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• Daniel Almanza

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FLEXION SIMPLE EN VIGAS DE CONCRETO REFORZADO

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EMEL MULETT RODRIGUEZ

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ANALISIS Y DISEÑO A FLEXION DE VIGAS1 2.1.Flexión de vigas homogéneas. 2.2.Comportamiento de vigas de concreto reforzado. 2.2.1. Esfuerzos elásticos y sección no fisurada. 2.2.2. Esfuerzos elásticos y sección fisurada. 2.2.3. Resistencia a la Flexión. 2.2.4. Efecto de las tasas lentas de carga y de carga sostenida. 2.3.Diseño de vigas rectangulares reforzadas a Tensión 2.3.1. Distribución rectangular equivalente de esfuerzos. 2.3.2. Cuantía balanceada. 2.3.3. Vigas subreforzadas. 2.3.4. Cuantía mínima de acero. 2.3.5. Vigas sobrerreforzadas. 2.3.6. Ayudas de diseño. 2.3.7. Aspectos prácticos en el diseño de vigas.- NSR-98 2.4.Diseño de vigas doblemente reforzadas. 2.5.Secciones T I Vigas canales. 2.6.Inestabilidad lateral de vigas (Park y Paulay) 2.7.Sistematización del diseño de vigas

2.1. FLEXION DE VIGAS HOMOGENEAS HIPOTESIS BASICAS El concreto reforzado no es un material homogéneo debido a que está hecho de dos materiales diferentes: Hormigón y Acero; por esta razón los métodos y fórmulas empleados en el diseño de vigas de concreto reforzado son diferentes a los usados en el diseño de materiales homogéneos como las estructuras de madera, acero, aluminio. No obstante, los principios fundamentales de la resistencia de materiales son aplicables: ♦ En cualquier sección transversal de una viga existen esfuerzos internos que pueden descomponerse en esfuerzos normales de flexión y esfuerzos cortantes. Los esfuerzos normales pueden ser de compresión a un lado del eje neutro y tensión en el otro lado; estos esfuerzos forman un par que equilibra a los momentos flectores externos aplicados. Las componentes tangenciales se conocen como esfuerzos cortantes y deben resistir las fuerzas cortantes resultantes de las cargas. ♦ Una sección transversal plana antes de la aplicación de las cargas permanece plana después de aplicada (Principio de Bernoulli ). Esto significa que las deformaciones unitarias en cualquier punto de la sección, ya sea acero o concreto, son proporcionales a la distancia del punto al eje neutro, siempre y cuando exista perfecta adherencia entre el acero y el concreto. Para la zona de compresión la hipótesis es exacta pero para la zona de tracción, una grieta 1

Resumen tomado de Nilson, 1999

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que se produzca en el concreto indica que ha habido un deslizamiento entre el acero y el concreto, lo que invalida la hipótesis para el concreto alrededor del acero. La hipótesis de Bernoulli no es válida para vigas de gran peralte o en regiones de cortante elevado. ♦ Se conoce la curva esfuerzo-deformación para el acero. Esta hipótesis dice que las propiedades esfuerzo deformación en el acero están bien definidas. Normalmente la curva se simplifica considerando un comportamiento bilineal: Uno elástico (línea recta de pendiente igual al módulo de elasticidad) y un recta horizontal de ordenada igual a la resistencia a la fluencia; quiere decir ésto que se desprecia la zona de endurecimiento por cuanto se requiere que un miembro se deforme mas de lo permitido antes de alcanzar esta zona. Sin embargo en el diseño sismorresistente puede ser necesario considerar esta zona. ♦ Se puede despreciar la resistencia a tensión del concreto. ♦ Se considera adherencia perfecta entre el acero y el hormigón. Esto quiere decir que no se presenta deslizamiento entre los dos materiales. ♦ Se conoce la curva esfuerzo-deformación para el concreto, que define la magnitud y distribución del esfuerzo a compresión. En la secuencia gráfica mostrada posteriormente se muestra cómo varía el bloque esfuerzos a compresión en el concreto con el incremento del momento flector. La sección alcanza su máxima resistencia a la flexión cuando la fuerza total a compresión multiplicada por su brazo interno de palanca es máximo A continuación se recuerdan las fórmulas de la teoría de resistencia de materiales para vigas de material homogéneo: La teoría de la Flexión dice que si el material es elástico, si los esfuerzos son directamente proporcionales a las deformaciones (Ley de Hooke), entonces los esfuerzos normales de flexión pueden calcularse mediante la fórmula:

σ=

My I

(2.1)

siendo, σ M y I

Esfuerzo normal de Flexión ( Kg/cm2) . Momento flector (Kg-cm ) Figura 2.1. Dist de esf de Flexión Distancia del eje neutro EN a la fibra o punto de la sección en estudio (cm) Momento de inercia respecto al centroide o eje neutro ( cm4).

