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• Lionel Medina

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Dante Abel Reyes L. de G.

Funciones Trigonométricas • Si θ es un Angulo en posición normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final, deferente de O(0,0), se cumple que y se definen las funciones trigonométricas para el ángulo θ de la siguiente manera:

Funciones Trigonométricas P(x,y) r

y

θ

x

Funciones Trigonométricas

Funciones Trigonométricas

Funciones Trigonométricas • Según lo anterior se obtienen siguientes relaciones reciprocas

las

Funciones Trigonométricas • Ejemplo: Si α es un ángulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4, -2) determinar los valores las funciones seno, coseno y tangente. Solución: Como x = 4 & y = -2, entonces

Funciones Trigonométricas • Dada las definiciones de las funciones trigonométricas, tenemos:

Funciones Trigonométricas • A partir de los valores encontrados anteriormente, determinar el valor de las funciones cosecante, secante y cotangente de α. Como:

Entonces:

Funciones Trigonométricas

Aplicamos lo mismo para las otras dos funciones:

Funciones Trigonométricas

Funciones Trigonométricas • Ejercicio 2: Si y hallar el valor de las demás funciones trigonométricas : Solución: Puesto que , entonces, x  3

r  2 . Además

y  1

, entonces

Funciones Trigonométricas • Por lo anterior:

Signo de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Funciones Trigonométricas • Para determinar el signo de las funciones trigonometricas se debe analizar el comportamiento de r, x y y. • Obsérvese que: siempre es positivo Por tanto x y y varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren

Funciones Trigonométricas • Por lo anterior, el signo del valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo, depende de los signos de x y y • El siguiente cuadro resume los signos de las funciones del ángulo θ en posición normal, para los diferentes cuadrantes en los que puede estar ubicado el lado final del mismo

Funciones Trigonométricas Cuadrante I

II III

IV

Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ

+ + -

+ +

+ + -

+ + -

+ +

+ + -

Funciones trigonométricas de los ángulos con su lado final en los semiejes

Funciones Trigonométricas • Los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano, se llaman ángulos cuadrantales. • Se debe considerar que sobre el lado final de un angulo cuadrantal, se encuentran algunos de los puntos (r, 0); (0, r); (- r, 0); (0, - r)

Funciones Trigonométricas • En la siguiente tabla se resumen los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos entre 0° y 360°

Funciones Trigonométricas Angulo

Sen θ

Cos θ

Tan θ

Cot θ

Sec θ

Csc θ

0

0 1 0 -1 0

1 0 -1 0 1

0 Ind 0 Ind 0

Ind 1 Ind -1 Ind

1 Ind -1 Ind 1

Ind 0 Ind 0 Ind

90 180 270

360

Razones trigonométricas en un triangulo rectángulo

Funciones Trigonométricas P(x,y) Hipotenusa r

O

Cateto Opuesto

θ Cateto Adyasente

A

Funciones Trigonométricas • En la figura anterior se observa el ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en el primer cuadrante y un punto P ubicado sobre el, el segmento PA es perpendicular al eje x, por tanto el triangulo OPA es rectángulo; para este triangulo OP es la hipotenusa y PA y OA son los catetos.

Funciones Trigonométricas • De acuerdo con su posición con respecto al angulo θ, los catetos se clasifican en.

PA : Cateto opuesto al ángulo θ OA : Cateto adyacente al ángulo θ

Funciones Trigonométricas A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas para los ángulos en posición normal, se definen las relaciones trigonométricas en un triangulo rectángulo así:

Funciones Trigonométricas

Funciones Trigonométricas

Funciones Trigonométricas • Ejemplo: De acuerdo con la información de la figura, determinar el valor de las razones trigonométricas del ángulo θ.

5

3

θ 4

Funciones Trigonométricas • Solución:

Funciones Trigonométricas • Ejercicio 2: Determinar las razones trigonométricas para el ángulo φ φ h

4

2

Funciones Trigonométricas • Solución: Primero calculamos el valor de la hipotenusa:

• Ahora calculamos los valores de las razones trigonométricas

Funciones Trigonométricas cateto opuesto 2 5 sen     hipotenusa 5 2 5 cateto adyasente 4 2 5 cos     hipotenusa 5 2 5 cateto opuesto 2 1 tan     cateto adyasente 4 2

Funciones Trigonométricas cateto adyasente 4 cot    2 cateto opuesto 2 hipotenusa 2 5 5 csc     cateto adyasente 4 2 hipotenusa 2 5 sec     5 cateto opuesto 2

Funciones Trigonométricas • Ejercicios: 1. Determinar las funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto: a. b. c. d.

P(2, 5) P(-3, 6) P(4, -2) P(7, -4)

f. g. h. i.

P(0, -4) P(1, 8) P(-7, -2) P(-2, -6)

Funciones Trigonométricas 2. Determinar el valor de las funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos θ en los siguientes triángulos rectángulos 5

h a. 7

θ

θ

θ

h c.

3

b.

θ 6

e. 9

θ

θ h

6 d. h

5

h

4

θ

f.

h

4

2

h

8

5

g. 2

3