6-ALGEBRA 1ro (1 - 16)
CORPORACIÓN EDUCATIVA Formando líderes, con una auténtica educación integral School´s Primero de Secundaria Álgebra
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- JMmanuelitoPalacios
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CORPORACIÓN EDUCATIVA
Formando líderes, con una auténtica educación integral
School´s
Primero de Secundaria
Álgebra
Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de
Presentación Didáctico
uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.
Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los Nuestra Institución School’s propone una perspectiva integral mayores problemas de nuestro país, laMentor educación, brindando una enseñanza de alta calidad. y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios
Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo estudiantes, una formación y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros impulsando susprincipios capacidades parabuscando el éxito el endesarrollo la vida profesional. personalizada basada en y valores; integral de nuestros
estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da
Estambién por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 sede da Guías tambienDidácticas con el trabajo de con el esfuerzo de los docentes a través que los docentes a través de que permitirán un mejor nivel académico y lograr permitirán unGuías mejorDidácticas nivel académico y lograr alcanzar la práctica que lo que que el alumno(a) requiere, requiere, porque nuestra metameta es: que es: alcanzar es la práctica es lo que el alumno(a) porque nuestra
“Formar líderes con una auténtica
“Formar líderesintegral” con una auténtica educación educación integral”
Capítulo 1.
Operaciones Combinadas ................................................
9
Capítulo 2.
Potenciación I ....................................................................
16
Capítulo 3.
Potenciación II ...................................................................
24
Capítulo 4.
Expresiones Algebraicas ...................................................
31
Capítulo 5.
Términos Semejantes .......................................................
39
Capítulo 6.
Multiplicación Algebraica ................................................
48
Capítulo 7.
Productos Notables I .........................................................
52
Capítulo 8.
Productos Notables II .......................................................
58
Capítulo 9.
Factorización I ...................................................................
65
Capítulo 10.
Factorización II ..................................................................
72
Capítulo 11.
Ecuación de Primer Grado I ...........................................
78
Capítulo 12.
Ecuación de Primer Grado II ..........................................
85
Capítulo 13.
Ecuación Cuadrática I ......................................................
91
Capítulo 14.
Ecuación Cuadrática II .....................................................
98
Capítulo 15.
Sistema de Ecuaciones Lineales ...................................... 105
Capítulo 16.
Inecuaciones de Primer Grado ........................................ 112
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
Operaciones Básicas
Efectúa:
1. REGLA PRÁCTICA PARA SUMAR O RESTAR NÚMEROS ENTEROS Si se tiene dos o más números enteros con el mismo signo, el resultado será la suma precedido del signo en común.
• -4 + 5 = • -8 + 6 =
Ejemplos:
• +9 - 5 =
* - 4 - 5 - 7 = - (4 + 5 + 7) = -16
• +10 - 15 =
* + 3 + 4 + 8 = + (3 + 4 + 8) = +15
Efectúa:
1
• -20 + 8 =
2. SIGNOS DE COLECCIÓN: ( ); [ ]; { }
• -4 - 6 - 5 = • +2 + 5 + 8 = • -8 - 7 - 10 =
Todo signo de colección precedido por un signo “+” puede ser suprimido, escribiendo luego los números contenidos en su interior, cada uno con su propio signo. Ejemplos:
• +8 + 12 + 13 =
* 10 + (-4 + 2 - 5) = 10 - 4 + 2 - 5
• -12 - 11 - 20 =
* 8 + (12 - 4) = 8 + 12 - 4
Si se tiene dos números con signos diferentes, el resultado será la diferencia precedida del signo del mayor en cantidad.
Todo signo de colección precedido por un signo “-” puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los números contenidos en su interior, con su signo cambiado.
Ejemplos: * - 7 + 12 = + (12 - 7) = +5
Ejemplos: * -12 - (4 + 3 - 1) = -12 - 4 - 3 + 1
* - 10 + 8 = - (10 - 8) = -2
Formando líderes con una auténtica educación integral
* -8 - (7 - 3 + 2) = -8 - 7 + 3 - 2
9
Álgebra - 1ro Sec. Operaciones Combinadas
4. Reduce:
Son aquellas donde intervienen las operaciones elementales (adición, sustracción, multiplicación y división), así como también los signos de colección.
20 - 4 x [15 - (7 - 4 ÷ 2) - 3] efectuando operaciones dentro del paréntesis. Resolución:
La jerarquía u orden en las operaciones combinadas es el siguiente:
20 - 4 x [15 - (7 - 2) - 3] 20 - 4 x [15 - 5 - 3]
* Se efectúan las operaciones dentro de los signos de colección: ( ), [ ], { }.
Efectuando el corchete: 20 - 4[7] 20 - 28 -8
* A continuación operamos las multiplicaciones y divisiones: x, ÷.
5. Efectúa:
* Finalmente efectuamos las sumas y restas: +, -.
3{2[41 - (20÷4)] ÷ 9} - [(62-29) ÷ 11 + 2(45-27) ÷ 3]
realizando operaciones dentro del paréntesis. Resolución:
1. Calcula:
7+5-2-4+8-6
los sumandos pueden cambiarse de orden y agruparse. Resolución:
3{2[41 - 5] ÷ 9} - [33 ÷ 11 + 2(18) ÷ 3] 3{2[36] ÷ 9} - [3 + 36 ÷ 3] 3{72 ÷ 9} - [3 + 12] 3{8} - 15 24 - 15 9
(7 + 5 + 8) - (2 + 4 + 6) 20 - 12 8 signos diferentes se restan 2. Calcula:
27 ÷ 3 + 8 - 16 ÷ 4 - 4 x 2
si no hay paréntesis, las multiplicaciones y las divisiones deben realizarse en primer lugar. Resolución 9+8-4-8 17 - 12 5
3. Reduce:
18 ÷ (5 + 4) + 6 x (4 - 2) - 10
los paréntesis condicionan el orden de las operaciones. Resolución: 18 ÷ 9 + 6 x 2 - 10 2 + 12 - 10 14 - 10 4
10
En la civilización mesopotámica encontramos los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma ax2 + bx + c y también mediante el cambio de variable t = ax. Efectuaron un sinfín de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1. Calcula:
-8 + 7 + 12 - 15 + 20
4. Calcula: (9 x 6 + 6 - 15) ÷ (4 x 5 ÷ 4) Rpta.: _______
Rpta.: _______
2. Calcula:
+20 - 15 + 18 - 7 + 32 - 8
5. Calcula: {(4 + 2) - 7 x 2 + (5 x 2 + 1) - 1} Rpta.: _______
Rpta.: _______
3. Calcula:
8 + 12 x 3 - 24 ÷ 3
6. Calcula: (12 - 15)(-6) + (18 - 13)(-8) - [(12 - 16)]
Rpta.: _______
Rpta.: _______
Para Reforzar 1. Calcula:
-10 + 8 - 7 + 10 - 25 Rpta: _______
2. Calcula: -30 - 15 + 22 - 10 + 14 - 12
3. Calcula:
Rpta: ________
20 - 8 x 2 - 1 + 5 x 4 Rpta: _______
Formando líderes con una auténtica educación integral
4. Calcula:
64 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 + 36 ÷ 9 x 5 Rpta: _______
5. Calcula:
8 + {9 - [6 - (5 - 4)]} + 14 - 11 - {7 - 1} Rpta: _______
6. Calcula: 6 x 8 + 40 ÷ 4 - 32 ÷ {(224 ÷ 7) - 1} Rpta: _______
11
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1
1
Calcula: 50 - {(6 - 1)8 ÷ 4 x 3 + 16 ÷ (10 - 2)} - 5 a) 8 d) 16
b) 13
1
Calcula: (8 - 1) - (16 - 9) + 4 - 1 + 9 - 6 + (11 - 6) - 5 a) 8 d) 10
c) 10 e) 2
Resolución:
b) 4
Resolución:
Clave:
2
Calcula: (15 - 2)4 + 3(6 ÷ 3) - 18 ÷ (10 - 1) a) 55 d) 59
b) 56
c) 58 e) 60
Resolución:
Clave:
2
Calcula: 68 - 6 x 7 + (39 + 5 - 2) ÷ 7 - 7 x 2 + 8
Para el profesor: a) 68 b) 26 d) 48
c) 40 e) 54
Resolución:
Clave: 12
c) 6 e) 12
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Par
Álgebra - 1ro Sec. 3
Completa el recuadro: 3 x x 2 + 15 ÷ 5 - 2 = 25 a) 4 b) 6 d) 7
3
c) 5 e) 10
Calcula: [(9 - 4) ÷ 5 + (10 - 2) ÷ 4] + 9 x 6 ÷ 18 + 2 a) 6 d) 9
Resolución:
b) 7
Resolución:
Clave:
4
Completa el recuadro: 24 x 6 ÷ 8 x - 240 ÷ 6 ÷ 2 x 10 ÷ 25 = 10 a) 1 b) 2 d) 4
c) 8 e) 10
c) 3 e) 5
Resolución:
Clave:
4
Completa el recuadro: 24 x 6 ÷ x 9 - 7 x 3 = 141 a) 4 b) 6 d) 8
c) 5 e) 10
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 13
Álgebra - 1ro Sec. 5
Calcula: -5 + 7 - (-8) . 2 ÷ (-4) a) -2 d) 1
b) -1
5
Calcula: 18 ÷ [-5 + (-3 . 2 + 5)] a) -3 b) -2 d) 3
c) 0 e) 2
Resolución:
Resolución:
Clave:
6
Calcula: 7 - [5 . 4 - 20 ÷ (-5) + 7 - 40 ÷ (-8) - 9] a) -10 d) -24
b) -16
c) -20 e) 30
Resolución:
Clave:
6
Calcula: -3 - 4 - [8 . (-3 - 1) ÷ (-2) + (-7)] a) -12 b) -14 d) -18
c) -16 e) -20
Resolución:
Clave: 14
c) 2 e) 1
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 7
Calcula: 3 + 4 [8 . {4 - (9 + 3) ÷ 6}] a) 61 d) 67
b) 63
7
Calcula: -20 - [-3 - {20 - (6 ÷ (-3) - 7)} - 2] a) 10 b) 12 d) 16
c) 65 e) 69
Resolución:
Resolución:
Clave:
8
Calcula: {(4 + 2) - 7(2) + [5(2) + 1] - 1} a) 2 b) 1 d) 1
c) 14 e) 18
c) 0 e) -2
Resolución:
Clave:
8
Calcula: 9 - {8 - [7 - 20 . (-2) ÷ (-8) - (-12 + 7) . 3]} a) 18 d) 12
b) 16
c) 14 e) 10
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor
Formando líderes con una auténtica educación integral
15
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
2
Potenciación I
Es aquella operación matemática en la cual dados dos números “a” (base) y otro entero positivo “n” (exponente), se define “p” como la potencia enésima de “a”.
Exponente Cero a0 = 1 ⇔ a ≠ 0
Exponente an = P
Base
Potencia
Ejemplos: (5)0 = 1 (1/2)0 = 1
Ejemplos:
(-8)0 = 1
34 = 81
53 = 125
* Base : 3 * Base : 5 * Exponente : 4 * Exponente : 3 * Potencia : 81 * Potencia : 125
Teoremas MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am . an = am+n
Exponente Natural a . a . a . ... . a . a = an “n” factores Ejemplos:
Demostración: Se tiene:
am . an = (a . a . a . ... . a) (aaa ... a)
(5)(5)(5) ... (5) = (5)
20
20 factores (m)(m)(m) ... (m) = (m)15 15 factores Así también, tenemos: 410 = (4)(4)(4) ... (4) 10 factores a33 = (a)(a)(a) ... (a) 33 factores 16
( 3)0 = 1
“m” factores
“n” factores
Contando el total de factores: am . an = (a . a . a . ... . a . a)
“m + n” factores
Expresando como potencia: am . an = am+n Ejemplos: * 35 . 33 = 35+3 * m12 . m5 = m12+5 * 6a . 64 = 6a+4
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. Pero también:
Ejemplos:
mm+2 mm . m2
(a3)4 = a3(4) = a12
2a+7 = 22 . 27
(m5)n = m5n
Pero también: POTENCIA DE UN PRODUCTO (ab)m = am . bm
a6 = a3(2) = (a3)2
m4p = (m4)p
LEY DE SIGNOS
Demostración:
(Exponente par)
Se tiene:
(ab)m = (ab)(ab)(ab) ... (ab)
1.
“m” factores
“m” factores “m” factores
Representando como potencia: (ab)m = am . bm
Ejemplo: (+5)4 = (+5)(+5)(+5)(+5) = +625
(Exponente par) 2.
Ejemplos:
(5a)4 = 54 . a4
(3 . 8)a = 3a . 8a
35 . p5 = (3p)5
73 . 53 = (7 . 5)3
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +81 (Exponente impar) 3.
(+6)3 = (+6)(+6)(+6) = +216 (Exponente impar)
(am)n = am . am . am . ... am
“n” factores
4.
