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HIDRÁULICA I SISTEMAS DE TUBERÍAS EN SERIE Y TUEBREÍAS EN PARALELO

Julio Cuesta Olave I.C, Esp, MSc © Adaptado de: Hidráulica de Tuberías

Prof: Juan Saldarriaga

Capítulo 5

Tuberías en Serie y Tuberías en Paralelo Este capítulo estará dedicado a los dos primeros tipos de sistemas de tuberías: las tuberías en serie y las tuberías en paralelo. Estos sistemas pueden presentarse en los siguientes casos: Diseño o ampliación de redes de distribución de agua potable. En redes industriales y en redes matrices de sistemas de acueducto.

Optimización del diseño de sistemas de tuberías

En el diseño de sistemas de tuberías complejos, existen muchas combinaciones de diámetros y materiales que cumplen las condiciones de caudal y presión requeridas. Sin embargo, solo una de las posibles combinaciones es óptima desde el punto de vista de los costos. Un buen diseño debe buscar esa combinación.

TUBERÍAS EN SERIE Por tuberías en serie se entienden dos o más tuberías diferentes colocadas una a continuación de la otra. Las tuberías pueden ser diferentes por tener diámetros diferentes, por tener rugosidades diferentes o por tener diámetros y rugosidades diferentes.

km1 km2 km3

kms

Tres tuberías en serie conectando dos tanques QL1 y QL2 representan caudales laterales saliendo de las uniones entre las tuberías. La línea punteada representa la línea de gradiente hidráulico.

Teniendo en cuenta la figura anterior se pueden plantear las siguientes ecuaciones: a) Conservación de la energía:

H T  z1  z 2  he  h f 1  hm1  h f 2  hm 2  h f 3  hm 3  hs Donde: HT = Diferencia de nivel entre los dos tanques he = Pérdidas menores de entrada hfi = Pérdidas por fricción en el tubo i hmi = Pérdidas menores en el accesorio i

hs = Pérdidas menores por salida

(5.1)

La ecuación de conservación de la energía puede generalizarse para cualquier sistema de tuberías en serie en la siguiente forma: n

m

H T   h f i   hmi i 1

(5.2)

i 1

Donde: n = número de tuberías que conforman la serie m = número de accesorios que causan pérdidas menores en la serie Teniendo en cuenta las características físicas de cada tubería de la serie, tales como diámetros, longitudes y rugosidades absolutas y los coeficientes de pérdidas menores de cada uno de los accesorios, la ecuación (5.2) se convierte en:

li vi2 m vi2 HT   fi   km 2g i 1 d i 2 g i 1 n

i

(5.3)

b) Conservación de la masa (Continuidad):

QT  Q1  Q2  QL1  Q3  QL1  QL2

(5.4)

Esta ecuación significa que el caudal total que pasa por el sistema es igual al caudal que pasa por cualquier tubería más todos los caudales laterales en las uniones localizadas aguas arriba de ésta. Para una serie de n tuberías la ecuación (5.4) se puede generalizar en la siguiente forma:

 1

Donde:

QT  Q   QLi

(5.5)

i 1

Qa = Caudal en la tubería a de la serie de n tuberías

Si en las uniones no existiera caudal lateral la ecuación de conservación de la masa se simplificaría a lo siguiente:

QT  Q1  Q2  Q3 ...  Qn

(5.6)

es decir, el caudal es igual para todos los n tubos de la serie.

COMPROBACIÓN DE DISEÑO EN TUBERÍAS EN SERIE En este caso se conocen: Las características de cada uno de los n tubos de la serie. Las características físicas del fluido. La potencia disponible. Los caudales demandados en cada una de las uniones. Las incógnitas del proceso son los caudales (o velocidades) que pasan por cada una de las tuberías de la serie.

Para cada una de las velocidades de las n tuberías de la serie se puede plantear una ecuación igual a la ecuación (2.3):

vi 

- 2 2 gd i h fi li

 k 2.51v li si  log 10   3.7 d i d 2 gd h i i fi 

   

(5.7)

En esta última ecuación se tienen 2n incógnitas: n velocidades y n pérdidas por fricción. Las otras n-1 ecuaciones necesarias corresponden a las ecuaciones de continuidad para cada una de las tuberías: Q1  Q2  QL1

Q1  Q3  QL1  QL2  Q1  Qn  QL1  QL2  ...  QLn 1

(5.8)

Adicionalmente, como última ecuación para resolver el sistema de 2n incógnitas, se tiene la ecuación de conservación de la energía: n

m

H T   h fi   hmi i 1

(5.2)

i 1

Para llevar a cabo el proceso de comprobación de diseño de tuberías en serie se debe suponer, para la primera iteración, el valor de las pérdidas por fricción para la primera tubería de la serie (hf1). Un valor que garantiza una rápida convergencia del proceso está dado por la siguiente ecuación:

l1 d15 hf 1  HT n li  5 d i 1 i

(5.9)

La ecuación (5.9) se basa en la ecuación de Darcy-Weisbach, la cual lleva al hecho de que la pérdida de altura es proporcional a la longitud de la tubería e inversamente proporcional a la quinta potencia del diámetro de ésta:

2

l v hf  f d 2g

l Q2 l Q2 hf  f  f 2 d 2 gA d 2 g 2 d 4 42

l hf  5 d

8 f l Q2 hf  2 5  d g

La suposición inicial para hf1 puede llevar a un valor de la altura total H diferente a la altura total real: n

m

H T   h fi   hmi i 1

(5.2)

i 1

Si los valores de H y HT son diferentes es necesario corregir el valor de hf1 de acuerdo con las siguientes ecuaciones:

h f1  h f1 k

h f1  ( H T

k 1

 h f1

l1 d15  H) n li  5 i 1 d i

(5.10)

Para resolver un problema de comprobación de diseño en tuberías en serie se debe seguir el procedimiento establecido en el diagrama de flujo No. 8.

INICIO Leer n, r, m, HT, E

i=1 Leer di, li, ksi, Skmi, QLi Calcular Ksi/di i=i+1

? i> n

NO

Diagrama de flujo 8. Comprobación de diseño de tuberías en serie. SI

A

A Calcular (hfi + Skmi,) siguiendo el diagrama de flujo 3

Calcular hf1 en la ec. 5.9

Calcular v1 en la ec. 5.7 i=i+1 NO

? i> n

hm1   km1v12 2 g

SI

Calcular H en la ec. 5.2 Q1 

 2 d1 v1 4

Imprimir todos Q

SI

?

H  HT  E

i=2 FIN Calcular Qi en la ec. 5.8 vi 

4Qi d i2

NO

Calcular hf1 en la ec. 5.10 h fi  h fi  h fi

Ejemplo 1

Una serie de 4 tuberías conecta dos tanques que son parte de un sistema de abastecimiento de agua. Las características de cada una de estas y los caudales requeridos se muestran en el diagrama. Si la diferencia de altura entre los dos tanques es de 28.5m, calcular el caudal que llega al segundo tanque.

Siguiendo el Diagrama de Flujo 8, los resultados de la primera iteración son:

Para la primera tubería Pérdidas por fricción: Se calculan con la ecuación (5.9) 423 0.65 h f1  28.5m 423 174 373 121  5 5 5 0.6 0.5 0.3 0.255 h f1  0.538m

Velocidad: Para la tubería 1 se calcula con la ecuación (5.7)  0.0003 2  9.81  0.6  0.538 2.51  1.14  10 6 423  m / s v1  2  log 10    3 423 2  9.81  0.6  0.538   3.7  0.6

v 1  0.92m / s

Caudal:

Q1 



(0.6m) 2  0.92m / s

4 Q1  0.26m3 / s Pérdidas menores:

hm1 hm1

0.92 2  4.2  m 2  9.81  0.181m

Para la segunda tubería Caudal: Q  0.26m 3 / s  0.060m 3 / s 2

Q2  0.20m 3 / s

Velocidad: v2 

4 0.20 m  0.5 2 s

v 2  1.019m / s

Pérdidas por fricción y pérdidas menores: utilizando la ecuación de Colebrook-White se obtiene:

f 2  0.013 Y con la ecuación de Darcy – Weisbach: 174 1.019 2 h f 2  0.013   m 0.5 2  9.81 h f 2  0.23m hm2 hm2

1.019 2  3.4  m 2  9.81  0.18m

Para la tercera tubería

Caudal:

Q3  0.26m 3 / s  0.060m 3 / s  0.074m 3 / s Q3  0.126m 3 / s

Velocidad: v3 

4 0.126 m  0.5 2 s

v 3  1.78m / s

Pérdidas por fricción y pérdidas menores: f 3  0.013 h f3 h f3 hm3 hm3

373 1.78 2  0.013   m 0.3 2  9.81  2.59m 1.78 2  5 .3  m 2  9.81  0.856m

Para la cuarta tubería

Caudal:

Q4  0.26m 3 / s  0.060m 3 / s  0.074m 3 / s  0.060m 3 / s Q4  0.066m 3 / s

Velocidad: V4 

4 0.066 m  0.25 2 s

V4  1.345m / s

Pérdidas por fricción y pérdidas menores: f 4  0.014 h f4 h f4 hm4 hm4

121 1.345 2  0.014   m 0.25 2  9.81  0.629m 1.345 2  7.5  m 2  9.81  0.691m

Cálculo de la altura total y de la corrección para hf1 H = 0.538 m + 0.181 m + 0.23 m +0.18 m + 2.59 m + 0.856 m +0.629 m + 0.691 m H = 5.897 m

423 5 0 . 6 h f1  28.5m  5.9m  423 174 373 121   5 5 5 0.6 0.5 0.3 0.155 h f1  0.426m h f 1k  h f1k 1  h f1 h f1k  0.538m  0.426m h f1k  0.964m Los resultados para todas las iteraciones del proceso, incluyendo la primera, se muestran en la siguiente tabla, la cual se basa en el diagrama de flujo 8.

PRIMERA TUBERÍA Q

v

∑hm

HT

(m3/s)

(m/s)

(m)

(m)

0,260

0,920

0,181

5,942

0,350

1,239

0,329

0,382

1,352

0,392

SEGUNDA TUBERÍA hf

∑hm

∑hf

(m)

(m)

0,013

0,222

0,230

778280

0,012

0,468

0,473

1,642

864197

0,012

0,577

0,573

0,332

1,693

890950

0,012

0,613

0,607

1,221

0,335

1,708

898962

0,012

0,625

0,617

0,002

1,226

0,336

1,713

901332

0,012

0,628

0,620

28,475

0,000

1,228

0,337

1,714

902031

0,012

0,629

0,621

28,493

0,000

1,228

0,337

1,714

902236

0,012

0,629

0,621

∑hm

∑hf

(m)

(m)

hf

Q

V

(m)

(m3/s)

(m/s)

0,425

0,538

0,200

1,019

536104

18,935

0,180

0,963

0,290

1,479

0,392

25,355

0,059

1,143

0,322

1,388

0,412

27,543

0,018

1,203

0,395

1,398

0,419

28,215

0,005

0,396

1,401

0,420

28,416

0,397

1,402

0,421

0,397

1,403

0,421

TERCERA TUBERÍA

Re

f

CUARTA TUBERÍA ∑hm

∑hf

Q

V

(m)

(m)

(m3/s)

(m/s)

0,013

0,858

2,592

0,066

1,345

294862

0,014

0,691

0,629

805449

0,012

2,531

7,199

0,156

3,185

698488

0,012

3,878

3,094

3,514

924778

0,012

3,336

9,306

0,188

3,838

841683

0,012

5,631

4,396

0,258

3,655

961935

0,012

3,609

10,016

0,198

4,041

886272

0,012

6,243

4,838

0,261

3,698

973063

0,012

3,693

10,233

0,201

4,102

899626

0,012

6,433

4,975

0,262

3,710

976354

0,012

3,718

10,297

0,202

4,120

903575

0,012

6,490

5,016

0,263

3,714

977325

0,012

3,726

10,317

0,203

4,126

904740

0,012

6,506

5,028

0,263

3,715

977610

0,012

3,728

10,322

0,203

4,127

905082

0,012

6,511

5,032

Q

V

Re

(m3/s)

(m/s)

0,126

1,783

469093

0,216

3,061

0,248

f

Re

f

Resultado de las iteraciones para comprobación de diseño del sistema de tuberías en serie Como se puede ver en la tabla, el caudal que llega al tanque de aguas abajo es: Q = 203 l/s

Cálculo de Potencia para Tuberías en Serie Las variables conocidas en este caso:

Las características físicas de los n tubos de la serie. Las características físicas del fluido (densidad y viscosidad). Los caudales totales de llegada y laterales en cada una de las uniones. La incógnita del proceso es la altura total, la cual incluye las pérdidas por fricción en cada una de las tuberías de la serie. Las ecuaciones necesarias para resolver un problema de este tipo son las ecuaciones (5.2) y (5.5). Esta última en realidad conforma el grupo de n-1 ecuaciones expresado en la ecuación (5.8). El proceso de solución de cálculo de potencia en tuberías en serie se esquematiza en el diagrama de flujo No. 9.

Diagrama de flujo 9. Cálculo de la potencia para tuberías en serie.

INICIO

Leer n, r, m, Qn

Calcular (hfi + Skmi,) siguiendo el diagrama de flujo 3

i=1 Leer di, li, ksi, Skmi, QLi

NO

Calcular Ksi/di ? i>n

? i=n

i=i+1

SI

NO

SI

Calcular H o P 

1 rQgH 

Imprimir H o P 

1 rQgH 

i=i+1

Calcular los caudales: ec. 5.8

i= 1 FIN vi 

4Qi d i2

Ejemplo 2 Como parte del sistema de riego de una finca se utilizan dos tuberías en serie para conectar la descarga de la bomba con el tanque de almacenamiento. Los datos del problema se muestran en el siguiente diagrama:

A partir del Diagrama de Flujo 9 se obtienen los siguientes resultados: Para la primera tubería Caudal: Q1  Q2  QL1

Q1  87l / s  94l / s Q1  181l / s  0.181m 3 / s Velocidad:

4Q1 v1  d 21 4 0.181 m v1   0.22 s

v1  5.76m / s

Pérdidas por fricción:

k s1 d1 Re1 



0.000046  0.00023 0.2

v 1 d1 5.76  0.2   1010526 6 v 1.14  10

Con estos dos datos se calcula el factor de fricción de acuerdo con los diagramas de flujo 2a o 2b:

f1  0.01497 y luego las pérdidas por fricción de acuerdo con la ecuación de Darcy – Weisbach

l1 v 12 h f1  f1 d1 2 g

184 5.76 2 h f1  0.01497 m 0.2 2  9.81

h f1  23.2m

Pérdidas menores:

hm1  Sk m1

v 12 2g

hm1

5.76 2  7.1 m 2  9.81

hm1  12.02m

Para la segunda tubería

Q2  0.087 m 3 / s Velocidad:

4Q v2  d 2

v2 

v 2  4.93m / s

4  0.087 m 2 0.15  s

Pérdidas por fricción: k s2 d2



0.0000015  0.00001 0.15

v 2 d 2 4.93  0.15 Re 2    648117 6 v 1.14  10

Nuevamente, al utilizar los diagramas de flujo 2a o 2b:

f 2  0.01276 Y la ecuación de Darcy – Weisbach: v 12 h f 2  Sk f 2 2g 393 4.93 2 h f 2  0.01276 m 0.15 2  9.81

h f 2  41.23m

Pérdidas menores:

v 2 2 h  11.2 4.93 m m 2  9.81 2g 2

hm2  Sk m2

2

hm2  13.85m Cálculo de las pérdidas totales 2

2

i 1

i 1

H   h f i   hmi

H  12.02m  23.16m   13.85m  41.23m 

H  90.26m

Cálculo de la potencia de la bomba

Antes de calcular la potencia requerida en la bomba es necesario sumar la altura topográfica a las pérdidas totales antes calculadas: H T  H TOP  H H T  31.7 m  90.26m H T  121.96m Por consiguiente, la potencia es: P  rQgH T

kg m3 m P  999.1 3  0.181  9.81  121.96m s s m P  216.36kW

Si se supone una eficiencia global para la bomba del 75%, la potencia real requerida en la bomba es: PR 

P 216.36  kW 0.75 0.75

PR  288.48kW

DISEÑO DE TUBERÍAS EN SERIE En un problema de diseño de tuberías en serie las variables conocidas son: Las características del fluido (densidad y viscosidad). La potencia disponible. El caudal de llegada al final de la serie y los caudales laterales al final de cada tubo. Las longitudes de cada uno de los tubos. Las incógnitas son los diámetros necesarios. En general, tanto las rugosidades absolutas como los coeficientes globales de pérdidas menores se conocen. Las primeras debido a que están limitadas a las tuberías comerciales disponibles; el diseño se debe hacer con cada uno de ellos y la escogencia final se hace siguiendo un criterio económico. En cuanto a los coeficientes de pérdidas menores, éstos son función tanto del material como de la longitud de la tubería.

