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UNIDAD 1: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Florián 2017

Contenido 1.

2.

3.

FUNCIONES TRIGNOMÉTRICAS .......................................................................................................... 3 1.1

Función seno y coseno .................................................................................................................. 3

1.2

Función tangente ............................................................................................................................. 8

Gráficas de las funciones trigonométricas ...................................................................................... 10 2.1

Gráfica de la Función Seno ......................................................................................................... 11

2.2

Gráfica de la Función Coseno ....................................................................................................12

2.3

Gráfica de la Función Tangente ................................................................................................. 14

Funciones trigonométricas inversas ................................................................................................. 16 3.1

4.

Funciones trigonométricas inversas ........................................................................................ 16

3.1.1

Inversa de la función seno (arcoseno o sen-1) ............................................................... 17

3.1.2

Inversa de la función coseno (arcocoseno o cos-1 ) ..................................................... 18

3.1.3

Inversa de la función tangente (arcotangente o tan -1 ).................................................19

Bibliografía ............................................................................................................................................... 20

1. FUNCIONES TRIGNOMÉTRICAS

Si pensamos en un instrumento que se hace indispensable en el desarrollo y progreso de una sociedad, sin lugar a dudas, debemos remitirnos inmediatamente a la educación, que debe convertirse en una vía para la transformación de todos los aspectos del desarrollo humano. Educación que inicia desde el mismo momento de la concepción y que se debe continuar en la escuela. La actividad matemática que debe apoyar el colegio debe contribuir al desarrollo integral del estudiante para asumir los retos del nuevo siglo, logrando aprendizajes duraderos, haciendo énfasis en procesos que desarrollen un pensamiento aplicable y útil. La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría. Con este propósito se definieron una serie de funciones (seno, coseno y tangente), las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

1.1 Función seno y coseno Partiremos de la representación de la gráfica de estas funciones, del concepto básico del seno de un ángulo, como una razón entre el cateto opuesto de dicho ángulo y la hipotenusa, en un triángulo rectángulo y del coseno como una razón entre el cateto adyacente de dicho ángulo y la hipotenusa. Luego redefiniremos esta razón en un plano cartesiano, donde el valor del eje X, será el valor del ángulo α y el eje Y, será el valor de Seno de α en una gráfica y Coseno de α en la otra.

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Esto nos lleva a usar esta definición de forma conveniente, escogiendo la longitud del segmento de magnitud uno, por lo tanto, para cualquier ángulo el seno de α será la coordenada en Y, dentro de una circunferencia unitaria y el Coseno de α será la coordenada X. Vamos a aprender hoy cómo se grafica las funciones Seno de α y Coseno de α 1. Graficaremos un círculo unitario: ¿recuerdan qué es esto? Muy bien, es un círculo cuyo radio equivale a Uno

Según la gráfica, ¿veamos a qué es igual el Seno de α? Muy bien, a cateto opuesto, sobre hipotenusa, es decir a y/1 y como todo número dividido en 1 da el mismo número podemos concluir que: Seno(α) = Y Y como Coseno de α equivale al cateto adyacente sobre la hipotenusa quedaría: Coseno α = X/1 por lo tanto Coseno(α) = X.

Observando la gráfica, también podemos ver que a medida que aumenta Y, X tiende a cero y a medida que disminuye Y, X tiende a 1. Vamos a localizar en el círculo unitario los ángulos de 0°, 90° que equivale a π/2; el de 180° que equivale a π; el de 270° que equivale a 3 π/2 y el de 360° que equivale a 2 π y analizaremos el seno y coseno del ángulo en cada uno de estos puntos.

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a. En el punto 0°, ¿cuánto Vale Y?

En el punto 0° Y = 0, y como Y = seno de α,

entonces

Seno 0 = 0. En este mismo punto X = 1 y como X = Coseno de α,

entonces

Coseno 0 = 1

b. En el punto 90°, ¿cuánto vale Y y cuánto vale X? En 90°, Y = 1

y

Sen(90°) = 1

y

X = 0 por lo tanto Cos(90°) = 0 también podemos decir

Sen π/2 rad = 1

y

Cos π/2 rad = 0

c. En el punto 180°, ¿cuánto vale Y y cuánto vale X? En 180°, Y = 0 Sen(180°)

