parte es 920. Halla la cantidad repartida. a) 3200 b) 7200 d) 1500

c) 5400 e) 4600

a) S/.150 b) S/.180 d) S/.300

c) S/.200 e) S/.250

a) S/.18000 b) S/.90000 e) S/.100000

c) S/.15000 e) S/.60000

8. Un agricultor ha sembrado tres parcelas de 400 m2, 600m2 y 500m2 recibiendo un pago total de S/.1200. ¿Cuál fue el pago recibido por la parcela más grande?

9. Tres personas forman una compañia e invierten 1500; 2000 y 5000 soles. El primero estuvo 8 meses; el segundo, 5 meses y el tercero, un año. Si en total la empresa ganó 123000 soles, ¿cuánto le tocó al segundo?

10. Fredy empieza un negocio con 36000 dólares. A los 2 meses acepta un socio, llamado Francis, con 12000 dólares y 3 meses después, se liquida la empresa por quiebra, retirándose Francis con solo 10000 dólares. ¿Con cuánto se retiró Fredy? a) $ 18000 b) $ 26000 c) $ 19000 d) $ 15000 e) $ 10000 11. Un industrial empezó un negocio, a los nueve meses admitió un socio y 3 meses después de éste, entró un tercer socio. Cada uno de ellos aportó en el negocio la misma cantidad. Si el negocio duró 16 meses al cabo de los cuales la utilidad fue de S/.81000, ¿cuántos soles le tocó a cada uno? a) 48 000; 21 000; 12 000 b) 48 000; 29 000; 12 000 c) 45 000; 24 000; 12 000 d) 50 000; 19 000; 12 000 e) 50 000; 15 000; 16 000 12. Cuatro socios reúnen 20000 dólares, de los cuales el primero pone 4000; el segundo, los 3/4 de lo que puso el primero; el tercero, los 5/3 de lo que puso el segundo y el cuarto lo restante. Explotan una industria 4 años,y la ganancia fue 130000 dólares. ¿Cuánto le toca al cuarto incluido su capital? a) $ 30000 b) $ 84000 d) $ 72000

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

c) $ 45000 e) $ 60000

3ro sec

CIENCIAS

6

DAVIS MOODY

Regla de Tres Simple

Se usan cuando intervienen dos magnitudes y cada una con dos cantidades, en total cuatro, pero una no se conoce.

A. Simple Directa Cuando las dos magnitudes que se comparan son D.P.

B. Simple Inversa Cuando las dos magnitudes que se comparan son I.P. Ejemplo 1: 12 obreros pueden terminar una obra en 18 días. ¿Cuántos obreros terminarán la misma obra en 27 días?

Ejemplo 1: Si 60 naranjas cuestan 18 soles, ¿cuánto costarán 40 naranjas?

Resolución: Obreros

Resolución: Naranjas

-

-

Soles

60

18

40

x

-

12

18

x

27

+

12 . 18 = (x) (27)

Son IP:

Lo acabarán:

60 40 = 18 x

Son DP:

Días

x = 8 obreros

x = 12 soles Ejemplo 2:

Ejemplo 2:

Se necesitan 24 obreros para sembrar 30m2 de un terreno fértil. ¿Cuántos obreros más se necesitarán para sembrar otro terreno de 35 m2?

Resolución:

Resolución: Obreros 24

+

24+x

Son DP:

m2 30 35

Dientes

+

24 24+x = 30 35

Se necesitarán:

3ro sec

Una rueda de 24 dientes engrana con otra rueda de 60 dientes. Si la primera da 300 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la segunda?

+ Son IP:

x = 4 obreros más

Vueltas

24

300

60

x

-

(24) (300) = (60) (x) 120 = x dará 120 vueltas

Jirón 2 de mayo 952 chilca - Huancayo - telf: 064653189

31 31

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1

"m" obreros hacen "n" obras. ¿Cuántas obras harán (m+n) obreros?

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

3 1360 hombres tienen víveres para 8 meses. ¿Cuántos hombres deben retirarse si se desea que los víveres duren 10 meses?

Resolución: Resolución:

Rpta:

2

Rpta:

En 30 días se culmina una obra si se trabaja 8

4 Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó

horas al día; pero si se trabajaría 2 horas menos

S/.3 600, ¿cuánto se pagará por un cubo de 15

por día, ¿cuántos días demoraría la obra?

cm de arista?

