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• Gerardo Manuel Giron Ramirez

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PROGRAMA DE DESARROLLO PROFESIONAL – PDP ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

Universidad César Vallejo Ley 25350

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

MÓDULO DE CONCRETO ARMADO I SEGUNDA TITULACIÓN Presentado por: Escuela de Ingeniería Civil Facultad de Ingeniería – UCV Director General Lic. Raúl Valencia Medina Director Académico Mg. Luis Barrera Arréstegui Decano de la Facultad de Ingeniería Ing. Bertha Ulloa Rubio (e) Director de Escuela de Ingeniería Civil Ing. Ricardo Delgado Arana Docente del Curso Ing. Luis Capuñay Paredes

Ing. Luis Capuñay Paredes

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PRESENTACIÓN El establecimiento de procedimientos de diseño, está condicionado al estudio del comportamiento de estructuras de concreto sometidos a diversas acciones o solicitaciones de cargas externas. Desde este punto de vista, el presente informe o guía de estudio, no está sujeto a ninguno de los reglamentos de concreto existentes en la actualidad, dado a que se considera que la preparación del proyectista no debe limitarse al conocimiento e interpretación de las normas contenidas en un reglamento, ya que éstas cambian con frecuencia. Los fines que se pretenden obtener en el presente trabajo, producto de más de 30 años de experiencia en la docencia universitaria, son la de facilitar la labor de los calculistas, poner a disposición de los estudiantes de Ingeniería Civil, una suscita exposición ordenada de algunos métodos de cálculo y finalmente ofrecer una invalorable herramienta a los profesionales de la construcción. Es mi deseo, dejar constancia de mi agradecimiento a la Universidad “César Vallejo” por haberme confiado el dictado del presente curso, pues me permite dirigir estos conocimientos a profesionales de áreas afines que anhelan, justificadamente optar por una carrera como lo es la Ingeniería Civil

Ing. Luis Capuñay Paredes

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1.1 MARCO CONCEPTUAL

Conceptual.- analiza y calcula los esfuerzos, deformaciones y deflexiones que se producen en las estructuras debido a la acción de las cargas, con la finalidad de diseñar el acero de refuerzo en las zonas de tracción y la calidad del concreto y su posible reforzamiento en las zonas de compresión.

Procedimental.- Demuestra precisión, orden y claridad en el manejo de metodologías aplicadas. Selecciona adecuadamente los materiales en la estructura de acuerdo a sus propiedades físicas y mecánicas, con criterio se seguridad y economía.

Actitud.- Reconoce y acepta la importancia de los procedimientos manuales en el diseño de las estructuras. Valora la importancia del diseño de las estructuras de concreto reforzado, dentro de la información profesional.

1.2 LINEAMIENTOS Y POLÍTICAS DEL CURSO Esta asignatura forma parte del currículo de ingeniería civil para la segunda especialidad de la universidad César Vallejo y su contenido programático es compatible con las asignaturas de Ingeniería Estructural I y II del ciclo Regular. La estructura y contenido del curso esta diseñada para lograr que el estudiante tenga una excelencia académica respecto al entendimiento del comportamiento de los elementos estructurales sometidos a cargas y permita obtener destrezas para el diseño, logrando ayudar con las exigencias del perfil del ingeniero civil en formación. Se priorizará en el curso la investigación descriptiva y aplicativa, mediante la implementación de tareas académicas cada semana, las cuales serán desarrolladas en grupos de trabajos. El curso, pertenece a la línea de estructuras y tiene como prerrequisito los cursos de Análisis Estructural I y Análisis Estructural II y a las ciencias básicas de la ingeniería como la matemática y la física; asimismo, es requisito aprobar para poder llevar los cursos de diseño Estructural e Ingeniería sísmica.

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1.3 OBJETIVOS CURRICULARES •

Calcula los esfuerzos y deformaciones de estructuras isostáticas e hiperestáticas con fines de diseño.

•

Analiza y calcula vigas y pórticos hiperestáticos con la finalidad de graficar las deformadas y diagramas de fuerzas axiales, fuerzas cortantes y momentos flectores.

•

Compara los resultados obtenidos analíticamente, a través de programas computarizados.

•

Analiza

y

calcula

los

esfuerzos

y

deformaciones

de

estructuras

indeterminadas planas, a través de cualquier método, con la finalidad de efectuar su diseño en concreto reforzado. •

Analiza y calcula los esfuerzos y deformaciones de estructuras ubicadas debajo del nivel de piso, con la finalidad de diseñarlas en concreto reforzado.

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CONCRETO ARMADO I LAS ESTRUCTURAS DE CONCRETO ARMADO: Una estructura de concreto armado se concibe como un sistema, es decir como un conjunto de partes ó componentes que se combinan en forma ordenada para cumplir una determinada función. Esta función puede ser: Salvar un vano, como en el caso de los puentes; confinar un espacio, como en el caso de los edificios; ó contener un empuje, como sucede en los muros de contención ó sostenimiento, tanques ó silos.

3

2

1

ICRUJIA

ICRUJIA

EDIFICIO PLANTAS

PUENTE EN

I

J

K

DE

3

L

E

F

G

H

A

B

C

D

SECCION TRANSVERSAL DE UN SILO MURO DE CONTENCION La estructura debe cumplir la función a la cual está destinada con un grado razonable de seguridad, de manera tal que tenga un comportamiento adecuado en las condiciones normales de servicio. Además debe satisfacer otros requisitos, tales como mantener el costo dentro de límites económicos y cumplir determinadas exigencias estéticas. Las estructuras de concreto reforzado tienen ciertas características derivadas de los procedimientos constructivos usados en la fabricación, que las distinguen de las estructuras de otros materiales. a) El concreto se prepara es estado plástico, lo que obliga a usar moldes que le dan forma y los sostienen, mientras adquiere la resistencia suficiente para que la estructura sea autosoportante. Estos moldes se determinan encofrados.

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b) La continuidad de la estructura puede lograrse fácilmente obteniéndose un monolitismo que es consecuencia natural de las características de su construcción. c) Existen dos procedimientos principales para construir estructuras de concreto. Cuando los elementos estructurales se forman en su posición definitiva, se dice que han sido construidas “insitu”. Si se fabrican en un lugar distinto al de su posición definitiva, el procedimiento recibe el nombre de “Prefabricación”.

CARACTERISTICAS ACCION RESPUESTA DE ELEMENTOS DE COANCRETO.- Las acciones de una estructura son las solicitaciones a las que puede estar sometida. Entre estas se encuentran, el propio peso, las cargas vivas o sobrecargas, las cargas de viento, las aceleraciones por sismo, etc. La respuesta de una estructura ó de un elemento, es su comportamiento bajo una acción determinada. Puede expresarse como deformación, asentamiento, durabilidad, vibración, etc.

DIEMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO .- Se entiende por dimensionamiento, a la determinación de las propiedades geométricas de los elementos estructurales y de la cantidad y posición del acero de refuerzo. Existen dos procedimientos de dimensionamiento: el tradicional, denominado de ESFUERZOS DE TRABAJO, consistente en determinar los esfuerzos correspondientes a acciones interiores obtenidas de un análisis elásticos de las estructura, bajo supuestas solicitaciones de servicio; y el procedimiento denominado METODO PLASTICO Ó DE RESITENCIA ULTIMA, según el cual los elementos ó secciones se dimensionan para que tengan una resistencia determinada introduciendo un factor de carga.

CARACTERISTICAS GENERALES DEL CONCRETO Y DEL ACERO I.- CARACTERISTICAS DEL CONCRETO a) CARACTERISTICAS ESPUERZO – DEFORMACION. P

(

f C = Kg / cm 2

AREA A Acotamiento a

)

400

Ec

300

(cm/cm)

L 200

 cm  ∈C =    cm 

100

P

∈C =

a 

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0

.001

.002 .003 .004 .005 .006 .007

f C = P /CURVA A ESFUERZA- DEFORMACION EN COMPRESION AXIAL DE UN ESPECIMEN SUJETO A CARGA DE CORTA DURACION.

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La carga máxima se alcanza a una deformación unitaria del orden de 0.002 el colapso se presenta a deformaciones que varían entre 0.003 y 0.007.

f C = ( Kg / cm 2 )

400 350

84 DIAS

300

42 DIAS

250

22 DIAS

200

15 DIAS

150

 cm  ∈C =    cm 

3 DIAS

100 50 0

.001 .002 .003 .004 .005 .006

EFECTO DE LA EDAD AL ENSAYO EN LA RESISTENCIA.

(

f C = Kg / cm 2 600

)

0.33

500

0.40

400 0.50 300 0.67 200 1.00

100

0

∈C .001

.002

.003

.004

EFECTO DE LA RELACION AGUA – CEMENTO (lts/Kg de cemento).

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fC ( %)

180 170

P

160

K = / d

d



150 140

K = ESBELTEZ

130 120 110

P

100 90 80 0

k = / d 1

2

3

4

5

6

7

8

ESBELTEZ: Relación entre la longitud medida en la dirección de la carga y el lado menor del prisma o el diámetro del cilindro. EFECTO DE LA RELACION DE ESBELTEZ. b) CONTRACCION: Las deformaciones por contracción se deben esencialmente a cambio en el contenido de agua del concreto a lo largo del tiempo. El agua de la mezcla se va evaporando e hidrata el cemento. Esto produce cambios volumétricos en la estructura interna del concreto, que a su vez producen deformaciones. c) MODULOS ELASTICOS: En general, son relaciones existentes entre el esfuerzo r aplicado a un elemento y la deformación elástica resultante: E = E El Reglamento ACI-83 presenta la siguiente ecuación: Ec =W 1.5 −4270

f 'c

modulo de elasticidad del concreto en Kg/cm 2 peso unitario del concreto en Tn/m 3 f 'c = Resistencia cilíndrica del concreto en compresión en Kg/cm 2

Siendo: Ec= W=

Para concreto con agregados de peso normal (W=2.3 T/m 3 ) se puede determinar de la manera siguiente: Ec =15000

f 'c

d) RESISTENCIA DEL CONCRETO A TRACCION: Tanto las resistencias como las deformaciones correspondientes, son aproximadamente del orden de 1/10 de los valores respectivos en compresión.

II.- CARACTERISTICAS DEL ACERO. a) CARACTERISTICAS ESFUERZO-DEFORMACION.

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(

f C = Kg / cm 2 8000

)

ACERO DE ALTA RESISTENCIA TORCIDO EN FRIO

6000

ACERO DE ALTA RESISTENCIA LAMINADO EN CALIENTE

4000

ACERO DE GRADO ESTRUCTURAL

2000

∈s

0

.01

.02

.03

.04

.05

b) MODULO DE ELASTICIDAD: Con excepción de los aceros usados en pretensado, el modulo elástico E s es prácticamente el mismo para todos los aceros de refuerzo y se toma como: Es = 2'000,000 Kg / cm 2

ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL Generalmente bajo ninguna circunstancia los elementos de concreto reforzado se encuentran sujetos únicamente a carga axial. Debido a que casi siempre son estructuras continuas, la carga axial se encuentra actuando simultáneamente con momento flexionantes. Las excentricidades accidentales en la colocación de las cargas o los pequeños defectos constructivos introducen momentos flexionantes. Sin embargo el estudio del comportamiento bajo carga axial pura, es útil para comprender el funcionamiento de los diversos tipos de elementos de concreto reforzado y por que el valor de la consistencia a carga axial se utiliza para calcular la resistencia de elementos sujetos a carga axial combinada con otras acciones. Se analizaran elementos con relación de esbeltez mayor que 2 pero menor que 12, siendo la esbeltez aquella relación de longitud a diámetro o menor dimensión de la reacción transversal de un elemento cualquiera.

CALCULO DE LA RESISTENCIA DE ELEMENTOS SUJETOS A COMPRESION AXIAL

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fC

SEGUNDO MAXIMO

Columnas de PRIMER concreto reforzado

C2

MAXIMO

C1 C3

B

As*fy

CON RECUBRIMIENTO HELICOIDAL SIN RECUBRIMIENTO:C'

A

fC =

refuerzo 0.85 f'c Ac

CONCRETO SIMPLE

0

P AC

∈ .001 .002 .003 .004 .005 .006 .007 .008 .009 .010

CURVAS CARGA – DEFORMACIÓN UNITARIA DE COLUMNAS CORTAS BAJO COMPRESIÓN AXIAL A) COLUMNAS DE CONCRETO SIMPLE: Las características de una columna de concreto simple pueden compararse con las de un prisma de concreto simple, en el que su resistencia disminuye al aumentar su relación de esbeltez, basta llegar a un valor máximo aproximadamente igual al 85% de la resistencia de otro prisma con relación de esbeltez igual a 2. Por consiguiente su resistencia será: Donde: P0 =0.85 f ' c * Ag

P0 = Carga máxima actuante f ' c = Resistencia cilíndrica del concreto a los 28 días. Ag = Área de la sección transversal de la columna.

B) COLUMNAS DE CONCRETO CON REFUERZO LONGITUDINAL Y RECUBRIMIENTO: La resistencia esta dada por la parte correspondiente a una columna de concreto simple, mas la contribución del acero longitudinal en compresión. P0 = 0.85 f ' c * AC + AS * fy

C

CONCRETO ARMADO

Siendo: Ag = AC + AS AC = Área neta del concreto= Ag − AS AS = Área del acero longitudinal El reglamento ACI indica que el acero longitudinal esta conformado, por lo menos, por 4 varillas de acero en el sentido longitudinal.

C) COLUMNAS DE RECUBRIMIENTO.

CONCRETO

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CON

REFUERZO

HELICOIDAL

SIN

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p 0 =CARGA RESISTIDA POR EL CONCRETO + CARGA RESISTIDA POR LA HÉLICE (A) SEA: p s = Porcentaje volumétrico del refuerzo helicoidal.

∴ ps =

f = Ae * f Y

volumen de acero en un paso de la helice volumen del núcleo del concreto en un paso de la helice.

d = Diámetro del núcleo centro a centro del acero de la hélice. Ae = Área de acero helicoidal. s = Paso de la hélice. ƒ2 f y =Esfuerzo de fluencia del acero de la hélice. f 2 = Presión confinante ó lateral.

f2 d

f = Ae * f Y

ps =

(2πr ) * Ae (πd ) Ae 4 * Ae = = πd 2 πd 2 s*d ( )*s ( )s 4 4

(1)

Del equilibrio de fuerzas: 2ƒ = ƒ2 (d * s) 2 Ae * f y = f y (2 Ae ) = f 2 (d * s )

4 Ae f =2 2 s*d fy

( 2)

De (1) y (2):

pS = 2

f2 1  → f 2 = p S * f y fy 2

(3)

Pero según ensayos obtenidos, el esfuerzo axial ( f1 ) necesario para producir la falla cilíndrica de una probeta de concreto es igual a: f1 = f 'c +4.1 f 2 Donde: f 'c =Resistencia en compresión axial de un cilindro.

f 2 =Presión lateral ó confinante en el cilindro.