=0

Sen π rad = 0

y

X = -1. y y

Por lo tanto

Cos(180°) = -1 Cos π rad

o, también

= -1

d. En el punto 270°, ¿cuánto vale Y y cuánto vale X? En 270°

Y = -1

y

X= 0

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Por lo tanto

Sen 270° =

-1

Sen 3π/2 rad = -1

y

Cos 270° = 0, también

y

Cos 3π/2 rad = 0

e. En el punto 360°, ¿cuánto vale Y y cuánto vale X? En 360° Sen(360°)

Y

= 0

= 0

Sen 2π rad = 0

y

X =

1 por lo tanto

y

Cos(360°)

y

Cos

=

2π rad =

1, ó también 1

Cuando se llega a este punto se repite nuevamente, por lo que se afirma que las funciones Seno y Coseno son periódicas 2. Vamos a trasladar estos valores a un plano cartesiano con coordenadas α y Seno de α.

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La gráfica del Coseno sería

De estas gráficas se puede extraer información. Por ejemplo, ¿cuál es el periodo de la función Seno y Coseno? Es decir, ¿cada cuánto se repite? Concluimos que se repite cada vez que da una vuelta de 360° es decir cada 2π rad, a esto se le denomina Periodo Tanto el periodo del Seno como el del Coseno es de 2π rad ¿Cuál es el Dominio? ¿Desde dónde viene? Rta: Viene desde (–α hasta α), es decir Dominio = (–α, α ) Y ¿cuál es el Rango? Rta: Viene de (-1 hasta 1), por lo tanto: Rango: [ -1 , 1 ] Las mismas características son para la función Coseno, con la diferencia que no inicia en 0 sino en 1, luego 0, -1 y 0 y así sucesivamente.

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1.2 Función tangente Para la trigonometría, la tangente de un ángulo es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo. Puede expresarse como valor numérico a partir del cociente entre la longitud del cateto opuesto y el cateto adyacente del ángulo en cuestión. Analizaremos su gráfica y a partir de ella identificaremos el periodo, dominio y rango.

Recordando las razones trigonométricas recordamos que Tag(θ)

Y como Y = Sen(θ)

y

X = Cos(θ)

concluimos que Tag(θ) =

A partir de esta relación reemplazamos cuando θ = 0°,

Entonces: si θ = 0 entonces tag (0°) =

Si si θ =

entonces tag(

si, θ = π entonces

=

rad) =

tag (π rad) =

si, θ = 3π/2 entonces

=

tag (

=

= 0

=

=

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=0

=∞

)=

Si θ = 2π entonces tag (2π rad) =

, π, 3

=0

=∞

, 2π.

Estos valores los ubicaremos en el plano cartesiano con X= θ y Y = Tag θ Tag θ

θ

Observando la gráfica se puede apreciar que cuando θ = 0 la tangente es 0 y va creciendo hasta el infinito, nunca tocará la asíntota (línea que sirve de referencia). Cuando el valor de la tangente es π/2 la curva inicia en (-∞) hasta llegar a (π) cuyo valor de la Tangente es 0. En Tag = π, se inicia el nuevo periodo, se repite la primera figura, inicia en 0 y asciende hasta infinito, nunca tocará la asíntota de 3π/2. En 3π/2 inicia la tangente desde -∞, hasta 0 en 2π. Podemos observar varias características:  Su Dominio contiene todos los reales, excepto a aquellos en los que no existe la tangente, que son los ángulos π/2 y 3π/2  Esta función se repite exactamente cada π radianes, por lo cual el Periodo es π

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 La función no tiene máximos ni mínimos, porque siempre crece (dentro de su dominio)

2. Gráficas de las funciones trigonométricas Para la construcción de estas gráficas debemos de tener en cuenta las líneas trigonométricas, las cuales son deducidas de las razones trigonométricas anteriormente estudiadas. Estas líneas son dibujadas en una circunferencia unitaria, por lo tanto, a partir de ellas se construye un bosquejo de las gráficas de las funciones trigonométricas. En la siguiente figura se representan las líneas de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. En esta figura las líneas trigonométricas están dibujadas en una circunferencia unitaria y además están representadas por segmentos. Por ejemplo, el segmento

de

la

recta

PQ

representa

la

línea

trigonométrica de la función seno de un ángulo θ el cual para las razones trigonométricas constituye el cateto opuesto del ángulo θ, ahora el segmento de la recta OS representa la línea trigonométrica de la función coseno de un ángulo θ el cual para las razones trigonométricas constituye el cateto adyacente del ángulo θ y para terminar el segmento RS representa la línea trigonométrica de la función tangente de θ. A continuación, realizaremos el bosquejo de las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente, utilizando las líneas trigonométricas.

