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MECANICA DE FLUIDOS I

INDICE INTRODUCCION Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Los Fluidos.

5

Hidromecánica.

6

Densidad.

7

Densidad Relativa.

9

Viscosidad: Ley de la Viscosidad de Newton.

12

Viscosidad Cinemática.

17

ESTATICA DE LOS FLUIDOS Presión.

20

Medida de la Presión.

33

Fuerza Sobre Superficie Plana.

41

Fuerza Sobre Superficie Curva.

46

El Principio de Arquímedes.

49

CINEMATICA DE LOS FLUIDOS. El Campo de Velocidades.

54

El Campo de las Aceleraciones.

55

El Campo Rotacional.

60

Clasificación de los Flujos.

64

Descripción del Movimiento.

69

Línea de Corriente.

69

Campo Potencial, solenoidal y Armónico.

74

Movimiento Plano de los Fluidos.

77

Ecuaciones de Cauchy – Riemann.

86

Red de Corriente.

87

Gasto o Caudal-Ecuación de Continuidad.

97

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2

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS Principio de la Cantidad de Movimiento.

106

Dinámica de los Fluidos Perfectos.

115

Ecuación de Bernoulli.

117

Dinámica de los Fluidos Reales.

124

Coeficiente de Coriolis.

127

Coeficiente de Boussinesq.

130

Ecuación de la Energía.- Bombas y Turbinas.

131

Problemas de Aplicación del Principio de la Energía con Bombas y Turbinas.

137

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3

INTRODUCCIÓN En la formación del Ingeniero, además de las matemáticas instrumento imprescindible de trabajo y de la Física, base de la ingeniería han de intervenir las siguientes disciplinas fundamentales: Mecánica de los cuerpos rígidos, mecánica de los cuerpos deformables, o resistencia de materiales, termodinámica, transmisión de calor y mecánica de fluidos. La explosión de la información, de hoy en día en el mundo de la ciencia y de técnica, hace necesario que toda aquella información que se sume a las existentes, estas deben reunir ciertos requisitos de unidad y síntesis, que en el presente se ha tratado de cumplir; y van principalmente orientados para mis alumnos de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil, de la Facultad de Ingeniería Civil, de Sistemas y de Arquitectura, de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo, de la ciudad de Lambayeque. La presente separata contiene parte del curso de Mecánica de los Fluidos I, que dicto en mi Universidad, producto de mi experiencia docente, en el dictado del mismo, y que incluye aspectos como: propiedades, estática, cinemática y dinámica de de los fluidos. Por ubicarnos estratégicamente en medio de grandes proyectos de naturaleza hidráulica, tales como el Proyecto Olmos y el Terminal marítimo Puerto Eten, el Corredor Bioceanico y Zona Franca Industrial, nos exige competencias, que este inicial trabajo, pretende contribuir en destacar la importancia de la mecánica de los fluidos en la formación del ingeniero civil.

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CONTENIDO Los Fluidos Definición de Fluidos: Son substancias (cualquier materia) que tiene la propiedad (capacidad) de fluir; es decir de deslizarse a lo largo de un conducto ajustándose o adaptándose a su forma. También se le define como substancias que se deforman continuamente cuando son sometidas a esfuerzos cortantes o tangenciales. Clases de Fluidos: Pueden ser: a) Fluidos líquidos: Es un estado típico de la materia, se les puede considerar prácticamente incomprensibles bajo las mismas condiciones de presión y temperatura; se caracterizan por tener un volumen propio y su forma cambia dependiendo del conducto o recipiente que lo contiene agregándose de que muestran una superficie libre. b) Fluidos gaseosos: Es un estado típico de la materia, son compresibles. Se caracterizan por no tener volumen ni forma propia, son expansibles y no posee una superficie libre. Diferencia entre líquidos y gases: LÍQUIDO

POR SU VOLÚMEN

1.- Volumen propio

POR SU COMPRESIBILIDAD

2.-Son prácticamente incompresible. líquido perfecto (incompresible)

GAS 1.- No poseen volumen propio; susceptible de variación, acomodándose al recipiente que los contiene 2.-Son compresibles Gas perfecto (infinitamente compresibles)

Definición Mecánica de Fluidos: Es la parte de la física que se ocupa de estudiar el equilibrio y movimiento de los fluidos, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería. La mecánica de los fluidos se subdivide en dos campos principales: - La estática de los fluidos o hidrostática, que se ocupa de estudiar los fluidos en reposo, - La dinámica de los fluidos, que se ocupa de estudiar los fluidos en movimiento. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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La Hidromecánica: Es una rama importante de la mecánica los fluidos que se ocupa de estudiar el equilibrio y movimiento de los fluidos incompresibles, especialmente los fluidos líquidos. La Hidromecánica técnica o hidráulica cuando las leyes y principios de la Hidromecánica se aplican en estructuras que le interesan directamente al ingeniero civil. La Dinámica de los fluidos se subdivide en: - Hidrodinámica: Estudia el movimiento de los fluidos incompresibles, se aplica al flujo de líquidos o al flujo de gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible, - La Aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases, cuando los cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de la compresibilidad. Estados de la materia: La materia se presenta en diferentes estados, que se reducen típicamente a tres: sólido, líquido y gaseoso, sin perjuicio de que existan estados intermedios, que según los casos, puedan asimilarse a uno u otro. 1.- Sólido 2.- Líquido 3.- Gas

Sólido :

Masa; volumen; forma geométrica Masa; volumen Masa.

Fluidos :

La diferencia entre sólido y fluido: las cualidades esenciales de la materia son: la masa, la forma y la duración. Magnitudes: son las cualidades de la materia, en cuanto a susceptibles de medición. La diferencia entre sólido y fluido; que son estados contrapuesto; el patrón de ambas es el grado de rigidez del enlace molecular. Sólido típico, es capaz de resistir una acción deformante permanente, mientras que el fluido es incapaz de ello. Sólido perfecto (infinita rigidez del enlace molecular) y fluido perfecto (infinita libertad del enlace molecular).

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No existiendo en la naturaleza magnitudes infinitas es decir a falta de la infinita rigidez o de la infinita libertad del enlace molecular, el sólido perfecto y el fluido perfecto son entes de razón, puras abstracciones.

1.- Densidad (ρ): Es la masa contenido en la unidad de volumen. Masa: Es la sustancias de la materia.



M 

M: Es el símbolo de la magnitud de la masa.

 : Es el símbolo del volumen de la masa M

Ecuación de dimensiones: - Sistema absoluto

:    ML3 dimensiones

- Sistema gravitacional

:    FT 2 L4 dimensiones.

Unidades: M.K.S

:

   kgm 3

C.G.S

:

   grm3 2

M.K.S

:

   kgf 4 S

:

   grf 4S

2

C.G.S

m

- Sistema Absoluto

cm

m

- Sistema Gravitacional

- Sistema Internacional

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cm

   kgm 3 m

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Donde: kgm = Kilogramo masa. kgf = Kilogramo fuerza. grm = gramo masa. grf = gramo fuerza

2.- Peso Específico (): Es el peso de la unidad de volumen.

 

W 

  g Ecuación de dimensiones: - Sistema absoluto

:    ML2T 2 dimensiones

- Sistema gravitacional

:    FL3 dimensiones

Unidades: M.K.S

:

  

kgm m2s 2

C.G.S

:

  

grm cm 2 s 2

M.K.S

:

   kgf3

o

   Newton 3

C.G.S

:

  

o

   Dinas 3

- Sistema Absoluto

m

m

- Sistema Gravitacional

- Sistema Internacional

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grf cm 3

cm

   kgm 2 m s

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Para relacionar las unidades de medida entre los sistemas absolutos y gravitacionales, se usa la segunda ley de Newton del movimiento:

F  M .a SISTEMA SISTEMA ABSOLUTO

SISTEMA GRAVITACIONAL

1kgf  1kgm x 9.81

m 1 NEWTON  1kgm x1 2 s 1kgm xm 1N  S2

M.K.S

m s2

kgm xm  9.81N s2 1 kgf x s2 1kgm  9.81 m

1kgf  9.81

La Unidad derivada para la fuerza es el newton (N) definido como la fuerza que aplicada sobre 1 kgm le produce una La unidad derivada de masa es el aceleración de 1 m/s2. kgm, m y s; son “kgm” que adquiere la aceleración gravitacional cuando se le aplica Unidades fundamentales. una fuerza de 1 kgf. Kgf, m y s; son unidades fundamentales.

C.G.S

3.-Densidad Relativa.-(ρr): es otra forma de cuantificar la densidad de un liquido, refiriéndola a la correspondencia al agua. Es decir es la relación entre la densidad del fluido y la densidad del agua a una presión y temperatura especifica. (4°C y 1 atmósfera).

r 

 fluido  H 20

Carece de dimensiones.

4.-Peso Específico relativo (r), o Gravedad Específica.-: Análogamente a la densidad relativa; el Peso específico relativo es la relación entre el peso específico del fluido y el peso específico del agua a una presión y temperatura específica.

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 r  G.E. 

r   r 

 FLUIDO  H 2O

Carece de dimensiones

 FLUIDO  FLUIDO   H 2O  H 2O

5.-Volumen Especifico (s ) : El volumen específico se define de distinta manera en el sistema absoluto y en el sistema gravitacional. 5.1.- Sistema Absoluto y Sistema Internacional: El volumen específico es el volumen ocupado por la unidad de masa (un kilogramo masa) de la sustancia.

s 

 M

s 

1 1  M  

s 

1



El volumen específico es el reciproco de la densidad.

Ecuación de dimensiones:

 s   L3 M 1 Unidades: Sistema absoluto (MKS) y Sistema Internacional.

s 

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1m3 kgm

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Ejm. El "s " del agua destilada a la presión atmosférica y 4°C es aproximadamente igual a

103 m3 . Es interesante observar que la densidad del aire a la presión atmosférica y 4°C es kgm kgm 1m3 aproximadamente 1.3 y su s  . m3 1.3kgm Es decir, 1 kgm de aire a la presión atmosférica ocupa aproximadamente 800 veces mas espacio que “1 kg.m” de agua.

5.2.- Sistema Técnico o Gravitacional: El volumen específico es el volumen ocupado por la unidad de peso (un kilogramo peso) de la sustancia.

s 

s 

s 

 W

1 1  W   1



El volumen específico es el recíproco del peso específico. El volumen específico, como todas las magnitudes específicas, se han de referir en el sistema absoluto (También en el S.I), que es un sistema másico, a la unidad de masa (kgm); mientras que en el sistema gravitacional, las mismas magnitudes específicas se han de referir a la unidad de peso (kgp o kgf). Nótese sin embargo, que siendo “1 kgp” el peso de “1 kgm”, los valores numéricos de "s " coinciden en ambos sistemas de unidades, pero expresados en unidades diferentes (

sistema absoluto y

m3 en el kgm

m3 en el sistema gravitacional). Asimismo, el valor numérico de “” en el kgp

sistema Técnico o Gravitacional es igual al valor numérico de “ρ” en el sistema absoluto; pero

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el valor numérico de “ρ” en el sistema técnico o gravitacional no es igual al valor numérico de “” en el sistema absoluto, como es fácil de comprobar.

6.-Viscosidad.- (µ): 1. La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la interacción y cohesión molecular. 2. La viscosidad de un fluido determina la cantidad de resistencia opuestas a las fuerzas cortantes. La viscosidad se debe primordialmente a las interacciones (acción reciproca), que se ejercen entre las moléculas del fluido. 3. También se define como una medida de su resistencia a la rapidez de deformación, cuando se someten a un esfuerzo tangencial que explica su fluidez. 4. Determina la resistencia opuesta al deslizamiento cuando se desplaza el fluido.

6.1.- Ley de la Viscosidad de Newton:

Hipótesis: 1.- Considérese dos superficies planas paralelas de grandes dimensiones, una fija y otra móvil, con el espacio entre ellas llenos de fluidos, separadas a una pequeña distancia “y o”. 2.- Que la placa superior se mueve a una velocidad constante “V 0”, al actuar sobre ella una fuerza “F” también constante. 3.- El fluido en contacto con la placa móvil se adhiere a ella moviéndose a la misma velocidad “Vo”, mientras que el fluido en

contacto con la placa fija permanecerá en

reposo. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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4.- si la separación “yo” y la velocidad “Vo” no son muy grandes, la variación de las velocidades vendrá dado por una línea recta La experiencia ha demostrado que la fuerza “F” varía con el área de la placa “A”, con la velocidad “V0” e inversamente proporcional con la separación “Y0”.

F

AV0 y0

(1)

dy dv V dv    0  y0 V0 y0 dy

Por triángulos semejantes:

(2)  (1)

F

  

(2)

AV0 dv A y0 dy

F dv  A dy

dv dy

(I)

Donde: µ = viscosidad absoluta o dinámica Según Newton el esfuerzo tangencial () que se produce entre dos láminas separadas una distancia “dy” que se desplazan con velocidades (v) y (v + dv), es 

dv dy

Ahora: Analicemos el movimiento de un flujo sobre una frontera sólida fija, donde las partículas se mueven en líneas rectas paralelas (fluido viscoso: laminar) como consecuencia anterior supondremos que el flujo se producen en forma de capas o laminas de espesor diferencial, cuyas velocidades varían con la distancia “Y” normal a dicha frontera.

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Recordemos la definición (3) de la Viscosidad: “La Viscosidad es una medida de su resistencia a la rapidez de deformación, cuando se someten a un esfuerzo tangencial que explica su fluidez”. Para las mismas hipótesis anteriores, es decir tratándose de un flujo bien ordenado en que las partículas del fluido se mueven en líneas rectas y paralelas (flujo paralelo): flujo laminar, se trata pues de un flujo de capas o láminas.

En tales condiciones Newton en el año 1686, demostró:



 t

(1) El esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformación.

Además sabemos que: s  y (2); Donde: s  x

y

θ en radianes y para ángulos pequeños: s  x

(3)  (2) : x  y ; Luego  

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x y

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(3)

(4)

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x v  yt y v  y v   y

(4)  (1) : 

 

dv dy

De acuerdo con esta ecuación el esfuerzo tangencial en cualquier punto de un fluido puede desaparecer en los siguientes casos:

a) Si se desprecia la acción de la viscosidad (fluido no viscoso) b) Si la distribución de velocidades es uniforme (v= cte) y por tanto dv/dy=0; sucede cuando el flujo es turbulento y el efecto viscoso es despreciable. c) En un líquido en reposo, donde la velocidad en cada punto (y como consecuencia dv/dy vale cero. 6.2.- Ecuación de Dimensiones: Sistema Absoluto

:

   ML1T 1 dimensiones.

Sistema Gravitacional

:

   FL2T dimensiones.

6.3.- Unidades: M.K.S:   

Kgm ms

C.G.S:    

grm  1poise cm  s

M.K.S:   

1Kgf  s m2

C.G.S:   

1grf  s cm 2

Sistema Absoluto

Sistema Gravitacional

Sistema Internacional. MECÁNICA DE FLUIDOS I

  

Kgm ms

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Conclusiones Adicionales: - La viscosidad de un líquido ocurre por la

cohesión de

moléculas. Esta cohesión y por tanto la viscosidad disminuyen cuando la temperatura aumenta. La viscosidad de un gas es el resultado del movimiento aleatorio de las moléculas, existe poca cohesión entre ellas. Sin embargo las moléculas interactúan chocando unas con otras durantes sus movimientos rápidos. La propiedad de la viscosidad resulta de estos choques. Este movimiento aleatorio aumenta con la temperatura, de manera que la viscosidad aumenta con la temperatura. Nuevamente se nota que la presión tiene solo un efecto pequeño sobre la viscosidad y por lo general ésta no se toma en cuenta. Fórmulas Empíricas para Calcular la Viscosidad Absoluta del Agua y del Aire.

- La viscosidad para el agua.- Está dada por la fórmula de Poiseuille (1799-1869), investigador Francés (médico).

  

0.0178 Sistema Absoluto 1  0.0337t  0.0002t 2

Donde:    poise

  

y

t  oC

0.0001814 Sistema Gravitacional 1  0.0337t  0.0002t 2

Donde:

   Kgf 2 s m

y

t  oC

Ejemplo: si t = 20 oC.

  0.010145 poises     0.01 poise MECÁNICA DE FLUIDOS I

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  1centipoise   1c. p.   0.00010348

-

Kgf  s m2

La viscosidad para el aire.-

  1.715x10 4 (1  0.0275t  0.00000034t 2 )

  poise y t oC Estas fórmulas funcionan para cualquier valor de la temperatura.

7.- Viscosidad Cinemática.- (  )



 

Para los cálculos prácticos es más conveniente relacionar la viscosidad dinámica del fluido y su densidad. Ecuación de Dimensiones:

  L2T 1 Dimensiones. Se aprecia que la ventaja de usar esta nueva propiedad es evidente, ya que sus dimensiones son [L2T-1], esto es independiente de los conceptos de masa y fuerza.

Unidades: Sistema M.K.S:  

m2 s

cm 2  1Stoke Sistema C.G.S:   s Equivalente útil: 1Stoke  0.0001

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m2 s

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En la fig. se muestra los valores de “  ” y “µ” para el caso del agua y el aire en función de la temperatura y la presión atmosférica al nivel del mar.

8.- Módulo de Elasticidad Volumétrica (E): Expresa la compresibilidad de un fluido, es la relación entre el incremento de presión (ΔP) y la disminución unitaria de volumen (

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 ). 1

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Es una medida del cambio de volumen (y por lo tanto de su densidad), cuando se somete a diversas presiones.

