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• Isis Schmitt Cerna

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Corporación Educacional Textil y de la Confección Departamento de Matemática. (2009)

Nivel 4º AÑO

G UÍA DE A POYO (E STADÍSTICA ) E STADÍGRAFOS DE D ISPERSIÓN Cálculo de Rango, Desviación Media y Desviación Estándar de un conjunto de datos no agrupados El rango, la desviación media y la desviación estándar son estadígrafos de dispersión que señalan el grado en que los datos tienden a distribuirse alrededor de una medida de tendencia central, generalmente de la media aritmética. Rango ( R ): Es el valor que corresponde a la diferencia entre el mayor valor y el menor valor de la variable. Ejemplo1: Calcular el rango de los sueldos (en pesos) de 10 trabajadores de una empresa. 5.000 15.000

10.000 8.000

5.500 18.000

10.000 8.000

6.500 25.000

Solución: R = Mayor Valor - Menor Valor R = 25.000 - 5.000 R = $20.000 Desviación Media (D.M.): Es la media aritmética de las diferencias, expresadas en valores absolutos, entre cada valor de la variable y la media aritmética del conjunto de valores.  xi  x

D.M . 

n

Para calcular la D.M. se debe proceder de la siguiente manera: 1. Calcular el promedio x 2. Calcular las diferencias entre cada valor de la variable y la x  x . 3. Sumar las diferencias  x i  x

x

, en valores absolutos (positivos)

i

4. Dividir la suma con la Frecuencia Total (n)

 xi  x n

Ejemplo: Calcular la Desviación Media de las edades de 5 niños. 1. Se calcula

x

2. Se calculan x 4 6 8 12 15 n = 5

x  x

-5 -3 -1 3 6

4 - 6 - 8 - 12 - 15

4  6  8  12  15 45   9 5 5

 x 

y se suman los valores.

xi  x

x  x

5 3 1 3 6 

3. Se divide la suma por n = 5 D.M .  xi  x

=

 xi  x n



18  3,6 5

18 Desviación Estándar (S): Es una medida de dispersión que equivale a la raíz cuadrada del cuadrado medio de las desviaciones respecto de la Media Aritmética. También se llama Desviación Típica. Para calcular la Desviación Estándar de un conjunto de datos no agrupados, se utiliza la siguiente fórmula: s 



 x  x n



2

.

Corporación Educacional Textil y de la Confección Departamento de Matemática. (2009)

Nivel 4º AÑO

Ejemplo: Calcular la Desviación Estándar del siguiente conjunto de datos: 3 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 1. Se calcula

 x 

x

3  8  9  10  11  13 54   9 6 6

2. Se calculan las columnas xi  x y x 3 8 9 10 11 13 n = 6

x  x

-6 -1 0 1 2 4

x



 x



x

i

 x



2

y se obtiene la suma   xi  x  . 2

2

36 1 0 1 4 16

 x  x

3. Se reemplaza en la fórmula s 



2



 x  x n



2

58 6



 3,1

=

58 Ejercicios: 1. Calcula el Rango (R), la Desviación Media (D.M.) y la Desviación Estandar (s) del siguiente conjunto numérico… a) 4 - 5 - 7 - 7 - 9 - 9 - 10 - 13 b) 4 - 5 - 7 - 8 - 6 - 8 - 4 c) 6 - 8 - 9 - 15 - 12 - 13 - 12 d) 6 - 8 - 10 - 15 - 13 - 12 - 13 e) 7 - 9 - 8 - 7 - 3 - 5 - 7 - 9 - 10 - 11 - 12 f) 22 - 31 - 25 - 41 - 38 - 26 - 35 - 24 - 26 - 32 - 37 - 40 - 13 Cálculo de la Desviación Media en datos no agrupados y dispuestos en tablas de distribución de frecuencias Para determinar la Desviación Media (D.M.) de una distribución de frecuencia de datos no agrupados, se aplica la fórmula: D.M .  1. 2. 3. 4. 5. 6.

 f  x  x n

…para ello se debe proceder de la siguiente manera:

Calcular la Media Aritmética o Promedio x Determinar la diferencia … x  x Determinar el valor absoluto de la diferencia… x  x Multiplicar la frecuencia por el valor absoluto anterior … Sumar todos los productos encontrados. Y finalmente dividir esta suma por la frecuencia total n.

f

 x  x

Ejemplo 1: Calcular la D.M. de la siguiente distribución. x 2 4 5 6 8 9 14

1. Se calcula el promedio. Para eso agregamos una columna extra a nuestra tabla f  x , se suman los valores obtenidos y se divide por n.

