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• Miguel Angel Jimenez Zuluaga

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CAP´ITULO 5 ´ CAPACITANCIA Y DIELECTRICOS.

5.1.

Resumen de la teor´ıa de la ley de Gauss.

La capacitancia se denota con la letra C y se define como: Q (5.1) V Para un capacitor de placas paralelas de ´area A separadas por vac´ıo una distancia d, la capacitancia est´a dada por: C=

Q ϵo A = (5.2) V d Para un capacitor conformado por dos conductores esf´ericos, conc´entricos de radios a y b separados por vac´ıo la capacitancia est´a dada por: C=

Q 4πϵo ba = (5.3) V b−a La capacitancia equivalente de capacitores en serie de capacitancias C1 , C2 , ...., est´a dada por: C=

1 1 1 = + + ... C C1 C2 La capacitancia equivalente de capacitores en paralelo de capacitancias C1 , C2 , ...., est´a dada por: C = C1 + C2 + ... La energ´ıa potencial almacenada en un capacitor en equilibrio sin diel´ectrico est´a dada por: 1

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´ CAP´ITULO 5. CAPACITANCIA Y DIELECTRICOS.

1 1 Q2 Ep = CV 2 = = ... 2 2C La constante diel´ectrica κ definida como κ = CC0 . Tambi´en puede expresarse en t´erminos de la permitividad el´ectrica del medio dada por ϵ = κϵ0 .

5.2.

Preguntas conceptuales.

1. Si se duplica la diferencia de potencial en un capacitor entonces se puede afirmar que la capacitancia: a) se duplica, b) disminuye a la mitad, c) aumenta a m´as del doble, d) siempre permanece igual. 2. Se tiene un capacitor de placas planas paralelas de ´area y separaci´on iniciales A0 y x0 respectivamente. Luego se modifica simult´aneamente el ´area y la separaci´on a valores A0 y x0 . Si la capacitancia permanece constante entonces se debe cumplir que: a) A0 x = x0 A. b) A0 x0 = xA. c) AA0 = xx0 ϵ0 . d) A0 x = x0 Aϵ0 . 3. Un capacitor de placas paralelas se conecta a una diferencia de potencial y se carga completamente. Luego se desconecta y la distancia que separa las placas se reduce a la mitad, si la energ´ıa potencial almacenada inicialmente era Ep0 , E E la nueva energ´ıa es: a) Ep0 . b) 2Ep0 . c) 2p0 . d) 4p0 Ep0 . 4. Se tienen 3 capacitores id´enticos. Para lograr la mayor capacitancia al juntarlos se debe poner: a) los 3 en serie, b) los 3 en paralelo, c) dos en serie y su resultante en paralelo con el tercero, d) dos en paralelo y su resultante en serie con el tercero. 5. Con los 3 capacitores del problema anterior se hacen 4 arreglos diferentes y se conecta a una diferencia de potencial de 10 V. La m´axima cantidad de carga se transfiere cuando se ponen: a) los 3 en serie, b) los 3 en paralelo, c) dos en serie y su resultante en paralelo con el tercero, d) dos en paralelo y su resultante en serie con el tercero.

5.3.

Problemas.

1. Considere dos alambres largos paralelos y con cargas opuestas, de radios d y separados una distancia D. Suponiendo que la carga se distribuye uniformemente sobre la superficie de cada alambre, demuestre que la capacitancia por 0 unidad de longitud de este par de alambres est´a dada por: CL = lnπϵ D−d d

2. En la figura 5.2 se muestran dos capacitores de placas paralelas puestos en serie, la secci´on central tiene longitud y y se puede mover de manera horizontal.

5.3. PROBLEMAS.

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Figura 5.1: Gr´afica del problema 5-1.

Hallar la capacitancia del arreglo en t´erminos de x, y y el ´area de las placas y mostrar que su valor es independiente de la posici´on de la secci´on central. R/ ϵ0 A C = x−y , El valor es indepenendiente de la posici´ on de la secci´ on central. y

x

Figura 5.2: Gr´afica del problema 5-2.

3. Un capacitor de esferas conc´entricas con una esfera interior de radio a y carga +Q est´a rodeado de una esfera de radio b y carga −Q. Mostrar que la ab capacitancia est´a dada por: C = 4πϵ0 b−a 4. 4. Con un material diel´ectrico de constante k, se llena parte de un capacitor esf´erico y otro de placas paralelas y luego se conectan como se muestra en la figura 5.3. Determinar la capacitancia equivalente del sistema. Para el capacitor de placas paralelas suponer que el ´area es L2 , la separaci´on es 3r. R/ 4πϵ0 krab ϵ0 kL2 + r(2k+1) . b(r−a)+ka(b−r) 5. En la figura 5.4 se ilustra un tipo de capacitor variable mec´anico que se puede usar, entre otras aplicaciones, para sintonizar emisoras. El dispositivo est´a formado por una serie de placas met´alicas fijas llamadas estator y por otras m´oviles llamadas rotor, el cual se puede mover mediante una perilla. Determinar la capacitancia m´axima y m´ınima de un condensador variable de n placas de ´area A con polaridad alterna, las cuales est´an separadas una distancia x. R/ C = ϵ0xA (n − 1).

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´ CAP´ITULO 5. CAPACITANCIA Y DIELECTRICOS.

a

Figura 5.3: Gr´afica del problema 5-3.

