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CAPÍTULO

2 ANALISIS DE REDES DE DOS PUERTAS O CUADRIPOLOS.

INTRODUCCIÓN. Analizaremos los circuitos que cuentan con una puerta de entrada y otra de salida. La Figura 2.1 nos muestra un cuadripolo básico, donde están definidas las variables de entrada y de salida. Figura 2.1 El modelo de dos puertos se usa para describir el desempeño de un circuito en términos del voltaje y la corriente en sus terminales de entrada y salida. El principio fundamental que subyace en la modelación presentada corresponde a que sólo las variables de los terminales(v1, i1, v2, i2) resultan de interés. No nos debe preocupar el cálculo de voltajes y corrientes dentro del cuadripolo.

La red que representa el cuadripolo está sujeta a varias restricciones, las que se indican a continuación: a) b) c) d)

No existen fuentes de energía independientes dentro del cuadripolo. No existe energía almacenada en el cuadripolo. La corriente que entra a cada puerta es igual a la que sale. No existen conexiones externas entre los dos puertos o puertas.

Estas restricciones simplemente limitan los problemas de circuitos a los cuales se les puede aplicar la formulación o teoría de cuadripolos.

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2.1 ECUACIONES DEL CUADRIPOLO. De las cuatro variables en los terminales, las formas en que ellas se pueden relacionar, respecto a cuales son independientes o dependientes, nos entrega los distintos parámetros que caracterizan al cuadripolo. A continuación se indican las seis formas posibles en las cuales se pueden combinar las cuatro variables: 2.1.1 Variables independientes (I1,I2), variables dependientes (V1,V2). Parámetros de impedancia Z V1 = z11 I1 + z12 I2 V2 = z21 I1 + z22 I2 2.1.2 Variables independientes (V1,V2), variables dependientes (I1,I2). Parámetros de admitancia Y I1 = y11 V1 + y12 V2 I2 = y21 V1 + y22 V2 2.1.3 Variables independientes(I1,V2), variables dependientes(V1,I2) Parámetros híbridos H V1 = h11 I1 + h12 V2 I2 = h21 I1 + h22 V2 2.1.4 Variables independientes(V1,I2), variables dependientes(I1,V2) Parámetros híbridos G I1 = g11 V1 + g12 I2 V2 = g21 V1 + g22 I2 2.1.5 Variables independientes (V2,-I2), variables dependientes (V1,I1). Parámetros de transmisión T V1 = A V2 + B(-I2) I1 = C V2 + D (-I2) 2.1.6 Variables independientes (V1,I1), variables dependientes (V2,-I2). Parámetros de transmisión inversos V2 = A’ V1 + B’I1 -I2 = C’ V1 + D’ I1

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2.2 DETERMINACION DE PARAMETROS. Analizaremos las formas de poder determinar los parámetros definidos anteriormente. 2.2.1 PARÁMETROS Z: Para los parámetros de impedancia Z, estos quedan definidos como: z11 = (V1 /I1 ) con I2= 0 z12 = (V1 /I2 ) con I1= 0 z22 = (V2 /I2 ) con I1= 0 z21 = (V2 /I1 ) con I2= 0 Todos estos parámetros de impedancia se calculan en condiciones de circuito abierto, alguna corriente cero, por lo cual también se denominan parámetros de impedancia o de circuito abierto. A continuación se indica el método para obtener los parámetros de impedancia para un cuadripolo: - Para determinar z11 y z21, conectar una fuente de tensión en los terminales de entrada y abrir los terminales de salida. - Calcular I1 y V2 en función de V1 y después calcular z11 y z21 según su ecuación. - Para determinar z22 y z12, conectar una fuente de tensión en los terminales de salida y abrir los terminales de entrada. - Calcular I2 y V1 en función de V2 y después calcular z22 y z12 según su ecuación. 2.2.2 MÉTODO GENERALIZADO PARA CALCULAR Z . Si la red no permite fácilmente determinar los parámetros de impedancia Z usando el método anteriormente descrito, se indica a continuación un procedimiento más generalizado, el cual está basado en que no existe energía almacenada en el cuadripolo, especialmente fuentes independientes de tensión o de corriente. El procedimiento es como sigue: .- Escribir las ecuaciones de nudos del sistema, con lo que el conjunto de ecuaciones será: I1 = n11 V1+ n12 V2 + n13 V3+ ........+ n1k Vk I2 = n21 V1+ n22 V2 + n23 V3+ ........+ n2k Vk 0 = n31 V1+ n32 V2 + n33 V3+ ........+ n3k Vk 0 = nk1 V1+ nk2 V2 + nk3 V3+ ........+ nkk Vk donde nij representa la admitancia entre los nudos i y j.