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Por consiguiente, la contribución de la hélice en la resistencia de la carga, será aproximadamente igual a 4.1 f 2 * Ac . Según la ecuación (A): P0 = 0.85 f 'c * Ac + 4 f 2 * Ac ( 4) Donde: Ac = Área de concreto del núcleo Reemp. (3) en (4): 1  P0 = 0.85 f 'c * Ac + 4 * ps * f y  * Ac 2  Finalmente: P0 = 0.85 f 'c * Ac + 2 ps * f y * Ac .

D) COLUMNAS DE CONCRETO CON REFUERZO LONGITUDINAL Y HELICOIDAL CON RECUBRIMIENTO. PRIMER MAXIMO: Su comportamiento inicialmente es similar al de una columna con refuerzo longitudinal y recubrimiento y su deformación unitaria es del orden de 0.002.

( A)

P0 = 0.85 f 'c * Ac + Ac * f y

SEGUNDO MAXIMO: la contribución del esfuerzo estará dado por el acero longitudinal, el acero de la hélice y el concreto del núcleo.

( B)

P0 = 0.85 f 'c * Ac + As * f y + 2 f s * f y * Ac

La resistencia en este caso, será el valor máximo de (A) y (B).

DISPOSICIONES DEL ACI: a) Teniendo en cuenta que la compresión simple ó axial implica que la resultante actúa en el BARICENTRO de la sección, lo cual es imposible en la practica, la mayor parte de las normas modernas, recomiendan que todos los elementos sometidos a compresión se calculan con una excentricidad mínima occidental, ó bien que se use un COEFICIENTE DE SEGURIDAD. El reglamento ACI establece una excentricidad mínima, en la dirección mas desfavorable, igual al mayor de los dos valores siguientes: h/10 2.5 cm b) El Reglamento ACI también especifica los siguientes coeficientes de reducción de capacidad de carga, en el diseño de columnas. Para columnas rectangulares ó estribadas: φ = 0.70 Para columnas circulares ó zunchadas: φ = 0.75 Si Pu =Carga última, entonces: Pu =φ Po

c) Para el caso de columnas rectangulares, el Reg. ACI establece que debe usarse como mínimo 4 varillas de acero en el sentido longitudinal, siendo su cuantía mínima la siguiente: A p s min . = 0.01 Donde: ps . = s

b *t

b y t: dimensiones de la sección transversal.

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d) Para columnas circulares o zunchadas, se deberán usar como mínimo 6 varillas de acero en el sentido longitudinal, siendo su cuantía mínima, la siguiente:

 Ag f ' p s . = 0.45 −1 c  Ac  fy Si D y d son los diámetros exteriores e interior de la sección de la columna, entonce πd 2 πD 2 A = c Ag = 4 4

y

e) Cuando las columnas son circulares, el paso “S” del acero helicoidal tiene los siguientes límites: S = d / 6 ó 2.5cm ≤ S ≤ 7.5cm f)

El acero mínimo que deberá usarse como acero helicoidal, en columnas

circulares será una varillas de

φ3 / 8".

PROBLEMA: Para la columnas zunchada que se muestra en la figura, se deberá 2 2 diseñar el acero helicoidal, si se conoce que f y = 4200 Kg / cm y f ' c = 210 Kg / cm Además, se deberá calcular su resistencia.

1.- DISEÑO DEL ACERO HELICOIDAL.

52cm 55cm

Según la expresión:

 Ag  f' ps = fs = 0.45 − 1 * c  Ac  fy  D2  f'  55 2  210 Kg / cm 2 p s = fs = 0.45 2 −1 * c = 0.45 2 −1 * 2 d  fy  52  4200 Kg / cm p s = fs = 0.0026

Además: S= d/6 = 52/6cm= 8.66cm Pero: 2.5cm ≤ S ≤ 7.5cm Luego: S = 7.5cm De la expresión:

ps =

4 Ae 1 1  → Ae = * p s * S * d = * 0.0026 * 7.5cm * 52cm S *d 4 4

Ae = 0.25cm 2 Puesto que Ae min. =

A1φ3 / 8" = 0.713cm

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2

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Entonces: usar

1φ3 / 8"

2.- CÁLCULO DE LA RESISTENCIA Pu:

[

Pu = φPo = φ 0.85 f 'c * Ac + 2 Ps * f y * Ac

]

Pu = 318,937kg

  Kg 3.14 * 52 2 kg 3.14 * 52 2 2 Pu = 0.750.85 * 210 * cm + 2 * 0 . 0026 * 4200 * cm 2  2 2 cm 4 cm 4   Pu =319.00Tn

PROBLEMA: calcular la resistencia a carga axial de una columna circular de 50 cm de diámetro, con acero helicoidal de 3/8”, con 5 cm de paso y 8 φ5/8” como refuerzo 2 2 longitudinal. El concreto es de f ' c = 210 Kg / cm y el acero de f y = 2800 Kg / cm . El recubrimiento libre de la hélice es de 3 cm. 8Ø5/8"

d = 44cm

D = 50cm

Ae =1φ3 / 8" =0.71cm 2

As =8φ5 / 8" =15.83cm 2 3cm 44 3cm

50cm Kg / cm 2 f y = 2800

r = 3cm

f 'c = 210 Kg / cm 2 Pu = ??

S = 5cm CALCULO DEL PRIMER MAXIMO:

a)

P0 = 0.85 f ' c * Ag + As * f y

Kg 3.14 * 50 2 P0 = 0.85 * 210 2 * cm 2 + 15.83cm 2 * 2800 Kg / cm 2 4 cm P0 = 394,300 Kg Pu = φP0 = 0.75 * 394Tn. Pu = 295.72Tn.

b)

CALCULO DEL SEGUNDO MAXIMO:

P0 = 0.85 f ' c * Ac + As * f y + 2 Ps * f y * Ac

Ac =

πd 2 3.14 * 44 2 = = 1520cm 2 4 4

ps =

4 Ae 4 * 0.71 = = 0.013cm 2 S *d 5 * 44

(1)

∴ P0 = 0.85 * 210 * 1520 + 15.83 * 2800 + 2 * 0.013 * 2800 * 1520cm 2 Ing. Luis Capuñay Paredes

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P0 = 426,300 Kg Pu = φP0 = 0.75 * 426.3Tn Pu = 319.73Tn

PROBLEMA: Para la columna C3 que se muestra en la figura, se deberá determinar el acero longitudinal y helicoidal en la columna C3 de la primera planta, si se supone que solo trabaja a compresión axial, siendo su diámetro de 40cm y el recubrimiento de 2 2.5cm. El acero a utilizar será de f y = 4200 Kg / cm y el concreto de

f ' c = 210 Kg / cm 2 . El edificio es de 5 niveles típicos y se conoce además, que: • • • •

PESO DE ALIGERADO: 400 Kg/m2 PESO DE TABIQUERIA: 150 Kg/m2 PESO PISO TERMINADO: 100 Kg/m2 PESO DE SOBRECARGAS: 500 Kg/m2

PLANTA 5° C1

C2

C1

C2

C3

C1

C3

C2

6.00

C3

C2

6.00

3.00

C2

C2

4°

3.00

3°

3.00

2°

3.00

C3

C1

C2

6.00

1°

ELEVACION

6.00

6.00

C2

6.00

6.00

C1

C1

6.00

4.00

6.00

1.- METRADO DE CARGAS. Área de influencia de la columna C3: 6.00*6.00=36.00m2  PESO DE ALIGERADO: 400 Kg/m2 * 36.00m2 * 5 niveles=72,000 Kg  PESO DE TABIQUERIA: 150 Kg/m2 * 36.00 m2 * 5 niveles= 27,000 Kg  PESO PISO TERMINADO: 100 Kg/m2 * 36.00m2 * 5 niveles= 18,000 Kg  PESO PROPIO:

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3.14 * 0.40 2 * 3.00m 3 * 2400 Kg / m 3 * 4niveles = 3,617 Kg 4 3.14 * 0.40 2 * 4.00m 3 * 2400 Kg / m 3 *1niveles = 1,205 Kg 4 WD =121,822 Kg TOTAL DE CARGAS PERMANENTES:

•

PESO DE SOBRECARGAS: 500 Kg/m2 * 36.00m2 * 5 niveles= 90,000 Kg TOTAL SOBRECARGAS: WL= 90,000 Kg

•

CARGA ÚLTIMA DE DISEÑO Pu:

Pu= 1.5 WD +1.8 WL= 1.5*121,822 Kg + 1.8 * 90,000 Kg. Pu= 182,733 Kg + 162,000 Kg Pu= 344,733 Kg Pu= 344.733 Tn •

CARGA DE DISEÑO TEORICA

Po =

Pu

φ

=

344.733Tn = 459.644Tn ≅ 460Tn 0.75

Po =460Tn

2.- CALCULO DEL ACERO HELICOIDAL: De la expresión:

 Ag  f'  40 2  210 Kg / cm 2 PS = 0.45 − 1 * c = 0.45 2 − 1 * 2  35  4200 Kg / cm  Ac  fy

PS = 0.0068 Además:

PS =

4 Ae 4 Ae → S = S *d PS * d

Si usamos acero helicoidal de

φ3 / 8". , entonces:

Ae = 0.713cm 2

4 * 0713cm 2 = 11.93cm 0.0068 * 35cm S = 11.93cm > S máx = 7.5cm ∴ S = 7.5cm Luego:

∴

S=

USAR: 1

φ3 / 8". con S = 7.5cm

3.- CALCULO DEL ACERO LONGITUDINAL: Po = 0.85 f ' c * Ac + As * f y + 2 Ps * f y * Ac As * f y = Po − 0.85 f ' c * Ac − 2 Ps * f y * Ac

∴

As =

[

1 Po − 0.85 f ' c * Ac − 2 Ps * f y * Ac fy

]

  1 Kg 3.14 * 35 2 Kg 3.14 * 35 2 2 460 , 000 Kg − 0 . 85 * 210 * cm − 0 . 0068 * 4200 * cm 2   2 2 2 4 4 4200 Kg / cm  cm cm  1 2 As = [ 260,886 Kg ] = 62.11cm 4200 Kg / cm 2

As =

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As = 62.11cm 2 → Usar : 12φ 1" SECCION CALCULADA:

1Ø3/8"@7.5cm

12Ø1" 35 40cm PROBLEMA.- Calcular la resistencia a carga axial de una columna estribada de 40*70 cm2 de sección. Considérese que la resistencia del concreto es de 310 Kg/cm 2, que el modulo de fluencia del acero es de 4200 Kg/cm2 y que el refuerzo longitudinal esta constituido por 10 1Ø1" r 40cm r

φ 1".

El recubrimiento es de

4cm.

f ' c = 310 Kg / cm 2 f y = 4200 Kg / cm 2

70cm

As = As * 10φ1" =50.67 cm 2 f y = 4200 Kg / cm 2

PRIMER CASO: Sin descontar el área de acero longitudinal. Po = 0.85 f ' c * Ag + As * f y

Po = 0.85 * 310 * 40 * 70 + 50.67 * 4200 = 950,600 Kg Pu = φPo = 0.70 * 950,600 Kg = 665,420 Kg

∴

Pu = 665, 420Tn

SEGUNDO CASO: Descontando el área de acero longitudinal. Po = 0.85 f ' c * Ac + As * f y

(1)

Ac = Ag − As = 40 * 70 − 50.67cm = 2,749.33cm 2

2

∴P

= 0.85 * 310 * 2,749.33 + 50.67 * 4200 = 937,262 Kg Pu = φPo = 0.70 * 937,262 Kg = 656,000 Kg o

Pu = 656,000Tn

PREDIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXION RECOMENDACIONES 1.- Para estructuras ordinarias o comunes, simplemente apoyada:

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a) b) c)

Si las cargas son ligeras: d=L/15 Si las cargas son livianas: d=L/12 Si las cargas son Pesadas: d=L/10

2.- Se puede suponer el peralte total h=L/12 y b ≅

1 h, aumentando ó disminuyendo u 2

algo estos valores según el tipo de cargas. 3.- Se puede suponer h=L/16 y b ≅

1 h, modificando estos valores, según la magnitud 2

y el tipo de cargas. 4.- Para vigas continuas, en función de las sobrecargas. • En Departamento y oficinas: W L = 250 Kg / m 2 1 b≅ h h = L / 11 2 • En garajes y tiendas de comercio: WL=500 Kg/m2 1 b≅ h h = L / 10 2 2 • En Depósito: W L = 1000 Kg / m 1 b≅ h h = L/8 2

HIPOTESIS DE CARGAS SEGÚN LAS NORMAS ACI a) Si no existiera cargas de viento ó sismo. W=1.4WD+ 1.7WL b) Cuando se consideran cargas de viento Wv: W=0.75 (1.4WD+1.7WL+1.7Wv) LA W=0.90WD+1.7Wv MAYOR c.) Cuando se consideran cargas sísmicas WE: W=0.75 (1.4WD+1.7WL+1.87WE) LA W=0.90WD+1.43WE MAYOR

HIPOTESIS DE CARGA SEGUN LAS NORMAS PERUANAS a.) Si no existen cargas de viento ó sismo. W=1.5WD+ 1.8WL b.) Si existen cargas de viento Wv: W=1.25 (WD + WL + Wv) W=0.90 WD+1.25 Wv

LA MAYOR

c.) Si existen cargas de sismo WE: W=1.25 (WD + WL + WE) W=0.90 WD+1.25 WE

LA MAYOR

CALCULO DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN SIMPLE HIPOTESIS GENERALES: La Resistencia de elementos sujetos a flexión simple puede determinarse a partir de una serie de hipótesis simplificadas ligadas al

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comportamiento básico y al mecanismo hacen son:

acción - respuesta. Las hipótesis que se

1. Los esfuerzos unitarios (cargas axiales, esfuerzos cortantes, momentos flectores) en cualquier sección de un elemento, están en equilibrio con los efectos de las cargas externas en una sección. 2. La deformación unitaria en una varilla de acero embebida en el concreto es la misma que la del concreto circundante. 3. Las secciones planas, antes de cargarse la estructura, permanecen planas en la estructura cargada. 4. El concreto no resiste tracciones, excepto en cientos casos de calculo de la resistencia al corte. 5. Se conocen las relaciones esfuerzo-deformaciones para el concreto y el acero. ESTADOS DE CARGAS: A lo largo del proceso de carga, un elemento sometido a flexión, pasa por 3 estados diferentes, en todos los cuales una sección cualquiera permanece plana.

