, www.fisica2013.blogspot.com www.fisicax2.blogspot.com CAPACITANCIA • MATERIALES DIELECTRICO S • P OLARIZACION CAPAC
Views 107 Downloads 0 File size 4MB
,
www.fisica2013.blogspot.com
www.fisicax2.blogspot.com
CAPACITANCIA • MATERIALES DIELECTRICO S • P OLARIZACION CAPACITAN CIA ras de un capacitar.
e
om
Es la carga almacenada por unidad de potencia l en tre las sp
ot
.c
= q/.ó.v og
• La capacitancia de un condensador Ideal de placas paralel...::. bl
e
og
sp
ot
.c
om
• En dieléctricos polarizados uniformemente es posible considerar que la polarización se debe a una distribución de cargas superficiales ligadas. sobre las s u perficies del dieléctrico.
w
w
w
.f
is
ic
a2
a es el a ngu la e n tre el vec tor unitario n orma l a la s u perficie ii y el vector polarización. • La densida d de carga Ugada (JI> aparece co n la pola rización de u n d ieléctri co. estA fija en la muestr a y no p uede moverse con libe rtad . {se entiende qu e e s la car ga de po!ariza clón ql> la que no puede moverse, o sea 0"1> A l. • En cambio la carga libre es la que e s tá pres ente s obre o d entro de u n conductor y pu ede move rs e con entera libertad. cu a ndo h ay ca m pos eléctricos ( Clj = 0J A ). • La polarización de un d ieléctrico linea l Ideal e s tá relacion a da con el campo en s u
inte rio r med iante p =
t Eo E
X es conocida co mo s u scepUb ilida d e léct rica . • La carga ltbre en las placas de un conde nsa dor con dleléctrtco estA dada por CJJ=EoE+ ,P
• La Indu cción eléctrica o d esplazamiento e léctrico D es Igual a D=EoE+ P
donde E representa una suma de campos microscópicos producidos por Atamos o moléculas Individuales y D es un campo macroscópico que provie ne de la polarl7.aclón de un cierto volumen macroscópico.
• 66
FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR
www.fisica2013.blogspot.com
[CAP. 17
www.fisicax2.blogspot.com
• La ley de Gauss en sis temas en que haya n sustanc ia s dieléctricas se puede expresar
como
fs
(EoE+P).n d a = f
D. n da =q¡
s
dond e Cl¡ es la carga libre total den tro d e la superficie gauss lana S. • Otra relación im portante es D=(l+X)EoE=EE
donde
E
es la permisividad o permlUvldad del dieléctrico.
• La cons tante del dleléclrtco está expresada mediante K = E/f.o = I + X
sabiendo que E = ( 1 + X ) €o.
om
CONDICIONES DE FRONTERA EN E, P Y D
a2
01
3.
bl
og
sp
ot
.c
D,
-_ .. -~ - - ' -
.f
is
ic
Medio 1 Medio 2
2
w
w
w
~edio
. ------•• -
r7- K.
""--,...........
". EJp
=
E 2p
;
D 1n - D 2n
= 01
ésto Implica una discontinuidad de la componente normal de D cuando hay carga libre en la frontera. En ausencia de carga libre. la componente normal de O es con tinua a través de la Interflcle. aunque ahí existan cargas Ilgadas de polarización. La continuidad de la componente paralela a E
!ie = ~ Xl
y
l!11pllca que
~ = D21' K,
X2
IS
Además. se demuestra que
y
= °1
• CAPACITANCIA. MATERIALES DIElECTR1COS • POLARIZACIQN
CAP, 17\
www.fisica2013.blogspot.com
67
www.fisicax2.blogspot.com
o lo que es lo mismo 1 1 ( 1 + - ) PI,. - ( I + - ) P2n ::: O¡ XI X2 Mediante la ley de Gauss aplicada al campo electrico E1n-E:z" Se puede demostrar
tambl~n
1 = Eo(O¡+Ob)
1 = Eo(D¡n-D:ln+Ob)
que
51 la región 1 es el vacio y la reglón 2 es un dieléctrico, la expresión anterior se redu ce al caso especial P .
n
=
0b
En todas las relaciones anteriores. los subíndices n y p representan a las com ponentes normal y paralela a la lnterncle . lo gs po t. c
om
• Por lo general. 01 será cero en los casos mas simples que comprenden el equilibrio electrostático de sustancias dieléctricas ordinarias .