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Volviendo al sistema de ecuaciones de nudos y resolviendo para las tensiones V1 y V2 se tendrá:

V1   11 /   I1    21 /   I 2

V2   12 /   I 1    22 /   I 2 De estas ecuaciones, los coeficientes que acompañan a las corrientes corresponden a los parámetros de impedancia Z. z11 = 11 / 

z12=  21 / 

z21= 12 / 

z22=  22 / 

A partir de estas ecuaciones es posible determinar algún otro conjunto de parámetros del circuito. 2.2.3

PARÁMETROS Y

Para los parámetros de admitancia Y, estos quedan definidos como: y11 = (I1 /V1 ) con V2= 0 y12 = (I1 /V2 ) con V1= 0 y22 = (I2 /V2 ) con V1= 0 y21 = (I2 /V1 ) con V2= 0 Todos estos parámetros de admitancia se calculan en condiciones de corto circuito, alguna tensión cero, por lo cual también se denominan parámetros de admitancia o de corto circuito. A continuación se indica el método para obtener los parámetros de admitancia para un cuadripolo: - Para determinar y11 y y21, conectar una fuente de tensión en los terminales de entrada y cortocircuitar los terminales de salida. - Calcular I1 y I2 en función de V1 y después calcular y11 y y21 según su ecuación. - Para determinar y22 y y12, conectar una fuente de tensión en los terminales de salida y cortocircuitar los terminales de entrada. - Calcular I2 y I1 en función de V2 y después calcular y22 y y12 según su ecuación. 2.2.4 MÉTODO GENERALIZADO PARA CALCULAR Y. Si la red no permite fácilmente determinar los parámetros de admitancia Y usando el método anteriormente descrito, se indica a continuación un procedimiento más generalizado, el cual está basado en que no existe energía almacenada en el cuadripolo, especialmente fuentes independientes de tensión o de corriente. El procedimiento es como sigue: .- Escribir las ecuaciones de mallas del sistema, con lo que el conjunto de ecuaciones será:

V1 = m11 I1+ m12 I2 + m13 I3+ ........+ m1k Ik

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V2 = m21 I1+ m22 I2 + m23 I3+ ........+ m2k Ik 0 = m31 I1+ m32 I2 + m33 I3+ ........+ m3k Ik 0 = mk1 I1+ mk2 I2 + mk3 I3+ ........+ mkk Ik donde: mii representa la impedancia total de la mallas i mij representa la impedancia común entre las mallas i y j. Volviendo al sistema de ecuaciones de nudos y resolviendo para las tensiones I 1 e I2 se tendrá: I1   11 /  V1    21 /  V2

I 2   12 /  V1    22 /  V2

De estas ecuaciones, los coeficientes que acompañan a las tensiones corresponden a los parámetros de admitancia Y. y11 = 11 / 

y12=  21 / 

y21= 12 / 

y22=  22 / 

2.2.5 PARÁMETROS HÍBRIDOS H. Para los parámetros híbridos H, estos quedan definidos como: h11 = (V1 /I1 ) con V2= 0 h21 = (I2 /I1 ) con V2= 0