“n” factores
(am)n = am+m+m+...+m (am)n = amn
(-)impar = Base negativa
Por la multiplicación de potencias de igual base:
=+
Ejemplo:
Demostración:
(+)
impar
Base positiva
(am)n = amn
de donde:
=+
Ejemplo:
POTENCIA DE POTENCIA
Se tiene:
(-)
par
Base negativa
Pero también:
=+
Base positiva
Asociando los factores iguales: (ab)m = (aaa ... a) (bbb ... b)
(+)
par
Ejemplo: (-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64
Formando líderes con una auténtica educación integral
17
Álgebra - 1ro Sec. Principales Potencias POTENCIAS DE dos
1
2 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32
6
2 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024
POTENCIAS DE TREs
31 = 3 32 = 9 33 = 27
34 = 81 35 = 243 36 = 729
POTENCIAS DE CINCO
51 = 5 52 = 25
53 = 125 54 = 625
2. Reduce: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2
6 factores Resolución: * (2)(2) ... (2) = 26 → exponente natural
6 factores * (23)2 = 26 → potencia de potencia reemplazando: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2 6 factores ↓ ↓ 26 - 26 64 - 64 0 (cero) 4. Calcula: (-23)2 + (-22)3 Resolución:
POTENCIAS DE SIETE
1
7 = 7 72 = 49
3
7 = 343
Exponente par 3 2
* (-2 ) = +(23)2 Exponente impar 2 3
* (-2 ) = -(22)3 reemplazando: +(23)2 - (22)3 1. Calcula: 50 + 23 + (22)2 Resolución: * 50 = 1 → exponente cero * 23 = 8 → exponente natural * (22)2 = 24 → potencia de potencia reemplazando: 50 + 23 + 24 ↓ ↓ ↓ 1 + 8 + 16 25 3. Reduce:
(3)(3)(3)(3) - (2)(2)(2)(2)(2)(2) 4 factores 6 factores Resolución: Expresamos como potencia: 34 - 26 81 - 64 17
18
por potencia de potencia: 26 - 26 64 - 64 0 (cero) 5. Un cubo mágico tiene tres capas con tres líneas de tres cubos cada una. ¿Cuántos cubos tiene en total? Resolución: 3 capas 3 líneas 3 cubos De la figura: * Cada fila tiene 3 cubos, entonces en tres filas habrá 3(3) = 9 cubos. * Cada capa tiene 9 cubos, entonces en tres capas habrá 3(9) = 27 cubos. De donde se tiene: (3)(3)(3) = 33 = 27 cubos
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1. Calcula:
4. Calcula:
2 5 + 24 + 23
(-2)6 + (-6)2 - 34 Rpta.: _______
Rpta.: _______
2. Calcula:
5
(2)(2) ... (2) + (-3)
5. Calcula:
35 - 44 + 23
8 factores Rpta.: _______
Rpta.: _______
3. Calcula:
34 + (-3)(-4) + (-4)3
6. Calcula:
42 - 33 + 24
Rpta.: _______
Rpta.: _______
Para Reforzar 1. Calcula:
6
2 + 6 + 2(-6)
Rpta.: _______
2. Calcula:
(2)(2) ... (2) - 43
6 factores
3. Calcula:
4. Calcula:
2
(-5)3 - (-11)2 + 33
5. Calcula:
Rpta.: _______
-25 + 43 - 61
Rpta.: _______
Rpta.: _______
4
3
(-3) + (-4) + (4)(3) Rpta.: _______
Formando líderes con una auténtica educación integral
6. Calcula:
26 - 3 4 + 4 2 Rpta.: _______
19
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2
1
Calcula:
1
(-6)2 + (-5)2 + (-4)3
a) -1 b) -3 d) -7
c) -5 e) -9
Calcula:
a) 3 d) 81
Resolución:
{25 + (-3)3 + 41}2
b) 9
Resolución:
Clave:
2
Calcula:
Clave:
2
(33 - 25)2 + (52 - 33)2
a) 25 b) 27 d) 31
c) 29 e) 33
Resolución:
Calcula:
{(-7)2 - (34 - 62)}2
Para el profesor: a) 2 b) 4 d) 16
c) 9 e) 25
Resolución:
Clave: 20
c) 27 e) 243
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Par
Álgebra - 1ro Sec. 3
Calcula:
(-5)3 + (-4)2 + (-3)1 + (-2)0
a) -111 b) -112 d) -114
3
c) -113 e) -115
Calcula:
a) -87 d) -90
Resolución:
-(-3)2 + (-4)3 - (-2)4 b) -88
Resolución:
Clave:
4
Calcula:
a) 4 d) 36
{(-4)2 + (-2)4 + (-3)3 + 50}2
c) -89 e) -91
b) 16
c) 25 e) 49
Resolución:
Clave:
4
Calcula:
(-3)4 + (-4)3 - (-5)0
a) 22 b) 23 5 d) 2
c) 24 e) 26
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 21
Álgebra - 1ro Sec. 5
Calcula: (3 + 2)2(1) + (4 + 1)(4-1) + (3 - 1)(3+1) a) 156 b) 160 d) 168
5
Calcula:
a) -1 d) 2
c) 166 e) 170
Resolución:
22 + 23 + 24 + (-3)3 b) 0
Resolución:
Clave:
6
Calcula:
a) 16 d) 128
c) 1 e) 3
6
(52 + 42 - 23)2 (23 + 32 - 42)10 b) 32
Clave:
c) 64 e) 256
Calcula:
25 + (-5)2 + 23 + (-3)2
a) 70 b) 72 d) 76
c) 74 e) 78
Resolución: Resolución:
Clave: 22
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 7
Calcula:
7
((-2)3)2 + ((-3)2)2 - 102
a) 41 b) 42 d) 44
Calcula:
(-9)2 + (-3)4 - 53 - 62
a) 1 b) 2 d) 4
c) 43 e) 45
Resolución:
Resolución:
Clave:
8
Calcula:
3
3
3
6 + (-5) + (-4) + (-3) a) -2 d) 1
c) 3 e) 5
b) -1
3
c) 0 e) 2
Resolución:
Clave:
8
Calcula:
22 - 3 2 + 4 2 + 5 2 - 6 2
a) 0 b) 1 d) 3
c) 2 e) 4
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor
Formando líderes con una auténtica educación integral
23
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
3
Potenciación II
Exponente Negativo
Ejemplos: 5 factores
n
() ( )
1 1 a-n = = n a a siendo: a ≠ 0
5
3.3.3.3.3 3 = 32 = 3.3.3 33 3 factores 7 factores
Ejemplos: 2
()
3-2 =
1 3
1 = 9
7
5-1 =
1 1 = 51 5
Teoremas
2.2.2.2.2.2.2 2 = 23 = 2.2.2.2 24 4 factores POTENCIA DE UN COCIENTE
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE am = am-n an
m
m
( ba) =( ba)( ba)( ba) ... ( ba)
Se tiene: “m” factores
“m” factores
m
a . a . a . ... a . a a = an a . a . a . ... a . a
Asociando convenientemente: “m” factores
“n” factores
“m” factores
m
a . a . a . ... a . a . a . ... a . a a = a . a . a . ... a . a an “n” factores Expresando los factores que quedan: am = a . a . a . ... a . a an “m - n” factores am = am-n an
m
( ) = ba .. ba .. ba .. ...... .. ab .. ab .. ab a b
Reduciendo factores comunes: (m > n) “m” factores
24
m
Demostración:
Demostración:
a potencia:
m
(ba) = ba
Expresando como potencia: m am a = m b b
()
l.q.q.d
Nota m
( ) = a1 1 a
m
l.q.q.d
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. Reemplazando:
Ejemplos: 5
-2
()
1 25 + 50 + 3 3 2 ↓ ↓ ↓ 32 + 1 + 22 9 + 1 + 4 14
32 2 2 = 5= 243 3 3
()
5
3 1 1 1 = 3= 4 64 4
()
Nota 3. Calcula: = an
-1
0
() () ()
-n
( 1a)
-2
1 4
+
1 3
1 2
+
Resolución: Aplicando exponente negativo: -2
(14)
Ejemplo: -2
() 1 5
↓ ↓ 2 + 31 4 16 + 3 20
= 52 = 25
-5
( ) =m 1 m
5
4. Calcula:
210 10-7 * = = 23 (propiedad) 27 2 39 * 36 = 39-6 = 33 (propiedad) Reemplazando: 210 39 + 27 36 ↓ ↓ 3 2 + 33 8 + 27 35
↓
*
0
( ) =3
212 310 48 + + 8 28 38 4
212-8 + 310-8 + 48-8
5. Reduce:
2
4
2
4
6
(23) (23) (32)
Resolución: 2+4
(23) (23) = (23)
-2
(13) + 5 -2
↓ 1 1
↓ ↓ ↓ 4 2 2 + 3 + 40 16 + 9 + 1 26
+
25 23
Resolución: 1 3
+ +
(12)
Aplicando división de potencias de igual base:
Resolución:
2. Calcula:
0
+
Resolución:
210 39 + 27 36
1. Calcula:
-1
(13)
+
6
=
(23)
Reemplazando: 6
6
(23) (32)
Aplicando potencia de un cociente: 2
→ exponente negativo
* 50 = 1→ exponente cero 25 * = 22 → propiedad 23
Formando líderes con una auténtica educación integral
26 . 36 36 26 Asociando:
26 . 36 = 20 . 30 = (1)(1) = 1 26 36 25
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1. Efectúa:
2. Efectúa:
4. Calcula:
315 213 + +1 312 210
-5
-4
Rpta.: _______
5. Calcula:
-3
() () () 1 2
-
1 4
+
1 6
-2
-5
(18) - (12) - 3
3
Rpta.: _______
((-1)3)2 + (22)2 - 32 - 50
Rpta.: _______
Rpta.: _______
3. Reduce:
6. Efectúa:
24 . 3 6 55 . 6 6 + 22 . 3 4 54 . 6 5
218 - 416 814 + 214 413 812
Rpta.: _______
Rpta.: _______
Para Reforzar 1. Efectúa:
16
14
4. Reduce:
12
2 3 4 + + 214 312 410
2. Efectúa:
Rpta: _______
-4
( ) ( ) +1 1 2
+
1 4
3. Efectúa:
26
0
Rpta: _______
16
6. Efectúa:
14
3 9 - 12 + 120 12 3 9
-
1 4
-3
3 2
5. Calcula:
-2
0
( ) ( ) + (2 ) 1 3
Rpta: _______
((32 - 23)2)4 Rpta: _______
(32)3 + (24)2 - (33)2 Rpta: _______
Rpta: _______
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 3
1
Efectúa: (22)(22) ... (22) - (25)2 + 50
1
Efectúa:
5 factores
a) -1 d) 2
b) 0
20 factores (-5)(-5) ... (-5) (-5)(-5) ... (-5) 18 factores
c) 1 e) 5
a) -25 d) -125
Resolución:
b) 25
c) 125 e) 250
Resolución:
Clave:
2
Calcula:
a) -2 d) 1
2
(22)3 - (23)2 + (22)3 (23)2
b) -1
Clave:
c) 0 e) 2
Resolución:
Reduce:
-2
-2
(16) +(15) + (-2 )
a) -1 b) -3 d) -7
2 3
c) -5 e) -9
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 27
Álgebra - 1ro Sec. 3
Efectúa:
3
(63)4 (26)4 + + 23 (62)6 (28)3
a) 6 d) 12
b) 8
Calcula:
-2
( ) - (4 )(3 )
1 515 + 5 512
2
2
a) 2 b) 4 d) 8
c) 10 e) 14
Resolución:
Resolución:
Clave:
4
Reduce:
Clave:
4
Efectúa:
1 (4-1 + + 2-1 + 1)3 4 a) 1 d) 64
b) 8
c) 27 e) 125
Resolución:
(32)2 - (23)2 - (41)2
a) 1 b) 2 d) 4
c) 3 e) 5
Resolución:
Clave: 28
c) 6 e) 10
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 5
Reduce:
-3
-3
-2 1/2
5
{(14) +(12) +(13) }
a) 3 b) 9 d) 4
c) 2 e) 5
Efectúa:
a) 1 d) 64
Resolución:
-1
-1
-23 3
{(16) +(15) - (13) }
b) 8
c) 27 e) 125
Resolución:
Clave:
6
Efectúa:
(23)(23) ... (23) - (22)(22) ... (22) + 23 6 factores 9 factores
a) 6 d) 9
b) 7
c) 8 e) 10
Resolución:
Clave:
6
Reduce:
a) 20 d) 64
1 -2 1 + 5 5
-2
-2 10
{( ) ( ) ( ) } -
b) 4
1 7
c) 8 e) 1024
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 29
Álgebra - 1ro Sec. 7
Reduce: 1 -4 1 -3 2 1 -2 1 + + 1 - 21+ + 3 2 3 4
-3
{( ) ( ) } { ( ) ( )}
a) 12 b) 13 d) 15
7
Calcula:
a) 22 d) 25
c) 14 e) 16
Resolución:
-2
-3
-3
b) 23
Reduce:
c) 24 e) 26
Resolución:
Clave:
8
0
(131 ) +(14) - (16) - (12)
-2
-2
-2
(121 ) +(151 ) - (191 )
a) 2 b) 4 d) 8
c) 6 e) 10
Clave:
8
Calcula:
a) 4 d) 49
-2
-2
-2 2
{(141 ) +(16) - (151 ) }
b) 25
c) 36 e) 64
Resolución:
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 30
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
Expresiones Algebraicas
Términos Algebraicos I. CONSTANTE Todo aquello que no cambia.
4
Importante En la naturaleza existen muchos ejemplos de variable. La presión atmosférica y el tiempo medidos
Ejemplos:
por el barómetro y el reloj de arena, mostrados en la figura,
El número de días en una semana. El número de departamentos del Perú. Las dimensiones de esta hoja. El número de dedos en tu mano. Generalmente las constantes se representan con números. Así, los días de la semana son 7 y las dimensiones de esta hoja son 210 x 297 mm.
II. VARIABLE Todo aquello que cambia o varía. Ejemplos: El número de personas en el Perú. La cantidad de estrellas en el universo. El tiempo. La temperatura. Generalmente las variables se representan con letras. Así, el número de personas en el Perú se puede representar mediante la letra “x”, indicando de esta manera que es una cantidad que cambia con el transcurso del tiempo.
Formando líderes con una auténtica educación integral
son algunos de éstos.
Existen constantes que suelen representarse con letras, una de éstas es el número π (pi del alfabeto griego). Aparece espontáneamente y en los lugares más inesperados. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos cualesquiera sean primos entre sí es 6/π2. El valor aproximado de π es 3,14; pero, en realidad, la expansión decimal es infinita y no sigue ninguna pauta conocida. En 1949 John von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC para calcular las primeras 2037 cifras decimales de π. En 1986 David M. Bailey extrajo 29 360 000 cifras en un Cray–2 de la Nasa. En 1989 el matemático Gregory Chudnovsky utilizó dos supercomputadoras para calcular más de mil millones de dígitos. Con 39 cifras basta para calcular la longitud de una circunferencia que abarque todo el universo con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno. ¿Por qué entonces calcular pi con tantas cifras? La respuesta es sencilla: una computadora, como toda máquina, debe ser probada en su potencia y contra posibles defectos antes de comenzar a funcionar.
31
Álgebra - 1ro Sec. Ten en cuenta Una constante también se considera término algebraico. Ejemplo:
Albert Einstein, físico y matemático, publicó en 1916 la Teoría general de la relatividad. En ella demostró que la velocidad de la luz (300000 km/s en el vacío) es la única constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.
-1 7 ; ; 2 son términos algebraicos 2
Generalmente las variables tienen números escritos en la parte superior derecha, éstos reciben el nombre de exponentes. Ejemplo:
4x 7
Exponente
Los exponentes de las variables deben ser siempre números racionales.
III. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de multiplicación. Ejemplos: Multipliquemos la constante 7 con la variable x, así: 7x Esta expresión matemática se llama Término Algebraico.
Ejemplo:
2x 3
Número Racional
5x –2
Número Racional
7x 4
3x
6x
3
Número Racional
-3 4
Número Racional
3
Número Irracional
Luego, la última expresión no es un término algebraico.
Un término algebraico puede tener más de una variable.
Ejemplo: 7x3y4
Partes de un Término Algebraico Un término posee generalmente 2 partes: Parte Constante. Parte Variable. Ejemplos:
5
x7y4
Parte Parte Constante Variable
32
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Para Reforzar 1. Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante.
2.
4. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) La cantidad de meses de un año. b) Los colores del semáforo. c) Días de la semana. d) Las vocales.
a) 2; 3 y 7 son constantes.
( )
b) J; W y T son variables.
( )
c) En el término algebraico: 2x3, la parte constante es 2 y la parte variable es x3. ( )
( ) 7 ( ) 5 ( ) 12 ( ) 3
d) 4x5 y 7x5 son términos semejantes. (
5. Indica en los siguientes casos, ¿cuáles son términos semejantes? Coloca sí o no.
Completa la siguiente tabla:
Término Parte Parte Algebraico Constante Variable
)
Exp.
5x-9y2 4x-1wz3
x2; 2x2 ;
_______ son términos semejantes.
3x3; –2x3 ;
_______ son términos semejantes.
7x5; 5x7 ;
_______ son términos semejantes.
3 8 -4
-25x y w
-14x-4w5z3
–3y5x2; 2x2y5; _______ son términos semejantes. 3xy; 7xy ;
3. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones: a) Dos veces el número de postulantes a la universidad. __________ b) Cinco veces el dinero que gasté. _________ c) Menos tres veces el número de colegios del Perú. __________ d) Menos ocho veces el área de un cuadrado. __________
Formando líderes con una auténtica educación integral
_______ son términos semejantes.
5x2y; –2xy2; _______ son términos semejantes.
6. Representa con ayuda de términos algebraicos las siguientes frases:
a) El dinero de una persona.
b) El quíntuple de la temperatura ambiental.
c) Siete veces la distancia de la Tierra al Sol.
d) Menos cuatro veces el tiempo transcurrido.
