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CORPORACIÓN EDUCATIVA

Formando líderes, con una auténtica educación integral

School´s

Primero de Secundaria

Razonamiento Matemático

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de

Presentación Didáctico

uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los Nuestra Institución School’s propone una perspectiva integral mayores problemas de nuestro país, laMentor educación, brindando una enseñanza de alta calidad. y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo estudiantes, una formación y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros impulsando susprincipios capacidades parabuscando el éxito el endesarrollo la vida profesional. personalizada basada en y valores; integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da

Estambién por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 sede da Guías tambienDidácticas con el trabajo de con el esfuerzo de los docentes a través que los docentes a través de que permitirán un mejor nivel académico y lograr permitirán unGuías mejorDidácticas nivel académico y lograr alcanzar la práctica que lo que que el alumno(a) requiere, requiere, porque nuestra metameta es: que es: alcanzar es la práctica es lo que el alumno(a) porque nuestra

“Formar líderes con una auténtica

“Formar líderesintegral” con una auténtica educación educación integral”

Capítulo 1.

Lógica Recreativa .............................................................

9

Capítulo 2.

Habilidad Operativa .........................................................

18

Capítulo 3.

Resolución de Ecuaciones ...............................................

25

Capítulo 4.

Planteo de ecuaciones .......................................................

33

Capítulo 5.

Edades ................................................................................

41

Capítulo 6.

Ordenamiento lineal, vertical y horizontal ....................

48

Capítulo 7.

Ordenamiento circular y Test de decisiones ................

55

Capítulo 8.

Inducción Matemática .....................................................

62

Capítulo 9.

Fracciones I .........................................................................

69

Capítulo 10.

Fracciones II .......................................................................

77

Capítulo 11.

Tanto por ciento ................................................................

84

Capítulo 12.

Operaciones Matemáticas I .............................................

92

Capítulo 13.

Sucesiones Numéricas I ...................................................

99

Capítulo 14.

Series .................................................................................. 106

Capítulo 15.

Sucesiones Literales .......................................................... 113

Capítulo 16.

Conteo de Figuras ............................................................. 119

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

Lógica Recreativa

Hallaremos en este tema ejercicios muy interesantes en los cuales tendrás que aplicar tu habilidad y destreza visual, usando conocimientos elementales de la geometría y la aritmética, aunque en algunos tu ingenio e imaginación. Encontrarás ejercicios de diferente nivel, desde los básicos hasta los complicados. Emplearás tu creatividad hasta desarrollar tu habilidad analítica y esto te ayudará a desarrollar tu pensamiento creativo mediante el empleo de nuevos enfoques ingeniosos.

1

Ejemplo 2: Retirando once cerillas, deja seis.

Resolución: Quito once cerillas

Cerillas Hallaremos ejercicios de interés que para resolverlos aplicarás tu destreza visual y habilidad mental; cambiando de posición, colocando o quitando cerillas según la conveniencia del ejercicio. Ejemplo 1: Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

Ejemplo 3: Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posición de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.

Resolución: Cambio

Quedaría

Formando líderes con una auténtica educación integral

9

Raz. Matemático - 1ro Sec. Resolución:

Ejemplo 5: Cambio 1 2

3

Sí, Farid, pues yo estudié en Mentor y en un momento te daré la respuesta.

Aarom, puedes decirme, ¿qué día será el ayer de pasado mañana si el ayer de mañana es jueves?

5

4

Quedaría 1

3

2

Después de aquella conversación, Aarom hizo lo siguiente: 5

4

Resolución: Considerando la siguiente analogía:

Ejemplo 4: Como se ve, las ocho cerillas forman en este caso catorce cuadrados. Retira dos cerillas y deja solo tres cuadrados.

Anteayer

Ayer

Hoy

–2

–1

0

Pasado Mañana Mañana 1

2

Ahora el dato:

ayer de mañana jueves



–1



+1 0 jueves

Resolución:

Luego piden :

Quito 2 cerillas

–1

El ayer de pasado mañana +2 +1

(Dato) (Piden) jueves viernes –2

–1

0

1

2

Después de resolver, Aarom le responde a Farid que ese día será el viernes. Rpta.: Viernes

Relación de Tiempo

Ejemplo 5:

Para el desarrollo de este tipo de ejercicios se sugiere utilizar la recta numérica comparando los números con los días; así:

Si hoy es domingo, ¿qué día será el ayer de pasado mañana de hace dos días? Resolución: Dato : 0 domingo Piden : –1 + 2 – 2 = – 1

1. RECTA NUMÉRICA

–3

Anteayer

Ayer

–2

–1

Pasado Hoy Mañana Mañana 0

1

2

sábado domingo 3

–2

–1 0 (Piden) (Dato)

1

2 Rpta.: Sábado

10

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. Del cuadro, se deduce que mi padre es el tío del hijo de su hermana.

Ejemplo 7:

∴ Rpta.: Es mi padre.

Sabiendo que el mañana del anteayer del ayer de mañana era martes, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? Dato : +1 – 2 – 1 + 1 martes – 1 martes

Ejemplo 2: ¿Qué parentesco tiene conmigo la comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana? Resolución:

Piden : –2 + 1 + 2 = +1

Hagamos un gráfico. Martes Miércoles Jueves

–2

2 1 (Piden)

0

–1 (Dato)

Esposos

Rpta.: Jueves En este tema se presentan ejercicios referentes a las situaciones de relaciones familiares o parentesco, en los cuales los enunciados son de difícil comprensión, para lo cual nosotros haremos uso de nuestra habilidad mental para llevar a cabo el proceso lógico–deductivo que nos lleve a la solución de los ejercicios. Alumno Mentor, te sugerimos resolver los ejercicios realizando enfoques diferentes al pensamiento convencional.

Parentesco Aquí observaremos enunciados de difícil comprensión, pues los resolveremos graficando los personajes de manera coherente.

Yo

Mi hijo

Del cuadro se deduce que la persona buscada es mi esposa. ¿Existe otra forma para resolver este tipo de problemas? Pues si escribimos el texto para analizarlo, y empezamos del final del texto hacia el inicio del mismo. «La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana» Mi hijo Mi comadre

Ejemplo 1:

Mi esposa

Mi nombre es Gisela. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre? Resolución: Hagamos un gráfico. Hermanos

de

de padre a hija

tío

as

ob

Yo (Gisela)

Relación de madrina a ahijado

rin

o

Única hermana de mi padre (tía) de madre a hijo

∴ Rpta.: Esa persona es mi esposa.

Cantidad de integrantes de la familia Usualmente para este tipo de problemas se pide la cantidad mínima de personas que integran un grupo familiar, y para resolver esto, debemos relacionar la mayor cantidad posible de características a las personas para que su número sea mínimo. Ejemplo 3:

Hijo de Tía

En un restaurante estaban cenando dos padres y dos hijos, ¿cuál es el menor número de personas que había en el restaurante?

Formando líderes con una auténtica educación integral

11

Raz. Matemático - 1ro Sec. Resolución:

Ejemplo 5:

Es decir que había dos padres. Hagamos lo posible para que a la vez sean dos hijos, así:

Un automóvil recorre 8000 km permutando sus llantas (incluyendo la de repuesto). Para que todas tengan igual desgaste, ¿qué distancia recorre cada llanta? Resolución:

(Abuelo) Pues el automóvil lleva siempre 5 llantas (una de repuesto), de las cuales cuatro de ellas siempre están en movimiento. Padres

8000 km

(Padre) Hijos Como las 5 llantas se permutan, entonces cada llanta recorre:

4 x 8000 = 6400 km 5

∴ Rpta.: 6400 km ∴ Rpta.: La respuesta sería 3. Ejemplo 6:

Situaciones Diversas En este tema nos encontraremos con situaciones ingeniosas que exigen raciocinios hábiles para dar respuestas ingeniosas.

¿Cuál es el menor número de rectas que deben trazarse para dividir la figura en 6 regiones?

Ejemplo 4: Josué tiene un libro de 200 hojas, y su hermanito Ángelo le arranca las páginas 12; 15; 20; 100; 121; 138; 140. ¿Cuántas hojas le quedan? Resolución:

Resolución:

Pues obvio, si arrancó la página 15 por ejemplo, también se habrá arrancado la página 16. Sabes ¿por qué?

Deben trazarse dos, tal como se muestra a continuación:

Entonces se habrá arrancado en realidad las páginas:

11; 12 15 ; 16 19;20 99;100 121;122 137;138 139;140 1 hoja

1 hoja

1 hoja 1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

∴ Rpta.: Quedan : 200 – 7 = 193

4

5

6 3

2 1

hojas

12

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) Quita cuatro palitos de fósforo de la figura, de tal manera que queden sólo cinco cuadrados del mismo tamaño.

4) Retirando cinco palitos de fósforo deja uno.

5) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados? 2) La siguiente igualdad formada con palitos de fósforo es incorrecta. ¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo para que exprese una igualdad correcta?

Rpta: _____ 3) La siguiente igualdad formada con palitos de fósforo es incorrecta. ¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo para que exprese una igualdad correcta?

Rpta: _____ 6) Halla el mínimo número de palitos de fósforo que se deben mover en la figura para que el pez representado mire al otro lado.

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Quita tres palitos de fósforo, de tal manera que queden sólo tres cuadrados.

2) En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número de cerillas que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?

4) Retire siete palitos y deje ocho.

5) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para que no quede ningún cuadrado?

Rpta: _____ 3) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para que en total se formen 5 cuadrados?

Rpta: _____ 6) ¿Cuántas bolitas se deben de mover como mínimo para que la figura se invierta?

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Rpta: _____ 13

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

1

El ayer de ayer fue jueves. ¿Qué día será el mañana de mañana? a) Lunes b) Miercoles d) Viernes

1

Si el ayer de mañana es jueves, ¿qué día es hoy? a) Lunes b) Martes d) Jueves

c) Jueves e) Sábado

c) Miercoles e) Viernes

Resolución: Resolución:

Clave: 2

Si el anteayer de ayer de mañana de pasado mañana es sábado, ¿qué día fue anteayer de ayer? a) Lunes b) Martes d) Jueves

c) Miércoles e) Sábado

Resolución:

2

Si el anteayer de mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer?

Para el profesor: a) Jueves b) Martes d) Miércoles

c) Viernes e) Sábado

Resolución:

Clave: 14

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Par

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado mañana es jueves, ¿qué día será el anteayer del ayer del mañana de hace 2 días? a) Lunes b) Miércoles d) Sábado

3

Si el pasado mañana de ayer de anteayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día será el mañana de ayer de anteayer de hace 3 días? a) miércoles b) lunes d) domingo

c) Viernes e) Domingo

c) martes e) sábado

Resolución: Resolución:

Clave: 4

¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre? a) Hermana b) Abuela d) Prima

Clave: 4

c) Tía e) Nieta

Resolución:

¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Hermana b) Prima d) Hija

c) Sobrina e) Nieta

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 15

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

¿Quién es el hombre que es el padre de la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Yo mismo b) Hermano d) Tío

5

¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre? a) Mi hermana c) Mi madre d) Mi cuñada

c) Abuelo e) Primo

b) Mi tía e) Mi sobrina

Resolución: Resolución:

Clave: La hermana del hijo de la hermana del hijo del 6 hermano de mi padre es mi: a) Mi prima b) Mi sobrina c) Mi tía d) Mi nieta e) Micuñada

Clave: 6

¿Qué parentesco tiene conmigo un joven que es el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) Padre b) Hermano d) Hijo

c) Tío e) Primo

Resolución: Resolución:

Clave: 16

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único? a) Madre b) Esposa d) Hija

7

c) Sobrina e) Prima

¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Madre b) Hija d) Sobrina

c) Suegra e) Nieta

Resolución: Resolución:

Clave: 8

Pepe le dice a su papá que la hermana de su tío no es su tía, su papá le responde: «Tienes razón». ¿Quién es entonces la hermana de su tío que no es su tía? a) Madre b) Prima d) Tía

Clave: 8

c) Hermana e) Sobrina

¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) Mi hijo b) Mi hermano c) Yo mismo d) Mi padre e) Puede ser b ó c Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

17

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

2

Habilidad Operativa

Iniciaremos el capítulo mediante el estudio de métodos que nos permiten ahorrar tiempo en los cálculos. Presentaremos algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones básicas. El dominio de los métodos o mecanismos que planteamos sólo requieren de práctica y habilidad.

Multiplicación Abreviada 1. MULTIPLICACIÓN POR 5 Deduzcamos el procedimiento. 1) 213 x 5 = ? 10 2130 = 213 x = 1065 2 2 2) 325 x 5 = ? 325 x

3250 10 = 2 = 1625 2

Regla Práctica Para multiplicar por 5 se le agrega al número un cero a la derecha y el resultado se divide entre 2.

Veamos el procedimiento: 1) 3874 x 11 = ? + + + +

3 874 11 3 874 3 874 42 614 x

0 3 8 7 4 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 2 6 1 4

∴ 3874 x 11 = 42614

Regla Práctica

Para multiplicar por 11, la última cifra se repite, las siguientes cifras del resultado se obtienen sumando de derecha a izquierda sucesivamente, hasta llegar a la primera cifra, que también se debe sumar con la cifra cero. Ejemplos: 1. 87 x 11

= ............................

2. 456 x 11

= ............................

3. MULTIPLICACIÓN POR 15 Veamos el procedimiento: 1) 24 x 15 = ? 24 x 15 = (24+12) x 10 = 360

Ejemplos: 1. 832 x 5

2. MULTIPLICACIÓN POR 11

= ........................

2. 4 783 x 5 = ....................... 3. 92 432 x 5 = .......................

Regla Práctica

Para multiplicar por 15, sólo se le agrega su mitad y a este resultado se le multiplica por diez. 1. 82 x 15 = ............................ 2. 341 x 15 = ..........................

18

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 4. MULTIPLICACIÓN POR 25 Deduzcamos el procedimiento:

Regla Práctica ab x cd

1) 42 x 25 = ? 42 x

ab cd

x

x

3° 2° 1°

1° Producto de las cifras de las unidades (b x d). 2° Suma de los productos en aspa. (a x d) + (c x b) 3° Producto de las cifras de las decenas (a x c).

4200 100 = = 1050 4 4

Regla Práctica Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4.

Ejemplos: 1. 25 x 48 = ............................

Ejemplos:

2. 57 x 34 = ............................

1. 429 x 25 = ............................

Cálculo de números al cuadrado

2. 926 x 25 = ............................

5. MULTIPLICACIÓN POR 9, 99, 999, 9999, ...

1. cuadrado de un número de 2 cifras

Deduzcamos el procedimiento:

Veamos el procedimiento: 1) (14)2 = ? (14)2 = (14 + 4) (14 – 4) + 42 (14)2 = (18) (10) + 16 (14)2 = 196

1) 3265 x 999 = ? Se agregan 3 ceros (son 3 nueves) 3265000 – 3265 3261735

Regla Práctica (ab)2 = (ab + b) (ab - b) + b2

Regla Práctica

Para multiplicar por cifras 9, se coloca a la derecha del número tantos ceros como “nueves” tenga el otro número y en seguida al número obtenido se le resta el número original.

Ejemplos: 1. (52)2 = ............................ 2. (93)2 = ...........................

Ejemplos: 1. 27 x 9999 = ............................ 2. 563 x 999 = ............................

2. cuadrado de un número que termina en 5 Deduzcamos el procedimiento: 1) (185)2 = 34225 x 19

6. MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO

Regla Práctica

Veamos el procedimiento: 1)

(N5)2 = .............25

31 x 12 = ? 6 x

31 12 372 6+1

x(N + 1)

1 x

Formando líderes con una auténtica educación integral

Ejemplos: 1. (85)2 = ............................ 2. (235)2 = ............................