CRITERIO DE DISEÑO

El diseño de tuberías en serie es un problema complejo debido a que, en general, existen múltiples soluciones para un mismo caso. El criterio utilizado para tomar la decisión debe garantizar dos cosas: Un correcto funcionamiento hidráulico y una optimización de los costos. Un criterio que ha probado ser óptimo para el diseño de las tuberías en serie es el desarrollado por I-pai Wu originalmente desarrollado para sistemas de riego a presión. Wu probó que en una serie de n tuberías con caudales laterales al final de cada una de ellas se podía obtener el costo mínimo a partir de unas condiciones dadas para la línea de gradiente hidráulico tal como se muestra en la siguiente figura.

Criterio de Wu. La línea de gradiente hidráulico óptima económica forma una curva cóncava hacia arriba con una flecha del 15 por ciento de la altura total disponible en el centro y con respecto a la línea recta AB.

Sin embargo, Wu también demostró que si se utilizaba como línea de gradiente hidráulico objetivo la línea recta que une las alturas totales inicial y final el efecto sobre los costos era inferior al 2% con respecto al óptimo económico. Teniendo en cuenta lo anterior, en el método de diseño que se describe a continuación se utiliza la línea recta AB de la figura anterior como la línea de gradiente hidráulico que debe ser alcanzada. Si se incluye la pendiente promedio de cada una de las tuberías de la serie el criterio de Wu establece que la altura que puede ser perdida por la tubería i de la serie es:

h fi  H T

li cos q i n

 l j cos q j

(5.11)

j 1

Donde: qk = Angulo de la pendiente promedio de la tubería k con respecto a la horizontal. k = (i,j).

La función objetivo establecida en la ecuación (5.11) puede llevar a un diseño ineficiente hidráulicamente, ya que al colocar los diámetros comerciales disponibles es probable que se necesite una válvula al final de la serie con el fin de regular el caudal.

Para evitar ese problema es necesario que al finalizar el proceso de diseño se verifique que la energía perdida en la válvula no sea lo suficientemente grande para permitir una reducción del diámetro de la primera tubería de la serie. Si este cambio no se produce, el proceso continua con la segunda tubería y así sucesivamente.

La energía por unidad de peso o altura que se pierde en la válvula en cada uno de los diseños preliminares del proceso se calcula mediante la siguiente ecuación: n

m

hmv  H T   h fRi   hm Ri i 1

i 1

(5.12)

El cambiar los diámetros de los tubos iniciales de la serie, los cuales son los mayores, lleva a que en éstos la línea de gradiente hidráulico sea más empinada que en los tubos de menor diámetro, con lo cual el diseño se acerca más al criterio de Wu, es decir, se convierte en un diseño más económico.

Una vez se tenga el diseño definitivo hay que verificar que en ningún punto de la serie la línea de gradiente hidráulico quede por debajo de las tuberías, ya que esto significaría que en esos puntos existen presiones manométricas negativas con los consiguientes peligros de separación y de cavitación en la serie.

El proceso de diseño de tuberías en serie utilizando el criterio de optimización de Wu se esquematiza en el diagrama de flujo No. 10.

Diagrama de flujo 10. Diseño de tuberías en serie.

INICIO

Leer n, r, m, Qn, HT

Calcular d siguiendo el diagrama de flujo 4

i=1 Leer li, ksi, Skmi, QLi, qi i= i+1 ? i>n

v Ri 

4Qi d i2

NO

SI

Calcular fi siguiendo el diagrama de flujo 2a o 2b

i= 1 Calcular los , Qi: ec. 5.8

A Calcular hfi : ec. 5.11 ? i=n SI

i= 1

i= i+1 NO

A h fRi

hmRi

Diagrama de flujo 10. Diseño de tuberías en serie.

li v 2Ri  fi di 2 g

v 2Ri   k mi  2g

*

B i= i+1

? i=n

NO

Diagrama de flujo 10. Diseño de tuberías en serie.

INICIO Leer n, r, m, Qn, HT

Calcular d siguiendo el diagrama de flujo 4

i=1 Leer li, ksi, Skmi, QLi, qi i= i+1 ? i>n

v Ri 

4Qi d i2

NO

SI

Calcular fi siguiendo el diagrama de flujo 2a o 2b

i= 1 Calcular los , Qi: ec. 5.8

A Calcular hfi : ec. 5.11 ? i=n SI

i= 1

i= i+1 NO

*

B

A h fRi

hmRi

Diagrama de flujo 10. Diseño de tuberías en serie.

li v 2Ri  fi di 2 g

v 2Ri   k mi  2g

SI

*

B i= i+1 i= i+1

? i=n

SI

NO

SI

Calcular hmvi : ec. 5.12 i= 1 hfi = hfRi + hmv Calcular di)N siguiendo el diagrama de flujo 4

Imprimir d FIN

? i>n NO

?

(di)N = di

A h fRi

hmRi

Diagrama de flujo 10. Diseño de tuberías en serie.

li v 2Ri  fi di 2 g

v 2Ri   k mi  2g

SI

*

B

(di)N = di NO

i= i+1

(di)N = di

i= i+1 ? i=n

?

SI

NO

SI

Calcular hmvi : ec. 5.12 i= 1

Imprimir d FIN

? i>n

v Ri 

4Qi d i2

NO

Calcular f siguiendo el diagrama de flujo 2a o 2b

hfi = hfRi + hmv

C Calcular di)N siguiendo el diagrama de flujo 4

C

h fRi

li v 2Ri  fi di 2 g

hmRi

v 2Ri   k mi  2g

Calcular hmvi : ec. 5.12

i= i+1

D

Diagrama de flujo 10. Diseño de tuberías en serie.

A h fRi

hmRi

Diagrama de flujo 10. Diseño de tuberías en serie.

li v 2Ri  fi di 2 g

v 2Ri   k mi  2g

SI

*

B

NO

(di)N = di SI

NO

SI

Calcular hmvi : ec. 5.12 D

(di)N = di

i= i+1 i= i+1

? i=n

?

i= 1

Imprimir d FIN

? i>n

v Ri 

4Qi d i2

NO

Calcular f siguiendo el diagrama de flujo 2a o 2b

hfi = hfRi + hmv

C Calcular di)N siguiendo el diagrama de flujo 4

Ejemplo 3

Una de las tuberías principales de un sistema de riego de alta frecuencia debe conectar la estación de fertirrigación con 3 módulos de riego que operan de forma simultánea. Los datos se presentan en el siguiente esquema:

Todo el sistema se encuentra en un terreno aproximadamente horizontal y el agua se encuentra a 15ºC. Diseñar las tres tuberías si el material disponible es PVC.

Cálculo de la altura en la estación de fertirrigación:

QT  Q A  QB  QC Q A  45.1l / s QB  39.0l / s QC  Q N  73.2l / s Luego:

QT  157.3l / s La potencia transmitida por la bomba al flujo es:

P

1



rQgH T

Por consiguiente: H  P T

rgQ

HT 

0.85  65000 m 999.1  0.1573  9.81

H T  35.84m

De acuerdo con el Diagrama de Flujo 10 se obtienen los siguientes resultados:

Caudales a través de las tuberías: Q1  Q A  QB  QC Q1  157.3l / s Q2  QB  QC Q2  112.2l / s Q3  Q N  QC Q3  Q N  73.2l / s

Alturas de fricción en las tuberías: h f1  H T

l1 cos q1 n

l i 1

h f1  35.84m

i

cos q i

350m cos 0 350m  123m  174m  cos 0

h f1  19.39m

En forma similar se calculan las alturas para las demás tuberías:

h f 2  6.81m

h f3  9.64m Primer cálculo de los diámetros: Si se sigue el Diagrama de Flujo 4 se obtienen los diámetros para las tres tuberías de la serie: d  250mm 1

d 2  200mm d 3  200mm

Cálculo de las velocidades, los factores de fricción, las pérdidas por fricción y las pérdidas menores reales:

Con los diámetros anteriores y los caudales reales de consumo, utilizando el Diagrama de Flujo 2a o 2b, se calculan los datos mostrados en la tabla:

Tubería

vR

f

hfR

hmR

1

3.204 m/s

0.01249

9.152 m

4.135 m

2

3.571 m/s

0.01276

5.102 m

2.145 m

3

2.33 m/s

0.01375

3.309 m

0.968 m

S = 17.564 m

S = 7.249 m

Velocidades, factores de fricción, pérdidas por fricción y pérdidas menores reales después de la primera iteración.