33
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1. Representa mediante términos algebraicos las siguientes proposiciones: a) La edad de una persona. _______ b) El doble del número de personas en el mundo. _______ c) El triple del número de pasajeros que suben a un autobús. _______ d) Menos el doble de la altura de un árbol. _______
2. Completa el siguiente cuadro: Término Parte Algebraico Constante
a) El número de días del mes de agosto. b) El número de estaciones del año. c) La cantidad de campanadas de un reloj al mediodía. d) La cantidad de sentidos en el ser humano. ( ) 12 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 31
5. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son falsas? Parte Variable
I. 3 es un término algebraico. II. 3x2yw es un término algebraico. III. x + 3 es un término algebraico.
3x x
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) I y II
3
5x
-2x2y x3yz2
3. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. Los números son constantes. II. Las variables se representan con números. III. 5 es una variable.
a) I y III b) Sólo III c) Sólo II d) Sólo I e) Ninguna
34
4. Relaciona las siguientes relaciones con su respectiva constante.
6. Utilizando términos algebraicos representa las siguientes proposiciones: a) Menos cuatro veces el área de un rectángulo. b) Menos el doble del área de un triángulo. c) Menos tres veces el área de un círculo. d) El cuádruple del área de un cuadrado.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 4
1
Si los términos algebraicos 8xa+2 y -3x10 tienen el mismo exponente para su variable. Calcula el valor de “a”. a) 6 d) 12
b) 8
1
c) 10 e) 15
Los términos: -36x4yb; -2xay3, tienen el mismo exponente en sus variables “x” e “y”, respectivamente. Encuentra el valor de “2b + 3a”. a) 20 d) 21
Resolución:
b) 22
Resolución:
Clave:
2
Los términos 16xy3b-1; 10xy11, presentan la misma parte literal, el valor de “b” es: a) 8 b) 6 d) 7
c) 18 e) 25
c) 4 e) 5
Resolución:
Clave:
2
Los términos 14x2b-3y, 7x9y, presentan la misma parte literal, el valor de “b” es: a) 4 d) 8
b) 6
c) 5 e) 9
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 35
Álgebra - 1ro Sec. 3
Dados 6xayb-5; -3x8ya+1, donde el exponente de “x” en el primer término excede en 2 unidades al exponente de “x” del segundo término y los exponentes de “y” en ambos términos son iguales. ¿Cuál será el valor de “ab”? a) 80 b) 100 d) 150
3
Dados 3xm+6yn-9; -3x9y4, donde el exponente de “y” del primer término excede en 3 unidades al exponente de “y” en el segundo término y los exponentes de “x” en ambos términos son iguales. ¿Cuál será el valor de “2m - n”? a) -2 b) -3 d) -5
c) 120 e) 160
Resolución:
Resolución:
Clave:
4
Los siguientes términos: T1 = ax5ym-1 ; T2 = mxb-2y7 ;T3 = bxm-3y2a+1 Tienen la misma parte literal, determina: coef(T1) + coef(T2) + coef(T3) a) 13 d) 21
c) -4 e) -6
b) 16
c) 18 e) 23
Clave:
4
Dados los términos: -3xa-1y5 ; 10x5-ay-b+7 si sus partes literales son idénticas, determina “ab”. a) 2 b) 3 d) 5
c) 4 e) 6
Resolución: Resolución:
Clave: 36
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 5 Señala, ¿cuál de las siguientes expresiones no es algebraica? I. x3 + 2x2 + 4w II. x + x2 + x3 + x4 + x5 + ... III. 3wx2 - 2 a) I y III b) Sólo III d) Todas
c) Sólo I e) Sólo II
5 ¿Cuántas de las afirmaciones no son expresiones algebraicas? I. x 5 + 5 x III. 5/x + x/5
II. x5 + 5x IV. xy + yx
a) Ninguna b) 1 d) 3
c) 2 e) Todas
Resolución:
Resolución:
Clave:
6 Reduce los siguientes términos de parte literal idéntica:
axa-1 + bx5 + 3xb+3
a) 5 b) 7 d) 11
c) 9 e) 13
Clave:
6 Si los siguientes términos tienen la misma parte literal: T1 = ax2a+1y9 ; T2 = bx9y2b+13 reduce: T1 + T2.
a) 2x9y6 d) -2x6y6
b) -2x9y9
c) 2x6y9 e) 2x9y9
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 37
Álgebra - 1ro Sec. 7
En el siguiente término algebraico su coeficiente es el doble de su exponente T = (c + 1)x(c-1) Determina el exponente del siguiente término algebraico. E = (2c + 1)x3c+1 a) 2 b) 4 d) 8
7
c) 6 e) 10
Si los siguientes términos tienen idénticas partes literales: T1 = abxa+1y3zc+2 ; T2 = bcx3yb+2z4 T3 = acx2b+1ya+1z2c Calcula: coef(T1) + coef(T3) - coef(T2) a) 2 b) 4 d) 8
Resolución:
Resolución:
Clave:
8
Si se cumple la siguiente identidad: mxm+1 + nya+1 ≡ 3xb+1 + 5yn+3 determina “mn - ba”. a) 4 b) 5 d) 7
c) 6 e) 10
c) 6 e) 8
Resolución:
Clave:
8
Si se cumple la siguiente identidad: ax5 + bx2a+1 ≡ cxb-1 determina el valor de “c”. a) 2 b) 4 d) 8
c) 6 e) 10
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 38
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
5
Terminos Semejantes
Son aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal, siendo sus coeficientes valores arbitrarios. Ejemplos: 4 5 x ; 2x5 5 son términos semejantes porque tienen la misma parte literal 3x5 ; -8x5 ;
1. Determina e l valor de “m” si ambos términos son semejantes: T1 = 4x2m-1; T2 = 1/3xm+6
Operaciones con Términos Semejantes ADICIÓN Se suman sus coeficientes y se conserva su parte literal. 3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2
10m3 - 4m3 = (10 - 4)m3 = 6m3
Resolución: Siendo términos semejantes ambas partes literales deben ser idénticas: 5xa-1y6 semejantes -10x7yb+2
De donde los exponentes de la variable correspondiente tiene que ser iguales, así tenemos:
exponente de “x” exponente de “y”
-
Observación
De donde sus exponentes tienen que ser iguales, así tenemos: 2m - 1 = m + 6 ⇒ m = 7
2. Determina “a” y “b” si ambos términos son semejantes: T1 = 5xa-1y6; T2 = -10x7yb+2
+
SUSTRACCIÓN Se restan sus coeficientes y se conserva su parte literal.
Resolución: Por ser términos semejantes su parte literal debe ser idéntica en ambos términos: 1 4x2m-1 semejantes xm+6 3
a-1=7 ⇒ b + 2 = 6 ⇒
Si en una reducción de términos semejantes los coeficientes no se pueden operar, se deben dejar expresados.
3. Determina “n” en la siguiente identidad: 6xn+1 + 3x4 ≡ 9x4
Ejemplo:
Resolución: Como se ha producido una reducción de términos, éstos tienen que haber sido semejantes, entonces tienen la misma parte literal, es decir: 6xn+1 semejantes 3x4
De donde sus exponentes tienen que ser iguales: n+1=4 ⇒ n=3
ax3 + 4x3 = (a + 4)x3 + mp3 - 10p3 = (m - 10)p3 -
a=8 b=4
Formando líderes con una auténtica educación integral
39
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Reduzca los siguientes términos semejantes:
a) 3x2 + 5x2 + 7x2 b) -9m5 - 11m5 - 13m5 c) 5x3p - 2px3 + 3x3p d) 2(-3x) + 3(4(-2x)) e) 3(-4m) - 5(-3m) f) -23xy + 32xy
4) Determina el valor de “m” si ambos términos son semejantes: T1 = 7x3m-1y5, T2 = -x8y5 Rpta: _____
Rpta: _____
2) Determina el valor de “m” en cada una de las siguientes identidades:
a) 3xm + 5x3 ≡ 8xm b) 4xm-1 + 7x5 ≡ 11x5 c) 5x2m-1 + 8xm+12 ≡ mx25
Rpta: _____
3) Reduzca los siguientes términos semejantes:
a) 3xm+2 + mx5 b) 7x2m+1 - mx7 c) 3mxm-2 + (m + 1)x3
5) Determina el valor de “m” si ambos términos son semejantes: T1 = 8x2m-1y4, T2 = 1/2x5ym+1 Rpta: _____
6) Determina el valor de “m” y “n” si ambos términos son semejantes: T1 = 5x2m+3y3n-1, T2 = x7y8 Rpta: _____
Rpta: _____
Para Reforzar 1) Reduzca los siguientes términos semejantes:
a) b) c) d)
4) Dados los términos semejantes: T1 = 3x5m-1y5, T2 = 2x14y7n-2 Determina “m + n”.
4x3 - 11x3 + 5x3 5m - 6a + 7m + 11a -5x5 + 8x5 - 2x5 6mx + 5xm
Rpta: _____ Rpta: _____
2) Determina el valor de “m” en cada una de las siguientes identidades:
a) 12x2m+1 + 7x11 ≡ 19xm+6 b) 4x3m-2 - 3xm+4 ≡ x2m+1
Rpta: _____
3) Reduzca los siguientes términos semejantes:
6) Determina el valor de “mn” si ambos términos son semejantes: T1 = 4x5m-2ym+2n, T2 = x3y5
a) 5x2m-1 + mxm+4 b) axb + bxa + 3x3 Rpta: _____
40
5) Determina el valor de “m” y “n” si ambos términos son semejantes: T1 = 8x4m+1y5, T2 = -3x9yn-2 Rpta: _____
Rpta: _____
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 5
1
Siendo: A = 2mxm+2 . y3m+n B = 3nx3n-2 . y4m-8 términos semejantes, calcula: A - B y señale su coeficiente. a) 28 d) 20
b) 18
1
Siendo: A(x, y) = mxm+3y2m+n B(x, y) = nx2n-1y3m+1 términos semejantes, da su suma. a) 6x5y7 b) 8x7y5 5 7 d) 5x y
c) 10 e) 22
c) 9x7y5 e) 10x5y7
Resolución: Resolución:
Clave:
2
Si: 4mx2n-1 + 3xp-1 = 15x3, halla “m + n + p”. a) 9 b) 4 d) 7
Clave:
2
c) 3 e) 1
Resolución:
Si: (b3 - 7)xn + x8 = 21x3m+2, halla “m . n + b”. a) 13 d) 20
b) 48
c) 19 e) N.A.
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 41
Álgebra - 1ro Sec. 3
Si: P(x, y) = 4zx3+nym Q(x, y) = 8x10y6-2m, halla z2 + m + n2 si: P + Q = 12x10ym a) 49 d) 52
b) 50
3
c) 51 e) 53
Dados los términos: R = (a3 - 1)xayb T = a2b3x3by2a-10 son semejantes. Halla a + b. a) 6 d) 9
Resolución:
b) 7
Resolución:
Clave:
4
Dado: 2 P = 4mxa+3yb -1 3 Q = 3abx5ya si 2P + Q es 26x2a+1 y2b+2, halla (a + b)m a) 4 b) 5 d) 7
c) 6 e) 8
Resolución:
Clave:
4
Dados los términos algebraicos: A = mxm+3y2m+n A = mx2n-1y12 halla “m + n”. a) 4 d) 10
b) 6
c) 8 e) 12
Resolución:
Clave: 42
c) 8 e) 10
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 5 Halla la suma de coeficientes de los términos semejantes: t1 = 3b2x2a-10yb-1 t2 = -2axa-4y a) -1 d) 4
b) 0
5
Sean los términos semejantes: t1 = 3ax2a-1yb-3 t2 = 4bxa+3y2b-9 calcular a + b a) 2 b) -2 d) 16
c) 8 e) 24
Resolución:
Resolución:
Clave:
6 Calcula
a2 + b2, dados los términos semejantes: t1 = 3ax2a-bya+3 t2 = a2xa+3y2b+3
a) 60 d) 13
c) 10 e) 14
b) 45
c) 74 e) 89
Resolución:
Clave:
6
Sabiendo que a, b y c son constantes y que los siguientes términos: a2(b - 2)xa+5yc+2zb+4 , c2(a - 2)x10-by10-az7-c son semejantes. Calcula la suma de los coeficientes. a) 27 b) 63 d) -67
c) -23 e) -75
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 43
Álgebra - 1ro Sec. 7
Si los términos: t1 = 2xa+1xa+2yb-4 t2 = 3xa+3ya+3xy sumados se pueden reducir a uno solo, calcula ab. a) 12 b) 48 d) 16
7
c) 44 e) 8
Se realiza las siguientes sumas de términos semejantes: axm + bxn = abcxp axn + cxp = 2abcxm p m n bx + cx = 3abcx calcula: E = a + b + c abc a) 3 d) 3/2
Resolución:
b) 1
c) 1/3 e) 2/3
Resolución:
Clave:
8
Sean los términos semejantes: t1 = 28ax5a-2y2b+3 t2 = 45b2x3a+4yb+7 calcula a - b. a) 6 d) 9
b) 7
Clave:
8
c) 8 e) 9
Sean los términos semejantes: t1 = axm ; t2 = bxn ; t3 = cxp si t1 + t2 = abxp t1 + t3 = acxn t2 + t3 = bcx calcula: ab + ac + bc abc a) 1 d) 3/2
Resolución:
b) 2
c) 3 e) 2/3
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 44
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
6
Multiplicación Algebraica
Conocimientos Previos
b) Potenciación
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE BASES IGUALES
(+)PAR = (+) ( - )PAR = (+) (+)IMPAR = (+) ( - )IMPAR = ( - )
am . an = am+n * 33 . 32 = 33+2 = 35 7
6
* 5 . 5 = 5
7+6
=5
13
POTENCIA DE UN PRODUCTO (ab)m = am . bn * (2x)4 = 24 x4 = 16x4
* * * *
(+4)2 = (-3)4 = (+5)3 = (-6)3 =
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
* (3m)5 = 35 m5 = 243m5
Para multiplicar monomios, primero se multiplica los coeficientes y luego se efectúan sus partes literales, así tenemos: (3x3y4)(-5x6y2)
POTENCIA DE POTENCIA
Aplicando la propiedad conmutativa: (3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)
(am)n = amn
-15
* (34)5 = 34(5) = 320 * (x3)6 = x3(6) = x18 LEY DE SIGNOS a) Multiplicación (+) (+) = (+) ( - ) ( - ) = (+) (+) ( - ) = ( - ) ( - ) (+) = ( - ) * * * *
(+5)(+6) (-7)(-4) (+4)(-3) (-5)(+9)
= = = =
+30 +28 -12 -45
+16 +81 +125 -216
x3+6
y4+2
De donde: -15x9y6 MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva y luego se procede efectuando sus coeficientes y partes literales, así tenemos: -5x4 (3x5 - 4x7) Aplicando la propiedad distributiva: (-5x4)(3x5) + (-5x4)(-4x7) De donde:
Formando líderes con una auténtica educación integral
-15x9 + 20x11 -5x4(3x5 - 4x7) = -15x9 + 20x11 45
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOs Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva, así tenemos:
3. Determina la cantidad de términos del producto, al multiplicar: (3x5 + 6x4)(2x4 - 4x3) Resolución:
(5x4 - 3x5)(-2x6 + 8x3)
Aplicando la propiedad distributiva: (3x5)(2x4 - 4x3) + (6x4)(2x4 - 4x3) 6x9 - 12x8 + 12x8 - 24x7
Aplicando la propiedad distributiva: (5x4)(-2x6 + 8x3) + (-3x5)(-2x6 + 8x3)
Reduciendo términos semejantes, tenemos: 6x9 - 24x7 \ # de términos = 2
-10x10 + 40x7 + 6x11 - 24x8
4. Determina el coeficiente del término de mayor exponente, al multiplicar: (5m2 - 3m)(-2m3 + 7m4)
1. Determina la suma de coeficientes del producto, al multiplicar: (3x3 - 2x2)(-5x + 4x4)
Resolución: Aplicando la propiedad distributiva: 5m2(-2m3 + 7m4) + (-3m)(-2m3 + 7m4) -10m5 + 35m6 + 6m4 - 21m5
Resolución: Aplicando la propiedad distributiva: (3x3)(-5x + 4x4) + (-2x2)(-5x + 4x4) -15x4 + 12x7 + 10x3 - 8x6
Reduciendo términos tenemos: 35m6 - 31m5 + 6m4 \ Coef. del término de mayor exponente es 35.