E

p   1

p2  p1

En general, cuando un volumen  de un líquido de densidad “  ” y presión “p” se somete a compresión por efecto de una fuerza “F”, como se muestra en la Fig., la masa total de fluido

(m  ), permanecerá constante, es decir que: d (m)  d ( )   d   d   0 De donde resulta:

   d d 

Al multiplicar ambas muestras x dp (diferencial de presión), se obtiene:

  dp  dp d d  dp dp  d d   E

dp dp  d d  

El signo negativo de la ecuación indica una disminución en el volumen al aumentar la presión “p”

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ES ( ACERO )  2.1 *106

Kgf cm 2

Ea ( AIRE )  .0.0105 *106 EH 2 O  21000

Kgf cm 2

Kgf Kgf  2.1 *104 2 cm cm 2

EH 2 O  2.1 *108

Kgf Kgf  2.1 *108 2 cm cm 2

- El aire es 20000 veces más compresible que el agua. - El agua es 100 veces más compresible que el acero. Ecuación de dimensiones: Sistema Absoluto:

E   ML1T 2 Dimensiones

Sistema Absoluto:

E   FL2 Dimensiones

Unidades: M.K.S:

E  

Kgm m  s2

C.G.S:

E  

grm cm  s 2

M.K.S:

E   Kgf2

C.G.S:

E  

Sistema Gravitacional

m

Sistema Gravitacional

grf cm 2

9.-Presión:

p

dP dA

p

FN A

La presión no es una fuerza sino el cociente de una fuerza sobre una superficie. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Donde:

FN = Es una fuerza normal a la superficie “A”

P = Presión media sobre la superficie “A” Propiedades de la Presión Primera Propiedad: La presión en un punto de un fluido en reposo, es igual en todas direcciones (principios de Pascal). Es decir, una diminuta placa (infinitesimal) sumergida en un fluido experimentaría el mismo empuje de parte del fluido, sea cual fuere la orientación de la placa.

Demostración: a)

Considérese un pequeño prisma triangular de líquido en reposo, bajo la acción del fluido que lo rodea.

b)

Los valores medios de la presión o presiones medias sobre las tres superficies son p 1, p2 y p3.

En la dirección “Z”, las fuerzas son iguales y opuestas y se anulan entre ellas. Sumando las fuerzas en la dirección “x” e “y” se obtiene:

 Fx  0

P2  P3sen  0

p 2 (dydz )  p3 (dsdz)sen  0

 Fy  0

P1  P3 cos  dw  0

1 p1(dxdz)  p3 (dsdz)cos   ( dxdydz)  0 2 MECÁNICA DE FLUIDOS I

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cos 

dx   dx  ds cos ds

sen 

dy   dy  dssen ds

Equivalencias

Las ecuaciones anteriores se reducen a:

p2 (dydz )  p3 (dydz )  0

ó

p2  p3

1 p1  p3  ( dy)  0 2 Cuando el prisma tiende a contraerse sobre un punto, “dy” tiende a cero en el límite, y la presión media se vuelve uniforme en la superficie que tiende a cero y queda definida la presión en un punto. Por tanto al poner dy = 0 en la ecuación (2) se obtiene p1  p3 y de aquí:

p1  p2  p3 .

Presión de un fluido: Se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y actúa normalmente a cualquier superficie plana, en el mismo plano horizontal. Demostración: “si se aplica una presión a un fluido incompresible (un liquido), la presión se transmite, sin disminución, a través de todo el fluido”. Esto se demuestra utilizando la botella de Pascal; que básicamente, consiste en una botella de forma esférica, a la cual se le ha aplicado varios agujeros. Tapados los agujeros con corchos, se llena con un líquido.

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Al aplicar una presión “ p ” por el émbolo, esta se transmite con igual magnitud en todas direcciones, haciendo saltar todos los corchos al mismo tiempo.

Aplicaciones del Principio de Pascal: Prensa Hidráulica- Es aquel dispositivo o máquina que está constituida básicamente por dos cilindros de diferentes diámetros conectados entre sí, de manera que ambas confinen un liquido. El objetivo de esta máquina es obtener fuerzas grandes aplicando fuerzas pequeñas. Tener en cuenta que esta máquina esta basado en el principio de Pascal. Esta máquina hidráulica funciona como un dispositivo multiplicador de fuerzas. Son ejemplos directos de este dispositivo: los sillones de los dentistas y los barberos, los frenos hidráulicos, etc.

Demostración Por el principio de Pascal,

p1  p 2 F1 F2  A1 A2 MECÁNICA DE FLUIDOS I

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F2  F1 (

A2 ) A1

Fórmula de Desplazamiento Demostración:

1  2  Volumen A1e1  A2 e2   e2  e1 (

A1 ) A2

Diferencia entre Fuerza y Presión.- Los sólidos transmiten sólo fuerza, los líquidos transmiten la presión.

Segunda Propiedad.“La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma”. Demostración a) Consideremos un cilindro de fluido horizontal de longitud “l” y de sección circular infinitesimal “dA” b) Lo valores medios de las presiones o presiones medias sobre las superficies (2), son “p 1” y “p2”.

De la Ecuación de equilibrio según el eje del cilindro se deduce.

p1dA1  p2 dA2  0

; dA1  dA2

p1  p 2 Ni la gravedad, ni las presiones sobre la superficie lateral del cilindro tienen componente alguno en la dirección del eje del cilindro. Como la orientación del eje del cilindro es arbitraria queda demostrada la segunda propiedad. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Tercera Propiedad.-

“En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido una parte del fluido sobre la otra contigua al mismo tiene la dirección normal a la superficie de contacto. Como esta fuerza normal es la presión, en el interior de un fluido en reposo no existe mas fuerza que la debida a la presión”. Demostración: a) Consideremos un volumen cualquiera de fluido como en la figura. b) Dividamos el volumen en dos partes (A) y (B) por una superficie “θ” cualesquiera. Análisis: Si la fuerza que ejerce “B” sobre “A” tuviera la dirección 1, se descompondría en dos fuerzas 2 y 3. El fluido no puede soportar la fuerza tangencial 3 sin ponerse en movimiento; pero por hipótesis el fluido está en reposo, luego la fuerza no puede tener la dirección 1 y tiene que tener la dirección 2, o sea, la dirección de la normal. Este mismo argumento es valedero para la fuerza que el fluido en reposo ejerce sobre el contorno sólido en el cual está contenido.

Cuarta Propiedad “La fuerza de la presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del fluido, es decir, es una compresión, jamás una tracción. Tomando como positivo el signo de compresión, la presión absoluta no puede ser jamás negativa”.

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Quinta Propiedad “La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal”.

Demostración: Según la figura, supongamos que “θ” es la superficie libre de un líquido, no horizontal. Cortado por un plano “” no horizontal y aislando la parte superior del líquido se ve que siendo las fuerzas elementales de presión que el líquido inferior ejerce sobre el líquido aislado normales al plano “”, su resultante también lo será y no podrá estar en equilibrio con la fuerza de la gravedad, W. Unidades (dimensiones):

 p  ML1T 2

Sistema Absoluto:

Sistema Gravitacional:  p  FL2 - M.K.S:  p  

Kgm 1Newton   1Pascal (1Pa ) m* s2 m2

- C.G.S:  p  

1grm 1dina  2 cm * s cm 2

- M.K.S:  p  

kgf m2

- C.G.S:  p  

1grf cm 2

ABSOLUTO

GRAVITACIONAL

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 En la práctica se expresa con frecuencia la presión en altura equivalente de columna de un líquido determinado: por ejemplo en metros de columna de agua, en milímetros de columna de mercurio, etc. Dimensionalmente la presión no es una longitud sino una fuerza partido por una superficie. Por eso en el Sistema Internacional (SI) las alturas como unidades de presión han sido abolidas aunque no hay dificultad en seguir utilizándose como alturas equivalentes. Como excepción puede seguirse utilizando como unidad de presión el mm. de columna de mercurio, que recibe el nombre de “Torr” (en atención a Torricelli), nombre que debe sustituir al de mm. cm. :

1milimetroHg  1Torr A continuación se deduce una ecuación, que permite pasar fácilmente de una presión expresada en columna equivalente de un fluido a la expresada en unidades de presión de un sistema cualquiera:

 Consideremos un recipiente cilíndrico de base horizontal “A” lleno de líquido de densidad “ρ” hasta una altura “h”.  Por definición de presión:

p

W g gAh    gh A A A

p  gh  ( )

Ejemplo: Hallar la presión correspondiente a una columna de glicerina de h = 300mm.

 r ( glicerina)  1.26 ; Luego  glicerina  1.26 *1000 Luego  glicerina  1260 MECÁNICA DE FLUIDOS I

kgm m3

kgm (S:I) m3

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p  1260

Aplicando (α)

p  3708.2

kg m  9.81 2  0.3m 3 m s

kgm m * seg 2

1Pa 

kgm m  seg2

p  3708.2Pa

Con frecuencia se presenta el caso al pasar de una columna del líquido “x” a otra de un líquido distinto “y”. Aplicando la ecuación (α), se tiene:

p   x ghx   y ghy hy  Si el líquido “y” es agua, se tiene:

hH 2 O 

x hx  H 2O

x hx  (  ) y

ó

hH 2O   r x hx

Caso particular, para transformar a alturas equivalentes de columnas de agua. Ejm: Convertir 750 Torr en unidades diversas. Solución:

 HG  13600

kgm .....(Tabla ) m3

p  gh

?  p  750Torr  750mmHg ; Luego:

h  750mmHg m g  9.8 seg 2 p  Hg  g  hHg

p  13600 MECÁNICA DE FLUIDOS I

kg m  9.81  0.75mHg 3 m seg2

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p  100062

kg m  seg2

1Pa  1

kgm m  seg2

p  100,062 Pa

Presión Atmosférica (Pamb)  Según las normas DIN 1314 (Feb. 1977), que denomina a la presión atmosférica P amb (del latín “ambiens”) “Sobre la superficie libre de un líquido reina la presión del aire o gas que sobre ella existe. Esta presión puede adquirir un valor cualquiera en un recipiente cerrado; pero si el recipiente está abierto, sobre la superficie libre del líquido reina la presión atmosférica “p amb”, debido al peso de la columna de aire que gravita sobre el fluido”. La presión atmosférica varía con la temperatura y la altitud. Presión atmosférica estándar: Es la presión al nivel medio del mar y a la temperatura de 15ºC; equivale a la atmósfera real que se encuentra en muchas partes del mundo.

Pambst Pambst Pambst

Pamb st  2,116.2lb pie2 . kg  1.033227 2 ......( EEUU ) cm Pamb st  33.87pieH2O.  10.33mH 2O . Pamb st  406.79pulgH2O.  760mmHg . P  101,325Pa.

Pambst  1amb..(unaatmosfera) Pambst  29.92 pu lg Hg. Pambst  14.7 lb pu lg . 2

amb st

Pamb st  101.325kPa. Pamb st  1.01325Bars. Pamb st  1.01325x106 dinas cm2

En la técnica se utiliza mucho la atmósfera técnica. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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1atmosfera tecnica  1bar  105

1Pa  1

N  100kPa m2

N m2

El kilopascal es también usado como unidad de presión

Presión Atmosférica Local y Temporal:- Es la presión atmosférica reinante en un lugar y tiempo determinado Por lo tanto hay tres atmósferas: 1.- Atmósfera Estándar

= 1.033227 kg/cm2=1.01396 bar

2.- Atmósfera Técnica

= 1.019368 kg/cm2=1 bar

3.- Atmósfera Local y Temporal

=¿ ?

Presión Absoluta y Presión Relativa o Excedente. La presión en cualquier sistema de unidades se puede expresar como presión absoluta (p abs) o como presión relativa o excedente (p r). Esta denominación no afecta a la unidad, sino al cero de la escala. Sucede lo mismo con la temperatura: Los grados centígrados expresan temperaturas relativas, tomando como 0ºC la temperatura de fusión del hielo; mientras que las temperaturas en ºKelvin expresan temperaturas absolutas, medidas a partir del cero absoluto. En el sistema inglés de unidades, los grados Farenheit expresan temperaturas relativas (Temperatura de fusión del hielo 32ºF); mientras que los grados Rankine expresan temperaturas absolutas. El cero absoluto de temperaturas es el mismo en todos los sistemas de unidades. Lo mismo sucede con el cero absoluto de presiones.

o C F  32  100 180 o

o C F  32  5 9

o

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Escala Kelvin.- Se sabe que la temperatura no tiene límite superior; pero si un inferior. Métodos modernos de la física de bajar la temperatura de un cuerpo; máximo a la vecindad de -273ºC; pero no se ha conseguido llegar hasta ella, ni bajar más. La temperatura de -273ºC se denomina cero absoluto y un gran físico del siglo XIX llamado Kelvin, propuso una construcción de una escala termométrica cuyo cero fuese el cero absoluto y cuyos intervalos de un grado fueran iguales a las de las escalas Celsius o Centígrados. 0

K=273º + 0C

Las presiones absolutas se miden con relación al cero absoluto (vacío total o 100% de vacío) y las presiones relativas con relación a la atmósfera. La mayoría de los manómetros (dispositivos para medir presiones), están construidos de manera que miden presiones relativas o excedentes con relación a la Atmósfera local. Para hallar la presión absoluta con exactitud habrá que sumar a la presión leída en el manómetro la presión atmosférica local medida exactamente con un barómetro. Muchas veces no se necesita gran precisión y entonces se suma a la lectura del manómetro (presión relativa) la Atmósfera Técnica, que es igual a 1 bar =1.019 Kg/cm2

1bar  105

N 105 Kgf Kg kg   10,193.68 2  1.019 2 2 m 9.81 m m cm 2

De aquí resulta la Ecuación Fundamental: MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Pabs  Pr  Pamb ............( ) Donde:

Pabs = Presión absoluta “Pa”, S.I

Pr

= Presión relativa, “Pa”, SI (medida con el manómetro)

Pamb = Presión atmosférica, presión ambiente o presión barométrica, “Pa”, SI (medida con un barómetro). O bien la Ecuación aproximada:

Pabs  Pr  1bar……….(β) 1 bar = 1 atmósfera técnica Las ecuaciones (α) y (β) pueden estudiarse gráficamente en la figura siguiente. Finalmente los vacíos se miden con mucha frecuencia en tanto por ciento de la presión atmosférica local. Es decir el cero absoluto es 100% de vacío y la presión atmosférica local al cero por ciento.

Torricelli,

Fue el primero en medir la presión atmosférica, su experimento consistió en:

a) Consiguió un tubo de vidrio abierto por uno de los extremos, al cual llenó completamente de mercurio. Fig. A b) Consiguió un recipiente también al cual introdujo el mismo líquido mercurio. Fig. B

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c) Tapando el extremo libre del tubo volteó dicho tubo y lo sumergió en el recipiente antes mencionado, para inmediatamente destaparlo. d) El mercurio descendió por el tubo y se detuvo a una altura de 76 cm. Encima del nivel del mercurio del recipiente. Fig. C.. Torricelli concluyó que la presión atmosférica al actuar sobre el recipiente equilibraba a la columna de 76cm de mercurio, con la cual la presión atmosférica sería:

Pamb  76cmHg

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Medida de la Presión La medida, la transmisión y el registro de presiones, es muy frecuente, tanto en laboratorios, como en la industria. Los medidores de presión o manómetros necesariamente son variadísimos, yá que en los laboratorios y la Industria se han de medir presiones desde un vacío absoluto del 100 por 100 hasta 10,000 bar y aún mayores, con grado de precisión muy diverso y en medios (temperaturas elevadas, atmósferas explosivas, etc.) muy diversos. Los aparatos que sirven para medir las presiones se denominan manómetros. Los manómetros pueden clasificarse según los siguientes criterios: 1.-Clasificación: según la naturaleza de la presión medida: a. -Instrumentos que miden la presión atmosférica: barómetros b. -Instrumentos que miden la presión relativa: manómetros. c. -Instrumentos que miden la presión absoluta: manómetros de presión absoluta. d. -Instrumentos para medir diferencias de presiones: manómetros diferenciales. e. -Instrumentos para medir presiones muy pequeñas: micromanómetros. 2.-Clasificación según el principio de funcionamiento. A.-Mecánicos, el principio de funcionamiento de estos consiste en equilibrar la fuerza originada por la presión que se quiere medir con otra fuerza, a saber, con el peso de una columna de líquido, con un resorte en los manómetros clásicos o con la fuerza ejercida sobre la otra cara de un émbolo en los manómetros de émbolo. Esta última fuerza se mide mecánicamente. B.-Eléctricos, en este tipo de manómetros la presión origina una deformación elástica, que se mide eléctricamente. El grado de exactitud de cada manómetro depende del tipo, de la calidad de construcción, de su instalación y, por supuesto, de su adecuada lectura.

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A.-Barómetros Son Instrumentos que sirven para medir la presión atmosférica. Los principales son: barómetro de mercurio de cubeta y barómetro de mercurio en “U”. Barómetro de Mercurio de Cubeta.En la figura representada, encima del mercurio reina el vacío, p = 0, se ha tenido en cuenta de eliminar el aire al sumergir el tubo. Una escala graduada móvil no dibujada en la figura, cuyo cero se hace coincidir antes de hacer la lectura con el nivel del mercurio en la cubeta, permite leer “l”, que es la presión atmosferita p amb en Torr. o en mm c.m.

Del diagrama del cuerpo libre de la figura se cumple: P2=Pamb=P1+‫ﻻ‬Hg Pero como P1=0, entonces: Pamb= ‫ﻻ‬Hg h Barómetro de Mercurio en “U” En este barómetro la cubeta queda eliminada.