Cálculo de la pérdida menor en la válvula:

Teniendo en cuenta los datos de la tabla, la energía por unidad de peso perdida en la válvula es: 8

8

i 1

i 1

hmv  H T   h1R1   hmR1 hmv  35.84m  17.564m  7.249m hmv  11.03m

Segunda iteración: Al seguir el Diagrama de Flujo 10, se obtienen los resultados de la segunda iteración: Tubería

d

vR

f

hfR

hmR

1

250 mm

3.204 m/s

0.01249

9.152 m

4.135 m

2

200 mm

3.571 m/s

0.01276

5.102 m

2.145 m

3

150 mm

2.330 m/s

0.01375

3.309 m

0.968 m

S = 17.564 m

S = 7.249 m

Por consiguiente, la pérdida menor en la válvula, para la segunda iteración es:

hmV  35.84m  17.564m  7.249m hmV  11.027 m

Debido a que esta pérdida es relativamente pequeña, el diseño no cambia en la tercera iteración y el proceso se detiene. Los resultados del diseño son entonces:

d1  250mm d 2  200mm d 3  150mm

Cambio de una tubería simple por dos tuberías en serie. • Diseño de una tubería simple SOBREDISEÑO debido a : Las tuberías son fabricadas en diámetros comerciales. El caudal máximo resulta ser mayor que el caudal de diseño. • Solución a este sobrediseño: Dividir la tubería simple sobrediseñada en dos tuberías en serie: la tubería aguas arriba con el mismo diámetro comercial resultante del diseño y la tubería aguas abajo con un diámetro inmediatamente inferior al diámetro comercial que resulto del diseño. • Objetivo del nuevo diseño: Determinar las longitudes de las dos tuberías de manera que el flujo, con el caudal de diseño, consuma toda la energía disponible sin necesidad de utilizar una válvula.

La suma de las dos longitudes antes mencionadas es igual a la longitud total de la tubería simple original.

L  l1  l2

(5.13)

l1= tubería aguas arriba. l2 = tubería aguas abajo. Además se debe cumplir la siguiente relación entre los diámetros:

d1  d d d2  dd

d1=diámetro aguas arriba.

d2=diámetro aguas abajo. dd=diámetro de diseño.

A continuación se muestra un esquema de planteado anteriormente :

Esquema tuberías en serie Para el nuevo diseño se debe comprobar si se justifica el cambio de la tubería simple. Cuando se ha diseñado la tubería simple se comprueba si existe una diferencia significativa (superior al 5%) entre el caudal de diseño y el máximo caudal que puede pasar por la tubería, de lo contrario no es necesario continuar con el proceso y se puede utilizar el diseño original. Sin embrago, si la diferencia entre los caudales es significativa se debe dividir la tubería simple en dos tuberías en serie y se realiza el nuevo diseño teniendo en cuenta que el material de las tuberías debe ser el mismo de la tubería original.

La longitud de cada una de las nuevas tuberías se determina Aplicando el método matemático de búsqueda binaria: •

Éste método utiliza vectores ordenados y se basa en la constante división del vector o espacio de búsqueda. • La idea principal es comparar el elemento que se busca (la longitud de la tubería 1, l1) con el elemento central del vector. • Posibilidades: 1) Si l1 es menor que el elemento central, entonces l1 deberá estar en la mitad izquierda o inferior del vector. 2) Si es mayor que el valor central, l1 deberá estar en la mitad derecha o superior del vector. 3) Si es igual, ya se encontró el elemento buscado. el proceso se repite las veces que sea necesario para encontrar elemento que se esta buscando.

Aplicando el método de búsqueda binaria se define el vector o espacio de búsqueda para la primera iteración en la siguiente forma:

Lmín  0 Lmáx  L Una vez delimitado el vector de la primera iteración, se definen las longitudes de cada una de las tuberías, para esa primera iteración: l1 

Lmin

 Lmax 2 l 2  L  l1

 (5.14)

Para hallar los coeficientes de pérdidas menores km, se supone que el coeficiente de pérdidas menores de la tubería simple diseñada se distribuye uniformemente a lo largo de la tubería. Además se debe suponer que los coeficientes de pérdidas menores son proporcionales a las longitudes de cada una de las dos tuberías.

Los km de las nuevas tuberías se hallan a través de la siguiente ecuación: l1 L   k m   k m1

 k m1   k m  km 2

(5.15)

En la mayoría de los casos, el número de accesorios responsables de las perdidas menores es directamente proporcional a la longitud de tubería. Una vez que se tienen las características de cada una de las dos tuberías, para cada una de ellas se puede calcular la energía por unidad de peso perdida o altura total perdida, utilizando el Diagrama de Flujo 3 del Capítulo 2. La altura total perdida por la serie (Hs) es la suma de las alturas perdidas en las dos tuberías: Hs = H1 + H2

Después se compara Hs con la altura inicial total H: • Si no hay una diferencia significativa el proceso puede parar y los resultados del diseño serían los diámetros y longitudes definidos en esta iteración.

• Si la diferencia es considerable el proceso de iteración debe continuar. Para definir los nuevos límites del vector en cada iteración, se debe ubicar en cual mitad se encuentra el valor buscado:

• Si Hs > H la primera tubería debe alargarse y el valor buscado (l1), se encuentra en la mitad derecha o superior del vector. • Si por el contrario Hs < H, es decir, la altura resultante con el nuevo diseño es menor que la disponible, se debe reducir la longitud de la primera tubería y el valor buscado (l1), se encuentra en la mitad izquierda o inferior del vector.

El proceso descrito anteriormente se esquematiza en el diagrama de flujo 10, teniendo en cuenta lo siguiente: QD es el caudal de diseño, H es la altura total disponible, e es un error de aproximación, %Q es el porcentaje de diferencia de caudal entre el caudal demandado y el caudal máximo que puede mover la tubería simple (debe ser dado por el diseñador) y Qm es dicho caudal máximo.

INICIO

Leer ρ, μ, QD, H, ks, Skm, L, e, %Q.

Diseñar tubería simple. (Diagrama de Flujo 4)

sí

? Qm  QD QD

Imprimir dd

FIN

 %Q NO

d1 = dd

y d2 < dd

A Q = QD K = 1

lmìn = 0 lmàx = L

l1 

Lmin

 Lmax  2 l 2  L  l1

l1 L   k m   k m1

 k m1   k m  km 2

A

Calcular H1 y H2 como cálculo de potencia (Diagrama de Flujo 3)

Diagrama de Flujo 11. Cambio de diseño de una tubería simple por diseño de dos tuberías en serie.

Hs = H1 + H2

? H  H e s

? Hs < H

Lmìn = l1k Lmàx = Lmáxk-1

Imprimir d1, d2, l1, l2

Lmìn = Lmìnk-1 Lmàx = l1k

K  K1

B

FIN

INICIO

Leer ρ, μ, QD, H, ks, Skm, L, e, %Q.

Diseñar tubería simple. (Diagrama de Flujo 4)

sí

? Qm  QD QD

Imprimir dd

FIN

 %Q NO

d1 = dd

y d2 < dd

B

A

Q = QD K = 1

lmìn = 0 lmàx = L

l1 

Lmin

 Lmax  2 l 2  L  l1

l1 L   k m   k m1

 k m1   k m  km 2

Ejemplo 4 Reemplazar la tubería diseñada en el Ejemplo 2.3 por dos tuberías en serie. Los datos del problema son: l = 150 m S km = 0.5 + 0.8 + 10 x 0.1 + 1 = 3.3 ks = 0.00015 m ρ (14º) = 999.3 kg/m3 Qd = 0.12 m3/s μ (14º) = 1.17 x 10-3 Pa.s H = 2.2 m v (14º) = 1.17 x 10-6 m2/s %Q = 2% Del ejemplo 2.3 se obtuvieron los siguientes resultados: d

= 300 mm

Qmax = 0.1332 m3/s

hf

= 1.602 m

∑hm = 0.598 m

SH = 2.2 m v = 1.885 m/s Como se observa en los resultados el caudal máximo es superior al caudal de diseño, por lo cual es necesario reemplazar la tubería simple existente por dos tuberías en serie.

