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´ UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIER´IA DE MINAS, GEOLOG´IA Y CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIER´IA CIVIL

CURSO ´ MECANICA DE FLUIDOS I (IC-347)

´ CUARTA PRACTICA DOMICILIARIA DOCENTE: ´ PRADO, Jaime Leonardo Ing. BENDEZU

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

INTEGRANTES (GRUPO 11): AGUIRRE GARC´IA, Leeshlee AGUIRRE JANAMPA, Junior CARHUAPOMA MEJ´IA, Anibal CRUZ LLOCLLA, Paulino DE LA CRUZ QUISPE, Giordy Ronald ESCOBAR VENTURA, Jonathan Joel GARC´IA VALER, Javier GUTIERREZ ROBLES, Richard QUINCHO HUANCAHUARI, Genaro QUISPE ANCHAYHUA, Jhony ´ VARGAS AVILA, Yuri

Ayacucho-Per´ u 2018

1

Soluci´on de ejercicios

PROB 1.- Dada la función de línea equipotencial  = ax2 + bxy – cy2, donde a,b y c so constantes. a) c)

1.1

Soluci´ on de ejercicios Comprobar que el flujo es irrotacional b) Hallar la función de la línea de Hallar la aceleración d) Hallar el gradiente de presi

Traslaci´on y Rotaci´ on de Masas L´ıquidas SOLUCIÓN

nulanagua

ma(0)distancia

maguaᶿ3

Kgfa1.8

m1060

mhaguaᶿ1.8

magua

m0.9

m/s2B25°A2mwE1E2TaireaceitewETT1.8

3.25

=

m/s2B25°Aasen2m2tanβmβxy2sen25°mcos25°25°2cos25°mcos25°X0Y0a

3.25

=

m/s2B25°Aacosαasenαaα2m2tanβmαᶿβxya

3.25

=

Dada la funci´on de l´ınea equipotencial φ = ax2 + bxy − cy 2 , donde a,b y c son valores constantes. a) Comprobar que el flujo es irrotacional b) Hallar la funci´on de la l´ınea de corriente. c) Hallar la aceleraci´on. d) Hallar el gradiente de presiones. a

Ejercicio 1.1

Soluci´on: a)

Comprobar que el flujo es irrotacional

 = a𝑥2 + bxy – c𝑦2

𝑈𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑖: 𝛻𝑥 ⊽= 0 Sabemos que: 𝑑

𝑉𝑥 = 𝑑𝑥 = 2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑑 𝑉𝑦 = = 𝑏𝑥 − 2𝑐𝑦 𝑑𝑦

∴ ⊽= (𝟐𝟎𝒙 + 𝒃𝒚)î + (𝒃𝒙 − 𝟐𝒄𝒚)ĵ 𝒅 𝒅 𝒅 ∴ 𝛻 = 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 + 𝒅𝒛 Entonces î 𝑑 𝛻𝑥 ⊽= || 𝑑𝑥 2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

2

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ĵ 𝑑 𝑑𝑦 𝑏𝑥 − 2𝑐𝑦

ǩ 𝑑| | 𝑑𝑧 0

Soluci´ on de ejercicios

𝛻𝑥 ⊽= (−

𝑑 𝑑 (𝑏𝑥 − 2𝑐𝑦)) î − (− (2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)) ĵ 𝑑𝑧 𝑑𝑧 +(

𝑑 𝑑 (𝑏𝑥 − 2𝑐𝑦) − (2𝑎𝑥 − 𝑏𝑦)) ǩ 𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝛻𝑥 ⊽= (𝑏 − 𝑏) ǩ

∴ 𝜵𝒙 ⊽= 𝟎

b) Hallar la función de la línea de corriente.

Sabemos: 𝑑φ

𝑉𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑φ

𝑉𝑦 = − 𝑑𝑥 𝑑𝜑 = 2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑑𝑦 𝜑 = 2𝑎𝑥𝑦 +

𝑏𝑦 2 + 𝑓 (𝑥 ) … … … . (∗) 2

Se deriva con respecto a “x” 𝑑𝜑 = 2𝑎𝑦 + 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝜑 = −𝑉𝑦 𝑑𝑥 2𝑎𝑦 + 𝑓´(𝑥 ) = −𝑏𝑥 + 2𝑐𝑦 𝑓´(𝑥 ) = −𝑏𝑥 + 2𝑐𝑦 − 2𝑎𝑦 𝑓 (𝑥 ) = ∫(−𝑏𝑥 + 2𝑐𝑦 − 2𝑎𝑦) 𝑑𝑥