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Por razonamiento similar y evaluando el diagrama del cuerpo libre de la columna de mercurio, entre las secciones “0” y “1” y teniendo en consideración que P o=0, pues corresponde al vacío total; y además de la segunda propiedad de la presión “la presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma”; es decir: P 1 = P2 = Pamb Luego:

Pamb=‫ﻻ‬Hg h

B.-Piezómetros Son tubos transparentes de cristal o plástico, recto o con un codo, de diámetro que no debe ser inferior a 5 mm para evitar los efectos de capilaridad debidos a la tensión superficial. Este tubo se conecta al punto que se quiere medir la presión, practicando cuidadosamente en la pared del recipiente o tubería un orificio, que se llama orificio piezométrico. Los tubos piezométricos constituyen el procedimiento más económico y al mismo tiempo de gran precisión para medir presiones relativamente pequeñas. Midiendo la altura de ascensión del líquido en el tubo piezométrico nos dará la presión requerida.

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PA = ‫ ﻻ‬h Donde ‫ ﻻ‬es el peso específico del fluido en la tubería, que es mismo que asciende en el tubo piezométrico o simplemente piezómetro. C.-Manómetros Se utilizan para medir presiones relativas, tanto positivas como negativas. Particularmente se utilizan cuando el fluido es poco viscoso, pues en este caso trata de ganar grandes alturas, utilizándose el mercurio como líquido manométrico. El líquido manométrico se escogerá apropiadamente de acuerdo a las presiones a medir. Tipos: Manómetro en “U”; con Sobrepresión o Presión Relativa Positiva Es aquel que es conectado a depósitos o tuberías a presión, por lo tanto las presiones a registrar son mayores que la atmosférica.

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Objetivo, determinar la presión en “A”. Se sabe que la presión en “1” es igual a la presión en “2” P1 = P2 Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura “h”, puesto que se está trabajando con presiones relativas, Luego, Pamb =0 Entonces: P1 = ‫ ﻻ‬l h

(1)

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio de altura “z”, P1 = PA + ‫ ﻻ‬z

(2)

Igualando (1) y (2): PA = ‫ ﻻ‬l h - ‫ ﻻ‬z Hagamos, ;

l S 

PA  (Sh  z) Manómetro en “U”; con Depresión o Presión Relativa Negativa Es aquel que es conectado a depósito o tubería en vacío, por lo tanto las presiones a registrar son menores que la atmosférica.

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Objetivo, determinar la presión en “A”. Se sabe que la presión en “2” es igual a la presión en “3” P2 = P 3 Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de altura “z+h”, puesto que se está trabajando con presiones relativas, Luego, P3 =0

(1)

Entonces: P2 = PA + ‫ ﻻ‬z + ‫ ﻻ‬l h

(2)

Igualando (1) y (2): PA = -(‫ ﻻ‬lh- ‫ ﻻ‬z) Hagamos,

l S  Entonces:

PA  (Sh  z) Regla Práctica: Consiste en dividir el fluido en secciones, correspondientes a los cambios de densidad. En la práctica se escribe inmediatamente una sola ecuación partiendo del punto inicial (A) y en nuestro caso sumándole o restándole los términos correspondientes a las columnas de líquido hasta llegar al punto final (B); es una suma y resta de presiones; al considerar positivas las presiones de secciones que se encuentran por debajo de la sección inmediata de referencia y negativas, las presiones que se encuentren por encima de la sección inmediata de referencia; ejemplo:

P A  z   lh  PD

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Pero, PD = 0 Entonces:

PA  (Sh  z) Resultado que es el mismo obtenido por el procedimiento analítico o general. Manómetro Diferencial Mide la diferencia de presiones entre dos puntos. La sensibilidad del manómetro es tanto mayor cuanto la diferencia (‫ﻻ‬m - ‫ ) ﻻ‬sea menor. Siendo ‫ﻻ‬m el peso específico del líquido manométrico.

Objetivo, determinar la diferencia de presiones entre “A” y “B”. Se sabe que la presión en “1” es igual a la presión en “2” y también a la Presión en “3” P1 = P 2 = P3

(1)

Del diagrama del cuerpo libre en equilibrio de la columna de altura “z”, PA = P1 + ‫ ﻻ‬z

(2)

PA = P3 + ‫ ﻻ‬z

(3)

Reemplazando (1) en (2) , Resulta:

Del diagrama del cuerpo libre, en equilibrio, de la columna de altura “h”,

Pero,

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P3 = P4 + ‫ ﻻ‬l h

(4)

P4 =P5

(5)

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Sustituyendo (5) en (4), resulta: P3 = P 5 + ‫ ﻻ‬l h

(6)

Además, del diagrama del cuerpo libre de la columna de altura “h+z”: PB = P5 + ‫( ﻻ‬h+z)

(7)

Restando (3)-(7) y simplificando, Resulta: PA – PB = P3 – P5 -‫ ﻻ‬h

(8)

(6) en (8): PA – PB = h (‫ ﻻ‬l- ‫)ﻻ‬ D.-Vacuómetros Sirve para medir presiones de líquidos o gases empleando un líquido manométrico no miscible.

Aplicando los mismos principios que en los manómetros al vacuómetro de líquido de la figura, se obtiene la presión absoluta de la sección “5”: P5 =‫( ﻻ‬Sh-z)

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ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS La estática de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua. Si todas las partículas de un elemento fluido, visto como un medio continuo, están en reposo o moviéndose con la misma velocidad, se dice que el fluido es un medio estático; por lo que el concepto de propiedades de un fluido estático pueden aplicarse a situaciones en las cuales se están moviendo los elementos del fluido, con tal de que no haya movimiento relativo entre elementos finitos. Como no hay movimiento relativo entre las placas adyacentes, tampoco existirán fuerzas cortantes, por lo que la viscosidad en este caso deja de ser importante y las únicas fuerzas que actúan sobre las superficies de los fluidos son las de presión. La estática se refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partícula fluida o un cuerpo. Se distinguen dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre los cuerpos, ya sea en reposo o en movimiento: Las fuerzas másicas y las fuerzas superficiales. Las fuerzas másicas incluyen todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el material en cuestión sin contacto directo, ejemplo la gravedad. Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre su contorno, por su proximidad, por contacto directo; es por esto una acción de contorno o superficial, ejemplo las fuerzas de presión, de fricción, etc. En mecánica de fluidos se usan las fuerzas relativas con las masas o áreas, así:

FI  ma 

FI a m

FP  pA N 

ó

FP p ó AN

FG  mg 

FG g m

F T  A T 

FT  AT

Ecuación Fundamental de Variación de la Presión en un Fluido en Reposo Absoluto

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Como el fluido se encuentra en reposo absoluto, estará sometido exclusivamente a su peso propio, no existirán otro tipo de fuerzas de masa o exteriores; es decir, además de la fuerza gravitacional, existirán las fuerzas superficiales debido a la presión, no existiendo fuerzas de fricción o tangenciales por encontrarse en reposo absoluto. Evaluemos la variación de la presión en un elemento diferencial ortoédrico de dimensiones dx, dy y dz, como se muestra en la figura, en donde se hallará las fuerzas que producen en el eje “y”, la presión y la gravedad de las partículas fluidas.

Como la masa contenida en el elemento diferencial de volumen, está en equilibrio, y conociendo por la segunda propiedad de la presión que todos los puntos contenidos en un plano horizontal tienen la misma presión; por lo tanto las fuerzas debidas a las presiones en las direcciones “z” y “x” se cancelan, por lo que resulta aplicable solo la ecuación de equilibrio en la dirección “y”:

F

Y

   pdxdz  p  dpdxdz  gdydxdz  

Simplificando y ordenando resulta:

dp  gdy

ó

dp  g dy

(α)

En general, la ecuación de la estática de los fluidos (α), no se puede integrar a menos que se especifique la naturaleza de “ρ”. En la determinación de la presión se trata entonces por separado los gases y a los líquidos. Pero como remarcamos al inicio del estudio del presente tema, como ingenieros civiles nos interesa fundamentalmente el estudio de los líquidos, especialmente el agua, por lo que solo

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abordaremos el caso de fluidos líquidos; por lo que siendo así, integraremos para los puntos P 1 y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del fluido en reposo:



p p 2

p p1

y2

dp  g dy y1

p 2  p1  gy 2  y1  Donde, de la figura superior, extrema derecha:

p 2  p Amb

Luego:

p1  p  p Amb  h Donde:

(β)

p1  p

Presión absoluta

p Amb

Presión atmosférica

h

Presión manométrica o relativa

La expresión (β), es conocida como la Ecuación Fundamental de la Estática de los Fluidos Líquidos o Incompresibles en reposo absoluto. Si se trabaja con presiones relativas, la expresión (β), se transforma en:

p  h

(φ)

Cuyo diagrama de variación de la presión de la ecuación (φ) es:

Ecuación Fundamental de la Hidrostática Resuelve el caso general, es decir el reposo absoluto y el reposo relativo, tanto para fluidos líquidos y gases. Consideremos un elemento diferencial ortoédrico de dimensiones dx, dy y dz, el cual lo hemos separado de un medio continuo de fluido en reposo, como se muestra en la figura siguiente, en MECÁNICA DE FLUIDOS I

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donde se hallará las fuerzas que producen en los diferentes ejes la presión y la aceleración de las partículas fluidas:

Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

p

p dx ; x

p

p dy ; y

p

p dz z

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero. Sea F = La Resultante de las fuerzas exteriores o Fuerza Total externa, por unidad de masa, que suponemos aplicada en el centro de gravedad de la masa “dm” del elemento diferencial ortoédrico de volumen d  dxdydz . Es decir

    F  X i  Y j  Zk

:

(ξ)

Donde: F= Fuerza por unidad de masa debida a la inercia que se origina por la aceleración externa al fluido; es una fuerza másica. X, Y y Z, son sus componentes. También se le denomina



aceleración externa a  . Como el elemento diferencial de fluido se encuentra en equilibrio, se verifica, en cada eje

F

coordenado:

i



Condición de equilibrio en el eje “y”:

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pdxdz  (p 

p dy)dxdz  Ydxdydz   y

p  Y y

Simplificando:

De igual manera realizando el equilibrio en los ejes “x” y “z”, resulta:

p  X x

p  Z z Donde:

 p  i  X i , x

 p  j  Y j y

 p  k  Zk z

y

(ε)

Las expresiones (ε), son conocidas como las Ecuaciones estáticas de Euler. Sumando miembro a miembro las Ecuaciones estáticas de Euler, tendremos:

   p  p  p  i j  k  X i  Y j  Zk x y z 

El primer miembro de la ecuación corresponde al desarrollo de p :

    p  ( X i  Y j  Zk ) Además reemplazando (ξ), en la expresión anterior, resulta:

  p  F

(ψ)

La expresión (ψ), es conocida como la Ecuación Fundamental Vectorial de la Hidrostática, o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo. Proyectando la expresión (ψ), según la dirección “ dr ”: Donde:

   dr  dx i  dy j  dzk

  p  dr  F  dr El desarrollo de la expresión anterior resulta:

p p p dx  dy  dz  Xdx  Ydy  Zdz x y z

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El desarrollo del primer miembro de la ecuación corresponde a “dp”, luego esta puede ser escrita, como:

dp  ( Xdx  Ydy  Zdz)

(π)

La expresión (π), es conocida como la Ecuación Fundamental Analítica de la Hidrostática, o Ecuación de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposo absoluto o relativo. Variación de la Presión de un Fluido Líquido Sometido a su Peso Propio

Aplicando la ecuación fundamental analítica de la hidrostática (π) Donde:

X

Y

y

Z  g

Reemplazando en la Ecuación (π), tendremos:

dp  gdz  dz dp  dz dp  dz  dp  dz    En el caso de los líquidos, ‫ = ﻻ‬Cte; luego tendremos:

1 dp   dz    Integrando para los puntos P 1 y P2 en el interior y en la superficie libre, respectivamente del fluido en reposo: MECÁNICA DE FLUIDOS I

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z2 1  dp   dz    z1  p

1  p  ( z 2  z1 )    Sabiendo que: z 2  z1  h y reemplazando y acomodando la expresión anterior:

p h 

ó

p  h

(φ)

La expresión (φ), es conocida como la Ecuación Fundamental de la Estática de los Fluidos Líquidos o Incompresibles en Reposo Absoluto para el caso de presiones relativas.

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Fuerza Hidrostática sobre una Superficie Plana Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana sumergida “A” forme un ángulo “α” con el plano piezométrico.

Determinación de la Fuerza (F) -

La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el elemento dA es:

p  h

dF  p.dA ;

Pero

dF  hdA ;

Además:

h  ysen

Luego: dF  ysendA.................(1) - Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza resultante F, debida a la presión será:

F   dF , sustituyendo (1)  F   ysendA F  sen  ydA.......... .....( 2) Por definición de centro de gravedad: Donde:

 ydA  Y

G

A ………….. (3).

 ydA  momento del área con respecto al eje X YG  Ordenada del centro de gravedad A  Área total de la superficie plana sumergida

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(3) en (2): F  senYG A …………. (4); pero YG sen  hG

 F  hG A................( ) Es decir: “La fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presión relativa al centro de gravedad, multiplicada por el área”.

b) Determinación del Centro de Presiones -

La línea de acción de la fuerza resultante “F” corta a la superficie en un punto que se llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las superficies horizontales coinciden, porque Yg=Yp)

-

Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes”

Cálculo de Yp Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje “X”, se tiene:

MR   dF  y ;

Pero

MR  F  y p . Donde:

M R  Momento de la resultante

 dF  y  Momento de las componentes  F  y p   y  dF.......... ......( 5) De (1) dF  ysendA (1) y (4) en (5): (senyG A) y p 

Yp

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y 

2

 y(ysendA)

dA

yG A

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Donde:

y

2

dA  I x  momento de inercia de la superficie “A”, respecto al eje “x”.

 En (6): Y p 

Ix .....................(7) yG .A

Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales, paralelos a los ejes “x” e “y”. Para ello aplicamos el teorema de Steiner Respecto al eje x :

I x  I x  AYG2 .....................(8) (8) en (7):

I x  AYG2 Yp  YG A AYG2 Ix Yp   YG A YG A

Yp 

Ix  YG YG A

Y p  YG 

Ix ......(  ) YG A

Donde:

Ix 0 YG A

Es decir: El centro de presiones está debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies horizontales que coinciden (Y p  YG ) b.2: Cálculo de Xp Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y:

MR   dF  x ; Pero MR  F  Xp  F  Xp   x  dF(9) (1) y (4) en (9):

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(senYG A) X p   x(ysendA) Xp 

 xydA (10) YG A

 xydA  I

Donde:

xy

Producto de inercia de la superficie “A”, respecto a los ejes “x” e “y”.

 en (10): X p 

I xy YG A

 (11) .

Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales x e y , se tiene:

I xy  I xy  X GYG A(12) (12) en (11): X p 

I xy  X G YG A YG A

Xp 

I xy X G YG A  YG A YG A

Xp 

I xy  XG YG A

X p  XG 

I xy ( ) YG A

El valor I xy puede ser positivo o negativo de modo que el “Cp” puede encontrarse a uno u otro lado de de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetría para que

I xy   , en cuyo caso: X p  XG Comentario: Por lo general las situaciones de interés se relacionan con superficies planas que tienen uno o dos ejes de simetría, de modo que sólo se trata de determinar el valor de “Y p”.

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Componentes de la Fuerza Hidrostática de una Superficie Plana Inclinada:

Fh  Fsen Fh  hGSsen Fh  hGS v FH  pG Sv

FV  F cos  FV  hGS cos 

FV  hGSh FV  p GSh Siendo: FV  h G Sh Luego:

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FV  

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“Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes”. Fuerzas de Presión Sobre Superficies Curvas La Resultante total de las fuerzas de presión que obran sobre una superficie curva, está formada por la suma de los elementos diferenciales de fuerza (dF=pdA) normales a la superficie. La magnitud y posición de la Resultante de estas fuerzas elementales, no puede determinarse fácilmente por los métodos usados para superficies planas. Sin embargo, se pueden determinar con facilidad las componentes horizontal y vertical de la Resultante para luego combinarlas vectorialmente. Considérense las fuerzas que obran sobre el prisma de líquido ilustrado en la fig.(A), limitado por la superficie libre a-o, por la superficie vertical plana o-b, y por la superficie curva a-b. El peso de este volumen es una fuerza “w” vertical hacia abajo, y actuando de derecha a izquierda, sobre o-b está la fuerza horizontal Ph  hG A v , en donde “Av” es el área de la superficie plana vertical imaginaria, uno de cuyos bordes es ob. Estas fuerzas se mantienen en equilibrio por fuerzas iguales y opuestas de reacción de la superficie curva a-b. Se deduce en consecuencia, que la componente horizontal de la Resultante total de las presiones sobre una superficie curva es igual, y está aplicada en el mismo punto, que la fuerza que actúa sobre la superficie plana vertical formada al proyectar en dirección horizontal la superficie curva. Por otra parte, la componente vertical de dicha Resultante total sobre la superficie curva es igual al peso del líquido que se encuentra encima de ésta, y está aplicada en el centro de la gravedad del volumen líquido. Un razonamiento semejante demostrará que cuando el líquido se encuentra debajo de la superficie curva, la componente vertical es igual al peso del volumen imaginario del líquido que se encontraría encima de la superficie y está aplicada hacia arriba pasando por su centro de gravedad. Por ejemplo la componente vertical de la Resultante total de presiones, ejercida sobre la componente radial o de abanico de la fig. (B), es igual al peso del volumen representado por LNM y actúa hacia arriba pasando por “G” como se indica. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Ejm 1.- La figura que se muestra, ilustra una sección de un depósito de agua de 6 mts. de longitud. La pared abc del depósito está articulado en “c” y es soportado en “a” por un tirante. El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio. a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante b) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, c, despreciando el peso de la pared.