Se determina si la diferencia porcentual entre el caudal de diseño y el caudal máximo es mayor o menor que la estipulada. Qm  Q D QD

 %Q

0.133  0.12 0.12

 .11  0.02

NO CUMPLE

Como se va a realizar un nuevo diseño los diámetros son los siguientes: d1 = 300 mm d2 = 250 mm

Siguiendo el diagrama de flujo 11 se obtienen los siguientes resultados, correspondientes únicamente a la primera iteración.

Primera iteración:

Lmin  0m Lmax  150m

Longitud de las tuberías:

l1

 Lmin  Lmax  0  150    2

l1  75m

2

l2  L  l1  150  75 l2  75m

Pérdidas menores:

l1 75  k m 1   k m  4. 3 L 150

 k m 2   k m   k m1  4.3  1.65

 k m1  1.65  k m 2  1.65

Ahora se utiliza el diagrama de flujo 3 para calcular H en cada una de las tuberías.

Para la tubería 1 - Velocidad media: (los cálculos se realizan con Qd) QD QD 0.12 m 3 s v1    2 A1 d1 4  (0.3) 2 4m 2

v1  1.698m / s - Cálculo de las pérdidas menores:  hm1   k m1

v12 2g

 hm1

 hm1  0.242m

1.698 2  1.65 2* 9.81

- Cálculo del número de Reynolds:

1.698  0.300 Re 1    1.171 10 6 v1d1

Re1  434990

-Cálculo del factor de fricción a través de método de Newton: f 0,001 0,02043 0,01772 0,01779 0,01779 0,01779

x 31,6228 6,9962 7,5114 7,4968 7,4972 7,4972

g(x) 6,9962 7,5114 7,4968 7,4972 7,4972 7,4972

f1 0,02043 0,01772 0,01779 0,01779 0,01779 0,01779

f1 = 0. 01779

- Cálculo de las pérdidas por fricción: hf1

l1 v12 75 1.698 2  f1  0.01779  d1 2 g 0.3 2  9.81 h f 1  0.65m

- Cálculo de la altura :

H 1  h f 1  hm1 H 1  0.65m  0.242m H 1  0.90m

Para la tubería 2 - Cálculo de la velocidad media:

QD QD 0.12 m 3 s v2   2  A2 d 2 4  (0.25) 2 4m 2

v 2  2.445m / s

- Cálculo de las pérdidas menores:

 hm 2   k m 2

v 22 2g

 hm 2

2.4452  1.65 2* 9.81

 hm 2  0.503m

- Cálculo del número de Reynolds:

Re 2 

v2d2





2.445  0.250 1.171  10 6

Re 2  521988

- Cálculo del factor de fricción a través de método de Newton: f 0,001 0,02038 0,01818 0,01822 0,01822 0,01822

x 31,6228 7,0055 7,4162 7,4074 7,4076 7,4076

g(x) 7,0055 7,4162 7,4074 7,4076 7,4076 7,4076

f2 0,02038 0,01818 0,01822 0,01822 0,01822 0,01822

f 2 = 0.01822 En las próximas iteraciones el número Re y f para cada tubería son iguales, lo que cambia es la longitud que no depende de éstos valores.

- Cálculo de las pérdidas por fricción: l2 v 22 75 2.4452 h f2  f 2  0.01822  d2 2 g 0.25 2  9.81

h f 2  1.67 m H 2  h f 2  hm 2

- Cálculo de la altura:

H 2  1.67 m  0.5m H 2  2.17 m - La altura resultante (Hs) es : Hs = H1 + H2 Hs = 3.06 m

Ahora se compara Hs con H para definir si es necesario hacer una nueva iteración o no.

H s  H  3.06m  2.2m  0.86m

Hs > H

Para optimizar el diseño es necesario hacer una nueva iteración, ya que la diferencia entre las dos alturas aún es significativa. A continuación se muestra el resultado de las siguientes iteraciones: Iteración No. 1 2 3 4 5 6 7 8

H (m) 3.06 2.43 2.11 2.27 2.19 2.23 2.21 2.20

H (m) 0.86 0.23 -0.09 0.07 -0.01 0.03 0.01 0.00

l1 (m) 75 112.50 131.25 121.88 126.56 126.56 124.22 125.98

l2 (m) 75 37.50 18.75 28.13 23.44 23.44 25.78 24.02

d1 (m) 0.300 0.300 0.300 0.300 0.300 0.300 0.300 0.300

d2 (m) 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250

Las longitudes y diámetros para el diseño óptimo son los siguientes: d1= 0.300m d2= 0.250 l1= 125.98m l2= 24.02 m

TUBERÍAS CON PÉRDIDA UNIFORME DE CAUDAL POR UNIDAD DE LONGITUD.

TUBOS POROSOS. En los sistemas de riego más modernos existe un nuevo tipo de tuberías que están diseñadas para perder caudal por unidad de longitud. El objetivo es lograr una mayor uniformidad en el riego, ya que la entrega de agua no se localiza en un punto específico. Estas tuberías se conocen como tubos porosos o mangueras exudantes y conforman un tipo especial de tuberías en serie.

En la siguiente figura se muestra un esquema parcial de una tubería porosa con su línea de gradiente hidráulico:

Línea de gradiente hidráulico para una tubería porosa que pierde q (m3/s) por cada metro.

El caso de las tuberías porosas es especial debido a que la altura de presión (energía potencial de presión por unidad de peso) en cualquier punto x de la tubería, px / ρg no es simplemente (hi -hfx) debido a que existe un cambio en el momentum lineal causado por la pérdida de masa por unidad de longitud. Adicionalmente, la altura de velocidad disminuye a lo largo de la tubería, debido a que el caudal que permanece en ella es cada vez menor. Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, al aplicar la ecuación de conservación de energía entre las secciones 1 y x de la figura anterior se obtiene:

p1 v 12 p x v 2x    h fx   IPx rg 2 g rg 2g Donde: IPx = incremento en la altura de presión debido al cambio de momentum lineal entre los puntos 1 y x.

Es difícil calcular este incremento de presión debido al cambio en el Momentum lineal. Sin embargo, es posible calcular las pérdidas de altura debidas a la fricción utilizando las siguientes ecuaciones: Ecuación de conservación de la masa:

Donde:

Qx  Q1  qx

(5.16)

Qx = Caudal en la sección x de la tubería. Q1 = Caudal en la sección de la tubería. q = Caudal por unidad de longitud

Pendiente de la línea de gradiente Hidráulico:

Utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach aplicada a una longitud infinitesimal de la tubería, de tal forma que el caudal que sale por unidad de longitud fuera despreciable, se llegaría a lo siguiente:

dx v 2x dh f  f x d 2g De donde se obtiene la pendiente:

f x v 2x  dx d 2g

dh f O:

f x Qx2  dx 2 g dA 2

dh f

dh f dx



8 f x Qx2

 2g d5

(5.17)

Reemplazando la ecuación (5.16) en la ecuación (5.17) se obtiene la siguiente expresión:

dh f dx



8

 2 gd 5

f x ( Q1  qx ) 2

(5.18)

Para calcular las pérdidas por fricción a lo largo de toda la tubería se debe integrar la ecuación (5.18) entre 0 y L, la longitud total de ésta; luego: 8 hf  2 5  gd

L



f x ( Q1  qx ) 2 dx

(5.19)

0

donde:  ks 2.51v   2 log 10   3 . 7 d fx vxd fx 

1

   

(5.20)

Debido a que la ecuación 5.20 es una ecuación no explícita para la variable fx (el factor de fricción de Darcy en la coordenada x de la tubería), la ecuación 5.19 no tiene solución analítica posible. Sin embargo, una solución aproximada de hf se puede obtener utilizando alguno de los siguientes dos métodos.

Factor de fricción constante: Se puede suponer que fx es constante e igual al promedio de los factores de fricción a la entrada y a la salida de la tubería. Esto implica que existe una solución analítica a la ecuación 5.19: 8 fx  2 q x 2  h f  2 5  Q1 x  Q1qx  3  gd 

2 3

L

   0

De donde se obtiene 8 fx  2 q 2 L3  2  h f  2 5  Q1 L  Q1qL  3   gd 

En esta última ecuación se tiene que:  f1  f L  fx  2

(5.21)

Factor de fricción constante tramo a tramo: En este caso se calculan las pérdidas por fricción (hf) para varios tramos de la tubería y luego se suman. Para cada uno de los tramos se supone un factor de fricción (fx) constante. Nuevamente, existe una solución analítica para la ecuación 5.19 la cual está dada por las siguientes ecuaciones: 8 f xi  2 q 2l 3  2  h fi  2 5  Q1i l  Q1i ql  3   gd 

y:

(5.22)

n

h f   h fi

(5.23)

i 1

donde: n = número de tramos en que se divide la tubería. l = longitud de cada uno de los tramos.