19

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 4) ¿Cuál es el resultado de la expresión «C»? C = (x–a)(x – b)(x – c) ... (x – z)

1) Halla con rapidez el valor de «a +b + c», si: 4 321 x 11 = 4abc1 Rpta: _____



Rpta: _____

5) Halla «a + b», sabiendo que: (3a)2 = 11b6

2) Halla «a + b + c», si: 132 x 99 = a30bc Rpta: _____

Rpta: _____

6) Resuelve:

3) Halla «a + b», sabiendo que: (5a)2 = b025



R = 352 + 38 x 11 + 21 x 34 Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar

1) Determina «a + b», si: 23 x 11 = 2ba

4) En qué cifra termina el resultado de: E = 2 x 4 x 6 x .... ; (n ≥ 5) «n» factores Rpta: _____ Rpta: _____

2) Halla la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N = 172 x 999

5) Hallar a + b: (3a)2 = 13b9

Rpta: _____

3) Determina «a + b», si: (b5)2 = ab5

6) Resuelve: N = 652 + 57 x 11 Rpta: _____

20

Rpta: _____

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

1

Si MESA x 9999 = ... 2568 Halla «M + E + S + A». a) 12 b) 13 d) 15

1

c) 14 e) 18

Si: PATY x 999 = ...7341 Halle P+A+T+Y a) 20 b) 24 d) 21 Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Calcula la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N =11 x 101 x 10001 x 100000001 a) 10 b) 16 d) 32

c) 22 e) 25

Clave: 2

c) 8 e) 12

Si LUZ x 1001 = ...374, halla «L + U + Z». a) 12 b) 15 d) 16

c) 13 e) 14

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 21

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Halla las tres últimas cifras de «n» si: n x 18 = ... 8428 ... (1) n x 28 = ... 0888 ... (2) a) 182 b) 426 d) 642

c) 828 e) 246

Resolución:

3

Halla las tres últimas cifras de "a", si: a x 13 = ... 906 a x 47 = ... 814 a) 752 b) 543 d) 628 Resolución:

Clave: 4 Si: a2b3 . 11 = 35 673 Indique el valor de a + b a) 3 b) 5 d) 9

Clave: 4 Si: mnp2 . 11 = 6 892 Indique P - (m+n)

c) 7 e) 11

a) 2 b) 1 d) 0

c) 3 e) 4

Resolución:

Resolución:

Clave: 22

c) 762 e) 482

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

5 Calcula: A2 + 2B - C si: 11 x A = 187 (B5)2 = 2025 11 x C = 341 a) 295 b) 266 d) 281

Halla “3A + B2 + C” si: (AB5)2 = 15 625 11 x C = 1078 a) 127 b) 138 d) 150

c) 256 e) 315

c) 181 e) 132

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Halla la última cifra, luego de efectuar el producto: P = (22004+1)(22003+1)(22002+1)...(22+1) a) 4 b) 5 d) 9

Clave: 6

c) 7 e) 6

¿En qué cifra termina M = (10+1)(102+3)(103+5)(10500+999)+4? a) 5 b) 7 d) 0

c) 9 e) 6

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 23

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Si la suma posee 60 sumandos:

4 1 5 4 2 6 1 5 3 4

1 2 3 1 2

4 5 6 4 5 6

7 1+ 2 3 1 2 3 1

Hallar (a + b + c + d), si: 77777 ..... 7777 + 7777 ..... 7777 777 ..... 7777 ............. 7777 777 77 7 . . . dcba

** * ** e d cb a



halla a + b + c - d - e a) 0 b) 1 d) 3

50 términos

a) 17 b) 24 d) 26

c) 2 e) 4

c) 23 e) 28

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Efectúa y dar como respuesta la suma de cifras de “A”. 12 1212 121212 A= + + ... + 25 2525 252525

8

Efectua y da como respuesta la suma de cifras de "A" 17 1717 171717 A= + + + ... 16 1616 161616   64 sumandos

100 sumandos a) 12/25 b) 25/12 d) Faltan datos

Clave:

c) 12 e) 48

a) 68 b) 34 d) 51

c) 17 e) 75

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 24

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolución de Ecuaciones

Ecuación 1. definición Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. A las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación. Ejemplo: incógnita • 3 x + 5 = 11 → solución: x = 2 igualdad incógnita x=2 • x = 4 → soluciones: x = -2 2

Capítulo

3

• x2 = 16 → Tiene dos soluciones: 4 y -4 * 3x + 5 = 2x + 11 ⇒x=6 Indeterminada Si tiene infinitas soluciones. Ejemplos: • x - 5 = x - 3 - 2 • xº - 1 ; x ≠ 0 * 5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 ⇒ 5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0=0  Ecuación incompatible Es aquella que no tiene solución posible. Ejemplos:

igualdad

• x + 3 = x - 3 2. clasificación de las ecuaciones según sus soluciones

• 0 . x = 3

 Ecuación compatible

* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13

Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en:

3. sistema de ecuaciones

Pueden ser compatibles o incompatibles:

Determinada Si tiene un número finito de soluciones. • 3x + 2 = 14 → Tiene una solución: 4

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan. Ejemplo: x+y=5 x-y=3 (Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.)

Formando líderes con una auténtica educación integral

25

Raz. Matemático - 1ro Sec. Solución:

x=4 y=1

Por igualación De(I) y (II) despejamos “x” o “y”, en este caso vamos a despejar “y”.

ya que satisface ambas ecuaciones

Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes métodos: - Método de reducción o eliminación. - Método de sustitución. - Método de igualación. Ejemplo:

→ y = 13 - 2x ... A 3

De II: 3x - y = 3 → 3x - 3 = y ... B



utilizando los tres métodos mencionados.

∴ x=2

Reemplazando en A o B obtenemos: y=3

Resolución: Por reducción o eliminación

Multiplicamos la ecuación (II) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminaremos la incógnita “y” y obtendremos el valor de “x”.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4

2x + 3y = 13 9x - 3y = 9

Resolución:

11x = 22 →

A y B :

13 - 2x = 3x - 3 → 13 - 2x = 9x - 9 3 22 = 11x

2x + 3y = 13 ... (I) 3x - y = 3 ... (II)

Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 por (x - 7).

∴ x = 2

Conocido el valor “x” se reemplaza en (I) o (II) para determinar el valor de “y”. Reemplazamos en (I): 2(2) + 3y = 13 ∴y=3

3x - 21 + 5 = 2x + 4 Transponiendo términos: 3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20

x=2 y=3

Por sustitución De (II) despejamos la variable “y” para luego reemplazarlo en (I). 3x - y = 3 → 3x - 3 = y .... A 2x + 3 y = 13 2x + 3(3x - 3) = 13 2x + 9x - 9 = 13 →

∴x=2

Con “x” conocido, reemplazamos en A y hallamos “y”. y=3

26



Igualando

Resuelve el sistema siguiente:

Solución:

De I: 2x + 3y = 13 → 3y = 13 - 2x

Nicolás Oresme (1323 - 1382) fue probablemente el primero en usar el signo + para la suma en su libro Algorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. Anteriormente “+” se escribía “et” del latín “y”. Después también se uso p (plus).

+

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

4. Resuelve: 1 13x 3x 5 + 4 = 9 + 12 2

Resolución: Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando productos notables.

Resolución: 2 1 1 1 1

(x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4) Se tiene:

Transponiendo y agrupando términos: 9 + 7 - 24 = x2 - x2 - 6x + 10x

12 6 3 1 1

2 2 3 3

18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x=3

-8 = 4x -2 = x

Observación: Nota que se procura tener a la incógnita con coeficiente positivo.

9 9 9 3 1

MCM = 2 x 2 x 3 x 3 MCM = 36

x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24

Reduciendo: Luego:

4 2 1 1 1

5. Resuelve:

3. Resuelve: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0 Resolución: Efectuando el paréntesis: 10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0 15 x - 6 = 0 Despejando “x”: 15x = 6 →x= 6 15

Formando líderes con una auténtica educación integral

x = 4x2 - 5x + 50 - x Resolución: x+x =

4x2 - 5x + 50

2x = 4x2 - 5x + 50 Elevando al cuadrado: (2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50 x = 50 5 x = 10

27

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 4) Halla "x":

1) Halla "x":

x x 3x = 10 + 12 5 2

2x + 3 = x + 5 Rpta: _____

5) Resuelve:

2) Halla "x":

Rpta: _____



3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28

3(x + 1) + 4(x - 2) = 16

Rpta: _____

3) Halla "x":

Rpta: _____



3x - 7 2x + 6 = 5 4

6) Halla “x” en la ecuación: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x) Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Halla "x":

4) Resuelve: 3x - 1 = x + 9

x-2 x-1 + =2 4 2

Rpta: _____

Rpta: _____



2) Halla "x": 5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1)



5) Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26

Rpta: _____

Rpta: _____

3) Resuelve: 6) Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4)

2(5 - x) 4(x - 2) = 2 5 Rpta: _____

28

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

1

Resuelve: (-x -4) - (4x - 2 + 3) = -(6x - 8) + (2x - 4 + 3) a) 7 b) 5 d) 8

1

Resuelve: 5(x + 8) + 4(x - 6) = 71 a) 6 1/9 b) 5 3/7 d) 6 2/3

c) -12 e) -5

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Clave: 2

Resuelve: 5(x + 1) 2x - 1 x + 13 =3x + 24 8 3 a) 12 b) -8 d) 9

c) 5 2/9 e) 6

c) 8 e) -6

Resolución:

Resuelve: 1 x 1 2x + x+ 16 = 2 6 3 9 a) -12 b) 8 d) -7

c) 15 e) 9

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 29

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

3 Calcula a + b, si:

Resuelve: 3x + 2y = 18 x - y = -4

3a - 8 = -b a=b+4

a) x = 2 b) x = 4 c) x = 2 y = 2 y = 3 y = 6

a) -1 b) 3 d) 4

b) x = 3 e) x = 5 y = 6 y = 6

Resolución:

c) 0 e) 2

Resolución:

Clave: 4 Si x + y = 12 y + z = 8 x + z = 10 Calcula x + y + z a) 15 b) 12 d) 11

4 Si: a + b = 12 b+c= 8 c+a= 6 Calcular: "a" c) 14 e) 13

Resolución:

a) 3 b) 4 d) 5

c) 7 e) 6

Resolución:

Clave: 30

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5 Si: a - b + c = 5 b - c + d = 7 c - d - e = 4 a + b + d = 9 e - a + f = 2 , Calcula: 2(a + b + c + d + f). a) 27 b) 26 d) -28

5 Si x = 2y 2y = 3z x + y + z = 11, halla x + 2 y + 2z . a) 32 b) 18 d) 29 c) 54 e) -14

c) 26 e) 27

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Calcula "x" en: 5x = 4y x(x + 2y) = (9 + y) (9 - y) a) 3 b) 5 d) 6

Clave: 6 Si: 4 y = 9 x y - x = 40 , calcula "x".

c) 3.5 e) 4

a) 24 b) 48 d) 56

c) 32 e) 40

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 31

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Indica el valor de “x” que verifica las siguientes igualdades: x x= x -9 4 2 a) 12 b) -8 d) 9

7

Resuelve: 3 x+5 = 4 2x - 2 a) 10 b) 5 d) -6

c) 8 e) -6

c) 13 e) 12

Resolución: Resolución:

Clave: 8

Calcule el valor de "a" en:

8

a −1 m − n +1 = a +1 m + n −1

a) m n d)

b)

m+n m−n

m n −1

Clave:

c)

m n +1

e) mn

Calcula el valor de "x" en: x +1 a + b + 1 = x-1 a + b -1 a) a b) ab d) a - b

c) b e) a+b

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 32

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

Planteo de Ecuaciones

Aspectos Elementales 1. ¿qué es una ecuación? Es una igualdad conformada por números e incógnitas en la que nuestra finalidad será hallar el valor de la variable.

4

El ser humano, lógicamente, no escapa a esta característica; sin embargo él ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simbólico, el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc. Observa los siguientes gráficos:

2. ¿para qué estudiamos este tema? Para desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocablo, para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria con sus situaciones problemáticas. La comunicación es una actividad muy importante para la vida y desarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, para poder comunicarse, han logrado diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el radar). Estos animalitos emiten señales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano. Existen otros lenguajes, quizás, más  “sencillos” de comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, él te recibirá “saludándote” moviendo la colita. Ésta es un señal de afecto. O también cuando en algún momento al acercanos nos gruñe; ésta es una señal de incomodidad.

Indica peligro

Indica proceso correcto

Indica primeros auxilios

Indica servicios higiénicos masculinos

Estos corresponden al lenguaje simbólico. Cuando caminas por la calle y el semáforo está en rojo, para ti indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está

Formando líderes con una auténtica educación integral

33

Raz. Matemático - 1ro Sec. demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del lenguaje cromático.

Lenguaje Textual

Lenguaje Matemático

• La suma de dos

x+y

• La suma de los

a2 + b2

• El cuadrado de la

(a + b)2

• La suma de dos

x + (x + 1)

• El cuádruple de lo que

4x + 20; tengo “x”

• El cuádruple, de lo que

4(x + 20); tengo “x”

números.

cuadrados de dos números.

Indica que algo está correcto

Indica silencio

suma de dos números. números consecutivos. tengo, aumentado en 20.

Indica que algo está incorrecto En el lenguaje matemático hacemos uso de los “números” (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: +; resta: - ; multiplicación: x; etc.) Observa los ejemplos: 8 + 2 x 34

;

6-

49 8

tengo aumentado en 20.

1. método para la resolución de un problema 1. Lee cuidadosamente el problema y estudialo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea.

2

En el lenguaje textual hacemos uso de las “letras” (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente. Todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y el textual, interpre-tándolos de manera adecuada para la solución de problemas.

2. Identifica las cantidades compren-didas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas. 3. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una letra, “x” por ejemplo y se efectúa con ella y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

 Resolución de la ecuación

Parte Teórica En este tema no hay una teoría nueva. Todas las herramientas que necesitas para solucionar problemas, tú ya las conoces. Quizás lo más dificultoso que puede haber es interpretar adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje matemático. No hay una regla específica para esta “traducción”, sin embargo, aquí tienes unos ejemplos que de seguro te ayudarán.

Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron. * Observación: Para el planteo de una ecuación es importante tener en cuenta “la coma”, veamos. Ejemplo: El triple de un número, aumentado en 8

3x + 8 El asterico, para representar la multiplicación proviene de Johann Rahn (1622 - 1676), quien en 1659 lo usó en su libro Teutsche Álgebra.

34

El triple, de un número aumentado en 8

3(x + 8)

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. Según el enunciado: x + 3x = 64 4x = 64 x = 16

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Halla un número, tal que al agregarle 432 obtendremos su triple disminuido en 8.

Luego; los reunidos son: adultos = 16 niños = 3x16 = 48

Resolución: El número es: n  n + 432 = 3n - 8 440 = 2n n = 220

4. Halla tres números pares consecutivos que sumados den 216.

* Si la expresión hubiera sido: “El triple de la diferencia del número con 8”, se simbolizaría así: 3(n - 8)

Resolución: Si llamamos “x” al primero, entonces “x + 2” y “x + 4” serán los otros dos.

El número es 220.

Según el enunciado: x + (x + 2) + (x + 4) = 216 x + x + x + 6 = 216 3x + 6 = 216 3x = 210 x = 70

2. Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su perímetro mide 24 m. Halla las dimensiones del rectángulo. Resolución: Sea el rectángulo de ancho "x"

∴ Los números son 70; 72 ; 74

x 3x Dato del problema: 3x + 3x + x + x = perímetro 8x = 24 x=3

5. Halla dos números que sumados den 300 y restados 200.

Luego, las dimensiones son: largo = 9 ancho = 3 3. En una reunión hay 64 personas, siendo el número de niños el triple de los adultos. ¿Cuántos son niños y adultos? Resolución: Si “x” es el número de adultos, el de niños será 3x.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Resolución: Llamemos “x” al mayor de ambos, el menor valdrá 300 - x, la diferencia de ambos números es 200 que se formulará por la ecuación: x - (300 - x) = 200 Eliminando el paréntesis: x - 300 + x = 200 2x = 500 x = 250 ∴ El mayor: 250 El menor: 50

35

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) La cuarta parte de un número es 20. El triple de dicho número es: Rpta: _____

4) La diferencia de dos números es 36. Si al mayor se le disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor. Halla el producto de los números dados. Rpta: _____

2) La suma de dos números pares consecutivos es 110. Halla el menor de los números.

5) El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Halla el número.

Rpta: _____

Rpta: _____

3) La suma de un número con su doble, su triple y su cuádruplo es 110. ¿Cuál es el número?

6) Si al doble de un número natural, aumentado en 3 se eleva al cuadrado, resulta mayor en 10 que 111. El cuádruple del número es:

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) La mitad de un número es 29, ¿cuál es el número? Rpta: _____

4) Halla dos números consecutivos, tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23. Rpta: _____

2) La suma de dos números impares consecutivos es 112. Halla el mayor de los números.

5) El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”?

Rpta: _____

Rpta: _____

3) Halla un número, tal que al agregarle 504 obtenemos su triple disminuido en 8.

6) ¿Cuántos buzos tiene Diego si sabemos que al octuplicarlos y restarle ocho, obtenemos siete veces dicha cantidad aumentada en tres?

Rpta: _____ Rpta: _____

36

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 4

1

Una casaca cuesta igual que cierto reloj, pero el costo de una camisa es la tercera parte del costo de dicho reloj. Si la casaca y la camisa juntas cuesta 80 soles, ¿cuánto cuesta la camisa?

1

Un padre compra para su hijo una corbata y una camisa por 300 soles. Si el precio de la camisa es el cuádruplo que el de la corbata, ¿cuánto vale la corbata?

a) 20 b) 40 d) 80

c) 60 e) 100

a) S/. 60 b) S/. 70 d) S/. 90

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Si los tres lados de un triángulo miden 2x+3, 3x - 1 y 4x + 3 centímetros y el perímetro de la figura es de 23 cm, indica el mayor de estos lados. a) 3 b) 5 d) 11

c) S/. 80 e) S/. 65

Clave: 2

c) 7 e) 13

El perímetro de un rectángulo es de 84 m. Si el largo excede en 8 m al ancho, ¿cuál es el área del rectángulo? a) 400 m2 b) 420 m2 2 d) 360 m

c) 240 m2 e) 425 m2

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 37

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da seis pasos más que subiendo de cinco en cinco. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera?