W

L

ESTADO ELASTICO O ANALISIS ELASTICO Ó METODO DE TENSIONES ADMISIBLES (ESTADO I): En este estado los esfuerzos en el concreto y el acero se comportan elásticamente; la deformación en el acero y en el concreto circundante es igual, es decir, no hay desplazamiento relativo entre el concreto y el acero. Además los esfuerzos ó tensiones fc en la zona comprimida, son proporcionales a las deformaciones ∈ y el diagrama de compresiones y tracciones es triangular.

fc

Ec

d

As

h

fCI

As b

SECCIÓN

Es

fCT

fS

DIAGRAMA DE DIAGRAMA DE DEFORMACIONES ESFUERZOS

Analizando la zona traccionada del diagrama de esfuerzos: ES = f S / ∈S →∈S = f S / ES EC = f C1 / ∈C →∈C = f C1 / EC

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Pero: ∈S =∈C (Diagrama de deformaciones)

f

∴∈S = ES

S

Si:

=

f C1 E → f S = S * f C1 EC EC

E n= S EC

(1) E S = 2 *10 6 Kg / cm 2

y se conoce que:

EC = 15,000 f 'C

Reem. Valores en (1): f S = nf C1 La fuerza de tracción en el acero será: T = AS * f S = AS * nf C1

(2) (3)

La expresión (3) deja entender que para calcular los esfuerzos en la zona traccionada, se puede sustituir el área de acero por un área adicional equivalente de concreto ( AC = AS * n ) . Esta nueva sección se denomina SECCION TRANSFORMADA.

h

n As 2

n As 2

As



b

SECCIÓN REAL

n As-As 2

n As-As 2



SECCIÓN I TRANSFORMADA

SECCIÓN II TRANSFORMADA

Luego de hacer la transformación, se procede como si fuera enteramente de concreto y el esfuerzo en el acero se calcula según la ecuación (2) Cuando las tensiones ó esfuerzos en las fibras exteriores de una sección son inferiores al límite de proporcionalidad, es decir, se cumple la Ley de HOOKE, la viga se comporta elásticamente y se tiene lo siguiente: a) El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal. b) La intensidad del esfuerzo debido a la flexión, aumenta directamente proporcional a la distancia, al eje neutro y es máxima en las fibras extremas.

f máx EJE NEUTRO

M

h

b

y

c

f CT

En cualquier punto de la sección transversal, el esfuerzo viene dando por la expresión siguiente: f =

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M *Y I

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Donde: f =Esfuerzo de flexión a una distancia “y” del eje neutro. M = Momento flector externo en la sección. I = Momento de inercia de la sección transformada respecto al eje neutro. El máximo esfuerzo de flexión se produce en las fibras exteriores y tiene por valor: f máx =

M *C I

C = la distancia del eje neutro a la fibra exterior.

Siendo:

PROBLEMA: Una viga rectangular según las dimensiones mostradas en la figura, está reforzada

con

3φ1" .

La

resistencia

cilíndrica

del

concreto

es

de

f 'C = 210 Kg / cm 2 y la resistencia a la tracción por flexión del concreto (ó modulo de rotura f CT ) es de 31 Kg/cm2. 2 El punto de fluencia del acero es de f y = 4200 Kg / cm . Determinar los esfuerzos internos producidos en la viga por acción del momento flector máximo actuante sobre ella.

59

65

3Ø1" 25 WL=0.69 T/ml

WD=0.345 T/ml

5.00m

W =1.5WD +1.8 *WL = (1.5 * 0.345 +1.8 * 0.69)T / ml W = 0.5175T / ml +1.242T / ml =1.7595T / ml 1 1 W =1.76T / ml M = *W * L2 = *1.76T / ml * 25m 2 8 8 M = 5.5T − ml E S = 2 *10 6 Kg / cm 2 EC =15,000

n=

f 'C =15,000 210 = 217,000 Kg / cm 2

ES 2 *10 6 Kg / cm 2 = =9 E C 217,000 Kg / cm 2

AS =3φ 1" = 15.2cm 2 (n −1) AS = (9 −1) *15.2 =122cm 2 • El área transformada equivalente se muestra en la figura. Su centro de gravedad se puede calcular tomando momentos con respecto al centro de gravedad del rectángulo mayor.

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Eje por el C.G. rectángulo mayor

32.5

y

59

YG

26.5

65

Eje por el C.G. de la figura

6 25

122 2

122 2

Sección

A(cm)2

y(cm) =

Ay(cm3)

Ay2(cm4)

25*65 (n-1)As ΣA = 1747

1625 122

0 (-26.5)

0 (-3230)

0 85,600

YG =

ΣAy ΣA

=−

Ι0 (bh 3 / 12) (cm4) 0 572,000

ΣAy = −3230 ΣAy 2 = 85,600 ΣIo = 572,000cm 4

3230 cm = −1.85cm. 1747

YG = −1.85cm.

 →

Y = 32.5 +YG =32.5 −( −1.85) Y = 34.5cm = C

2 Pero: I = I 0 + ΣAy

I = 572,000 +85,600 = 656,600cm4 I =656,600cm 4

M = 5.5T − m = 5.5 *10 5 Kg − cm M =5.5 *10 5 Kg −cm

a)

El esfuerzo de compresión en la fibra superior es:

M * C 5.5 *10 5 * 34.35 = = 29 Kg / cm 2 5 I 6.566 *10 fcc = 29 Kg / cm 2 < f 'C = 210 Kg / cm 2 fcc =

b)

El esfuerzo de tracción en la fibra inferior es: M *Y fct = M = 5.5 *10 5 Kg − cm I Y = 65 − 34.35 = 30.65cm I = 6.566 *10 5 cm 4

fct =

5.5 *10 5 * 30.65 = 25.8 Kg / cm 2 5 6.566 *10

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fct =25.8 Kg / cm 2

El módulo de rotura es

f C T = 31Kg / cm 2

Como: fct = 31Kg / cm 2 > fcc = 29 Kg / cm 2

Y:

f CT = 31Kg / cm 2 > fct = 25.8 Kg / cm 2

Luego, el cálculo es correcto. c)

El esfuerzo en el acero es:  M *Y  f S = n   I 

Y = 30.65 − 6 = 24.65cm M = 5.5 *10 5 Kg * cm n =9 I = 6.566 *10 5 cm 4

 5.5 *10 5 * 24.65   = 188Kg / cm 2 f S = 9 5  I 6.566 *10  f S =188 Kg / cm 2 < f y =4200 Kg / cm 2

ANALISIS POR CARGAS DE SERVICIO O ESTADO ELASTICO AGRIETADO Ó METODO DE LOS ESFUERZOS DE TRABAJO (ESTADO II): Al incrementarse las cargas en esta etapa, el esfuerzo de tracción del concreto excede su modulo de rotura, es decir, excede la resistencia a tracción del concreto en flexión. En este caso el esfuerzo en compresión del concreto es menor que 0.5 f 'C ( ≈ 0.45 f 'C ) y el esfuerzo en el acero no ha alcanzado su punto de fluencia f y , por lo que ambos materiales continúan comportándose elásticamente. Como consecuencia de ello, los esfuerzos de tracción fisuran el concreto y las fisuras empiezan a ascender hacia la fibra superior. La fibra mas comprimida es auxiliada en su trabajo por las fibras vecinas, que toman mayor carga de la que les correspondería. Se supone que el eje neutro coincide con la parte superior de la grieta y por lo tanto, el concreto resulta incapaz de desarrollar esfuerzos de tracción.

fc

Ec

1/3 Kd

EJE NEUTRO

Kd d

As

(d-Kd)

As

SECCIÓN TRANSVERSAL

Por definición: E =

jd

h

b

C

fs

T

Es

DIAGRAMA DE DEFORMACIONES

DIAGRAMA DE ESFUERZOS

f 'C Esfuerzo = ∈ Def .unitaria

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fS f → ∈ S = S (acero) ∈S ES f f EC = C → ∈ C = C (concreto) ∈C EC

∴

ES =

Del diagrama de deformaciones: ∈C Kd K ∈C ∈S = = = Ó ∈S d − Kd 1 − K Kd d − Kd Reemplazando valores:

f C / EC E *f K K =  → S C = f S / ES 1 − K EC * f S 1 − K n = E S / EC : Si: n * fC f  K  K =  → f C = S   fS 1− K n 1− K  1 − K   Ó f S = nf C   K 

De (2):

K=

n * f C (1 − K ) n  → K = fS n − f S / fC

(1) (2) (3)

Del diagrama de esfuerzos: 1 1 C = * fC * K * d * b = * fC * K * b * d 2 2 1 1 M C = C * jd = * f C * K * b * d * j * d = * f C * j * K * b * d 2 2 2 M C = MOMENTO RESISTENTE CON RESPECTO A LOS ESFUERZOS DE COMPRESIÓN DEL CONCRETO: MC =

1 * fC * j * K * b * d 2 2

(4)

Además: T = AS * f S

Como: AS = p * b * d ∴ M S = T * j * d = AS * f S * j * d = p * b * d * f S * j * d M S = MOMENTO RESISTENTE CON RESPECTO A LOS ESFUERZOS DE TENSION EN EL ACERO.

M S = p * fS * j *b * d 2

(5)

Los momentos resistentes son iguales, luego: 1 * fC * j * K *b * d 2 = p * f S * j * b * d 2 2

f C * K = 2 p * f S →

fC 2 p = fS K

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(6)

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K = 2p

fs fc

(7)

f C = 0.45 f 'C f S = 0.50 f 'Y Si f Y < 4200

0.40 f 'Y Si f Y ≥ 4200 Kg / cm 2 Del diagrama de esfuerzos: 1 k jd = d − K * d  → j = 1 − 3 3

(8)

Si M es el momento flexionante, es decir el momento generado por las fuerzas externas, este valor debe ser equilibrado por el momento resistente, por lo que son iguales: M = M C

∴ M = 1/ 2 * f

C

* j * K *b * d 2  → d =

1 * fC * K * j 2 Además: M = M S K=

Si:

∴

M =AS * f S * j * d

(A)

(B)  →

M 1/ 2 * fC * j * K * b

 → d =

M K *b

(9)

AS =

M fS * J * d

(10)

PROBLEMAS: En la estructura mostrada, se deberá calcular las dimensiones de la sección transversal y el acero longitudinal en la zona traccionada de una de las vigas interiores, si se conoce lo siguiente: • • • • • •

Peso de Tabiquería: 120Kg/m2 Peso de Aligerado: 400Kg/m2 Peso de Piso Terminado: 50Kg/m2 Peso de Sobrecargas: 500Kg/m2 f S = 0.40 f Y = 1680Kg/m2 Acero: Concreto: f C = 0.45 f 'C =108Kg/m2 .40

5.60

.40

5.60

.40

5.60

.40

5.60

.40 1.50 .50

VS-001

VP-103

VP-102

VP-102

VP-101

8.50

VP-102

VS-001

8.00

B=6.00m VS-002

.50

2.75

2.50 VS-001

6.00

6.00

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6.00

6.00

1.70

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1.

PREDIMENSIONAMIENTO: 1 h= + (CARGAS PESADAS). 10

VER SOBRECARGA

h=

1 * 8.50m = 0.85m  → h = 0.85m 10

b≈

1 1 h = * 0.85m = 0.42m  → b = 0.40m (ANCHO DE COLUMNA) 2 2

2. METODO DE CARGAS: • Peso Propio: 0.40m * 0.85m * 2400 Kg / m 3 = 816Kg/m • Peso de Tabiquería: 120 Kg / m * 6.00m = 720Kg/m • Peso de Aligerado: 400 Kg / m * 6.00m = 2400Kg/m • Peso Piso Terminado: 50 Kg / m * 6.00m = 300Kg/m WD = 4236 Kg / m. •

Peso de Sobrecargas: 500Kg/m2 * 6.00= 3000 Kg/m WL = 3000 Kg / m.

CARGA TOTAL W: W = 1.5WD +1.8WL = 1.5 * 4236 Kg / m +1.8 * 3000 Kg / m W = 6354 Kg / m + 5400 Kg / m =11,448 Kg / m W = 11,754 Kg / m

3.

CALCULO DE MOMENTOS FLEXIONANTES

W=11,754Kg/m A

B

8.50

2.75

C mts

1 1 M B = WL2 = *11,754 Kg / m * 2.75 2 m 2 = 44,444 Kg * m 2 2 1 1 2 M AB = WL1 = *11,754 Kg / m * 8.5 2 m 2 = 106,153Kg * m 8 8

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44,444Kg*m

22,222Kg-m

103,390Kg*m 83,931Kg*m

~

Por de AS: 44,444 8.50 = Y 4.25 4.25 Y = * 44,444 8.50 Y = 22,222 Kg * m

En las zonas traccionadas: ( −) M max = 44,444 Kg * m ( +) M max = 83,931Kg * m

4.

CHEQUEO DEL PERALTE DE LA VIGA

d=

M 1 * fC * K * j * b 2

(1)

M = M max = 83,931Kg * m

fc = 0.45 f 'C = 108 Kg / cm 2 n 9 9 K= = = = 0.34 fS 1680 9 + 17.68 9+ n+ 95 fC K =0.34

j =1 − K / 3 =1 − j =0.887

0.34 = 1 − 0.113 = 0.887 3

En la ecuación (1):

d=

83,931*10 2 Kg * cm = 114cm Kg 0.5 *108 2 * 0.34 * 0.887 * 40cm cm

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Si: r = 2.5cm

∴ h = d + r + 1.5 = 114 + 2.5 + 1.5 = 119m ≈ 120m Tenemos: h=120m d= 120cm-2.5cm - 1.15cm d= 115cm 5.

CALCULO DE AREAS DE ACERO.

a)

ACERO EN EL TRAMO AB: M ( +) 83,931*10 2 * Kg * cm AS = = = 48.97cm 2 2 f S * j * d 1680 Kg / cm * 0.887 *115cm

AS = 48.97cm  → USAR :10φ 1" 2

b)

ACERO EN EL APOYO B:

AS =

M ( −) 44,444 *10 2 * Kg * cm = = 25.93cm 2 f S * j * d 1680 Kg / cm 2 * 0.887 *115cm

AS = 25.93cm  → USAR :5φ 1" 2

1/3 L=2.65m

3Ø1"

5Ø1"

A 1.60

5Ø1"

1/7L

A 10Ø1"

1.60

8.00

1/5L

B

B 5Ø1" 2.50 .50

.50

3Ø1"

5Ø1" 1.15

1.15

5Ø1"

10Ø1" 40

40

Sección A-A

Sección B-B

PROBLEMA: Determinar la sección transversal y el refuerzo longitudinal de tensión de una viga mas cargadas, según las características que se adjuntan. f S = 0.50 f y = 2100 Kg / cm 2 PESO SOBRECARGAS: 250Kg/m2

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f 'C = 95 Kg / cm 2

f C = 0.45

PESO TABIQUERIA: 100Kg/m2 PESO ALIGERADO: 400Kg/m2 PESO PISO TERMINADO: 50Kg/m2

n =9

1. M N T

PREDI ENSIO AMIEN O: Para el

5.00 2.50 Columnas 30*50cm

6.50

2.50 5.00

5.00

5.00

5.00

problema: 1 d≈ L (CARGAS LIGERAS) 15 1 d≈ L (CARGAS LIVIANAS) 12 1 d≈ L (CARGAS PESADAS) 10 2. METRADO DE CARGAS: PESO PROPIO DE LA VIGA: PESO TABIQUERIA: PESO ALIGERADO: PESO PISO TERMINADO:

d=

1 1 *L= * 6.50m = 0.54m 12 12

Si: r = 4.5cm

h = d + r + 1.5cm h =0.60m

b =0.30 m

0.30m * 0.60m * 2400 Kg / m = 432kg / ml

100 Kg / m 2 * 5.00m = 500kg / ml 400 Kg / m 2 * 5.00m = 2000 kg / ml 50 Kg / m 2 * 5.00m = 250kg / ml

WD = 3182kg / ml PESO DE SOBRECARGAS: 250 Kg / m 2 * 5.00m =1250kg / ml WD = 1250 kg / ml

W =1.5WD +1.8WL = 1.5 * 3.182Tn / ml +1.8 *1.25Tn / ml W = 4.773Tn / ml + 2.25Tn / ml  →W = 7.023Tn / ml

3.