Además:

L l n

f xi

f i  f i 1  2

Ejemplo 5 Las mangueras exudantes de un sistema de riego localizado de alta frecuencia tienen una longitud típica de laterales de 60 metros y un diámetro de 25 mm. La superficie de la manguera es de polietileno tejido de alta densidad, el cual tiene una rugosidad absoluta de 0.15 mm y deja salir un caudal de 1 l/min por cada metro de longitud. Calcular la pérdida de altura causada por la fricción a lo largo de un lateral como el anteriormente descrito. El agua tiene una viscosidad cinemática de 1.17 x 10-6 m2/s.

Cálculo del caudal que entra a la tubería: El caudal total que entra a la tubería conformante del lateral de riego es: l l Q1  qL  1  60m  60 min m min Q1  1l / s  0.001m 3 / s Cálculo de la zona de flujo laminar:

Debido a que la manguera va perdiendo caudal por unidad de longitud, en algún punto el flujo empieza a ser laminar. Es necesario conocer ese punto, debido a que a partir de ahí el cálculo del factor de fricción deja de depender de la ecuación de Colebrook-White. Mediante un número de Reynolds crítico de 2000 se tiene:

4Q vd  Re c  2000  v dv

Q

  2000  d  v

4 Q  1570  0.025m 1.17 10 6 m 2 / s Q  4.7 10 5 m3 / s  0.047l / s Q  2.76l / min Este último resultado implica que en los 2.8 m del extremo de aguas abajo de la manguera el flujo es laminar. En el análisis de este ejemplo no se contemplan los últimos 20 cm de la manguera exudante. Si se siguen los métodos de factor de fricción constante para la tubería y de factor de fricción constante tramo a tramo se obtienen los siguientes resultados: Factor de fricción constante para la tubería Al utilizarse el diagrama de flujo 2b se obtiene:

f o  0.03396 f 57.20  0.05392

Con lo cual:

f T  0.04394

Al sustituir tal valor en la ecuación 5.21 se calculan las pérdidas por fricción en la zona turbulenta: h fT 

8  0.04394

3.14  9.81m / s  0.0254m  2

2

5



7  m7 0.000017 2  57.24 3 m 7  2 2 m  0.001  57.24   0.000017  0.001  57.24 2  2 2   3 s s s  

h fT  7.434m Esta es la altura perdida en la zona turbulenta. La pérdida en la zona laminar (últimos 2.8 m de la manguera) se calcula de la siguiente forma: 64 (para flujo laminar) Re 64dv f  4Q f 

Para la abscisa 57.20 m se tendría, entonces, que: f 57.20 f 57.20

64    0.0254  1.17  10 6  4  4.7  10 5  0.032

De igual forma, para la abscisa 59.80 m se encuentra que:

f 59.80  0.4481 Por consiguiente, el valor promedio del factor de fricción y de altura para la zona laminar es:

f L  0.240

h f L  0.00365m Finalmente, la pérdida de energía por unidad de peso (altura) es:

h1  7.434m  0.00365m h1  7.438m

Factor de fricción constante tramo a tramo

En este caso la tubería se dividió en tramos de cinco metros, exceptuando el último cuya longitud es de 4.80 m para evitar que el número de Reynolds se anule. Para los cálculos se procede en forma similar a como se hizo con el factor de fricción constante para la tubería. Los resultados se muestran en Abscisa f f Δh la tabla: i

i+1

f

(m)

(-)

(-)

(m)

5

0,0340

0,0343

1,1061

10

0,0343

0,0343

0,9101

15

0,0343

0,0345

0,7312

20

0,0345

0,0348

0,5736

25

0,0348

0,0351

0,4349

30

0,0351

0,0356

0,3152

35

0,0356

0,0362

0,2144

40

0,0362

0,0371

0,1327

45

0,0371

0,0385

0,0703

50

0,0385

0,0410

0,0272

55

0,0410

0,0474

0,0043

59,8

0,0474

0,4411

0,0194

Pérdidas de energía por unidad de peso causadas por la fricción en el lateral de riego por exudación:

Línea de gradiente hidráulico para el lateral de riego suponiendo una presión mínima de 10 m de altura de agua al final de la manguera.

En este caso, las pérdidas por fricción a lo largo de la manguera llegan a 4.54 m, valor inferior al obtenido suponiendo un factor de fricción constante para toda la tubería (7.44 m). Es claro que el segundo valor se aproxima más a las pérdidas reales. Lo anterior significa que cuanto menor sea la longitud de los tramos en que se divide la manguera, mejor será el resultado del cálculo de las pérdidas de energía a causa de la fricción.

Tuberías en Paralelo Las tuberías en paralelo son un conjunto de tuberías que parten de un nodo común. En estos nodos los caudales que pasan por cada una de las tuberías se unen. Esto quiere decir que para cada una de las tuberías en paralelo aguas arriba de ellas los caudales deben estar unidos, para luego dividirse en el nodo inicial y finalmente volver a unirse en el nodo final; aguas abajo de éste nuevamente debe existir un caudal único.

Esquema tridimensional de dos tuberías en paralelo mostrando las líneas de gradiente hidráulico a lo largo de cada una de ellas.

a) Conservación de la energía:

Para la tubería 1 se plantea la siguiente ecuación:

H1  H 2  H T  h1f  hm1  h1f  hm1  h1f  hm1  h1f  hm1  h1f 1

Donde:

1

2

2

3

3

4

h ifj  pérdidas por fricción en el tramo j de la tubería i i hmj  pérdidas menores en el accesorio j de la tubería i

H T  diferencia total de cabeza entre los nodos 1 (inicial) y 2 (final)

Esta ecuación puede simplificarse a lo siguiente: n

m

1 H T   h   hmi

Donde:

i 1

1 fi

i 1

(5.24)

n = Número de tramos de la tubería 1 m = Número de accesorios en la tubería 1

4

5

Para la tubería 2 se puede plantear una ecuación similar a la ecuación (5.24): r

s

2 H T   h   hmi i 1

2 fi

(5.25)

i 1

donde: r = Número de tramos de la tubería 2 s = Número de accesorios en la tubería 2 Los términos de la izquierda de las ecuaciones (5.23) y (5.24) son iguales, lo cual implica que los términos de la derecha también tienen que ser iguales. Por consiguiente, la ecuación de conservación de la energía para tuberías en paralelo es: n

m

r

s

1 1 2 2 h  h  h  h  fi  mi  fi  mi i 1

i 1

i 1

i 1

(5.26)

b) Conservación de la masa (Continuidad):

En la figura anterior resulta claro que la ecuación de conservación de la masa, cuando el flujo es permanente, es:

QT  Q1  Q2

(5.27)

1. COMPROBACIÓN DE DISEÑO DE TUBERÍAS EN PARALELO

En este caso se conocen: Las características de n tuberías en paralelo (n diámetros, n rugosidades absolutas, n longitudes). Las características globales de pérdidas menores. Las características del fluido (su densidad y su viscosidad).

La potencia disponible para moverlo a través del sistema.

Las incógnitas son los caudales individuales en cada una de las n tuberías.

Para cada una de las tuberías se pueden plantear las siguientes ecuaciones: vi 

- 2 2 gd i h fi li

 ks 2.51v li i  log 10   3.7 d i d 2 gd h i i fi 

Qi 

 4

d i2 v i

   

(5.28)

(5.29)

H T  h fi   hmi  li  v i2 H T   f i   k m i   di  2g

(5.30)

Las ecuaciones 5.28 a 5.30 pueden ser resueltas individualmente para cada una de las tuberías del sistema en paralelo. Por esta razón la comprobación de diseño en un sistema de n tuberías en paralelo se convierte en n comprobaciones de tuberías simples.

INICIO Leer n, r, m, HT o (P) i=1 Leer li, ksi, Skmi, di Calcular los Qi : diagrama de flujo 1 ? i=n

NO

i= i+1

SI n

QT   Qi i 1

FIN

Diagrama de flujo 12. Comprobación de diseño de tuberías en paralelo.