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2.1 Gráfica de la Función Seno Para graficar la función seno, partimos de la circunferencia unitaria, en ella trazamos algunos ángulos medidos en radianes, partiendo desde 0° hasta 2π (se recomiendo un aumento de 15° en cada medida para obtener una muestra significativa de toda la circunferencia), luego para cada ángulo dibujado le trazamos su respectiva línea trigonométrica. Para cada ángulo utilizado en la circunferencia unitaria, se ubica un punto en el eje X del plano cartesiano, luego en cada uno de esos puntos se hace corresponder la medida de cada línea trigonométrica correspondiente al ángulo seleccionado.

Después

de

haber

transferido

las

distancias

de

las

líneas

trigonométricas

correspondientes a los ángulos ubicados en la circunferencia unitaria, procedemos a unir los puntos partiendo del ángulo 0 hasta 2π, obteniendo una gráfica como la siguiente.

Al terminar la gráfica, podremos identificar las siguientes características con facilidad:  Su dominio: recordemos que cuando hablamos del dominio hacemos referencia a los datos ubicados en el eje x del plano cartesiano. Por lo tanto, podemos

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observar que la función seno obtiene valores para cualquier valor del eje x por consiguiente el dominio de la función seno son el conjunto de números reales.  Su amplitud: cuando hablamos de la amplitud hacemos referencia al valor máximo que obtiene la función con respecto al eje Y del plano cartesiano y si prestamos atención a la gráfica el valor máximo que se obtiene en la parte positiva del plano cartesiano es 1 y en la parte negativa es -1. Por consiguiente, la amplitud de la función seno es 1.  Su periodo: partiendo que el periodo es el tiempo o la duración que tiene una función al completar un siclo, según la gráfica la función seno cumple un ciclo en el valor de 2π. Por consiguiente, el periodo de la función coseno es 2π. 2.2 Gráfica de la Función Coseno

Para graficar la función coseno, partimos nuevamente de la circunferencia unitaria y como en la función seno trazamos

algunos

ángulos

medidos

en

radianes,

partiendo desde 0° hasta 2π (se recomiendo un aumento de 15° en cada medida para obtener una muestra significativa de toda la circunferencia), luego para cada ángulo

dibujado

le

trazamos

su

respectiva

línea

trigonométrica que para la función coseno aparecen de color azul en la gráfica. Para cada ángulo utilizado en la circunferencia unitaria, se ubica un punto en el eje X del plano cartesiano, luego en cada uno de esos puntos se hace corresponder la medida de cada línea trigonométrica correspondiente al ángulo seleccionado.

Después

de

haber

transferido

las

distancias

de

las

líneas

trigonométricas

correspondientes a los ángulos ubicados en la circunferencia unitaria, procedemos a

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unir los puntos partiendo del ángulo 0 hasta 2π, obteniendo una gráfica como la siguiente.

Al terminar la gráfica, podremos identificar las siguientes características con facilidad:  Su dominio: podemos observar que la función coseno al igual que la función seno obtienen valores para cualquier valor del eje x por consiguiente el dominio de la función coseno también es el conjunto de números reales.  Su amplitud: observando la gráfica, el valor máximo que se obtiene en la parte positiva del plano cartesiano es 1 y en la parte negativa es -1, por consiguiente, la amplitud de la función coseno es 1.  Su periodo: el periodo de la función coseno al igual que la de la función seno su periodo es 2π. Al observar detenidamente la gráfica de la función seno y la función coseno, notamos ciertas similitudes en sus características, entonces, podemos concluir que son iguales en sus características de periodo, amplitud y dominio. Matemáticamente se dice que la función coseno es una traslación horizontal de la función seno. Por tal razón, estas dos funciones se conocen como funciones sinusoidales.