\ Suma de coeficientes del producto: -15 + 12 + 10 - 8 = -1
2. Determina el mayor coeficiente del producto, al multiplicar: (5x3 - 2x5)(-3x2 - 4x)
Resolución:
Aplicando la propiedad distributiva: (5x3)(-3x2 - 4x) + (-2x5)(-3x2 - 4x) -15x5 - 20x4 + 6x7 + 8x6 \ Mayor coeficiente: 8
Fue tan famoso el libro Kitab al-jabr wa almuqabalah, la obra más importante del matemático árabe Al'Khwarizmi, que parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: el álgebra. Al-jabr quiere decir así como “restitución”, que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor de la incógnita. Si buscas esta palabra en el diccionario, encontrarás que junto a su significado matemático aparece otro desusado, el de “arte de restituir a su lugar los huesos dislocados”. Por eso algebrista era tanto el matemático dedicado al álgebra como el cirujano que se dedicaba a colocar los huesos en su sitio. Una tercera acepción de algebrista es la de “alcahuete”. Algo tendrá que ver.
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Multiplica: 5 3
4 3
4) Multiplica: -2m2n(-3mn + 4m3n2) y determina el coeficiente de mayor valor del producto. Rpta: _____
4 2
(-2x y )(-3y z )(-5x z ) Rpta: _____
2) Efectúa: 3 4
5 3
2 5
5) Multiplica: -4y4(-7y3 + 3x3) y determina el coeficiente del término que contiene a “x”. Rpta: _____
4 2
(-2x y )(-3x y )(-4x y )(-x y ) Rpta: _____
6) Multiplica:
3) Efectúa: 4 3
2 6
8 5
(-5x y )(4x y )(2x y ) Rpta: _____
(3m2 - 5m + 1)(-m + 4) y determina el coeficiente del término de exponente uno al obtener su producto. Rpta: _____
Para Reforzar 1) Multiplica: 5 3
3 4
4) Multiplica: 14xy2(-2xy3 + 2x4y3) y calcula la suma de coeficientes del producto.
6 5
(-4m n )(3m p )(-2n p ) Rpta: _____
Rpta: _____
2) Efectúa: 4 2
7 5
5) Multiplica: -3x4(-x3 + y3 + z3) y determina la suma de coeficientes del producto.
8 6
(-3x y )(-5x y )(6x y ) Rpta: _____
6) Multiplica:
3) Efectúa:
Rpta: _____
(-8x5z5)(-4x3y5)(2x2z4y2) Rpta: _____
Formando líderes con una auténtica educación integral
(2m - m2 + 3)(2 - m2) y determina la cantidad de términos de su producto. Rpta: _____
47
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 6
1
Si: (2mxayb)2 (2x3ayb-1) ≡ 32x5y14, halla m + a + b; m > 0 a) 4 b) 8 d) 16
1
c) 12 e) N. A.
Si: (7x3y2) (2xy)3 ≡ (b3 - 8)xayc, halla (a - b)c. a) 32 b) 0 d) 105
Resolución:
Resolución:
Clave:
2
Al efectuar: (x+1)(x2–x+1) a se obtiene x +1 Halla: 2a+1 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Resolución:
Clave:
2
Al efectuar: (x–1)(x2+x+1)
Para elx –1profesor: Se obtiene
Par
a
halla: 3a–1 a) 8 d) 11
b) 9
c) 10 e) 12
Resolución:
Clave: 48
c) 1 e) 64
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 3
Sabiendo que: m = xa; n = xb ∧ x2 = (mbna)c, halla (abc). a) 1 d) -2
b) 2
3
Si: P = 4xay2b ∧ Q = 5xbya, entonces “P . Q” es: a) 20xay2b b) 20xbya c) xayb d) 20xa+by2(a+b) e) 20xa+bya+2b
c) -1 e) 0
Resolución:
Resolución:
Clave:
4
Halla “n” si:
4
(xn-4)3 . (x4n)2 = x4 (xn-2)4 . x6n
a) 2 b) 4 d) 8
Clave: Calcula “2m + n” si:
c) 6 e) 10
(x3+m) (y7-n) = x5y2 (x3-n) (y6+n)
a) 5 d) 11
b) 7
c) 9 e) 21/2
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 49
Álgebra - 1ro Sec. 5
Multiplica: (3x2 - 2)(6x + 7) e identifica que término no se encuentra en su producto. a) 18x3 b) 21x2 c) 12x d) -12x e) -14
5
Multiplica: (5x2 + x)(3x3 - 1) e identifica un término del producto. a) -15x5 b) 3x4 c) 5x2 d) x e) 5x5 Resolución:
Resolución:
Clave:
6
Multiplica: (5x4 - 3x)(6x - 4x3) y determina la suma de coeficientes de los términos negativos. a) 4 b) -4 c) 12 d) 42 e) 32
6
Multiplica: (-3x3 + 5x)(4x - 3x4) y determina la suma de coeficientes de los términos de exponente par. a) 8 b) -8 c) 2 d) -2 e) -27
Resolución:
Resolución:
Clave: 50
Clave:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 7
Multiplica: (9x - 2x2)(-5x + 6x3) y señala el coeficiente de mayor valor. a) 54 b) 64 c) 10 d) 17 e) 8
7
Multiplica: (3mn - 2n)(-5m - 3mn) y determina el coeficiente de mayor valor en el producto. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Resolución: Resolución:
Clave:
8
Multiplica: (2x + 1)(x + 2) - 2(x + 1)(x + 1) a) 5x b) 4x c) 3x d) 2x e) x
Clave:
8
Multiplica: (3x + 1)(x + 3) - (3x + 2)(x + 2) a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 2x d) 3x + 2 e) 3x - 2 Resolución:
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor
Formando líderes con una auténtica educación integral
51
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
7
Productos Notables I
Son aquellos productos que se obtiene en forma directa sin la necesidad de aplicar la propiedad distributiva.
Por multiplicación distributiva: (a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
BINOMIO AL CUADRADO
Eliminando paréntesis: (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Reduciendo términos semejantes: (a + b)(a - b) = a2 - b2
Demostración: A) (a + b)2 = (a + b)(a + b)
Por multiplicación distributiva: (a + b)2 = a(a + b) + b(a + b)
Eliminando paréntesis: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
Reduciendo términos semejantes: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1. Efectúa: (x + 5)2 Resolución: Aplicando la identidad: (x + 5)2 = x2 + 2x(5) + (5)2 (x + 5)2 = x2 + 10x + 25 2. Reduce: E = (x + 3)2 - x(x + 6)
B) (a - b)2 = (a - b)(a - b)
Por multiplicación distributiva: (a - b)2 = a(a - b) - b(a - b)
Eliminando paréntesis: (a - b)2 = a2 - ab - ab + b2
Reduciendo términos semejantes: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Resolución: Aplicando la identidad y multiplicación de expresiones, tenemos: E = x2 + 2(3)x + (3)2 - x2 - 6x Reduciendo términos semejantes \ E= 9 3. Efectúa:
MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOs SUMA POR DIFERENCIA (a + b)(a - b) = a2 - b2 Demostración: 52
(a + b)(a - b) = (a + b)(a - b)
M = (x - 5)2 - x(x - 5) + 5x
Resolución: Aplicando la identidad y multiplicando las expresiones, tenemos: M = x2 - 2(x)(5) + (5)2 - x2 + 5x + 5x M = x2 - 10x + 25 - x2 + 5x + 5x Reduciendo términos semejantes \ M = 25
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Efectúa: * * * * * *
(x + a)2 (m + 1)2 (2x + 1)2 (y - a)2 (n - 1)2 (3x - 1)2
4) Efectúa: (x + 1)(x - 1) - (x + 3)(x - 3) Rpta: _____
Rpta: _____
5) Reduce:
(x + 1)2 - (x - 1)2 + 3x
2) Efectúa: * * * * * *
Rpta: _____
(2x + 1)(2x - 1) (3m - 2)(3m + 2) (2x + 5)(2x - 5) (x2 + 2)(x2 - 2) (m3 - 1)(m3 + 1) (p5 + 2)(p5 - 2)
6) Efectúa: Rpta: _____
(x + 5)2 - (x + 3)2 - 4x Rpta: _____
3) Efectúa: (x + 2)2 - 4(x + 1)
Rpta: _____
Para Reforzar 1) Efectúa: * (a + b)2 * (x + y)2 * (x + 1)2 * (a - b)2 * (x - y)2 * (x - 2)2
4) Efectúa: (2x + 3)(2x - 3) - (2x + 5)(2x - 5) Rpta: _____
Rpta: _____ 5) Efectúa:
2) Efectúa: * * * * * *
(a + b)(a - b) (x + y)(x - y) (x + 1)(x - 1) (a + 2)(a - 2) (m - 3)(m + 3) (b - 5)(b + 5)
(x + 4)2 - 8(x + 1) - x2 Rpta: _____
6) Efectúa: Rpta: _____
(x - 3)2 - (x - 2)2 + 2x Rpta: _____
3) Efectúa:
(2x + 1)2 - 4(x2 + x + 1) Rpta: _____
Formando líderes con una auténtica educación integral
53
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 7
1
Efectúa: a) -2 d) 1
(x + 6)2 - (x - 4)2 - 20(x + 1) b) -1
1
c) 0 e) 2
Efectúa: (x + 3)2 - (x - 2)2 - 5(x + 1) a) x b) 2x d) 4x Resolución:
Resolución:
Clave:
2
Efectúa: (2x - 1)(2x + 1) - 4(x + 3)(x - 3) a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 Resolución:
Clave:
2
Efectúa: a) 1 d) 16
(x + 4)(x - 4) - (x + 5)(x - 5)
b) 4 Para el profesor:
c) 9 e) 25
Resolución:
Clave: 54
c) 3x e) 5x
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Par
Álgebra - 1ro Sec. 3
Efectúa: (2x + 3)(2x - 3) - (x + 3)(x - 3) a) x2 b) 2x2 c) 3x2 2 d) 4x e) 5x2
3
Resolución:
Efectúa: (4x + 1)(4x - 1) - 16(x + 1)(x - 1) a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 Resolución:
Clave:
4
Si: a + b = 3 y ab = 2, calcula a2 + b2. a) 3 b) 4 d) 6
Clave:
4 c) 5 e) 7
Resolución:
Si a+b= 5 y ab = 8, calcula: M=a2 + b2 a) 6 b) 7 d) 9
c) 8 e) 10
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 55
Álgebra - 1ro Sec. 5
Si a2 + b2 = 13 y a + b = 5, calcula ab. a) 7 b) 6 d) 4
5 c) 5 e) 3
Resolución:
Si a2 + b2 = 10 y a - b = 4, calcula ab. a) -1 b) -2 d) -4 Resolución:
Clave:
6
Si a – b = 7 y ab = 3, calcula: a2 + b2 a) 52 b) 53 d) 55
Clave:
6
c) 54 e) 56
Resolución:
Si a - b = 5 y ab = 12, calcula: a2 + b2 a) 45 d) 48
b) 46
c) 47 e) 49
Resolución:
Clave: 56
c) -3 e) -5
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 7
Si a + b = 7 y a2 + b2 = 17, calcula: N = ab a) 2 b) 3 d) 5
7
c) 4 e) 6
Si a2 + b2 = 22 y a - b = 2, calcula: P = ab a) 1 b) 2 d) 4
Resolución:
Resolución:
Clave:
8
Efectúa:
4
(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)+1
a) x b) x2 2 d) 2x
c) 3 e) 5
c) 2x e) 4x
Resolución:
Clave:
8
Efectúa:
8
(b-1)(b2+1)(b4+1)(b+1)+1
a) b b) b2 d) b+1
c) b2-1 e) b-1
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor
Formando líderes con una auténtica educación integral
57
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
Productos Notables II
8
VALOR NUMÉRICO
IDENTIDAD DE STEVIN
Es el número resultante de reemplazar las letras o expresiones algebraicas por cantidades específicas.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo:
Demostración: * Partiremos de la igualdad: (x + a)(x + b) = (x + a)(x + b) * Aplicando multiplicación en el segundo miembro: (x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)
Si a + b = 3 y ab = 2, calcula M = a2 + b2. Sabemos que: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab Reemplazando: (3)2 = M + 2(2) M=5
* Eliminando los paréntesis en el segundo miembro: (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab * Asociando convenientemente: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Ejemplos: * (x + 2)(x + 3) = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) = x2 + 5x + 6 * (x + 5)(x - 1) = x2 + (5 - 1)x + (5)(-1) = x2 + 4x - 5 * (x - 8)(x + 3) = x2 + (-8 + 3)x + (-8)(3) = x2 - 5x - 24
EQUIVALENCIA ALGEBRAICA Son aquellas expresiones que se pueden reducir bajo ciertas condiciones indicadas. Ejemplo: Si a - b = n y ab = n2, calcula Q = a2 + b2. Sabemos que: (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab Reemplazando: (n)2 = Q - 2(n2) \ Q = 3n2
* (x - 3)(x - 4) = x2 + (-3 - 4)x + (-3)(-4) = x2 - 7x + 12
58
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 5. Si x + y = 6 xy = -2, calcula N = x2 + y2.
1. Reduce:
Resolución:
A = (x + 4)2 - (x + 3)(x + 5)
Sabemos que: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy Reemplazando: (6)2 = N + 2(-2) \ N = 40
Resolución: Aplicando identidades: A = x2 + 8x + 16 - (x2 + 8x + 15) Eliminando el paréntesis: A = x2 + 8x + 16 - x2 - 8x - 15
6. Si x2 + y2 = 13 x - y = 5, calcula P = xy. Resolución:
Reduciendo términos, tenemos: \ A=1 2. Reduce:
Sabemos que: Reemplazando:
(x + 3)(x + 2) - (x + 1)(x + 4)
Resolución: Aplicando propiedad: x2 + (3 + 2)x + (3)(2) - [x2 +
(1 + 4)x + (1)(4)]
Resolución: Sabemos que:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy Reemplazando: R2 = 25 + 2(12) 2 R = 49 Por condición (x > y > 0) \ R=7
Reduciendo términos, tenemos: \ 2
(x + 3)(x + 4) - x(x + 7)
Resolución: Aplicando propiedad: x2 + (3 + 4)x + (3)(4) - x2 - 7x
8. Si x - y = 5 xy = 12, calcula M = x(x - y) + y(x + y) Resolución: Reduciendo la expresión “M”: M = x2 - xy + xy + y2 M = x2 + y2 Sabemos que: (x - y)2 = x2 + y2 - 2xy Reemplazando: 52 = M - 2(12)
Eliminando paréntesis: x2 + 7x + 12 - x2 - 7x Reduciendo términos, tenemos: \ 12 4. Reduce:
(5)2 = 13 - 2P \ P = -6
7. Si x2 + y2 = 52 xy = 4(3) calcula R = x + y (x > y > 0)
Eliminando signos de colección: x2 + 5x + 6 - x2 - 5x - 4
3. Reduce:
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy
\ M = 49 2
(x + 4) - (x + 9)(x - 1)
Resolución: Aplicando identidad: x2 + 2(x)(4) + (4)2 - [x2 + (9 - 1)x + (9)(-1)]
9. Si x + y = m(1 + 1/m) xy = m2/2 + m, determina E = x2 + y2.
Eliminando signos de colección: x2 + 8x + 16 - x2 - 8x + 9 Reduciendo términos, tenemos: \ 25
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolución: Sabemos que:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy {m(1 + 1/m)} = E + 2(m2/2 + m) (m + 1)2 = E + m2 + 2m 2 m + 2m + 1 = E + m2 + 2m \ E=1 2
59
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Efectúa: (x + 5)(x - 2) - x2 - 3(x - 4)
4) Si x + y = 4 y xy = 3, calcula x2 + y2.