CALCULO DE MOMENTOS.

W=6.969T/ml A

L1= 2.50

B L=6.50

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D C L1= 2.50

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1 1 * W * L12 = * 7.023T / ml * 2.50 2 m 2 = 21.946T − m 2 2 = 21.94Tn − m

M B( −) = M C( −) = M B( −) = M C( −)

1 1 1 = * L2 * W − WL12 = * 7.023T / ml * 6.5 2 m 2 − 21.946T − m 8 2 8 = 37.09Tn * m − 21.94Tn − m = 15.15T − m

M

(+)

M

(+)

=15.15T − m

M

(+)

4.

CHEQUEO DEL PERALTE DE LA VIGA:

d=

K=

M máx 1 * fC * K * j *b 2 n = n + f S / fC

j =1 −

(1)

9 = 0.2883 2100 9+ 95

K = 1 − 0.2883 / 3 = 0.904 3

En (4): d =

21.946 * 10 5 kg * cm = 76.8cm 0.5 * 95Kg / cm 2 * 0.2883 * 0.904 * 30cm

∴ h = d + r + 1.5 = 76.8 + 2.0 + 1.5 ≅ 80cm h =80cm

5.

 → d =76.5cm

CÁLCULO DE AREAS DE ACERO: Si mantenemos la sección original:

a)

ACERO EN APOYOS. M ( −) 21.946 AS = = = 21.40cm 2 2 f S * j * d 2100 Kg / cm * 0.904 * 54cm USAR:

8φ3 / 4"

Ó

5φ 1"

b)

ACERO EN TRAMO CENTRAL. M ( +) 15.15 *10 5 Kg * cm AS = = = 14.78cm 2 f S * j * d 2100 Kg / cm 2 * 0.904 * 54cm USAR:

5φ3 / 4"

6. DIAGRAMAS DE LAS SECCIONES CALCULADAS. 2.5cm(min)

2.5cm(min)

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PROBLEMAS: Determinar la sección transversal y el refuerzo longitudinal de tensión de la viga más cargada, según las siguientes características: n =9 f Y = 4200 Kg / cm 2

f 'C = 210 Kg / cm 2

PESO DE TABIQUERÍA= 100Kg/m2 PESO DE ALIGERADO= 350Kg/m2 PESO PISO TERMINADO=50Kg/m2 PESO SOBRECARGA= 200Kg/m2 4.50 .50

5.50

.50 .35

3.80

0.35

4.50

.35

3.80

.35

1. PREDIMENSIONAMIENTO. 1 L (CARGAS LIGERAS) 15 1 h≈ L (CARGAS LIVIANAS) 12 1 h≈ L (CARGAS PESADAS) 10 h≈

h b

L = 5.50 + 0.25 + 0.25 L = 6.00m

Para el problema:

h =1 / 12 L =1 / 12 * 6.00 m = 0.50m h =1 / 10 L =1 / 10 * 6.00 m = 0.60m

Tenemos:

h =0.50m

2. METRADO DE CARGAS SOBRE LA VIGA MÁS CARGADA: PESO PROPIO DE LA VIGA: PESO DE LA TABIQUERÍA: PESO DEL ALIGERADO: PESO PISO TERMINADO:

0.25m * 0.50m * 2,400 Kg / m = 300 Kg / ml

100 Kg / m 2 * 4.40 m = 440 Kg / ml 350 Kg / m 2 * 4.40m =1,540 Kg / ml 50 Kg / m 2 * 4.40m = 220 Kg / ml W D =2,500 Kg / ml

Peso de sobrecargas:

200 Kg / m 2 * 4.40m = 880 Kg / ml W L =880 Kg / ml

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PROGRAMA DE DESARROLLO PROFESIONAL – PDP ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL W =1.5WD +1.8WL =1.5 * 2500 Kg / ml +1.8 * 880 Kg / ml W = 5334 Kg / ml

W=5334Kg/ml.

L=6.00m

3. CALCULO DE COEFICIENTES: n 9 K= = = 0.2883 0 . 5 * 4200 n + f S / fC 9+ 0.45 * 210 0.2883 j =1 − K / 3 =1 − = 0.904 3 K=

1 1 * f C * j * K = * 94.5 * 0.904 * 0.2883 = 12.31 2 2

K =12.31

4. CALCULO DEL MOMENTO EXTERIOR 1 1 Kg M = * W * L2 = * 5334 * 6 2 m 2 = 24,003Kg − m 8 8 ml 5. CHEQUEO DEL PERALTE M 24,003 *10 2 d= = = 74.64 K *b 12.31 * 35 ∴ h = d + r + 1.5 = 75 + 3.5 + 1.5 = 80cm  → d = h − v −1.5 h = 80cm d = 80 − 5 = 75 d = 75cm 2 6. CALCULO DE AS M 24,003 * 10 2 AS = = = 16.85cm 2 f S * j * d 2100 * 0.904 * 75

AS = 16.85cm 2

USAR : 6φ 3 / 4"

ANALISIS POR RESISTENCIA A LA ROTURA Ó ESTADO DE PRE-ROTURA (ESTADO III): En estas condiciones las figuras ó grietas han ascendido demasiado, ampliando su espesor y obligando a la zona comprimida a concentrarse en la posición más alta posible. En esta posición, el elemento se rompe. El diagrama de compresiones aparece muy plastificado, con un tramo prácticamente vertical en las fibras más cargadas. Al fallar el elemento, ésta puede producirse de 3 maneras: a) FALLA POR FLUENCIA DEL ACERO Ó FALLA POR TRACCION.- El esfuerzo de fluencia del acero

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f Y se alcanza antes de que el concreto haya agotado el esfuerzo de compresión. En el elemento se producen grandes deformaciones, las grietas progresan, disminuyendo la Zona comprimida, hasta que finalmente se produce el APLASTAMIENTO DEL CONCRETO (falla secundaria) y finalmente el colapso de la estructura. Es una falla de tipo DUCTIL. ∈S >∈y f S = fY f C < f 'C b) FALLA POR APLASTAMIENTO DEL CONCRETO Ó FALLA POR COMPRESIÓN.- se presenta en elementos sobre-reforzados ó con aceros de alto límite de fluencia. Al incrementarse las cargas se alcanza la capacidad máxima en compresión del concreto, antes de que el acero empiece a fluir. Se produce el aplastamiento del concreto y el colapso del elemento. Esta falla es de tipo frágil o explosivo. ∈S ∈C , falla se inicia por FLUENCIA DEL ACERO. 15.90   M 'u = T ( d − a / 2 ) = AS * f Y * ( d − a / 2 ) = 20.27 * 4200 69 − Kg * cm 2   M 'u = 5'197,000 Kg * cm M 'u = 52T * cm

Luego:

c.) CALCULO DE LA CUANTÍA BALANCEADA: Puesto que la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto ocurren simultáneamente: ∈C = 0.003 ∈S =

fY 4200 = = 0.0021 E S 2 * 10 6

∈S = 0.0021

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Del diagrama de deformaciones:  ∈C ∈C c =  → c = d  ∈S d − c  ∈C + ∈S

 0.003   = 69  0 . 003 + 0 . 0021   

c = 40.90cm

Además: a = 0.85c = 0.85 * 40.90cm = 34.76cm a = 34.76cm También: T = C T = C = 0.85 f 'C *a * b = 0.85 * 210 * 34.76 * 30 = 186,140 Kg T =C T =C 186,140 Kg fY =  → AS .b = = = 44.32cm 2 AS .b fY 4200 Kg / cm 2 AS .b =44.32cm 2

pb =

AS .b 44.32cm 2 = = 0.0215 b * d 30cm * 69cm

pb =0.0215

PROBLEMA: Para la sección de la viga mostrada en la figura, se solicita determinar el área de acero, si se conoce que M u =1'840,000 Kg − cm, el concreto es de f 'C = 210 Kg / cm 2 y el límite de fluencia del acero de f Y = 4200 Kg / cm 2 .

45

41

As 25 De la expresión:

 p * fY   M u = φAS * f Y * d 1 − 0.59 f ' C   AS , es posible despejar el valor de AS , resultando una Ecuación en la cual: p = b*d ecuación bicuadrada en AS . Sin embargo, en muchos casos es mas practico proceder por tanteos: PRIMER TANTEO: Suponiendo que: a = 0.2d d − a / 2 = d − 0.1d = 0.9d

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AS =

Mu 1'840,000 Kg * cm = = 13.2cm 2 Kg φf Y ( d − a / 2) 0.9 * 4200 * 0.9 * 41cm cm 2

AS =13.2cm 2 2 Con AS =13.2cm calculamos a :

a=

AS * f Y 13.2cm 2 * 4200 Kg / cm 2 = = 12.4cm 0.85 f 'C *b 0.85 * 210 Kg / cm 2 * 25cm

a =12.4cm

SEGUNDO TANTEO: Con a = 12.4cm Calculamos AS  →d − a / 2 = 41 − 6.2cm = 34.8

AS =

1'840,000 Kg * cm = 13.98cm 2 Kg 0.9 * 4200 * 34.8cm cm 2

AS = 13.98cm 2 2 Con AS = 13.98cm calculamos nuevamente a :

a=

AS * f Y 13.98cm 2 * 4200 Kg / cm 2 = = 12.5cm 0.85 f 'C *b 0.85 * 210 Kg / cm 2 * 25cm

a =12.5cm

Los 2 valores de a calculados son aproximadamente iguales, luego: AS = 13.98cm :

Usar:

8φ5 / 8".

CARGAS MUERTAS EN EDIFICACIONES. ESPESOR DEL MURO EN MTS

PESO MUERTO (KG/M2)

a) MUROS DE ALBAÑILERIA DE LADRILLO CHICO COMPACTO. 0.08 170 0.14 290 0.25 520 0.36 750 b) ALBAÑILERIA DE LADRILLO KING KONG. 0.10 0.15 0.25

280 400 550

c) ALBAÑILERIA DE CONCRETO VIBRADO. (PARVA DOMUS) 0.15 240

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0.20 0.25

285 350

d) LADRILLO PANDERETA (Solo para tabaquería en pisos altos. No es importante). 0.12 180 0.25 325 e) PISOS ALIGERADOS DE CONCRETO ARMADO 0.17 380 0.20 400 0.25 450 0.30 520

CARGAS VIVAS Ó SOBRECARGAS TIPO DE EDIFICACIÓN

CARGA VIVA (Kg/m2)

Casa-habitación Azoteas planas Oficinas Bibliotecas Escaleras

200 150 250 300 500

DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS Existen casos muy frecuentes en los que la sección de una viga se ve limitada en sus dimensiones, sea por razones de tipo arquitectónica ú otras, por lo que puede exceder que el concreto resulte incapaz de resistir la compresión resultante del momento aplicado. Se hace entonces, necesario reforzar la zona comprimida con acero, resultando una viga reforzada tanto en tracción como en compresión. El Reglamento ACI exige el uso de acero en compresión cuando la cuantía “p” excede el valor de 0.75 pb . Hay casos en que se usa acero en compresión aun cuando no sea requerido estructuralmente ( p ≤ 0.75 pb ) ; por ejemplo, para limitar las deformaciones que ocurren en el transcurso del tiempo, para sostener estribos, para casos en que puedan ocurrir inversiones de esfuerzos, etc. En estos casos puede ignorarse la existencia del acero en compresión, por ser su influencia pequeña, en el cálculo de la resistencia de la sección. Cuando el acero en compresión se requiere estructuralmente ( p > 0.75 pb ) , el análisis puede efectuarse de la siguiente forma:

0.85f'c E's d'

a

A's

As b

A's c

=

h

C'I +

d

AsI b

d' C'2=A's*f y ó A's*f s (d-d')

T'I=ASI*f y

As2

T'2=AS2*f y

Es

Sea:

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M u = Momento ultimo de diseño a la Rotura.

M 'u =Momento de Rotura Teórico= M u / φ M '1 =Momento que la viga puede tomar sin usar acero en compresión. A' S 1 =Área de acero necesario para tomar el momento M '1 . M ' 2 =Momento adicional a partir de M '1 . AS 2 =Área de acero en tracción adicional para resistir M ' 2 . A' S =Área de acero en compresión para resistir M ' 2 . Si las deformaciones no constituyen problema, puede asumirse que: p1 = 0.75 pb (1)

Si las deformaciones deben limitarse:  f'  p1 = 0.18 C   f   g 

(1’)

Consideraciones: M 'u = M u / φ

M 'u = M '1 +M ' 2 AS = AS 1 + AS 2

Calculada la cuantía p, según (1) ó según (1’) se tendrá: AS 1 = p, bd

 p *f M '1 = AS 1 * f Y * d 1 − 0.59 1 Y f 'C 

  

La ubicación del eje neutro puede determinarse con la expresión: AS 1 * f Y a = 0.85c = 0.85 * b * f ' c

(2) (3)

(4)

Por otro lado, el momento que debe ser tomado por el acero en compresión A' S y el acero de tracción adicional A' S 2 es: M ' 2 = M ' u −M '1 (5) T ' 2 = C ' 2 = M ' 2 / ( d − d ') Y: (6) Finalmente: A' S = C ' 2 / f

S

AS 2 = T ' 2 / f

Y

(7) (8)

RECOMENDACIONES ACI: Si se usa acero en compresión, debe asegurarse que estas varillas no pandeen antes de alcanzarse la capacidad de la sección calculada. Para ello es necesario que dichas barras se anclen mediante estribos, los cuales serán de un diámetro no inferior a ¼”, ni espaciados a más de 16 diámetros de la varilla longitudinal ó 48 diámetros de los estribos. Estos deben usarse en todo lo largo que se requiera acero en compresión.