𝒃𝒙𝟐 𝒇(𝒙) = − + 𝟐𝒄𝒚𝒙 − 𝟐𝒂𝒚𝒙 𝟐 Reemplazamos en (*)

3

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Soluci´ on de ejercicios

𝜑 = 2𝑎𝑥𝑦 +

𝑏𝑦 2 + 𝑓 (𝑥 ) 2

𝒃𝒚𝟐 𝒃𝒙𝟐 𝝋 = 𝟐𝒂𝒙𝒚 + − + 𝟐𝒄𝒚𝒙 − 𝟐𝒂𝒚𝒙 𝟐 𝟐 c)

Hallar la aceleración

Sabemos

→ = ⊽. ( 𝛻.⊽) 𝑎

⊽= (2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)î + (𝑏𝑥 − 2𝑐𝑦)ĵ 𝛻=

𝑑 𝑑 𝑑 + + 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

→ = 𝑉𝑥. 𝑎

𝑑𝑉𝑥 𝑑𝑉𝑦 𝑑𝑉𝑧 + 𝑉𝑦 + 𝑉𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

→ = (2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)(2𝑎) + (𝑏𝑥 − 2𝑐𝑦)(−2𝑐) 𝑎

→ = 4𝑎2 𝑥 + 2𝑎𝑏𝑦 − 2𝑏𝑐𝑥 + 4𝐶 2𝑦 𝑎

→ = (𝟒𝒂𝟐 − 𝟐𝒃𝒄)𝑿 î + (𝟒𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃)𝒚 ĵ 𝒂

d) Hallar el gradiente de presiones.

Se sabe que: 𝑑 → = 𝛻𝑃(𝑑𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛) 𝐹

𝑑 → = 𝛻𝑃(𝑑𝑥)(𝑑𝑦)(𝑑𝑧) 𝐹

También: 𝑑 → = 𝑑𝑚. 𝑔⃗ 𝐹

𝑑 → = 𝜌(𝑑𝑥)(𝑑𝑦)(𝑑𝑧) 𝑎⃗ 𝐹

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛻𝑃(𝑑𝑥 )(𝑑𝑦)(𝑑𝑧) = 𝜌. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 𝑎⃗ 𝛻𝑃 = 𝜌 𝑎⃗ 4

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Soluci´ on de ejercicios

𝜵 = 𝝆[(𝟒𝒂𝟐 − 𝟐𝒃𝒄)𝑿 î + (𝟒𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃)𝒚 ĵ] P =Presion 𝜌 = Densidad 𝑔⃗ = Gravedad m =Masa

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Soluci´ on de ejercicios

Ejercicio 1.2

En la figura N° 1, se muestra dos reservorios conectados por una tuber´ıa lisa de 20 cm. de di´ametro y 120m. de longitud, por donde discurre un l´ıquido a raz´on de 5kg/seg., la viscosidad din´amica del l´ıquido es 1.59 ∗ 10−4 kg/(m − seg ). Hallar la densidad del l´ıquido y el caudal con que discurre.

Soluci´on: Datos: D = 0.2m L = 120m kg µ = 1.59 ∗ 10−4 m.seg kg m ˙ = 5 seg (flujo masico)

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Soluci´ on de ejercicios Se sabe que m ˙ =Q∗ρ m ˙ = 5 = Q ∗ ρ =⇒ m ˙ =A∗V ∗ρ 5=π∗( ρ= Vicosidad cinematica: ν =

µ ρ

Numero de Reynolds: Re =

=

0.2 2 )∗V ∗ρ 2

500 .............(∗) π∗V

1.59∗10−4 ρ

V ∗D ν

Re =

500 ( π∗ρ ) ∗ 0.2 ∗ ρ 1.59 ∗ 10−4

Re = 2.00194897 ∗ 105 Ya que nos dice que el tubo es liso entonces ε = 0, ahora halllamos coeficiente de friccion: 2.51 1 √ ) √ = −2log ( f 2.00194897 ∗ 105 ∗ f f = 1.5634 ∗ 10−2 Por conservacion de la energia: EA = EB + hf 40 = 20 + hf =⇒ hf = 20 Ahora usamos la ecucaion de Darcy: hf =

f ∗L∗V2 1.5634 ∗ 10−2 ∗ 120 ∗ V 2 =⇒ 20 = 2∗D∗g 2 ∗ 02 ∗ 9.81 V = 6.4677

m seg

Reemplazamos en ∗: ρ= ρ=

500 π∗V

500 π ∗ 6.4677

ρ = 24.607

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kg m3

Soluci´ on de ejercicios

Ejercicio 1.3

Demostrar matem´aticamente que las l´ıneas equipotencial son perpendiculares a las l´ıneas de corriente.