Resolución:

Resolución:

Rpta: 32 32

Rpta:

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

3ro sec

CIENCIAS

DAVIS MOODY

5 Un barco tiene víveres para 33 días, pero al inicio

6 Una fábrica de conservas tiene una producción

de la travesía se suman 4 personas más y por ello

mensual de 9 100 latas con 13 máquinas

los víveres sólo alcanzarán para 30 días. ¿Cuántas

trabajando. Si tres máquinas se malograron, ¿en

personas había inicialmente en el barco?

cuánto disminuye la producción mensual de latas?

Resolución:

Resolución:

Rpta:

Rpta:

7. Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 8 días. ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular, pero del doble de dimensión?

10. Doce obreros pueden hacer una obra en 28 días. Si 8 de los obreros aumentan su rendimiento en un 60%, ¿cuántos días emplearán en hacer la misma obra?

8. Cuarenta kilos de agua salada contienen 3,5 kg de sal. ¿Qué cantidad de agua se debe dejar evaporar para que 20 kg de la nueva mezcla contengan 3 kg de sal?

11. Diez obreros en 8 días han avanzado 2/5 de una obra. Si se retiran dos obreros, los restantes, ¿en cuánto tiempo terminarán lo que falta de la obra?

9. Un albañil tenía pensado hacer un muro en 15 días, pero tardó 3 días más por trabajar 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?

3ro sec

12. Un hombre y 2 niños pueden hacer un trabajo en 24 días. Determina el tiempo necesario en que 2 hombres y un niño puedan hacer un trabajo que es el quíntuplo del anterior, sabiendo que el trabajo de un hombre y el de un niño están en la misma relación que los números 3 y 2.

Jirón 2 de mayo 952 chilca - Huancayo - telf: 064653189

33 33

CAMPEONES POR EXCELENCIA

1. Si “h” hombres hacen un trabajo en “d” días; entonces “h + r” hombres harán el mismo trabajo en: hd a) r

b) hd h−r

ARITMÉTICA

Aritmética - 1ro Sec.

7. Si 20 hombres demoran 15 días en hacer una obra, ¿cuánto más demorarán si son 5 hombres menos? a) 3

c) hd h+r

b) 6

d) 7

c) 4 e) 5



hr d) h−d

e) d + r

8. 800 obreros pueden realizar una obra en 420 días. Si se desea que la obra se termine en 120 días menos, ¿cuántos obreros deben contratarse?

2. Un obrero realiza una obra en 28 días trabajando 12 horas diarias. Si hubiese trabajado 6 horas diarias, ¿en cuántos días haría la misma obra? a) 35 días b) 56 días d) 63 días

c) 49 días e) 42 días

3. 1800 soldados tienen comida para 5 meses. Por oden del mayor, se retiran 300 soldados, entonces, ¿cuántos meses durará la comida?

a) 120

b) 300

d) 320

c) 6 e) 6 1/2

4. Un cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera, pero de doble arista? a) S/.24 b) S/.72 d) S/.96

c) S/.48 e) S/.60

5. Un barco tiene víveres para 72 tripulantes durante 33 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Cuánto tiempo durarán los víveres? a) 26 días b) 18 días d) 36 días

c) 32 días e) 24 días

6. En un corral que tiene forma de un cuadrado de 6m de lado, un caballo puede comer 80 kg de pasto. ¿Cuántos kilos de pasto comerá en un corral de la misma forma, pero de 3m de lado? a) 40 b) 10 d) 30

34 34

c) 50 e) 20

e) 240

9. Si un tornillo cuando da 40 vueltas penetra 8mm en una madera, ¿cuántas vueltas más debe dar para que penetre 50mm? a) 200

b) 210

d) 212 a) 5 1/2 b) 7 d) 8

c) 180

c) 250 e) 125

10. "m" obreros terminan una obra trabajando 8 horas diarias. Entonces (2/5)m obreros, ¿cuántas horas diarias necesitarán? a) m

b) m/5

d) 15

c) 24 e) 20

11. Juan y Pedro alquilan una casa. Juan ocupa los 4/13 de la casa y al mes le toca pagar 180 soles. ¿Cuánto le tocará pagar a Pedro? a) S/. 1350

b) S/. 450

d) S/. 270

c) S/. 675 e) S/. 405

12. En un campamento “n” hombres tienen alimentos para “d” días. Si estos alimentos deben alcanzar para “3d” días, ¿cuántos hombres deben disminuir? a) n/3

b) 3n/4

d) n/2

" Formando líderes. cristianos de excelencia para la vida"

c) n/6 e) 2n/3

3ro sec