Ejemplo 6

En la red matriz del sistema de acueducto del municipio de Santa Marta, Colombia, existen dos tuberías que unen la planta de tratamiento de Mamatoco y el tanque de las Tres Cruces. Datos del problema: - l = 627 m - ks1 = 0.0015mm (PVC) - ks2 = 0.03mm (asbesto-cemento) - km = 10.6 - H = 26.4m

- d1 = 200mm - d2 = 300mm

El agua se encuentra a 20ºC. Calcular el caudal total.

r  998 .2 kg m 3

v  1.007  10 6 m 2 s

Mediante el diagrama de flujo 12 se obtienen los resultados consignados en la tabla: TUBERIA 1 H

hf

v

hf+1

hm

Q

(m)

(m)

(m/s)

(m)

(m)

(m3/s)

26,400

26,400

3,642

19,234

7,166

0,114

26,400

19,234

3,064

21,329

5,071

0,096

26,400

21,329

3,242

20,722

5,678

0,102

26,400

20,722

3,191

20,899

5,501

0,100

26,400

20,899

3,206

20,848

5,552

0,101

26,400

20,848

3,202

20,862

5,538

0,101

26,400

20,862

3,203

20,858

5,542

0,101

26,400

20,858

3,202

20,859

5,541

0,101

26,400

20,859

3,203

20,859

5,541

0,101

26,400

20,859

3,202

20,859

5,541

0,101

TUBERIA 2 H

hf

v

hf+1

hm

Q

(m)

(m)

(m/s)

(m)

(m)

(m3/s)

26,400

26,400

4,338

16,233

10,167

0,307

26,400

16,233

3,368

20,273

6,127

0,238

26,400

20,273

3,782

18,674

7,726

0,267

26,400

18,674

3,623

19,308

7,092

0,256

26,400

19,308

3,687

19,057

7,343

0,261

26,400

19,057

3,662

19,157

7,243

0,259

26,400

19,157

3,672

19,117

7,283

0,260

26,400

19,117

3,668

19,133

7,267

0,259

26,400

19,133

3,669

19,127

7,273

0,259

26,400

19,127

3,669

19,129

7,271

0,259

26,400

19,129

3,669

19,128

7,272

0,259

26,400

19,128

3,669

19,129

7,271

0,259

Resultados de la comprobación para las dos tuberías en paralelo.

De acuerdo con la Tabla los caudales y las pérdidas para cada una de las dos tuberías son: Tubería 1:

h f  20.859m hm  5.541m Q  101l / s

Tubería 2:

h f  19.129m hm  7.271m Q  259l / s

Por consiguiente, el caudal total que pasa por el sistema es: QT = 101 l/s + 259 l/s Luego:

QT  360l / s

2. CÁLCULO DE POTENCIA PARA TUBERÍAS EN PARALELO En este caso se conocen:

Las características de n tuberías en paralelo. Las características del fluido (densidad y viscosidad). El caudal total que pasa por el sistema QT. Las condiciones de presión en el nodo de aguas arriba. La incógnita del proceso es la presión en el nodo de aguas abajo. Lo que se desea calcular es la potencia consumida por el flujo al ir del nodo de aguas arriba al de aguas abajo a través del sistema en paralelo.

Una de las características de este problema es que no se conoce de antemano la forma en que el caudal total se divide para fluir por cada una de las tuberías en paralelo. El siguiente método supone el caudal que pasa por la tubería 1. Esta suposición inicial se puede basar en la ecuación de Darcy-Weisbach, en la siguiente forma: 2

l v hf  f d 2g

2

2

l 4 Q hf  f d 2 g 2 d 4

Es decir, para un hf dado se tendría lo siguiente:

 d 52   Q  F  l   

Q2 

h f g 2 d 5 8fl

Si se supone un valor del factor de fricción similar para todas las tuberías, el caudal por la primera tubería sería:

d1

5

2

l1

Q1  QT

5

n



i 1

di

(5.31) 2

li

Donde: n = número de tuberías en paralelo

Con el caudal supuesto para la primera tubería se puede calcular, siguiendo el diagrama de flujo No. 3, la presión en el nodo final. Con esta presión se puede calcular, con el diagrama de flujo No. 1, los caudales en cada una de las otras tuberías del sistema en paralelo. Es probable que estos caudales incumplan la ecuación se conservación de la masa, razón por la cual en las siguientes iteraciones es necesario corregir la suposición para el caudal de la primera tubería. Este caudal se corrige proporcionalmente a los caudales de todas las tuberías de acuerdo con las siguientes ecuaciones: n

QT*   Qi

(Calculados)

i 1

Q1k 1  Q1k

QT * QT

(5.32)

INICIO

Diagrama de Flujo 13. Cálculo de potencia para tuberías en paralelo.

Leer n, r, m, QT ,E, H1

i=1 Leer li, ksi, Skmi, di

H R  Pot rQ1 g

Calcular ksi/di ? i=n

NO

i= i+1

H 2  H1  H R

SI

A Calcular Q1: ec. 5.31 Calcular la potencia requerida para la tubería 1 siguiendo el diagrama de flujo 3

*

O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.1.

Diagrama de Flujo 13. Cálculo de potencia para tuberías en paralelo.

A

i=2 Calcular Qi siguiendo el diagrama de flujo 1 ? i=n

*

NO

i= i+1

SI n

Q   Qi * T

i 1

? QT  QT*  E

SI

Imprimir H2

NO

Q1  Q1

QT (5.32) QT*

Imprimir Q`s

FIN

B

*

O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.1.

INICIO

Diagrama de Flujo 13. Cálculo de potencia para tuberías en paralelo.

Leer n, r, m, QT ,E, H1 i=1 Leer li, ksi, Skmi, di

H R  Pot rQ1 g

Calcular ksi/di ? i=n

H 2  H1  H R

NO

i= i+1

SI

A Calcular Q1: ec. 5.31

Calcular la potencia requerida para la tubería 1 siguiendo el diagrama de flujo 3

*

*

B

O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.1.

Ejemplo 6 Con el fin de disminuir la vulnerabilidad del cruce subacuático de un oleoducto al atravesar un río, se decide colocar dos tuberías en paralelo a la existente. Los datos se muestran en el siguiente diagrama:

Las condiciones del crudo son:

r  860 kg m3

m  7.19  103 Pa.s

Calcular el caudal que pasa por cada tubería y la pérdida de altura

Con los datos del problema se hacen los cálculos iniciales:

m 7.19  10 3 Pa.s 6 2 v   8 . 36  10 m /s 3 r 860kg / m

k s1 4.6  10 5 m   1.02  10 4 d1 0.45m k s 2 k s 3 4.6  10 5 m    1.53  10 4 d2 d3 0.3m La altura en el nodo inicial es: p1 H1  rg 875000 Pa H1  kg m 860 3  9.81 2 m s

Luego:

H 1  103.71m

Siguiendo el Diagrama de Flujo 13 se obtienen los siguientes resultados:

Suposición inicial para la tubería 1 (existente): 5/ 2

Q1  QT

d1 3

d i 1

Luego:

5/ 2 i

l1 li

m3 0.455 / 2 278 Q1  0.46 s 0.455 / 2 0.35 / 2 0.35 / 2   278 312 312

Q1  273l / s

(primera iteración)

Cálculo de la potencia requerida para la tubería 1: Con el caudal antes calculado y a partir del diagrama de flujo 3 se obtiene la siguiente pérdida de altura a lo largo de la tubería 1:

4Q1 4  0.273 Re1    d1v   0.45  8.36  10 6 Re1  92432 Con este número de Reynolds y con la rugosidad relativa antes calculada se obtiene el siguiente factor de fricción: f1=0.0188 La velocidad en la tubería 1 es:

Q1 0.273 m 3 / s v1    A1 0.45 2 m2 4

v1  1.717m / s

Por consiguiente, las pérdidas a lo largo de la primera tubería son:

H R  h f 1  hm1 2 278   1.717 H R   0.0188   7.7  m 0.45   2  9.81

 l1  v 21 H R   f1  Sk m1   d1  2g

H R  2.90m

Cálculo del caudal a través de las dos tuberías nuevas: Si se sigue el Diagrama de Flujo 1 se obtiene el siguiente caudal para las tuberías nuevas (ver tabla):

H

hf

v

hf+1

hm

Q

(m)

(m)

(m/s)

(m)

(m)

(m3/s)

2,90

2,900

1,622

1,639

1,261

0,115

2,90

1,639

1,181

2,232

0,668

0,083

2,90

2,232

1,403

1,958

0,942

0,099

2,90

1,958

1,304

2,086

0,814

0,092

2,90

2,086

1,351

2,026

0,874

0,095

2,90

2,026

1,329

2,054

0,846

0,094

2,90

2,054

1,339

2,041

0,859

0,095

2,90

2,041

1,334

2,047

0,853

0,094

2,90

2,047

1,337

2,044

0,856

0,094

2,90

2,044

1,336

2,045

0,855

0,094

2,90

2,045

1,336

2,045

0,855

0,094

2,90

2,045

1,336

2,045

0,855

0,094

Resultado del caudal para cada una de las dos tuberías nuevas en la primera iteración.