De acuerdo con la fórmula, σ varía linealmente desde cero en el eje neutro hasta un máximo en la fibra mas alejada . Se recuerda además que en una viga el Momento M varía en magnitud a lo largo de su eje longitudinal según el tipo de carga aplicada. El esfuerzo de flexión en cualquier punto depende de la deformación unitaria en aquel punto, de la misma manera que en el diagrama esfuerzo-deformación del material. Si el

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diagrama esfuerzo-deformación para un material homogéneo es como el que se muestra en la gráfica, puede hacerse el siguiente análisis: Si la deformación unitaria máxima ε en la fibra exterior es menor que εp hasta la cual se cumple la ley de Hooke, los esfuerzos de tensión y compresión a cualquier lado del eje neutro son proporcionales a la distancia desde el eje; pero si la deformación ε es mayor que εp el esfuerzo correspondiente depende de la curva esfuerzo-deformación, es decir, para determinada deformación unitaria en la viga, el esfuerzo en un punto es el mismo del diagrama esfuerzo-deformación.

Figura 2.2. Esfuerzos en secciones homogéneas El Esfuerzo Cortante en una viga viene dado por: VQ τ= (2.2) Ib siendo, τ Esfuerzo cortante en un punto de la sección. V Fuerza cortante actuante I Momento de Inercia de la Sección respecto al centroide de la misma. Q Momento estático de área, definido con la integral: c

Q=

∫ y dA

y1

Para secciones rectangulares, el esfuerzo cortante viene dado por V h2 τ= ( − y2 ) (2.3) 2I 4

Figura 2.3

lo que demuestra que la distribución de esfuerzos cortantes es de tipo parabólica con un máximo o vértice en el eje neutro de magnitud τ = 1.5V/A y valores ceros en las fibras mas alejadas.

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2.2. COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE CONCRETO REFORZADO Las vigas de concreto simple son ineficientes como elementos sometidos a flexión debido a que la resistencia a tensión, determinada por el módulo de rotura, es pequeña comparada con la resistencia a la compresión. Por tanto, estas vigas fallan en el lado a tensión para cargas pequeñas antes que se desarrolle la resistencia a la compresión. Por esta razón se colocan barras de refuerzo en la zona de tensión, tan lejos del eje neutro como lo permitan los recubrimientos necesarios para la protección contra la corrosión y el fuego. En las vigas de concreto reforzado las tensiones entonces son resistidas por el acero mientras que el concreto generalmente resiste toda la compresión. Se examina ahora el comportamiento de una viga que se carga desde cero hasta la falla.

Figura 2.4. Comportamiento de vigas bajo carga creciente

Para carga de poca magnitud que produzcan esfuerzos de tensión en el concreto por debajo del módulo de rotura, todo el concreto resulta efectivo para resistir los esfuerzos de compresión a un lado y los de tensión al otro lado del eje neutro. A su vez, el acero, que se deforma igual que el concreto adyacente, también queda sujeto a esfuerzos de tensión. En esta etapa los esfuerzos en el concreto son proporcionales a las deformaciones (Se tiene la condición COMPORTAMIENTO ELASTICO SECCION NO FISURADA). Cuando las cargas se incrementan un poco mas, pronto se alcanza la resistencia máxima del concreto a la tensión y aparecen grietas que se propagan hacia arriba muy cerca del eje neutro que a su vez se desplaza hacia arriba con agrietamiento

