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• José Heredia

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Víctor Daniel Rojas Cerna

Matemática III

 ( a x ) x a  eskq e klma l aq     x m m q l  k   









Deducir una expresión para .(A x B)

  .(A x B)  eijk A jBk    x i 





s

 e kqs e klma l

A j

B i  j k  eijk Bk  eijk k A j x i x i i

 al  e kij 

A j x i





Bk Aj x i

Bk  e jik 





 aq x m

 Deducir una expresión para:

( a x ).( b x c )  e mij e mkl a i     i

j

m





k

l

 al

 b k cl x i

 qmsl

ql

qm

sm

sl

Del problema anterior se demostró:

Vi

 b k cl x j

 1 Vi  V 2 x j 2

    1  ( a x) x a  a 2 - a (. a ) 2

Contracción:

ai

ql sm

 aq x m

  al - al am x m x m

m

 (δik δ jl  δil δ jk )a i

  al

Contracción:

.(A x B)  (x A). B (x B). A





 aq x m

k i

li



l j

kj

Demostrar que :

  bi c j  a i b jc i x i x i









 







A x (B x C)  B x ( C x A )  C x (A x B)  0          l j j i k k    j i k  t   p r v  q

(a.b)(V.c)  (a.c)(V.b)

s

     1 Demostrar ( a x) x a  a 2 - a (. a ) 2

 eqip epjkAi B jCk  esjr erki B jCk Ai  e vkt e tijCk Ai B j 1

Víctor Daniel Rojas Cerna

Matemática III

Pero: eqip  e pqi ; esjr  e rsj ; e vkt  e tvk

 (δqjδik  δqkδij  δskδ ji  δsiδ jk  δ viδkj  δ vjδki )Ai B jCk Contracciones: jq

kq

ks

is

iv

j v

ki

ji

i j

kj

jk

ik

 Ai Bq Ci  Ai Bi Cq  A jB jCs  As B jC j  A v Bk Ck  Ak BvCk   

  

  

  

  

  

B(A . C) - C(A . B)  C(A . B)  A(B. C)  A(B. C) - B(A . C)  0 





















 A x (B x C)  B x (C x A)  C x (A x B)  0

 Demostrar que: 





 





 



(A x B) x (C x D)  B x (A . C x D)  A x (B. C x D) 

 





 



 C x (A . B x D)  D x (A . B x D) 













l

j

l

 m

(A x B) x (C x D)  e okn e kij e nlmA i B jCl D m   k n   

…………………(1)

o

Pero :

eokn  e kno

 (δniδoj  δ njδoi )enlmAi B jCl Dm in

jn

jo

io

 enlmAn Bo Cl Dm  enlmAo Bn Cl Dm   



  



 B(A . C x D)  A(B. C x D) 2

Víctor Daniel Rojas Cerna

Matemática III

Para demostrar la 2da igualdad se aplica en (1 ) lo siguiente :

eokn  e kno

L.q.a.d.

 Demostrar que : 











 



(A x B).(B x C) x(C x A)  (A . B x C) 2 























i

j

j

k

k

i

(A x B).(B x C)x(C x A)  elij elmn e mjk e nkiA i B jC k C k A i    n l m  l

 (δimδ jn  δin δ jm )emjk enkiA 2i B2 jC2 k mi

n i

nj

m j

eijk e jkiA 2 i B2 jC2 k  e jjk eiki A 2 i B2 jC2 k  0 











 

0



 (A x B).(B x C) x(C x A)  (A . B x C) 2

L.q.a.d.

 Demostrar que: 





  

  

A x (B x C)  B(A . C)  C(A . B) 





A x (B x C)  e pit e tjk A i B jC k    i j k  l   p

Pero:

e pit  e tpi 3

Víctor Daniel Rojas Cerna

Matemática III

 (δ pjδik  δ pkδij )Ai B jCk Contracción: jp

kp

ki

ji







  

  

Ai Bp Ci  Ai Bi Cp  A x (B x C)  B(A . C)  C(A . B)







 Si a es un vector constante , hallar : x( a x r ) 











 x ( a x r )  e mil e ljk k j  l   i

 a jx k x i

m

Pero:

=

e mil  elmi

(δ mj δik  δ mk δij ) m j

mk

ik

i j

 a jx k x i

  a jx k  a jx k x k x j

aj

Como a es constante

x k x  a j k  3a j  a jδ kj x k x j

k = j Contracción



3a j  a j  2a j  2 a

4

L.q.a.d.