Soluci´on: La figura, representa gr´aficamente las l´ıneas de corriente y las equipotenciales, en las que el elemento arco ds de las l´ıneas equipotenciales podemos definirlo como:

(

∂φ ∂φ )dx + ( )dy = 0 ∂x ∂y

Donde obtenemos: ∂φ ) ∂x = − dy ∂φ dx ( ) ∂y El elemento arco ∆s las l´ıneas de corriente podemos definirlas como:

(

∆x ∆y = ∂φ ∂φ ∂x ∂y Igualando estas dos ecuaciones tendremos: ∆x ∆y =− dy dx

para Φ constante,

dΦ = 0 sera :

(V y )dy + (V x)dx = 0 dy Vx =− dx Vy Lo que nos da el significado de la ortogonalidad de las dos curvas, que cuando las graficamos nos da una malla por lo que se le conoce como malla de corriente.

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Soluci´ on de ejercicios

Ejercicio 1.4

En el sistema discurre agua de coeficiente de viscosidad cinem´atica (v = 10−6 m2 /seg ), la bomba tiene una potencia de 120 HP con una eficiencia del 80%, L1 = 150m, f1 = 0.016, L2 = 300m., f2 = 0.019, L3 = 200m., f3 = 0.0183, L4 = 30m y f4 = 0.0174. Considerando flujo de r´egimen turbulento con superficie hidr´aulicamente lisa. Hallar: a) Los di´ametros de las tuber´ıas b) Los caudales en cada tuber´ıa c) El espesor de la sub capa laminar

130m 100m

1

4

2 30m

3

5m Bomba

Soluci´on: Datos:

f1 = 0.016; L1 = 150 f2 = 0.019; L2 = 300 f3 = 0.0183; L3 = 200 f4 = 0.0174; L4 = 30 γ = 10−6 m2 /s P ot = 120HP η = 0.8

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Soluci´ on de ejercicios

1 2.51 √ = −2 log ( √ ) f Re f 1 2.51 √ √ = −2 log ( ) 0.016 Re1 0.016 Re1 = 178016.724 Re2 = 77210.821 Re3 = 92162.56 Re4 = 117459.816 4Q Re = πDγ 4Q D= πReγ γQhB P ot = 76η 120 × 76 × 0.8 hB = 1000 × Q4 7.296 hB = Q4 Q1 = Q2 + Q3 . . . (1) Ec. de energ´ıa en (A - C)

EA = EC + hf1 + hf3 − hB + hf4 f1 L1 Q21 f3 L3 Q23 f4 L4 Q24 7.296 130 = 100 + [ + + ]0.0826 − 5 5 5 D1 D3 D4 Q4 f1 L1 Q21 f3 L3 Q23 f4 L4 Q24 7.296 30 = [ + + ]0.0826 − 4Q1 5 4Q3 5 4Q4 5 Q4 ) ) ) ( ( ( πRe1 γ πRe3 γ πRe4 γ 7.296 f1 L1 Re51 f3 L3 Re53 f4 L4 Re54 + + ]0.02478γ 5 − 30 = [ 3 3 3 Q1 Q3 Q4 Q4 10

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Soluci´ on de ejercicios 4.29 × 1026 0.24 × 1026 0.12 × 1026 7.296 + + ]− 3 3 3 Q1 Q3 Q4 Q4 10.7 × 10−6 0.6 × 10−6 0.3 × 10−6 7.296 + + − Q3 = Q4 30 = Q31 Q33 Q34 Q4 10.7 × 10−6 0.9 × 10−6 7.296 30 = − . . . (2) Q31 Q33 Q3

30 = 2.5 × 10−32 [

En (A - B)