h12 = (V1 /V2 ) con I1= 0 h22 = (I2 /V2 ) con I1= 0

Según su definición, estos parámetros tienen las siguientes dimensiones: h11 = impedancia de entrada con la salida en cortocircuito. h12 = ganancia inversa de tensión con la entrada en circuito abierto h21 = ganancia de corriente con la salida en cortocircuito. h22 = admitancia de salida con la entrada en circuito abierto A continuación se indica el método para obtener los parámetros híbridos para un cuadripolo: - Para determinar h11 y h21, conectar una fuente de tensión en los terminales de entrada y cortocircuitar los terminales de salida. - Determinar I1 en función de V1 y después calcular h11 según su ecuación. - DeterminarI2 en función de I1 y después calcular h21 según su ecuación. - Para determinar h22 y h12, conectar una fuente de tensión en los terminales de salida y abrir los terminales de entrada. - Determinar V1 en función de V2 y después calcular h12 según su ecuación. - Determinar I2 en función de V2 y después calcular h22 según su ecuación. 2.2.6 PARÁMETROS HÍBRIDOS G.

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Para los parámetros híbridos G, estos quedan definidos como: g11 = (I1 /V1 ) con I2= 0 g21 = (V2 /V1 ) con I2= 0

g12 = (I1 /I2 ) con V1= 0 g22 = (V2 /I2 ) con V1= 0

Según su definición, estos parámetros tienen las siguientes dimensiones: g11 = admitancia de entrada con la salida en circuito abierto. g12 = ganancia inversa de corriente con la entrada en cortocircuito. g21 = ganancia de tensión con la salida en circuito abierto. g22 = impedancia de salida con la entrada en cortocircuito. A continuación se indica el método para obtener los parámetros híbridos G para un cuadripolo: - Para determinar g11 y g21, conectar una fuente de tensión en los terminales de entrada y abrir los terminales de salida. - Determinar I1 en función de V1 y después calcular g11 según su ecuación. - DeterminarV2 en función de V1 y después calcular g21 según su ecuación. - Para determinar g22 y g12, conectar una fuente en los terminales de salida y cortocircuitar los terminales de entrada. - Determinar I1 en función de I2 y después calcular g12 según su ecuación. - Determinar I2 en función de V2 y después calcular g22 según su ecuación. 2.2.7 PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN T. Para los parámetros T, estos quedan definidos como: A = (V1 /V2 ) con -I2= 0 C = (I1 /V2 ) con -I2= 0

B = (V1 /-I2 ) con V2= 0 D = (I1 /- I2 ) con V2= 0

Según su definición, estos parámetros tienen las siguientes dimensiones: A = ganancia inversa de tensión con la salida abierta. B = impedancia de transferencia con la salida en corto.. C = admitancia de transferencia con la salida abierta. D = ganancia inversa de corriente con la salida en corto. A continuación se indica el método para obtener los parámetros de transmisión T para un cuadripolo: - Para determinar A y C, conectar una fuente en los terminales de entrada y abrir los terminales de salida. - Determinar V2 en función de V1 y después calcular A según su ecuación. DeterminarV2 en función de I1 y después calcular C según su ecuación. - Para determinar B y D, conectar una fuente en los terminales de entrada y cortocircuitar los terminales de salida.

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- Determinar -I2 en función de V1 y después calcular B según su ecuación. Determinar-I2 en función de I1 y después calcular D según su ecuación. -

2.3 RELACIONES ENTRE LOS PARÁMETROS DE LAS REDES DE DOS PUERTAS. Los conjuntos de ecuaciones que definen los parámetros del cuadripolo, se relacionan con las mismas cuatro variables, por lo que es evidente existe una forma de, a partir del conocimiento de algún conjunto de parámetros, poder expresar el resto en función de los ya conocidos. Esto se logra a través de relaciones algebráicas, las que se demostrarán a continuación. Supondremos conocidos los parámetros Z y deduciremos los otros parámetros a partir de estos. 2.3.1 Determinar las relaciones con los parámetros Y. V1 = z11 I1 + z12 I2 V2 = z21 I1 + z22 I2 Despejando de este sistema las corrientes I1 e I2 se encuentran los parámetros de admitancia Y en función de los Z. I1 = z22/Z V1 + z12/Z V2 I2 = -z21/Z V1 + z11/Z V2 y11 = z22/Z y12 = z12/Z y21 = - z21/Z y22 = z11/Z

Z = z11* z22 - z12 *z21 Lo anterior también es posible determinarlo usando las ecuaciones en forma matricial, con lo cual se tendrá: V=Z*I despejando la matriz columna I: -1 I=Z *V por lo tanto la matriz Y es la inversa de la matriz de impedancias Z. 2.3.2

Determinar las relaciones con los parámetros H.