3

Una escalera tiene "x" escalones, si subimos de 4 en 4 escalones damos 10 pasos más que subiendo de 5 en 5. Indique el valor de "x".

a) 45 b) 50 d) 35

a) 20 b) 210 d) 200

c) 40 e) 25

Resolución:

Resolución:

Clave: 4

El número de hombres es cinco veces el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay? a) 7 b) 10 d) 15

c) 150 e) 250

c) 5 e) 35

Clave: 4

En una fiesta el número de hombres es cinco veces más que el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántos hombres hay? a) 36 b) 35 d) 7

c) 6 e) 5

Resolución: Resolución:

Clave: 38

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

La cola de un lagarto mide 8 cm y el cuerpo mide el triple de su cabeza. Si el lagarto tiene 32 cm de largo, ¿qué longitud tiene la cabeza? a) 5 cm b) 6 cm d) 8 cm

David y Sonia tienen juntos S/. 480 pero Sonia 5 tiene S/. 60 más que David. ¿Cuánto tiene David?

c) 7 cm e) 12 cm

a) S/. 270 b) S/. 240 d) S/. 180

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

El triple del exceso de un número equivale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 30. Halla el mencionado número. a) 50 b) 60 d) 45

c) S/. 210 e) S/. 220

Clave: 6

c) 65 e) 55

Resolución:

El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Halla el número. a) 72 b) 80 d) 56

c) 64 e) 76

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 39

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Entre A, B y C tienen 140 soles. Si C tiene la mitad de A y A tiene 10 soles más que B, ¿cuánto tiene A? a) S/. 60 b) S/. 30 d) S/. 40

7

Entre A, B y C tienen 210 soles. Si B tiene la mitad de A y la cuarta parte de C. Indique la cantidad de C. a) S/.120 b) S/.150 d) S/.90

c) S/. 50 e) S/. 45

Resolución:

c) S/.60 e9 S/.100

Resolución:

Clave: Los pasajes en microbús valen S/.0.80 y S/.1.50 8 para universitarios y adultos, respectivamente. Luego de una vuelta en la que viajaron 80 de esas personas se recaudó S/. 78. ¿Cuántos universitarios viajaron? a) 40 b) 60 c) 80 d) 50 e) 70

Clave: 8

Entre ocho personas tienen que pagar en partes iguales S/. 200. Como algunos de ellos no pueden hacerlo cada uno de los restantes tiene que pagar S/. 15 más. ¿Cuántas personas no pagaron? a) 3 b) 4 d) 6

c) 5 e) 7

Resolución: Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 40

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

5

Edades

1. INTRODUCCIÓN

3.2. Tiempos

Debido a que estos problemas sobre edades tienen un texto que debemos interpretar y traducir, cabe plantear la siguiente interrogante: ¿Por qué no se estudiaron este tipo de problemas en el capítulo anterior sobre planteo de ecuaciones?

Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente o futuro) y todo depende de su correcta interpretación. Es decir:

Lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden ser resueltos empleando formas particulares y prácticas muy interesantes y efectivas (incluso sin ecuaciones), y es por ello que ameritan ser tratados en un capítulo aparte en el cual se propondrán otras técnicas de planteo y resolución de problemas. La importancia del tema aquí desarrollado, queda en evidencia por cuanto contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones, y consolida las ya estudiadas en el capítulo anterior.

2. OBSERVACIÓN En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: sujetos, tiempos y edades. Sobre ellos trataremos a continuación.

3. nociones previas 3.1. Sujetos

Tiempos

Expresiones

Presente En un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Tengo... Tenemos... Tienes... Hoy la edad... La suma de nuestras edades es..., etc.

Pasado En un problema pueden darse uno o más pasados. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Hace... Teníamos... tuvimos ... Tenía, tuve, ... Tenías, tuviste, ... La suma de nuestras edades fue..., etc.

Futuro En un problema pueden darse uno o más futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Dentro de... Tendré... Tendremos, Tuviésemos, Tendrás, ... La suma de nuestras edades será..., etc.

Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. Ejemplo: Gisela es cinco años menor que Jorge pero tres años mayor que Janeth.

Formando líderes con una auténtica educación integral

41

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3.3. Edad

Resolución:

La edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entre tiempos diferentes. Ejemplo:

Presente Pasado dentro de 5

Sara

3x

Tiempo

Edad

Hace 11 años Hoy

15

Dentro de 4 años

30

3x+5

dentro de 5

Ángel

Hoy tengo 26 años, pero dentro de cuatro años tendré el doble de la edad que tenía hace 11 años.

x+5

x

Por condición del problema: 3x + 5 + x + 5 = 46 4x = 36 x = 9 (Edad de Ángel) Respuesta: 9 años

26

EJERCICIOS RESUELTOS

Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemas en dos tipos. * Con un solo sujeto

Desarrollemos el cuadro:

1. Hoy tengo 20 años, ¿podrías decir qué edad tenía hace seis años y cuántos años cumpliré dentro de ocho años? Resolución:

Cuando interviene la edad de un solo sujeto.

hoy tengo

Ejemplo:

hace 6 años

Dentro de 20 años tendré tres veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tuve hace tres años?

dentro de 8 años

20 años

Resolución: Asumiendo la edad actual “x” años: hace 10 años x - 10 pasado

Tiempo Presente

dentro de 20 años

x presente

2. Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace cinco años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuánto me falta para cumplir 60 años?

x+20 futuro

Resolución:

Por condición del problema:

hace 5 años

x + 20 = 3(x - 10) x + 20 = 3x - 30 20 + 30 = 3x - x 50 = 2x x = 25 ⇒ Edad actual es 25 años. ∴ Hace tres años tuve 22 años.

x-5 pasado

x presente

x+10 futuro

Por condición del problema:

* Con varios sujetos

4(x + 10) - 3(x - 5) = 2x x + 55 = 2x x = 55 (edad actual)

Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos.

Ejemplo: La edad de Sara es el triple de Ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad Ángel tiene: 42

dentro de 10 años

∴ Para cumplir 60 años me faltan: 60 - 55 = 5 años

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) Dentro de 34 años Lizet tendrá 63 años. ¿Qué edad tiene actualmente?

4) Si a la edad actual de Pedro le aumentas 16 y le disminuyes 9 te da 24. ¿Cuántos años tiene Pedro?

Rpta: _____

Rpta: _____

2) Juana es 15 años mayor que su hermano Pepe quien tiene 9 años. ¿Cuál es la suma de las edades de los dos?

5) Betty tiene la mitad de la edad de Melanie, Melanie el triple de la edad de Lizet. Si Lizet tiene 8 años, ¿cuál es la suma de las 3 edades?

Rpta: _____

Rpta: _____

3) Una madre tenía 22 años cuando nació su hija. ¿Cuál será la edad de la madre cuando su hija cumpla 17 años?

6) Julia nació en 1986. ¿En qué año cumplirá 32 años?

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Si Margarita tiene 13 años, ¿cuánto le falta para tener 67 años?

4) Yo tengo 9 años y mi mamá, cuatro veces mi edad. ¿Cuántos años tiene mi mamá?

Rpta: _____

Rpta: _____

2) Dentro de 26 años Abel tendrá 71 años. ¿Cuántos años tiene actualmente? Rpta: _____

5) Patricio este año cumple 19 años. ¿En qué año nació Patricio?

3) Sally tiene 8 años y María 15 años. ¿Cuál será la suma de sus edades dentro de tres años?

6) Hace 10 años tenía 5 años. ¿Qué edad tendré dentro de 6 años?

Rpta: _____

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Rpta: _____

43

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 5

1

Si tengo 32 años, ¿dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 12 años? a) 10 b) 12 d) 4

1

c) 6 e) 8

Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuántos años tengo? a) 29 b) 32 d) 31

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Dentro de 13 años el joven Miguel, tendrá ocho veces la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál será su edad dentro de 24 años? a) 35 años b) 50 años c) 40 años d) 55 años e) 45 años Resolución:

Clave:

2

Dentro de dos años tendré el doble de la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál es mi edad actual?

Para el profesor:

a) 16 años b) 22 años d) 18 años

c) 24 años e) 15 años

Resolución:

Clave: 44

c) 30 e) 33

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Par

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

¿Qué edad tengo si la edad que tenía hace 10 años es a la edad que tendré dentro de 50 años como 1 es a 4? a) 20 años b) 60 años d) 30 años

3

c) 40 años e) 50 años

Hace ocho años la edad de A era el triple que la de B y dentro de cuatro años la edad de B será los 5/9 de la de A. Halla la edad actual de A. a) 16 años b) 18 años c) 32 años d) 36 años e) 24 años Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Dado el siguiente esquema, halla 2x. Lili Malú

Pasado Presente 3x 38 26 5x

a) 8 b) 12 d) 16

c) 18 e) 20

Resolución:

Clave:

4

En el siguiente esquema, halla x Alfredo Luis

Pasado Presente 30 36 24 x

a) 31 b) 34 d) 30

c) 32 e) 28

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 45

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

Si tengo 24 años, ¿hace cuántos años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 16 años? a) 1 b) 2 d) 4

5

c) 3 e) 5

Mirtha dice: “Dentro de 16 años mi edad será tres veces la edad que tenía hace dos años”. ¿Qué edad tengo? a) 9 años b) 15 años d) 11 años

c) 12 años e) 14 años

Resolución: Resolución:

Clave:

6

Scarlet le plantea a una de sus hermanas el siguiente problema: “Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años”. ¿Qué edad tiene Scarlet? a) 28 años b) 23 años d) 32 años

c) 30 años e) 25 años

Resolución:

6

La suma de edades de dos personas es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad del otro, ¿cuál es la edad de este último? a) 20 años b) 18 años d) 22 años

c) 21 años e) 19 años

Resolución:

Clave: 46

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

La suma de las edades de dos personas es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad del otro pero hace 10 años, ¿cuál es la edad de este último? a) 20 años b) 18 años d) 22 años

7

Una señora tuvo trillizos cuando tenía 19 años. Hoy suman las edades de todos, 59 años. ¿Qué edad tendrán los trillizos dentro de 2 años? a) 10 años b) 9 años d) 7 años

c) 21 años e) 19 años

c) 12 años e) 13 años

Resolución: Resolución:

Clave:

8

Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 6 años. ¿Qué edad tengo? a) 30 años b) 28 años d) 24 años

c) 22 años e) 26 años

Clave:

8

Maira tiene 24 años, su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Coco cuando Maira tenía la tercera parte de la edad que tiene Coco. ¿Qué edad tiene Coco? a) 18 años b) 20 años d) 14 años

c) 21 años e) 24 años

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

47

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

Ordenamiento Lineal, Vertical y Horizontal

En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente:

Resolución: Talla Sebastián

 La información que nos da el ejercicio necesita ser ordenada.

Ricardo

 Se comienza el ordenamiento utilizando la información precisa o la más relacionada.

Daniel

Mauricio

 Debemos verificar que la respuesta final que hallamos cumpla con las condiciones del problema.

Entonces: a) (F) b) (F) c) (F)

Para su mejor estudio, han sido agrupados según la manera de ordenar la información en:

A. Ordenamiento Lineal

6

Ejemplo 2:

En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma horizontal o vertical, según sea el caso.

 Mirtha es 3 cm más alta que Camila. Angela es 2 cm más baja que Camila.

1. creciente o decreciente

Kiara es 5 cm más baja que Mirtha.

Ejemplo 1: Ricardo, Daniel, Mauricio y Sebastián conversan acerca de su estatura. Ricardo: «Soy más alto que Mauricio pero más bajo que Sebastián». Daniel: «No soy el más bajo». Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: a) Mauricio puede ser el más bajo. ( b) Sebastián es el más alto. ( c) Daniel es más alto que Ricardo. (

48

) ) )

Nataly es 3 cm más baja que Camila. Indica verdadero (V) o falso(F), según corresponda: a) Kiara y Angela son de la misma talla. ( b) Nataly es la más baja. ( c) Camila es la más alta . ( d) Mirtha es la más alta. (

) ) ) )

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. Juntando los datos:

Resolución: Graficando tenemos: 3 cm

Denix

Jam

Max

Alex

Mirtha Camila

Rpta : El volcán Alex es el que está más al este de los demás.

2 cm Angela – Kiara 1 cm Nataly

En conclusión :

a) (V) b) (V) c) (F) d) (V)

B. Ordenamiento por Posición de Datos

2. LATERAL Izquierda Derecha Oeste Este Occidente Oriente Ejemplo 3: Cuatro amigos viven en la misma calle, además:

 Renzo vive a la izquierda de Johnny.  La casa de Johnny queda junto y a la derecha de la de Jorge.  Jorge vive a la izquierda de Oscar.

Los datos del problema se ubican de forma vertical en un cuadro o lista, de forma que entre ellos exista una relación que el enunciado nos indicará. Ejemplo 5: Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Jorge vive en el primer piso, Juan Carlos vive más abajo que ángel y Hugo vive en el piso inmediatamente superior al de Juan Carlos, ¿en qué piso vive Hugo? Resolución:

¿Quién vive a la izquierda de los demás? Resolución: Ubicando según los datos: Casas de: Renzo Jorge

3.er piso

Juan Carlos

2.º piso

Hugo

1.er piso

Jorge

Rpta : Hugo vive en el segundo piso.

Ejemplo 4: El volcán Alex está ubicado al este de Max. El volcán Jam al oeste de Max. El Denix a su vez está ubicado al oeste de Jam. ¿Cuál está ubicado más al oeste? Resolución: Izquierda de «M» Oeste de «M»

ángel

Johnny Oscar

Rpta: A la izquierda vive Renzo.

Considera:

4.º piso

M

Ejemplo 6: En una carrera entre cinco compañeros, María llegó en el primer lugar y Lucía en último lugar. Si Juana le sigue a Leticia e Irene está mejor ubicada que Juana, ¿quién ocupa el segundo lugar?

Derecha de «M»

Resolución:

Este de «M»

Los datos los colocamos en un cuadro horizontal según el puesto que llegaron.

Max

Alex

2.º 1.er puesto puesto

Jam

Max

María

Denix

Jam

Formando líderes con una auténtica educación integral

Irene

3.er puesto Leticia

4.º puesto

5.º puesto

Juana

Lucía

Rpta : Irene llegó en segundo lugar. 49

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia «Melena» vive un piso más arriba que la familia «Guata». La familia «Duende» vive más arriba que la familia «Pirulín» y la familia «Melena» más bajo que la familia «Pirulín». ¿En qué piso viven los «Melena»? Rpta: _____

2) Si Sara es mayor que Maruja y Maruja es mayor que Ricardo, ¿quién es el menor? Rpta: _____

3) Si Rubén es más alto que Rafael y Rafael es más alto que Freddy, ¿quién es el más bajo? Rpta: _____

4) Juan es más alto que Raúl y Pedro es más alto que Juan. ¿Quién es el de menor estatura? Rpta: _____ 5) En un edificio de cuatro pisos viven cuatro profesores, Shirley, Angélica, Kenyo y Úrsula. Si se sabe que:  Angélica no vive junto a Shirley ni a Kenyo.  Kenyo vive más arriba que Shirley y más abajo que Angélica. ¿Entre quiénes vive Úrsula? Rpta: _____ 6) En un edificio de cuatro pisos, viven cuatro hermanos cada uno en un piso diferente:  Hugo vive en el tercer piso, arriba de Quique.  Percy vive en el segundo piso, abajo de Manuel. ¿En qué piso vive Manuel? Rpta: _____

Para Reforzar 1) Si Pablo vive en el piso inmediato superior al piso donde vive Erick, ¿cuál de los siguientes enunciados debe ser verdadero? a) Carlos vive en el tercer piso. b) Javier y Erick viven en el primer piso. c) Erick vive en el tercer piso. Rpta: _____

2) Si Percy es más bajo que Eduardo y Percy es más alto que Iván, ¿quién es el más bajo? Rpta: _____ 3) Si se sabe que:  Julio es más alto que Perico pero más bajo que Luciano.  Luciano es más alto que Calixto pero más bajo que Renato. ¿Quién es el más bajo? Rpta: _____

50

4) Julio es más veloz que Arturo y Tony es tan rápido como Julio. ¿Quién es el más lento? Rpta: _____ 5) Gina nació antes que Lina; Maricielo es mayor que Lina pero no que Gina. Por lo tanto: a) Lina es la mayor. b) Gina no es la mayor. c) Maricielo es la mayor. d) Gina es la mayor. e) Ninguna es correcta. Rpta: _____ 6) Cinco hermanas viven cada una en un piso diferente de un edificio de cinco pisos.  Yolanda vive en el quinto piso.  Claudia vive en el segundo piso.  Karen vive dos pisos abajo de Yolanda.  Claudia vive un piso arriba de ángela. ¿En qué piso vive Gianina? Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 6

1

Pancho es mayor que Lucho, Anacleto es menor que Antonio, Zoila es menor que Anacleto y Lucho es más viejo que Antonio. Entonces es cierto que:

1

a) Lucho es el menor. b) Antonio es el menor. c) Zoila es la menor. d) Pancho es menor que Anacleto. e) Lucho no es mayor que Zoila.

En una mansión de cuatro pisos viven los monstruos: Wilkins, Fernando, Julio y Jorge, uno por piso. Si se sabe que Wilkins vive entre Fernando y Julio, y Jorge un piso más arriba que Fernando, ¿en qué piso vive Julio? a) 2.º piso b) 4to piso d) 3.er piso

c) 1.er piso e) N. A.

