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Capacitancia y materiales dieléctricos Tema IV

Prof. Wilmer A. Sucasaire M.

Enero 2018

Prof. Wilmer A. Sucasaire M.

Capacitancia y materiales dieléctricos

Enero 2018

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Capacitancia o capacidad de

Capacitancia de una esfera

un conductor

conductora

q : carga del conductor. V : Potencial del conductor. C : capacitancia o capacidad. q C= V

q : carga del conductor. q V = K0 : potencial del R conductor. C : capacitancia o capacidad. q q R C= = q = V K0 R K0 C = 4π0 R

Cálculo de la capacitancia de un condensador

Unidad de capacitancia en el SI: [Q] [C] = [V+ − V− ] C = F (Faradio) [C] = V

Submúltiplos del faradio

Q Se dene como: C = V+ − V− donde

mF = 10−3 F (milifaradio).

µF = 10−6 F (microfaradio). nF = 10−9 F (nanofaradio).

* Q: es la carga del condensador, y

pF = 10−12 F (picofaradio).

* V+ − V− = V : diferencia potencial del condensador.

aF = 10−18 F (attofaradio).

fF = 10−15 F (femtofaradio).

Condensador de láminas paralelas

E=

Q A 0

Diferencia potencial entre las placas:

V+ − V− = E d V+ − V− =

Entre las placas existe campo eléctrico uniforme: σ Q E= , σ= 0 A

Q A 0

d

De la denición de capacitancia: Q Q C= = Qd V+ − V− A 0

C=

A 0 A = 0 d d

Condensador cilíndrico

Z

~ ·u ˆ 1 ds1 + E

S1

Z S3

Z S2

Q  ~ · ˆ 3 ds3 = E u  0

Z

E (1) cos(0o ) ds1 =

S1

Z

Aplicando la ley de Gauss para ~: determinar E

I

Q ~ ·u ˆ ds = E 0 S

 ~ · ˆ 2 ds2 + E u 

Q 0 S1 Q E 2πrL = 0

E

E=

ds1 =

1 Q 2 π 0 r L

Q 0

Determinando: V+ − V−

1 Q V+ − V− = 2 π 0 L V+ − V− =

Z a

b

1 dr r

b 1 Q ln( ) 2 π 0 L a

La capacidad o capacitancia: Q C= V+ − V−

Z V+ − V− = − ZCb

~ · d~r E

1

C= o

V+ − V− = − E dr cos(180 ) Z ba 1 Q V+ − V− = dr a 2 π 0 r L

C=

Q   Q  ln( b )

1 2 π 0 L

a

2 π 0 L ln( ab )

Z Z A ~ ext · d~r ~ · d~r dW F −q 0 E ~ · d~r ~ · d~r =⇒ = = = − E dV = − E q0 Z q0 q0 B C ~ · d~r VA − VB = − E 1

dV =

C

: Todos tienen la misma carga.

Condensadores en serie

VA − VD = (VA − VB ) + (VB − VC ) + (VC − VD )

V = V1 + V2 + V3

q = q1 = q2 = q3

V = V1 + V2 + V3 q
q q q 1 2 3 =  + + C C1 C2 C3 1 1 1 1 = + + C C1 C2 C3

Condensadores en paralelo

potencial.

: Todos tienen la misma diferencia

V = V1 = V2 = V3 q = q1 + q2 + q3 C V = C1  V V V 1 + C2  2 + C3  3   

C = C1 + C2 + C3

Energía de un condensador cargado

dU = V dq , q dq C Integrando:

dU =

Z 1 q q dq = q dq C 0 0 C   1 q2 q q2 U= = C 2 0 2C Z

dW = dq V

q

U= donde V =

q C

U=

q2 CV2 qV = = 2C 2 2

Ejercicios de Condensadores

1. En el sistema de condensadores de la gura, en el punto A se mantiene potencial constante de 60 V mientras que el punto B está conectado a tierra. Calcular: a) Capacidad equivalente, b) la carga de cada condensador, c) el potencial en el punto D, y d) la energía del sistema.

2. Determinar la capacitancia equivalente de la disposición de condensadores de la gura. Si la diferencia potencial aplicada es de 120 V, hallar la carga y la diferencia potencial de cada condensador así como la energía del sistema.

4. Todas las capacitancias están en µF: C1 es de 8,0 µF y C2 es de 6,0 µF. a) Calcule la capacitancia equivalente de la red entre los puntos a y b (2 pts). b) Determine la carga en los capacitores cuando

Vab = 240

V (2 pts).

C2

y la carga equivalente,

5. Cuatro capacitores están conectados como se muestra en la gura. a) b)

Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos Calcule la carga de cada uno de los capacitores si

a y b. Vab = 15 V.