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progresivo. En vigas bien diseñadas, la amplitud de las grietas es pequeña que no ponen en peligro el refuerzo a los elementos nocivos del medio ambiente, pero en cambio sí cambia el comportamiento estructural de la viga. En efecto, en una viga fisurada, el concreto no transmite tensión y todos estos esfuerzos deberán ser resistidos por el acero. Para esfuerzos en el concreto no mayores de la mitad de f’c, los esfuerzos en el mismo siguen siendo proporcionales a las deformaciones (Se tiene la condición COMPORTAMIENTO ELASTICO PERO SECCION FISURADA). Para esfuerzos mayores, se pierde la linealidad y en este caso la relación vendrá dada por la curva esfuerzo-deformación en el concreto (Ahora Se tiene la condición COMPORTAMIENTO NO ELASTICO Y SECCION FISURADA). Al seguir incrementando la carga, llega un momento en que se presenta la falla. Esta puede ser de dos maneras: Para cantidades de refuerzo moderado, es posible que el acero alcance la fluencia a tensión antes que el concreto su máxima capacidad a la compresión. Al fluir el acero se alarga y las grietas de tensión se incrementan y se propagan hacia arriba, presentándose una deflexión significativa de la viga. Cuando esto ocurre, se presentan también deformaciones en el concreto hasta que se produce una falla por compresión secundaria con una carga ligeramente mayor a la que produjo la fluencia. Este tipo de falla es gradual, precedida por agrietamiento progresivo y aumento en las deflexiones, como avisando que la viga va a colapsar. Si en cambio se usan grandes cantidades de refuerzo, la resistencia del concreto puede agotarse antes que el acero fluya. El concreto falla por aplastamiento cuando las deformaciones alcanzan niveles altos como 0.003. La falla por aplastamiento en el concreto es súbita, frágil, sin previo aviso. De acuerdo a lo anterior, el diseño de vigas debe hacerse de tal manera que si la viga se sobrecarga se presente falla dúctil (fluencia del acero y no por falla frágil (Aplastamiento del concreto). 2.2.1. ESFUERZOS ELASTICOS Y SECCION NO FISURADA Mientras que los esfuerzos de tensión en el concreto no superen el módulo de rotura, de manera que no se generen grietas de tensión, la distribución de esfuerzos y deformaciones es el de una viga elástica y homogénea. Usando la ley de Hooke que relaciona las deformaciones con los esfuerzos normales (∆L = σL/E) y recordando que en las inmediaciones del acero, la deformación del acero debe ser igual a la del concreto (compatibilidad de deformaciones: ∆acero = ∆ concreto), se tiene al igualar que: ∆a = ∆c (σL/E)acero= (σL/E) concreto ⇒ fa/Ea = fc/Ec ⇒ fa = fc (Ea/Ec ) = nfc , n= Ea/Ec fa = nfc (2.4) n= Ea/Ec Relación modular (2.5)

fa , fc Esfuerzos en el Acero y en el Concreto, respectivamente.

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Además, como tanto el área de acero como el área equivalente de concreto deben soportar la misma carga de tensión T Acero: T = fa Aa = (nfc) Aa

y T = fc Ac ⇒ Igualando (nfc) Aa = fc Ac ⇒ Ac=(fa/fc)Aa=(Ea/Ec)Aa =nAca c

(2.6)

Aa = nAa

La ecuación (2.6) indica o sugiere que el área de acero Aa se puede remplazar por un área equivalente de concreto Ac = nAa. Por tanto, la sección compuesta se transforma en una sección homogénea de concreto simple remplazando el área real de acero Aa por un área equivalente ficticia de concreto Ac=nAa localizada a nivel del acero. En el cálculo se coloca (n-1)Aa en lugar de nAa ya que debe restarse el área de acero: nAaAa=(n-1)Aa. Para sección agrietada se usa nAa.

Figura 2.5 Sección transformada para sección no agrietada

Con esta transformación la seccion se puede analizar como una viga de material homogéneo a la que pueden aplicarse las fórmulas de resistencia de materiales: se puede localizar el eje neutro de la nueva sección equivalente, el momento de inercia y finalmente los esfuerzos en el concreto y en el acero. −

Y=

(bh)h / 2 + (n − 1) As * d (bh) + (n − 1) As

(2.7) Centroide de la seccion transformada respecto a un eje de referencia

−

−

Icg = [bh 3 /12+bh( y -h/2) 2 +(n-1)As(d- y )2 (2.8) Momento de Inercia de la sección transformada respecto al c.g de la sección −

fcc=M y /Icg

(2.9)

Esfuerzo de compresión en el concreto

(2.10)

Esfuerzo máximo de tensión en el concreto

−

ftc=M(h- y )/Icg −

fa=nfc=[M(d- y )/Icg] n

(2.11)

Esfuerzo de tensión en el acero

2.2.2. ESFUERZOS ELASTICOS Y SECCION FISURADA Cuando el esfuerzo de tensión excede el módulo de rotura, se forman grietas. Si el esfuerzo de compresión en el concreto es menor de aproximadamente ½ f’c y el esfuerzo de tensión en el acero es menor que el de fluencia , entonces ambos materiales

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Figura 2.6. Sección transformada fisurada

siguen comportándose elásticamente. Esta situación es la que se presenta usualmente en las estructuras bajo cargas de servicio. El estado de esfuerzos de la sección transversal se muestra en la figura 2.6 y el cálculo puede hacerse usando la sección transformada. En este caso, como se han excedido los esfuerzos de tensión en el concreto, éste no aparece en dicha zona y los esfuerzos de tensión son absorbidos totalmente por el acero. La sección transformada consiste del concreto en la zona de compresión y n veces el área del acero en la parte de tensión. Para determinar la localización del eje neutro, dada por el parámetro k, se hace momento de área respecto al eje neutro, así: ∑AiXi=0 [b(kd)](kd/2)-(nAs)(d-kd)=0 , de donde ½ b(kd)2 + nAs(kd) - nAsd = 0. (2.12) La solución de la ecuación cuadrática da el valor de k. Con éste se puede calcular la posición del eje neutro kd, el momento de inercia de la sección transformada y los esfuerzos. El momento de inercia de la sección transformada se puede calcular como Ist=b(kd)3+nAs(d-kd)2 Fórmula de la Flexión para material homogéneo