Solución: a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante

Ph  hG A  (1000Kg

m3

)(0.60m)(6.00x1.20m2 )  4320Kg

Ph  4320Kg

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1 3

La posición de “P” está a ( x1.20m)  0.40m arriba de “C” ó

hP  0.80m

Pv  W  6m

r 2 Kg   6m(1.20m) 2 1000 3  6785Kg 4 m

Pv  6785Kg

“Pv” esta aplicada en el centro de gravedad del cuadrante del circulo, el cual se encuentra a:

4r 4(1.20m)   0.51m , a la izquierda de “oc” 3 3

x p  0.51m Para calcular “T”, se halla tomado momentos respecto a la articulación “c” como sigue:

1.50T  W(0.51m)  Ph (0.40m)   Reemplazando valores:

T  3458Kg b) Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta.

P  (4320) 2  (6785) 2  8043Kg P  8043Kg La dirección, sentido y la posición de “P” se halla componiendo vectorialmente Pv y Ph en su intersección. Como todos los componentes elementales de “P” son normales a la superficie de la compuerta y pasan, por consiguiente, por el punto “o”, se concluye que “P” pasará también por “o”.

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c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, despreciando el peso de la pared.

-)

F

H

   T  Ph  Rh  

Rh  T  Ph

Rh  (3458  4320)kg Rh  862kg Rh  862kg  -)

F

V

   R V  PV  

R V  PV

RV  6785kg Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulación, es:

R  (862)2  (6785)2  6839Kg R = 6839 Kg.

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Principio de Arquímedes “Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical (fuerza vertical) ascendente igual al peso del volumen del líquido desalojado”. El punto de aplicación de dicho empuje coincide con el Centroide del volumen sumergido (Igual al del volumen desalojado) y se conoce con el nombre de “centro de flotación o de carena”. Centro de flotación o de carena: es el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo y es el punto donde está aplicado el empuje.

Demostración: Sea el caso de un cuerpo sólido cualquiera flotando en un líquido, existe un estado de equilibrio debido a que el líquido ejerce sobre el cuerpo una presión ascendente de igual magnitud que el peso propio del cuerpo, que se puede calcular a partir de los resultados anteriores.

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Parcialmente Sumergido

Totalmente Sumergido

F

F

v

  en el volumen de control.

dFV 2  dFV 1  dE dE  (p a  h)dA H  p a dA H dE  p a dA H  hdAH  p a dA H dE  hdAH

v

  en el volumen de control

dE  dFV 2  dFV 1 dE  h2 dA H  h1dA H dE  dA H (h 2  h1 ) dE  hdAH

E    hdA H

E    hdAH

A

A

La integral es igual al volumen (  s ) de la E   s parte del cuerpo en flotación que se encuentra debajo de la superficie libre del líquido; esto es:

E  s  s = Volumen del líquido desalojado (volumen del cuerpo sumergido)

 = Peso específico del líquido.

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Relación entre el Empuje y el Peso del cuerpo sumergido Sea

W = El peso total del cuerpo E = Empuje del fluido sobre el cuerpo

1.- Si E < W, el cuerpo tiende a ir hacia el fondo 2.- Si E = W, el equilibrio del cuerpo es estable (el cuerpo se mantiene sumergido en la posición en que se le deje) “Flotación en Equilibrio”. 3.- Si E > W, el cuerpo tiende a ir hacia la superficie. Condiciones de Equilibrio de los Cuerpos en Flotación El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos: 1.- Estable.- Una fuerza actuante-por ejemplo el empuje del oleaje o del viento- origina una inclinación lateral, pero cuando aquella cesa el cuerpo vuelve a su posición original. Este tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo. 2.- Inestable.- La fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo (zozobra), el cuál después recupera una posición más o menos estable. Este equilibrio lo tienen aquellos cuerpos cuyo centro de gravedad es alto. 3.- Indiferente.- La fuerza actuante origina un movimiento de rotación continua del cuerpo; cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y cuya duración es la misma que la de dicha fuerza. Este tipo de equilibrio lo poseen cuerpos cuya distribución de la masa es uniforme (por ejemplo la esfera con posición de flotación indiferente; el cilindro cuya posición de flotación es indiferente con su eje longitudinal en la dirección horizontal). Las condiciones de equilibrio de un cuerpo flotante se explican con claridad utilizando como ejemplo un barco (como el mostrado en la fig. a) cuya superficie de flotación muestra una forma simétrica con un eje longitudinal y otro transversal. La rotación alrededor del primer eje se conoce como Balanceo, y del segundo Cabeceo. En La posición de equilibrio (Sin fuerzas ocasionales) sobre el barco actúa el peso “W” ejercido en el centro de gravedad “G”, además del empuje ascendente del líquido “E” que actúa en el MECÁNICA DE FLUIDOS I

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centro de flotación o de carena, G1. Ambas fuerzas son iguales, colineales y de sentido contrario. Al producirse una fuerza ocasional el barco se inclina un ángulo θ y pasa a ocupar la posición mostrada en la fig. (b); el punto “G 1”, pasa ahora a la posición “G’1”. Por efecto de las cuñas sombreadas- una que se sumerge y otra que emerge por encima de la línea de flotación- se origina un movimiento producido por las fuerzas F 1 y F2. El empuje ascendente total “E”, en su nueva posición “G’1”, es la resultante de “E” en su posición original y las fuerzas F1 = F2 por efecto de las cuñas. El momento de la Fuerza Resultante con respecto a “G1” será igual a la suma algebraica de los momentos de sus componentes, y considerando que “θ” es pequeño, por lo tanto “W” pasa por “G1”.

E  n  F1  m n

F1  m E

Cálculo de F1  m .

dF1   dcuña

(1)

Para un elemento de volumen ( d ) de la cuña

dcuña  ydA , donde y  x tan g . dcuña  x tandA  dcuña  x tandA(2) (2)   (1): dF1  x tan gdA

dM  x tangdA x dM   tan gx 2 dA

M   tan g x 2 dA A

M   tan gIz M  F1  m   tan gIz MECÁNICA DE FLUIDOS I

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n

 tan gIz E

n

 tan gIz tan gIz   s s

Luego: n 

E  s

;

tangIz s

Iz = Momento de Inercia del área de la sección del barco a nivel de la superficie de flotación ab con respecto al eje longitudinal “Z” del mismo que pasa por “O”. El par de fuerzas E y W producen un momento M1 = W hsenө, que tratará de volver al barco a su posición original o de voltearlo mas, hasta hacerlo zozobrar. Para predecir el comportamiento del barco es importante conocer la posición del punto “M” de intersección de “E” en “G’1”, con el eje “y” del barco inclinado; punto que se denomina metacentro y la altura metacéntrica se indica con “h”. A medida que “h” aumenta es mas estable la flotación del cuerpo, es decir, más rápidamente tratará de recobrar su posición original. El equilibrio es estable si el punto “M” queda arriba del punto “G” (h>0) y es inestable si “M” queda debajo de “G”; por tanto, la estabilidad del barco exige que sea h>0, esto es:

h

tan gIz n  h0   h0   , siendo “θ” pequeño, senθ=tangθ sen sen s

h0 

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n sen 

h0 

Iz s

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CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS Definición.- Estudia los Fluidos en movimiento, es decir del movimiento de sus partículas, sin considerar la masa ni las fuerzas que actúan, en base al conocimiento de las magnitudes cinemáticas: velocidad, aceleración y rotación. Campo de flujo.- Es cualquier región ocupada por el fluido en movimiento, donde sus magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales (presión, densidad, temperatura, velocidad, aceleración, etc.) del fluido en movimiento, puede variar de un punto a otro y en un mismo punto de un instante a otro (función de la posición y tiempo).

Características del campo de flujo Campo escalar: Se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad física a la cual corresponde; ejemplos: presión, densidad y temperatura. Campo Vectorial: En un campo vectorial además de la magnitud, se necesita definir una dirección y un sentido para la cantidad física a la cual corresponde esto es tres valores escalares definen la cantidad física; ejemplos: la velocidad, la aceleración y la rotación. Campo tensorial: Para definir un campo tensorial se requieren nueve o más componentes escalares; ejemplos: esfuerzo, deformación unitaria, y momento de inercia. 1.- Campo vectorial de velocidades.El análisis del movimiento de una partícula del fluido que recorre una línea usualmente curva que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras distintas: a) Por el conocimiento del vector de posición (r ) , de la partícula, como una función vectorial del tiempo (t).

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r  r(t)

r  xi  y j  zk Si

es función del tiempo entonces sus componentes son también funciones del tiempo; es

decir:

x  x(t ) ;

y  y(t ) ;

z  z (t ) .

b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partícula y la función camino recorrido-tiempo.

En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una función escalar del tiempo;

s  st

esto es:

Definición de Velocidad.- El Vector velocidad de una partícula fluida se define como la rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su posición.

.

V

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dr dt

(1)

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Donde dr representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la partícula en el tiempo dt. La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partícula según la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo.

V  V(r,t)..........(2) V  V(x,y,z,t).........(3)

V

Haciendo:

Luego,

dx dy dz i j k dt dt dt

dx dy dz  Vx ;  Vy y  Vz dt dt dt V  Vx i  Vy j  Vz k

Expresión vectorial de la velocidad.

Donde:

Vx  Vx (x,y,z,t) 

dx dt

Vy  Vy (x,y,z,t) 

dy dt

Vz  Vz (x,y,z,t) 

dz dt

Módulo de la Velocidad:

V  V  (Vx )2  (Vy )2  (Vz )2 2.- Campo vectorial de aceleraciones.- Es un campo vectorial que se deriva del campo de velocidades. Definición de aceleración.- El vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto; esto es:

a

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dv d2 r  dt dt 2

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En cuanto a su dirección la aceleración no tiene una orientación coincidente con la trayectoria de la partícula; siendo la aceleración también una función de la posición y tiempo.

a  a(x,y,z,t) a

dVy dV dVx dVz  i j k dt dt dt dt

dV y dVz dVx  az  ay y  ax ; dt dt dt

Haciendo: Resulta:

a  ax i  ay j  az k

Expresión vectorial de la aceleración

A veces es conveniente expresar la aceleración a en función de sus componentes normal y tangencial.

a  at  an a

dV V2 et  en dt R

Módulo de aceleración:

La aceleración deriva del campo de velocidades, donde: V  V  x,y,z,t 

a  a(v,t)

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a  a(v x ,v y ,v z ,t) Tomemos un diferencial total de velocidad (dv) :

dV 

V V V V dx  dy  dz  dt x y z t

 dt

dV  V dx  V dy  V dz  V dt     dt x dt y dt z dt t dt dV V V V V a Vx  Vy  Vz  dt x y z t Ordenando:

V  V V V  Vx  Vy  Vz t x y z

a

a



Sabemos que:

   i j k x y z

V  Vx i  Vy j  Vz k

Y además:

Luego:

V    ( Vx  Vy  Vz )V …………..(1) t x y z

.V 

   Vx  Vy  Vz ……………(2) x y z (2)→(1): a 

V  (.V)V …………….(3) t

Donde la Expresión (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en función del producto escalar (.V) , denominado divergencia de V .

V = aceleración local (depende del tiempo) t

(.V)V = aceleración convectiva (depende de la posición) Comentario: Si el flujo es permanente: MECÁNICA DE FLUIDOS I

V 0 y t

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a  (.V)V Es decir el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente convectiva. Desarrollemos ahora

la componente convectiva, para representarla en término del

producto vectorial (xV) , conocido como rotacional de V (rotV ) .

(.V)V  (

   Vx  Vy  Vz)(Vxi  Vy j  Vzk) x y z

Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicación.

(.V)V  (

      Vx  Vy  Vz)Vxi  ( Vx  Vy  Vz)Vy j x y z x y z

(

   Vx  Vy  Vz)Vzk x y z

Hagamos:

(I)  (

   Vx  Vy  Vz)Vx i x y z

(II)= (

   Vx  Vy  Vz)Vy j x y z

(III) = (

   Vx  Vy  Vz)Vz k x y z

Trabajando con (I):

(I)  (

Sumando y restando Vy

 (Vx

Vy x

   Vx  Vy  Vz)Vx i x y z

 (Vx

    Vy  Vz )Vx i x y z

 (Vx

Vx Vx Vx  Vy  Vz ) i x y z

 Vz

Vz ; a la expresión anterior, resulta: x

       Vx  Vy Vx  Vz Vx  Vy Vy  Vz Vz  Vy Vy  Vz Vz )i x y z x x x x

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I  (Vx

  VX VY  VX VY V  VX VZ    Vy  Vz Z )i  Vy      i ………”(α)”.   Vz  x x x x  x    z   y

Del primer término de (α); observamos:

1 Vx 2 1 Vx Vx  2Vx  Vx 2 x 2 x x Tomando los extremos:

1 Vx 2 Vx ……………..(β)  Vx 2 x x

Análogamente:

1 Vy 2 Vy ……………..(β)  Vy 2 x x 1 Vz 2 Vz …………… (β)  Vz 2 x x (β) → (α)

I(

 1 Vx 2 1 Vy 2 1 Vz2 Vx Vy Vx Vz    ) i   Vy(  )  Vz(  ) i 2 x 2 x 2 x y x z x  

Factor común:

1  2 x

I

I

 1  Vx Vy Vx Vz  (Vx 2  Vy 2  Vz2 )i   Vy(  )  Vz(  ) i 2 x y x z x  

1  2  Vx Vy Vx Vz  V i   Vy(  )  Vz(  ) i …………….(ө) 2 x y x z x  

Además conocemos que:

i   V  x Vx

  V  i(

j  y Vy

k  , cuyo desarrollo es: z Vz

 Vy     Vz  )  j( Vz  Vx)  k( Vy  Vx) y z x z x y

Ahora, el desarrollo de: (  V)  V :

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i   (  V )  V  ( Vz  Vy ) y z Vx

j    ( Vz  Vx ) x z Vy

k   ( Vy  Vx ) x y Vz

       i  ( Vz  Vx)Vz  ( Vy  Vx)Vy  z x y  x         j ( Vz  Vy)Vz  ( Vy  Vx)Vx  z x y  y        k ( Vz  Vy)Vy  ( Vz  Vx)Vx  z x z  y  Trabajando ahora sólo con la componente en la dirección i de (  V)  V

      (  V)  V  i  Vz( Vx  Vz)  Vy( Vx  Vy) x z x y x   (‫(→)ﻻ‬θ):

I

1 V 2  i  (  V)  V  i 2 x

II 

1 V 2 j  (  V)  V  j 2 y

i

( )

Análogamente:

1 V 2 III  k  (  V)  V  k 2 z

.V  V  I  II  III Aceleración convectiva( ac ):

ac  ac x  ac y  ac z

ac  (.V)V 

1 (V 2 )  (xV)xV ; 2

Por lo tanto, la aceleración total (at ) de la partícula será:

at 

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V 1  (V 2 )  (  V)  V t 2

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3.- El campo rotacional. Es un campo vectorial, que se deriva del campo de velocidades, y que evalúa la rotación local de una partícula y se define matemáticamente por el producto vectorial de  por V . Rotacional de V  xV

rot V  xV i  rotV  x Vx

j  y Vy

k  z Vz

Cuyo desarrollo es:

rot V  (

VZ VY V V V V  )i  ( Z  X )j  ( Y  X )k y z x z x y

Como deriva del campo de velocidades, también es función tanto del punto como de tiempo y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo, por esta razón se le conoce también como campo vorticoso. Significado físico del vector rotacional: Como el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula

puede experimentar una

rotación, intentemos una representación física del vector rotacional. Generalidades para la interpretación física: a) Consideremos la rotación pura de una partícula (prescindimos de la traslación de la partícula) b) Al encontrarse la partícula en rotación pura, a través del movimiento de giro alrededor de un eje instantáneo, que pasa por el centro de gravedad de la partícula “P 0” (cuya dirección lo da el vector unitario ( e ), normal al plano formado por dos líneas ortogonales contenidas en la partícula.

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c) Para poder entender la rotación, consideramos que el punto “P o”, ha tenido una traslación pura al punto “P”, desplazándose un infinitésimo (r  r0 )  dr , en un instante dt; adquiriendo una velocidad tangencial V 

dr . dt

Descripción de la rotación pura.1.- Definida la posición del punto “P” coincidente con el extremo de una de las líneas ortogonales, esta la tomamos como posición inicial de la rotación pura, (prescindiendo de la traslación de la partícula). 2.- En un instante “dt” el punto “P” ha rotado a una posición “P ’” habiéndose desplazado un d , con un radio de giro dr . 3.- Al producirse la rotación la velocidad angular "" vale:



d dt

Variación del ángulo de rotación “θ” con el tiempo “t”. El vector velocidad angular será:

  x i  y j  z k La velocidad tangencial " V " puede definirse como: V   dr Donde:

dr  dxi  dyj  dzk

i j V   d r  x  y dx dy

k z dz

V   dr  i(y dz  zdy)  j(x dz  zdx)  k(x dy  y dx) Vx   y dz  z dy V y  x dz  z dx V z  x dy   y dx Calculamos el rotacional de V :   V , es decir: MECÁNICA DE FLUIDOS I

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i j k    rotV  V  x y z ( y dz   z d y )  ( x dz   z dx) ( x dy  w y dx)       rotV    V   (x dy  y dx)  (x dz  z dx) i   (x dy  y dx)  (x dz  zdy) j z z   y   x

      (x dz  z dx)  ( y dz  z dy ) k y  x 

rotV    V  x  x  i  y  y  j  z  z k

rotV    V  (2x )i  2y j  2z k rotV    V  2(x i  y j  z k)  rotV  2 Por lo tanto el significado físico del vector rotacional en un movimiento de rotación alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular:

rotV    V  2 De la expresión (β)

a

V 1  (V 2 )  (  V)  V t 2

La aceleración en un punto está formada por las componentes:

1 (V 2 ) = Corresponde al movimiento de traslación pura. 2 rotV xV =

Correspondiente

al

movimiento

de

rotación,

llamada

aceleración de “Coriolis”. y

 V t

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= Aceleración local.