Polarización de la materia

Dipolos moleculares:

Los dipolos quedan alineados, y el material queda polarizado. Cuando los dipolos se someten a un campo eléctrico:

Condensador de láminas paralelas con dieléctrico

Sin dieléctrico:

Con dieléctrico:

Experimentalmente:

C = Kd , C > C0 C0 C : Capacidad del condensador con dieléctrico. C0 : Capacidad del condensador en el vacío. Kd : Constante dieléctrico. C = Kd 0

A d

 Kd ≥ 1 V0 = Kd V V0 V = Kd E0 = Kd E E0 E= Kd

=1 para vacío. > 1 para dieléctrico. V < V0

E < E0

Los dieléctricos y la ley de Gauss del campo eléctrico

Z ΦE = E

ds = E A  (2)

S

Igualando las ecuaciones (1) y (2):

EA= E= En el interior del conductor no existe campo eléctrico. ~ es: ∴ El ujo del E Q q − q0 ΦE = =  (1) ε0 Zε0 Z ~ ΦE = E•u ˆN ds = E ds S

S

Q , donde Q = q − q 0 . ε0

q − q0 q q0 = − ε0 A ε0 A ε0 A | {z } | {z } E0

E0

E = E0 − E 0 ~ : Campo eléctrico con dielétrico. E ~ 0 : Campo eléctrico en el vacío. E ~ 0 : Campo eléctrico inducido. E

Carga inducida

De la relación: E0 = Kd E Reemplazando el campo eléctrico en el vacío (E0 = ε0qA ) y el campo eléctrico en un medio 0 dieléctrico (E = q−q ε0 A ): q

ε0 A  = Kd q−q 0  ε0 A 

q = Kd q − q0 q = q − q0 Kd   1 q =q 1− Kd Kd   1 q0 = q 1 − Kd

q0 = q −

q 0 : carga inducida; q : carga libre.

Reformulando las leyes de Gauss y de Coulomb para un medio dieléctrico

La ley de Gauss

Z

Q ~ •u E ˆN ds = ε 0 ZS q − q0 ~ •u E ˆN ds = ε0 S De la carga inducida se tiene: q q0 − q = Kd q : carga libre. q0

Z

~ •u E ˆN ds =

S

q Kd ε0

ε = Kd ε0 ε: Permitividad eléctrica del medio. Z

q ~ •u E ˆN ds = ε S

: carga inducida. La ley de Coulomb

* Fuerza eléctrica en el vacío: ~ 0 = 1 q1 q2 u ˆr F 4π ε0 r2

* Fuerza eléctrica en un medio dieléctrico: 1 q1 q2 ~ = ˆr F u 4π Kd ε0 r2

Potencial y Campo eléctrico en un medio dieléctrico

Potencial eléctrico debido a una carga puntual * Potencial en el vacío:

V0 =

1 q 4 π ε0 r

* Potencial en un medio diléctrico:

V =

1 V0 Kd

V =

1 q 4 π Kd ε0 r

Campo eléctrico debido a una carga puntual

~ 0 en el vacío: * E ~0 = E

1 q ˆr u 4π ε0 r2

~ en un medio dieléctrico: * E ~ = 1 E ~0 E Kd 1 q ~ = ˆr E u 4π Kd ε0 r2

LOS TRES VECTORES

* De la relación del campo eléctrico en un medio dieléctrico: q − q0 q q0 E= = − ε0 A ε0 A ε0 A | {z } | {z } E0

ε0 E =

E0

q0

q − A A

q q0 = ε0 E + A A q * Desplazamiento eléctrico: D = A q0 * Polarización: P = A La P también se da como: momento dipolar eléctrico (~p = q ~d) por unidad de volumen (V ).

q0 d p = Ad V * En el medio dieléctrico de la placas paralelas: P =

D = ε0 E + P ~ = ε0 E ~ +P ~ Tres vectores. D

Ejercicios

1. La gura muestra una placa dieléctrica de espesor b = 0,5 cm y constante dieléctrica Kd = 7 colocada entre las placas de un condensador de láminas paralelas y cuya área de placa es 100 cm2 y la separación es a = 1,0 cm. Se aplica una diferencia de potencial V = 100 V cuando no hay dieléctrico. Entonces se desconecta la batería y se introduce la placa dieléctrica. Calcular: a) b) c) d) e) f) g)

La capacitancia La carga libre

C0

antes de introducir el dieléctrico.

q.

La intensidad del campo eléctrico en el hueco. La intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico. La diferencia de potencial entre las placas. La capacitancia al estar colocado el dieléctrico. El desplazamiento eléctrico y la Polarización.