Figura 5.4: Gr´afica del problema 5-5.

6. Con un material diel´ectrico de constante k, se llena la mitad de un capacitor de placas paralelas y luego se conectan como se muestra en la figura 5.5. Determinar la capacitancia equivalente del sistema. Para el capacitor de placas paralelas suponer que el ´area es L2 , la separaci´on es d.

a

Figura 5.5: Gr´afica del problema 5-6.

7. Algunos teclados de computador tienen bajo cada tecla un capacitor y al presionar la tecla cambia la capacitancia manteniendo el voltaje fijo; esto hace que la carga cambie y de esta forma se logre enviar a la computadora la se˜ nal de la tecla accionada. Para ilustrar lo anterior, suponer que se tiene una capacitor de placas paralelas con vac´ıo en medio cuya capacitancia es de C = 5,2 × 10−13 F (0.52pF), el cual est´a sometido a una diferencia de potencial constante de 12

5

5.3. PROBLEMAS.

V. Al presionar la tecla que se ilustra en la figura 5.6 se reduce la separaci´on a la mitad, determinar: a) la cantidad de carga que sale del capacitor al circuito de la computadora, b) el cambio en la capacitancia.

d

Figura 5.6: Gr´afica del problema 5-7.

8. Para el arreglo mostrado en la figura 5.7, encontrar: a) la capacitancia equivalente, b) si se desconecta la fuente y el sistema se pone en paralelo con un capacitor de 9 µF, calcular la energ´ıa del nuevo sistema y la cantidad de carga que se transfiere al nuevo capacitor.

24 F

24 F

18 F

+ V=2000 V

-

18 F

12 F

6 F

18 F 12 F

Figura 5.7: Gr´afica del problema 5-8.

9. Para los arreglos mostrados en la figura 5.8, encontrar: a) la capacitancia equivalente, b) la carga en cada capacitor, c) la energ´ıa que se almacena en cada sistema. 10. Se tiene un capacitor de placas paralelas y en ´el se introduce un material diel´ectrico de constante k como se ilustra en la figura 5.9. Suponiendo que el ´area de las placas es A = aL y que la profundidad del diel´ectrico es a. a) Demostrar que: C = ϵd0 (A − ax(k − 1)); b) si el capacitor se mantiene a una diferencia de potencia constante V , mostrar que la fuerza necesaria para introducir el diel´ectrico con una rapidez constante est´a dada por: F = p ϵ0 a (k − 1)V 2 (sugerencia recuerde que en este caso Fx = − ∂E . 2d ∂x

6

´ CAP´ITULO 5. CAPACITANCIA Y DIELECTRICOS.

6 F

12 F

12 F

12 F

27 F

+

+

-

-

V=20 V

V=200 V

12 F

12 F

24 F

12 F

Figura 5.8: Gr´afica del problema 5-9.

Figura 5.9: Gr´afica del problema 5-10.

11. Un capacitor plano de placas paralelas de ´area A y separaci´on d, se llena completamente con un diel´ectrico cuya constante diel´ectrica var´ıa linealmente desde k1 , en una placa hasta k2 en la otra. Si k1 < k2 , demostrar que la 1 capacitancia est´a dada por: C = ϵ0dA k2 −k k2 . ln( k ) 1

12. Un capacitor de placas paralelas cuadradas, tiene tres diel´ectricos como se muestra en la figura 5.10. Determinar la capacitancia en t´erminos de k1 , k2 , k3 , L y d.

L d

L/2

Figura 5.10: Gr´afica del problema 5-12.

13. Se tiene un capacitor de cilindros conc´entricos muy largos, el cilindro interno tiene radio R y el externo b, se ponen dos diel´ectricos que llenan completamente el espacio entre ellos. Uno tiene constante diel´ectrica k1 y va desde R hasta un radio a, el otro tiene constante diel´ectrica k2 y va desde a hasta b tal como se

5.3. PROBLEMAS.

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muestra en la figura 5.11. Mostrar que la capacitancia por unidad de longitud est´a dada por: C = L

2πϵ0 . − k12 ln ab

1 ln Ra k1

Figura 5.11: Gr´afica del problema 5-13.

14. Un capacitor tiene placas cuadradas cada una de lado L. Una de las placas est´a horizontal y la otra se inclina respecto a la horizontal un ´angulo θ muy peque˜ no como se muestran en la figura 5.12, muestre que la capacitancia est´a dada por: (sugerencia: el capacitor puede dividirse en franjas diferenciales que est´an en paralelo). ϵ0 L2 C≈ d

( ) Lθ 1− . 2d

Figura 5.12: Gr´afica del problema 5-14.

15. Un par de placas met´alicas de ´area A est´an dispuestas como se muestra en la figura 5.13, la placa inferior est´a fija y la superior est´a suspendida de un resorte de constante k de tal forma que las placas quedan separadas una distancia d. Luego las placas se somenten a una diferencia de potencial V , quedan cargadas con cargas +Q y −Q y el resorte se deforma por la atracci´on electrost´atica entre las placas. Si se retira la fuente de potencial sin descargarlas placas, ¿Cu´anto se debe deformar el resorte para lograr la separaci´on original entre las placas?

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´ CAP´ITULO 5. CAPACITANCIA Y DIELECTRICOS.

k

k

+

d

-

Figura 5.13: Gr´afica del problema 5-15.

V