EA = EB + hf1 + hf2 f1 L1 Q21 f2 L2 Q22 130 = 30 + + D15 D25 5 f1 L1 Re1 f2 L2 Re52 + ] 100 = 2.5 × 10−32 [ Q31 Q32 4.29 × 1026 0.16 × 1026 100 = 2.5 × 10−32 [ + ] Q31 Q32 10.7 × 10−6 0.4 × 10−6 + 100 = 3 Q Q32 1 v u 0.4 × 10−6 u Q2 = u u 3 10.7 × 10−6 t 100 − Q31 Qv 1 − Q3 = Q2 u u 0.4 × 10−6 3 Q3 = Q1 Q1 t 100Q31 − 10.7 × 10−6 En (2)

10.7 × 10−6 + Q31

0.9 × 10−6

(Q1 − Q1

v u u 3 t

30 =

0.4 × 10−6 )3 100Q31 − 10.7 × 10−6

7.296

− Q1 − Q1

b) Caudales en cada tuber´ıa. Q1 = 1.4 × 10−3 m3 /s Q2 = −4.7 × 10−4 m3 /s Q3 = 1.9 × 10−3 m3 /s Q4 = 1.9 × 10−3 m3 /s b) Di´ametros de las tuber´ıas. 4Q1 πRe1 γ 4 × 1.4 × 10−3 D1 = π178016.724 × 10−6 D1 =

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v u u 3 t

0.4 × 10−6 )3 100Q31 − 10.7 × 10−6

Soluci´ on de ejercicios D1 = 0.01m D2 = 0.0077m D3 = 0.026m D4 = 0.0206m Velocidades. s

V ×δ gDhf = 11.6, V = 4L v γ u u 9.81D1 f1 Q21 × 0.0826 V1 = t = 0.75m/s 4D15 L1 V2 = 0.49m/s V3 = 0.17m/s V4 = 0.27m/s c) Espesor de la subcapa laminar. 11.6 × γ V 11.6 × 10−6 = 1.46 × 10−5 δ1 = V1 δ2 = 2.39 × 10−5 δ3 = 6.91 × 10−5 δ4 = 4.36 × 10−5 δ=

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Soluci´ on de ejercicios

Ejercicio 1.5

En la figura N° 3 se tiene dos reservorios (A y B) y las tuber´ıas (1 y 2) de hierro fundido con una rugosidad absoluta de 0.25 mm. por donde se trasporta agua desde A hasta B y luego descargar en C, el tubo (1) de 0.2m. de di´ametro tiene una longitud de 400m. y el tubo (2) tiene una longitud de 500m. considerando p´erdidas por fricci´on y locales hallar el caudal que discurre por el sistema y el di´ametro del tubo (2).

Cota = 20.00m.

A

(1) Cota = 5.00m.

B

Cota = 0.00m.

Figura N° 03 (2) C

Soluci´on: Datos:

 = 0.00025m L1 = 400m L2 = 500m D1 = 0.2m

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Soluci´ on de ejercicios [Seleccionar fecha] 1. Analizamos el tramo A-B. La rugosidad relativa: 𝜀/𝐷1 = 0.00125 Para considerar pérdidas locales en la tubería 1, la relación entre su longitud y diámetro debe ser menor o igual a 1500. 𝐿1 𝐷

=

400 0.2

= 2000 ≥ 1500, en este caso la pérdida local se aproxima a cero: ℎ𝐿 ≈ 0.

De la ecuación de la energía: 𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 + ℎ𝐿 ℎ𝑓 = 20 − 5 = 15𝑚 De la ecuación de Darcy: 𝑓𝐿𝑄2

ℎ𝑓 = 0.0826 𝐷5 = 15, despejando: 15(0.25 ) 𝑓𝑄2 = 0.0826(400) 𝑓𝑄2 = 1.4528𝑥10−4 Asumiendo valores del caudal, hallamos el Número de Reynolds y con la relación 𝜀/𝐷1, encontramos el valor de f en el diagrama de Moody, con todos los datos hallamos los valores de ℎ𝑓 . Los datos obtenidos se encuentran en la siguiente tabla:

Q(m3/s)

x105 Re

f

x10-4 fQ2

0,075 0,08 0,085 0,09

4,77 5,09 5,41 5,72

0,0205 0,0205 0,0205 0,0205

1,15 1,28 1,5 1,6

El caudal requerido se halla del gráfico fQ2 vs Q:

fQ2 vs Q 0.1 y = 0.0699x0.5179 R² = 0.9811

Q(m3/s)

