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• Sebastian Muñoz González

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GUÍA DE APLICACIÓN MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1) Usted desea viajar a la playa por el fin de semana. Leyendo el diario encuentra las siguientes alternativas en Viña del Mar (para cuatro pasajeros todo incluido): a) Hotel Mar Azul: Cinco pagos, al final de cada mes, de 60.000 por los próximos cinco meses. b) Hotel Ankara: Un pie de 40.000 y cinco cuotas mensuales de 50.000. ¿Qué alternativa toma? Solución: Se deben comparar los valores a una fecha dada, lo común es hacerlo al momento de la decisión, es decir, hoy. Se trata de aplicación de Valor Presente de Anualidades Vencidas

P  60.000 / i * (1  (1  i)5 ) P  40.000  50.000 / i * (1  (1  i) 5 )

a) Mar Azul b) Ankara

Lo que no se conoce es la tasa de interés, por lo tanto, planteamos una igualdad que nos permita conocerla:

40.000  50.000 / i * (1  (1  i)5 )  60.000 / i * (1  (1  i)5 ) Asociando términos semejantes llegamos a:

40.000  10.000 / i * (1  (1  i)5 ) Aquí se debe iterar para encontrar la tasa de interés de indiferencia, para luego concluir. Tasa de Interés 0,02 0,04 0,09 0,079 0,0793 0,07931

Valor Calculado 47.135 44.518 38.897 40.033 40.001 40.000

Por lo tanto, si el costo alternativo del dinero es menor que 7,931 % al mes, conviene la oferta del hotel ANKARA Si i

0  i  0,07931 i  0,07931 i  0,07931

Decisión Ankara Indiferente Mar Azul

2) Usted desea comprar un Computador IBM, de última generación, para lo cual se consigue un crédito de corto plazo, de 950.000 de pesos pagadero con un pie de 150.000 pesos y cuatro cuotas mensuales, iguales y vencidas al 1,2 % mensual. Prepare el cuadro de cancelación de la deuda. Solución: Planteamos la identidad para Valor Presente

950.000  150.000  AV / 0,012 * (1  (1,012) 4 ) Por lo tan to : 800.000  AV / 0,012 * (1  (1,012) 4 ) De aquí : AV  800.000 * 0,012 * (1  (1,012) 4 ) AV  206.036 ( pesos / mes)

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Interés  ( Saldo Insoluto Inicial ) * i Amortización  Cuota  Interés Saldo Insoluto Final  Saldo Insoluto Inicial  Amortización PERÍODO

0 1 2 3 4 TOTAL

SALDO INSOLUTO INICIAL 950.000 800.000 603.564 404.771 203.592 XXXX

INTERÉS

CUOTA

AMORTIZAC.

9.600 7.243 4.857 2.444 24.144

150.000 206.036 206.036 206.036 206.036 974.144

150.000 196.436 198.793 201.179 203592 950.000

SALDO INSOLUTO FINAL 800.000 603.564 404.771 203.592 0 XXXX

3) ¿Cuánto pagaría por un seguro de vida que le entrega a cada uno de sus descendientes directos 700.000 al final de cada mes de por vida, si la tasa de interés es del 6 % anual convertible mensualmente y Ud. tiene 3 descendientes directos? Solución: Se trata de una Anualidad que tiene la particularidad de ser perpetua (Es decir, una perpetuidad). En tal caso, la Ecuación de Valor es la siguiente:

P  A / i * (1- (1  i) - n ) ; Pero al aplicar límites el término (1  i )- n tiende a 0 Por lo tanto: P  A / i Como los flujos tienen una frecuencia mensual, debemos calcular la tasa de interés efectiva mensual

r  0,06 (tasa nominal anual) ; t  12 ( meses en un año) Por lo tan to : i  r / t  0,06 /12  0,005 (mes / mes ) Por lo tanto: P  3* 700.000 / 0,005  420.000.000 de pesos Esto es lo máximo que estaríamos dispuestos a pagar. 4) La Empresa COMERCIALES deposita (al mismo tiempo), en tres cuentas separadas los siguientes montos: a) 300.000 $ al 5 % de interés anual con capitalización semestral. b) 200.000 $ al 6 % de interés semestral capitalizable semestral. c) 100.000 $ a una tasa de interés anual i %. Si seis años después de efectuados los depósitos, retira un total de 1.000.000 $ ¿Cuál fue la tasa de interés anual convertible mensual que obtuvo por el tercer depósito? Solución: Compararemos al final del año 6. Debemos tener cuidado con las tasas de interés, hay que calcular a las tasas efectivas.

P1  300.000 (pesos) ; r1  0,05 (anual / semestral )  i1  0,025 ( semestral / semestral ) P2  200.000( pesos) ; i2  0,06 ( semestral / semestral ) P3  100.000 ( pesos) ; i3  (anual / anual ) F  1.000.000 ( pesos) n Calculando a la tasa de interés efectiva anual. F  P * (1  i ) Esto para cada depósito

1.000.000  300.000 * (1,025)12  200.000 * (1,06)12  100.000 * (1  i )6

1.000.000  300.000 * (1,025)12  200.000 * (1,06)12  100.000 * (1  i )6 (1  i )6  (1.000.000  300.000 * (1,025)12  200.000 * (1,06)12 ) /100.000

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(1  i )  ((1.000.000  300.000 * (1,025)12  200.000 * (1,06)12 ) /100.000)1/ 6 1/6

i  (1.000.000  300.000*(1, 025)12  200.000*(1, 06)12 ) /100.000) 

1

i  0,11686849 Ahora convertimos a tasa de interés nominal anual

(1  i )  (1  r /12)12 1,11686849  (1  r /12)12 Por lo tan to : (1,11686849)1/12 -1  r /12 r /12  0,00925 (mensual / mensual ) ; Es decir , 0,925 % ( mensual / mensual )

r  0,111 (anual / mensual ) ; Es decir , r =11,1 % ( anual / mensual ) 5) Por una tubería se transporta un gas corrosivo y después de un determinado tiempo comienzan a aparecer pérdidas en ella. El costo inicial es 8.000 $ y se supone que no hay pérdidas de gas, durante los primeros 5 años. Las pérdidas, sin embargo son de 60 $ el año 6; 120 $ el año 7 y se incrementan a razón de 60 $ al año, en los años siguientes. El valor residual de la tubería es nulo en todo momento. La tasa de retorno atractiva para la empresa dueña de la tubería es del 7 % anual. El gerente de finanzas opina que se debe retirar la tubería a los 10 años. ¿Cuál es el valor presente de los costos de la década, por el uso de la tubería? SOLUCIÓN: Se trata de una serie gradiente uniforme (lo relativo a las pérdidas) Datos:

A  60 ( pesos) G  60 ( pesos) n5 i  0,07

Se debe tener cuidado con la aplicación de la Fórmula de Valor Presente de la Serie Gradiente Uniforme, pues esta serie comienza en el año 6, por lo tanto, el Valor Presente se obtendría en el año 5, lo que significa que ese resultado hay que descontarlo aún por 5 períodos al 7 % anual.

P  8.000  (1/1,075 ) * ((60  60 / 0,07) * (1  (1,07) 5 ) / 0,07  5* 60 /(0,07 * (1,07)5 )) P  8.503 $ 6) La Empresa FRESCA comercializadora de productos del mar, paga un dividendo creciente a una tasa del 4 % anual, mientras la tasa de interés relevante es de 8 %. Si lo anterior es efectivo, por un plazo de 10 años y el dividendo que se pagará en el año 1 es de 2.700 $ por acción. a) ¿Cuál es el valor presente de los dividendos de esta empresa? b) Si le precio de la acción de FRESCA al final del año 10 es de 134.314 $, después de pagado el dividendo ¿Cuánto pagaría hoy por una acción? SOLUCIÓN: Se trata de una serie gradiente de tasa constante n a) P  V1 /(i  g ) * (1  ((1  g ) /(1  i )) ) ; V1  2.700 ; g  0,04 ; i  0,08 ; n  10

Cuando se compra una acción se compra el derecho a recibir dividendos y un monto al enajenar o vender dicha acción al cabo de un tiempo.