ca 20 1
3. b
• Las condiciones de fronlera son Importantes para determinar cómo funcionan los capacitares en presencia de dieléctricos.
w
w
w
.f
is i
Ademas, son Importantes en la leona de la óptica geométrica, y se pueden uUIi7.ar para comprender el comportamiento de la luz en la frontera entre dos matetiales,
PREGU NTAS
1 . La d iferencia de pote ncial o tensión e n u n capacitar de placas paralelas se reduce a la m itad, por lo que dismin u ye la can tidad de e ne rgia a lmacen ada. ¿En q u e fac tor cambia?
Cuando se red uce a la m ita d la d iferen cia de potenclaJ entre pla cas, la e ne rgta pote ncial es Up¡ = ~C(!J.2V ) 2
Rpta.: +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
la energía pote ncia l a lm acenada se r educe a la cuarta parte de s u valor tnlctal. Por lo tan to,
2. Indique 51 la capacitancia de un capacitar depende de la diferencia. de patenclal. Describa lo que pudiera suceder cuando la diferencia de potencial de un
• 68
FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR
www.fisica2013.blogspot.com capacltor crece Inconmensurablemente.
- CONDENSADORES EN PARALELO
r
R p ta.: La capacitancia de un condensador está dada por
e:::
q/ó V
AV
1
Se observa qu e e depende de la diferencia de potenciaL SI dicha tensión aumentara Inconmensurablemenle. la capacidad dlsmlnuIJ1a h asta hacerse nula, lo cual Indica que se produce ruplura e l ~ctr1ca del aire y el condensador ya no almacena energla. sino que se comporta como un conductor eléctr1co.
w
.f
C; los condensadores.
cl
w
•1- +11-
• ---¡+II-
w
- CONDENSADORES EN SERIE
C,
El capacitar equivalente debe tener la mIsma carga. El potencial es la suma de los potenciales Individuales. Entonces, la capacitancia equiva lente esta dada por C = -'L = .6.V
Compara ndo
En este caso, la carga tota l es la suma de las cargas Individuales. Como el potencIal es el mismo, la capacitancia equivalente esta dada por
e
9
.6.VI +.6.V2 .
=
q¡ + lb .6.V
Compa ra ndo e con
y
c, --~ .V
ot
.c
om
e I -- iL .6.V
20
13
.b
lo g
sp
s e deduce que la capacitancia equivale nte es mayor que el y r ¡" El campo eléctrico cst' dado por
,
= 4(5 X l 0 - SF)(30000V)2
= 22,51 Con los mismos datos del caso anterior se ob-
y la densidad de energía 1
M= 2"EtIt:
,
• 84
FUNDAMENTOS DE FISICA SUPERIOR
www.fisica2013.blogspot.com Rccmpluando el valor de E u=
1 Q' 321't2Eo ,4
23. Una densidad uniforme de car ga está distribuirla dentro de una esfera pequeña de 10- 13 cm de radio. Si la canti da d de car ga es In de un pr otón, 1,6x 10 - 19 e, halle la densidad de ener gía y la energía tot al en todo el espacio. ¿Cuánta energía contiene una esfera de 5 cm de radio, si la densidad de energía. es unifonne y tiene el valor dado por la densidad de energía ohtenida antes a r = 0,5x 10 - 3 cm?
... [1]
PUIIQ = 1O-6 C
.-----;----, Il
=
3.576XlO-4(~)
,
11m 3
CALCULO DEL RADIO R DE UNA ESFERA TAL QUE LA MITAD DE LA ENEROlA AL.. MACENADA ESTE DENTRO DE ELLA.
Solucl6n
La densidad de energía dentro de una esfera con densidad uniforme de carga se puede calcular utilizando la expresión 121 del problema anterior.
El pot.encial dentro de una esfera de radio RestA dado por
Así tenemos
v, =
Q2,2 om
"¡"lltW' :
Q2,2
ca 20 1 w
'3~2-n~"'-o
... (2)
w
" =
w
.f
is i
Con esto, la densidad de energía resulta
R'
2 "
Enlonces
2
1 n liL.) 4xr 2 dr '" 32n: 2Eo ,4
I
=
" UlUla .
