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• Andres Bonilla

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Probabilidad-Segundo Semestre 2014 Hoja de Ejercicios #5

FACULTAD DE CIENCIAS

1. El n´ umero de huecos en la carrera 30 de Bogot´a que requieren de reparcheo urgente puede modelarse por una distribuci´ on Poisson que tiene una media de cuatro huecos por cada 100 metros. Calcular la probabilidad de que sea necesario reparchear al menos un hueco en un tramo de 50 metros. 2. En un bosque hay 20 osos de anteojos de los cuales 5 son capturados, marcados y dejados nuevamente en libertad. Unas semanas m´ as tarde, 4 de los 20 osos son capturados. Calcular la probabilidad de que a lo m´ as dos de los osos capturados est´en marcados. 3. Un cargamento de 20 unidades de una cierta mercancia se considera de buena calidad cuando ´el contiene a lo m´ as dos unidades defectuosas y se considera de mala calidad si contiene por lo menos 4 unidades defectuosas. El vendedor y el comprador del cargamento acuerdan tomar una muestra aleatoria de cuatro unidades para analizarla. Si todos los cuatro elementos de la muestra son de buena calidad entonces se realiza el negocio. El vendedor corre el riesgo, bajo este acuerdo, de no vender un cargamento de buena calidad, en tanto que el comprador corre el riesgo de comprar un cargamento de mala calidad. ¿Qui´en corre el mayor riesgo en esta transacci´on? 4. Sea 0 < p < 1. Si N, R −→ ∞ de tal forma que Hg(n, R, N )(k) :=

R k




N −R n−k
N n

R N

−→ p. Demostrar que:


−→ B(n, p)(k) :=

  n k p (1 − p)n−k k

5. Una compa˜ n´ıa analiza los embarques de sus proveedores con la finalidad de detectar productos que no cumplen con las especificaciones. Se sabe que el 3 % de los productos no satisfacen las espec´ıficaciones de la compa˜ n´ıa. ¿Cu´ al debe ser el tama˜ no de la muestra para que la probabilidad de seleccionar al menos un art´ıculo que no cumple con las especificaciones, sea al menos 0,90?. Sup´ongase que en este caso resulta adecuado el uso de la aproximaci´on binomial de la distribuci´on hipergeom´etrica. 6. Sup´ ongase que en una tienda de barrio se ofrecen para la venta 1000 art´ıculos. El due˜ no del establecimiento permite a sus clientes llevarse gratis todo art´ıculo que no tenga marcado el precio. Si 10 de los art´ıculos no tienen marcado el precio, ¿cu´al es la probabilidad de que un cliente, que ha comprado 20 art´ıculos, pueda llevarse, al menos, un art´ıculo gratis? 7. Una compa˜ n´ıa de seguros ha descubierto que s´olo alrededor del 0,1 % de la poblaci´on tiene cierto tipo de accidente cada a˜ no. Si los 10000 asegurados fueran seleccionados aleatoriamente en la poblaci´ on, cu´ al es la probabilidad de que no m´ as de 5 de estos clientes tenga un accidente de ese tipo el pr´ oximo a˜ no? 8. Un libro de 200 p´ aginas tiene 143 errores tipogr´aficos. Sup´ongase que cada p´agina contiene 4000 caracteres ( incluyendo los espacios en blanco). ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera p´agina del libro no contenga errores tipogr´ aficos?, ¿Cu´al es la probabilidad de que contenga menos de 3 errores tipogr´ aficos? 9. Se lanza una moneda tantas veces sea necesario hasta que aparece por primera vez cara. a. Describir el espacio muestral de este experimento. b. Sea X la variable aleatoria que indica el n´ umero de lanzamientos necesarios. Hallar P (X > 1) y P (X ≤ n) 10. En una f` abrica de motores de arranque se ha comprobado emp`ıricamente que la probabilidad de que un motor de arranque no pase las pruebas de control de calidad es de 0,0002. Hallar la probabilidad de que m` aximo dos motores de arranque entre 5000 no pasen las pruebas de control de calidad. 1

11. El promedio de homicidios mensuales en un pa´ıs es de 1 por cada 100000 habitantes. a) Determinar la probabilidad de que en una ciudad de dicho pa´ıs, de 400000 habitantes, haya 8 o m´ as homicidios en un mes dado. b) Calcular la probabilidad de que haya, por lo menos, dos meses durante el a˜ no en los que, en dicha ciudad, ocurran 8 o m´ as homicidios. c) Contando el presente mes como el mes n´ umero 1, ¿cu´al es la probabilidad de que el primer mes en tener 5 o m´ as homicidios sea el cuarto? 12. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on geom´etrica de par´ametro p. Demostrar que para cualquier para de n´ umeros enteros positivos n, k, se satisface que: P (X = k + n | X > n − 1) = P (X = k) 13. Escriba un programa de computador tal que, dando los valores de n y p, se puedan determinar todas
n−k las probabilidades B (k) := nk pk (1 − p) de una distribuci´on binomial de par´ametros n y p. 14. Sea X con distribucin binomial con paramtros n y p. Demuestre que a. P (X ∈ {1, 3, 5...}) = 21 (1 − (1 − 2p)n ). b. P (X ∈ {0, 2, 4, ...}) = 12 (1 + (1 − 2p)n ). 15.

a. Determinar la funci´ on caracter´ıstica de una variable aleatoria con distribuci´on binomial de par´ ametros n y p. b. Determinar la funci´ on caracter´ıstica de una variable aleatoria con distribuci´on Poisson de par´ ametro λ.

16. En una masa para hacer pan se han mezclado M uvas pasas. Sup´ongase que se usa la totalidad de la masa para elaborar N panecillos. ¿Cu´antas uvas pasas se deben utilizar para que con probabilidad 0,95 cada panecillo contenga por lo menos una uva pasa? 17. Un od´ ontologo tiene citados para la tarde del lunes a dos pacientes con los que ha acordado que s´ olo ser´ an atendidos si llegan entre las 3pm y las 5pm. El tratamiento de cada paciente tiene una duraci´ on de media hora. ¿A qu´e es igual la probabilidad de que uno de los pacientes tenga que esperar en ser atendido, si los pacientes llegan independientemente uno del otro en un tiempo aleatorio entre las 3pm y las 5pm y si ning´ un otro paciente ha sido citado para esa hora? 18. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on binomial de par´ametros n y p. Sup´ongase que E (X) = 12 y que V ar (X) = 4. Determinar n y p.

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