Por consiguiente: Q2 = Q3 = 94 lts/seg Cálculo del caudal de la primera tubería para la segunda iteración: 3

Q* T   Qi i 1

Q* T  273l / s  2  94l / s Q* T  462l / s Como el caudal total calculado resultó ser muy similar al caudal total real, el proceso puede parar.

Finalmente, los resultados del ejemplo son:

Q1  273l / s Q2  94l / s Q3  94l / s La presión en el nodo final es:

H 2  H1  H R H 2  103.71m  2.90m  100.81m kg m P2  rgH 2  860 3  9.81 2  101.01m m s

P2  851kPa

DISEÑO DE TUBERÍAS EN PARALELO En la práctica de la Ingeniería no es usual diseñar sistemas de tuberías en paralelo ya que esto es ineficiente tanto desde el punto de vista hidráulico como desde el punto de vista económico (para una misma área mojada dos tuberías tienen un perímetro mojado 41.42% mayor que el perímetro mojado de una sola tubería). Lo que se podría interpretar como el diseño de tuberías en paralelo es la ampliación de una tubería existente.

Proceso de Diseño • Se inicia suponiendo que la altura del nodo final permanece constante lo cual permite, diseñar la nueva tubería. • La tubería debe tener un diámetro comercialmente disponible, lo que ocasiona que deje pasar una caudal superior al deseado. •Cuando se tenga un caudal igual al deseado, la presión en el nodo final aumenta, afectándose el caudal en la tubería existente e incumpliéndose la ecuación de conservación de la masa. • De ahí en adelante el proceso es igual al de comprobación de diseño para tuberías en paralelo.

INICIO

Diagrama de flujo 14. Diseño de tuberías en paralelo.

Leer r, m, QD , Q2 , E, H1 , H2 , d2 , l1 , l2 , ks1, ks2, Skm1, Skm2 Q1  QD  Q2

Diseñar la tubería 1 siguiendo el diagrama de flujo 4

H R  Pot rQ1 g

*

QT  QD

Calcular Q1 ec. 5.31

Calcular la potencia requerida para la tubería 1 siguiendo el diagrama de flujo 3 * O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.4

H 2  H1  H R

A

Diagrama de flujo 14. Diseño de tuberías en paralelo.

A

Calcular Q2 siguiendo el diagrama de flujo 1

*

QT*  Q1  Q2

? QT  QT*  E

SI

Imprimir H2

NO

Q Q1  Q1 T* (5.32) QT

Imprimir Q`s

FIN B

INICIO

Diagrama de flujo 14. Diseño de tuberías en paralelo.

Leer r, m, QD , Q2 , E, H1 , H2 , d2 , l1 , l2 , ks1, ks2, Skm1, Skm2 Q1  QD  Q2

Diseñar la tubería 1 siguiendo el diagrama de flujo 4

H R  Pot rQ1 g

* H 2  H1  H R

QT  QD

A

Calcular Q1 ec. 5.31

Calcular la potencia requerida para la tubería 1 siguiendo el diagrama de flujo 3 * O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.4 ** O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.3

**

B

Ejemplo 7

En el siguiente diagrama se muestra la tubería que conecta la planta de tratamiento de aguas residuales con el río en Ubaté. El caudal máximo que puede fluir por la tubería es de 138.5 l/s. El caudal que debe ser tratado aumentó a 224.5 l/s. ¿Qué diámetro deberá tener una tubería paralela si el material es PVC? ¿Cuál es la nueva presión en el nodo de salida?

  1.17  10 6 m 2 s

Siguiendo el Diagrama de Flujo 14 se obtienen los siguientes resultados: Caudal por la tubería nueva:

Q1  QD  Q2 Q1  224.2l / s  138.5l / s

Q1  85.7l / s Diseño de la nueva tubería: Utilizando el Diagrama de Flujo 4 se obtiene el siguiente diámetro para la nueva tubería (ver tabla):

hf

d

v

A

Q

Q  Qd

∑hm

(m)

(m)

(m/s)

(m2)

(m3/s)

(si o no)

(m)

2,200

0,150

1,668

0,018

0,0295

no

0,468

2,200

0,200

2,015

0,031

0,0633

no

0,683

2,200

0,250

2,329

0,049

0,1143

si

0,913

1,287

0,250

1,736

0,049

0,0852

no

0,507

1,693

0,250

2,018

0,049

0,0990

si

0,685

1,515

0,250

1,898

0,049

0,0932

si

0,606

1,594

0,250

1,952

0,049

0,0958

si

0,641

1,559

0,250

1,928

0,049

0,0947

si

0,625

1,575

0,250

1,939

0,049

0,0952

si

0,632

1,568

0,250

1,934

0,049

0,0949

si

0,629

1,571

0,250

1,936

0,049

0,0950

si

0,631

1,569

0,250

1,935

0,049

0,0950

si

0,630

1,570

0,250

1,936

0,049

0,0950

si

0,630

1,570

0,250

1,936

0,049

0,0950

si

0,6301

Resultados del diseño de la nueva tubería en PVC

De acuerdo con la tabla el diámetro de la nueva tubería en PVC es:

d1  0.25m d1  10 pu lg Cálculo del nuevo Q1:

d1 Q1  QT

5

2

l1 n



5

di

2

li Si se tiene en cuenta que las longitudes de las dos tuberías son iguales se llega a: i 1

0.25 5 / 2 Q1  224.2l / s 0.25 5 / 2  0.35 / 2 Q1  87l / s

Cálculo de la potencia requerida para la tubería 1: El número de Reynolds para la tubería 1 es:

4Q1 4  0.087 Re1    d1v   0.25  1.17  10 6 Re1  378899

y la rugosidad relativa es:

k s1 0.0000015  d1 0.25 k s1  6  10 6 d1 Con estos dos valores se calcula el factor de fricción utilizando el Diagrama de Flujo 2:

f1 =0.01392

La velocidad en la tubería 1 es: Q1 0.087 m 3 / s v1    A1 0.25 2 m2 4

v1  1.77m / s Por consiguiente, las pérdidas a lo largo de la primera tubería son:

H R  h f 1  hm1  l1  v 21 H R   f1  Sk m1   d1  2g 2 150   1.77 H R   0.01392   3.3  m 0.25   2  9.81

H R  1.861m

Cálculo del caudal a través de la tubería existente: Utilizando el Diagrama de Flujo 1 se obtiene el siguiente caudal para la tubería antigua (ver tabla): H

hf

v

hf+1

hm

Q

(m)

(m)

(m/s)

(m)

(m)

(m3/s)

1,861

1,865

2,038

1,167

0,698

0,144

1,861

1,167

1,601

1,433

0,431

0,113

1,861

1,433

1,780

1,332

0,533

0,126

1,861

1,332

1,714

1,371

0,494

0,121

1,861

1,371

1,740

1,356

0,509

0,123

1,861

1,356

1,730

1,361

0,503

0,122

1,861

1,361

1,734

1,359

0,506

0,123

1,861

1,359

1,732

1,360

0,505

0,122

Resultado del caudal para la tubería existente

Por consiguiente: Q2 = 122.5 l/s

y el nuevo caudal total es:

Q* T  Q1  Q2 Q* T  87l / s  122.5l / s Q* T  209.50l / s Segunda iteración: Debido a que el nuevo caudal total (QT*) es diferente al caudal total requerido es necesario hacer una segunda iteración, cuyos resultados son: 224.2 Q1  87l / s 209.5 Q1  93.0l / s Re 1  405030 f1  0.0137

v1  1.897m / s H R  2.118m Q2  131.0l / s Q* T  224.0l / s

Este último valor es muy similar al caudal demandado, por la cual el proceso puede parar. Los resultados finales son:

Q1 = 93.0 l/s Q2 = 131.0 l/s H2 = 0.339 m

(tubería nueva en PVC de 250 mm) (tubería existente de HG de 300 mm)