F 3 2 4 6 5 8 2 n = 30

x 2 4 5 6 8 9 14

2. Se determina la columna x 2 4 5 6 8 9 14

F 3 2 4 6 5 8 2 n = 30

f x

F 3 2 4 6 5 8 2 n = 30

6 8 20 36 40 72 28  f  x  210

x  x

x  x

6 8 20 36 40 72 28  f  x  210

-5 -3 -2 -1 1 2 7

3. Se determina la columna x 2 4 5 6 8 9 14

f x

f 3 2 4 6 5 8 2 n = 30

f x

x  7

5 3 2 1 1 2 7

x  x

6 8 20 36 40 72 28  f  x  210

Recuerde que

x  x

 x  x

f

x  x.

y

-5 -3 -2 -1 1 2 7

y se obtiene la suma.

x  x

5 3 2 1 1 2 7

f

 x  x

15 6 8 6 5 16 14  f  x  x  70

4. Luego aplicamos la fórmula… D.M. =

 f x  x n



70 30



2,33...

Ejercicios: 1. Calcular la desviación media de los datos contenidos en las siguientes tablas. a. En una zapatería se vendieron 100 pares de zapatos de mujer en una semana. El detalle de los números vendidos se muestra en la siguiente tabla. x f 34 15 35 28 36 30 37 15 38 7 39 5 n = 100 b. Las edades (en meses) de 75 niños atendidos en un día en un consultorio son:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f 2 7 4 8 9 12 8 6 6 4 3 1 n = 70 Cálculo de Desviación Estándar en datos no agrupados, dispuestos en tablas de distribución de frecuencias.

Para calcular la desviación estándar (o típica) de una distribución de frecuencias de datos no agrupados, se utiliza la siguiente fórmula: s 



 f  x  x n



2

Para aplicar esta fórmula se debe proceder de la siguiente manera:

1. Se calcula la media aritmética de los valores, con la fórmula:  f x x  n 2. Se calcula la columna x  x en la tabla de distribución de frecuencias. 3. Se calcula la columna 2 4. Se calcula la columna f   x  x  2 5. Se suman los valores de la columna f   x  x  2 6. Se divide la suma f   x  x  por la frecuencia total n. 7. Se extrae raíz cuadrada de dicho cuociente. Ejemplo 1: Calcular la desviación estándar de la siguiente distribución. x 1 2 4 5 8 13

f  x

f 5 5 7 4 3 1 n = 25

x  x

5 -3 10 -2 28 0 20 1 24 4 13 9  f  x  100

 x  x 9 4 0 1 16 81

2



f  x  x



 f  x  x

Se aplica la fórmula… s 



 f x x n



2



198  25

45 20 0 4 48 81

7,92

 s  2,8



2

-

Se calcula la media aritmética x

x



2

 198

 f x n



100 25

4

Ejemplo 2: Calcular la desviación estándar de la siguiente distribución: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f  x

f 6 9 8 12 10 8 7 6 4 n = 70

x  x

6 18 24 48 50 48 49 48 36  f  x  327

-3,7 -2,7 -1,7 -0,7 0,3 1,3 2,3 3,3 4,3

 x  x

2



f  x  x

13,69 7,29 2,89 0,49 0,09 1,69 5,29 10,89 18,49



82,14 65,61 23,12 5,88 0,9 13,52 37,03 65,34 73,96

 f  x  x





2

2

x 

327  4,7 70

 198

Aplicando la fórmula para determinar la desviación estándar… s 



f x  x n



2



367,5 70



 s  2,29

5,25

Ejercicios: 1. Calcula la desviación estándar de los datos contenidos en la siguiente tabla de distribución de frecuencias de datos no agrupados. Completa la tabla si es necesario. a. Las notas obtenidas por 40 alumnos en una prueba de matemática son…( sabiendo que el promedio o media aritmética es 5, o sea x  5 ) x 1 2 3 4 5 6 7

f 0 2 4 7 12 9 6 n = 40

Luego s 

f  x

x  x

 x  x



2

f  x  x



f x



 f  x  x n

 f  x  x





2



2



2



b. Las edades (en meses) de 70 niños atendidos en un día en un consultorio son: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f 2 7 4 8 9 12 8 6 6 4 3 1 n = 70