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PROBLEMA: La viga que se muestra en la figura, forma parte de un conjunto de pórticos que distan entre sus ejes 6.00m. Se deberá diseñar el acero necesario, en las zonas de máximos momentos.

A's

W

L=8.00m

0.60

LI=3.00m

As 0.30 PESO DE ALIGERADO: PESO PISO TERM.

:

400.00 Kg. / m2 100.00 Kg./ m2

PESO DE TABIQUERIA: 150.00 Kg./ m2 PESO DE MURO CABEZA: 400.00 Kg./ m2 PESO DE SOBRE CARGAS: 1000.00 Kg / m2 ALTURA DE MURO

: 4.00 M.

CONCRETO: f’c = 210 Kg. / cm2 ACERO

: fy = 4200 Kg. / cm2

1.0 METRADO DE CARGAS: PESO PROPIO: 0.60 x 2400 Kg./ m=

432.00 Kg

•

CARGAS PERMANENTES

-

ALIGERADO: 400.00 Kg / m2 x 6.00 m. = 2400.00 Kg / m PISO TERMIN. : 100.00 Kg / m2 x 6.00 m = 600.00 Kg / m TABIQUERIA : 150.00 Kg / m2 X 6.00 m =900.00 Kg / m MURO DE CAB. : 400.00 Kg / m2 X 4.00 m=1600.00 Kg / m --------------------------WD =5500.00 Kg / m SOBRECARGAS:

• -

•

PESO SOBREC. 1000.00 Kg / m2 x 6.00 m = 6000.00 Kg / m --------------------------WL = 6000.00 Kg / m CARGA TOTAL W:

W = 1.5WD +1.8WL = 1.5 * 5500 Kg / m +1.8 * 6000 Kg / m W = 8250 Kg / m +10800 Kg / m W =19,050 Kg / m

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2.0

CALCULO DE MOMENTOS MAXIMOS

A

B

C

L=8.00m

LI=3.00m

(-)

Mmáx

y1

(+)

Mmáx 1 2 ( −) M máx W * L1 . = 2 1 Kg ( −) M máx 19050 * 32 m 2 . = 2 m ( −) M máx . = 85725 Kg * m

Por ~ de AS :

YI A = 85725 8 YI = 85725 * 0.5 YI = 42862.5 Kg * m

1 1 2 M E = WL = *19050 Kg * m * 8 2 m 2 = 152,400 Kg * m. 8 8 ( +) M máx . = M E − YI = 152,400 Kg * m − 42,862.5 Kg * m. ( +) M máx . = 109,537.5 Kg * m

3.0

CONDICIONES GEOMETRICAS DE LA SECCIÓN.

SI: r = 3.5cm d = h − r −1.5 = 60cm − 3.5cm −1.5cm

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d = 55cm

d ' = r +1.5 = 3.5cm +1.5cm = 5cm d ' = 5cm 4.0 MOMENTO MÁXIMO M I QUE LA VIGA RESISTE SIN ACERO EN COMPRESIÓN.

 p * fY M I = φASI * f Y * d 1 − 0.59 * I f 'C  A Siendo: p I = SI → ASI = p I * b * d b*d

  

(1) (2)

Además: p máx = p I = 0.75 pb   f 'C  0.003 p = 0 . 75 * K * K * Luego: I 1 3 fY fY   0.003 + E S 

     

Reemplazando valores:   210 Kg / cm 2  0.003 p I = 0.75 * 0.85 * 0.85 * 4200 Kg / cm 2  4200 Kg / cm 2 Kg / cm 2  0.003 + 2 *10 6 

p I = 0.0159

     

En (2): ASI = p I * b * d = 0.0159 * 30cm * 55cm

ASI = 26.235cm 2 En (1):

 p * fY M I = φASI * f Y * d 1 − 0.59 * I f 'C 

  

 0.0159 * 4200 Kg / cm 2 M I = 0.9 * 26.235cm 2 * 4200 Kg / cm 2 * 55cm1 − 0.59 * 210 Kg / cm 2  M I = 4'431,038 Kg * cm M I = 44,310 Kg * m 5.0

  

ANALISIS DEL TRAMO AB:

( +) M máx . = 109,537.5 Kg * m. > M I

∴LA

VIGA REQUIERE ACERO EN

COMPRESIÓN ( +) − M I = (109,537.5 − 44,310) Kg * m ∴ M 2 = M máx

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M 2 = 65,227.5 Kg * m Luego:

A' S = AS 2 =

AS = AS 2 =

T '2 M '2 M2 = = fY f Y ( d − d ') φf Y ( d − d ')

65227.5 * 10 2 Kg * cm = 34.51cm 2 0.9 * 4200 Kg / cm 2 ( 55 − 5) cm

A'S = AS2 = 34.51cm   → USAR : 7φ 1 (" COMPRESION) 2

AS = AS 1 + AS 2 = 26.24cm 2 + 34.51cm 2

AS = 60.75cm  → USAR :12φ 1"(TRACCIÓN ) 2

6.0

ANALISIS DEL APOYO B:

( −) M máx . = 85,725 Kg * m. > M I

∴LA VIGA REQUIERE ACERO EN COMPRESIÓN

( −) M 2 = M máx − M I = 85,725Kg * m − 44310 Kg * m

M 2 = 41415 Kg * m

Luego:

A' S = AS 2 = A' S = AS 2 =

M '2 M2 = f Y ( d − d ') φf Y ( d − d ') 44415 *10 2 Kg * cm = 21.91cm 2 2 0.9 * 4200 Kg / cm ( 55 − 5) cm

A'S = AS 2 = 21.91cm 2 → USAR : 4φ 1"(COMPRESIÓN ) AS = AS 1 + AS 2 = 26.24cm 2 + 21.91cm 2

AS = 48.15cm 2 → USAR : 10φ 1" (TRACCIÓN )

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7Ø1"

10Ø1" 60cm

60cm

12Ø1"

4Ø1" 30cm

30cm

SECCIÓN EN TRAMO AB

SECCIÓN EN APOYO AB

PROBLEMA: Diseñar el acero en tracción y compresión de la viga mostrada en la figura según los datos siguientes: f 'C = 210 Kg / cm 2

f Y = 4200 Kg / cm 2 SOBRECARGAS: ALIGERADO:

W(T/m)

1000 Kg / cm 2 450 Kg / cm 2

L=3.00m

400 Kg / cm 2 PESO MURO: 3.00m ALTURA MURO: 150 Kg / cm 2 TABIQUERIA: PISO TERMINADO: 100 Kg / cm 2 AREA DE INFLUENCIA: 5.00m

1.0

A's 45cm

As 25

SECCIÓN TRANSVERSAL

METRADO DE CARGAS

CARGAS PERMANETES: ALIGERADO: 450 Kg / cm 2 * 5.00m = 2,250 Kg / m. MURO: 400 Kg / cm 2 * 3.00m = 1,200 Kg / m TABIQUERIA: 150 Kg / cm 2 * 5.00m = 750 Kg / m PISO TERMINADO: 100 Kg / cm 2 * 5.00m = 500 Kg / m Kg

PESO PROPIO: 0.25m * 0.45m * 2400 m 3 = 270 Kg / m

W D = 4970 Kg / m SOBRECARGAS:

0500 Kg / m 2 * 5.00m =2500 Kg / m

WL = 2500 Kg / m CARGA TOTAL: W = 1.5WD +1.8WL

W =1.5 * 4970 Kg / m +1.8 * 2500 Kg / m W =11,955 Kg / m

2.0 CALCULO DE MOMENTO FLEXIONANTE. 1 1 M = * W * L2 = *11,955 Kg / m 2 * 2.5 2 m 2 = 37,360 Kg − m 2 2

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M = 37.36T * m

3.0 CONDICIONES GEOMETRICAS DE LA SECCÓN Si: r = 3.5cm d = h − r − 1.5 = 45 − 3.5 − 1.5 = 40cm d ' = r + 1.5 = 3.5 + 1.5 = 5cm 4.0 MOMENTO MAXIMO M 1 QUE LA VIGA RESISTE SIN ACERO EN LA ZONA COMPRIMIDA:

 p *f M 1 = φASI * f Y * d 1 − 0.59 * 1 Y f 'C  A Pero: p1 = SI → ASI = p I * b * d b*d Además:

  

(1) (2)

p máx = 0.75 pb

Luego:

p1 = p máx = 0.75 * K1 * K 3 *

f 'C  6000    = 0.75 * 0.0213 f Y  6000 + 4200 

p1 = 0.016

En (2): ASI = 0.016 * 25cm * 40cm = 16.00cm 2  → ASI = 16.00cm 2 En (1):

 p * fY M I = φASI * f Y * d 1 − 0.59 * I f 'C 

  

 0.016 * 4200 Kg / cm 2 M I = 0.9 *16.00cm 2 * 4200 Kg / cm 2 * 40cm1 − 0.59 * 210 Kg / cm 2 

  

M I =1'962,245 Kg * cm  →M I =19.62T * m

Como: M = 37.36T * m > M I = 19.62T * m, La viga requiere acero en compresión. 5.0 CALCULO DEL MOMENTO ADICIONAL PARA DETERMINAR A' S yAS 2 M 2 = M − M 1 = 37.36T * m − 19.62T * m = 17.74 M 2 = 17.74T * m 6.0 CALCULO DEL ACERO EN COMPRESIÓN COMPLEMENTARIO EN TRACCION AS 2 .

A' S = AS 2 =

A' S

Y

DEL

ACERO

T ' 2 M ' 2 / ( d − d ') M '2 M2 = = = fY fY f Y ( d − d ') φf Y ( d − d ')

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A' S = AS 2 =

17.74 * 10 5 Kg * cm = 13.41cm 2 0.9 * 4200 Kg / cm 2 (40 − 5)cm

∴ A' S = AS 2

= 13.41cm 2

7.0 AREAS TOTALES. 2 EN COMPRESIÓN: A' S = 13.41cm → USAR :

5φ5 / 8". ó 3φ1"

2 2 EN TRACCIÓN: AS = 16.00cm + 13.41cm

6φ1".

AS = 29.41cm 2  → USAR: 8.0 SECCION CALCULADA:

40cm 3Ø1" 25 PROBLEMA: Una viga simplemente apoyada tiene una sección transversal de 60*25cm, una luz de 5.70m y acero en tracción equivalente a

6φ3 / 4". dispuestas

en 2 capas que distan entre sus ejes 5cm. La viga está provista también de acero en compresión

conformado

por

2φ5 / 8". si

f ' C = 210 Kg / cm 2

y

f Y = 4200 Kg / cm 2 ¿Qué carga por metro lineal podrá soportar la viga? 2Ø5/8"

40cm 5cm

6Ø3/4" 25

φ 3 / 4". = 17.10cm

a) MOMENTO QUE LA VIGA RESISTE SIN ACERO EN COMPRESION:

6

φ 5 / 8". = 3.958cm

2

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2

2

= AS 1 + AS 2

= AS 2 = A' S

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Luego: ASI = AS − AS 2 = 17.10cm 2 − 3.958cm 2 = 13.142cm 2

ASI = 13.142cm 2



∴ M 1 = φASI * f Y * d 1 − 0.59 * 

p1 * f Y f 'C

  

1 d = h − 2.5 − r − φ 3 / 4" 2

d = 60 − 2.5 − 3.5 −1.90 d = 52.10cm

Pero: p I =

2

ASI 13.142cm = b * d 25cm * 52.1cm

p I = 0.01 Luego:

 0.01* 4200 Kg / cm 2 M I = 0.9 *13.142 * 4200 Kg / cm 2 * 52.101 − 0.59 * 210 Kg / cm 2  M I = 2'282,000 Kg * cm M I = 22.82 Kg * cm

  

b) MOMENTO ADICIONAL M 2 : M 2 = φAS 2 * f Y (d − d ' ) = 0.9 *13.142cm 2 * 4200 Kg / cm 2 ( 52.10 − 5) cm

M 2 = 2'339,000 Kg * cm M 2 = 23.39T * m c) MOMENTO TOTAL: M = M 1 + M 2 = 22.82T * m + 23.39T * m M = 46.21T * m

1 8

2 → W = Además: M = WL 

8 * M 8 * 46.21T * m = L2 5.70 2 m 2

W = 11.38T / ml

DISEÑO DE VIGAS CONTINUAS Y ALIGERADOS POR EL METODO DE LOS COEFICIENTES CONDICIONES PARA SU APLICACIÓN: 1. Si tomamos 2 tramos consecutivos de una estructura continua, el tramo mayor no deberá exceder al menor en más del 20% de su luz. Si: L1 > L2 , entonces :

L1 ≤ 1.2 L2

2. Las cargas deberán ser uniformemente distribuidas. Este método no contempla el caso de cargas concentradas.

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3.

La sobrecarga no debe exceder a 3 veces la carga permanente.

Cumplidas las condiciones mencionadas, es posible calcular losas aligeradas y vigas continuas, con los siguientes momentos críticos. W =1.5WD +1.8WL

1

2 A

3

W(T/ml)

B

C

D

Sean: 1 , 2 , 3 , Luz entre ejes de apoyos. '1 , ' 2 , '3 , Luz libre entre caras de apoyos. MOMENTOS POSITIVOS:

1 / 14W'3

a)

TRAMOS

EXTREMOS:

1 / 14W'1

2

2

b) TRAMOS INTERMEDIOS: 1 / 16W' 2

2

MOMENTOS NEGATIVOS: a) APOYOS EXTREMOS: M A =

1 2 W1 16

b) APOYOS INTERMEDIOS: M B =

o =

1 + 2 2

Lo =

1 2 W0 10

MD =

1 2 W3 16

MC =

1 2 WL0 10

2 + 3 2

DISEÑO DE UNA LOSA ALIGERADA: Diseñar una losa aligerada por el método de los coeficientes, según las características que se muestran a continuación El ladrillo de techo será del tipo REX.

2

1

3

VIGAS DE APOYO

.25

5.25

.25

4.50

SOBRECARGA DE SERVICIO: 500kg / cm 2 100kg / cm 2 PESO DE TABIQUERIA: PESO DE PISO TERMINADO: 50kg / cm 2

1.

4 VIGAS DE APOYO

.25

5.25

.25

f 'C = 210kg / cm 2

f Y = 4200kg / cm 2

DIMENSIONAMIENTO PREVIO:

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h =1 / 20 Ó h =1 / 25

 =Luz entre ejes de apoyos.

Si: h =

1 1 = ( 5.25 + 0.25) = 0.28m ≈ 0.30m 20 20

Si: h =

1 1 = ( 5.25 + 0.25) = 0.22m ≈ 0.25m 25 25

TOMANDO: ∴ h = 30cm d = 27cm r = 3cm

Ø 1/4"

LADRILLO DE ARCILLA DE 0.30X0.30X0.25

@ 0.25 (ACERO DE TEMPERATURA)

0.05 0.25 VIGUETA

0.10

0.30

0.10

0.30

SECCIÓN TIPICA ALIGERADO 2.