Rpta: _____
2) Efectúa: (x + 7)(x - 1) - (x + 8)(x - 2) Rpta: _____
3) Efectúa:
4(x + 1)2 - (2x + 1)(2x + 3) Rpta: _____
5) Si x - y = 4 xy = 2, calcula x2 + y2.
Rpta: _____
Rpta: _____
6) Si x2 + 6x = 1, calcula: (x + 2)(x + 4) + (x + 8)(x - 2) Rpta: _____
Para Reforzar 1) Efectúa: (x + 7)(x + 3) - 5(2x + 4) - x2
4) Si m + n = 3 y m . n = 4, calcula m2 + n2.
Rpta: _____
2) Efectúa: (x + 12)(x - 5) - (x + 10)(x - 3) Rpta: _____
3) Reduce:
Rpta: _____
6) Si x2 + 2x + 4 = 0, calcula: (x + 3)(x - 1) + (x + 1)2
2
4(x + 1) - (2x + 5)(2x - 1) Rpta: _____
60
5) Si x - y = 5 xy = 10, 2 2 calcula x + y 9
Rpta: _____
Rpta: _____
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 8
1
Efectúa: (x - 7)(x + 2) - (x - 9)(x + 4) a) 20 d) 26
b) 22
1
Reduce: (x - 5)(x - 3) - (x + 2)(x - 10) a) 35 d) 20
c) 24 e) 28
Clave: Reduce:
(x + 9)(x - 5) - (x + 2)2 + 49
a) -2 d) 1
c) 25 e) 15
Resolución:
Resolución:
2
b) 30
b) -1
c) 0 e) 2
Resolución:
Clave:
2
Efectúa: (2x + 5)(2x - 1) - 4(x + 1)2 + 10 a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 61
Álgebra - 1ro Sec. 3
Reduce: (x + 16)(x - 6) - (x + 5)2 + 112 a) -2 d) 1
b) -1
3
c) 0 e) 2
Resolución:
Efectúa: (2x + 7)(2x - 3) - 4(x + 1)2 + 27 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución:
Clave:
4
Reduce: (m2 + 4)(m + 1)(m - 1) - (m2 + 2)(m2 - 2) a) 3m b) 3m2 c) 2m 2 d) 2m e) m4 Resolución:
4
Reduce:
(a2 + 3)2 - (a2 + 7)(a2 - 1)
a) 8 d) 16
b) 10
c) 12 e) 24
Resolución:
Clave: 62
Clave:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 5 Si a + b = 3 y ab = 2, calcula Q = aab + bab. a) 1 b) 2 d) 4
5 c) 3 e) 5
Resolución:
Si a + b = 2 y ab = 2, calcula P = aa+b + bab a) -2 b) -1 d) 1 Resolución:
Clave:
6 Si a + b = 3 y ab = 4,
calcula F = a(a + 1) + b(b + 1). a) 1 b) 2 d) 4
c) 0 e) 2
Clave:
6 c) 3 e) 5
Resolución:
Si a - b = 5 y ab = 8, calcula N = a2 + b2. a) 40 b) 41 d) 43
c) 42 e) 44
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 63
Álgebra - 1ro Sec. 7
Si a2 + b2 = 27 y ab = 23 calcula M = a + b (a > b > 0) a) 10 b) 11 d) 13
7 c) 12 e) 14
Resolución:
Si a2 + b2 = 4(5) y ab = 8 calcula: D = a + b a) 4 b) 5 d) 7 Resolución:
Clave:
8
Si x = m + 1 y y = m - 1, determina R = x2 - y2. a) m d) -2m
c) 6 e) 8
b) 2m
Clave:
8 c) 4m e) -4m
Si: x=n+1 2
y
y=n-1 , 2
determina: E = (x + y)2 + (x - y)2 - 1 a) n2 b) 2n d) -n2
Resolución:
c) 4n e) 0
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 64
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
9
Factorización I
Concepto
Ejemplo:
Se denomina así, al proceso inverso a la multiplicación algebraica. Consiste en expresar un polinomio en la multiplicación indicada de factores primos.
E = 2m x + 3n x - 4p x De donde:
Multiplicación
E = x(2m + 3n - 4p)
(x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6
Ejemplo:
Factorización
E = 2x3 + 3x2 - 5x4
x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
De donde:
Factor Primo Es aquel polinomio de grado no nulo, que no se puede expresar como la multiplicación de polinomios.
E = 6 m n + 8 m p - 10 m q “2” es divisor común de los coeficientes De donde: E = 2m(3n + 4p - 5q)
* (x + 3) * (x + 5) * (x - 1)
Ejemplo:
Factor o Divisor
E = 3x2(x + 2) - 5y(x + 2)
Es aquel polinomio de grado no nulo, que divide exactamente a otro polinomio.
Expresión factorizada
Factores o Divisores
E = x2(2x + 3 - 5x2) letra común
E(x) = (x + 3)4(x + 5)6(x - 1)8
Factores Primos
letra común de menor exponente
Ejemplo:
Expresión factorizada
letra común
E = (x + 2)(3x2 - 5y)
E(x) = (x + 1)(x - 1) * (x + 1) * (x - 1) * (x + 1)(x - 1)
factor común
2. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Métodos para Factorizar Polinomios 1. FACTOR COMÚN Se aplica cuando se identifica que existen variables (o expresiones) comunes en cada término.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Se aplica cuando existe una característica común en una cantidad de términos y por grupos. Ejemplo: letra común
E = ax + ay + bx + by letra común
65
Álgebra - 1ro Sec. Agrupamos convenientemente: E = (ax + ay) + (bx + by) E = a(x + y) + b(x + y)
Factor cuadrático: x2 + 1 Suma de coeficientes : 1 + 1 = 2 4. Factoriza: M = ax + ay + az + bx + by + bz
Extraemos el factor común: E = (x + y)(a + b) Ejemplo:
Resolución:
letra común
P = x2 + xz - xy - yz
Agrupando convenientemente: M = ax + ay + az + bx + by + bz M = a(x + y + x) + b(x + y + z) M = (x + y + z)(a + b)
letra común
Agrupamos convenientemente: P = (x2 - xy) + (xz - yz) P = x(x - y) + z(x - y)
5. Factoriza:
Extraemos el factor común: P = (x - y)(x + z)
Resolución:
1. Luego de factorizar: P(x, y) = 15x3y6 - 20x5y5 + 25x7y3, indica el número de factores primos.
P(x, y) = 5x3y3
(
factor común
5 5
7 3
15x y 20x y 25x y + 5x3y3 5x3y3 5x3y3
Agrupando convenientemente: 6xy - 15x + 4y - 10 3x(2y - 5) + 2(2y - 5) (2y - 5)(3x + 2) 6. Factoriza:
Resolución: 3 6
6xy - 10 + 4y - 15x
(
12mnp - 20mp + 18np - 30p
Resolución:
P(x, y) = 5x3y3(3y3 - 4x2y2 + 5x4)
Reservamos el factor común: 2p[6mn - 10m + 9n - 15]
Factores primos
Agrupamos en el corchete: 2p[(6mn - 10m) + (9n - 15)] 2p[2m(3n - 5) + 3(3n - 5)]
x y 3y3 - 4x2y2 + 5x4
# de factores primos = 3
Reservamos el factor común del polinomio: 2p[(3n - 5)(2m + 3)]
2. Factoriza e indica el número de factores primos: P(x, y) = x2(x + 1) + 2y2(x + 1) + xy(x + 1) Resolución: P(x, y) = (x + 1)[x2 + 2y2 + xy] Factores primos
x+1 x2 + 2y2 + xy
El suizo universal
3. Luego de factorizar: P(x) = x3 + x2 + x + 1, indica la suma de coeficientes del factor cuadrático. Resolución: Agrupando convenientemente:
P(x) = x3 + x2 + x + 1 P(x) = x2(x + 1) + (x + 1)
66
Los cuadrados latinos son una invención del suizo Euler. Son creaciones ligeramente más sencillas que los cuadrados mágicos, ya que en ellos, si bien también se parte de una configuración cuadrada dividida en casillas, sólo se exige que en cada fila y en cada columna exista un elemento tomando de entre dos categorías sin que se repita ninguna. El primer problema propuesto al respecto proviene de Euler, quien propuso en 1782 el problema de los oficiales.
P(x) = (x + 1)[x2 + 1]
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Factoriza:
4) Factoriza:
A = x 2m + x 2n + x 2q
G = x2yz + xy2z + xyz2
Rpta: ________
2) Factoriza:
C = 3x2 + 6xy + 9xz
Rpta: ________
5) Factoriza: C = x(z + 1) + y(z + 1) + (z + 1)
Rpta: ________
3) Factoriza:
D = x3 - 3x2 + 4x5
Rpta: ________
6) Factoriza: x2(x + y) + z2(x + y) + y2(x + y)
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar 1) Factoriza:
4) Factoriza:
B = x 3a + x 3b + x 3c Rpta: ________
2) Factoriza:
A = 3amc + 6anc - 3ac
Rpta: ________
5) Factoriza: x(y + z) + y(y + z) + z(y + z)
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Factoriza:
6) Factoriza: F = x4 - 2x3 + 3x4
H = x2y2 + xy
Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
x(x2 + y) + y2(x2 + y)
Rpta: ________
67
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 9
1
Factoriza:
a) x b) x2 + z2 2 2 d) x + z + 1
Resolución:
1
x3z + x2z2 + xz3 c) z2 + x e) x2 + z
Factoriza:
a) xy d) 2x + z
Resolución:
2x2y + 2xy2 + xyz b) y
c) x + y e) 2y + z
Clave: 2
Factoriza:
a) a - b b) a+ x d) x - y
Resolución:
2
ax - ay + bx - by c) b + y e) x - a
Clave: 68
Clave: Factoriza: mn + mb + an + ab
Para el profesor: a) m + n b) a + b d) b + m
c) m + a e) a + n
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Par
Álgebra - 1ro Sec. 3
Factoriza:
a) a + 1 b) b + 1 d) c - 1
Resolución:
ac - a - bc + b c) a + b e) c + 1
3
Factoriza:
Resolución:
ac - ad + bd - bc a) a - b b) a - c d) b - d
Clave: 4
Factoriza:
a) a + b b) a - c d) b - c
Resolución:
a2 - ab + ac - bc c) b + c e) a - b
c) b + d e) a + c
Clave: 4
Factoriza:
a) m - 2n d) 2m + 3n
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
2am - 3an + 2mb - 3bn b) 2m - 3n
c) 2m - n e) m - n
Clave: 69
Álgebra - 1ro Sec. 5
Factoriza:
a) n + 1 d) 2n + 1
Resolución:
2m2n + m2 + 6mn + 3m b) n - 1
c) 2n - 1 e) 2n + m
5
Factoriza:
4mp + 2mq + 2np + nq a) 2m + p e) n + p
Resolución:
d) m + q
b) 2q + p c) 2m + n
Clave: 6
Factoriza:
a) 5x + 2 b) 3y + 2 d) 6y + 8
Resolución:
15xy + 20x + 6y + 8 c) 5x + 4 e) 5x + y
Clave: 70
Clave: 6
Factoriza:
a) t3 + 3 b) t2 + 2 3 d) t + 1
Resolución:
2t5 + 5t3 + 6t2 + 15 c) 2t2 + 5 e) t2 + t3
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 7
Factoriza:
a) n b) m d) m - 1
Resolución:
m2n - m2 + 3mn - 3m c) m - 3 e) n + 1
7
Factoriza:
a) x + 3 b) x + 2 d) y
Resolución:
x3y - 2x2y + 3xy - 6y
Clave: 8
Factoriza:
a) m3 b) m3 + 1 2 d) p
Resolución:
m3p2 + 2m3 + p2 + 2 c) m3 + 2 e) p2 + 1
c) y + 2 e) x
Clave: 8
Factoriza:
a) m2 + a b) m2 + n2 d) a + b
Resolución:
m2n2 + an2 + bm2 + ab
Clave:
c) m2 + b e) n2 + a
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor
Formando líderes con una auténtica educación integral
71
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
10
Factorización II
Métodos para Factorizar Polinomios (continuación)
ASPA SIMPLE Se aplica para trinomios de la forma:
IDENTIDADES
Ax2 + Bx + C
Se aplica cuando los polinomios a factorizar presentan una de las siguientes formas: a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Ejemplo: E = x2 - 16 Identifiquemos la forma: E = x2 - 42 De donde: E = (x + 4)(x - 4) Ejemplo: E = 4x2 - 25 Identifiquemos la forma: E = (2x)2 - 52 E = (2x + 5)(2x - 5)
* Se identifica la forma general. * Se descomponen el término cuadrático y el término independiente en dos divisores. * Se multiplican los divisores obtenidos en aspa y los productos obtenidos en suma deben comprobar el tercer término. * Se eligen los factores en forma horizontal. Ejemplo: M = x2 + 11x + 30 x 6 → 6x + x 5 → 5x 11x “comprueba” en factores: M = (x + 6)(x + 5) Ejemplo:
2x -1 → -x + x
Ejemplo: E = 4m2 - 9n2 Identifiquemos la forma: E = (2m)2 - (3n)2
72
Procedimiento:
M = 2x2 - 5x + 2
De donde:
De donde:
E = (2m + 3n)(2m - 3n)
-2 → -4x -5x “comprueba”
en factores: M = (2x - 1)(x - 2)
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Factoriza:
4) Factoriza:
x2 - 36
27m2 - 3
Rpta: ________
2) Factoriza:
Rpta: ________
5) Factoriza:
4m2 - 9
(x + 3y)2 - 4y2
Rpta: ________
3) Factoriza:
Rpta: ________
6) Factoriza:
8x2 - 18y2
x2 + 8x + 16
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar 1) Factoriza:
4) Factoriza:
x2 - 49
98m2 - 18a2
Rpta: ________
2) Factoriza:
Rpta: ________
5) Factoriza:
4m2 - 25n2
(x + m)2 - y2
Rpta: ________
3) Factoriza:
Rpta: ________
6) Factoriza:
100x2 - y2 Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
x2 + 7x + 12 Rpta: ________
73
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 10
1
Factoriza:
a) x + 2 b) x - 2 d) x + 3
Resolución:
1
9x2(x2 - 1) - (x2 - 1) c) 3x - 1 e) x - 3
Factoriza:
a) x + 5 d) x + 2
Resolución:
25x2(4x2 - 1) - (4x2 - 1) b) x - 5
Clave: 2
Factoriza:
a) 4x - 1 d) 4x + 1
Resolución:
b) x + 4
c) x - 4 e) 2x + 1
Clave: 74
Clave: 2
4x2 - 4x + 1
c) 2x - 1 e) x - 2
Factoriza:
x2 - 11x + 24
Para a) x - 3 el profesor: b) x - 6 d) x - 12
c) x - 4 e) x - 2
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Par
Álgebra - 1ro Sec. 3
Factoriza:
a) 2x + 1 d) 3x + 4
Resolución:
6x2 + 5x - 4 b) 3x - 2
c) 3x + 2 e) 2x - 3
3
Factoriza:
a) 3x - 1 b) 3x + 1 d) 3x + 4
Resolución:
3x2 - 8x + 4
Clave: 4
Factoriza:
a) m + 2 d) m + 8
Resolución:
8m2 + 2 + 8m b) 4m + 1
c) m + 1 e) 2m + 1
c) 3x - 4 e) 3x - 2
Clave: 4
Factoriza:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
a) 3x - 1 d) 3x + 5
6x2 + 13x - 5 b) 2x - 5
c) 3x - 5 e) 2x + 1
Clave: 75
Álgebra - 1ro Sec. 5
Factoriza:
Resolución:
a) 4x + 3 d) 2x - 3
4x2 + 12xy + 9y2 b) 4x - 3
c) 2x + 9 e) 2x + 3
5
Factoriza:
Resolución:
10x2 - 9xy + 2y2
a) 2x + y b) 2x - y d) 5x - y
Clave: 6
Factoriza:
a) x - 2 d) x - 8
Resolución:
x2 + 4x - 32 b) x - 4
c) x - 6 e) x + 2
Clave: 76
c) 5x + 2y e) 5x + y
Clave: 6
Factoriza:
a) x - 10 b) x + 2 d) x + 4
Resolución:
x2 + 8x - 20 c) x - 2 e) x + 5
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 7
Factoriza:
a) 2m b) 4m + 1 d) 4m + 3
Resolución:
m4 - 5m2 + 1 c) 3m + 1 e) 4m
7
Factoriza:
a) 2a2 d) 4a + 7
Resolución:
a4 - 13a2 + 36 b) 2a2 + 13
Clave: 8
Factoriza:
a) 3(a - b) b) 3(a - b) - 1 d) 2(a - b) + 3
Resolución:
(a - b)3 - (a - b)2 - 2(a - b) c) 2(a - b) - 1 e) 3(a - b) + 1
c) 4a e) 2a2 - 18
Clave: 8
Factoriza:
a) 3a - 5 d) 3a - 2
Resolución:
(x - y)3 - 5(x - y)2 + 4x - 4y
Clave:
b) 2a - 7
c) 3a + 4 e) 4a - 5
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor
Formando líderes con una auténtica educación integral
77
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
Ecuación de Primer Grado I
Conceptos Previos
11
Ejemplo:
igualdad
3x + 2 = 2x - 3 3x + 2 - (2x - 3) = 0 x = -5
Se llama igualdad a la relación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor. Así, si las expresiones P y S tienen el mismo valor, decimos que son iguales y escribimos: P = S. Donde “P” se llama el primer miembro y “S” el segundo miembro.