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Clasificación de los Flujos Existen diferentes criterios para clasificar un flujo. Este puede ser: permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; supercrítico, crítico o subcrítico; tridimensional, bidimensional o unidimensional; rotacional o irrotacional, incompresible o compresible, etc. aunque no los únicos, si son los flujos más importantes que clasifica la ingeniería. Es de interés particular de la ingeniería las conducciones por tubería y por canal.  Flujo permanente y no permanente Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como variable. El flujo es permanente si las características hidráulicas del flujo en una sección (velocidad, presión, densidad, etc.) no cambian con respecto al tiempo; o bien, si las variaciones en ella son muy pequeñas con respecto a sus valores medios y éstos no varían con el tiempo. Matemáticamente se puede representar:

v  0; t

p  0; t

  0 ; etc. t

Flujo permanente.

Si las características hidráulicas cambian con respecto al tiempo, tendremos un flujo no permanente, matemáticamente se representa:

v  0; t

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p  0; t

  0 ; etc. t

Flujo no permanente.

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 Flujo Uniforme y no uniforme Esta clasificación obedece a la utilización del espacio como variable. El flujo es uniforme si las variables hidráulicas del flujo en una longitud de su desarrollo (velocidad, presión, densidad, etc.) no cambian con respecto al espacio. Matemáticamente se puede representar:

v 0 L

;

p 0 L

;

 0 L

Si las características hidráulicas cambian con respecto al espacio, tendremos un flujo no uniforme o variable. Matemáticamente se representa.

v 0 L

;

p 0 L

;

 0 L

Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con tubería de diámetro constante y la otra con tubería de diámetro decreciente.

 Flujo Unidimensinal, Bidimensional y Tridimensional. Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional, es decir cuando sus características hidráulicas o variables hidráulicas, cambian en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones. El flujo es bidimensional, cuando sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dicho plano, o bien ellas permanecen constantes; es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) en dos direcciones exclusivamente.

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El flujo es unidimensional, Cuando sus características varían como funciones del tiempo y de una coordenada curvilínea en el espacio usualmente la distancia medida a lo largo del eje de la conducción. El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional, debido al efecto de la viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a cero, pero en otro punto es distinto de cero; sin embargo bajo la consideración de valores medios de las características en cada sección se puede considerar unidimensional. Esta hipótesis es la más importante en hidráulica, por las simplificaciones que trae consigo. En resumen un flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo prevalece una dirección es considerada unidimensional, como ocurre con las tuberías y los canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede prescindir de una segunda dimensión para describir al flujo, debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.

 Laminar y Turbulento Clasificación de los flujos de acuerdo al predominio de las fuerzas viscosas y de las fuerzas de inercia. Flujo Laminar.- Flujo característico de velocidades bajas, de trayectorias ordenado, rectilíneas y paralelas. Flujo turbulento: Flujo característico de velocidades ordinarias (altas), de trayectoria erráticas o desordenadas. Existen pequeñas componentes de velocidad en direcciones transversales a la del movimiento general, las cuales no son constantes, si no que fluctúan con el tiempo; de acuerdo con una ley aleatoria, aún cuando el flujo en general sea permanente.

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Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un mezclado intenso de las partículas que consume parte de la energía del movimiento por efecto de la fricción interna y que también en cierto modo, es resultado de los efectos viscosos del fluido.

No existe mezcla macroscópica

Existe mezclado intenso de las

o intercambio transversal entre

partículas.

partículas.

FI  ma  a   L3 LT 2



m 

L2   L2 (V 2 ) T2 FI   L2V 2

FI   L2

dV 2 V L   L2  VL dy L FV  uVL

F   AT  

FI L2V 2 VL   F VL  

VD VD   

 VD   , y cuyo valor permite diferenciar el flujo, es decir, si   

Existe un parámetro que es función 

es laminar o turbulento, denominado Número de Reynolds (

).

 Flujo Rotacional e Irrotacional.Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rot V adquiere valores distintos de cero para cualquier instante y es Irrotacional, por el contrario, si en su seno del campo de flujo, el vector rotacional de V es igual a cero para cualquier punto e instante.

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Si se exceptúa la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el movimiento de un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la viscosidad de fluido constituyen la causa principal de dichas singularidades (vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre con bastante frecuencia en los problemas de la práctica. Si bien el término rotación implica un giro de partículas, esto no significa que es rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que todo movimiento rectilíneo es Irrotacional. Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscópicamente como irrotacionales. En otros casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la distribución de velocidades puede ser de forma tal que las líneas medianas o las diagonales de una partícula, de forma rectangular, no modifican su orientación durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se representa esquemáticamente en las figuras siguientes en las cuales el vector rot V

sería

normal al plano del papel. El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente rotacional.

Flujo Lineal Irrotacional

Flujo Curvilíneo Irrotacional (Esquema Ideal) MECÁNICA DE FLUIDOS I

Flujo Lineal Rotacional

Flujo Curvilíneo Rotacional (Esquema Real) INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS

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Descripción del Movimiento El movimiento de un fluido queda descrito cuando se está en condiciones de conocer: 

El cambio de posición de una partícula



La variación de la velocidad en un punto.

Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido: Método de Euler: También conocido como local, consiste en elegir un punto y determinar las variables cinemáticas en ese punto, en cada instante sin considerar el camino que después siga cada partícula individual (trayectoria). Elegida la posición de una partícula en el espacio, sus características cinemáticas son funciones del tiempo, a saber:

v  v(r, t )

V  Vx (x,y,z,t)i  Vy (x,y,z,t) j  Vz (x,y,z,t)k Las variables dependientes son: V x, Vy y Vz Las variables independientes son: x, y, z, t. Método de Lagrange: Consiste en elegir una partícula y determinar las variables cinemática de esa partícula, en cada instante, siguiendo su recorrido. Identificada una partícula por su posición inicial ro (xo, yo, zo), en el instante t = to , en otro instante cualquiera “t”, la misma partícula se encuentra en la posición r(x,y,z) . Entonces la posición de la partícula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posición r se determina como función del tiempo “t” y la posición inicial ro ; o sea:

r  r (r0 , t )

r0  ai  b j  ck r  x(a, b, c, t )i  y (a, b, c, t ) j  z (a, b, c, t )k Las variables dependientes son: x, y, z. Las variables independientes son: a, b, c, t. De los dos métodos se prefiere el primero por qué su manejo analítico es más simple. Es el que normalmente se emplea en los libros de mecánica de fluidos. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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 Línea de corriente, trayectoria y tubo de corriente Se supone que en un instante “t 0” se conoce el campo de velocidad V de un flujo. 

Línea de Corriente.- se define línea de corriente toda línea trazada idealmente en el seno

líquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un punto común, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores V distintos.

Lc   (t ) Si el flujo es no permanente para otro instante “t” la configuración de las líneas de corriente es otra. Si el flujo es permanente la configuración de dos líneas de corriente es la misma en cualquier momento.

Línea de corriente para un instante “t” Ecuaciones de la línea de corriente

En la línea de corriente de la figura, para un instante “t”, donde el punto “1” está infinitamente próximo a “2”, de manera que se puede considerar que V1  V2  V . MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Como V y dr son vectores paralelos (tienden a ser colineales), luego:

V  dr  0

V  dr  v dr sen  u; Donde u = Vector unitario perpendicular al plano “0”, “1” y “2” Como son paralelos   0  V  dr  0

i j k V  dr  Vx Vy Vz  0 dx dy dz

i Vy dz  Vzdy   j Vx dz  Vzdx   k Vxdy  Vy dx   0 Vy dz  Vzdy

Vy dy



Vz ..............(1) dz

Vx Vz  ...............(2) dx dz

Vx Vy  ...............(3) dx dy Sistema de tres ecuaciones diferenciales, obtenida de (1), (2) y (3):

Vx Vy Vz   dx dy dz La última expresión constituye la ecuación analítica de la línea de corriente para un instante “t”. Donde, recordamos que: Vx ,Vy y Vz    x, y , z, t 

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

Trayectoria: Se define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una partícula

con el transcurrir del tiempo.

V

dr dt

dr  Vdt...........(1) dr  dxi  dy j  dzk   ............  2  V  Vx i  Vy j  Vz k   Luego (2)→(1)





dx  Vx dt  dt 

dx .............(3) Vx

dy  Vy dt  dt 

dy .............(4) Vy

dz  Vz dt  dt 

dz .............(5) Vz

dxi  dy j  dzk  Vx i  Vy j  Vz k dt

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Comparando (3), (4), (5) y acomodando:

Vx Vy Vz   dx dy dz La expresión anterior constituye la ecuación analítica de la trayectoria.

Vx , Vy y Vz    x, y, z, t  “Si el flujo es no permanente la línea de corriente y trayectoria son líneas distintas, pero si el flujo es permanente significa lo mismo”. La razón está en que el flujo permanente el campo de velocidad no cambia con el tiempo. - Toda partícula que pase por “a 0” sigue la misma trayectoria. - En cada punto a0, a1, … an el vector velocidad permanece igual Todas las partículas que pasen por a0  V0 Todas las partículas que pasen por a1  V1 Todas las partículas que pasen por an  Vn

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Tubo de flujo: Si se considera dentro del flujo una curva cerrada “c” y las líneas de corriente que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de éstas líneas de corriente definen una superficie que se denomina tubo de flujo ó tubo de corriente y que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena líquida o vena fluida. Cuando el tubo de corriente es de pequeña sección se le denomina filete hidráulico.

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 Campo potencial, solenoidal y Armónico 

Campo Potencial: Es un campo

vectorial en el que existe una función escalar

(denominada función potencial o potencia), tal que:

F   Donde:

F = campo potencial vectorial

 = función escalar o función potencial de F Calculemos el rot F ; donde F  

i  F  x   x   2  2   i     y z zy 

j  y   y

k  z   z

  2   2  2   2  j    k       xz zx   xy xy 

 i 0  j 0  k 0

F  0 Lo que demuestra que si el campo de F es potencial, es Irrotacional; lo cual justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo Irrotacional. Para el caso particular del campo vectorial de velocidades,

V  

V  Es un campo potencial de velocidades

 = función potencial de velocidades Verificándose también:  V  0 Lo que justifica que el campo potencial de velocidades es un campo Irrotacional.

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Por definición de    y  son ortogonales 

Campo Solenoidal: Es un campo vectorial, en el que existe una función vectorial

(denominada función solenoidal), tal que:

F    W Donde:

F = Campo solenoidal W = función solenoidal vectorial de F Calculemos la divergencia de F :

  F  ?? ,



donde: F    W







  F      W      W  ?? w y  w  W  i  z  z  y

  

w x  w j z  z  x



 w y w x     k  x  y    



    W  ??

       i  j k y z   x

  w z w y  i   y z  

  

w x  w j z  z  x

 w y w x    k  x  y  

  

  2w y  2w z    2w z  2w x    2w x  2w y     W         xz xy   y x y z   zy zx       





Sumando términos obtenemos:





    W  0  F  0

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“Lo que demuestra que si el campo de F es solenoidal, se verificará que su divergencia es nula”. Además se cumple que  es normal a F ; para que el producto escalar sea cero   90  Para el caso particular del campo de velocidades:

V    W

V = Es un campo solenoidal de velocidades W = Es una función solenoidal vectorial de V

 V  0

Verificándose también:

“Condición de flujo incompresible (líquidos)”. 

Campo Armónico o Laplaceano: Es un campo vectorial, que sucede para flujos

incompresibles y que además es Irrotacional Por ser incompresible; el campo cumple:

V  0

(1) Condición de campo solenoidal

Por ser Irrotacional; el campo cumple:

 V  0

V  V

y



(2)

condición de campo potencial



V  V  0

(2) → (1)

 

V  V  0

2  0

Ecuación de Laplace o Laplaceano

“En resumen un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace, donde “  ” recibe el nombre de función armónica”.

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 Movimiento Plano de fluidos La mayoría de problemas sobre conducción de agua en tuberías y canales se resuelven con la hipótesis de flujo unidimensional. Pero también hay un grupo importante de problemas en los que se hace imprescindible considerar el flujo en dos dimensiones (flujo plano), asumiendo que la descripción del flujo en planos paralelos es idéntica a la estudiada. Se hace el análisis del flujo en un plano, es decir movimiento plano es aquel que es idéntico en todos los planos perpendiculares a una dirección, llamado dirección de identidad. Parecería que solamente el líquido ideal (sin viscosidad y por ello Irrotacional) puede ser objeto de estudio en lo que se refiere a movimiento plano, pero no es así. Como regla general, se puede producir un flujo casi irrotacional en líquidos reales si el efecto de la viscosidad en el movimiento es de poca importancia. Un caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poroso, como es el subsuelo o una presa de tierra, pues dicho movimiento se produce con predominio de la viscosidad (flujo laminar) pero resulta casi irrotacional. Esto hace que el estudio del flujo plano alcance también a este importante caso del flujo.

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

La Función Corriente   

Introducción: Supongamos un líquido incomprensible en movimiento bidimensional, permanente, que se desarrolla en planos perpendiculares al eje “z” (dirección identidad), de modo que su estudio puede hacerse en el plano x y; se puede considerar luego una familia de L.C. (líneas de corriente), las que no cambiarán con el tiempo por tratarse de un movimiento permanente.

  f(x,y,z)

Familia de líneas de corriente De la ecuación analítica de las líneas de corriente (flujo bidimensional):

Vx Vy  dx dy Definición: La función corriente es una función escalar que define a una familia de líneas de corriente. Esta función tiene un valor constante diferente para cada línea de corriente.

  x, y   Cte. Las líneas de corriente sirven para la representación gráfica de los flujos llamados bidimensionales, que pueden representarse fácilmente en un plano porque la velocidad no tiene componente normal al plano del dibujo, y la configuración de corriente en todos los planos paralelos al del dibujo es idéntica. Por cada punto de la corriente pasa una línea de corriente. Por tanto si se trazaran todas las líneas de corriente no se distinguiría ninguna y se trazaran demasiadas el dibujo sería confuso. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Por eso se trazan solo unas cuantas; pero de manera que entre cada dos líneas consecutivas circula el mismo caudal, Q . En el punto “P” sobre una línea de corriente, los tres vectores indicados en la figura son normales entre sí, de modo que se cumple:

V    k

 

V

V

Pero:

  i j x y

i

j

 x 0

 y 0

k  az 1

  i j y x

V  Vx i  Vy i

(a )

(b )

Comparando (a) y (b)

 y  Vy   x Vx 

”Componentes de V en coordenadas cartesianas, relacionada con la Función Corriente.”

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En coordenadas polares, en forma análoga:

1  r   V   r Vr 

“Componentes de V en coordenadas polares, relacionada con la Función Corriente.” De la ecuación analítica de las líneas de corriente para un flujo plano:

Vx Vy  dx dy Desarrollando: Vx dy  Vy dx  Vx dy  Vy dx  0

  y  Sustituyendo:  en la expresión anterior, resulta:   Vy   x  Vx 

  dy  dx  0 ay x

d  0 , Integrando, resulta:

  Cte. “Lo que confirma que la función corriente “ψ” tiene un valor constante diferente para cada línea de corriente”. Además sabemos que V y  son ortogonales es decir:

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Siendo:

V  Vx i  Vy j

 

y

  i j x y

 y  Vy   x Vx 

Donde se conoce que:

  Vy i  Vx j

Luego:

Además si son ortogonales V y   V    0



 

V    Vx i  Vy j  Vy i  Vx j



V    VxVy  VyVx V    0 Conclusiones: 1) Conocido uno de las funciones vectoriales, se puede encontrar la otra función vectorial ortogonal. 2) El módulo de V , es igual al módulo del gradiente de 

V  

(a)

V  Vx2  Vy2 y  

 V   V   2

y

2 x

Vx2  Vy2

3) El módulo del gradiente de  , es igual a la derivada de  , según la dirección normal a las líneas de corriente   Cte 

 n

 

(b)

V V 

ó

 n

Si n es un vector unitario en la dirección normal a las líneas de corriente, por definición de derivada direccional se tiene que:

  n 

 n

Pero toda vez que  y n son paralelos    n   MECÁNICA DE FLUIDOS I

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

    V n

4) El gasto que circula entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia de los valores que adquiere la función de corriente en esas líneas:

q   1   2  1 2

Demostración:  Consideremos dos líneas de corriente  1 y  2 separadas una distancia “n” normal a las dos líneas de corriente  1 y  2 , según Fig.

 Determinamos el gasto “q” que atraviesa la sección identidad de dimensiones dA  n  1; es decir el gasto que pasa entre dos líneas de corriente  1 y  2 separados una distancia “n” Entiéndase como gasto o caudal el volumen que atraviesa a la sección identidad, normal a ella, en la unidad a tiempo, matemáticamente expresado como:

q  /t

dq 

d dt

 En un intervalo “dt” el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficie “dA” (sección identidad) es:

d  dAds Pero:

d ds  dA dt dt

dq  VdA MECÁNICA DE FLUIDOS I

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q   v dA

ó

q V A

A

El gasto es igual a la velocidad media (V) por el área (A).

