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• Monik Castruita

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4.3. Aplicaciones

II. MODELOS DE SOLUCIÓN DE LÍNEAS DE ESPERA. 4.3. Aplicaciones Objetivo: El estudiante analizará los modelos de optimización de líneas de espera, examinando el óptimo de m para modelos M/M/1 y el óptimo de C para modelos M/M/C. En la unidad anterior vimos las ecuaciones para el análisis económico de los sistemas de colas de espera, las ecuaciones son: Costo total costo por esperar  costo por disponer de " n" servidores

El costo por esperar representa el costo por tener a los clientes esperando en la fila; esto puede incluir la cantidad de clientes que el negocio pierde por que se van dados los altos tiempos de espera, o el costo de la insatisfacción del cliente por estar esperando en una fila. Nótese que entre mas servidores se incluyan dicho costo disminuye por que los clientes esperan menos tiempo en la fila. El costo de disponer de “n” servidores, representa el costo por la contratación de esos “n” servidores en caso de que sean personas; o también los costos de mantenimiento y operación de dichos servidores en caso de que sean máquinas, entre mas servidores instalemos este costo aumentará. Cw = Costo por esperar una hora (generado por los clientes). Cs = Costo por disponer de un servidor una hora (generado por los servidores). En una hora, el costo total quedaría definido: CT = Costo por esperar + Costo de los servidores CT = Lq Cw + s Cs La idea es determinar el número de servidores “s” de forma tal que se minimice el costo total del proceso de colas.

Nótese que la unidad de tiempo puede definirse no solo en horas, también puede definirse en días, semanas o meses dependiendo de la naturaleza del problema. Es decir, el costo por día, semana o mes también puede describirse con la ecuación: CT = Lq Cw + s Cs Solo que los valores de Cw y Cs deben tener unidades de dinero por cada día, semana o mes dependiendo del caso. Una consideración adicional: En caso de que los clientes sean personas en un negocio donde al ser atendidos no pueden retirarse se usa Lq, ya que se considera que si un cliente está siendo atendido en una caja es muy difícil que se retire en ese momento (por ejemplo en un supermercado o en un banco); los únicos clientes que pueden retirarse son los formados en la fila, por eso es que se usa Lq (clientes en la cola) como referencia en la ecuación anterior. Pero en caso de servicios como sistemas de atención telefónica, el cliente podría retirarse colgando el teléfono o suspender el servicio. Si la naturaleza del negocio permite que el cliente se retire en la fila o en el proceso de atención; en lugar de Lq puede usarse Ls. Quedando la ecuación: CT = Ls Cw + s Cs Con las ecuaciones anteriores resuelva el siguiente caso: Ejercicio 1. La empresa STECO tiene representantes de ventas en Estados Unidos, donde en las oficinas llegan llamadas a una tasa de 40 por cada hora transcurrida; y el tiempo medio del servicio es de 6 minutos. La administración estima que $20 usd le cuesta a la empresa mantener a un cliente esperando en la línea, mientras que los operadores cobran $12 usd la hora laborada. Determine a) b) c) d)

El costo por usar un solo operador El costo por usar dos operadores El costo por usar tres operadores El costo por usar cuatro operadores

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4.3. Aplicaciones

CASO 1. KeenCo Publishing va a comprar una copiadora comercial de alta velocidad. Los proveedores le han propuesto cuatro modelos cuyas especificaciones se resumen a continuación: Modelo de la copiadora 1 2 3 4

Costo de operación ($/hr) 15 20 24 27

Velocidad (hojas/min) 30 36 50 66

Los trabajos llegan a keenCo siguiendo una distribución poisson, con promedio de 4 por día en 24 horas. El tamaño del trabajo es aleatorio y el promedio es de 10,000 hojas por trabajo. Los contratos de los clientes se especifica una multa de $80 por trabajo y por día (los trabajos deben estar listos el mismo día). Determine cual copiadora debe comprar la empresa KeenCo.

Dado que en la redacción del problema tenemos que “Los trabajos llegan a keenCo siguiendo una distribución poisson, con promedio de 4 por día en 24 horas. El tamaño del trabajo es aleatorio y el promedio es de 10,000 hojas por trabajo” Dado que la multa está indicada en número de trabajos no podemos considerar la cantidad de hojas ni en la tasa de llegadas ni en la velocidad del servicio, todo lo debemos pasar a número de trabajos; quedando: λ = 4 trabajos / día. Y la velocidad del servicio debe quedar de la siguiente forma: (solo indicado para el primer modelo de la copiadora, el alumno debe obtener el resto):

Obtenido de: Hamdy A Taha. Investigación de Operaciones. Pearson Eduación.

Solución. Dado que las multas se indican por cada día de retraso, conviene pasar los datos del problema a días; considerando que el negocio trabaja las 24 horas del día (ver redacción del problema). El costo total puede definirse como: CT = LsCw + s Cs Pero como se va a comprar solo una copiadora el número de servidores siempre será s = 1. La primera literal que requerimos Lq se alimenta de los datos de la tasa de llegadas (λ) y la velocidad del servicio (μ). Ls 

λ μλ

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4.3. Aplicaciones

Con los datos anteriores podemos calcular la cantidad de trabajos en el sistema, para cada modelo de copiadora:

CASO 2. Metalco esta contratando un mecánico para un taller con 10 máquinas. Se esta examinando a dos candidatos. El primero puede reparar 5 máquinas por hora y gana $15 cada hora. El segundo, más hábil, recibe $20 por hora y puede reparar 8 máquinas cada hora. Cada máquina descompuesta le cuesta a la empresa $50 cada hora por falta de producción; suponiendo que las máquinas se descomponen siguiendo una distribución de Poisson con una media de 3 cada hora y el tiempo reparación tiene una distribución exponencial ¿Cuál persona debe contratarse? NOTA: Use las ecuaciones del modelo 3 indicadas en la unidad anterior.

Entonces en la ecuación del costo total tenemos: CT = LsCw + s Cs s=1 Cw=$80 Cs=Costo de operación/hora x 24 horas/dia

Calcule el resto de los datos de la tabla y determine el mejor modelo a comprar.

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4.3. Aplicaciones

ACTIVIDAD 4.3. Aplicaciones. Realice el siguiente ejercicio. Entre la 1:00 pm y 5:00 pm los clientes llegan a la oficina de boletos de la zona centro de Nueva York de la United Airlines a razón de 50 por hora. El tiempo promedio que un agente de boletos pasa con un cliente es de 6 minutos. Dichos agentes ganan $20 por hora en sueldos y prestaciones y United Airlines estima que el costo mercantil (o en prestigio) de que un cliente este esperando en el centro de atención es de $25 por cada hora, mientras que el costo mercantil por que un cliente recibe atención es de $5 por hora. Si los clientes llegan a una distribución poisson y el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial. Determine el número óptimo de agentes que la aerolínea debe tener trabajando en su oficina en la zona centro entre la 1:00pm y 5:00pm.

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