IDENTIDAD Es una igualdad absoluta, pues se verifica para cualquier valor numérico de las variables. Ejemplos: (x + y)(x2 - xy + y2) ≡ x3 + y3
Solución de una Ecuación Es aquel valor, que asignado a la variable de la ecuación hace que la igualdad se cumpla.
Ejemplo: En la ecuación: 2x + 1 = x 2 9 9 se cumple la igualdad si: x=3
(x + y)3 ≡ x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Conjunto Solución de una Ecuación (C.S.)
Definición de Ecuación Una ecuación es aquella relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas.
Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuación. Si la ecuación no tiene solución, entonces su conjunto solución es el conjunto vacío ∅.
A(x, y, z, ..., w) = B(x, y, z, ..., w) ⇒ A(x, y, z, ..., w) - B(x, y, z, ..., w) = 0
Forma general: F(x, y, z, ..., w) = 0
78
Observación Resolver una ecuación significa hallar su C.S.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. Ecuación Lineal Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la siguiente forma general:
3. Resuelve: x x + =3 2 4 Resolución:
P(x) = ax + b = 0 / a ≠ 0
Sacamos el MCM(2, 4) = 4 Multiplicamos a todo por 4: 4.x +4.x =3.4 2 4
Resolución:
ax + b = 0 ax + b + (-b) = (-b) + 0 ax + 0 = -b ⇒ ax = -b (como a ≠ 0 ⇒ a-1 ≠ 0) ⇒ a-1 . ax = a-1 . (-b) 1 ⇒ 1 . xa = (-b) ⇒
b x = -a
\ C.S. = {-b/a}
2x + x = 12 3x = 12 x = 12/3 x = 4 C.S. = {4}
4. Resuelve: x+2 x+3 + =2 4 5 Resolución:
Ejemplo:
Sacamos el MCM(4, 5) = 20
3x + 9 = 0 x = -3 → C.S. = {-3} 1 raíz 1 solución
Multiplicamos a todo por 20: x+2 x+3 20 + 20 = 2 . 20 4 5
(
Se observa: # Raíces = # Soluciones = 1
( (
(
5(x + 2) + 4(x + 3) = 40 5x + 10 + 4x + 12 = 40 9x + 22 = 40 9x = 18 x = 18/9 x = 2 C.S. = {2}
1. Resuelve: 5(x - 1) = 3(x + 1) Resolución: 5x - 5 = 3x + 3 5x - 3x = 5 + 3 2x = 8 x = 8/2 x = 4 C.S. = {4}
5. Resuelve: x+2 x-4 x+1 + =3 5 2 3 Resolución:
2. Resuelve: 2(x + 1) + 4(x - 1) = 3(x + 2) + 1 Resolución: 2x + 2 + 4x - 4 = 3x + 6 + 1 6x - 2 = 3x + 7 6x - 3x = 7 + 2 3x = 9 x = 9/3 x = 3 C.S. = {3}
MCM(5, 2, 3) = 30 Multiplicamos a todo por 30: x+2 x-4 x+1 30 - 30 + 30 =3.30 5 2 3
Formando líderes con una auténtica educación integral
( (( ( ( (
6(x + 2) - 15(x - 4) + 10(x + 1) = 90 6x + 12 - 15x + 60 + 10x + 10 = 90 16x - 15x + 82 = 90 x = 90 - 82 x = 8 C.S. = {8} 79
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Resuelve:
4) Resuelve: 2x + 3 + 5x = 4x + 6 + x
4x + 5 = 2x + 7 Rpta: ________
2) Resuelve:
Rpta: ________
5) Resuelve:
3(x + 1) = 2(x + 3)
x+2 x+3 = 3 4
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Resuelve: 3(x + 1) + 2x = 2(x + 1) + 4
6) Resuelve: 2x + 1 7x - 1 = 5 13
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar 1) Resuelve:
4) Resuelve: 7x + 2 + 9x = 6x + 10 + 8x
7x + 2 = 3x + 14 Rpta: ________
2) Resuelve:
Rpta: ________
5) Resuelve:
3(x - 1) = 2(x + 1)
x+3 x+2 = 5 4
Rpta: ________
3) Resuelve: 3(x - 1) + 2(x + 1) = 4(x + 1)
6) Resuelve:
Rpta: ________
80
Rpta: ________
3x - 2 5x + 1 = 7 16 Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 11
1
Resuelve:
a) 1 b) 2 d) 4
Resolución:
x x + =3 2 4 c) 3 e) 5
1
Resuelve:
a) 2 d) 8
Resolución:
x x + =3 3 6 b) 4
Clave: 2
Resuelve:
a) 12 b) 13 d) 15
Resolución:
Clave: 2
Resuelve:
a) 10 b) 12 d) 36
Resolución:
x x x x + + + = 15 2 4 8 16 c) 14 e) 16
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
c) 6 e) 12
x x x + + =8 3 4 12 c) 24 e) 48
Clave: 81
Álgebra - 1ro Sec. 3
Resuelve:
a) 1 b) 2 d) 4
Resolución:
x+1 x+2 + =2 2 3 c) 3 e) 5
3
Resuelve:
a) 1 b) 2 d) 4
Resolución:
x+2 x+3 + =2 4 5
Clave: 4
Resuelve:
a) 2 b) 4 d) 8
Resolución:
x+3 x+4 + =3 5 3 c) 6 e) 10
Clave: 82
c) 3 e) 5
Clave: 4
Resuelve:
a) 1 b) 2 d) 4
Resolución:
x+1 x+2 + =4 2 7 c) 3 e) 5
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 5
Resuelve: x+2 x-4 x+1 =3 + 5 2 3
5
Resuelve: 3x + 1 2x - 1 x + 1 =5 + 2 5 4
a) 2 b) 4 d) 8
a) 1 b) 2 d) 4
Resolución:
Resolución:
c) 6 e) 10
Clave: 6
Halla “x” en:
Clave: 6
Halla el valor de "x" en: x x -x= -9 2 4
a) 10 b) 11 d) 14
Resolución:
5x - 4 = x - 12 7
a) 16 b) 28 d) 30
Resolución:
c) 20 e) 18
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
c) 3 e) 5
c) 12 e) 16
Clave: 83
Álgebra - 1ro Sec. 7
Halla el valor de “x” en la siguiente ecuación:
7
Halla el valor de “x” en:
x 3 x 5 + = + 6 2 2 3
a) 1/2 d) -1/2
b) 1/4
Resolución:
8x 1 5x -2 + = 3 2 4 c) -1/4 e) 1
a) 9 b) 8 d) 6
Resolución:
Clave:
Clave:
8
Halla el valor de “x” en: 3x 2x x 41 3 + = + 7 5 3 3
8
Halla “x” en: x+3 x-1 x = +1 4 2 6
a) -15 b) -25 d) -45
a) 1/5 b) 2/5 d) 4/5
Resolución:
Resolución:
c) -35 e) -55
c) 7 e) 5
Clave:
c) 3/5 e) 1
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 84
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
12
Ecuación de Primer Grado II
Ecuación Lineal Paramétrica Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la siguiente forma general: A(m) x = B(m) donde A(m) y B(m) son expresiones en función del parámetro “m”.
2. Resuelve en “x”: 2(x - a) + 3(x - b) = 4(x + a + b) Resolución: 2x - 2a + 3x - 3b = 4x + 4a + 4b 5x - 2a - 3b = 4x + 4a + 4b 5x - 4x = 4a + 4b + 2a + 3b x = 6a + 7b
Ejemplo 1: (m + 1)x = m + 2 m+2 \ x= m+1
3. Resuelve en “x”: 2x - m 3x + m = 2 4 Resolución:
Ejemplo 2:
4(2x - m) = 2(3x + m) 8x - 4m = 6x + 2m 8x - 6x = 4m + 2m 2x = 6m x = 6m/2 x = 3m
(m - 2)x = m2 - 4 m2 - 4 x= m-2 (m + 2)(m - 2) x= (m - 2) \ x = m + 2
4. Resuelve en “x”: m(x + 1) + n(x + 1) = 2(m + n) Resolución: mx + m + nx + n = 2m + 2n mx + nx = 2m + 2n - m - n x(m + n) = m + n x=1
1. Resuelve en “x”: 2mx + 3m = 5(m + 1) - 3 Resolución: 2mx + 3m = 5m + 5 - 3 2mx = 2m + 2 2m + 2 x= 2m m+1 x= m
5. Resuelve en “x”: ax + b2 = a2 + bx
Formando líderes con una auténtica educación integral
Resolución: ax - bx = a2 - b2 x(a - b) = a2 - b2 a2 - b2 x= a-b
x=
(a + b)(a - b) (a - b)
x=a+b
85
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Resuelve en “x”: 3x + m + 1 = 2x + 2m
4) Resuelve en “x”: 2(x + m) + 2n + 3x = 4(x + n)
Rpta: ________
2) Resuelve en “x”: 3x + 4x + 2a + 2b = 5x + 3a + b
Rpta: ________
5) Resuelve en “x”: 2x - m 3x + m = 2 4
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Resuelve en “x”: 3(x + b) = 2(x + a)
6) Resuelve en “x”: 3x + a + b x + a + b = 2 2
Rpta: ________
Rpta: ________
Para Reforzar 1) Resuelve en “x”: 2x + n - 2 = x + 3n
4) Resuelve en “x”: 2(x - a) + 3(x - b) = 4(x + a + b)
Rpta: ________
2) Resuelve en “x”: 2x + a + b + 3x = 3b + 2a
Rpta: ________
Rpta: ________
3) Resuelve en “x”: 3(x + a) = 5a + 2
86
Rpta: ________
Rpta: ________
5) Resuelve en “x”: 2x + K x + K = 3 2
6) Resuelve en “x”: x + m + n x + m+ n = 2 3 Rpta: ________
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 12
1
Resuelve:
a) a + b b) 1/a + 1/b d) a
Resolución:
a(x - a) + b(x - b) = 2ab c) a - b e) ab
1
Resuelve: m(x - n) + n(x + m) = m + n
a) m b) n d) 1
Resolución:
Clave:
Clave:
2
Resuelve: m(x + 1) + n(x + 1) = 2(m + n)
2
Resuelve:
a) 1 b) 2 d) 4
a) m + n b) m - n d) 1/m
Resolución:
Resolución:
c) 3 e) m + n
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
c) m + n e) 0
m(x - m) - n(n - x) = 2mn c) mn e) 1/n
Clave: 87
Álgebra - 1ro Sec. 3
Resuelve en “x”: a(x + b) + b(x + a) = ab(a + b + 2)
3
Resuelve en “x”: a(x + a) + b(-x + b) = 2ab
a) ab b) a d) a + b
a) a + b b) b - a d) a
Resolución:
Resolución:
c) b e) a - b
Clave: 4
Resuelve en “x”: ax + b2 = bx + a2
a) a + b b) a - b d) ab + a
Resolución:
c) ab e) ab + b
Clave: 88
c) ab e) b
Clave: 4
Resuelve en “x”: ax + b3 = bx + a3
a) a2 + ab + b2 b) a2 - ab + b2 c) ab d) a + b e) a2 + b2
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 5
Resuelve en “x”: a2(x - a) + b2(x - b) = abx
5
Resuelve en “x”: m2(x - m) + n2(x + n) = -mnx
a) a + b d) 2ab
Resolución:
a) m + n b) m - n c) m2 + mn + n2 d) m2 - mn + n2 e) 1
Resolución:
b) a - b
c) ab e) a2 + b2
Clave: 6
Resuelve:
a) 1 d) -3b
Resolución:
x-b x+b = 4b + 2 3 b) 3b
c) 5b e) 24b
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 6
Resuelve:
a) 5n b) -5n d) -5n/4
Resolución:
x + n x - n x + 4n + = 3 2 6 c) 5n/4 e) 5n/6
Clave: 89
Álgebra - 1ro Sec. 7
x2 + (m + n)x = -mn da como respuesta una solución:
a) m d) -2n
Resuelve:
b) n
c) -m e) -2m
7
Resuelve:
a) a + b b) a - b d) b - a
Resolución:
a(x - a) + b(x + b) = 0 c) 2a e) a
Resolución:
Clave: 8
Resuelve:
a) a + b b) a - b d) b
Resolución:
x-a x-b + =2 b a c) a e) b - a
Clave: 8
Resuelve:
a) a[(b + c)/(b - c)] b) b[(a + c)/(a - c)] c) c[(a - b)/(a + b)] d) (b + c)/(b - c) e) N.A.