Resolución: Resolución:

Clave:

2

Cuatro hermanas se sientan en una fila de cuatro asientos contiguos:  Miluska y Ana se sientan en los extremos.  Norka no se sienta al lado de Ana. ¿Al lado de quiénes se sienta Katy?

Clave:

2

En un examen, Miriam obtuvo menos puntos que Andrea, Teresa obtuvo menos puntos que Miriam y Mónica obtuvo más puntos que Andrea. ¿Quién obtuvo el menor y el mayor puntaje, respectivamente?

a) Norka y Ana b) Norka y Miluska c) Ana y Miluska d) De ninguna e) No se sienta

a) Miriam y Andrea b) Andrea y Teresa c) Teresa y Mónica d) Teresa y Miriam e) Miriam y Mónica

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 51

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Identifica a la mayor de un grupo de personas, sabiendo que:  Pedro es mayor que Sofía pero menor que Matilde.  Sofía es mayor que Sixto.  Sandro es mayor que Pedro.

3

Sabiendo que:  Aldo es más alto que Pepe.  Lucho es más bajo que Juan.  Juan es más bajo que Pepe. ¿Quién es el más alto?

a) Matilde b) Sofía c) Sandro d) Pedro e) Falta información

a) Aldo b) Lucho c) Pepe d) Juan e) Aldo y Juan son de igual tamaño.

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

X es el niño más alto del salón. En la misma aula, Y es más alto que Z y más bajo que W. ¿Qué afirmaciones son correctas? I. Y, Z y W son más bajos que X. II. X es más alto que W y más bajo que Z. III. Z es el más bajo de los mencionados. a) Sólo I b) I y III d) II y III

c) Sólo II e) I y II

Resolución:

4

En la clasificación final de un torneo ecuestre, María quedó primera, Pilar quedó quinta y Sandra ocupó el lugar intermedio entre ambas. Si Jéssica quedó en algún lugar delante de Pilar y Cecilia lo hizo inmediatamente después de Sandra, ¿quién quedó en segundo lugar? a) Pilar b) Cecilia d) María

c) Sandra e) Jessica

Resolución:

Clave: 52

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

De cinco cicudades V, W, X, Y y Z se sabe que:  La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W y está al oriente de la misma.  La ciudad W tiene menos habitantes que Y pero más que Z y está al occidente de V.  La ciudad V está al occidente de Y y Z, pero tiene más habitantes que Y. ¿Cuáles de las siguientes ciudades están al oriente de W y tiene menos habitantes que Y? I. V II. X III. Z a) I y II b) Sólo III d) Todas

5

En una carrera intervienen siete participantes. Los jueces determinan que no puede haber empates. Sabiendo que:  L llegó un puesto detrás de M.  N llegó dos puestos detrás de K.  P llegó cinco puestos detrás de M.  Q llegó un puesto detrás de P. Luego, R llegó: a) Entre M y K b) Entre N y K c) Dos puestos detrás de N d) Después de P e) Antes de M

c) Sólo II e) I y III

Resolución: Resolución:

Clave:

6 Cinco amigos están sentados en una banca en el

cine, ubicados uno a continuación de otro. Zenaida y Pedro se ubican en forma adyacente. Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan, Zenaida está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados, ¿quién se sienta al lado de Silvia?

a) Zenaida b) Manuel d) José

c) Pedro e) Juan

Resolución:

Clave:

6

Sobre una mesa hay tres naipes en hilera.  A la izquierda del rey hay un as.  A la derecha de la jota hay uno de diamantes.  A la izquierda del de diamantes hay uno de tréboles.  A la derecha del de corazones hay una jota. ¿Cuál es el naipe del medio? a) Rey de tréboles b) As de tréboles c) Jota de diamantes d) As de diamantes e) Jota de tréboles Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 53

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

En una familia hay 3 hijos profesionales: un ingeniero, un médico y un abogado. Sus nombres son: Hugo, Paco y Luis. Hugo es el mayor de todos y no es abogado; a Paco nunca le gustó anatomía; el menor de todos es médico. Entonces es cierto que: I. El mayor es Paco. II. Luis es abogado. III. El menor es Luis. IV. Hugo es ingeniero. a) I y IV b) I y II d) I y III

7

Las cuatro casas son contiguas.  Chavetón vive al este de Navajita.  Navajita vive al oeste de Cara de loco.  Cara de loco vive al oeste de Pistolón. ¿Quién vive más al oeste? a) Chavetón b) Navajita c) Cara de loco d) Pistolón e) Faltan datos

c) II y IV e) III y IV

Resolución: Resolución:

Clave:

8

Seis amigas están escalando una montaña. Carla está más abajo que Juana, quien se encuentra un lugar más abajo que María. Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania, quien está más abajo que Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso? a) María b) Juana d) Tania

c) Carla e) Daniela

Clave:

8

La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudad W tiene menos habitantes que la ciudad Y pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, ¿qué ciudad tiene más habitantes? a) X b) Z d) W

c) Y e) Ninguna

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 54

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

Ordenamiento Circular y Test de Decisiones

Ordenamiento Circular

7

«Q no se sienta junto a N».

En estos casos se presenta la información indicándose que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia).

Q (I) Q (II)

P

Los ejercicios de este tema son un tanto complicados y se necesita mayor atención y un minucioso análisis.

M

Ejemplo 1:

N

Seis amigos M, N, P, Q, R y T se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. «R no se sienta junto a P»; esto descarta la posibilidad (II) y tendríamos:

Si se sabe que:

Q

 M se sienta junto y a la derecha de N y frente a P.

R

P

 Q no se sienta junto a N. M

 R no se sienta junto a P. ¿Entre quiénes se sienta T?

N

Resolución: «M se sienta junto y a la derecha de N, pero frente a P».

Luego, terminando de completar: Q P

R

T

M

P

M N

N

∴ Rpta.: T está entre N y P.

Formando líderes con una auténtica educación integral

55

Raz. Matemático - 1ro Sec. Ejemplo 2: Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. Talía no está sentada al lado de Nelly ni de Paúl. Fausto no está sentado al lado de Rosa ni de Paúl. Nelly no está al lado de Rosa ni de Fausto. Denis está junto y a su derecha de Nelly. ¿Quién está sentado a la izquierda de Fausto?

«Paola salió antes que Manuel». Nancy

Tomando en cuenta los datos, la ubicación ocupada por los amigos será la siguiente: Talía Fausto

Rosa

Paúl

X

X

Manuel



X

X

X



Heinz

X

X





X

César

X



X

X

Denis

Se sabe que:

Test de Decisiones En algunos casos, la existencia de una diversidad de datos hace necesaria la construcción de una tabla o cuadro, en el cual se relacionan los datos proporcionados marcando las relaciones existentes y descartando las que no cumplen las condiciones del problema.

a) ¿Quién acompañó a Sonia? b) ¿Con quién salió Manuel?

Resolveremos de una forma sencilla, analizando los datos y colocándolos en una tabla. «Heinz salió con la amiga de Nancy».

56

Sí No Sí Sí Loreto Arequipa Tumbes Ingeniería Arquitectura Contabilidad X

Mónica Lesly

X

X



X

Isabel

Resolución:

César

a) ¿Dónde vive Lesly? b) ¿Qué estudia Isabel? c) ¿Quién vive en Tumbes?

De I, II, III y V:

A una cita pactada por internet asistieron tres amigos: Manuel, Heinz y César; y tres damas: Paola, Nancy y Sonia. Terminada la cita, cada uno de ellos se fue acompañado por una dama. Heinz salió con la amiga de Nancy, Paola que no simpatiza con Nancy, salió antes que Manuel.

«Paola no simpatiza con Nancy».

Sonia

Nancy Paola Manuel

X

I. Mónica no vive en Arequipa. II. Lesly no vive en Tumbes. III. La que vive en Arequipa no estudia arquitectura. IV. Quien vive en Tumbes estudió contabilidad. V. Lesly no estudia ingeniería.

Resolución:

Ejemplo 3:

Heinz

a) Heinz acompañó a Sonia. b) Manuel salió con Nancy.

Mónica, Lesly e Isabel viven en tres ciudades diferentes: Loreto, Arequipa y Tumbes; y estudian una carrera distinta: ingeniería, arquitectura y contabilidad, aunque no necesariamente en ese orden.

Rpta.: A la izquierda de Fausto está sentada Talía.

Manuel

Luego:

Ejemplo 4:

Nelly

Nancy Paola

Sonia

Sonia

César

Resolución:

Nancy Paola

Paola

Manuel Heinz

Finalmente, Nancy salió con Manuel.

Heinz César

Sonia

Observamos que Lesly no estudia contabilidad, porque no vive en Tumbes, por lo tanto, estudia arquitectura. Loreto Arequipa Tumbes Ingeniería Arquitectura Contabilidad Mónica

X

X





X

X

Lesly



X

X

X



X

Isabel

X



X

X

X



X X

X

 X

En conclusión :

a) Lesly vive en Loreto. b) Isabel estudia contabilidad. c) En Tumbes vive Mónica.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) En una mesa circular se encuentran distribuidos simétricamente tres niños: Gabriel, César y Freddy. Si Freddy está junto y a la izquierda de César, ¿cuál es el orden en que se sientan los niños empezando por Gabriel y siguiendo el sentido antihorario? Rpta: _____

4) En una fiesta se encuentran tres amigos: Darío, Armando y Gerardo. Ellos a su vez son: profesor, marinero y contador, aunque no necesariamente en ese orden. El profesor, que es vecino de Gerardo, siempre va de compras con Darío. Si Gerardo fue compañero de estudios del marinero, ¿qué ocupación tiene Darío? Rpta: _____

2) Cinco personas A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.  A se sienta entre B y C.  E se sienta al lado de B. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. C se sienta junto a D. II. A se sienta junto a E. III. D se sienta junto a E. Rpta: _____ 3) En una mesa circular seis super héroes (Batman, Robin, Superman, Acuaman, Flash y la Mujer Maravilla) se ubican simétricamente. Si se sabe que:  Superman está a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuaman.  Robin está frente a Batman y no está al lado de Acuaman. ¿Quién está a la izquierda de Flash? Rpta: _____

5) Cuatro hermanas: Nancy, Rosa, Graciela y Nilda se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.  Entre Rosa y Graciela hay un asiento vacío.  Nilda no se sienta junto a Rosa. ¿Quiénes se sientan junto a Nancy? Rpta: _____ 6) Tres amigos: Gílder, José y Beto comentan acerca del equipo del cual son hinchas: «U», Cristal y Cienciano.  Gilder dice: «No soy hincha de Cienciano ni de Cristal».  José dice: «Me gustaría que mi equivo tuviera una camiseta como la del Cienciano».  Beto dice: «Me encanta el uniforme rojo de mi equipo». Si el más inteligente es hincha de la «U», ¿quién es éste? Rpta: _____

Para Reforzar 4) Patty, Claudia y Rosemary son tres tutoras de primer,

1) Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda

en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Sabemos que:  Juan se sienta junto y a la derecha de Luis.  Pedro no se sienta junto a Luis.  José está entretenido viendo cómo los otros tres discuten. Según esto podemos afirmar: a) José y Juan se sientan juntos. b) Luis y José no se sientan juntos. c) No es cierto que José y Juan no se sientan juntos. d) Pedro se sienta junto y a la derecha de José. e) Pedro se sienta junto y a la derecha de Juan.



Rpta: _____ 5) En la biblioteca de una universidad, 8 alumnos se sientan en

una mesa circular, guardando iguales distancias. Todos son alumnos de diversas facultades. El de Ingeniería está frente al de Educación y entre los de Economía y Farmacia, el de Periodismo está a la izquierda del de Educación y frente al de Economía, frente al de Farmacia está el de Derecho; éste a su vez está a la siniestra del de Arquitectura. ¿Cuál de ellos está entre los estudiantes de Biología y Educación?

Rpta: _____ 2) Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda

con cuatro sillas distribuidas simétricamente. Si se sabe que:  Pilar no se sienta junto a Julia.  Pamela se sienta junto y a la derecha de Julia. ¿Dónde se sienta Jorge?



Rpta: _____ 6) Cuatro amigos: Ángel, Ian, Mauro y Roberto viven en

Rpta: _____

3) En una mesa circular, cuatro peleadores (Bruce, Riu, Ken, Chun–Lee) se ubican simétricamente. Si se sabe que:  Ken se sienta frente a Riu.  Bruce se sienta frente a Chun–Lee. ¿Quién está a la derecha de Ken?

segundo y tercer año, aunque no necesariamente en ese orden. Si:  Claudia es tutora de primer año.  Rosemay no es tutora de segundo año. ¿Quién es la tutora del salón de tercer año?



Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

cuatro distritos diferentes. Además se sabe que:  Ian no vive en Jesús María, pero Roberto vive en Pueblo Libre.  Ángel va a Jesús María a visitar a Mauro.  A Ian le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Ángel?¿Quién vive en San Borja?

Rpta: _____ 57

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 7

1

Tres personas: Antonio, Fernando y Jorge tienen diferentes aficiones: fútbol, básquet y tenis, y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que:  Fernando no practica tenis.  El basquetbolista no gusta del rojo.  Antonio no practica básquet.  Quien practica tenis gusta del blanco.  Fernando no gusta del azul. ¿Qué afición tiene Antonio? ¿Cuál es el color favorito de Jorge? a) Fútbol y blanco b) Tenis y rojo c) Fútbol y rojo d) Tenis y blanco e) Tenis y azul

1

Almorzaban juntos tres políticos: el señor Blanco, el señor Rojo y el señor Negro. Uno de ellos llevaba corbata blanca, otro roja y el otro, negra, pero no en el mismo orden. En un corto diálogo, se escucha que:  El señor de la corbata roja dice: «Es curioso, a pesar de que nuestros apellidos son los mismos que los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspondiente».  El señor Blanco responde: «Tiene usted razón». ¿De qué color es la corbata del señor Blanco? a) Blanca b) Azul d) Verde

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

c) Negra e) Roja

Clave:

Albino, Beto y César viven en distritos diferentes, y se movilizan usando transportes distintos. Los distritos son: La Victoria, Lima, Pueblo Libre y los medios son: bicicleta, moto y automóvil.  Cuando Beto tenga dinero se comprará una moto y se mudará a Pueblo Libre.  Desde que César vive en Lima ya no tiene bicicleta.  El que vive en La Victoria usa 2 automóviles por la distancia. ¿Qué medio usa el que vive en Pueblo Libre? a) Faltan datos b) Bicicleta c) Automóvil d) Moto e) N.A.

2

«A», «B» y «C» tienen una mascota cada uno: perro, gato y mono. Si «B» le dice a la que tiene el gato, que la otra tiene un perro y «C» le dice a la que tiene el perro, que debería vacunarlo contra la rabia; entonces:

Para el profesor: a) «A» tiene el mono. b) «C» tiene el gato. c) «B» tiene el perro. d) Faltan datos e) N.A. Resolución:

Resolución:

Clave: 58

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Par

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Cinco hermanos P, Q, R, S y T se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.  P se sienta entre Q y R.  T se sienta al lado de Q. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. R se sienta junto a S. II. P se sienta junto a T. III. S se sienta junto a T. a) I y II b) I y III d) Las tres

3

c) II y III e) Ninguna

Diana, Elena, Fiorella, Alejandro, Bruno y Carlos se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente de modo que:  Alejandro se sienta frente a Fiorella.  Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Alejandro se sienta adyacente a Diana y Elena. II. Fiorella se sienta a la derecha de Carlos. III. Elena se sienta a la izquierda de Bruno. a) Sólo I b) II y III d) I y III

Resolución:

c) I y II e) Ninguna

Resolución:

Clave:

4

Seis amigos juegan al póquer alrededor de una mesa redonda. Además se sabe que:  Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José.  Fernando no está al lado de Gustavo ni de José.  Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando.  Pedro está a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Fernando? a) Pedro b) Gustavo d) Fernando

c) Enrique e) Luis

Clave:

4

Tres amigos: Ana, Beto y Carlos, tienen distintas profesiones: profesor, médico y electricista, no necesariamente en ese orden. Si:  Ana es médico.  Beto no es el electricista. ¿Cuál es la profesión de Carlos? a) Profesor b) Contador d) Electricista

c) Médico e) Ninguna

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 59

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

Seis amigos: Ángel, Daniel, Mario, Raúl, Sergio y Tomás se reúnen para cenar en una mesa redonda. Si se sabe que:  Raúl no se sentó al lado de Tomás ni de Ángel.  Mario no se ubicó al lado de Ángel ni de Raúl.  Sergio no se sentó al lado de Tomás ni de Mario. ¿Quién se sentó junto y a la izquierda de Ángel? a) Sergio b) Tomás d) Raúl

5

c) Daniel e) Mario

En una mesa circular hay seis asientos simétricamente colocados ante la cual se sientan 6 amigas a jugar monopolio. Además se sabe que:  Lucía no está sentada al lado de Leticia ni de Juana.  María no está al lado de Cecilia ni de Juana.  Leticia no está al lado de Cecilia ni de María.  Irene está junto y a la derecha de Leticia. Entonces es cierto: I. Irene está junto y a la derecha de María. II. Lucía está frente a Leticia. III. Juana está junto y a la izquierda de Cecilia. a) Sólo I b) II y III d) Todos

Resolución:

c) Sólo II e) I y III

Resolución:

Clave:

6

Clave:

Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además:  D no se sienta junto a B.  A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C.  E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F? a) C y E b) C y A d) B y E

c) C y B e) A y D

6

En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétrica–mente se sientan cinco hermanos: Erica, Fabiola, Miluska, Guisela y Francisco. Si se sabe que:  Francisco y Miluska no se sientan juntos.  Guisela se sienta junto a Erica y Francisco.  Fabiola se sienta frente a Guisela. ¿Quién se sienta frente al sitio vacío? a) Erica b) Guisela d) Fabiola

c) Miluska e) Francisco

Resolución: Resolución:

Clave: 60

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Rommel, Álex, Luis y Eduardo practican los siguientes deportes: fútbol, atletismo, natación y tenis; y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores. Si se sabe que:  Luis no vive en Los Olivos ni en Breña.  El atleta vive en Los Olivos.  Rommel vive en Miraflores.  Eduardo es futbolista.  El nadador nunca ha emigrado de San Borja. ¿Qué deporte practica Rommel? a) Natación b) Atletismo d) Básquetbol

7

Tres hermanos practican natación, atletismo o básquet; y cada deporte se identifica con un color: azul, rojo o verde. Juan no sabe nadar; el que juega por el verde es atleta; los rojos no juegan básquet y Gustavo participa por el verde. ¿Qué deporte le corresponde a Alberto y Gustavo, respecti-vamente? a) Natación y básquet b) Básquet y atletismo c) Atletismo y natación d) Natación y atletismo e) Faltan datos

c) Fútbol e) Tenis

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

En una mesa circular hay 6 asientos y se sientan 4 amigos: A, B, C y D.  Nadie se ha sentado junto a A.  Si llega un amigo más, podría estar junto a B.  Frente a D no hay nadie. ¿Quién está frente a C? a) A o B b) A o nadie d) D

c) A e) Nadie

Resolución:

Clave:

8

En una mesa circular se sientan 8 amigos: A, B, C, D, E, F, G y H. Si se sabe que:  H está frente a A y D frente a G.  D no está a la izquierda de A, pero si a la izquierda de E.  B está frente a E y a la derecha de G.  C está frente a F, F está a la derecha de B y H no está junto a F. ¿Quién está junto y a la derecha de A? a) G b) E c) C d) D e) F Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

61

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

8

Inducción Matemática

Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permiten llegar a una conclusión, que llamaremos Caso General. Casos Particulares

Inducción

Caso General

(111)2 = 12321 → ∑cifras = 9 = (1+1+1)2

 Para 3 cifras :



3 veces

 Para 4 cifras: (1111)2 = 1234321 → ∑cifras = 16 =(1+1+1+1)2

Ejemplo:

4 veces

Al sumar números impares consecutivos en forma ordenada, tenemos: S1 = 1 = 1 = 12 S2 = 1 + 3 = 4 = 22 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

Se concluye que la suma de cifras del resultado de efectuar E sería: ∑ cifras = (1+1+...+1+1)2 = (9)2 9 veces

∑ cifras = 81 S10=1+3+5+7+...+19=100 = 102 Vemos que el resultado de sumar números impares consecutivos es de la forma n2 donde n es la cantidad de números impares que se suman.

Ejemplo 2:

Sn = 1 + 3 + 5 + 7 +... (n sumandos) = n2

Calcula la suma de términos de la Fila (28). Fila (1) 1 Fila (2) 3 5 Fila (3) 7 9 11 Fila (4) 13 15 17 19

Inducción con números Ejemplo 1: 1) Halla la suma de cifras de:

Resolución: Por Inducción:

 Para 2 cifras : (11)2 = 121 → ∑cifras = 4 = (1 + 1)2 2 veces

62

Resolución: Por Inducción: Sumando cada fila: Fila (1) = 1 = Fila (2) = 8 = Fila (3) = 27 = Fila (4) = 64 =

13 23 33 43

...

E = (1111...111)2 9 cifras

entonces: Fila (28) =

283 =

21952

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. Para: 4 letras

Ejemplo 3: Calcula el resultado al operar: k=

47 x 48 x 49 x 50 +1

Resolución: Empezamos evaluando valores pequeños guardando la forma original. Nota que son 4 números consecutivos. 1 . 2 . 3. 4 + 1 = 1 x 4 + 1 = 5 x + 2 . 3. 4. 5 +1 = 2 x 5 + 1 = 11 x +

K A A R R R M M M M 1 3 3 1 N.° de formas de leer: KAR = 1 + 3 + 3 + 1= 8 = 24–1 Luego de analizar los casos particulares concluimos: N.° de formas de leer: KARMINZ = 27–1 = 26 = 64 7 letras

Ejemplo 5:

3 .4 . 5 . 6 + 1 = 3 x 6 + 1 = 19 + .. x .

Se concluye que también cumplirá para: 47 . 48. 49 . 50 + 1 x +

= 47 x 50 + 1= 2351 Ejemplo 4:

¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra KARMINZ? K A A R R R M M M M I I I I I N N N N N N Z Z Z Z Z Z Z Resolución: Observamos que Karminz contiene 7 letras. Para: 2 letras K A A 1 1 N.° de formas de leer: KA = 1 + 1 = 2 = 22–1 Para: 3 letras K A A R R R 1 2 1 N.° de formas de leer: KAR = 1 + 2 + 1 = 4 = 23–1

Calcula la suma de todos los elementos de la matriz.

1 2 3 4 ... 2 3 4 5 ... 3 4 5 6 ... 4 . 5 . 6 . 7 ... . . . . . .. . . 20 21 22 23 ...

20 21 22 23. .. 29

Resolución: Para 1:

[1] → ∑ = 1 = 13

Para 2:

1 2 2 3

→ ∑ = 8 = 23

Para 3: 1 2 3 2 3 4 3 4 5 → ∑ = 27 = 33 . . . Luego de analizar los casos particulares llegamos a la conclusión que: Para 20:

Formando líderes con una auténtica educación integral

1 2 3 4 ... 2 3 4 5 ... 3 4 5 6 ... 4 . 5 . 6 . 7 ... . . . . . .. . . 20 21 22 23 ...

20 21 22 23. .. 29

→ ∑ = 203 = 8000 63

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 4) Halla la última cifra del resultado de calcular: (396)50 + (865)76 + (391)51

1) Calcula:

E = 50 x 51 x 52 x 53 + 1

Rpta: _____ Rpta: _____

2) Calcula la suma de:

5) Calcula la suma de las cifras del resultado de:

2 4 6 8 4 6 8 10 6 8 10 12 8 10 12 14

(99...95 )2   20 cifras

Rpta: _____

3) Halla la última cifra del resultado de calcular: 5520 – 3130 Rpta: _____

Rpta: _____

6) Calcula: 3

40 × 41 × 42 + 41

Rpta: _____

Para Reforzar 4) Halla la última cifra del resultado de calcular: (296)40 + (965)61 + (181)41

1) Calcula:

E = 30 x 31 x 32 x 34 + 1

Rpta: _____ Rpta: _____

2) Calcula la suma de:

2 4 6 4 6 8 6 8 10 8 10 12 10 12 14

8 10 12 14 16

10 12 14 16 18

5) Calcula la suma de las cifras del resultado de:

(99...95 )2   15cifras

Rpta: _____

3) Halla la suma de cifra del resultado de calcular: (86542 – 1) (262 – 1) Rpta: _____

64

Rpta: _____

6) Calcula: 3

50 × 51 × 52 + 51

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 8

¿De cuántas maneras se puede leer la palabra «LUCIDEZ»? L L U L L U C U L L U C I C U L L U C I D I C U L L U C I D E D I C U L L U C I D E Z E D I C U L

1

a) 64 b) 31 d) 128

c) 63 e) 127

¿De cuántas formas consecutivas diferentes se puede formar la palabra RAZONA, uniendo las letras en forma consecutiva? R R A R R A Z A R R A Z O Z A R R A Z O N O Z A R R A Z O N A N O Z A R a) 64 b) 31 c) 63 d) 128 e) 127

1

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Calcula la suma de cifras del resultado en E si: E = (333...33)2 49 cifras a) 450 b) 480 d) 510

Clave:

2

Calcula la suma de cifras del resultado de:

c) 360 e) 441

Resolución:

B = (999...995)2 101 cifras

a) 900 b) 90 d) 907

c) 925 e) 625

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 65

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Halla la suma de cifras de:

3

Halla la suma de cifras de P: E = 37 × 222...222  

E = 37 x 222 ... 222 222 cifras a) 451 b) 160 d) 453

432 cifras

a) 883 b) 923 d) 963

c) 441 e) 420

c) 673 e) 873

Resolución: Resolución:

Clave:

4

Calcula la suma de las cifras del resultado de efectuar: M = 997 x 998 x 999 x 1000 + 1 a) 26 b) 25 d) 24

c) 27 e) 28

Resolución:

4

Calcula la suma de las cifras del resultado de efectuar: N = 467 x 468 x 469 x 470 + 1 a) 21 b) 23 d) 25

c) 24 e) 27

Resolución:

Clave: 66

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5 Calcula:

22004

5 (3 x 5 x 17 x 257...) + 1

Calcula: 225 1 + ( 3 x 5 x 17 x ...) 25 factores

2004 factores a) 2 b) 5 c) 3 d) 6 e) 4

a) 1 b) 2002 d) 2003

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar: P = (1234567)2 – (1234556)2

a) 20 b) 27 d) 29

c) 26 e) 28

Resolución:

c) 2 e) 32

Clave:

6

En qué cifra termina «M» si: M = 134954 + 34196 + 54536 a) 5 b) 8 c) 6 d) 9 e) 7 Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 67

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Halla el total de palitos que forman la pirámide.

7 ¿Cuántas «cerillas» conforman la torre mostrada?

1

2

3

4

...

48

a) 2 500 b) 2 499 d) 2 4 98

49

50

1

c) 5 500 e) 2 050

2

3

4

a) 20 b) 200 d) 420

Resolución:

Calcula f(100) si: F(1) = 1 + 1/2 F(2) = 1 + 1/3 F(3) = 1 + 1/4 a) 100/99 b) 102/101 d) 103/102

c) 21 e) 210

Resolución:

Clave:

8

19 20 21

Clave:

8

c) 100/101 e) 100/102

Calcula la suma de cifras de F(10) si: F(1) = 32 F(2) = (33)2 F(3) = (333)2 F(4) = (3333)2 a) 80 b) 92 d) 99

c) 90 e) 91

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 68

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

9

Fracciones I

Ejemplo:

Introducción La noción acerca de la fracción es muy antigua y su remoto origen, se pierde en la bruma de los tiempos. Fracción deriva del latín «fractum», que significa «roto» o «quebrado». En el transcurso de la lucha por la supervivencia, constantemente surgía el problema de repartir la presa capturada entre una determinada cantidad de individuos, dividir los productos agrícolas recogidos de forma mancomunada, etc. Así que, he aquí el surgimiento de las fracciones, acto que nace por necesidad.

Según la noción dada anteriormente, indica cuál de los siguientes números son fracciones y cuáles no lo son: 7 11 8 2 4 72 11111 –5 π e ; ; ; ; ; ; ; ; ; –3 e 6 3 5 13 3395 9 4 3

; 1,101001000100001...;

12 6

Resolución:

Número Fraccionario

No son fracciones: 11 ; π ; e ; 1, 101001000100001... e 4 3

Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. De acuerdo a la definición, si de notamos por «f» al número fraccionario, tendremos:

Si son fracciones:

f=

a b

; donde:

a ≠ b ∀ a ∈ Z b ≠ 0 ∀ b ∈ Z

8 2 4 72 11111 12 7 –5 ; ; ; ; ; ; ; 6 3 5 13 3395 6 –3 9

Algunos conceptos teóricos 1. fracciones homogéneas (Igual denominador) 2 7 5 ; ; 3 3 3

Ejemplo: Son números fraccionarios: 7 2 3 12 –3 101 ; ; ; ; ; ; ...; etc. 19 –4 3 9 14 7

2. fracciones heterogéneas (Diferente denominador)

fracción Al número fraccionario que presente sus dos términos positivos vamos a denominarlo fracción. «El ser humano es como una fracción: el numerador es lo que él realmente es, y el denominador lo que él cree que es. Mientras más grande sea el denominador, más pequeña será la fracción».

Formando líderes con una auténtica educación integral

3 ; 5 ; 3 7 2 5

Observación Fracción impropia Número mixto 1+

1 1 3 =1 = 2 2 2

69

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3. fracción propia (numerador < denominador) 3 ; 11 (menores que 1) 8 22

Resolución:

4. fracción impropia (numerador > denominador) 7 ; 5 (mayores que 1) 2 4



3 x 5 x 2 4 7 9



3 x 5 x 2 x 63 = 4x7x9



3 x 5 x 2 x 63 = 15 = 4 x 63 2

x 63

5. fracción equivalente

(

N NK

D DK

)

Simplificación de Fracciones

donde «K» es natural.

Simplificar una fracción es hallar otra equivalente a ella, pero de términos menores.

3 3x5 = 7 7x5 3 15 = 7 35

Ejemplo: 36 sacamos la mitad a 18 ; cada término 24 12

6. fracción irreductible (el numerador y denominador son primos entre sí) 3 ; 4 ; 13 7 9 17

volvemos a sacar la 18 9 ; mitad a cada término 12 6

Las componentes no tienen divisores en común. 7. fracción decimal

(denominador = 10n, donde «n» es natural)

9 sacamos la tercia a 3 ; cada término 6 2

3 ; 7 10 1000

∴

8. fracción ordinaria (denominador ≠ 10n) 7 ; 11 23 1237

Fracción de Fracción

Número Mixto Es aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.

Se denomina así a las partes que se consideran de una fracción que se ha dividido en partes iguales, así 5/7 de 4/9 indica que la fracción 4/9 se ha dividido en 7 partes iguales, de las que se han tomado 5. Ejemplos:

I. Calcula los

Ejemplos: 3

4 7

; 6

2 1 ; 15 5 4

2 de 7 . 3 13

Resolución: 2 7 14 x = 3 13 39 2 II. Calcula los 3 de los 5 de los de 63. 9 4 7 70

36 3

24 2

Nota Recordemos siempre que las palabras, de, del, de los; significan productos.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. conversión de un número mixto a raccionario Para realizar la conversión, se multiplica el entero por el denominador, al producto se le añade el numerador y se mantiene el mismo denominador.

1 1 2 11 7 26 121 7. x x = 11 13 11 14 1 1 2 1

Ejemplos: +

7x5+3 38 3

7 7 7

5 x + 4 x

13 x 4 + 9 9

61 13 13 13

EJERCICIOS RESUELTOS • Resuelve los siguientes ejercicios. Suma y resta.

8. 2 1 + 3 x 1 – 1 3 5 2 3 7 3 1 1 = + x – 3 5 2 3 7 3 1 + – 3 10 3



=



23 =2+ 3 = 10 10

• Divide 7 2 7 3 21 1 ÷ = x = =2 5 3 5 2 10 10

9.

1. 3 + 12 – 8 = 7 5 5 5 5 2 1 2 x 5 + 3 x 1 13 2. + = = 3 5 3x5 15

3.

3 2 3x5 – 7x2 1 – = = 7 5 7x5 35

4. 1

2 3 2 5 3 2 – + = – + 3 7 21 3 7 21



MCM (3; 7; 21) = 21



35 – 9 + 2 28 7 = = =1 21 21 21

5. 2 +

10.



7 1 2x3 + 1 1 = = 3 =2 3 3 3

• Multiplica 6.

3 2 3x2 6 x = = 5 7 5x7 35

Formando líderes con una auténtica educación integral

7 2 ÷ = 5 3

7 5 2 3

=

7x3 5x2

= 21 = 2 1 10 10

Platón «Que no entre nadie que no sepa geometría» Esta frase estaba a la vista en la entrada de la Academia de Platón y muestra el valor que este hombre asignaba a la matemática a pesar de ser fundamentalmente un estudioso de la filosofía. El acontecimiento espiritual más importante en la vida de Platón fue su encuentro con Sócrates. De todos modos queda claro que no perteneció nunca al círculo de sus amigos más íntimos, ni se consideraba un verdadero discípulo de Sócrates ya que se refería a él como su amigo y no como su hermano.