Para el caso en estudio:

q   v dn …….. (  ) A

Además si el flujo es incompresible y permanente V = Cte.

  q V  dn ó q  Vn n

 V n

 Además sabemos que:

Luego   v n ; apliquemos diferenciales normales d  Vdn e integrando:

 1   vdn ……..(  ) 2

n

De (  ) y (  ), resulta:

 1 q 2

 2  1  q

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

La Función Potencial ( )

Introducción: El estudio del flujo plano es posible solo si se cumple que el campo de velocidades es un campo potencial, es decir un campo en el que existe una función escalar

( ) , llamada función potencia tal que: V   Donde recordamos que si el campo de velocidades es potencial, es irrotacional, lo cual justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional. Concepto: Es una función escalar que define a una familia de líneas equipotenciales. Esta función tiene un valor constante diferente para cada línea equipotencial.

  x,y   Cte Familia de líneas equipotenciales Por definición de campo potencial de velocidades, se sabe:

V  .........(1) Donde:

V = Campo potencial de velocidades

 = Función potencial de velocidades Desarrollando (1) :

   V   i y  x

V 

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 j 

  i j .................(a) x y

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V  Vx i  Vy i ......................(b)

Pero Comparando (a) y (b):

 x  Vy   y Vx  

Componente de la velocidad en coordenadas cartesianas, relacionada con la Función Potencial.

En coordenadas polares, en forma análoga:

 r 1  Vy   r  Vr  

“Componentes de V en coordenadas polares, relacionada con la Función Potencial.” Ecuación Analítica de las líneas equipotenciales

 : Es otro vector ≠ del vector V , pero que define la dirección de la línea equipotencial "  " , tangente a "  " De la ecuación analítica de las líneas de corriente tenemos:

Vx Vy  dx dy

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(1)

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Como  y  son líneas ortogonales, la ecuación analítica de las líneas equipotenciales se

Vx  Vy   como se aprecia en la figura anterior, luego; Vy  Vx 

obtiene sustituyendo en (1) 

Vy dx



Vx dy

 2

La expresión (2), constituye la ecuación analítica de las líneas equipotenciales. Desarrollando (2):

Vx dx  Vy dy  Vx dx  Vy dy  0........  3  Sustituyendo:

Vx  

 x

y Vy   

 y

en

3

  dx  dy  0 x y

  dx  dy  0 x y

d  0

  cte

Integrando:

“Lo cual confirma que la función potencial tiene un valor constante diferente para cada línea equipotencial”. Conclusiones  El módulo de V

es igual al módulo del gradiente de "  " , puesto que V   ,

entonces:

V   ...........(1)  El módulo del gradiente de "  " es la derivada de

"  " según la normal a las líneas

equipotenciales   Cte .

 

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 ...........(2) n '

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97

Pero de (1):

  V

Luego:

  V .............(3) n ' V

 n '

n ' = separación entre dos líneas equipotenciales normales a  y  . “La velocidad es inversamente proporcional a la separación de los equipotenciales”. Otra ventaja es una interpretación física del flujo gracias a las superficies equipotenciales. Se llaman así a las superficies en los cuales se cumple   x, y , z   Cte ; y juegan el mismo papel que las superficies de nivel para la energía y potencial del peso de un cuerpo.

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Ecuaciones de Cauchy – Riemann Del desarrollo anterior se desprende que las funciones " " y "  " no son independientes sino que están relacionadas entre sí a través de las siguientes expresiones, conocidas como ecuaciones de Cauchy – Riemann En coordenadas cartesianas.

 y (1)  Vy   x

 x (2)  Vy   y

Vx 

Vx  

y

Comparando (1) y (2)

   y x   Vy    x y Vx 

“Ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas cartesianas” En coordenadas Polares

1  r r 3  V    Vr 

 r 1  V   r  Vr  

y

 4

Comparando (3) y (4):

1    r r r  1  V     r  Vr 

“Ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenadas polares”.

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

Red de Corriente

Concepto: Es una representación diagramático de las líneas de corriente y equipotenciales del escurrimiento, por lo tanto es una malla formada por la función de corriente   Cte y la función potencial   Cte . Esta malla resulta ser cuadrada.

Sabemos que:

 V n

y

 V n '

Igualando ambas expresiones:

   n n '

Tomemos derivadas ordinarias:

d d  dn dn '

Si tomamos: d  d, resulta que dn  dn ' , lo que significa que las líneas corrientes y las equipotenciales, además de ser ortogonales formarían una malla de cuadrados. En conclusión, el estudio del flujo plano en un cierto contorno, se refiere a la obtención de la red de corriente para ese contorno y a partir de la red de corriente, que es única en cada contorno, deducir la distribución de velocidades o la distribución de presiones en las zonas de interés. Por lo expuesto, la red de corriente es un espectro de líneas ortogonales. En una red de flujo todas las áreas limitadas por un par de líneas de corriente y un par de líneas equipotenciales, son homólogas, por ejemplo, tienen la misma relación de anchura a longitud. Lo anterior implica que la red de flujo es un conjunto de rectángulos; en la práctica, y por comodidad y conveniencia, se trazan líneas de corriente y equipotenciales formando redes de cuadrados, MECÁNICA DE FLUIDOS I

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debiéndose interpretar como tales, las figuras que quedan determinadas al cortarse las líneas, de manera que las longitudes medias sean iguales. En el diseño de una presa de tierra es indispensable contar con el trazo de la red de corriente.

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EJEMPLOS APLICATIVOS. 1. Se tiene un fluido cuyas partículas en movimiento están gobernadas por los siguientes campos:

  4xyzt; y el campo vectorial de velocidades

Campo escalar de densidades

V

6x 13y 13z i j k t 4t 4t

Demostrar que cumple la ecuación de continuidad. Solución Para el caso general: Flujo Incomprensible impermanente:

 

   



  0 Ecuación Diferencial de continuidad t

    4xyzt   4xyz t t

  4xyz t

 

   V  ??

V

Donde:

6x 13y 13z i j k; t 4t 4t

y

  4xyzt V  24x 2 yz i  13xy 2 z j 13xyz2 k

 

  V 

   24x 2 yz   13xy 2 z   13xyz 2    x y z

 

  V  24yz

   13xz   y  13xy   z 

 x2 x

2

y

2

z

 

  V  24yz  2x   13xz  2y   13xy  2z 

 

  V  48xyz  26xyz  26xyz

 

  v   4 XYZ MECÁNICA DE FLUIDOS I

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4xyz  4xyz  0

 

  V 

 0 t

Verificándose la Ecuación de Continuidad. 2. Se tiene el siguiente campo de velocidades; V  6x 2 yzi  8xy 2 z j  W k Hallar el componente W, sabiendo que para Z = 0; se tiene W = 0 y que la divergencia de dicho campo es 40 xyz. Solución

  V  40 xyz

     j  k   i Vx  j Vy  k Vz i y z   x





Vx Vy Vz    40 xyz x y z

  V 6x 2 yz   8xy 2 z   z  40 xyz  x y z 12xyz  16xyz 

Vz  40xyz z

Vz  12xyz z

Vz  12xyz z



Vz

0

z

Vz  12xy  zz 0

z2 Vz  12xy 2 Vz  6 xyz2

W  6 xyz 2

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3. Se tiene el siguiente potencial de velocidad:

  3x 2t  3x  3y 2t  16t 3  6z2t Determinar si es una función armónica y encontrar la expresión de los siguientes campos vectoriales. a) Velocidades b) Aceleraciones locales c) Aceleraciones convectivas d) Aceleraciones totales. Solución  Determinación si la función "  " es armónica

2  0 Un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace y donde "  " recibe el nombre de función Armónica,

2 

 2  2  2   0 x 2 y 2 z2

  6xt  3 x   6yt y

   12zt z

 2  6t x 2

;

;

 2  6t y 2

;

 2  12 t z2

2  0

L.q.q.d

 "  " Es una función armónica  Determinar el Campo de Velocidades.

V    0

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Condición de Campo potencial, Irrotacional (pues si la función "  " es armónica, entonces el campo V es potencial o Irrotacional)

     V   i j k y z   x

V   6xt  3  i  6yt  j   12zt  k  V   3  6xt  i  6yt j  12ztk

a

a

V   V V t





dV V 1    V 2   V V dt t 2

  



La aceleración en un punto está formada por tres componentes:

V t

: Aceleración local – función del tiempo.

 

1  V2 2

: Aceleración correspondiente al movimiento de traslación pura.

  V  V :

Aceleración correspondiente al movimiento de rotación, llamado aceleración de Coriolis.

 Determinar campo de aceleración local

V   ??   3  6xt  i  6yt j  12ztk  t t

V  6xi  6y j  12zk Campo de aceleraciones locales t  Determinar el campo de aceleraciones convectivas



  



1  V 2    V  V  ?? 2

 V  0 (Campo Armónico e Irrotacional)

 

1   V 2  6t  3  6xt  i  36t 2 y j  144t 2 zk 2 MECÁNICA DE FLUIDOS I

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 Determinar el campo de aceleraciones totales:













a  6 x  6xt 2  3t i  6 6t 2 y  y j  12 z  12t 2 z k 4. Que valores deben tener a, b y c, para que el campo vectorial F sea un campo potencial; si se sabe:

F  2a2 x   4b  5c  11 y  2a  4b  c  z  i  ax  2by   2c  7  z  j  21x   3a  b  y  5cz  k Solución  Condición del campo potencial

F  0



Donde:

   i j k x y z

F  Fx i  Fy j  Fz k i  F  x Fx

j  y Fy

k  0 z Fz

Desarrollando el determinante:

 Fz Fy   Fx Fz    i    y  z  z x   

 Fy Fx    j   x  y  k  0   

Donde:

Fx  2a2 x   4b  5c  11 y  2a  4b  c  z 

Fy  ax  2by   2c  7  z  Fz  21x   3a  b  y  5cz   Fz Fy   z  y

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    3a  b    2c  7   0  3a  2c  b  7 (I ) 

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 Fx Fz   z  x    2a  4b  c    21  0  2a  4b  c  21 (II )    Fy Fx      a     4b  5c  11  0  a  4b  5c  11 (III ) y   x Resolviendo por métodos numéricos las ecuaciones (I), (II) y (III), resulta :

a2 b3 c 5

5. Siendo la velocidad una función de los parámetros “x” e “y” del plano y siendo V la componente de la velocidad en la dirección “y”: Vy = 4x2 + 3xy - 2y.2 Encontrar la componente de la velocidad en el otro eje, para que cumpla con el movimiento solenoidal y la ecuación de continuidad. Solución  Datos

V  f ( x, y ) V  Vx i  Vy j Vx  ?? Incognita Vy  4 x 2  3 xy  2 y 2  Condiciones: a) Movimiento solenoidal

V  0.........( I )

b) Ecuación de Continuidad

V  0

Vx Vy   0................................( II ) x y  Desarrollo de (II):

Vx  (3x  4 y )  0 x Vx  (3x  4 y ) x MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Vx  (3x  4 y)x

Vx     (3xx   4 yx)   3x 2  Vx     4 yx   C  2. 

Vx  

3x 2  4xy  C 2

6. Que relación deben tener a, b, c, para que el campo velocidad V sea un campo solenoidal.

V   a 2 x  by  c 2 z  i  ( x  b2  r 2 y  z ) j  (c 2  2r 2 ) z k . Solución

  V  0. Condición de campo solenoidal V  (a 2 x  by  c 2 z )  x Vx Vy Vz     0; Donde Vy  ( x  b 2  r 2 y  z ) x y. z  2 2 Vz  (c  2r ) z Vx  a2 x

Donde:

Vy y.

 a2

 b2  r 2

Vz  (c 2  2r 2 ) z



 (b 2.  r 2 )

 (c 2  2r 2 )

Vx Vy Vz    a.2  (b 2  r 2 )  (c 2  2r 2 )  0. x y z a 2  b2  c 2  r 2

El campo solenoidal tiene la característica de un movimiento esférico. 7. Dado un campo de flujo, cuyo potencial (  ) esta dado por  = axy, para un flujo plano. a) verificar la ecuación de continuidad. b) Hallar la función corriente para esta función  . Solución: MECÁNICA DE FLUIDOS I

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a) Ecuación de continuidad:   V  0.

(1)

Donde: V   (Condición del campo potencial de V )

(2)

 = Función potencial escalar de velocidad. (2) (1): 2  0

De (3):

(3).

 2  0 (Flujo Plano) z 2

 2  2  2   0 x 2 y 2 z 2

 2  2   0 ; Donde:   axy x 2 y 2

  2  ay  0 x x 2   2  ax  2  0 y y   2  0

 2  2   0 (L.q.q.d) x 2 y 2

o

b) Hallar la función corriente para esta función (  )

  Función corriente en el plano (xy).

 1  Función corriente en el plano “y”.  2  Función corriente en el plano “x”.   1  2 De las ecuaciones de Cauchy – Riemann en coordenada rectangulares:

   y x   Vy    x y Vx 

Vx 

    ay y x

Vx  ay  MECÁNICA DE FLUIDOS I

 y

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   a  yy y2  1  a  C1 2 Función corriente para el eje “y” (la constante es con respecto al eje “x”) y C1 = C1(x)

Vy  

    ax x y



  ax y   ax y

   a  xx 2  a

x2  C2 2

Función corriente para el eje “x” (la constante es con respecto al eje “y”) y C2  C2 (y)

   1   2 

1 a( y 2  x 2 )  C 2

1 2

  a( y 2  x 2 ) Función genérica de corriente.

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ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, y que sirven para resolver numerosos problemas que se presentan en la práctica. I.-Definiciones Previas 1.- Sistema El sistema se define como una porción fija de materia. Aunque su forma y su tamaño pueden variar con el tiempo, lo esencial de la definición es que la masa del material que comprende el sistema no se altere con el tiempo. Por ejemplo, un sistema puede constar de cierta masa de agua encerrada en un recipiente flexible. El agua puede pasar al estado de vapor por medio del calentamiento, con un aumento considerable del volumen en cuestión. Mientras no se produzca una transferencia de masa a través de las paredes del recipiente, no se viola el concepto de sistema. El estado de un sistema es una condición particular de éste, que puede especificarse por medición y observación. Algunas propiedades del sistema están asociadas con un estado dado y, entre ellas, se cuentan el volumen, la densidad, la presión y la temperatura. En última instancia, se puede decir que el estado del sistema está determinado por la observación y medición de sus propiedades. Estas pueden dividirse en dos grupos: las que por naturaleza son independientes de la cantidad de materia, denominadas propiedades intensivas y las que, como el volumen y la masa, dependen de la cantidad de materia en consideración y que se conocen como propiedades extensivas. 2.-Volumen de Control El primer punto de análisis que debe presentarse es una definición de los tipos de volumen, en los que se determinarán las características del flujo. Nos referimos a los dos siguientes: 2.1.-Volumen de control no deformable. Este tipo es un volumen fijo en el espacio, relacionado a un sistema de ejes coordenados, que puede estar en movimiento, respecto a un sistema absoluto.

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2.2.-Volumen de control deformable. Se dice que un volumen de control es deformable, cuando parte de su superficie, o toda ella, está en movimiento en un instante dado. Si la superficie se mueve en tal forma que no la atraviese ninguna materia, el volumen de control es un sistema. Cada tipo de volumen de control representa simplemente una región de interés particular, en la cual estableceremos formas de las leyes básicas. El concepto de volumen de control no deformable, puede ilustrarse, observando que el que se selecciona para estudiar el flujo en una tubería, podría ser el volumen interno, comprendido entre dos puntos, a lo largo de su longitud. El sistema de coordenadas de referencia podría ser cualquier sistema fijo relacionado con el tubo. Un buen ejemplo de un volumen de control deformable es el de un balón que se llena de aire por medio de un tubo. El balón no es un sistema, por que su masa no es constante. La boquilla de entrada del balón es la única parte de la superficie que no se deforma, cuando entra el aire. II.-Principio de la Conservación de la Materia “La masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado dentro del flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen”. Si el volumen que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido. El principio de conservación de la materia o principio de conservación de la masa, también se expresa como: “El aumento de masa, en un tiempo t, del fluido contenido en un volumen dado, será igual a la suma de las masas del fluido que entran a este volumen, disminuida de las que salen”:

MI  MII

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( MI ) = masa del sistema en el tiempo t , ( MII )= masa del sistema en el tiempo t  t , Es decir la masa en el sistema permanece invariable:

m1  m2  ms  me Donde:

m1  mt  masa en el volumen de control en el instante “ t ”.

m2  m(t  t)  masa en el volumen de control en el instante” t  t ” me  masa que entra en el volumen de control en el intervalo” t ” ms  masa que sale del volumen de control en el intervalo “ t ” m(t)VC  m(t  t)VC  mS  mE Dividiendo entre t ordenando y tomando límites cuando t  0 :

mE  mS lim m(t  t)VC  m(t)VC lim ( ) ( ) t  0 t t  0 t (

dm d )VC  (mE  mS ) dt dt M  QM ; t

Donde:

(

dm M )VC   rapidez de variación de la masa contenida en el volumen de control, y dt t

d (mE  mS )  QM  gasto o caudal neto de masa entrante en la unidad de tiempo. dt MECÁNICA DE FLUIDOS I

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113

Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra, sumadas algebraicamente; así, el principio de la materia, aplicado a un volumen de control fijo completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa de la forma siguiente: “La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de tiempo ( QM ), mas la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen (

M ), es igual a t

cero”, matemáticamente se expresa así:

QM 

M 0 t

(α)

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño diferencial, que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad.

III.-Ecuación Diferencial de Continuidad 

Aplicable a problemas de flujo con potencial.



Para obtenerla aplicamos el principio de la conservación de la materia, al volumen de control diferencial mostrado en la fig, (de lados dx, dy y dz).