Resolución:
Clave:
x+a b = x-a c
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 90
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
Ecuación Cuadrática I
FORMA GENERAL: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 Ejemplo: 2x2 + x + 1 = 0 ; x2 + 2 = 0
RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA * Por Factorización A. Aspa Simple Ejemplos:
13
• 4x2 - 4x + 1 = 0 2x -1 2x -1
(2x - 1)(2x - 1) = 0 x1 = 1/2 ; x2 = 1/2
2 raíces iguales
C.S. = {1/2}
1 solución
Observa que se ha utilizado la factorización por aspa simple. B. Factor Común
2
• x - 4x - 12 = 0 x -6 x +2 (x - 6)(x + 2) = 0 x1 = 6 ; x2 = -2
2 raíces diferentes
C.S. = {6, -2}
2 soluciones
Formando líderes con una auténtica educación integral
Ejemplos: •
x2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0 x=0 ∨ x-4=0 x1 = 0 ; x2 = 4
2 raíces
C.S. = {0, 4}
2 soluciones
•
3x2 + 2x = 0 x(3x + 2) = 0 x = 0 ∨ 3x + 2 = 0 x1 = 0 ; 3x + 2 = 0 x2 = -2/3
C.S. = {-2/3, 0}
91
Álgebra - 1ro Sec. C. Diferencia de Cuadrados Ejemplos:
3. Resuelve: x2 - 2x + 1 = k2 Resolución:
•
x2 = 36 x2 - 36 = 0 (x + 6)(x - 6) = 0 x1 = -6 ; x2 = 6
C.S. = {-6, 6}
•
2x2 - 98 = 0 2(x2 - 49) = 0 2(x + 7)(x - 7) = 0 x1 = -7 ; x2 = 7
C.S. = {-7, 7}
x2 - 2x + 1 = k2 (x - 1)2 - k2 = 0 (x - 1 - k)(x - 1 + k) = 0 x - 1 - k = 0 ∨ x - 1 + k = 0 x1 = 1 + k ; x2 = 1 - k
4. Resuelve: x2 - (6a + b)x + 6ab = 0 Resolución: Factorizando: x2 - (6a + b)x + 6ab x -6a x -b (x - 6a)(x - b) = 0 x - 6a = 0 ∨ x - b = 0 x1 = 6a ; x2 = b
1. Resuelve: x2 - 2x - 15 = 0 Resolución: x2 - 2x - 15 = 0 x -5 x +3 (x - 5)(x + 3) = 0 x1 = 5 x2 = -3
2. Resuelve:
x2 = n 2
5. Resuelve: mnx2 + (m2 + n2)x + mn = 0 Resolución: mnx2 + (m2 + n2)x + mn = 0 mx n nx m \ (mx + n)(nx + m) = 0 mx + n = 0 ∨ nx + m = 0 x1 = -n/m ; x2 = -m/n
Resolución: x2 - n2 = 0 (x - n)(x + n) = 0 x-n=0 ∨ x+n=0 x1 = n x2 = -n
92
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Resuelve las siguientes ecuaciones y señala el conjunto solución. a) x2 - 9 = 0 b) x2 - 25 = 0
4) Resuelva:
x2 + 5x + 4 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________
2) Resuelve las siguientes ecuaciones y señala el conjunto solución. a) 3x2 - 27 b) 4x2 - 9 = 0
5) Resuelva:
x2 - 5x + 6 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________ 6) Resuelva: 3) Resuelve las siguientes ecuaciones y señala el conjunto solución. a) x2 - 5x = 0 b) x2 + 4x = 0
x2 - 8x + 16 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________
Para Reforzar 1) Resuelve las siguientes ecuaciones y señala el conjunto solución. a) x2 - 4 = 0 b) x2 - 64 = 0
4) Resuelva:
x2 + 8x + 15 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________
2) Resuelve las siguientes ecuaciones y señala el conjunto solución. a) 9x2 - 1 = 0 b) x2 - 3x = 0
5) Resuelva:
x2 - 9x + 20 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________ 6) Resuelva: 3) Resuelve las siguientes ecuaciones y señala el conjunto solución. a) x2 + 9x = 0 b) 3x2 + 4x = 0
2x2 - x – 1 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________
Formando líderes con una auténtica educación integral
93
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 13
1
Resuelva: 2x2 - 4x = 6
1
Resuelva: 6x2 - 4x - 2 = 0
a) x = -1 ∨ x = 3 b) x = 3 ∨ x = 8 c) x = 9 d) x = 12 ∨ x = 13 e) N. A.
a) x = 1 ∧ x = −1/3 b) x = 1 ∨ x = −1/3 c) x = −1 ∨ x = 1/3 d) x = −1 ∨ x = −1/3 e) x = 0 ∨ x = 1
Resolución:
Resolución:
Clave:
2
Resuelva: x2 - 13x + 40 = 0 a) {4; 6} d) {2; 9}
b) {3; 7}
2 c) {5; 8} e) {2; 7}
Resolución:
Resuelva: x2 - 19x + 60 = 0 a) {15; 4} d) {15;−4}
b) {−15;−4} c) {−15; 4} e) {20; 3}
Para el profesor: Resolución:
Clave: 94
Clave:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Par
Álgebra - 1ro Sec. 3
3
Resuelva: 3x2 + 8x = 5x2 - x
Resuelva: 2x2 + x = x2 + 2x
a) x = 2 ∨ x = 9 b) x = 0 ∨ x = 9/2 c) x = 8 ∨ x = 7 d) x = 3 ∨ x = 5 e) N.A.
a) x = 1 ∨ x = −1 b) x = −1 ∨ x = 0 c) x = −1 ∨ x = 2 d) x = 1 ∨ x = 0 e) x = 1 ∧ x = 0
Resolución:
Resolución:
Clave:
4
4
Resuelva: 35x2 - 9x - 2 = 0 a) {-1/7;6} d) {2/7;1/5}
Clave:
b) {2/5;-1/7} c) {-1;3/7} e) {3/2;2}
Resuelva: 5x2 + 4x - 1 = 0 a) {-1} d) {1;-1/5}
b) {1;1/5}
c) {-1;1/5} e) {1/5}
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 95
Álgebra - 1ro Sec. 5
Resuelva: 4x2 = 21x – 5 a) {-1/4;5} d) {1/4;5}
b) {1;5}
5 c) {-5;1/4} e) {4;5}
Resuelva: 7x2 = 50x - 7 a) {7;-7} d) {-1;1/7}
Resolución:
b) {-1/7;7}
Resolución:
Clave:
6
b) {-1; 1}
c) {4} e) {-2; 2}
Resolución:
Resuelva: 3x2 + 5x = 7(x2 + x) a) {0; 1/2} d) {0; 2}
b) {0; 7}
c) {0; 3} e) {-1/2; 0}
Resolución:
Clave: 96
Clave:
6
Resuelva: 6(x2 - 2) = 3(x2 + 1) a) {2} d) {-4; 4}
c) {-1/7;-7} e) {1/7;7}
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 7
Resuelva: 5(2x2 + 1) = 3(4x2 + x) e indica un valor entero del conjunto solución. a) -5/2 b) 3 d) 5
7
Resuelve y señala una solución: 2x2 - 8x - 10 = 0 a) -1 d) 2
c) 4 e) 1
b) 0
Resolución:
Resolución:
Clave:
8
Resuelva: (x + 3)2 - 6x = 25 a) {4} d) {2}
c) 1 e) 3
b) {-4}
Clave:
8 c) {-4; 4} e) {-2}
Resolución:
Resuelva: (x – 5)2 - 2x = 38 a) {1;–13} d) {–1;13}
b) {6}
c) {-6} e) {2;–13}
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor
Formando líderes con una auténtica educación integral
97
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
Ecuación Cuadrática II
Forma general:
Ejemplo:
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
x2 + x - 1 = 0
Ejemplos: 2
14
a=1 b=1 c = -1
D = 12 - 4(1)(-1) {discriminante} D=1+4 D=5
2
x + 4x - 5 = 0 ; x - 16 = 0 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
\ En la fórmula:
* Por Fórmula
x = -(1) ± 5 2(1)
x = -1 ± 5 2
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 Resolución:
De aquí se obtienen dos respuestas:
Completando cuadrados: 4a(ax2 + bx + c) = 0 → 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 (2ax)2 + 2(ax)b + b2 - b2 + 4ac = 0
x = -1 + 5 2
x = -1 - 5 2
(2ax + b)2 = b2 - 4ac 2ax + b = ± b2 - 4ac x=
-b ± b2 - 4ac 2a
donde b2 - 4ac = D (discriminante) \ x=
-b ± D 2a
Observación En 5x2 - 3x - 2 = 0 a = 5 , b = -3 y c = -2 Observa que a, b y c toman el valor del coeficiente con todo el signo.
98
Los historiadores matemáticos a veces describen el álgebra en el Antiguo Egipto como algo que se ha ido desarrollando en tres etapas: 1. Álgebra retórica, en que el problema se enuncia mediante palabras del lenguaje. 2. Álgebra sincopada, en que algunas de las palabras del problema están abreviadas para una mayor simplicidad y comprensión. 3. Álgebra simbólica, en que se utilizan símbolos para designar los operadores y operandos, con lo que se simplifica aún más la comprensión. Un ejemplo de simbolismo es denotar la incógnita como “x”. Sabemos, a partir de jeroglíficos egipcios antiguos en yeso o papiro que los antiguos sacerdotes egipcios, en su álgebra retórica, empleaban la palabra aha (que significa “montón” o “conjunto”) para la incógnita.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 4. Resuelve: x2 - 8x + 1 = 0 Resolución:
1. Resuelve: 3x2 - x - 1 = 0
a=1 b = -8 c=1 D = (-8)2 - 4(1)(1) D = 60
x2 - 8x + 1 = 0
Resolución: 3x2 - x - 1 = 0
a=3 b = -1 c = -1
\ x=
\ D = (-1)2 - 4(3)(-1) D = 13
x=
-(-1) ± 13 \ x= 2(3)
x=
1 ± 13 6
x1 = x2 =
\ x=
1 - 13 6
Resolución:
8 ± 60 2
Recuerda: 60 = 4 . 15 = 4 . 15 = 2 15
1 + 13 6
2. Resuelve: x2 + 6x + 9 = n2
-(-8) ± 60 2(1)
8 ± 2 15 2
x = 4 ± 15
5. En la ecuación: Dx2 + Dx + 6 = 0 (D : discriminante), calcula el discriminante.
(x + 3)2 = n2 x + 3 = ± n2 x+3=±n x = -3 ± n \ x = -3 + n ∨ x = -3 - n
3. En la ecuación: 2x2 + (m + 3)x + 2 = 0 el discriminante es igual a cero. Calcula el valor de “m”.
Resolución: Dx2 + Dx + 6 = 0
a=D b=D c=6
D = b2 - 4ac D = (D)2 - 4(D)(6) D = D2 - 24D 25D = D2 D = 25
Resolución: D = b2 - 4ac D = (m + 3)2 - 4(2)(2) = 0 (m + 3)2 = 16 \ m + 3 = ± 16 m+3=±4 m = -3 ± 4 m = -3 + 4 ∨ m = -3 - 4 m = 1 ∨ m = -7
Formando líderes con una auténtica educación integral
99
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) En las siguientes ecuaciones, calcula su discriminante. a) x2 + 2x + 1 = 0 b) x2 + 3x + 2 = 0 c) x2 + 4x + 3 = 0
4) Resuelva:
x2 + 5x + 1 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________ 5) Resuelva: 2) Resuelva:
x2 - 5x - 1 = 0 Rpta: __________
x2 - 5x + 1 = 0 Rpta: __________ 6) Resuelva:
3) Resuelva:
x2 - 8x + 1 = 0
2x2 + 4x + 1 = 0
Rpta: __________
Rpta: __________
Para Reforzar 1) En las siguientes ecuaciones, calcula su discriminante. a) x2 + 5x + 6 = 0 b) x2 + x - 2 = 0 c) 2x2 + 3x + 1 = 0
4) Resuelva:
x2 + 8x + 5 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________ 5) Resuelva: 2) Resuelva:
x2 - 9x + 2 = 0 Rpta: __________
2x2 - x - 4 = 0 Rpta: __________ 6) Resuelva:
3) Resuelva:
3x2 + 4x + 1 = 0
3x2 + 2x - 2 = 0 Rpta: __________
Rpta: __________
100
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 14
1
Resuelva: 2x2 + 2x = 6 a) (-1 ± 13)/2 c) (2 ± 13)/2 d) (-2 ± 13)/2
1 b) (1 ± 13)/2
Resuelva: 4x2 + 4x = 4 a) (1 ± 5)/2 c) (1 ± 5)/-2 d) (-1 ± 5)/-2
e) (3 ± 13)/2
Resolución:
Resuelva: 6x2 + 8x = 5x2 - 1 a) -2 ± 15 c) -4 ± 15 d) (-2 ± 15)/2
e) (-1 ± -5)/2
Resolución:
Clave:
2
b) (-1 ± 5)/2
Clave:
2
b) -3 ± 15 e) (1 ± 15)/2
Resolución:
Resuelva: 2x2 = -x + 2 a) (-1 ± 17)/4 c) (1 ± 17)/2 d) (-1 ± 17)/8
b) (-1 ± 17)/2 e) -1 ± 17
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 101
Álgebra - 1ro Sec. 3
Resuelva: 5x2 - 9x + 2 = 0 a) (9 ± 41)/10 c) (3 ± 41)/4 d) (-2 ± 41)/6
3
b) (-9 ± 41)/10
Resuelva: x2 - 3x - 2 = 0 a) (-3 ± 17)/2 c) -3 ± 17 d) (3 ± 17)/2
e) (1 ± 41)/2
Resolución:
b) 3 ± 17 e) (3 ± 17)/4
Resolución:
Clave:
4
Indica una raíz de la ecuación: 3x2 + 5x - 1 = 0 a) (5 + 13)/6 c) (5 - 13)/6 d) (5 + 13)/2
b) (-5 + 13)/6
Clave:
4
Indica una raíz de la ecuación: 3x2 + 2x - 1 = 0 a) 1/3 d) 0
b) 1
c) (2 + 16)/3 e) (2 - 16)/2
e) (-5 + 13)/2 Resolución:
Resolución:
Clave: 102
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 2 5 Resuelva: 7x = 5x + 7
a) -5 ± 221 c) (5 ± 221)/14 d) (-5 ± 221)/7
5 b) (5 ± 221)/7
Resuelva: 2x2 = 2 – 7x a) (-7 ± 65)/2 c) (-7 ± 73)/4 d) (-7 ± 73)/2
e) 5 ± 221
b) (-7 ± 65)/4 e) {3; 8}
Resolución:
Resolución:
Clave:
6 Resuelva: 6(x2 - 1) = 3(x2 + x) - 1 a) (3 ± 69)/6 c) -3 ± 69 d) (3 ± 69)/5
Clave:
6
b) 3 ± 69 e) (2 ± 69)/5
Resuelva: 2(x2 + 1) = 5(x2 - 2x) a) (6 ± 30)/2 c) (5 ± 31)/3 d) ± 8
b) ± 7 e) (4 ± 17)/4
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 103
Álgebra - 1ro Sec. 7
Resuelve:
7
x2 + 5x + 16 =2 x2 + 3x + 4
a) (-2 ± 31)/4 c) -2 ± 17 d) -1 ± 37
b) (-1 ± 33)/2
Resuelve:
a) (2 ± 14)/2 c) (-4 ± 14)/2 d) (-2 ± 14)/2
e) -2 ± 31
Resolución:
b) (4 ± 14)/2 e) 2 ± 7
Resolución:
Clave:
8
x2 + 2x + 5 =2 x2 + 3x + 3
Indica las raíces de la ecuación:
8
x+1 x = 2 x-1 a) 2 ± 8 b) 8 ± 2 d) ± 8
Clave:
c) 1 ± 2 e) (-2 ± 8)/2
Resolución:
Indica las raíces de la ecuación: 2(x2/2 - 3) + 5(x + 2) = 0 a) (-5 ± 8)/2 c) (5 ± 3)/2 d) (-5 ± 3)/2
b) (-5 ± 9)/2 e) ( 3 ± 5)/3
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor 104
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Sistema de Ecuaciones Lineales
CONCEPTO Dos o más ecuaciones forman un sistema cuando tienen las mismas soluciones. La solución de un sistema de ecuaciones es todo conjunto de valores numéricos de las incógnitas, que satisface al mismo tiempo a todas las ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones (C.S.) o demostrar que carece de ellas. Para resolver un sistema de ecuaciones equivalentes se debe llegar hasta a una ecuación con una incógnita, que se resuelve inmediatamente.