METRADO DE CARGAS:

PESO PROPIO: 310 Kg / m 2 PESO TABIQUERIA: 100 Kg / m 2 PESO PISO TERMINADO: 50 Kg / m 2

(LADRILLO REX)

D = 460 Kg / m 2

CARGA POR M.L. DE VIGUETA: d = 460 Kg / m 2 * 0.40m =184 Kg / ml L = 500 Kg / m 2 * 0.40m = 200 Kg / ml

CARGA DE DISEÑO: W =1.5 D +1.8 L =1.5 *184 Kg / ml +1.8 * 200 Kg / ml W =636 Kg / ml

3.

CONDICIONES PARA APLICAR EL METODO DE LOSCOEFICIENTES:

L1 5.25 = < 1.20 L2 4.50

∴OK! ES APLICABLE EL METODO

L 500 = Pu = 50,000 Kg ∴LA FALLA ES POR TRACCIÓN.

b.) CALCULO DEL ACERO LONGITUDINAL DE REFUERZO En estas condiciones por inversión de esfuerzos: A' S = AS y: AS * f Y = A' S * f S Luego, en la Ecuación (1):

Pu = φ[ 0.85 f 'C *a * b]

a=

Pu 100,000 Kg = 0.85φf 'C *b 0.85 * 0.70 * 210 Kg * 25cm cm 2

a =16cm

En la Ecuación (2):

  Kg 16   5 * 10 4 * 100cm = 0.70 0.85 * 210 * 16cm * 25cm 50 −  + A' S *2800( 50 − 5)  2 cm 2   

Pu * e' = φ [ A' S * f Y ( d − d ') + 0.85 f ' c * a * b( d − a / 2) ] A' S =

 pu * e'  1 − 0.85 * f 'C *a * b( d − a / 2 )   f Y ( d − d ')  φ 

Kg  50,000 Kg *100cm  − 0.85 * 210 *16cm * 25cm( 50cm − 8cm )   2 0.70 2800 Kg / cm ( 50cm − 5cm )  cm  A' S = 32.89cm  → USAR: 4φ1"+4φ3 / 4" c.) ANALISIS DE LA FALLA SECUNDARIA En el diagrama de deformaciones: Por ~ de AS : Ec=Eu ∈' S ∈u E's = d' Ku d − d ' Ku * d c=Ku*d ∈ (1) ∈' S = u ( K u d − d ') ∴ d Ku d En el diagrama de Whitney: a 16 26.68cm c = Ku d = = = = 31.38cm (2) Es K1 0.85 0.85 A' S =

1 2

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Reemp. (2) En (1) ∈' S =

0.003 (18.8cm − 5cm) = 0.0022  →∈' S = 0.0022 18.8cm

Pero: ∈' S =

fY 2800 Kg / cm 2 = = 0.0013  → ∈S = 0.0013 E S 2 * 10 6 Kg / cm 2

Como: ∈' S >∈S , el acero superior estará en fluencia y la falla es por TRACCIÓN Ó FLUENCIA.

4Ø1"+4Ø3/4"

55 4Ø1"+4Ø3/4"

25 SECCIÓN CALCULADA

PROBLEMA: Una compresión uní axial tiene las características siguientes: A' S = AS = 38.40cm 2

columna

a

e d=45cm

f 'C = 210 Kg / cm 2

f Y = 2800 Kg / cm 2

sometida

b=25cm

As

A's

Pu

d'=5cm t=50cm

Se pide determinar: a.) La fuerza máxima concéntrica P0 que debe soportar la columna. b.) La carga balanceada Pb c.) El momento balanceado M b d.) El momento M u para una carga Pu =120T a.) La carga máxima concéntrica que carga la columna será:

Po = [ 0.85 f ' C *b * t + AS * f Y + A' S * f Y ] Po =Carga concéntrica: P Po ≠ Pu  → Po = u

φ

Del diagrama de Withney:

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 ∈u ab = K 1  ∈ +∈ Y  u

ab = 26cm

   0.003   * d = 0 . 85   2800 Kg / cm 2    0.003 + 2 * 10 6 Kg / cm 2 

   * 45   

Kg   Po = 0.85 * 210 2 * 25cm * 50cm + 38.40cm 2 * 2800 Kg / cm 2 * 2 cm   Po = 438.17T

b.) Determinación de la carga balanceada:   ∈u Pb = φ 0.85 f 'C *K1 *   ∈u + ∈Y 

   * b * d   

    Kg 0.003  Pb = 0.70 0.85 * 210 * 0.85 *  2   cm 2800 Kg / cm 2  0.003 +  2 * 10 6 Kg / cm 2  

Pb = 81.48T

     * 25cm * 45cm      

c.) El momento balanceado M b será según la Ec. (2):

 a  M b = φPb * e'b = φ 0.85 f 'C *ab * b d − b 2  

   + A' S * f Y ( d − d ')   

Kg Kg   M b = 0.70 0.85 * 210 2 * 26cm * 25cm( 45 − 13cm ) + 38.4cm 2 * 2800 2 * 40cm cm cm   M b = 56.10T − m

d.) Como Pb = 81.48Tn > Pu =120tn. LA FALLA ES POR COMPRESIÓN Luego:

φ

e' =

e' =

Pu

[ 0.85 f 'C *a * b( d − a / 2 ) + A'S * f Y ( d − d ') ]

 0.70  26   0.85 * 210 * 26 * 25 45 −  + 38.4 * 2800( 45 − 5)   120,000  2   

0.70 [3'712,800 + 4'300,800]cm 120,000 e' = 46.75cm e' =

d − d'  d − d'  40 − 5   → e = e'−  = 46.75 −   2  2   2  e = 26.75cm

e' = e +

∴M

= pu * e = 120 * 0.2675Tn − m M u = 32.10Tn − m u

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PROBLEMA: Una columna provista de acero longitudinal y de estribos transversales soporta una carga axial aplicada directamente sobre ella de 90T y una carga excéntrica de 13.6T, cuyo punto de aplicación dista 20cm de la cara exterior de la misma. La altura libre de la columna es de 5.70m. La resistencia del concreto es de f 'C = 175 Kg / cm 2 y el límite de fluencia del acero es de f Y = 4200 Kg / cm 2 , se desea calcular el acero longitudinal de refuerzo, el mismo que debe disponerse simultáneamente por sus 4 caras. Pu = 90 +13.6 = 103.6T M u = 13.6 * 0.45 = 6.12T − m 90T 13.6T d'=s

A's

Pu=103.6Tn

Mu=6.12T-m

a.) 20cm

d=45cm

t=50cm

As

e=45cm

b=50cm

e'=65cm

TIPO DE FALLA: De la formula de la carga

balanceada:   ∈u Pb = φ 0.85 f 'C *K1 *   ∈u + ∈Y 

   * b * d   

    Kg 0.003  Pb = 0.70 0.85 * 175 * 0 . 85 *   cm 2 2800 Kg / cm 2  0.003 +  2 * 10 6 Kg / cm 2  

Pb = 185,000 Kg = 185T > Pu 103.6T .

     * 50cm * 50cm       

Como: Pb > Pu , La falla es por TRACCIÓN. b.) CALCULO DE A' S = AS LUEGO: A' S * f S = AS * f Y DE (1): Pu = φ[ 0.85 f 'C *a * b ]

Pu a= = φ [ 0.85 * f 'C *b] a =19.80cm

103.6 * 10 3 Kg = 19.80cm Kg   0.700.85 * 175 2 * 50cm cm  

DE LA EC. (2):

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Pu * e' = φ [ A' S * f Y ( d − d ') + 0.85 f ' c * a * b( d − a / 2) ] A' S =

 pu * e'  1 − 0.85 * f 'C *a * b( d − a / 2 )   f Y ( d − d ')  φ 

A' S =

Kg 103,600 Kg * 65cm − 0.85 * 175 * 19.8cm * 50cm( 45cm − 9.90cm  0.70 4200 Kg / cm ( 45cm − 5cm )  cm 2 1

2

∴A

A' S = 26.50cm

S

= A' S = 26.50cm

USAR:

5φ1"

c.) ANALISIS DE LA FALLA SECUNDARIA. Del diagrama de Whitney: a 19.8cm c = Kud = = = 23.30  → c = 23.30cm K1 0.85 Del diagrama de deformaciones:

Ec=Eu E's

Por ~ de AS : K d − d' ∈' S K u d − d ' =  → ∈' S =∈u u Ku d ∈u Ku * d d'

Ku d

 23.30 − 5  ∈' S = 0.003 →∈' S = 0.0024  = 0.0024   23.30 

d

Es

Como: ∈' S >∈S

Además: f 4200 Kg / cm 2 ∈S = Y = = 0.0020  → ∈S = 0.0020 E S 2 * 10 6 Kg / cm 2

∴La

falla es por FLUENCIA.

3Ø1" t=50cm

2Ø1" 3Ø1" b=50cm

SECCIÓN CALCULADA

DINTELES - DETALLES

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a.) DINTELES QUE SOPORTAN CARGAS.

2Ø1/2"

Ø1/4": [email protected], [email protected] c/e

4Ø1/2"

.30 .25

2Ø1/2"

0.70 < L AV min ∴ok

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PROBLEMA.- Se tiene una viga simplemente apoyada de 8.00m de longitud entre apoyos y una carga uniformemente distribuible de 10,000kg/m. El ancho de la viga es de 30cm y superalte efectivo, de 56cm. El concreto es de f’c = 210kg/cm 2 y el acero de fy=4200kg/cm2. Determine la cantidad de estribos y su esparcimiento. W = 10,000kg/cm ↓

A

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

L = 8.00m

↓

↓

↓

B

v

VA

vc d = 56 L/2 = 4.00m

1.

Carga total sobre la viga: 10,000kg/m x 8m = 80,000kg

2. Valor de las reacciones en los apoyos. VA = RA = 40,000kg 3. Fuerza cortante crítica: A la distancia “d” de la cara de apoyos. V = RA – w x d = VA – wxd = 40,000kg – 10,000kg/m x 0.56m V = 40,000kg – 5600kg = 34,400kg 4. Esfuerzo cortante debido a la fuerza cortante crítica. v=

V 34,400kg = = 20.48kg / cm 2 bxd 30cm x 56cm

5. Esfuerzo cortante que será asumido por los estribos. vc =0.53

f ' c =0.53 x

210 kg / cm 2 =7.68kg / cm 2

6. Esfuerzo cortante que será asumido por los estribos. vu = v −vc =20.48kg / cm 2 − 7.68kg / cm 2 =12.80kg / cm 2

7. Longitud teórica requerida para estribos: 2 1   vu   800cm  12.80kg / cm a =  −d  =  − 56cm  x 2 2  v   2  20.48kg / cm a = 215cm 8. Longitud real requerida para estribos

( a + 2d ) = ( 215cm + 2 x 56cm ) =327cm

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9. DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES: Se puede seleccionar un número cualquiera de secciones. En este caso, la longitud teórica la dividiremos en 4 espacios de 53.75cm cada uno.

Vu1= Vu2= 12.80 kg/cm2

Vu3= Vu4=

53.75

53.75

53.75

53.75

cm

a =215cm

Por v de As: vu 2 161.25 = → vu 2 = 9.6kg / cm2 12.80 215 vu3 107.5 = → vu3 =6.4kg / cm 2 12.80 215 vu 4 53.75 = → vu 4 = 3.2kg / cm2 12.80 215 Considerando estribos cerrados de φ3/8”, el espaciamiento será: S=

Av x fv vu x b

S =

Av = 2 x 0.71cm2 = 1.42cm2

1.42cm2 x 4200kg / cm2 198.80 = vu x 30cm vu

S =

198.80 vu

a. Espaciamiento en la sección Vu = 12.80kg/cm2 198.80 S = cm = 15.5cm → S =15cm 12.80 b. Espaciamiento en la sección vu = 9.60kg/cm2 198.80 S = cm = 20.7cm → S = 20cm 9.60 c. Espaciamiento en la sección vu = 6.40kg/cm2 198.80 S = cm = 31.06cm → S =30cm 6.400 d. Espaciamiento en la sección vu = 3.2kg/cm2 198.80 S = cm = 62.125cm → S = 60cm 3.2

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Espaciamiento máximo permisible. 0.5d El menor valor 60cm 0.5 x 56cm = 28cm 60cm USAR :

Smáx = 28cm ≅ 27.5cm

φ 3/8” : [email protected],[email protected],[email protected], [email protected] c/E

h φ 3/8” : [email protected],[email protected],[email protected], [email protected] c/E

L/2 = 4.00m h

PROBLEMAS: Calcular el refuerzo vertical de la viga mostrada en la figura, así como el espaciamiento, si se conocen los siguientes datos. f 'C = 210 Kg / cm 2 f Y = 4200 Kg / cm 2 1. C ar g a CM=1.2T/ml (NO INCLUYE PESO PROPIO CV=2.0T/ML

A's 50

As

L=3.00m

25

total sobre la viga:

W = 1.5CM + 1.8CV El peso propio de la viga es: 0.25m * 0.50m * 2.4T / m 3 = 0.30T / ml Luego: CM = 1.2T / ml + 0.30T / ml = 1.50T / ml

∴W

= 1.5 * 1.50T / ml + 1.8 * 2.0T / ml = 5.85T / ml

W = 5.85T / ml

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2. Valor de las reacciones: R = W * L = 5.85T / ml * 3.00ml = 17.55T R = 17.55T

3. Cortante crítico: a la distancia d de la cara del apoyo: Si:

h = 50cm y considerando: r = 3.5cm d = h − r −1.5 = 50 − 3.5 −1.5 = 45cm d = 45cm

V = R − w * d =17,550 Kg −5850 Kg / ml * 0.45ml V =14,917.50 Kg

4. Esfuerzo cortante unitario por acción de las cargas exteriores: v=

V 14,917.50 Kg = = 13.26 Kg / cm 2 b*d 25cm * 45cm

5. Esfuerzo cortante unitario resistente del concreto. vC = 0.53 f 'C = 0.53 * 210 = 7.68 Kg / cm 2 < v

6. Esfuerzo cortante que debe ser resistido por el acero de estribos:

vu = v − vC = 13.26 Kg / cm 2 − 7.68 Kg / cm 2 vu = 5.58 Kg / cm 2 7. Longitud teórica que requiere estribos:

9.06 Kg / cm 2 v  a = ( L − d )  u  = ( 300 − 45) cm * = 174.20cm ≈ 175cm 13.26 Kg / cm 2 v  a = 175cm

8. Longitud real que requiere estribos: ( d + a + d )

( d + a + d ) = ( 45 + 175 + 45) = 265cm

9. Diagrama de esfuerzos cortantes: dividiremos la longitud técnica en 4 espacios de 43.75cm cada uno:

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43.75 43.75 175cms

vu1 =9.06Kg/cm²

vu² =6.80Kg/cm²

vu3=4.53Kg/cm²

vu4 43.75

=2.27Kg/cm²

Por ~ de AS :

43.75

vu2 9.06 2 =  → vu = 6.80 Kg / cm 2 175 131.25 3

9.06 vu 3 = → vu = 4.53Kg / cm 2 175 87.50 4

9.06 vu 4 = → vu = 2.27 Kg / cm 2 175 43.75 Si se usa

φ3 / 8" , el espaciamiento de estribos S

será:

Av * f v 2 * 0.71 * 4200 = cm = 238.56 / vu vu * b vu * 25

S= S=

238.56 vu

2 a.) Espaciamiento en la sección con vu = 5.58 Kg / cm

S=

238.56 cm = 42.75cm  → S = 42.7cm  → S = 42.5cm 5.58

2 b.) Espaciamiento en la sección con vu = 2.79 Kg / cm

S=

238.56 cm = 85.50cm  → S = 85.50cm  → S = 85cm 2.79

 Espaciamiento máximo permisible: 0 .5 d 0.50 * 45 = 22.5cm 60cm 60cm S = 22.5cm

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Ø3/8": [email protected], [email protected] m

3.00m

∴ USAR;φ 3 / 8": 1@ .05, RESTO @ 0.225m. AV min =

3.5 * b * s 3.5 * 25cm * 22.5cm = = 0.468cm 2 fY 4200 Kg / cm 2

AV min < 2 * 0.71cm = 1.42cm 2 ∴ok PROBLEMAS: Para la viga mostrada en la figura, se pide diseñar el estribado correspondiente, si se conoce que el acero es de f Y = 4200 Kg / cm 2 y el concreto de

f 'C = 210 Kg / cm 2

W1=6.6T/ml

W2=5.4T/ml

.40*.88

.40*.66

.40*1.10 1.50 L1=6.00

1.80 L2=9.00

1. Empleando el método de las fuerzas, calculamos las reacciones correspondientes:

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R1=11.6T

R1=57.8T 29.8T

R1=18.8T

11.6T

1

2

3 -18.8T

-28.0T

2.