P  2.700 /(0,08  0,04) * (1  (1,04 /1,08)10 ) P  21.219 $ Valor Presente de los Dividendos de la acción. Preciohoy =Precioaño10 +Valor Presente de los Dividendos P0  134.314 /(1,08)10  21.219 P0  83.433 ( pesos / acción)

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7) EXPLICACIÓN DE VALORES FUTUROS DE ANUALIDADES: CASO PARTICULAR DE CUOTAS EN MORA La Señora Godoy, desea comprar una freidora de papas dando 20.000 pesos de pie y 12 cuotas de 10.000 pesos al mes, por los próximos 12 meses. La tasa de interés que le cobra la casa comercial es de 4,0 % mensual. A) Si la Señora Godoy omite las primeras 4 cuotas y la tasa neta de interés en mora es del 6,0 % al mes. ¿Cuánto debe cancelar al vencimiento de la cuota 5 para ponerse al día? Solución: Planteando el diagrama de Flujo de Caja P5

0

1

2

3

4

5

Hay varias formas de resolverlo, veremos al menos 3.

1) Primera manera, llevando a valor futuro cada flujo por separado P5  10.000*(1, 06)4  10.000*(1, 06)3  10.000*(1, 06) 2  10.000*(1, 06)1  10.000*(1, 06)0 2) Segunda forma: Calculando el valor futuro de las cuotas en las cuales estamos morosos. Esto significa llevar las cuatro primeras cuotas a la fecha de la última, es decir, el mes cuatro luego capitalizar este monto a la tasa de interés en mora hasta la fecha de pago (mes 5) y, finalmente, sumarle la cuota correspondiente al mes 5. P5  (10.000 / 0,06) * (1,06) 4 -1 * (1,06)  10.000

3) Tercera forma: Calculando el valor futuro de las cuotas en las cuales estamos morosos. y sumarle a la serie la cuota correspondiente al mes cinco, esto en virtud que para esta última cuota, por coincidir con la fecha focal, no se capitaliza ni descuenta aparece sumada con factor de capitalización o descuento (según sea el caso = (1+i)0 o 1/(1+i)0 , lo cual es 1). P5  (10.000 / 0, 06) * (1, 06)5 -1 Lo que puede inducir a error es la “supuesta equivalencia” de las maneras 2) y 3). Lo explico, la ecuación más fácil es la 3): 3) Pn  ( A / i )* (1  i)  1 Veamos ahora la 2) n

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2) Pn  ( A / i ) * (1  i) n 1  1 *(1  i)  A ; Distribuyamos la multiplicación por sobre la suma 2) Pn  ( A / i ) * (1  i) n  (1  i)   A 2) Pn  ( A / i ) * (1  i) n  1  i   A ; Asociando de otra forma 2) Pn  ( A / i ) * (1  i) n  1  ( A / i ) * i  A 2) Pn  ( A / i ) * (1  i) n  1  A  A 2) Pn  ( A / i ) * (1  i) n  1  que es igual a la expresión 3) Pn  ( A / i ) * (1  i ) n  1 Con los datos del ejemplo: P5  56.371 ( pesos)

1) P5  10.000*(1,06)4  10.000*(1,06)3  10.000*(1,06)2  10.000*(1,06)1  10.000*(1,06)0 2) P5  (10.000 / 0, 06)* (1, 06) 4 -1 *(1, 06)  10.000 3) P5  (10.000 / 0, 06) * (1, 06)5 -1

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