• Author / Uploaded
• José Luis Aquise

Citation preview

CONTENIDO

I BIMESTRE

TEORÍA DE CONJUNTOS. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS. CLASES DE CONJUNTOS. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. DIFERENCIA SIMÉTRICA Y COMPLEMENTO. PROBLEMAS CON CONJUNTOS. PRODUCTO CARTESIANO. CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES. ÁNGULOS. POLÍGONOS.

TRIÁNGULOS. CUADRILÁTEROS. MÚLTIPLOS Y DIVISORES. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Y FACTORIZACIÓN PRIMA DE UN NÚMERO. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR.

Pág. 1

TEORÍA DE CONJUNTOS NOCIÓN DE CONJUNTOS: Pensamos en un conjunto cuando nos referimos a una colección, agrupación, asociación reunión o unión de objetos: números, hombres, animales, cosas, etc. Intuitivamente adquirimos la noción de conjunto partiendo de la experiencia. Algunas ideas de conjunto nos la dan, por ejemplo:      

Las estrellas del firmamento Los objetos que están en el salón de clase. Los alumnos del colegio. Los 5 primeros números naturales. Los meses del año. Los héroes de nuestra patria.

En consecuencia, diremos que: "Un conjunto es una colección o agrupación de objetos que se presentan juntos". ELEMENTOS: Son los objetos o seres individuales que integran el conjunto. Estos pueden ser reales o imaginarios. Por ejemplo: a, e, i, o, u son los elementos del conjunto de vocales de nuestro alfabeto. REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA: Generalmente a los conjuntos se los representa por cualquier letra mayúscula del abecedario y sus elementos se denotan por letras minúsculas. Los elementos van encerrados entre llaves, separados con comas cuando son letras y separados por punto y coma cuando son números. Ejemplo: a) Representar con M el conjunto de letras de la palabra “amistad”. M = { a, m, i, s, t, d } b) Representar con P el conjunto de números impares menores que diez. P = { 1; 3; 5; 7; 9 } REPRESENTACIÓN GRÁFICA Los conjuntos se representan gráficamente, haciendo uso de regiones planas, cerradas que tienen diferentes formas: ovaladas, triangulares, rectangulares, circulares, dentro de las cuales se ubican los elementos que pertenecen al conjunto, y fuera, los elementos que no le pertenecen. A esta representación gráfica de los conjuntos se llama diagramas de Venn, en honor al matemático John Venn, quien sistematizó su empleó.

Pág. 2

Algunos de estos diagramas son: A

A

A

A

Ejemplos: 1. Representa gráficamente los siguientes conjuntos: U = {2; 3; 5; 7; 9} ;

A = {2; 5; 7; 9}

U

2

A

7

5

3

9

2. Gráficamente representa los siguientes conjuntos: A = { 1; 3; 5; 6; 8; 10 }

1

A 6

B = {7; 5; 3; 9; 10 }

B 10 3 5

8

C = {9; 8; 5;11 }

7

9 11

C

RELACIÓN DE PERTENENCIA: La relación de pertenencia se representa por el símbolo , el cual sirve para que un objeto o ser individual forme parte de un determinado conjunto. La no pertenencia se simboliza por . Ejemplo 1: B A ·7 1A 2A ·3 ·1 7C 3A ·2 ·5 ·6 ·4 C  Completa con  y  6 ....... C

5 ....... A

5 ....... B

6 ....... A

7 ....... B

Pág. 3

3 ....... C

Ejemplo 2. Si A = {1; 2; 4; 7}, entonces podemos afirmar que: 1  A  “1 pertenece a A” 2  A  “2 pertenece a A” 3  A  “3 no pertenece a A” 4  A  “4 pertenece a A”. 5  A  “ 5 no pertenece a A” 7  A  “7 pertenece a A” Ejemplo 3. Si B = {a; b; c; d}, entonces podemos afirmar que: a  B  “a pertenece a B” b  B  “b pertenece a B” f  B  “f no pertenece a B” c  B  “c pertenece a B” Ejemplo 4. Dados los conjuntos: A = {1; 2; {3}; 4; {5; 6}; 7}

y

B = {0; {1}; 2; 3; {4}}

Se tiene que: a) 1  A

b) {1}  B

c) {3}  A

d) 7  A

e) {7} B

f) {5}  A

g) 6  A

h) {2}  B

Práctica de clase 1. Representa en forma gráfica y simbólica los siguientes conjuntos: a) "A es el es conjunto de días de la semana"

b) "B es el conjunto de dígitos pares del número 9 836"

Pág. 4

c) "C es el conjunto de múltiplos de 7 menores que 49"

d) "D es el conjunto de letras de la palabra solidaridad"

e) "E es el conjunto de números impares mayores que 8 y menores que 16"

2. Completa con  y  :

P ·1

Q ·8 ·3 R ·2 ·7 ·4 ·5 ·6

P = { ..... Q = { ..... R = { .....