Cortantes críticos en los tramos 1-2 y 2-3:

a.) Fuerza cortante critica en el apoyo (1) del tramo 1-2: V = R1 −W1 − d

V = 11.6Tn − 6.6T / m * 0.61m V = 7.57tn

Esfuerzo cortante critico por cargas externas: V 7570 Kg v= = = 3.10 Kg / cm 2 b * d 40cm * 61cm v = 3.10 Kg / cm 2

b.) Fuerza cortante critica en el apoyo (2) del tramo 1-2:

V = R1 − W1 ( L1 − d )

d=1.10-3.5-1.5 d=1.05m

V =11.6Tn − 6.6T / m * ( 6.00 −1.05m ) V = −21.07tn

1.05

1.10

40

Esfuerzo cortante critico por cargas externas: v=

V 21070 Kg = = 5.02 Kg / cm 2 b * d 40cm *105cm

v = 5.02 Kg / cm 2

c.) Fuerza cortante critica en el apoyo (2) del tramo 2-3:

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V = R3 − W2 ( L2 − d ) V =18.80Tn − 5.4T / m * ( 9.00 −1.05m ) = −24.12T V = −24.12tn

Esfuerzo cortante critico por cargas externas: v=

V 24120 Kg = = 5.74 Kg / cm 2 b * d 40cm *105cm

v = 5.74 Kg / cm 2

d.) Fuerza cortante critica en el apoyo (3) del tramo 2-3: d=(88-3.5-1.5)cm d=83cm

V = R3 −W2 * d

V = 18.80Tn − 5.4T / m * 0.83m = 14.32T V =14.32tn

83

88cm

40

Esfuerzo cortante critico por cargas externas: v=

V 14320 Kg = = 4.30 Kg / cm 2 b * d 40cm * 83cm

v = 4.31Kg / cm 2

3. Esfuerzo cortante permisible ó resistente del concreto según esfuerzos de trabajo: vC = 0.29

f 'C = 0.29 210 = 4.20 Kg / cm 2

vC = 4.20 Kg / cm 2 Este valor es mayor que los esfuerzos críticos en la zona de apoyo, por lo que no es necesario estribos desde el punto de vista estructural, por lo que se considera un estribado mínimo. Pero este valor es menor en la zona de apoyos (2) y (3). 4.

Calculo de área mínima de acero de estribos. En la zona de apoyo (1): Av = 0.0015b * s Siendo:

∴S =

Av 0.0015 * b

Si usamos varillas de

Av = Área de acero de estribos b = Ancho de la viga. S = Separación de estribos

φ3 / 8" , el área de acero es

Av = 2 * 0.71cm 2

Luego:

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S=

2 * 0.71cm 2 = 23.66cm 0.0015 * 40cm

Sea: S = 22.5cm

∴ USAR;φ 3 / 8": 1@ .05, RESTO @ 0.225m.c / e 5.

Calculo de acero de estribos en zonas de Apoyos (2) y (3).

Apoyo (2) a.) Esfuerzo cortante por acción de las cargas: v = 5Kg / cm 2 Esfuerzo cortante permisible del concreto: v = 4 2 Kg / cm 2 Esfuerzo que debe resistir al estribado: vu = v − vC = 5Kg / cm 2 − 4.20 Kg / cm 2

vu = 0.80 Kg / cm 2 b.)

Longitud teórico que requiere estribos.

v  a = ( 0.6 L − d )  u  v  a = ( 0.6 * 600cm −105) *

0.80 Kg / cm 2 = 40.8cm 5.0 Kg / cm 2

c.)

Longitud real que requiere estribos:

d.)

Calculo del acero de estribos y su espaciamiento.

( d + a + d ) = (105 + 40.8 +105)cm = 250.8cm S=

AS * f v Si usamos vu * b

S=

2 * 0.71cm 2 * 0.50 * 4200 Kg / cm 2 = 93cm 0.80 Kg / cm 2 * 40cm

φ3 / 8" , entonces:

Pero: S máx = d / 2 = 1.05 / 2 = 50cm

∴USAR;φ 3 / 8": 1@ .05, RESTO @ 0.50m. Apoyo (3)

ADHERENCIA Es la resistencia al deslizamiento que opone el acero de refuerzo, respecto a su posición dentro del concreto. Tiene su origen en los fenómenos siguientes: a.) Adhesión de naturaleza química entre el acero y el concreto.

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b.) Fricción entre la varilla y el concreto que se desarrolla al tender a deslizarse la primera. c.) Apoyo directo de las corrugaciones de las varillas contra el concreto que las rodea.

C

y

C+Ac

W

V

V

T

jd T+AT

Ax

Ax

AT = Fuerza que tienda a secar del concreto al pequeño tramo del acero de refuerzo. Tomando momentos recto al punto “y”: (V * Ax ) − ( AT * jd ) = 0 V * Ax AT * jd = V * Ax  → At = jd

ΣM y = 0

(1)

Sea:

u = Esfuerzo por unidad de superficie (de contacto) de adherencia entre la varilla y el concreto en Kg/cm2. Σ0 =Suma de perímetros de todas las varillas horizontales de refuerzo por tensión en la sección considerada, en cm. j =Coeficiente cuyo valor es 0.875

u T

T+AT

Ax

Fuerza Resistente= AT = u * Σ0 * Ax (1) = (2) u * Σ 0 * Ax =

(2)

V * Ax V  → u = jd j * d * Σ0

Se denominan varillas SUPERIORES aquellas que por su posición en la viga, tienen debajo de estas una masa de concreto de 30cm o más de espesor. Se llaman varillas INFERIORES, aquellas que tienen su espesor de concreto debajo de ellas, menor que 30cm. Para el método a la rotura, el Reglamento ACI, específica que: a.) Para barras ó Varillas superiores, el máximo permisibles: 4.5 µmáx = f 'C 39.4Kg/cm2 D

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b.) Para barras ó varillas inferiores:

µmáx =

6.4 D

f 'C

56Kg/cm2

En ambos casos para VARILLAS SOMETIDAS A TRACCIÓN. En el caso de VARILLAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN, tanto SUPERIORES como INFERIORES, se tiene: 3.4 f 'C 56Kg/cm2 D En el caso que el esfuerzo real exceda el permisible, será necesario usar un mayor número de varillas de menor diámetro, pero cuya área total sea la misma requerida. Con ello se obtendrá un mayor Σ0 .

µmáx =

ANCLAJE Ó LONGITUD DE DESARROLLO En la longitud física que deben tener las varillas de acero de refuerzo dentro de una estructura cualquiera con la finalidad de obtener una posición fija durante su vida útil.

Ld =

AS * f Y φΣ 0 * µ µ

µ máx =

6.4

f 'C

56Kg/cm2

D

Σ0 = Suma de los perímetros de todaslas varillas a usar.

Ld

Ld

1.502

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1.516

+

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CIMENTACIONES Se denomina INFRAESTRUCTURA ó CIMENTACION a la parte de una estructura situada generalmente por debajo de la superficie del terreno y que transmite las cargas provenientes de la parte superior ó superestructura, al suelo resistente ó roca subyacente. Todos los terrenos se comprimen apreciablemente cuando son cargados, dando lugar a que las estructuras que sustentan, se asienten. Las dos condiciones esénciales que hay que tratar de satisfacer, cuando se proyecta una cimentación, se reducen a que el asentamiento total de la estructura no excede de una pequeña magnitud permisible, y además que los asentamientos relativos entre los distintos elementos parciales de aquella (asentamientos diferenciales) sean lo mas próximo a cero como sea posible. CLASES DE CIMENTACION: a.) SUPERFICIAL Ó DIRECTA: Cuando el suelo es apreciablemente resistente ó las cargas son moderadas, que permiten la transmisión directa de las cargas de la cimentación al terreno. Está constituida por las ZAPATAS, las mismas que pueden ser: ZAPATAS AISLADAS. ZAPATAS CORRIDAS NORMAL ZAPATAS COMBINADAS TRAPEZOIDAL ZAPATAS CONECTADAS EXCENTRICA ZAPATAS CONTINUAS PLATEAS DE CIMENTACIÓN b.) INDIRECTA Ó PROFUNDA: Cuando el suelo de sustentación es poco resistente ó las cargas son considerables, que hace necesario resistente ó las cargas son considerables, que hacen necesario buscar el terreno firme a profundidades mayores. Esta constituido por las zapatas sobre pilotes. En este caso los pilotes transmiten las cargas al terreno de sustentación.

ESTUDIO DE LA CIMENTACIÓN DIRECTA Se analizaran dos tipos de cimentación superficial ó directa, que son las siguientes: 1. ZAPATAS CORRIDAS: Para el caso de muro o placas que soportan cargas

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2. ZAPATAS AISLADAS: Para el caso de columnas estructurales aisladas.

W

e 1.00m h

ZAPATA CORRIDA

* EL DISEÑO SE EJECUTA PARA 1.00M DE ZAPATA

P ZAPATA CORRIDA

h m

t

m Wn

n COLUMNA b*t

b

* SI LA COLUMNA ES CUADRADA Ó CIRCULAR, LA ZAPATA SERA CUADRADA. SI LA COLUMNA ES RECTANGULAR, LA ZAPATA TAMBIEN LO SERA.

B

n A

DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS Si: d=peralte útil de la zapata: d ≥ 15cm h=peralte total de la zapata: h = ( d +1.5 + 7.5)cm 1. DIMENSIONAMIENTO Calculo del área AZ P + PP AZ = rt AZ =Área de la zapata

P

h m

t m

PLANTA:

P = Carga de servicio.

PP = Peso propio de la zapata rt =Presión admisible del terreno. Pesos propios para un primer tanteo:

n b

EN

COLUMNA b*t

B

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rt(Kg/cm²)

Pp en % de P

1.00

8% de P

2.00 3.00 4.00

5% de P 4% de P 3% de P

Aproximadamente: 1 A = AZ + ( t − b ) 2 B = AZ +

1 ( t − b) 2

2. DIMENSIONAMIENTO EN ELEVACIÓN: Calculo de peralte de la zapata se deberá calcular según dos criterios:

" d " . El

ESFUERZO CORTANTE POR PUNZONAMIENTO v0 : La sección crítica por punzonamiento se ubica a la distancia "d / 2" de la cara de la columna. b0 = 2(b + 2d + t )

∴ v0 =

V0 (1) b0 * d

Siendo: V0 =Fuerza cortante en la sección critica.

d/2 t d/2

V0 = A * B * Wn − (b + d )(t + d ) * Wn v 0C = Esfuerzo Si: cortante permisible del concreto.

LA SECCIÓN CRITICA POR PUNZONAMIENTO.

Wn

∴v 0 C =1.06φ

f ' C Donde:

φ = 0.85

PERIMETRO DE LA SECCIÓN CRITICA: b0

d/2

Se debe cumplir que: v0 ≤ v0C

b d/2

crítica se ubica a la distancia " d " P LA SECCIÓN CRITICA POR FLEXIÓN.

ESFUERZO CORTANTE POR FLEXIÓN Ó CORTE POR TRACCIÓN DIAGONAL: La sección de la cara de la columna. Si: vu =esfuerzo de corte por flexión

vu =

GRIETA POR FLEXIÓN.

d

Wn t

d

(m-d)

(1)

vu = Wn * B * (m − d )

(2)

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Vu B*d

(2)

en (1):

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vu =

Wn * B * ( m − d ) B*d

vu =

Wn ( m − d ) d

Si: vuC =esf. Cortante permisible del concreto: vuC = 0.53φ f ' C φ = 0.85 Se debe cumplir que: vuC ≥ vu (n-d) d n b

B

t

A

d (m-d)

3.

PERALTE " d "

REQUERIDO POR FLEXIÓN: Siendo: K =

d = M / K *b

1 * fC * j * K 2

4. CALCULO DE AREAS DE ACERO POR FLEXIÓN. MOMENTOS FLEXIONANTES m M 1−1 = Wn * B * m * 2 M 1−1 =

P

1 m2 * Wn * B * 2 2

M 2−2 = Wn * A * n * M 2−2 = d

m

1

t

1

m

n 2

1 n2 *Wn * A * 2 2

h 7.5cm

Wn

n 2

2

B

b 2

2

n 11

A

11

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ACERO DE REFUERZO: Se colocará en ambos sentidos: según A y según B. la armadura para resistir M 2−2 se colocara perpendicular a este eje. La armadura para M 1−1 se colocará perpendicular a este eje. Se tendrá:

ASB =

M 2−2 φf Y ( d − a / 2 )

ASB =

M 1−1 φ = 0 .9 φf Y ( d − a / 2 ) 5. V

ASA 1 ASB

B 2

2 1

A

ERIFICACIÓN POR TRANSFERENCIA DE ESFUERZOS. Sean: f 'CC =Esfuerzo

compresión columna.