En el eje “y”, en un instante de tiempo “dt”, por la cara ABCD, entra una masa:

v y dxdzdt MECÁNICA DE FLUIDOS I

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114

y por la cara EFGH, sale una masa:

v y   )dydxdzdt v y  ( y   Luego el paralelepípedo considerado pierde, al pasar la masa de la cara ABCD a la cara EFGH, la diferencia de masas que entran y que salen, asignándoles una convención de signos a las masas que salen del volumen de control, como positivas (+) y negativas (-) a las masas entrantes, luego, la masa perdida o cantidad neta de masa que atraviesa estas caras será:

dmy  (

v y y

)dydxdzdt

Trasladando “dt” al primer miembro, entonces tendremos: la cantidad neta de masa que atraviesa las caras normales al eje “y”, en la unidad de tiempo, también conocido como gasto másico:

QMy  (

v y y

)dydxdz

(I)

Por razonamiento similar, la cantidad neta de masa que atraviesan las caras normales a los ejes “x” y “z”, son:

v x )dxdydz x

(II)

v z )dzdxdy z

(III)

QMx  ( QMz  (

Por lo tanto la cantidad neta de masa que atraviesa las superficies de frontera del volumen en la unidad de tiempo, o caudal de masa o gasto de masa (Q M), será:

QM  QMx QMy QMz

(IV)

Sustituyendo (I), (II) y (III) en (IV):

QM  (

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v y y

)dydxdz + (

v x v z )dxdydz + ( )dzdxdy x z

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(A)

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115



Ahora, finalmente calculemos la “ rapidez de variación de la masa contenida en el volumen de control diferencial:

M ()  t t Por lo tanto:

M (dxdydz )  t t 

(B)

Sustituyendo (A) y (B) en (α):

(

v y y

)dydxdz + (

v x v z (dxdydz ) =0 )dxdydz + ( )dzdxdy + x z t

Y puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la ecuación anterior se puede simplificar y ordenando, resulta:

(

v y v x v z  ) +( )+ = 0 ) +( x z t y

Los tres primeros sumandos de la ecuación anterior, representan el desarrollo del producto escalar:

  (v) Por lo tanto, la expresión superior, se reduce a:

  (v) +

 =0 t

(β)

Donde (β), es la Ecuación Diferencial de Continuidad. La expresión (β), también se puede expresar de la siguiente forma:

()  v  (  v) 

 =0 t

(β’)

La expresión (β’), también es la Ecuación Diferencial de Continuidad, ha sido obtenida después de aplicar las propiedades vectoriales; es decir (β) y (β’) son dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad, que es la general para

un

flujo

compresible

no

permanente;

admitiendo

las

siguientes

simplificaciones: MECÁNICA DE FLUIDOS I

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116



Flujo Compresible Permanente

 =0 t Luego sustituyendo en (β), resulta:

  (v) = 0 

Flujo Incompresible no Permanente ρ = Cte. Entonces:

  0

y

 =0 t

Sustituyendo las relaciones arriba indicadas en (β’), resulta:

(  v)  0 Y puesto que “ρ” es diferente de cero, entonces:

(  v)  0 

(ө)

Flujo Incompresible Permanente ρ = Cte

y

 =0 t

Luego:

  0 Sustituyendo las expresiones arriba indicadas en (β’):

(  v)  0 Luego, análogamente al caso anterior, resulta:

(  v)  0

(ө)

“Por lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se cumple que la divergencia de v es cero”.

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117

Un flujo se considera incompresible, si los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables; en caso contrario, el flujo es compresible. Los líquidos y gases a bajas velocidades pueden ser considerados incompresibles. El flujo de un gas con velocidades entre 60 y 90 m/s se puede considerar incompresible, siempre que no exista intercambio de calor en el exterior. IV.-Ecuación de Continuidad para una Vena Líquida La vena líquida mostrada en la figura está limitada por su superficie de contorno (que generalmente coincide con una frontera sólida, o por esta y una superficie libre) y por las secciones transversales (1) y (2), normales al eje que une los centros de gravedad de todas las secciones. Las velocidades en cada punto de una misma sección transversal poseen un valor medio “v”, que se considera representativo de toda la sección y de dirección tangencial al eje de la vena.

Se considera el volumen elemental de líquido mostrado en la fig. , limitado por la superficie de contorno, que envuelve a la vena líquida, así como por dos secciones transversales normales al eje de la vena, separadas la distancia “ds”, donde “s” representa la coordenada curvilínea siguiendo el eje de la vena. Aplicando el principio de la conservación de la materia, al volumen elemental en estudio:  Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen elemental en estudio, es:

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(vA )   QM  vA  ds  vA s  

 (vA )  QM   ds  s 

(Φ)

 Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen elemental en estudio, es:

M () (Ads )   t t t Tomando extremos, resulta:

M (Ads )  t t

(ΦΦ)

El principio de conservación de la masa establece: (Φ) + (ΦΦ) = 0 Resultando:

 (vA )  (Ads ) =0  s ds + t   Sin cometer prácticamente error se puede aceptar, en la mayoría de los casos, que la longitud “ds” del elemento de volumen considerado no depende del tiempo. Este puede salir de la derivada del segundo término de la ecuación anterior y simplificarse con el que aparece en el primero, de lo cual resulta:

 (vA )  (A )  s  + t = 0  

(ε)

Recordando que ρ, v, A; son funciones de “s” y “t”, al desarrollar las derivadas parciales indicadas se obtiene:

A

v A  A   v  vA  A 0 s s s t t

(δ)

Como:

v MECÁNICA DE FLUIDOS I

s ; t

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119

Sustituyendo la última expresión en (δ), resulta:

A

v ds A ds  A    A  A 0 s dt s dt s t t

Sacando factor común “ρ” del segundo y cuarto sumando y “A” del tercero y quinto sumando de la ecuación anterior, y aplicando el concepto de diferencial total de “A” y de “ρ”, al ser funciones ambas de “s” y “t”, resulta:

A

v dA d  A 0 s dt dt

Dividiendo esta última expresión entre, ρA, resulta:

v 1 dA 1 d   0 s A dt  dt

(φ)

La expresión (φ), es la Ecuación de Continuidad para una vena líquida donde se produce un flujo no permanente y compresible. Si el escurrimiento es permanente las derivadas con respecto a “t” que aparecen en la ecuación (ε), se eliminan y esa misma ecuación se simplifica, en:

 (vA )   s  = 0   O, bien:

 v A  Cte. Si además el fluido es incompresible: vA = Cte.

(ξ)

La expresión (ξ), significa que “el gasto que circula por cada sección de la vena líquida en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones transversales, tales como (1) y (2) de la misma vena líquida, se cumple que el gasto que circula por ellas es constante”: Q =V1 A1 = V2 A2

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Principio de Cantidad de Movimiento La cantidad de movimiento de un elemento de masa “m”, es el producto de esta por su velocidad. Sea “ C ” la cantidad de movimiento:

C  mv La ecuación de cantidad de movimiento de un cuerpo libre o volumen de control se deriva de la segunda ley de Newton, que establece lo siguiente: “La suma vectorial de todas las fuerzas F que actúan sobre una masa de fluido es igual a la rapidez del cambio del vector cantidad de movimiento de la masa del fluido”, es decir: Si:

C  mv F F

d (m v) dt

d (C)..........(1) dt

Calculando el d(C) :

d mv   dmv Además:

dm   d ; dC   v d

C    v d..........(2) 

Reemplazando (2) en (1):

F

 d    v d  ........(3) dt   

Haciendo:    v    (x,y,z,t) , una función vectorial ligada al movimiento. Luego, de la expresión (3): MECÁNICA DE FLUIDOS I

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I    v d 

I    d 

Y sea “ I1” la función”I” incrementada un d :

I1 

    d d .........(4) 1

1

Para hallar el valor de “I1” necesitamos los valores de: d y d1 sabiendo que:

d 

    dt  dx  dy  dz ; t x y z

Dividiendo la expresión anterior entre dt:

d  dt  dx  dy  dz     dt t dt x dt y dt z dt Además se sabe:

dx dy dz  vx;  vy;  vz dt dt dt

d       vx  vy  vz dt t x y z d    (v  ) dt t

d 

 dt  (v  ) dt.....................(5) t

Además se sabe por deformación volumétrica de los fluidos que: “la velocidad de deformación volumétrica relativa, coincide con la suma de velocidades de deformación lineal”, es decir:

d1  d v x v y v z    d dt x y z

d1  d  v d dt MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Despejando d1 :

d1  (  v)ddt  d d1  (  v)dt  1 d....................(6) Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en la ecuación (4).

I1   (  d)d1 1

   I1     dt  (v  )dt  (  v)dt  1 d t       I1     dt  (v  )dt  (  v)dt  (  v)dt dt  (  v)dt(v  )dt d t t   Siendo “dt” un tiempo muy pequeño, por lo tanto dt 2 , es una cantidad despreciable por lo cual se considera cero, reduciéndose la expresión anterior a:

I1 



 ((v  )dt    t dt  (  v)dt)d



     I1      dt  (v  )dt  (  v) dt  d     t

Por definición de producto escalar:

  (v)  ()  v  (  v)

Luego:

     I1         (v)  dt d ……………………. (7)  t    Ahora:

     I1  I         (v)  dt d    d  t    

     I1  I         (v)  dt   d  t    MECÁNICA DE FLUIDOS I

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    I1  I       (v)  dt d t     Dividiendo (I1 - I) entre dt.

I1  I          (v)d dt t  

dI    d     (v)d dt  t 

dI    d   (v)  d dt  t  d  dA  1, al considerar un volumen de control de profundidad la unidad.

dI    d   (v)  (dA  1) dt  t A

dI    d   (v)  dA dt  t A La dirección del dA es perpendicular al área, es decir: dA  dA

dI    d   (v)  dA dt  t A Se sabe que:

I   d 

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 d   (  dt)   d   (v )  dA dt t  A

  v

También se sabe que:

d (v) (   v d)   d   (v)(v  dA) dt t  A Pero de (3) se sabe que:

F

 d   vd  ; Por lo tanto: dt   

(v) d   (v)(v  dA)  t  A

F

Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de los fluidos conocida como la ecuación o principio de la cantidad de movimiento. Para el caso especial del movimiento permanente la ecuación general de la cantidad de movimiento se simplifica a:

    F   (v )( v  dA ) A

Puesto que se sabe que en un flujo permanente las propiedades del flujo y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir que la velocidad y la densidad en un punto permanecen constantes. Se sabe que el vector velocidad y el vector área son ambos perpendiculares al área, es decir:

v  dA  v // dA  v  dA  vdA cos0

v  dA  vdA La fuerza quedaría:

F  v  (v dA) A

F  v  (vdA)  (v)(v A) A

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Se sabe que: Q  v  A pero como v // A , entonces Q  vA cos 0

Q  vA Entonces la fuerza quedaría:

F  Q v Si tuviéramos el siguiente volumen de control:

Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada extremo de la porción de fluido entre ambas secciones actúa una fuerza, como se muestra en el gráfico. Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza sería:

F  Q v Entonces las fuerzas seria:

F1   Q v1

F2   Qv 2

y

Las velocidades son:

v1  v1X i  v1Y j

y

v 2  v 2X i  v 2Y j

Las fuerzas quedarían:

F1  Q(v1X i  v1Y j) F2  Q(v 2X i  v 2Y j) La sumatoria de las fuerzas en los ejes X e Y son: MECÁNICA DE FLUIDOS I

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F

X

 Q(v1X  v 2X )

F

Y

 Q(v1Y  v 2Y )

Principio de la Cantidad de Movimiento Aplicado a la Corriente Líquida Sea la vena liquida siguiente:

El sentido de los vectores de las secciones transversales siempre saliente de la vena liquida y perpendicular a la sección, es decir:

dS2  n2 dS2 dS1  n1 dS1 Donde n1 y n2

son vectores unitarios perpendiculares a las secciones S1 y S2

respectivamente. Por el principio de la cantidad de movimiento se sabe que:

  (v )   F .d   (v )( v  dA ) . t  A Pero como el flujo es liquido y se sabe que los líquidos son incompresibles, por lo tanto la

densidad de un punto a otro no varia, es decir:

  0 , y la fuerza resultaría: t

F   (v)(v  dA) A

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En cada sección transversal se desarrolla una fuerza; es decir en S1 se produce una fuerza y en la sección S2 se produce una fuerza

F1

F2 y la suma de ambas nos da la fuerza total que

actúa en la vena liquida.

F  F1  F2    (v1 )(v1  dS1 )    (v 2 )(v 2  dS2 ) S1

S2

Si se acepta que los filetes son rectos y a lo más con suave curvatura, se puede decir que las velocidades son perpendiculares a las secciones transversales y además que el sentido n1 es opuesto al sentido de

 v 1 , se puede escribir que: v1  n1v1

;

v 2  n2 v 2

v1 // dS1  v1  dS1  v1dS1 v 2 // dS2  v 2  dS2  v 2dS2 La fuerza quedará:

F    ( n1v1 )(v1dS1 )    ((n2v 2 ))(v 2dS2 ) S1

S2

F    n1v1v1dS1    n2 v 2 v 2dS2 S1

S2



  2  F   v m2 2 n2S2  v m nS 1 1 1



Por ser un flujo permanente, el caudal es igual en ambas secciones transversales:

Q  v m2 S2  v m1S1



   F   v m2 v m2 S2n2  v m1 v m1S1n1



   F   v m2 Qn2  v m1Qn1





Y como se ha aceptado que los filetes sean rectas con la más suave curvatura, entonces se puede decir que: MECÁNICA DE FLUIDOS I

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   n  n1  n2 Por lo tanto:

 



   F   v m2 Qn  v m1Qn   F   ( v m2  v m1 )Qn



Entonces:

F   Q Vm n

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129

Dinámica de los Fluidos Perfectos Estudiaremos el elemento diferencial ortoédrico, situado en el interior de la masa de un fluido en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto del fluido y a la acción de fuerzas exteriores o de masa.

Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente:

p

p dx ; x

p

p dy ; y

p

p dz z

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.

F = Resultante de la Fuerzas externas unitaria o Fuerza total externa por unidad de masa (concentrada en el centro de gravedad de la masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico de volumen d  dxdydz );

F Xi Y j Z k Donde X, Y y Z son las componentes de la fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa. Siendo “m” la masa de una partícula en movimiento y A su aceleración interna y R la fuerza que actúa, se puede escribir:

mA  R

mA x i  mA y j  mA z k  Rx i  Ry j  Rzk

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Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales, cuando existen movimientos relativos: m Ax = Rx …. (1) m Ay = Ry….. (2) m Az = Rz ….. (3) Desarrollo de (1):

pdydz  (p 

p dx)dydz  Xm  mA x x

Pero: m = masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico =  d

m   d ……. (4) pdydz  pdydz  

p dxdydz  Xdxdydz  dxdydzA x  0 x

p dxdydz  X.dxdydz  .dxdydzA x  0 x p  (X  A x )...........(I) x

Análogamente, desarrollando (2) y (3), resulta:

p  (Y  A y )..........(II) y p  (Z  A z )..........(III) z Sumando miembro a miembro (I), (II), y (III), vectorialmente:

p p p i j  k  (X  A x ) i  (Y  A y ) j  (Z  A z )k x y z p  (F  A).........(IV) La expresión (IV), constituye la Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica del Fluido Perfecto.

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131

Donde:

p=

presión media que actúa sobre las caras del volumen diferencial ortoédrico más próximo al origen de coordenadas.

=

densidad del fluido

F=

Fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa; que depende del volumen considerado, como por ejemplo el peso. Es una aceleración, pero externa.

A= Si

Aceleración (interna) de la partícula fluida.

A = 0, entonces: p  F

Que es la Ecuación Vectorial General de la Hidrostática o Ecuación de Euler (no hay desplazamiento relativo). De la expresión (IV), despejando, A resulta:

Se conoce que:

A

1 A   p  F............(5) 

v 1  (v 2 )  (  v)  v........(6) t 2

(6) en (5) Ecuación vectorial de la Dinámica del fluido perfecto o Ecuación de Euler:

v 1 1  (v 2 )  (  v)  v   p  F..........( M ) t 2 

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Ecuación de Bernoulli Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo gravitacional. Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento permanente. En estas condiciones, de la Ecuación ( M ), o Ecuación de Euler: -

V  0 ; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en un punto se t mantienen constantes).

- Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, en estas condiciones:

F  X i  Y j  Zk Donde

:

X=0 Y=0 Z =-g

Luego:

F  gk Y que reemplazándolo en la ecuación anterior resulta:

1 1 (v 2 )  (  v)  v   p  gk 2  Proyectamos la expresión vectorial en la dirección dr (vector direccional de la partícula):

dr  dx i  dy j  dzk

1 1 (v 2 )  dr  (  v)  v   dr   p  dr  gk  dr ........( ) 2 

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Casos: 1.-Movimiento Irrotacional:

v  0 Luego: (  v)  v   dr  0

1 1 (v 2 )  dr   p  dr  gk  dr ........() 2  Cálculo de:

1 (v 2 )  dr 2 1 1  v 2 v 2 v 2  (v 2 )  dr   dx  dy  dz  ..........(A) 2 2  x y z 

1 p  dr  1 1  p p p  p  dr   dx  dy  dz  ..........(B)    x y z 

gk  dr gk  dr  gdz..........(C) Reemplazando (A), (B) y (C) en (  )

1  V 2 V 2 V 2  1  p p p   dx  dy dz     dx  dy dz   gdz 2  x y z   x y z  

1 1 d(v 2 )   d(p)  gdz 2  1 1 d(v 2 )  d(p)  gdz  0 2  Dividiendo entre “g”:

1 1 d(v 2 ) dz  d(p)  0  2 g Ecuación diferencial de Bernoulli, se utiliza tanto para líquidos y gases. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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2) Movimiento Rotacional:

v y dr son vectores paralelos (tienden a ser colineales). Es decir que dr se considera tangente a la línea de corriente y por lo tanto paralelo o colineal con v . De la ecuación de Euler (  ):

1 1 (v 2 )  dr  (  v)  v   dr   p  dr  gk  dr ........( ) 2  Desarrollo del término (  v)  v   dr : De la figura se observa que los vectores (  v)  v  y dr ; son ortogonales, por lo tanto por definición de producto escalar: (  v)  v   dr = 0 Por lo tanto la ecuación de Euler(  ) se reduce a la expresión(  ):

1 1 (v 2 )  dr   p  dr  gk  dr ........() 2  Cuyo desarrollo es el mismo para el caso del Movimiento Irrotacional; es decir, la Ecuación Diferencial de Bernoulli:

1 1 d(v 2 ) dz  d(p)  0  2 g

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135

3) Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional, en movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional. = Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)

z

p v2   Cte.  2g

Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para un fluido incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente líquida será: 2

z1 

2

p1 v1 p v   z2  2  2  Cte.  2g  2g

“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V 2/2g), piezométricas (p/) y potencial (z) es constante” El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la Energía. Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía o la capacidad de producir trabajo: z

= Energía de posición o potencial o carga de posición

p = Energía de presión o piezométrica o carga de presión.  v2 = Energía cinética o carga de velocidad. 2g

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136

Significado de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli Primer Término: (z)

Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”. Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición respecto a “P” este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a “P”. Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición en su plano a otro plano, tenemos: Ep = W z Cuando W = 1, ya sea un kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”. “z” representa entonces la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua. Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso. Segundo Término: (V2/2g)

Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una velocidad “V”, que desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia sabemos que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento; entonces la energía cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo, estará medida por la relación:

Ec  m

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V2 2

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Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:

Ec 

W V2 g 2

Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:

Ec 

V2 2g

Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama carga de velocidad. Tercer Término: (p/)

Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y conteniendo una cierta cantidad de agua. La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos “p” y que es igual a:

p = F/S.

Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la presión “p”, si abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le da el trabajo producido por “F”. Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía que pueda poseer el líquido por la acción de “F” vale: Ep = F L

;

pero F = p S

Ep = p S L

;

pero S L = 

Ep = p  MECÁNICA DE FLUIDOS I

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138

Pero también:



Ep = p

W , 

W 

;

luego:  

W 

cuando W = 1 (kg o lb)

Ep 

p 

Esta última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior pero es cómodo considerarla como poseída por aquel.

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139

Dinámica de los Fluidos Reales La ecuación de Bernoulli es:

p1 V12 p 2 V22 ………………… (a1) Z1    Z2    2g  2g Válida para una línea de corriente de un flujo permanente, de un fluido ideal incompresible. Cada término tiene unidades de energía por unidad de peso y los tres términos se refieren a energía utilizable. De considerarse la viscosidad en el análisis anterior, aparecerá un término adicional en función del esfuerzo cortante”  ” que representaría la energía por unidad de peso, empleado para vencer las fuerzas de fricción. Este término, por razones de orden práctico se puede expresar e interpretar del modo que sigue:

Z1  Donde : hp

1 2

p1 V12 p V2   Z 2  2  2  h p1 2 …………. (a2)  2g  2g

 pérdida de energía por unidad de peso.

Ecuación que explica el principio de la energía para una línea de corriente: “La energía total por unidad de peso en (1), es igual a la energía por unidad de peso en (2) más la pérdida de la energía producida desde (1) hasta (2)”

Para una tubería se puede considerar: 1. El filete hidráulico o la línea de corriente coincide con el eje de la tubería. 2. Que, los valores de z, p y  son los representativos de cada sección.

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140

3. Que, el valor de V en esta línea de corriente no es representativo de las velocidades en la sección. 4. Que, consecuencia de “3”, conviene utilizar como valor representativo de estas velocidades, el valor medio v (velocidad media); debiendo, en consecuencia reemplazar: 2

v2 v  2g 2g Reemplazando en (a2)

Z1 

p1 V2 p V2  1 1  Z2  2   2 2  hp12 ….. (a3)  2g  2g

Ecuación de energía para una tubería en flujo permanente real viscoso bajo campo gravitacional; donde las presiones como las velocidades en las secciones (1) y (2) son las medias.

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141

Potencia de una corriente líquida Corriente líquida: son escurrimientos líquidos bajo campo gravitacional que puede concebirse formado por filetes rectos o de suave curvatura.

Hz

Sea:

p V2   2g

La carga total o energía total por unidad de peso en una sección, con respecto a un plano de referencia (m, kg-m/kg).

 Q = representa el peso del líquido que pasa por la sección en la unidad de tiempo (kg/seg). w     Q t t

 QH = representa la energía por unidad de tiempo, es decir la potencia de la corriente con respecto al plano de referencia (kg-m/seg) en la sección. Por eso:

Pot   QH

Pot   HVm S

Pot  Bm  VmS

Expresión del coeficiente de Coriolis: - La potencia elemental de un filete hidráulico o de una línea de corriente es:

 p v2  dP   z     v ds ……………………… (a4)  2g   La potencia total de toda la corriente será:

 p v2  Pot.    z     v ds ……………………… (a6)  2g  s MECÁNICA DE FLUIDOS I

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142

- La potencia total de toda la corriente que le corresponde utilizando la velocidad media será:

Pot  H  VmS ………………………………………(a7) (a6) = (a7)

 p v2  H  VmS    z     v ds  2g  s

 p v2  z  s    2g   v ds H VmS Para el caso de los líquidos;  = cte.

H

v2 S 2g  v ds VmS

p ) v ds   VmS

 (z  S

vds  v ds p 3

 H  z   s  s  V S 2gVmS   m Pero:

 v ds  V S  Q m

s

v 3 ds  p  s H  z      2gVmS  Multiplicando el numerador y el denominador por Vm2

 v ds 3

 p V H  z      2g Vm3 S  2 m s

 p V2 Bm  H   z     m ……………………….. (a8)  2g 

 v ds 3

Donde:



s

Vm3 S

 = Coeficiente de Coriolis o Coeficiente de Corrección de la Energía Cinética MECÁNICA DE FLUIDOS I

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Principio de la Cantidad de Movimiento aplicado a las corrientes líquidas.

ds1  n1ds1 ds2  n2ds2

 

   V  ds 

F    V1 V1  ds1   V2 s1

2

2

s2

Luego aceptando que los filetes hidráulicos son rectos o a lo más con suave curvatura.

V1  n1 V1 Luego:

;

V2  n2 V2

F    n1 V1V1ds1    n2 V2 V2ds2 s1

s2

F    V12ds1n1    V22ds2 n2 ; ordenando: s1

s2

F    V22ds2 n2    V12ds1n1 s2

s1

  F     V22ds2 n2   V12ds1n1  …………………. (a9) s1  s2  Pero:

Vm2Sn  VmQn

O, en particular:

2 Vm1 S1n1  Vm1Qn1

En general,

2 Vm2 S2 n 2  Vm2Qn2 2 S2 n2 " , En la Ec. (a9), multiplicando el numerador y al denominador por " Vm2Qn2 " y " Vm2

respectivamente tenemos:

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144

 V 2ds n  V12ds1n1 2 2 2 F   2  Vm2 Qn2   2  Vm1Qn1  Vm1S1n1 s1  s2 Vm2 S2 n2 

 V ds 2



Donde:

s

Vm2 S

 = Es el coeficiente de Boussinesq o Coeficiente de Corrección de la Cantidad de Movimiento

F  Q 2 Vm2  1 Vm1  Para el caso de líquidos:  

 g F

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Q  2 Vm2  1 Vm1  g 

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145

Relación entre  y  : Sea:

 V ds 2



s

Vm2 S

De la figura superior, reemplazando:

 (V



2 m

V S 2 m



ds

S

Vm2S

2 m



S

V

 V

 V)2 ds

m

S

Vm2 S

 2V

m



 2Vm V  (  V) 2  ds

 (  V)

(  V)ds 

S

Vm2 S

2

ds

S

Vm2S

El segundo término del segundo miembro se puede eliminar debido a que V, son de signos positivos y también negativos, y tomando en cuenta la simetría de la sección, entonces se cancelarán mutuamente, reduciéndose a cero, quedando:



Vm2  ds s 2 m

V S

 ( V)

2



ds

s

Vm2S

La reducción del primer término es 1, Entonces:

 (V)

2

  1

ds

s

Vm2 S

Luego:

  V  ds 2

 1

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s

Vm2 S

………………(a10)

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146

Además, se sabe que:



V

3

ds

s

Vm3 S

 V

m



 V  ds 3

3 m



S

Vm3 S

  1  3V

  V s

Vm3 S

  V  ds

2 s m

2 3  3Vm2     3Vm         ds 

Vm3 S

 3Vm

  V 

2

s

Vm3 S

ds 

  V 

3

ds

s

Vm3 S

Por similar fundamento, que en el caso anterior, el segundo y cuarto término del segundo miembro de la ecuación inmediata anterior, se reducen a cero, quedando:

3   V  ds 2

  1

 1  3

   

2

s

Vm2S

s

Vm2S

ds …………………(a11)

De (a10) y (a11) :

 1 

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 1 3

2 ……………………(a12) 3

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147

Aplicaciónes de la Ecuación de la Energía -Tubería que conecta dos depósitos o descarga entre dos depósitos,

A

EA  EB   hp B

A

HA  HB   hp B

pA VA2 pB VB2 zA   A  zB   B  hpA B  2g  2g

 A  B  1 VA  VB  0 pA  pB  0 (PA=PB= Presión atmosférica, igual a cero, trabajando con presiones relativas)

zA  zB  hpA B

zA  zB  hpA B H  hpA B ………………………….. (a13) Donde:

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B

B

A

A

hpA B   hLocalizadas   hf ………... (a14)

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148

Es decir la pérdida de carga desde A hasta B, será la suma de las pérdidas de carga debida a la fricción, más las pérdidas de cargas localizadas e igual al desnivel de las superficies libres de agua de los estanques o carga estática “H”, es decir: B

B

A

A

H   hL   hf ……………………. (a15)

De (a13) y (a14):

-Tubería que conecta dos depósitos mediante una instalación de bombeo.

EA  HB  EB   hPA B B

B

A

A

z A  HB  zB   hL   hf B

B

A

A

HB  H   hL   hf Donde: HB

= Altura dinámica total o carga neta que el agua recibe de la bomba.

H

= Altura Estática a carga estática.

B

h

L

= Pérdidas de cargas localizadas desde

hasta

es decir de la

A

tubería de succión y de la tubería de impulsión. B

h

f

= Perdidas de cargas por fricción desde

hasta

es decir las

A

producidas en la tubería de succión y en la de impulsión. MECÁNICA DE FLUIDOS I

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149

Potencia Neta o Potencia Útil de la Bomba

PotBOMBA  QHB

kg  m

PotBOMBA 

QHB 76

H.P 

PotBOMBA 

QHB 75

 C.V 

seg

Potencia Bruta o Potencia Entregada.

Pot.Bomba 

QHB 76  e

(H.P)

Pot.Bomba 

QHB 75  e

(C.V)

P BRUTA = P UTIL + P PÉRDIDA

e

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PUTIL 1 PBRUTA

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150

-Tubería que conecta dos depósitos mediante una Turbina.

B

B

A

A

B

B

A

A

B

B

A

A

EA  EB  HT   hL   hf

z A  zB  HT   hL   hf z A  zB  HT   hL   hf B

B

A

A

H  HT   hL   hf B  B  HT  H    hL   hf  A  A 

Donde: HT

= Altura o carga neta que la turbina recibe del agua.

H

= Altura o carga estática.

B

h

L

= Pérdidas de cargas localizadas desde

hasta

.

= Perdidas de cargas por fricción desde

hasta

.

A

B

h

f

A

Potencia Neta o Potencia Útil de la Turbina.

Pot TURBINA  QHT kg  m seg

MECÁNICA DE FLUIDOS I

Pot TURBINA 

QHT H.P  76

Pot TURBINA 

QHT  C.V  75

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151

Problemas de Aplicación

  r 2  1. Calcular  y  para la siguiente distribución de velocidades: V  2Vm 1     que se   R   produce en una tubería de sección circular.

Solución:

 V ds 3

Por definición se sabe que:



Pero:

  r 2  V  2Vm 1       R  

s

Vm3 S

Según dato del problema es una distribución de velocidades característica de un flujo laminar.

ds  2rdr

Diferencial de área o superficie:

V3 

8Vm3 2 2 3 R  r  R6

S  R2

Vmedia  Vm

 8Vm3 2 2 3   1      6 R  r   3 2  2rdr R   Vm R  s 







8Vm3 2 R6 Vm3 R2

R

 R

2

 r2



3

rdr

0

Simplificando e integrando resulta:



8 R8

R

2

 r2



4 R

4 0

2

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152

Reemplazando “α” en la Ec. (a12), resulta:



4 3

2. Se desea abastecer de agua a un edificio por el método cisterna – bomba – tanque elevado; con la ayuda del plano de arquitectura se ha bosquejado el sistema que se muestra en la figura. Los diámetros de las tuberías de succión e impulsión son 16” y 12” respectivamente, obteniéndose una descarga en el tanque elevado de 0.10 m3/s ¿Qué bomba seleccionaría Ud. y cual seria la presión en los puntos B y C? Nota: Considere e = 0,8 y hallar la potencia en HP La perdida de carga entre a A y B es equivalente a 4 cargas de velocidad. La pérdida de carga entre C y D es igual a 5 m. de agua

D VD2 B HB  H    hp   hp 2g A C

HB  12  VB 

Q 0,10m3 seg   0,770m seg SB  (16 x 0,0254)2 4

VD 

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VD2 V2  4 B  5m 2g 2g

Q 0,10m3 / s   1,37m / s SD  (12 x 0,0254) 4

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153

HB

1,37m s   12,00m 

 0,770m s  4

2

2g

2

2g

 5,00m

HB  17,180m Cálculo la Potencia Bruta de la Bomba.

Pot.BOMBA 

QH 75  e

1000kg m 0,10m s  17,18m  3

Pot.BOMBA

3

75  0,80

Pot.BOMBA  28.63

(H.P)

Calculo de la Presión en B

BmA  BmB  hpA B zA 

p A VA2 p V2 V2   zB  B  B  4 B  2g  2g 2g

1      

pB V2 5 B  2g

pB V2  1 5 B  2g

 0,77  pB  1 5  2g

2

pB  0,84875m  pB  848,75 kg m2  pB  0,084875kg cm2 Cálculo de la Presión en C:

Bmc  BmD  hpCD

ZC  Pero,

pC VC2 p V2   ZD  D  D  5m  2g  2g

VC  VD , entonces:



pC VC2 V2   13    C  5m  2g 2g

pC  18,00m  pC  18000kg / m2  pc  1,8kg/ cm2 MECÁNICA DE FLUIDOS I

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3.-En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45m en “A” a 0,30m en “B”.En “B” se bifurca; la tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25m de diámetro. “C” y “D” descargan en la atmósfera. La velocidad media en “A” es 0,80 m/s y la velocidad media en “D” es 1,60 m/s. Calcular el gasto en “C” y “D” y las velocidades en “B” y “C”.

QA  VA SA

Cálculo de Q A :

VA  0,80m/ s

SA  0,1590m2  QA  0,127m3 / s Por el principio de continuidad:

QA  QB V A SA  VBSB 0,127m3 / s  VBSB

SB  0,0707m2

 VB  1,80m/ s Cálculo de QD :

QD  VDSD

VD  1,60m/ s SD  0,7854m2  QD  0,079m3 / s

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Cálculo de QC :

QB  QC  QD

Despejando:

QC  QB  QD

QB  0,127m3 / s QD  0,079m3 / s  QC  0,048m3 / s Cálculo de VC :

QC  VCSC

QC  0,048m3 / s

SC  0,01767m2  VC  2,72m / s

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4.-Se desea diseñar el muro de anclaje en un corto tramo de la tubería de presión de una central hidroeléctrica. En dicho tramo se produce una reducción de la sección (1): (   24" ) a la sección (2): (   12" ); fluyendo un caudal de 0,250 m3 /s. La presión en la sección aguas abajo es 1,48 kg/cm2. Hallar el módulo y ángulo que hace con la horizontal la fuerza que soporta el muro.

a.- Cálculo de F1 : Aplicando Bernoulli entre (1) y (2): E1 = E2 2

2

p v p v z1  1  1  z2  2  2  2g  2g

z 1 0,50m z2  0,00m v1 

4Q 4(0,25)   0,868m / s 2 (24" x0,0254)2 D1

v2 

4Q 4(0,25)   3,43m / s 2 (12" x0,0254)2 D2

p1  1,48kg/ cm2  14800kg/ m2 Reemplazando los datos en la Ecuación de Bernoulli, resulta:

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p1  14860kg/ m2  1,486kg/ cm2 F1  p1A1  (14860kg/ m2 )( x0,612 m2 / 4)  4343kg. F2  p2 A 2  (14800kg/ m2 )( x0,3052 m2 / 4)  1081kg. b.- Cálculo del Módulo y Angulo de la Fuerza que soporta el muro. Aplicando la Ecuación de la Cantidad de Movimiento:

F F

x

 Q(V2X  V1X )......(A)

y

 Q(V2Y  V1Y )......(B)

De la Ecuación (A):

F1 cos 45  F2  FX 

Q (V2  V1 cos 45) g

Reemplazando los valores conocidos de F1 , F2 ,  , Q , g , V2 y V1 en la expresión anterior y despejando el valor de FX , resulta:

FX  1917,66kg De la Ecuación (B):

F1sen45  FY 

Q (0,00  V1sen45) g

Reemplazando los valores conocidos de F1 ,  , Q , g y V1 en la expresión anterior y despejando el valor de FY , resulta:

FY  3054,84kg La Resultante de la Fuerza que soporta al muro, será: 1

F  (F2 x  F2 Y ) 2

F  3606,86kg La inclinación de la Fuerza que soporta el muro:

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  arc tan(

FX ) FY

  122,118

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