La técnica consiste en obtener las ecuaciones de los H a partir de los Z, usando operaciones algebráicas simples. Z a H V1 = z11 I1 + z12 I2 V1 = h11 I1 + h12 V2 V2 = z21 I1 + z22 I2 I2 = h21 I1 + h22 V2 De la segunda ecuación para Z se despeja I2, los cual nos permite escribir:

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I2 = (-z21 / z22 )I1 + V2 /z22 , con lo cual se obtienen h21 y h22 Usando esta ecuación para I2 en la primera ecuación de los Z, tendremos: V1 = z11 I1 + z12 [(-z21 / z22 )I1 + V2 /z22 ] = [ (z11*z22-z12*z21)/z22 ] I1-(z12/z22) V2 Comparando con la ecuación que definen los H, se obtienen h11 y h12 Resumiendo: h11= (z11*z22-z12*z21)/z22 h12= -(z12/z22) h21 = (-z21 / z22 ) h22 = (1 / z22 ) Las relaciones con los otros parámetros se realiza usando el mismo manejo algebráico del caso anterior. Respecto a las relaciones entre los parámetros H y G, se puede demostrar fácilmente, que matricialmente: H = G-1 G = H-1

2.4 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE LOS CUADRIPOLOS. Si se analizan las ecuaciones que definen los parámetros del cuadripolo, es posible determinar algún circuito equivalente, el que debe tener las mismas ecuaciones del cuadripolo. En particular presentaremos algunos circuitos para los parámetros Z, Y, H y G, los cuales se modelarán usando elementos pasivos y fuentes dependientes. Estos circuitos no son únicos, pudiendo existir otros que cumplan con las mismas ecuaciones. 2.4.1 Circuito equivalente en función de los parámetros Z. Se trata de encontrar una red , cuyas ecuaciones sean idénticas a las que definen al cuadripolo en función de los parámetros de impedancia Z. Las ecuaciones que se deben cumplir son: V1 = z11 I1 + z12 I2 V2 = z21 I1 + z22 I2 La red que se presenta cumple con las ecuaciones indicadas, por lo que se puede usar como un circuito equivalente.

2.4.2 Circuito equivalente en función de los parámetros Y.

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Se trata de encontrar una red , cuyas ecuaciones sean idénticas a las que definen al cuadripolo en función de los parámetros de admitancia Y . Las ecuaciones que se deben cumplir son: I1 = y11 V1 + y12 V2 I2 = y21 V1 + y22 V2 La red que se presenta cumple con las ecuaciones indicadas, por lo que se puede usar como un circuito equivalente.

2.4.3

Circuito equivalente en función de los parámetros H.

Se trata de encontrar una red , cuyas ecuaciones sean idénticas a las que definen al cuadripolo en función de los parámetros híbridos H . Las ecuaciones que se deben cumplir son: V1 = h11 I1 + h12 V2 I2 = h21 I1 + h22 V2 La red que se presenta cumple con las ecuaciones indicadas, por lo que se puede usar como un circuito equivalente.

2.4.4

Circuito equivalente en función de los parámetros G.

Se trata de encontrar una red , cuyas ecuaciones sean idénticas a las que definen al cuadripolo en función de los parámetros híbridos G . Las ecuaciones que se deben cumplir son: I1 = g11 V1 + g12 I2 V2 = g21 V1 + g22 I2 La red que se presenta cumple con las ecuaciones indicadas, por lo que se puede usar como un circuito equivalente.

2.5 CONEXIÓN DE CUADRIPOLOS

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En muchos circuitos es común que se tengan varias redes interconectadas en algún tipo de conexión. Analizaremos las interconexiones que se producen en las redes analizadas como cuadripolos. A continuación se presenta el análisis de cada caso

2.5.1 CONEXIÓN SERIE-SERIE. En este caso los cuadripolos Na y Nb están conectados en serie en la entrada y también en la salida. El circuito se muestra a continuación; se determinarán las relaciones para esta conexión.