1 ..... Q

5 ..... R

7 ..... P

2 ..... R

1 ..... P

5 ..... Q

3 ..... Q

5 ..... P

8 ..... R

6 ..... R

2 ..... P

4 ..... Q

8 ..... P

4 ..... P

2 ..... Q

4 ..... R

Pág. 5

3. Observa el diagrama adjunto y escribe V si la expresión es verdadera y F si es falsa.

M ·8 ·6 ·11

N

·19 ·15 ·16

·20 P ·23 ·1 ·21

6  M ... (

)

21  N ... (

)

8  M ... ( )

23  P ... (

)

11  N ... (

)

1  P ... (

)

15  N ... ( )

16  P ... (

)

19  N ... (

)

20  N ... (

)

4. Si R = {1; 2; 3; 5} y M = {2; a; e; 6} completa con  y : 1 .... R

a ..... R

3 ..... M

a ..... M

5 ..... R

e ..... R

2 ..... R

e ..... M

2 ..... M

6 ..... M

Ejercicios Propuestos 01. Si "A es el conjunto de los dígitos impares del número 3 864". ¿Cuántos elementos tiene? a) dos

b) uno

c) cuatro

d) N.a.

02. Si B está formado por el conjunto solución de 3 x – 9 < 12. a) {0;2;4;6}

b) {0;1;2;3;4;5;6;7}

c) {0;1;2;3;4,5;6}

d) N.a.

03. Dado el diagrama: y las proposiciones: A

B ·2

·1

·3

·5 ·4 C ·7

I) 1  A IV) 2  C

·6

II) 4  B V) 5  B

III) 6  C VI) 7  A

Es correcto: a) VVV FVF

b) VVVVVF

c) FFVVFV

Pág. 6

d) N.a.

04. Observa el diagrama: P

·4

·1

·2 ·9 ·8

R ·6

·5 ·7

Q

Decir cual es la respuesta correcta: a) Q = {4; 5; 6} b) R = {9; 5} c) P = {1; 2; 8} d) Q = {4; 5; 7; 8; 9} 05. Dado el diagrama y las proposiciones: decir cuáles son verdaderas y cuáles son falsas. A ·1

B ·7

·9 ·8

·6

C

·2 ·3

I) 8  A IV) 1  B

·5

·4

II) 4  C V) 5  A

III) 3  A VI) 9  C

Es lo correcto: a) VVVVVV

b) VVVFVV

c) VVVFFF

d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA 1. Representa en forma gráfica y simbólica los siguientes conjuntos: "P es el conjunto de vocales de la palabra amistad" "Q es el conjunto de letras de la palabra colegio" "R es el conjunto de los colores de la bandera peruana" "S es el conjunto de los símbolos de la patria" "T es el conjunto de múltiplos de 9 menores que 80" "V es el conjunto de números pares mayores que 50 y menores que 70"· "W es el conjunto de números de dos cifras iguales menores que 100"

Pág. 7

2. Según el diagrama completa con  y : M ·1 ·5

·4 P

·3

N

M = { ......

·7

N = { ...... P = { ......

·6

·2

1 ... N

4 ... M

7 ... N

4 ... P

4 ... N

7 ... M

5 ... M

4 ... M

1 ... M

7 ... P

6 ... N

5 ... N

2 ... P

6 ... M

3 ... P

Pág. 8

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los elementos que forman dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. POR EXTENSIÓN: Se dice que un conjunto está definido por enumeración o por extensión cuando se enumeran uno a uno los elementos que lo forman. Ejemplo: B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} P = {tallo, raíz, hojas, flores, fruto} COMPRENSIÓN: Se dice que un conjunto está definido por comprensión o por propiedad cuando se da un criterio que permite decir con certeza si un elemento pertenece o no al conjunto. Ejemplo: A = {días de la semana} También: A = {x/x es un día de la semana} Ejemplos 1. Determinar por extensión el conjunto: T={x N/2