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2.3 Gráfica de la Función Tangente Para la gráfica de la función tangente al igual que las funciones seno y coseno partimos

nuevamente

de

la

circunferencia unitaria, luego trazamos una recta tangente a la circunferencia unitaria

y

perpendicular

que al

además, eje

X

del

sea plano

cartesiano. Ahora trazamos los ángulos medidos en radianes, partiendo desde 0° asta 2π, para cada uno de estos ángulos

debemos

extender

su

hipotenusa asta intersectarse con la recta tangente anteriormente dibujada. Realizando este proceso notamos que para los valores de los ángulos de π/2 y 3π/2 la función tangente no se puede intersectar con la recta tangente. Por tal motivo la función tangente para estos valores no está definida. La distancia que hay desde este punto en la recta tangente hasta el eje X del plano cartesiano representan la tangente del ángulo dibujado. Después

de

haber

transferido

las

distancias

de

las

líneas

trigonométricas

correspondientes a los ángulos ubicados en la circunferencia unitaria y teniendo en cuenta que para los valores de los ángulos de π/2 y 3π/2 no está definida la función tangente procederemos a unir los puntos partiendo del ángulo 0 hasta 2π, obteniendo una gráfica como la siguiente.

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Al terminar la gráfica, podremos identificar las siguientes características:  Su dominio: podemos observar que la función tangente obtiene valores para cualquier valor del eje x a excepción de algunos ángulos, por consiguiente, el dominio de la función tangente está definida para el conjunto de números reales excepto para los valores obtenidos de x= n*π/2, donde n son números enteros impares.  Su amplitud: observando la gráfica, el valor máximo que se obtiene en la parte positiva del plano cartesiano es ∞ y en la parte negativa es -∞. Por consiguiente, la amplitud de la función coseno es ∞.  Su periodo: como la función tangente cumple un siglo entre los valores de π/2 y 3π/2 y en este intervalo existen π valores, la función tangente tiene un de π.

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3. Funciones trigonométricas inversas Partamos desde un nuevo tipo de problema de trigonometría, que cotidianamente no se pueden resolverse con seno, coseno o tangente. Un problema: en el siguiente triángulo, ¿cuál es la medida del ángulo β? Cuando se conocen los valores de X y Y.

Lo que sabemos: con respecto al ángulo β, sabemos las longitudes de los lados opuesto y adyacente, así que aplicando razones trigonométricas la podemos escribir:

Para resolver este tipo de ejercicios necesitamos aplicar el concepto de función inversa y para este problema aplicamos la función arcotangente o tan -1, la cual es la función inversa de tangente, quedando como:

3.1 Funciones trigonométricas inversas Para poder hallar la inversa de una función es necesario que sea biyectiva y como las funciones trigonométricas son funciones periódicas no pueden cumplir con esta

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cualidad, es necesario restringir el dominio de cada una de ellas, en un punto específico que puedan convertirse en biyectiva. A continuación, conoceremos las inversas de las funciones seno, coseno y tangente. 3.1.1 Inversa de la función seno (arcoseno o sen-1) Para poder hallar la inversa de la función seno debemos restringir el dominio de f (x) = sen(x) a

, de este modo hemos hecho la función biyectiva y el rango

es [–1, 1]. Y(x)=sen(x)

Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una reflexión sobre la recta y = x de la función seno. Y(x)=sen-1(x)

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Observando la gráfica podemos notar que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que el dominio está restringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo del primer cuadrante y todos los valores negativos nos arrojarán un ángulo del cuarto cuadrante. 3.1.2 Inversa de la función coseno (arcocoseno o cos -1 ) Para hallar la inversa de la función coseno debemos restringir el dominio de la gráfica de [0, π] de este modo la convertimos en biyectiva. Y(x)= cos (x)

Y(x)= cos-1(x)

El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π]. Esto significa que un valor positivo nos arrojará un ángulo del primer cuadrante y un valor negativo nos arrojará un ángulo del segundo cuadrante.

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3.1.3 Inversa de la función tangente (arcotangente o tan -1 )

Para la inversa de la función tangente, debemos restringir el dominio a Y(x)=tan(x)

Al restringir la gráfica y realizarle una reflexión sobre la recta y = x de la función tangente obtenemos. Y(x)=tan-1(x)

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El dominio de la función tangente inversa es (–∞, ∞) y el rango es

. La inversa

de la función tangente arrojará valores en los cuadrantes primero y cuarto. 4. Bibliografía  Salgado, D. (Ed.). 2010. Hipertexto matemáticas 10. Bogotá, D.C, Colombia: Editorial Santillanas S.A.  Henry, L.T. (Ed.). 2015. Avanza Matemáticas 10. Bogotá, D.C, Colombia: Editorial Norma.

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