En la puerta de entrada y de salida se obtienen dos relaciones, las que quedan definidas por el tipo de conexión y por la simple aplicación de la Ley de Kirchhoff de voltajes. Las ecuaciones en la entrada y salida son: V1 = V1a + V1b I1 = I1a = I1b

V2 = V2a + V2b I2 = I2a = I2b

Escribiendo las ecuaciones de voltaje en forma matricial, y usando las igualdades de corrrientes, se llega a que:

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V1abI1b 1 Zab* V2abI2b 2

 V1   I1     Z  V  I   2  2

 Z     Za   Zb 

La impedancia total es igual a la suma de las matrices de impedancia de los cuadripolos parciales.

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2.5.2 CONEXIÓN PARALELO - PARALELO. En este caso los cuadripolos Na y Nb están conectados en paralelo en la entrada y también en la salida. El circuito se muestra a continuación; se determinarán las relaciones para esta conexión. En la puerta de entrada y de salida se obtienen dos relaciones, las que quedan definidas por el tipo de conexión y por la simple aplicación de la Ley de Kirchhoff de corrientes. Las ecuaciones en la entrada y salida son: I1 = I1a + I1b I2 = I2a + I2b V1 = V1a = V1b V2 = V2a = V2b Escribiendo las ecuaciones de corriente en forma matricial, y usando las igualdades de tensiones, se llega a que:

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I1abV1b 1 Yab* I2abV2b 2

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I1 V1   Ya b*  I2 V2

= Y 

 V1  *   V2 

Y    Ya   Yb  La admitancia total es igual a la suma de las matrices de admitancia de los cuadripolos parciales. 2.5.3 CONEXIÓN SERIE - PARALELO. En este caso los cuadripolos Na y Nb están conectados en serie en la entrada y en paralelo en la salida. El circuito se muestra a continuación; se determinarán las relaciones para esta conexión. En la puerta de entrada y de salida se obtienen dos relaciones, las que quedan definidas por el tipo de conexión y por la simple aplicación de la Ley de Kirchhoff .

Las ecuaciones en la entrada y salida son: V1 = V1a + V1b I2 = I2a + I2b I1 = I1a = I1b V2 = V2a = V2b Escribiendo las ecuaciones en forma matricial, y usando las igualdades de corriente y de tensión, se llega a que:

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V1abI1b 1  Ha b  *  I V    2 a b 2 b  2

V1 I1   H*  I 2 V2

 H     Ha   Hb 

La matriz total es igual a la suma de las matrices de parámetros híbridos H de los cuadripolos parciales.

2.5.4 CONEXIÓN PARALELO – SERIE.

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En este caso los cuadripolos Na y Nb están conectados en paralelo en la entrada y en serie en la salida. El circuito se muestra a continuación; se determinarán las relaciones para esta conexión. En la puerta de entrada y de salida se obtienen dos relaciones, las que quedan definidas por el tipo de conexión y por la simple aplicación de la Ley de Kirchhoff .

Las ecuaciones en la entrada y salida son: I1 = I1a + I1b V1 = V1a = V1b

V2 = V2a + V2b I2 = I2a = I2b

Escribiendo las ecuaciones en forma matricial, y usando las igualdades de corriente y de tensión, se llega a que:

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I1 V1   G   V 2 I2

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I1abV1b 1 Gab* V2abI2b 2  G     Ga   Gb 

La matriz total es igual a la suma de las matrices de parámetros

híbridos G de los cuadripolos parciales.

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2.5.5 CONEXIÓN CASCADA O TANDEM. En este caso los cuadripolos Na y Nb están conectados uno a continuación del otro. El circuito se muestra a continuación; se determinarán las relaciones para esta conexión. Las relaciones que se producen en esta caso son las siguientes: Entrada: V1 = V1a I1 = I1a Centro de la conexión: V2a = V1b Salida: V2b = V2 I2b = I2

I1b = - I2a

Con estas relaciones podemos escribir que en función de los parámetros T:

 V1  I  1

 V1  I  1

=

 V1a  I   1a 

=  Ta  *

 V2a   I   2a 

 V2   I   2

=  Ta  *  Tb *

= T  *

 V1b  I   1b   V2   I   2

=

 V2a   I   2a 

=  Tb  *

 V2b   I   2b 

T  =  T  *  T  a

b

2.6 ANÁLISIS DEL CUADRIPOLO TERMINADO. En la aplicación típica de un modelo de dos puertas de una red, el circuito se alimenta por la puerta 1 y la carga se conecta en la puerta de salida o puerta 2. La Figura.. muestra el esquema de un cuadripolo terminado, tanto en la puerta de entrada como en la salida.