(
2
O 32n:
Ea
R
ParaQ: 1.6)( 1O - 19 C
1 6)41tr dr
La cnergía LOtal en todo el espacio será
U,o,," :
In tegrando
.!
Q2
~
= :3~2~n~" .. ~ "
~
1
R
"".una, : 9.ISS XI0 60 ,2 J / m 3j
blema anterior.
estar dentro de una esfera de radio R (
I
La densidad de energla fuera de la esfera pequeña se puede calcular con la fórmula II J del pro-
Como la mitad de la energía almacenada debe
f-
:3~2-n~" ..- R'
ParaQ : 1.6)(1O - 19 C y R= IO -U m 3. b
E, =
lo gs po t. c
Entonces, el campo eléctrico en la dirección radial será.
-1
[CAP. 17
www.fisicax2.blogspot.com
_
Q2
2 (8nEa'¡ ) - 40xEoR de donde, plIIa, I = 0,5 m. se obtiene
""
f ("dI! )'1'I.ria, + f (u dv )u ",,u,,
' J
(
O
12 3211: EO
,,
~)47t ,2d'+ R
• CAP. 171
CAPACITANCIA· MATERIALES D1ELECTR1COS • POtAR1ZAC10N
www.fisica2013.blogspot.com
85
www.fisicax2.blogspot.com La densidad de energía está dada por
ParaQ = 1,6x 1O- 19 C
IU
1 , u~ =2Eo E y R = 1O- IS m
I
,.¡= t,38xIO-'3 l
IDI
Como ya se vio, la densidad de energía dentro de una esfera está dada por ¡,¡ bt.unQ~
= 9.155 x 10
"" ,
l/m
=
,
La energía almacenada en el capacitor cilíndrico
"
Para una densidad constante de energía, tomandounradio, = O,5xlO- S rn ¡'¡jllu~io,
= 2,289x lO
U=JII..dv
" l/m ,
Entonces, la energía almacenada dentro de la esfera de radio 0,05 m será om
u= (2,289XlOS0~)[11t(O,05m)31
.c
m
1
ot
nEo "
... ['J
'2
og
sp
I
1
(---¡
Hallando la diferencia de potencial entre electrodos (armaduras del capacitor)
a2
01
3.
bl
u
47 = 1,20x 10 1
, =...9....-,
aV = JEdr
.f
is
ic
24. Partiendo de u t = Eo E 2/2 verifique w
w
Solución
J' ,
w
por integración sobre la región de campo entre los electrodos, que la energía total almacenada en un capacitor cilíndrico puede expr esarse como q (óV )/2, e n que óVes la diferencia de potencial entre los electrodos.
=
1
1
( - - - ) d,
"
n
4nS'_ ,2 ~
1
1
=~(---¡
4"Jt to "
'2
Finalmente, reemplazando esta e~prcsi6n en [. ) se obtiene
., 25. Dos condu ctores cilfnd ricos huecos largos, delgados y coa xial es, con radiosr, yr¡ +x, respectivamente, tienen las Ca r b'8s q ¡ Y - 2q,. r espectivamente, en una longitudl. (a) E va l úe el campo eléctrico e n cada región d el esp a cio. (b ) Obt enga la
86
¡CAP, 17
FUNDAMEN TOS DE FISICA SUPERIOR
www.fisica2013.blogspot.com
www.fisicax2.blogspot.com
densidad de energía en todas partes. (e) Determine la ca nti dad de energía por unidad de longitud que contiene el espaci o e n tre
108
El signo negalivo obtenido ind ica que el campo estA dirigido radia lmente hacia adentro.
condu ctor es . (d ) Determine la
b) La densidad de energía en todas pan es la cal· cularemos mediante
fuerza de atracción entre los conductores para la longitud l . Solución
-Cuandor < ' l' El campo eléctrico es nulo, y entonces
- Cuandor >
'¡'
om
La densidad de energía no toma en cuenta el sentido del campo eléctrico. ya que en cualquier caso se produce energfa electrostática.
ca 20 1
3. b
lo gs po t. c
Entonces
111) El campo eléctrico en cada región del espacio
w
w
w
.f
is i
lo calcularemos utilizando la ley de Oam!. - Cuando r < '¡" La carga almacenada es cero, y entonces
e) La energra almacenada entre los conductores
está dacia por
- Cuando'l