σ=M c / I ⇒ M =σ I /c

Para el concreto a compresión

Mc = f cI /Kd

Para el concreto en la zona de tensión

Mct = fctI/(d-kd)

Como fa=nf ct

Ma= nf ct I/ (d-kd)

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Pero pueden también aplicarse los principios de equilibrio estático en la sección ∑ Fx = 0 y ∑ M EN = 0 . ∑ Fx = 0 ⇒ C=T, C=fc bkd/2 T=Asfs fc bkd/2 = Asfs De allí se puede despejar fc o fs , así

2A s f s f kdb o fs = c Estas dos ecuaciones permiten establecer una relación entre kdb 2A s los esfuerzos en el concreto y el acero para controlar que no se sobrepasen los valores admisibles una vez se fija uno de ellos. fc =

El brazo de momentos jd puede hallarse ahora, (2.13)

jd = d-kd/3 o j= 1-k/3

∑M

EN

1 = 0 Mn= fckdb(d-kd/3) o Mn=Asfs(d-kd/3). 2

Si en lugar de escribir el brazo d-kd/3 lo expresamos como jd, el equilibrio de momentos indica que el par resistente interno C(jd)=T(jd) sea igual al momento flector aplicado M, es decir, M = T (jd) = C (jd) De donde fs = M/Asjd (2.16) fc = 2M / kjbd2

(2.17)

Se define la Cuantía del Refuerzo ρ como la relación del área de acero a la del concreto: ρ = As/ bd (2.18) As = ρbd ( 2.19) Sustituyendo ρ en la primera ecuación 2.12, se puede hallar k directamente como; k=

( ρn) 2 + 2 ρn − ρn (2.20)

2.2.3. RESISTENCIA ULTIMA A LA FLEXION Así como es conveniente conocer el comportamiento a flexión de una viga para cargas de servicio, también resulta de mucho interés predecir la máxima resistencia que la sección pueda tener, es decir, calcular el momento máximo que la viga puede resistir.

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Para esfuerzos en el concreto por encima de ½ f’c la relación esfuerzo-deformación deja de ser lineal y su distribución se obtiene de la curva esfuerzo-deformación del material. Ver Figura 2.7. Se parte del hecho que la falla puede provenir por fluencia del acero en tensión o aplastamiento del concreto en compresión. Para el primer caso, se tiene que fs = fy, y para el segundo se ha encontrado experimentalmente que cuando las deformaciones en el concreto alcanzan la magnitud εcu = 0.003, se presenta la falla por aplastamiento. Observando la figura 2.7, se nota que lo importante no es conocer con exactitud la forma de distribución de los esfuerzos en el concreto sino conocer la magnitud total de la fuerza de compresión y su localización dada por βc. Para una viga de sección rectangular, el área a compresión es bc, el esfuerzo promedio en el concreto fav=α f’c , de donde se obtiene que C = α f’c bc, (2.21)

c

∫ f dA = C = αf' c

c

cb

0

c es la profundidad del eje neutro α un coeficiente por determinar.

La localización de la resultante C será una fracción β de c, es decir βc. β coeficiente también por definir. Con ésto, se pueden deducir las siguientes fórmulas: Del equilibrio de fuerzas horizontales: C=T Siendo C = α f’c bc T= Asfs Entonces, α f’c bc = Asfs Asfs De donde (2.22) c= α f' c b (A) FALLA POR FLUENCIA DEL ACERO: Haciendo fs = fy para falla por fluencia del acero y usando As = ρbd c=

ρ fyd α f' c

(2.23)

con lo cual se calcula la profundidad del bloque de compresión.. El par resistente nominal Mn vendrá dado por Mn = Tz = Cz, Mn = Cz = α f’c bc(d-βc). (2.24) Mn = Tz = As fy (d-βc) (2.25) Remplazando el valor de c en última la ecuación

z = d - βc.

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Mn = (ρbd)fy (d-β (ρfyd /αf’c ) )

(2.26)

Mn= ρ fy bd2 (1-β fyρ /αf’c ) (2.27) α se ha obtenido experimentalmente como α=0.72

para f´c < 280 Kg7cm2

f' c - 280 α=0.72 – 0.04( ), 70

para 280