0.08 0.06 0.04

Series1

0.02

Potencial (Series1)

0 0

0.5

1 x10-4

14

2

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1.5 fQ2

2

[Seleccionar fecha] Soluci´ on de ejercicios De la fórmula obtenida hallamos el caudal Q para 𝑓𝑄2 = 1.4528𝑥10−4 . 𝑌 = 0,069𝑋 0,517 𝑄 = 0,069(1,4528)0,517 𝑄 = 0.08365 𝑚3 /𝑠 2. Ahora analizamos el tramo B-C Como en el tramo A-B debemos saber la relación L/D2 para considerar o no las pérdidas locales, pero no conocemos el diámetro D2. Observemos la relación para una pérdida local despreciable: Para tuberías largas: ℎ𝑓 ≈ 0, 𝑠𝑖:

𝐿 500 ≥ 1500 → 𝐷 ≤ = 0.333𝑚 𝐷 1500

El diámetro de la tubería 2 deberá ser menor o igual a 0.333m. Realizaremos los cálculos despreciando la pérdida local, en caso de que el diámetro resulte mayor a 0,33m, realizaremos nuevos cálculos considerando las pérdidas locales. De la ecuación de la energía: 𝐸𝐵 = 𝐸𝐶 + ℎ𝐿 𝑉𝐵 2 𝑉𝐶 2 + 𝑍𝐵 = + 𝑍𝐶 + ℎ𝑓 , 2𝑔 2𝑔 𝒉𝒇 = 𝟓 −

𝑍𝑐 = 0, 𝑉𝐵 = 0.

𝑽𝑪 𝟐 … (𝒂) 𝟐𝒈

La velocidad la podemos hallar del caudal: 𝑄 = 𝑉𝑐 𝐴𝑐 = 𝑉𝑐

𝑉𝑐 =

𝜋𝐷2 4𝑄 𝑉 = 4 𝑐 𝜋𝐷22

4𝑄 4(0.08365) = 2 𝜋𝐷𝑐 𝜋𝐷22

𝑽𝒄 =

𝟎. 𝟏𝟎𝟔𝟓 … (𝒃) 𝑫𝟐𝟐

De la ecuación de Darcy: ℎ𝑓 = 0.0826

𝑓𝐿𝑄2 𝑓 (500)(0.08865)2 = 0.0826 𝐷25 𝐷25

𝒉𝒇 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟕𝟗

𝒇 𝑫𝟓𝟐

…(c)

3

15

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Soluci´ on de ejercicios [Seleccionar fecha] y1 = 0,005x-5,10 R² = 0,999

hf Vs D2 25

y2 = 5,495x0,098 R² = 0,934

20

x10-4hf

15

Hf1 hf2

10

Lineal (hf2)

Potencial (hf2)

5 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

D2(m)

Teniendo las ecuaciones a,b y c, podemos resolver es sistema asumiendo valores para el diámetro D, hallamos la relación 𝜀/𝐷2 , el número de Reynolds, con estos dos últimos valores encontramos el valor de f en el Ábaco de Moody, y finalmente hallamos ℎ𝑓1 ,como función de f y 𝐷2 en la ecuación (c) y ℎ𝑓2 como función de la velocidad en la ecuación (a). Plasmamos todos los datos hallados en la siguiente tabla:

D(m)

𝜺 /d

x105 Re

0,2 0,25 0,3 0,4 0,26

0,00125 0,001 0,00083 0,00063 0,00096

5,497 4,398 3,665 2,749 4,229

f

V(m/s)

hf(1)

hf(2)

0,02 2,6625 0,0205 1,704 0,0196 1,1833 0,0188 0,6656 0,0191 1,5754

19,24 6,463 2,483 0,565 4,95

4,6387 4,852 4,9286 4,9774 4,8735

De la tabla, graficamos ℎ𝑓1 y ℎ𝑓2 vs el diámetro, al intersecar las rectas encontraremos el valor del diámetro q se busca:

Intersecamos las curvas igualando las ecuaciones y1 y y2: 0.005𝑋 −5.1 = 5.495𝑋 0.098 𝐷2 5.198 = 0.0009 𝐷2 = 0.26 𝑚 

16

El diámetro hallado D2 es igual a 0.26m