71

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) Efectúa las siguientes operaciones: 1 1 + = 2 3

4– 3 = 8

3 2 + = 7 3

2–

4) Efectúa:

( )( )( ) 3

3) Efectúa:

(

1+

9 5 2x x = 2 15

1 5 14 x x 5 7 2

2÷

=

1 1 – 2 3

)(

4 8

1

2) Efectúa las siguientes operaciones: =

5 16

1 = 4 5) Efectúa:

3 2 x 4 9

1 5

2 = 9

1 1 + 2 3

6) Efectúa:

(

)

1 3

1 7 14 ÷ ÷ 2 3 6

)

Para Reforzar 1) Efectúa las siguientes operaciones: 1 2 + = 4 5

4) Efectúa:

(

1

3 + 3 = 11

1 1 1 +2 +3 3 3 3

)

(7)

4 2 – = 9 5 5) Efectúa: 1

2) Efectúa las siguientes operaciones: 8 4 22 3x x x = 13 11 16 2 3 ÷ = 3 4

1– 1 4

1 4 ÷ = 2 5 2÷ 9 5

= 6) Efectúa:

3) Efectúa:

72

(

3 1 – 4 3

)(

1 2 + 2 3

)

(

4 3 – 7 + 3 4 6

)

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 9

1

Efectúa:

1 2 1 2

1

+3 –

1

1 4 1 4

Efectúa:

1 1 1 + + 1/5 1/3 1/7 2/3 3/5 + 3 2

( ) ( )( ) 1 3

a) 10 b) 12 d) 16

c) 14 e) 13

a) 1/8 b) 1/4 d) 7/2

Resolución:

c) 1/2 e) 3/4

Resolución:

Clave:

2

Efectúa:

(

2 3

1

÷2

)(

1 3

2 1/2

a) 4/45 b) 1/45 d) 1/15

–

1 6

)

Clave:

2

c) 3/10 e) 7/15

Efectúa:

(

1 3

1

+4

)(

1 2

3 1/12

a) 7/221 b) 7/222 d) 7/223

–

1 3

) c) 5/111 e) 7/10

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 73

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Si: a =

1 1 ; b= y c = 1. Halla: 4 2

3

Si: a =

3 2

1 1 1 + + a b c a . b. c a) 1/4 b) 1/2 d) 5/8

y b=

1 . Halla: 4

a2 ÷

b a

a) 3/2 b) 1/2 d) 5/3

c) 1/8 e) 3/4

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Si: a =

3 2 7 ;b= y c= . Halle: 5 5 5

(

a b

+

b c

a) 25/14 b) 21/11 d) 25/7

)

Clave: 4

Si m =

1 ; n = 2 y p = –1. Halle: 3 m+n+p m–n+p

c) 21/7 e) 25/9

a) 1/2 b) -1/2 d) -1/3

c) 1/3 e) 1/4

Resolución:

Resolución:

Clave: 74

c) 1/3 e) 3/7

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5 Calcula:

1 1/5

– 1 3/21 1+ 2

a) 1/3 b) 5/3 d) 11/3

5 c) 10/3 e) 11/5

Calcula:

2 + 3 1 2 2– 4 1– 3

a) 71/3 b) 71/7 d) 73/7

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Efectúa:

c) 73/3 e) 81/7

1 5 1 3+ 2

6

2–

a) 11/35 b) 1/35 d) 7/35

Clave:

Efectúa:

4 5

–

1÷ c) 18/35 e) 6/5

Resolución:

2 5 2 3

a) 4/5 b) 4/15 d) 4/7

c) 3/15 e) 5/7

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 75

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Efectúa:

1 4 1 3

+ –

1 2 1 6

÷

7

5 3

a) 27/10 b) 27/5 d) 17/5

c) 17/10 e) 16/17

Efectúa:

3 4 5 3

÷

1 2 1 3

a) 10/3 b) 20/3 d) 3/20

Resolución:

c) 3/10 e) 1/20

Resolución:

Clave:

8

Efectúa:

2 1 – 8

1 7 5 + 8 12

1 5

÷ 1+

(

8

)

( )( ) 1+

1+

5

a) 1 b) 5 d) 1/25

Clave:

5

1 1+ 5

c) 1/5 e) 7/25

(

Efectúa:

1 1 1 + + 2 3 4

)(

a) 39/16 b) 1/16 d) 29/16

3–

1 1 – 2 4

)

c) 1/39 e) 16/29

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 76

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

10

Fracciones II

Recordemos...

Ejemplo 2:

Fracción Relación entre una parte de un total y el respectivo total (todo), donde: Todo: Número de partes en que se divide la unidad (total).

La cuadra de un establo tiene siete cubículos y se ha limpiado 4

cuatro de ellos. Podemos decir que están aseados los de 7 la cuadra, así: 4 partes iguales

Parte: Número de partes que se consideran. En general: N numerador Fracción = D denominador

4 7

1 7

1 7

es, son, ...

Parte Fracción = Todo

1 7

7 partes iguales

1 7

1 7

7 1 7

de, del, ...

Una pizza se ha partido en ocho partes y se ha echado salsa de tomate sobre cinco porciones. Según los datos, la pizza quedará expresada así:

Representación gráfica de fracciones Podemos usar gráficos para representar fracciones. Partimos una unidad cualquiera (podría ser una manzana, un chocolate, un pan, etc.) en cinco partes iguales y tomamos tres partes. Empleando un rectángulo que represente a dicha unidad, tendremos: El todo < > 5 partes iguales: 1 5

1 5

1 5

1 8

5 8

Ejemplo 1:

1 5

1 7

Ejemplo 3:

o

1 5

1 7

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8 1 8

8 8 partes iguales 8 < > 1

Ejemplo 4: A un bloque cúbico de madera se le hace 6 cortes rectos, resultando así 27 cubos más pequeños. Después, José ha seleccionado cuatro de ellos para un trabajo manual. Gráficamente sería:

tomamos 3 partes

4 27

Con respecto al total, lo sombreado representará los tres quintos y escribimos 3 5

Formando líderes con una auténtica educación integral

27 partes iguales

77

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) Halla en cada gráfico; qué parte del total está sombreado. a)

3) Halla en cada gráfico; qué parte del total está sombreado. a)

3 4

b) b)

1 2

c) c)

d) a

2a

a

2) Halla y señala la opción correcta:

1 4

4) ¿Cuánto le falta a 1/2 para ser igual a 3?

I.

a)

1 4

b)

1 6

c)

1 8

5) ¿Cuánto le sobra a 3 respecto a 1/3? 1 d) 16

e) 1 9

II. 6) Halla los 3/5 de 1/2 de 500.

a)

1 2 1

1 32

b)

d) 4

78

c)

1 16 1

e) 8

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Para Reforzar 1) Halla en cada gráfico; qué parte del total está sombreado.

3) Halla en cada gráfico; qué parte del total está sombreado.

a)

a)

b)

b)



1 8

3 4

c) c)

3 32

d)

2) Halla y señala la opción correcta:

4) ¿Cuánto le falta a 2/5 para ser igual a 7/8?

I.

a) 1

16

b) 1 8

c) 1 4

5) ¿Cuánto le sobra a 5/7 respecto a 3/7? 1 d) 3

1 e) 9

II. 6) Halla los 4/3 de 2/3 de 27.

a)

1 4 1 7

b)

d)

1 5

c)

1 6

e)

1 16

Formando líderes con una auténtica educación integral

79

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 10

1

¿Cuánto le sobra a 15/2 respecto a la suma de 1/2 y 1/5? a) 34/3 b) 34/5 d) 35/3

1

c) 34/7 e) 35/13

¿Cuánto le falta a 3/4 para ser igual al producto de 2/3 con 9/4? a) 3/2 b) 3/4 d) 2/3

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Si tenía $6000 y perdí $2000, ¿qué parte de lo que tenía perdí? a) 1/3 b) 3/4 d) 1/6

c) 4/3 e) 5/4

c) 2/3 e) 1/4

Clave:

2

¿Cuánto es los 3/5 de 30 más los 2/10 de 200? a) 50 b) 52 d) 56

Para el profesor:

c) 54 e) 58

Resolución: Resolución:

Clave: 80

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Par

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

De $1000 pierdo 1/5, luego me roban $150. ¿Cuánto me queda? a) $50 b) $100 d) $75

3

c) $150 e) 80

Debo $3000, pago 4/5 de $1000, ¿cuánto me falta pagar? a) $1 800 b) $2 000 d) $ 2 400 Resolución:

Resolución:

Clave:

4

¿Cuánto le falta a 60 para ser igual a los 2/5 de 400? a) 60 b) 80 d) 120

c) $2 200 e) $2 600

c) 100 e) 140

Resolución:

Clave:

4

¿Cuánto le falta a 60 para ser igual a los 3/7 de 140? a) 0 b) 5 d) 40

c) 10 e) 60

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 81

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

¿Cuánto le sobra a 2000 respecto a los 5/3 de 3/2 de 600? a) 100 b) 400 d) 600

5

c) 500 e) 800

¿Cuánto le sobra a 3000 respecto a los 7/4 de 3/5 de 120? a) 1 740 b) 1 760 d) 1 800

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

c) 500 e) 600

Resolución:

6

Si tengo 1/5 de 4/3 de 1/6 de S/.360, ¿cuánto me falta para tener S/.630? a) 614 b) 514 d) 554

c) 417 e) 664

Resolución:

Clave: 82

Clave:

Si tengo 1/4 de 3/2 de 8/6 de S/.360, ¿cuánto me falta para tener S/.630? a) 400 b) 450 d) 550

c) 1 780 e) 1 840

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

¿Cuánto le falta a la talla de Jhon que es 120 3/4 cm para ser igual a la de Rony que es 158 1/3 cm? a) 451/12 b) 452/3 d) 453/7

7

c) 415/12 e) 451/3

¿Cuánto le falta a la talla de Luis que es 80 1/5 cm para ser igual a la de José que es 60 1/3 cm? a) 298/15 b) 298/3 d) 297/15

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

¿Qué parte de 3600 es los 2/3 de 600? a) 1/7 b) 1/3 d) 7/9

c) 297/3 e) 198/13

c) 1/9 e) 5/9

Clave:

8

¿Qué parte de 4500 es los 5/6 de 300? a) 1/16 b) 1/14 d) 24/3

c) 1/18 e) 1/12

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

83

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

11

Tanto por Ciento

NUESTRA ESTRELLA: EL SOL El "Astro del día" parece encontrarse, a primera vista, a la misma distancia que la Luna; en realidad, está unas 400 veces más lejos, a 150 millones de km de nosotros. El disco del Sol y el de la Luna tienen una dimensión aparente muy parecida. Sin embargo, esta gigantesca esfera gaseosa es mucho mayor: tiene un diámetro de 1 400 000 km (109 veces el de la Tierra; 1 300 000 veces su volumen). Si el Sol fuese un balón de fútbol, la Tierra sería un granito de arena, girando a su alrededor a 25 m de distancia. En su mayor parte (98%), es una mezcla de hidrógeno (75%) y de helio (23%). El 2% restante está formado por elementos que abundan en la Tierra: carbono, nitrógeno, oxígeno, etc. Como notarás, la utilización del porcentaje se da mucho en la vida cotidiana y nos muestra resultados claramente entendibles por todas las personas.

Notación: a por ciento = a% Entonces, ¿cómo calculamos el a% de N? de 100 tomamos a Luego, de N tomamos x Por regla de tres: x=

a xN 100

Ejemplos: 1. El 24% de 120 es: 24 x 120 = 28,8 100 2. El 32% de 180 es:

¿Qué es el tanto por ciento? El número de partes que se toma, de cien partes en que se divide una cantidad. Es decir, el círculo representa una cantidad, la cual se dividió en 100 partes. "a" partes

El "a" por ciento está representado como se muestra; de 100 partes tomamos "a" partes.

32 x 180 = 57,6 100 3. El 18,4% de 52,5 es: 18,4 x 52,5 = 9,66 100 "Si quieres calcular un porcentaje u s a n d o CAL C U LADO R A procede de la siguiente manera: Ejemplo: el 22,7% de 16,85. 2 2 . 7 X 1 6 . 8 5 % el resultado será: 3,82495".

84

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. OPERACIONES

variaciones porcentuales

1. Suma o resta:

Se refieren a las variaciones o cambios en forma de porcentaje que experimentan algunas magnitudes. Veamos algunos ejercicios que expliquen mejor la idea.

a% de N±b% de N= (a±b)% de N

Ejemplos:

Demostración

1. 20% de N + 35% de N = 55% de N. 2. 42% de X + 64% de X = 106% de X. 3. 72% de P - 18% de P = 54% de P. 4. X + 37%X = 137%X

1. Si "x" aumenta en 15%, ¿en qué porcentaje aumenta "x2"? Resolución: Si x aumenta 15% de su valor, entonces será: x + 15% x = 115%x ⇒ a x2 le corresponde un aumento de (115%x)2 = 115% x 115%x2

5. X - 39% X = 61%X =

115x115 %x2 100

2. Multiplicación: a x b 100 100 o

a% x b% =

axb % 100

= 132,25% x2 ∴ el aumento será: 132,25 - 100 = 32,25%

Ejemplos:

1. 32%x18%=

2. 45%x16%=

8 32 x 100 25

9 18 72 = 100 1250 50

32x18 %=5,76% 100

9 45 x 100 20

4 16 36 = 100 500 25

45x16 %=7,2% 100

Formando líderes con una auténtica educación integral

En todo análisis de datos, es muy importante que distingamos los valores absolutos (frecuencias absolutas) de los valores porcentuales (frecuencia relativa). Veamos un ejemplo. Compararemos el número de enfermos de SIDA entre el país X (10 000 casos) y el país Y (20 000 casos). ¿Es más la influencia epidemio–lógica en X o en Y? A la vista parece que el país Y tiene la enfermedad más desarrollada. Pero este dato puede ser engañoso, porque si sabemos que el país X tiene 100 000 habitantes y el país Y tiene 2 000 000 habitantes, ¿en qué país crees que la enfermedad es más preocupante? Ciertamente en el país X porque hay 10 000 enfermos entre 100 000 habitantes, lo que significa que el 10% de la población está enferma. En cambio en el país Y sólo el 1% de la población está enferma. Ahora sí podemos comparar los datos.

85

Raz. Matemático - 1ro Sec. 2. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y su altura en 50%, ¿en qué porcentaje aumenta el área?

Algunas consideraciones especiales: * El A% más de N = (100+A)% de N. Ejemplo:

Resolución:

el 20% más es: (100+20)% = 120%

Método Práctico BASExALTURA área de = 2 triángulo Anulamos el dos que divide porque es constante y no interviene en el análisis de la variación porcentual, luego:

* El A% menos de N = (100 - A)% de N. Ejemplo: el 37% menos es: (100 - 37)% = 63% * Aumentos sucesivos % final - % inicial. 100%

áREA = BASE x ALTURA

Ahora:

Ejemplo:

Base = 100%

Aumenta sucesivamente 20% y 30%. (100+20)% . (100+30)% - 100% = (120%) (130%) - 100%

después Base = 130% Altura = 100%

120 . 130 100 156x100 = 100 100 100 100 56 = 56% = 100

=

después Altura = 150% área = 100% después área = 130%x150%

* Descuentos sucesivos: %inicial - %final

130x150 = = 195% 100

100% Ejemplo:

∴ el aumento es: 195 - 100 = 95%

Descuenta sucesivamente 20% y 30%. 100% - (100-20)% . (100 - 30)% = 100% - (80%) (70%) = 100 - 80 . 70 = 100-56 100 100 100 100

Porcentajes definición

= 44% Es el resultado de la aplicación del tanto por ciento a una cantidad determinada. Así por ejemplo, si calculamos el 20% de 50, hacemos: (20%)(50) =

20 . 50 = 10 100

Luego, en general:

P = (a%) de N =

86

a xN 100

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) ¿Qué porcentaje de 1400 es 35?

4) Rpta: ________

2) ¿De qué número es 168 el 14%?

Si el 20% de un número es igual al 8% del 40% de 150, halla el número. Rpta: ________

5) Rpta: ________

Si al comprar una casaca me hacen un descuento del 22% y sólo pague S/. 195. ¿Cuál era el precio de la casaca sin descuento? Rpta: ________

3) Halla el 3% del 30% del 90% de 900 000.

6)

Rpta: ________

Una lavadora cuesta $175 y se le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 15% por campaña. ¿Cuál es su nuevo precio? Rpta: ________

Para Reforzar 1) ¿Qué porcentaje es 8 de 32?

4) Rpta: ________

2) ¿De qué número es 182 el 14% más?

Rpta: ________

5)

Rpta: ________

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Si tuviera 20% más de la edad que tengo tendría 42 años, ¿cuál es mi edad? Rpta: ________

6)

3) Halla el 15% del 25% de 6000.

El 20% menos de A es igual al 2% más de B. Si A+B = 364, halla A - B.