f  x

f x

x  x

 x  x

2



f  x  x



 f  x  x



2



2



c. En una zapatería se vendieron 100 pares de zapatos de mujer en una semana. El detalle de los números vendidos se muestra en la tabla: x 34 35 36 37 38 39

f 15 28 30 15 7 5 n = 100

La longitud (en pulgadas) de 420 piezas construidas por una fábrica es: x 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4

f 25 32 47 52 56 60 48 40 32 28 n = 420

Cálculo de Desviación Media y Desviación Estándar de datos agrupados en intervalos de clases. La Desviación Media (D.M.) de distribuciones de frecuencias de datos agrupados en intervalos de clases, se calcula aplicando la fórmula. D.M . 

 f  xi  x n

donde f  frecuencia absoluta xi  marca de clase x  media aritmética o promedio n  frecuencia total

Ejemplo: Calcular la D.M. de la siguiente distribución.

1 5 9 13 17 21

x -

f 5 4 9 8 13 9 17 19 21 6 25 5 n = 42

Solución: Primero se determina la columna xi (marca de clase, el promedio de los intervalos)

1 5 9 13 17 21

x -

xi

5 9 13 17 21 25

3 7 11 15 19 23

f 4 8 9 19 6 5 n = 42

f  xi

Se calcula la media x 12 56  f  xi 546 x   x 13 99 n 42 115 114 115  f  x  546

Ahora determinamos las columnas que faltan para el cálculo de la D.M.

1 5 9 13 17 21

x -

xi

5 9 13 17 21 25

3 7 11 15 19 23

f 4 8 9 19 6 5 n = 42

f  xi

xi  x

12 -10 56 -6 99 -2 115 2 114 6 115 10  f  x  546

xi  x

10 6 2 2 6 10

f  xi  x

40 48 18 20 36 50  f  xi  x  212

Finalmente aplicamos la fórmula… D.M . 

 f  xi  x n

 D.M . 

212 42



5,04

La Desviación Estándar (s) de distribuciones de frecuencias de datos agrupados en intervalos de clase, se calcula aplicando la siguiente fórmula… s 



 f  xi  x n



2

Ejemplo. Calcular la desviación estándar de la siguiente distribución, completa la tabla si es necesario:

1 5 9 13 17 21 25

x -

5 9 13 17 21 25 29

f 5 5 10 12 8 6 5 n = 51

Solución: 1. se determina la columna xi (marca de clase)

1 5 9 13 17 21 25

x -

3 7 11 15 19 23 27

f 5 5 10 12 8 6 5 n = 51

xi

f

3 7 11 15 19 23 27

5 5 10 12 8 6 5 n = 51

xi

5 9 13 17 21 25 29

x 1 5 9 13 17 21 25

-

5 9 13 17 21 25 29

f  xi

Se calcula la

15 35 110 180 152 138 135  f  x  765 f  xi

x

 f  xi n

x

xi  x

15 -12 35 -8 110 -4 180 0 152 4 138 8 135 12  f  x  765

x

i

 x



765



51

 15



2

f  xi  x

144 64 16 0 16 64 144



720 320 160 0 128 384 720

 f  xi  x



2



2

 2.432

Finalmente se aplica la fórmula para determinar la Desviación Estándar: s



 f  xi  x n



2

 s

2.432  51

47,69



s  6,9

Ejercicios: 1. Calcula la D.M. y la s de las siguientes distribuciones de frecuencias de datos agrupados en intervalos de clases. a. Horas diarias dedicadas al estudio de 20 alumnos. x 0 2 4 6

-

2 4 6 8

xi

f

1 3 5 7

5 7 6 2 n = 20

f  xi

xi  x

x

i

 x



f  xi  x



f x

b. El número de brazadas dadas por 100 nadadores en la prueba de 200 m, tal como se muestra en la siguiente tabla: x f 200 - 206 8 206 - 212 12 212 - 218 15 218 - 224 18 224 - 230 16 230 - 236 14 236 - 242 10 242 - 248 7 n = 100



2

 f  xi  x





2

2



c. La duración en horas de 2.000 ampolletas, se muestra en la tabla. 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

x -

f 400 100 500 158 600 298 700 368 800 466 900 270 1000 180 1100 95 1200 55 1300 10 n = 2.000