Pu

permisible

del

concreto

f 'CZ =Esfuerzo

f'cC

de

permisible

en la en

compresión del concreto de la zapata

Ac f'c2

AC =Área

de

contacto

entre

la

columna y la zapata= Área de la sección de la columna.

Wn

f au =Esfuerzo de contacto entre la

columna y la zapata por acción de la carga exterior Pu f a =Esfuerzo permisible de contacto entre la columna y la zapata.

f au =

Pu AC

(1)

Además: f a = 0.85φf 'CC

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El menor

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AZ AC

Ó f a = 0.85φf 'CZ

valor

Se debe cumplir que: f a ≥ f au

Siendo:

2 y φ = 0.70

AZ / AC

Si: f au ≥ f a , entonces: a.) Se diseñaran pedestales. b.) Se colocaran barras de conexión ó “dowells”. PEDESTALES: Es necesario verificar el esfuerzo de contacto entre la columna y el pedestal y luego entre el pedestal y la zapata, debiendo cumplirse en ambos casos que: f a ≥ f au

A1 = (b + 2 x)(t + 2 x) A2 = b1 * t1 (2)

Pu COLUMNA

Ac A'c1

(1)

PEDESTAL ZAPATA

Wn

Además:

A1 =

Pu P = u fa f au

(3)

De (1) y (3), se obtiene x: Se debe cumplir que: Pu f'c1

hp

f'c2

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x ≤ hP ≤ x 2 Luego: A2 f au = * 0.85 * φ * f ' C 2 A1 Donde φ = 0.7

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Pu A1 Debiéndose cumplir que: fa =

x b

B

f a ≤ f au

Es decir:

b1

t t1 A

x

A2 * 0.85 * φ * f 'C 2 A1

fa ≤

x

x

BARRAS DE CONEXIÓN: LONGITUD DE DESARROLLO: Ld = Longitud de desarrollo. Se pueden aprovechar las barras columnas para formar las “dowells”

Pu Le=1.7Ld

Ld ≥

Ld

0.0755 f Y * db f 'C

de

las

(1)

0.00427 f Y * d b (2) 20cm (3)

Donde: d b =diámetro de una varilla. d b =Área de una varilla.

A2 = A * B

A1 = b * t

f 'C 2 = Concreto zapata f 'C1 =Concreto columna

Pu f'cd f'c2

fa = b

B

Pu A1

t A

Puesto que: A1 < A2

Se tiene: A2 f au = * 0.85 * φ * f ' C 2 A1

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Se debe cumplir que:

A2 ≤2 A1

Sea: F = A1 ( f a − f au ) F ∴ASd = φf Y Donde: φ =0.7 (Barras a compresión) φ =0.9 (Barras a tracción) Pero: ASd ≥ 0.005 * A1

DISEÑO DE LAS ZAPATAS CORRIDAS. Solo existe una sección crítica para momento flexionante, que se ubica a lo largo de la zapata. Si: Wn =Reacción del terreno: 1 M 1−1 = *Wn * m *1.00 * m 2 M 1−1 =

W

Luego:

e

AS =

SECCIÓN CRITICA POR CORTE

W h

d r

d

e

1 * Wn * m 2 2

M fS * j * d (1)

m

Además de la armadura principal calculada según (1), es necesario calcular acero de repartición, colocado a lo largo de la sección critica por flexión: ASr =0.002 * b * d

2 1 1 As 1.00m

2 1 1

Donde:

b =

En el dimensionamiento en planta es recomendable usar valores de peso propio de la zapata, comprendidos entre el 2% y el 5 % de la carga total sobre

la misma, considerando la mayor ó menor resistencia del terreno. W= carga sobre el muro o placa h

1. Dimensionamiento en planta:

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Asr

W

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=

W + WPP rt

a.)

d=

rt(Kg/cm²)

Pp en % de w

1.00

5% de w

2.00 3.00 4.00

4% de w 3% de w 2% de w

Por flexión: calcular M 1−1

M 1−1 = K −b

2. Dimensionamiento en altura: n K= n + f S / fC

M 1−1

f S = 0.50 f Y

1 * fC * K * j * b 2

f C = 0.45 f ' C

n= Por corte en la sección critica: V = WU ( m − d ) Peralte requerido por corte: V d = Siendo: vC = 0.29 f 'C vC * b ∴ h = d + r + 1.5

ES EC

b.)

n =1− K /3

3. Calculo de áreas de acero:

M 1−1 fS * j * d

a.)

Acero principal: AS =

b.)

Acero de repartición: ASr = 0.002 * b * d

PROBLEMA: Una columna cuadrada de 30*30cm de lado, está reforzada con 6 varillas

de

φ1" .

El

concreto

es

2 de f 'C = 210 Kg / cm y

el

acero

de

f Y = 4200 Kg / cm 2 para dicha columna, debiendo soportar una carga muerta de 60 T y una carga viva de 40 T. El esfuerzo permisible del terreno en condiciones de servicio es de 2.00 Kg/cm2. Se deberá diseñar la zapata, la misma que deberá diseñarse con 2 acero de f Y = 4200 Kg / cm 2 y concreto de f 'C = 175 Kg / cm COLUMNA ZAPATA SECCIÓN: 30*30cm

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SECCIÓN: A*B=A*A

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φ

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= 6 1 "

A S f f

= 210 K

'C

= 4200

Y

= 60 T = 40 T

CM CV

rt = 2.00 Kg / cm 2 f Y = 4200 Kg / cm 2 f 'C = 175 Kg / cm 2

1. ASUMIENDO QUE EL PESO PROPIO DE LA ZAPATA ES EL 5% DE LA CARGA QUE SOPORTA LA COLUMNA:

PP = 0.05(60 + 40) = 5T Luego: PTOTAL = Pu = 60 + 40 + 5 = 105T 2. DIMENSIONAMIENTO EN PLANTAS: Área de la Zapata: A2 =

PT 105 * 103 Kg = = 52,000cm 2 rt 2 Kg / cm 2

Siendo la columna cuadrada, la zapata también lo será, luego: A=B =

A2 = 52,000con = 228cm ≈ 230cm.

∴ A = B = 2.30m 3. LA CARGA NETA Ó CARGA MÁXIMA DE ROTURA SERÁ: PROTURA = 1.5CM +1.8CV = 1.5 * 60 +1.8 * 40 = 162T

La reacción neta del terreno será:

rNETA =

PROTURA 162 * 103 Kg = = 3.08Kg / cm 2 2 AZ 52,500cm

4. DIMENSIONAMIENTO EN ELEVACIÓN: a.) PERALTE REQUERIDO POR PUNZONAMIENTO: Se procede por tanteos, considerando que el peralte minímo es de 15cm. Sea:d=50cm

d=50cm SECCIÓN CRITICA POR PUNZONAMIENTO

d/2

SECCIÓN CRITICA POR FLEXIÓN

d/2

Wn=rn .75

.25

t=.30

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.25

.25

.50

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1 2m3 .50 .25 .25

SECCIÓN PARA VERIFICAR PERALTE POR FLEXIÓN.

n SECCIÓN PARA VERIFICAR PERALTE POR PUNZONAMIENTO

2.30

b=30cm .25 .75

2.30

1 23

El esfuerzo permisible de corte por punzamiento es: vuc = 1.06φ f 'C =1.06 * 0.85 * 175 = 11.92 Kg / cm 2 Perímetro de la sección critica: b0 = 2(b + d + t + d ) = 2(b + t + 2d ) = 2(30 + 30 + 2 * 50) b0 = 320cm

La fuerza de corte Vu en esta sección crítica es: Vu = Pu − rNETA * A0 Donde: A0 = Área dentro del perímetro critico.

Vu = 162 * 10 3 Kg − 3.08

Kg * (25 + 30 + 25) 2 cm 2 cm 2

Vu =142,290 Kg

Luego, el esfuerzo de corte vu será:

vu =

Vu 142,290 Kg = = 8.90 Kg / cm 2 bo * d 320cm * 50cm

Como:

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vu = 8.90 Kg / cm 2 < vuc = 11.92 Kg / cm 2 El PERALTE ES ADECUADO b.)PERALTE REQUERIDO POR FLEXIÓN: Se comprueba a la distancia " d " de la cara de la columna:

Vu = 3.08

Kg * 50cm * 230cm = 35,420 Kg . cm 2

Luego:

vu =

Vu 35,420 Kg = = 3.08 Kg / cm 2 A * d 230cm * 50cm

vu = 3.08 Kg / cm 2 El esfuerzo permisible de corte por flexión del concreto es: vC = 0.53φ f 'C = 0.53 * 0.85 * 175 = 5.62 Kg / cm 2 2 2 Como: vC = 5.62 Kg / cm > vu = 3.08Kg / cm

El PERALTE ES ADECUADO 5. DISEÑO DEL ACERO POR FLEXIÓN: Momento en la sección crítica (1)-(2):

M 1−1 = Wn * B *

m2 Kg 100 2 = 3.08 2 * 230cm * cm 2 2 cm 2

M 1−1 = 3'542,000 Kg − cm

Luego:

AS =

Mu Si: a = 0.1d = 0.1 * 50 = 5cm φf Y ( d * a / 2 )

AS =

∴a =

3'542,000 Kg * cm = 20.88cm 2 Kg  5  0.85 * 4200  50cm − cm  cm 2  2 

AS * f Y 20.88cm 2 * 4200 Kg / cm 2 = = 2.56cm Kg 0.85 * f 'C *B 0.85 *175 2 * 230cm cm

Luego: d − a / 2 = 50 −1.28 = 48.72cm

AS =

3'542,000 Kg * cm = 20.36cm 2 Kg 0.85 * 4200 48.72cm cm 2

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AS = 20.36cm 2

usar = 8φ 3 / 4"

∴

6. COMPROBACIÓN POR ADHERENCIA: tratándose de varillas inferiores: u=

6.4 D

f 'C =

6.4 175 = 44.44 Kg / cm 2 1.905

u Permisible = 56 Kg / cm 2 Como: u < u permisible ∴OK 7. TRANSFERENCIA DE ESFUERZOS.

Pu 105 * 10 3 Kg = = 116.67 Kg / cm 2 AC 30 * 30cm 2 El esfuerzo permisible será el menor de los dos valores siguientes: f a = 0.85φf 'CC = 0.85 * 0.70 * 210 Kg / cm 2 = 124.95 Kg / cm 2 fa =

f a = 0.85φf 'CZ *

∴ fa

A2 230 * 230 = 0.85 * 0.70 * 175 = 1140 Kg / cm 2 AC 30 * 30

= 124.95 Kg / cm 2

Como: f a = f au

∴OK

8. DIAGRAMA DE LA ZAPATA CALCULADA

h = d +1.5 + 7.5 h = 50 +1.5 + 7.5 = 60cm h = 60cm

1Ø3/4"@.325 m

1Ø3/4"@.325 m

60cm 230cm

COLUMNA 30X30

230cm 1Ø3/4"@.325 m

1Ø3/4"@.325 m

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PROBLEMA: Un muro de 40cm de espesor soporta una carga total de 40,000Kg/ml. La presión admisible en el suelo es de 2.00Kg/cm2. Diseñar la zapata para este muro 2 usando concreto de f 'C = 175 Kg / cm y acero de f Y = 2800 Kg / cm 2 .

40cm

d h 7.5cm

1 1 m

t

m

1.00m

1 1

1. DIMENSIONAMIENTO EN PLANTA: Considerando que el peso propio de la zapata es el 3% de WT , se tendrá: WT , El ancho requerido  será:

=

wT (40,000 + 1,200) Kg / ml = = 206cm ≅ 210cm. rt 2 *10 2 Kg / cm2

2. REACCIÓN NETA DEL TERRENO Wn : La reacción neta del suelo (para un metro lineal de zapata) será: Wn =

41'200 Kg / ml = 196 Kg / cm / ml de zapata. 210cm

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Longitud del volado: m =

210 − 40 = 85cm 2

3. DIMENSIONAMIENTO EN ALTURA: a.) POR FLEXIÓN Momento flexionante en la sección critica 1-1: M =

1 1 * Wn * m 2 = * 196 * 852 = 708,000 Kg * cm / ml de zapata. 2 2

b.) POR ESTA SECCIÓN:

f' 175 Kg / cm 2 p = 0.18 C = 0.18 * 0.0113 fY 2800 Kg / cm 2 2 Para: f 'C = 175 Kg / cm y

∴K = ( p ) n

n = 10 2

+ 2 pn − pn =

f Y = 2800 Kg / cm 2

K=

n n+

fS fC

f S = 0.50 f Y f C = 0.45 f 'C

( 0.0113) 2 + 2 * 0.0113 *10 − 0.0113 *10

K = 0.38

j =1 − K / 3 =1 − 0.38 / 3 = 0.875 j =0.875

De: M =

d=

1 fC * K * j * b * d 2  → d = 2

2M fC * K * j * b

2 * 708,000 = 23cm ≅ 25cm 0.45 *175 * 0.38 * 0.875 *100

d = 25cm

c.) POR CORTE EN LA SECCIÓN CRITICA: Fuerza cortante en la sección critica (por flexión): 196 Kg / cm(85 − 25)cm =11,760 Kg

∴V

=11,760 Kg

Esfuerzo cortante admisible del concreto vC : vC = 0.29

f 'C = 0.29 175 = 3.9 Kg / cm 2

Peralte requerido por corte:

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d=

V 11,760 Kg = = 30.1cm vC * b 3.9 Kg / cm 2100cm

Luego, el peralte ó altura total de la zapata será:

h = 30.1cm + r +1.5cm = 30.1cm + 7.5cm +1.5cm

∴ d = h − 9cm = 40 − 9 = 31cm

h ≅ 40cm

d = 31cm

Calculo de áreas de acero Calculo del acero por flexión: AS =

M 708,000 Kg * cm = = 18.6cm 2 ml de zapata 3 f S * j * d 0.5 * 2800 Kg / cm * 0.875 * 31cm

AS = 18.6cm 2 / ml de zapata

usar = 1φ 3 / 4"@ .15m(1φ 5 / 8"< > 2.85cm 2 ) Acero de repartición:

ASr = 0.002 * b * d = 0.002 * 210cm * 40cm = 16.8cm 2

usar = 1φ 5 / 8"@ .25m(1φ 5 / 8"< > 1.979cm 2 )

∴

COMPROBACIÓN POR ADHERENCIA: u=

6.4 D

f 'C =

6.4 175 = 44.32 Kg / cm 2 < 56 Kg / cm 2 1.91

LONGITUD DE DESARROLLO MINIMO REQUERIDO.

Ld =

AS * f Y 2.85 * 2800 = = 30cm u * Σ0 44.32 * 5.99

Ld = 30cm

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40cm

1Ø5/8"@.25 m

40cm 1Ø3/4"@.15 m

210cm

SECCIÓN CALCULADA

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