Dos descuentos sucesivos del 60% y 40%. ¿A qué único descuento equivale? Rpta: ________

87

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 11

1

¿De qué número es 168 el 14%? a) 1 000 b) 1 300 d) 1 700

1 c) 1 500 e) 1 900

¿De qué número es 1 400 el 35%? a) 2 000 b) 3 000 d) 5 000

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

¿264 es el 5 3/5 más de qué número? a) 30 b) 35 d) 50

c) 40 e) 60

Clave:

2

¿368 es el 54% menos de qué número? a) 700 b) 800 d) 1 000

Para el profesor:

c) 900 e) 1 200

Resolución:

Resolución:

Clave: 88

c) 4 000 e) 3 500

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Par

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Halla el 15% del 50% del 25% de 680. a) 51/4 b) 51 d) 34

3

c) 17 e) 17/4

Halla el 4% del 20% del 20% de 625. a) 1 b) 5 d) 30

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Si el peso de Lucho aumenta en 30% , entonces será igual al peso de Giancarlo. ¿Qué porcentaje del peso de Giancarlo es lo que aumentó Lucho? a) 300/13 % b) 200/13 % d) 40/3 %

c) 25 e) 40

c) 100/3 % e) 115/3 %

Resolución:

Clave:

4

El precio de un artículo aumenta en 30% y las ventas disminuyen en 10%. ¿Cuál es la variación los ingresos? a) 11% b) 15% d) 17%

c) 16% e) 19%

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 89

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

¿Qué tanto por ciento de 60 es 30? a) 40% b) 62% d) 80%

5

c) 50% e) 60%

¿Qué tanto por ciento de 48 es 12? a) 18% b) 30% d) 42%

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Clave:

Una persona alquila una habitación por S/. 175, el primer mes. Si el precio del alquiler se incrementa 10% respecto al precio del mes anterior, ¿cuánto pagó por el tercer mes? a) S/. 211,75 b) S/. 221,75 d) S/. 212,25

c) 20% e) 25%

c) S/. 270,15 e) S/. 1643,8

6

Marisol invierte S/. 1240 en un negocio durante un mes en el cual ganará el 23,5% de su inversión. ¿Cuánto tendrá al término de dicho mes? a) 1354,6 b) 1435,4 d) 1631,40

c) 1531,4 e) 1643,8

Resolución: Resolución:

Clave: 90

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

En una reunión, el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? a) 400/7 % b) 40 % d) 400/3 %

7

c) 20 % e) 120/3 %

Un estudiante ahorra S/. 3,2 cada día durante una semana. Si luego gastó el 25% de lo ahorrado, ¿cuánto le queda? a) S/. 18,60 b) S/. 15,4 d) S/. 16,80 Resolución:

Resolución:

Clave:

8

c) S/. 19,8 e) S/. 20

Alberto tenía S/. 144 y perdió el 13,5% de su dinero. ¿Cuánto tiene ahora? a) S/. 124,56 b) S/. 142,56 c) S/. 130,80 d) S/. 105,60 e) S/. 102,66

Clave:

8

Roberto tenía S/. 14,3 y gastó el 30% de lo que no gastó. ¿Cuánto tiene ahora? a) S/. 11 b) S/. 11,4 d) S/. 10,5

c) S/. 9,6 e) S/. 12,3

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

91

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

12

Operaciones Matemáticas OBJETIVOS:

Operación o Ley de Composición interna

En general, en un conjunto cualquiera A;

Consideremos el conjunto de los números naturales: N={0, 1, 2, 3, 4, 5.....}

A c∈A

Se dice que c es el compuesto de a y b.

Vamos a construir el producto cartesiano N x N

A toda aplicación A x A A se le llama Operación o Ley de Composición Interna

N

N

f

AxA (a, b)

0

-

Los elementos del conjunto inicial son pares de números naturales obtenidos en el producto cartesiano. - Los elementos del conjunto final son números naturales. - Todo elemento de N x N tiene una imagen y sólo una en N (aplicación). - La suma de números naturales es una operación o Ley de Composición Interna en N

1 2 3

Establecemos una aplicación:

NxN

f (+)

Operación o Ley de Composición Externa

N

Hacemos corresponder a cada elemento de N x N, que es un par, el elemento de N que sea la suma de los componentes del par:

Al mulitplicar un segmento por un número natural se obtiene otro segmento. a

NxN (0, 1) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (1, 3) (3, 1) (4, 4)

92

f (+)

x3=

a

3a a

a

N 1

Vamos a considerar los conjuntos.

2 3

S=

a

,

b

,

c

, ...

4 8

N={0, 1, 2, 3, 4, 5, .....................}

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. Establezcamos una aplicación de:

SxN

S

(a, 1)

1a

(b, 2)

2b

(c, 3)

3b

(c, 1)

1c

Adición: (+) Tomando el conjunto de los números naturales, hacemos corresponder a cada par del producto cartesiano N x N un número natural 2+3=5

(2, 3)

El símbolo o signo de la operación adición es el (+) que se lee «más». Multiplicación: ( × ) Tomando el conjunto de los números naturales, hacemos corresponder a cada par del producto cartesiano N x N un número natural.

En general, se tiene; AxB

f

B

A toda aplicación A x B B se le llama Operación o Ley de Composición Externa

34=12

(3, 4)

El símbolo de la operación multiplicación es ( × ), que se lee «por». En general el símbolo o signo que representa una operación, se le llama Operador.

- La multiplicación de un segmento por un número natural es una operación o Ley de composición externa.

Formas de expresar una operación: * Mediante fórmula

Diferencias entre Operación Interna y Externa Una operación es una aplicación del producto cartesiano de dos conjuntos en otro. Operación Interna

- Conjunto inicial A A

Operación Externa

- Conjunto inicial S A

- Conjunto final A

a* b=

3a+2b Fórmula 1 x 2 = 3(1)+2(2)=7

* Mediante Tabla de Doble Entrada

Fila de Entrada

- Conjunto final S

* a Columna de b Entrada c d

Observa: - En la operación interna se componen entre sí elementos de un conjunto A. - En la operación externa se componen elementos de un conjunto A con elementos de otro conjunto B. - Cuando hablamos simplemente de operaciones, nos referimos a las internas.

Reto al ingenio

Representación de Operaciones

Si: (b * a)2=a * b>0

Cada operación tiene un signo que representa su cualidad. Veamos algunos:

Halle: 54 * 2

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

a*b=b; b*d=a; d*b=a.etc

Formando líderes con una auténtica educación integral

93

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) Si:

4) Se define: Halla: 2 × 4

x = x 2 + x ; ∀x ≥ 0



Hallar:

a × b = a4 + a + b 3

16

Rpta: ________

Rpta: ________

5) Si:

2) Si:

A =

A+2 ∀A ≠ 4 A−4 ;



Hallar: 7

2

a+2 =a +2

Calcular: 3 + 4 - 5 Rpta: ________

Rpta: ________

6) Si:

3) Si:

x+5 =x -1

Hallar: 8



b-5 =2b-5

3



Calcular:

1

+ -3 - -6

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Se define:



Calcular:

4) Si:

x = (x+y) 2– z y z 2

3 4

+

x2-1 =x3-4



Hallar: 3 + 15

4

3 1

Rpta: ________ Rpta: ________ 5) Se define:

2) Si:

x = y =y4+2y+3



Hallar: 3



Calcular: 2

Rpta: ________

Rpta: ________

6) Se define:

3) Si: 2

x-2 =x +x-2



x −1 x2 + 1



Hallar: 1 + 2

a × b = a4 + ab + b3 Halla: 2 × 4 Rpta: ________

Rpta: ________

94

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 12

1

Si: x −2 =

Halla:

x ( x + 1)( x + 2 )

( x + 3)

1

Se define:

; x ≠ −3

Calcular:

1

a) 10 b) 11 d) 13

c) 12 e) 14

x y z = (x + y)2 – z 2 3 3 4 + 4 1

a) 66 b) 67 d) 69

Resolución:

c) 68 e) 70

Resolución:

Clave:

2

Se define en Z+:

2

a =a(a+1)

Resolver: x =930 a) 4 b) 5 d) 7

Clave: Si: Hallar:

c) 6 e) 9

Resolución:

x + 2 = x2 + x – 2 1 + 2

a) 0 b) 1 d) -2

c) 2 e) -4

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 95

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Se define en Z+: Resolver:

3

n =n(n+1)

y

=1806

Si:

a a * b = +b 2 b

Hallar: (8 * 2) * (2 * 1)

a) 1 b) 2 d) 4

a) 35/2 b) 35/3 d) 34/3

c) 3 e) 5

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Se define:

c) 35 e) 34/5

b

4

3

a b=a -(a-b)

Si: x + 3 = x2 – 1

Hallar: 4 3 a) 63 b) 64 d) 66

Clave:

c) 65 e) 67

Hallar: 7 a) 13 b) 14 d) 16

c) 15 e) 17

Resolución: Resolución:

Clave: 96

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5 Definimos la operación:

A + 2 , si A es par A = 2

A =

5

A + 3 , si A es impar 2

Si: A ∆ B = A B - BA Calcula: 5 ∆ (3 ∆ 2) a) 2 b) 3 d) 5

Calcular:

c) 4 e) 6

2 + 7

a) 7 b) 9 d) 13

Resolución:

c) 11 e) 15

Resolución:

Clave:

6 Se define:

Clave:

6 2

Se define: m

2

A +C = ; ∀B ≠ 0 B C B A

Hallar:

Hallar:

6 20 2

a) 1 b) 2 d) 4

n p =

c) 3 e) 5

Resolución:

2

n+m ; ∀p ≠ 0 p

2 6 5

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 97

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

+

Se define en Z : Resuelva:

n =n(n+1)

7

+

Se define en Z : Resuelva:

n =420

a) 4 b) 5 d) 7

n = n(n+1) n = 42

c) 6 e) 2

a) 1 b) 2 d) 4 Resolución:

Resolución:

Clave:

8

c) 3 e) 5

Si:

Clave:

8

Si:

x = x +1 + x

x = x+3+x

Hallar: 24 a) 26 b) 27 d) 29

Hallar: 13 c) 28 e) 30

Resolución:

a) 15 b) 16 d) 18

c) 17 e) 19

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 98

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

Sucesiones Numéricas I

Definición Una sucesión numérica es una lista de números que tienen un primer número, un segundo número, un tercer número, y así sucesivamente, llamados términos de la sucesión. Cada término tiene un orden asignado, es decir, que a cada uno le corresponde un número ordinal (n). Sea t1, t2, t3,...... Los términos de una sucesión, entonces a cada uno le corresponde un valor “n”, según su posición. Así:

t1 → n = 1 ( primero ) t 2 → n = 2 ( segundo ) t 3 → n = 3 ( tercero ) 

13

2 Ejemplo: Si tn=n +1 Entonces:

n = 1 → t1 = 12 + 1 = 2



n = 3 → t 3 = 3 2 + 1 = 10



n = 2 → t 2 = 22 + 1 = 5



n = 4 → t 4 = 4 2 + 1 = 17 



La sucesión será: 2,5,10,17,...



Observación: En matemática superior se define la sucesión de números (reales) como una función analítica cuyo dominio es los números naturales y su rango los números reales. En notación matemática. f;  → 

Ley de Formación Es una expresión matemática, que relaciona la posición o lugar de cada término y el término en sí, de una sucesión, con la cual se puede obtener cualquiera de los términos de la sucesión. La posición se expresa mediante el número ordinal n. La ley de formación también es llamada; fórmula de recurrencia, término general o término enésimo, y se representa como tn.

El término serie, en matemática, se refiere a la suma indicada de los términos de una sucesión numérica.

Algunas Sucesiones Númericas Importantes •

Sucesión Aritmética o Polinomial:



Es aquella sucesión ordenada en la que cada término a partir del segundo es igual al anterior aumentado en una variable o constante denominada razón. Si la razón es constante se llama progresión. Toda sucesión aritmética o polinomial tiene por ley de formación un polinomio, pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbico, etc.

Formando líderes con una auténtica educación integral

99

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Sea la Sucesión polinomial:

•

Sucesión de Lucas



Es la sucesión en la forma más general de la sucesión de fibonacci.

t1 , t2, t3, t 4, t 5, t6, t7,... r1

r2 r3 r4

r5

r6 ...

k1 k2 k3 k4 k5

“P” términos

n

1+ 5  1− 5  tn =  +  2   2     

m1 m2 m3 m4... a

a

n −1

n −1

a

n −1

n −1

t n = t1 C 0 + r1 C1 + k1C 2 + ... + aC p −1



Sucesión de Tribonacci o Ferenberg



Es aquella en la que cada término a partir del cuarto es la suma de los tres anteriores.

1, 1, 2, 4, 7, 13, .... a



•

Sabiendo que:

Cb =

•

a! ( a − b ) !b!

Sucesión Geométrica Es una sucesión ordenada en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero, y cada término a partir del segundo se obtiene multiplicando al anterior por una razón variable o constante. Si la razón es constante se denomina progresión geométrica.

•

Sucesión Armónica



Es quella cuyos recíprocos (inversos) de sus términos forman una progresión aritmética.



Ejemplo:



Sea la sucesión geométrica. t1 , t2 , t3 , t4..... q

1



q

2

q



3...

Si q1 = q 2 = q 3 = .... = q (Cte. Razón Geométrica) t n = t1( q ) n −1

•

1, 1, 2, 3, 5, 8,..........

100

n n 1  1 + 5   1 − 5    −     5  2   2    

∗

2 2 2 2 ; ; ; ;... 3 7 11 15

∗

1 1 1 1 ; ; ; ;... 3 5 7 9

•

Sucesión de Números Primos



Formada por los números naturales que poseen solo 2 divisores.

Sucesión de Fibonacci Es aquella en la que cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores.

tn =

n

2, 3, 5, 7, 11; 13; 17;.........



Reto al Ingénio



¿Cuál es el término que continua, en la sucesión?

8; 27; 125; 343; 1331; ....

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase

1) Hallar el término que continua: • 2, 5, 8, 11, ....... • –2, –7, –12, –17,.....

4) Hallar x:

2) Halla "x":

14, 22, 32, 44, x, ...

3) Hallar el número que sigue: 2, 4, 12, 48, ...

3, 6, 12, 21, 33, x, ...

5) Hallar x+y



1, 0, 0, 1, 3, x, y, ...

6) Calcular el siguiente término: 2, 1, 1, 2, 8,....

Para Reforzar 1) Hallar el término que continua: • 2, 6, 10, 14, ....... • –3, –6, –9, –12,.....

4) Hallar x:

2) Halla "x":



11, 20, 24, 38, x, ...

3) Hallar el número que sigue: 3, 6, 18, 72, ...

2, 4, 9, 17, 28, x, ...

5) Hallar x+y

2, 0, 0, 2, 6, x, y, ...



6) Calcular el siguiente término: 3, 1, –1, –3, –27, ....

Formando líderes con una auténtica educación integral

101

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 13

1

¿Qué término continua? 3, 5, 8, 13, 21, 34,... a) 0 b) 1 d) 3

1

c) 2 e) 4

Qué número que sigue en: 20, 16, 12, 8, 4, ... a) 1 b) 0 d) 4

Resolución:

c) 2 e) –1

Resolución:

Clave: 2

Hallar el término que sigue: 3, 8, 15, 24, 35,...



a) 45 b) 46 d) 48

2 c) 47 e) 49

Resolución:



Hallar el término que sigue en: 2, 6, 11, 17, 24, 32, ...

Para a) 41 el profesor: b) 38 d) 40

c) 34 e) 50

Resolución:

Clave: 102

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Par

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Halla el número que sigue en: –21, –16, –9, 0, ...



a) 8 b) 9 d) 11

c) 10 e) 12

3

Halla el número que sigue en: 20, 16, 12, 8, 4, ...



a) 1 b) 0 c) 2 d) 4

Resolución:

e) –1

Resolución:

Clave:

Clave:

4

Hallar el término que sigue: 8, 7, 16, 15, 24, 23, ...

4

Hallar el término que sigue en: 27, 26, 29, 28, 31, ...



a) 24 b) 22 d) 31



a) 30 b) 20 d) 32

c) 30 e) 20

Resolución:

c) 10 e) 34

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 103

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

Halla el número que sigue en: 2, 8, 5, 20, 17, 68, 65, ...



a) 260 b) 257 d) 130

5

c) 250 e) 420

Halla el número que sigue en: 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, ... a) 60 b) 61 d) 55

Resolución:

c) 51 e) 62

Resolución:

Clave:

Clave:

6

Hallar el número triangular de posición 8.

6

Hallar el número triangular de posición 9.



a) 20 b) 25 d) 32



a) 32 b) 34 d) 45

c) 30 e) 36

Resolución:

Resolución:

Clave: 104

c) 33 e) 36

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Hallar x:



a) 2 b) 4 d) 16

27, 9, 18, 6, 12, 4, x c) 8 e) 32

7

Resolución:

Hallar "x". 1, 2, 8, 8, 64, 32, x a) 510 b) 412 d) 600

c) 700 e) 512

Resolución:

Clave:

Clave:

8

¿Qué término continua? 171, 120, 78, 45, 21,....

8

Calcular el número que sigue: 20, 35, 58, 91, 136, ....



a) 2 b) 4 d) 8



a) 110 b) 130 d) 180

c) 6 e) 10

Resolución:

c) 150 e) 195

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

105

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

14

Sucesiones Numéricas II

DEFINICIÓN

En los siguientes ejercicios encontrar el número que sigue :

Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los casos anteriores), de modo que cada uno ocupe un lugar establecido, tal que se pueda distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente; acorde a una ley de formación o fórmula de recurrencia.

1) 2 ; 3 ; 7 ; 15 ; 28 ; ............ 2) 7 ; 9 ; 12 ; 17 ; 25 ; ............ 3) 0 ; 5 ; 18 ; 47 ; 100 ; ..............

SUCESIONES NUMÉRICAS

4) 2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 8 ; ...............

definida en el conjunto N = {1 , 2 , 3 , ...} de números naturales y que va tomando valores en el conjunto R de los números reales. Un valor f(n) ∀ n ∈ N, será representado por t n llamado término enésimo o término general de la sucesión.

5) 1 ; 2 ; 4 ; 4 ; 7 ; 8 ; 10 ; 16 ; ..............

Una sucesión de números reales es una función f : N → R

N 1 2 3 n

f

R

SUCESIONES LITERALES Se toma como base 27 letras del alfabeto; no se consideran las letras dígrafas "CH" y "LL". En los siguientes ejercicios hallar la letra que sigue:

t1

1) A ; C ; F ; J ; ............

t2 t3

2) A ; D ; I ; O ; ............

tn

3) C ; F ; H ; K ; M ; ..............