Capítulo
15
Métodos para resolver Sistemas de Ecuaciones Resolver un sistema de ecuaciones es hallar el conjunto solución del sistema. Para resolver un sistema de ecuaciones puede utilizarse uno de los métodos siguientes: a) Por reducción b) Por sustitución c) Por igualación a. método de reducción
Ejemplo: x+y=6 x - y = 2 ⇒ x = 4 ; y = 2 (x; y) = (4; 2) solución CONJUNTO SOLUCIÓN El conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables, tiene como elemento a las soluciones comunes de dichas ecuaciones.
Consiste este método en seguir multiplicando por números convenientes, que una misma incógnita tenga coeficientes opuestos en ambas ecuaciones. Sumándolas después, se obtiene una ecuación con una sola incógnita. Resuelta esta ecuación y llevando el valor hallado a cualquiera de las ecuaciones primeras, se obtiene el valor de la otra incógnita (este método se emplea con más frecuencia). Ejemplo: Resuelve el sistema: 3x + 2y = 16 ... (1) 5x - 3y = -5 ... (2)
El conjunto solución puede tener un sólo elemento (un sólo par ordenado). En este caso, se dice que el sistema es consistente.
Resolución:
Ejemplo:
Decidimos eliminar las variables “y”; para conseguirlo multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 2, obteniendo así el sistema equivalente:
x+y=5 ⇒ x=4; y=1 x-y=3 C.S. = {4; 1}
Formando líderes con una auténtica educación integral
3x + 2y = 16 (por 3) 5x - 3y = -5 (por 2)
105
Álgebra - 1ro Sec.
9x + 6y = 48 ... (3) 10x - 6y = -10 ... (4)
c. método de IGUALAción Este método consiste en despejar una misma variable en las ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas, con lo que se elimina una incógnita, obteniendo así una tercera ecuación. Se resuelve esta última ecuación y se obtiene el valor de una variable; el valor de la otra se halla por sustitución en cualquier ecuación del sistema.
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4):
9x + 6y = 48 10x - 6y = -10 19x = 38 x = 38/19 = 2 \ x = 2
Ejemplo: Resuelve el sistema: 8x - 2y = 20 ... (1) 3x + 2y = 13 ... (2)
Reemplazamos el valor de x = 2; en la ecuación (1): 3x + 2y = 16 3(2) + 2y = 16 6 + 2y = 16 2y = 10 y = 10/2 = 5 \ y=5
Resolución: Despejamos “y” en cada ecuación: 8x - 20 2 13 - 3x de la ecuación (2): y = 2 de la ecuación (1): y =
El conjunto solución del sistema es: C.S. = {2; 5}
Si igualamos las segundas partes, obtenemos: b. método de sustitución De una de las ecuaciones del sistema se despeja una variable o incógnita, por ejemplo la “y”; se sustituye la expresión que se obtiene en la otra ecuación, con lo que se obtiene otra ecuación en “x”. El resultado de esta ecuación sustituye el valor de “x” hallando en la ecuación explicitada, con lo que se obtiene el valor de “y”. Ejemplo: Resuelve el sistema: x - y = -1 ... (1) 3x + 2y = 12 ... (2) Resolución: En la primera ecuación despejamos “y”, obteniendo: y = x + 1 ... (3) Sustituyendo “y” en la ecuación (2): 3x + 2(x + 1) = 12 3x + 2x + 2 = 12 5x = 10 x = 10/2 = 2 \ x = 2
8x - 20 13 - 3x = 2 2 simplificando los denominadores: 8x - 20 = 13 - 3x transponemos términos: 8x + 3x = 13 + 20 11x = 33 x = 33/11 = 3 \ x=3 Reemplazamos el valor de x = 3, en la primera ecuación del sistema: 8x - 2y = 20 8(3) - 2y = 20 24 - 2y = 20 4 = 2y 4/2 = y \ y = 2 El conjunto solución del sistema es: C.S. = {3, 2}
Reemplazamos el valor de x = 2, en la ecuación (3): y=2+1 y=3 El conjunto solución del sistema es: C.S. = {2, 3} 106
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 1) Resuelva:
4) Resuelva:
a)
x+y=6 x-y=2
b)
x+y=7 x-y=3
Rpta: __________ Rpta: __________ 5) Resuelva:
2) Resuelva:
5x + 6y = 26 x - 3y = 1
2x + y = 12 x+y=7
4x + y = 13 3x - 2y = 7 Rpta: __________
Rpta: __________
3) Resuelva:
6) Resuelva: 7x + 2y = 9 3x + 2y = 5
x + 3y = 9 x - 2y = 4 Rpta: __________
Rpta: __________
Para Reforzar 1) Resuelva:
4) Resuelva:
a)
x + y = 10 x-y=8
b)
x+y=9 x-y=7
Rpta: __________ Rpta: __________ 5) Resuelva:
2) Resuelva:
3x + y = 6 x + y = 2
3) Resuelva:
2x + 6y = 8 8x - 3y = 5 Rpta: __________
Rpta: __________
x + 4y = 8 x - 2y = 2
6) Resuelva: 5x + 3y = 16 2x + 3y = 10
Rpta: __________
Formando líderes con una auténtica educación integral
7x + 5y = 17 4x + 5y = 14 Rpta: __________
107
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 15
1
Resuelva: a) x = 2 , y = 2 c) x = 1 , y = 2 d) x = 2 , y = 1
2x + 3y = 8 x + 2y = 5
1
b) x = 1 , y = 1
Resuelva: a) x = 2 , y = 0 c) x = 3 , y = 0 d) x = 0 , y = 4
e) x = 5 , y = 5
Resolución:
x + 2y = 5 2x + 5y = 10 b) x = 0 , y = 1 e) x = 5 , y = 0
Resolución:
Clave:
2
Resuelva: a) x = 0 , y = 2 c) x = 3 , y = 2 d) x = 1 , y = 2
x + 3y = 7 2x + 5y = 12
2
b) x = 2 , y = 1 e) x = 2 , y = 6
Resolución:
Resuelva:
3x + 5y = 28 x + 2y = 11
Para profesor: a) x = 1el ,y= 4 b) x = 4 , y = 2 c) x = 1 , y = 2 d) x = 4 , y = 1
e) x = 5 , y = 1
Resolución:
Clave: 108
Clave:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Par
Álgebra - 1ro Sec. 3
Resuelva:
6x + 5y = 16 5x - 12y = 19
a) x = 4 , y = 1 c) x = 5 , y = 2 d) x = 4 , y = 3
3
Resuelva:
10x + 4y = 3 20y - 5x = 4
a) x = 2 , y = 3 c) x = 1 , y = 3 d) x = 3 , y = 1
b) x = 3 , y = 1 e) x = 2 , y = 4
Resolución:
b) x = 5 , y = 4 e) x = 4 , y = 1
Resolución:
Clave:
4
Resuelva el sistema: (2x + 1) = -3y x = 7y - 9 y halla (2x + y). a) -3 d) -2
b) -5
c) -6 e) 3
Clave:
4
Resuelva: a = 14 - 5b 2a = 3b - 11 Del sistema de ecuaciones, halla “a - 2b”. a) 32 d) 21
b) 28
c) 35 e) 30
Resolución:
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 109
Álgebra - 1ro Sec. 5
Resuelva: y halla x + 3y.
x/3 - y = y/3 + x - 8 2x = y - x + 15
a) 13 b) 14 d) 16
5
c) 15 e) 17
Resuelva: y halla x + y.
a) 40 b) 35 d) 36
Resolución:
Resuelva: (x - y)-(6x + 8y) = -(10x + 5y + 3) (x + y) - (9y - 11x) = 2y - 2x a) x = 4 , y = 7 c) x = 4 , y = 6 d) x = 5 , y = 6
b) x = 5 , y = 7 e) x = 9 , y = 6
Clave:
6
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 3x - 2[(x - 1) - (y - 1)] = 18 x + y = 10 a) x = 2 , y = 6 c) x = 2 , y = 8 d) x = 5 , y = 5
b) x = 4 , y = 6 e) x = 3 , y = 6
Resolución:
Resolución:
Clave: 110
c) 42 e) 37
Resolución:
Clave:
6
x/5 – y = y/5 – x + 8 2x – y = 40
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 7
Resuelva: 5)
7
3(x + 2) = 2y 2(y + 5) = 7x
a) x = 4 , y = 9 c) x = 5 , y = 7 d) x = 3 , y = 8
Resuelva: a) x = 5 , y = 3 c) x = 5 , y = 2 d) x = 4 , y = 3
b) x = 5 , y = 8 e) x = 2 , y = 3
Resolución:
x-1=y+1 x - 3 = 3y - 7 b) x = 3 , y = 4 e) x = 2 , y = 5
Resolución:
Clave:
8
Halla (x + y):
7 - [(2y - 3) + 4(x - 1)] = 22 [5(x + 2) - 3(y - 2)] - 8 = x
a) -3/5 d) 1/5
b) 4
c) -2/5 e) 2/3
Clave:
8
Resuelve: 3[(x - 4y) + 7[2x - y] = 0 14x - 3y = 4 y halla x - y + y a) 80/3 d) 90/2
b) 215/6
c) 76 e) 76/125
Resolución:
Resolución:
Clave:
Clave:
NOTA Sello y Firma del Profesor
Formando líderes con una auténtica educación integral
111
Álgebra - 1ro Sec.
Capítulo
Inecuaciones de Primer Grado con Una Incógnita
definición Una inecuación es toda desigualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas las cuales tienen por lo menos una variable, la cual se denominará incógnita. Esta desigualdad sólo se verifica para algunos valores determinados de la incógnitas o tal vez nunca se verifique.
16
Ejemplo: Resuelve: 3x - 1 ≥ 11 +1 3x ≥ 11+1 3x ≥ 12 ÷3 x ≥ 12 3 x ≥ 4
formas generales ax + b > 0
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
-∞
1. Suprimimos los signos de agrupación: 3x + 12 < x - 5x - 2
1. Indica el menor valor entero que toma "x", de manera que verifique la relación:
2. Reducimos términos semejantes: 3x + 12 < - 4x - 2
2x - 1 x-3 + >4 3 2
3. Transponemos términos: 4x + 3x < - 2 - 12
Resolución:
4. Reducimos términos semejantes: 7x < - 14
Multiplicamos miembro a miembro por 6:
( ) ( )
6
Despejamos a "x" dividiendo a ambos miembros entre 7.
2x - 1 + 6 3
x-3 > 6(4) 2
Simplificando tenemos:
7x 14 < → x < -2 7 7
Los valores de "x" que satisfacen a la inecuación son todos aquellos que sean menores que menos dos o x 24
4x - 2 + 3x - 9 > 24
Reduciendo términos:
conjunto solución de una inecuación Se llama así al conjunto de valores de la incógnita que reemplazados en la inecuación, verifican la desigualdad. La solución de una inecuación generalmente se representa mediante intervalos que ya se estudió en el capítulo anterior. 112
+∞
⇒ x > 4 o x ∈ ]4; +∞[
¿Cómo se resuelve la inecuación 3x + 12 < x - [5x + 2]?
4
7x - 11 > 24
Transponiendo términos:
7x > 24 +11
7x > 35
x>5
⇒ El mínimo valor entero es 6.
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. 2. Siendo "x" un número entero que verifica la inecuación:
4x - 2 x+1 + > 4, indica el menor valor de "x". 2 5
4. El mayor entero que verifica la inecuación siguiente es:
( )
x+3 x+1 +3 + x < 5 4 2
Resolución: Resolución:
Multiplicamos miembro a miembro por 10:
( ) ( ) 4x-2 +10 5
10
x+1 > 10(4) 2
Multiplicamos miembro a miembro por 4:
( ) ( )
x+1 x+3 4 + 4.3 +4x < 4(5) 2 4
Simplificando tenemos: 2(4x - 2) + 5 (x+1) > 40 8x - 4 + 5x+5 > 40 13x + 1 > 40
2(x+1)+3(x+3)+4x < 20 2x+2 +3x+9+4x < 20 Reduciéndo y transponiendo términos:
Transponiendo términos: 13x > 40 - 1 13x > 39 x>3 ⇒
⇒
El menor valor de "x", siendo entero, es 4.
3. Si resolvemos la inecuación:
x-1 + x-2 + x-7 >3 9 8 3
obtenemos un conjunto solución en el cual el menor número entero es "a". Halla "a".
9x < 9 x < 1 El máximo valor entero que toma "x" es 0.
5. Halla el intervalo solución de la inecuación:
Resolución: Multiplicamos miembro a miembro por 72:
( )( )( )
x -1 x -2 x -7 72 +72 +72 >72(3) 9 8 3 8(x-1)+9(x-2)+24(x-7)> 216 8x - 8 + 9x - 18+24x-168 > 216
3x(x+1)+2x(x+2) 10
El conjunto solución será:
⇒
De donde deducimos que "a" es 11.
Formando líderes con una auténtica educación integral
-8x < -24 Para despejar "x" dividimos miembro a miembro por (-8), entonces el sentido de la desigualdad cambia x>3 ⇒ El conjunto es: 113
Álgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en clase 4) Si 2a=x - 1; y además 3x - 2≥13; halla el menor valor entero de "a".
1) Resuelve: 3x + 2 < 23 Rpta: __________
Rpta: __________
5) Resuelve -3(x+5)< -7 - 2x; e indica el menor valor entero de "x".
2) Resuelve: 3 + 4x ≤ 5 +6x Rpta: __________
Rpta: __________
2x-3 17 3) Resuelve: + 5 ≤ e indica el mayor 2 2 valor entero de "x".
6) Si x > 4 y x < 5; halla la suma de todos los valores enteros que toma"x" en la intersección de las desigualdades.
Rpta: __________
Rpta: __________
Para Reforzar 1) Resuelve:
4) Si a = x + 5; y además x - 2 -4 Rpta: __________
2) Resuelve:
5) Halla el menor valor entero de "x" en: 3 - 2x < -5
9x - 2 > 5x +18 Rpta: __________
3) Luego de resolver: 4x-1 > 3x-1 , 3 2 indica el máximo valor entero de "x".
Rpta: __________
6) Halla el menor valor entero de "x" en: 2x + 8 > 10
Rpta: __________
114
Rpta: __________
Rpta: __________
Formando líderes con una auténtica educación integral
Álgebra - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 16
1
Halla "x" en: 6x + 4 ≤ 3x -17 a) x ≤ 10 d) x > 0
b) x ∈ ø
1
Halla el valor de "x" en: 3x + 7 < 17 + 3x a) x ∈ R d) x < 0
c) x > 2 e) x ≤ -7
Resolución:
b) x > 0
Resolución:
Clave:
2
Resuelve: 3(x+1)-2(x+7) > 17 a) x > 20 d) x 28
Resuelve la inecuación: 5(1+x)< 23 +7x a) C.S.= c) C.S.= d) C.S.=
b) C.S.= e)
Resolución: Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 115
Álgebra - 1ro Sec. 3
Resuelve:
3
5+x 3x+1 + < 3 + x 3 4
a) x < 13 d) x < 11
b) x > -2/5
c) x < 13/2 e) x > -2
Resolución:
Resuelve la inecuación y da el intervalo de x. x+5 - ≤ . x-2 1 x-3 3 2 6 a) [16;∞> b) [17;30] c) e) x 3 b)
c) e)
Resolución:
Resuelve:
a) 2x-7 a) x > 3/2 d) x < 2/5
b) x > -7/4
c) x < -3/2 e) x < -7/4
Resolución:
Clave:
Formando líderes con una auténtica educación integral
Clave: 117
Álgebra - 1ro Sec. 7
Halla el conjunto solución de:
7
Resuelve e indica el conjunto solución:
2 1 5 (x - 5)2+ (x+4)(x+6)≥ .x2 3 6 6
1 x (x - 5) - 2 ≤ 1 3 4
a) C.S. =