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Zg representa la impedancia interna del generador o fuente, Vg el voltaje interno de la fuente y la carga queda representada por la impedancia ZL. El análisis del circuito significa representar las tensiones y corrientes de cada puerta como funciones de los parámetros del cuadripolo y de las variables Zg, Vg y ZL. Existen seis características del cuadripolo terminado que definen su comportamiento:

- Impedancia de entrada: Zin = V1 / I1 -

Corriente de salida I2. Equivalente de Thevenin respecto a la puerta 2. Ganancia de corriente I2/I1. Ganancia de tensión V2/V1. Ganancia de tensión V2/Vg.

Estas seis características se pueden calcular en términos de los distintos parámetros del cuadripolo, es decir, en función de los parámetros Z, Y, H, G o T.

2.6.1 CARACTERISTICAS EN FUNCION DE LOS PARAMETROS Z. Para mostrar la forma en que se obtienen las relaciones anteriores, desarrollaremos las expresiones en función de los parámetros de impedancia del cuadripolo. Debido a los elementos conectados en los extremos del cuadripolo, se obtienen dos ecuaciones impuestas por estos elementos, más las ecuaciones propias del cuadripolo. Las ecuaciones que representan las seis características del cuadripolo terminado, se obtienen por una manipulación algebráica del conjunto de ecuaciones del sistema.

Para nuestro caso, las ecuaciones del cuadripolo son: a)V1 = z11 I1 + z12 I2 b)V2 = z21 I1 + z22 I2 Las relaciones impuestas por los elementos externos son: c)Vg = Zg * I1 + V1 d)V2 = - ZL * I2 2.6.1.1 Cálculo de la impedancia de entrada Zin.

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Para calcular la impedancia de entrada, en la ecuación b) sustituimos V2 por la ecuación d), resolviendo entonces para I2: e) I2 =( -z21*I1)/(ZL + z22) Esta ecuación se reemplaza en la ecuación a) , con lo cual podemos calcular (V1/I1): Zin = (V1 / I1) = z11-(z12*z21)/(z22+ZL)

2.6.1.2 Cálculo de la corriente de salida I2. Para determinar la corriente de salida I2 se sustituye el valor de V1 obtenido de c) en la ecuación a). Luego se despeja I1, con lo que se tiene: f) I1 = (Vg-z12i2)/(z11+Zg) Usando este valor en la ecuación e) , tendremos : I2 = (-z21*Vg)/[(z11+Zg)*(z22+ZL)-z12*z21]

2.6.1.3 Cálculo del voltaje de Thevenin. El voltaje de Thevenin con respecto a los terminales de la puerta 2 corresponde a la tensión a circuito abierto. Esto significa que cuando I2 = 0, a partir de las ecuaciones a) y b) se tendrá: VTh = V2(I2=0)= z21 * I1 = z21 * (V1/z) Pero como V1 = Vg - Zg * I1 e I1 = (Vg)/(z11+Zg) con lo cual si se reemplaza: VTh = (z21 * Vg)/(z11+Zg) 2.6.1.4 Cálculo de la impedancia de Thevenin Zth. La impedancia de salida equivalente o impedancia de Thevenin es la relación V2/I2 con Vg. nula. Sustituyendo Vg por un corto circuito, la tensión V1 se reduce a: V1 = - I1*Zg Esta ecuación origina que: I1 = (-z12*I2)/(z11+Zg) Como V2 = z21 I1 + z22 I2,entonces el resultado es: V2/I2 = ZTh = z22-(z12*z21)/(z11+Z)