Deducimos que hay una correspondencia de "uno a uno" entre los números naturales a partir de 1 y los términos de la sucesión. Indicamos que una sucesión se puede considerar como el rango de una función cuyo dominio es el conjunto N. Ejemplo: La sucesión para la cual tiene como términos : 6 ; 11 ; 16; 21 ; ....

4) Hallar el par de letras que sigue : CE ; GI ; KL ; ÑN ; ...........

SUCESIONES ALFANUMÉRICAS Hallar el término que sigue en cada caso : 1) 1B ; 1B ; 2C ; 3D ; 5F ; 8I ; ............

SUCESIONES GRÁFICAS ¿Qué figura sigue en cada caso?

para n: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ........ (números ordinales) Se tiene: t n : 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; ........(términos de la sucesión) 106

1)

;

;

;

; .......



Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 2)

16

3)

36

;

;

;

64

B. SUCESIÓN DE SEGUNDO ORDEN:

; ........

;

; ......



3. Encontrar el término que ocupa el lugar 20. 4 ; 7 ; 12 ; 19 ; 28 ; ......



ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES En cada uno de los ejercicios mostrados, encontrar el número que falta : 1) 4

(7)

3 (8) 6 (...) 2) 2

3

Sucesión de Fibonacci

1 4

(9)

110=1

1 1

3

9

125

2

12

16 2 8

1

2

1

5 6

7

3 4

3

10

21

5 1

6

15

3

1 2

1+1=2=21 1+2+1=4=22

8 13 21

1 4

1+2+3+1=8=23 1+4+6+4+1=16=24

1

10 20

35

1=1=20

2

5 15

1 6

35

1

21

7

1

−4

1 3

3

7

1

114=14641

2 6

4)

1

113=1331

2

5

1

112=121

5

1 1

1

111=11

7 (50) 1 5 (...) 25

3)

TRIÁNGULO DE PASCAL

NÚMEROS TRIANGULARES

−2 Fig (1) Fig. (2)

6 4

Fig. (3)

Fig. (4)

5

Número de puntos:

2

7

3

5)

6

1

;

11

1

; 1+ 2

51 6

7

6)

1

2

8

1× 2 ; 2

4 3

6

CÁLCULO DEL TÉRMINO ENÉSIMO A. SUCESIÓN DE PRIMER ORDEN:

1. Encontrar el término que ocupa la posición 20.



5 ; 8 ; 1 1 ; 14 ; .......

2. Encontrar el término que ocupa la posición 100



2 ; 9 ; 16 ; 23 ; ........

3 2× 3 2

;

6

;

10

; ......

; 1 + 2 + 3 ; 1 + 2 + 3 + 4 ; ...... ;

3× 4 2

;

4×5 2

; ......

CURIOSIDAD ACERCA DE LA SUCESIÓN DE FIBONACCI Piensa en dos números cualesquiera y construye, empezando con esos números, una sucesión como la de Fibonacci, es decir en la que cada término sea la suma de los dos anteriores. La suma de los diez primeros términos de tu sucesión será once veces el séptimo término. Esto sucede en la sucesión de Fibonacci y en cualquier otra que se construya de la misma manera.

Formando líderes con una auténtica educación integral

107

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase

1) Hallar el término enésimo de: 3, 5, 7, 9, ...



4) Halla la ley de recurrencia, de: –1, 1, 3, 5, ...

2) Halla la ley de formación, de: 3, 2, 1, 0, –1



5) Encontrar la ley de formación de: 2, 6, 12, 20, ...



6) Halla la ley de formación, de: 3, 6, 12, 21, 33, ...

3) Encontrar el término general, de: –2, 2, 6, 10, 14, ...

Para Reforzar 1) Hallar el término enésimo de: 3, 7, 10, 13, 16, ...

4) Halla la ley de recurrencia, de: –2, 3, 8, 13, 18, ...

2) Halla la ley de formación, de: –2, 1, 0, –1, –2, ...

5) Encontrar la ley de formación de: 3, 9, 19, 33, ...

3) Encontrar el término general, de: –5. –2, 1, 4, 7, ...





108

6) Halla la ley de formación, de: 5, 10, 17, 26, ...

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 14

1

Halla el término general de: 5, 8, 11, 14, ...



a) 3n + 2 b) 2n + 3 d) 4n + 1

c) n +2 e) 3n +4

1

Halla el término general, de: 2, 7, 12, 17, 22, ...



a) 5n – 3 b) 3n – 5 d) 7n – 5

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Halla la ley de recurencia, de: –1, 3, 7, 11, 15, ...



a) 4n – 3 b) 3n – 4 d) 4n – 5

c) 4n + 2 e) 2n

c) 4n + 5 e) 2n + 1

Clave: 2

Halla la ley de recurencia, de: 3; 5; 7; 9; ...



a) 2n + 3 b) 2n d) 2n + 1

Resolución:

c) 2n – 1 e) 2n + 4

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 109

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Encontrar el término enésimo, de: 7, 4, 1, – 2, – 5, ...



a) 9 – 2n b) 2n + 3 d) 10 – 3n

c) 3n +4 e) 12 – 5n

3

Hallar el término enésimo, de: 1, 0, – 3, –8, – 15, ...



a) 2n – n2 b) 3n – 2n2 2 d) 4n – 2n

Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Encontrar la ley de formación de: 2, 6, 12, 20, ...



a) n(n + 3) b) 2n d) n(n + 1)

c) n(n+ 2) e) 4n

Resolución:

Clave: 4

Hallar la ley de formación, de: 1, 4, 9, 16, 25,



a) n2 b) (n + 1)2 2 d) 3n

c) 2n2 e) 5n

Resolución:

Clave: 110

c) n – n2 e) –n2

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

Hallar el término general, de: 2, 7, 14, 23, ...

5

Hallar la ley de recurrencia de: 6, 15, 28, 45, ...



a) 2n2 – n+1 b) n2 – 2n+1 c) 2n2 – n – 1 d) n2+2n – 1 e) n2 – 3n+2



a) 3n2 – n+1 b) 2n2 + 3n+1 c) 2n2 – 3n+4 d) 4n2+2 e) 2n2–5

Resolución:

Resolución:

Clave: 6

Encontrar la ley de formación de: 2, 16, 54, 128, ...



a) 2 - n2 b) 3n2 4 d) 4n

c) 2n3 e) 5n2

Clave: 6

Encontrar la ley de formación de: 3, 12, 27, 48, ...



a) 3n2 b) 2n2 2 d) 4n

Resolución:

c) n2 e) 6n2

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 111

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Encontrar el término enésimo, de: 11, 15, 22, 32, 45, 61,..

7

Hallar la ley de formación, de: 2, 3, 10, 23, 42, 67,..



a) n2+3n+10 b) n2–3n+10 c) n2+10 1 3 d) n2+ n+10 e) n2+3 2 2



a) n2+7 b) n2+n+8 2 d) 3n –8n+7



c) n2–8n+7 e) n2–8n–7

Resolución: Resolución:

Clave: 8

Encontrar el término enésimo, de: 4, 9, 25, ...



a) n+1 b) 2n+1 d) (n+1)2

c) n2 e) (n+3)2

Resolución:

Clave: 8

Hallar la ley de formación, de: 8, 27, 64, 125, ... a) n3 b) (n–1)3 3 d) (n+2)

c) (n+1)3 e) 2n3

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 112

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

15

Series

DEFINICIÓN Es la suma indicada de los términos de una sucesión numérica. •

Considerando: t1, t2, t3, ... tn; una sucesión finita de numeros reales, entonces la suma indicada:



t1+t2+t3+t4+......+tn; se llama serie numérica finita

Serie Geométrica Sea la serie: t1+t2+t3+t4+...+tn; siendo Sn el valor de la suma de los “n” primeros términos, entonces, dado que proviene de una sucesión geométrica, de la forma: t 1 , t 2 , t 3 , ...., t n q1

y al resultado se le llama valor o suma de la serie. •

 qn − 1    q −1 

Se cumple que: Sn = t1 

t1+t2+t3+t4+...+tn+..; y su valor se puede calcular sólo si es convergente.

Algunas Series Importantes Series cuyos términos se generan con polinomios Son aquellas series que expresan la suma indicada de los términos de una sucesión polinomial. Estas sucesiones alcanzan en algún momento una fila de diferencias que es constante. Cuando en la primera fila de difirencias se obtiene valores constantes toma el nombre de progresión aritmética. En general se tiene: Sn= t1 + t2 + t3 + t 4 + t5+......+ tn a1 a2

a3

c1

a4 a5 ... b3

b 1 b2 c2

b4 .... c3

d2

d1 ...

cte.cte.

1

a

Sabiendo que: C b =

a! ( a − b ) !b!

q3

con q1 = q 2 = q 3 = ... = q

Considerando: t1, t2, t3, .... tn, ... ; una sucesión infinita de números, la serie infinita será:



q2

..... ...... ... ....

Donde:

t1: Primer término de la serie



n: Número de términos que se desea

sumar

q: Razón geométrica (cte.)

Principales Series Notables • De los primeros números naturales. 1+2+3+4+5+...+n= •

De los primeros números pares. 2+4+6+8+10+...+2n= n(n+1) n ( n + 1)

•

De los primeros números impares: 1+3+5+7+9+...+ (2n – 1) = n2

2

• De los cuadrados de los primeros números naturales: n ( n + 1)( 2n + 1) 2 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n =

•

6

De los cubos de los primeros números naturales:



 n ( n + 1)  13 + 23 + 4 3 + ... + n 3 =   2  

2

Reto al ingenio ¿Cuántas pelotas de tenis se necesitan, para fomar con ellas, una pirámide de base cuadrada en la que cada lado de la base tiene 100 pelotas?

Formando líderes con una auténtica educación integral

113

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase

1) Hallar la suma total: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 81



2) Halla el valor de la serie: S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 302





3) Calcular la suma total: S = 144424443 1 + 3 + 5 + 7 + ..... 80 términos

4) Calcular la el valor de la serie: S = 8 + 12 + 16 + 20 + 21 + ... 1444442444443 40 términos

5) Halla el valor de la serie: S = 3 + 7 + 11 + 15 + ... 14444244443 60 términos

6) Calcular la suma total: S = 14444244443 3 + 7 + 11 + 15 + ...

64 términos

Para Reforzar

1) Hallar la suma total: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 64



2) Halla el valor de la serie: S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 180





3) Calcular la suma total: S = 144424443 1 + 3 + 5 + 7 + .....

114

60 términos



4) Calcular la el valor de la serie: S = 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... 1444442444443 30 términos

5) Halla el valor de la serie: S = 3 + 6 + 9 + 12 + ... 14444244443 40 términos

6) Calcular la suma total: S = 14444244443 5 + 7 + 9 + 11 + ... 80 términos

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 15

1

Hallar el valor de la serie: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 600

1

Calcular el valor de la serie: S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 500



a) 180 000 b) 181 000 d) 180 300



a) 61 750 b) 62 750 d) 64 250

c) 180 200 e) 1 800

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

c) 63 750 e) 63 150

Calcular la suma total: S = 144424443 1 + 3 + 5 + 7 + ... 50 términos

a) 2 000 b) 2100 d) 2 600

c) 2 400 e) 2 500

Clave: 2

Resolución:

Calcular la suma total: S = 144424443 1 + 3 + 5 + 7 + ... 50 términos

a) 6 400 b) 900 d) 2 400

c) 6 300 e) 3 400

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 115

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

Encontrar el valor de “S”: S = 2 + 6 + 12 + 12 + 30 + ... 1444442444443

3

a) 3 000 b) 3 050 d) 3 060



20 términos

c) 3 080 e) 3 090



Resolución:

Hallar "S": S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... 1444442444443 20 términos

a) 220–1 b) 220 + 1 19 d) 2 + 1

c) 220 e) 220 – 2

Resolución:

Clave:

Clave:

4

Hallar la suma total: 1 + 2 + 4 + 6 + . . . + 225

4

Calcular “S”: S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 225



a) 1 365 b) 1 356 d) 10 101



a) 9 450 b) 9 455 d) 12 769

c) 1 635 e) 2 000

Resolución:

Resolución:

Clave: 116

c) 9 555 e) 9 050

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

Hallar “S”: S = 12 + 22 + 32 + ... + 102

5

Hallar el valor de la serie: S = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 402



a) 380 b) 350 d) 385



a) 21870 b) 20080 d) 20400

c) 355 e) 390

Resolución:

c) 21008 e) 20002

Resolución:

Clave:

Clave:

6

Hallar la suma: S= 1 + 2 + 3 + ... + 91

6

Calcular "S": S = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 61



a) 4 186 b) 4 024 d) 5 034



a) 634 b) 240 d) 600

c) 2 054 e) 2 412

Resolución:

c) 630 e) 631

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 117

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

Encontrar el valor de S: S = 13 + 23 + 33 + ... + 603

7

Hallar la suma total: S = 13 + 23 + 33 + ... + 803



a) 3348900 b) 3448900 d) 3438100



a) 10 497 600 b) 11 567 800 c) 10 537 800 d) 11 428 700 e) 12 425 700

c) 368900 e) 348900

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Calcular el valor de la serie: S = 3 + 9 + 27 + 81 + ... 14444244443 80 términos

a) 380 b) 381 80 3 −1 d) 2

c) 380 – 1 e) 381 – 1

Clave: 8

Calcular el valor de la serie: S = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ... 1444442444443 50 términos

a) 44000 b) 44200 d) 43100

c) 44100 e) 43200

Resolución: Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 118

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Capítulo

Conteo de Figuras

16

CONTEO DE FIGURAS CONCEPTO Consiste en determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura dada.

Métodos de Conteo • Conteo Directo Consiste en contar las figuras que nos piden, utilizando la habilidad visual. • Conteo de Schoenk Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado de las figuras formadas por 1 pieza, 2 piezas, 3 piezas, etc. • Conteo por Inducción Consiste en analizar casos particulares a la figura dada (figuras análogas) tratando de encontrar una ley de formación coherente, para luego poder generalizar. Mediante este método se obtienen fórmulas para aplicar en cualquier caso particular análago. Reto al Ingenio Indique el máximo número de cuadrados en: 1 2 3

2396 2397 2398

Formando líderes con una auténtica educación integral

119

Raz. Matemático - 1ro Sec.

Resolviendo en clase 1) Hallar el número total de triángulos

4) ¿Cuántos segmentos hay en total? 1

2

3

4

n

2) ¿Cuántos cuadriláteros hay en total?

5) Hallar el número total de triángulos

3) ¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menos un asterisco hay en total?

6) ¿Cuántos cuadriláteros hay en total?

 



Para Reforzar 1) Hallar el número total de triángulos

4) ¿Cuántos segmentos hay en total? 1

Rpta: ________

2

3

4

21 Rpta: ________

2) ¿Cuántos cuadriláteros hay en total?

5) Hallar el número total de triángulos

3) ¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menos un asterisco hay en total?

6) ¿Cuántos cuadriláteros hay en total?

 

120

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 16

1

¿Cuántos triángulos hay en total?

1

Hallar el total de triángulos:



a) 142 b) 72 c) 144 d) 40 e) 84



a) 30 b) 40 c) 31 d) 41 e) 50

Resolución:

Resolución:

Clave: 2

Clave: 2

Hallar el total de triángulos:

Hallar el total de triángulos:

a) 1 800 b) 1 820 c) 1 830 d) 1 850 e) 1 840 1 2 3 4 60

a) 800 b) 810 c) 820 d) 410 e) 420

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral



1 2 3 4

40

Clave: 121

Raz. Matemático - 1ro Sec. 3

¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menos un asterisco hay?

3

¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menos un asterisco hay?

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26



a) 25 b) 20 c) 23 d) 26 e) N.A.







Resolución:



Resolución:

Clave: 4 ¿Cuál es el número total de exágonos? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

Resolución:

Clave: 4

¿Cuál es el número total de cuadriláteros? a) 25 b) 26 c) 29 d) 27 e) N.A.

Resolución:

Clave: 122



Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Raz. Matemático - 1ro Sec. 5

En la figura: ¿Cuántos cuadriláteros hay en total? ¿Cuántos cuadrados hay en total? a) 1040 b) 1020 c) 1080 d) 880 e) 2040

5

Hallar la diferencia entre el número de cuadriláteros y cuadrados.

a) 540 b) 100 c) 430 d) 410 e) 440

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6

Resolución: Resolución:

Clave: 6

Clave:

Hallar el número de triángulos en total:

6

Hallar el número de triángulos en total:

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24



a) 7 b) 8 d) 9 d) 10 e) 12

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 123

Raz. Matemático - 1ro Sec. 7

¿Cuántos ángulos agudos hay en total?

7

¿Cuántos sectores circulares hay en total?



a) 10 b) 8 c) 12 d) 14 e) 15



a) 28 b) 36 c) 26 d) 35 e) 40

Resolución:

Resolución:

Clave: 8

Hallar el número de cuadriláteros a) 8 b) 5 c) 4 d) 11 e) 12 Resolución:

Clave: 8

Hallar el número de cuadriláteros.



a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 124

Formando líderes con una auténtica educación integral